Межа функції не існує. Межа функції - визначення, теореми і властивості. Межі монотонних функцій

У цій статті ми розповімо, що з себе представляє межа функції. Спочатку пояснимо загальні моменти, які дуже важливі для розуміння суті цього явища.

поняття межі

В математиці принципово важливим є поняття нескінченності, що позначається символом ∞. Його слід розуміти як нескінченно велика + ∞ або нескінченно мале - ∞ число. Коли ми говоримо про нескінченність, часто ми маємо на увазі відразу обидва цих її сенсу, однак запис виду + ​​∞ або - ∞ не варто замінювати просто на ∞.

Запис границі функції має вигляд lim x → x 0 f (x). У нижній частині ми пишемо основний аргумент x, а за допомогою стрілочки вказуємо, до якого саме значенням x 0 він буде прагнути. Якщо значення x 0 є конкретним дійсним числом, то ми маємо справу з межею функції в точці. Якщо ж значення x 0 прямує до нескінченності (не важливо, ∞, + ∞ або - ∞), то слід говорити про межі функції на нескінченності.

Межа буває кінцевим і нескінченним. Якщо він дорівнює конкретному дійсному числу, тобто lim x → x 0 f (x) = A, то його називають кінцевим межею, якщо ж lim x → x 0 f (x) = ∞, lim x → x 0 f (x) = + ∞ або lim x → x 0 f (x) = - ∞, то нескінченним.

Якщо ми не можемо визначити ні кінцеве, ні нескінченне значення, це означає, що такої межі не існує. Прикладом цього випадку може бути межа від синуса на нескінченності.

У цьому пункті ми пояснимо, як знайти значення границі функції в точці і на нескінченності. Для цього нам потрібно ввести основні визначення і згадати, що таке числові послідовності, а також їх відповідність і розбіжність.

визначення 1

Число A є границею функції f (x) при x → ∞, якщо послідовність її значень буде сходитися до A для будь-якої нескінченно великою послідовності аргументів (негативною або позитивною).

Запис границі функції виглядає так: lim x → ∞ f (x) = A.

визначення 2

При x → ∞ межа функції f (x) є нескінченним, якщо послідовність значень для будь-якої нескінченно великою послідовності аргументів буде також нескінченно великий (позитивної або негативної).

Запис виглядає як lim x → ∞ f (x) = ∞.

приклад 1

Доведіть рівність lim x → ∞ 1 x 2 = 0 за допомогою основного визначення меж для x → ∞.

Рішення

Почнемо з записи послідовності значень функції 1 x 2 для нескінченно великою позитивною послідовності значень аргументу x = 1, 2, 3,. . . , N,. . . .

1 + 1> 1. 4> 1. 9> 1. 16>. . . > 1 n 2>. . .

Ми бачимо, що значення будуть поступово зменшуватися, прагнучи до 0. Див. На зображенні:

x = - 1, - 2, - 3,. . . , - n,. . .

1 + 1> 1. 4> 1. 9> 1. 16>. . . > 1 - n 2>. . .

Тут теж видно монотонне спадання до нуля, що підтверджує вірність даного в умови рівності:

відповідь:Вірність даного в умови рівності підтверджена.

приклад 2

Обчисліть межа lim x → ∞ e 1 10 x.

Рішення

Почнемо, як і раніше, з записи послідовностей значень f (x) = e 1 10 x для нескінченно великою позитивною послідовності аргументів. Наприклад, x = 1, 4, 9, 16, 25,. . . , 10 2,. . . → + ∞.

e 1 10, e 4 10, e 9 10, e 16 10, e 25 10, . . . ; e 100 10; . . . = = 1, 10; 1, 49; 2, 45; 4, 95; 12, 18; . . . ; 22026, 46; . . .

Ми бачимо, що дана послідовність нескінченно позитивна, значить, f (x) = lim x → + ∞ e 1 10 x = + ∞

Переходимо до запису значень нескінченно великою негативною послідовності, наприклад, x = - 1, - 4, - 9, - 16, - 25,. . . , - 10 2,. . . → - ∞.

e посилання - 1 10, e - 4 10, e - 9 10, e - 16 10, e - 25 10, . . . ; e - 100 10; . . . = = 0, 90; 0, 67; 0, 40; 0, 20; 0, 08; . . . ; 0, 000045; . . . x = 1, 4, 9, 16, 25,. . . , 10 2,. . . → ∞

Оскільки вона теж прагне до нуля, то f (x) = lim x → ∞ 1 e 10 x = 0.

Наочно рішення задачі показано на ілюстрації. Синіми крапками відзначена послідовність позитивних значень, зеленими - негативних.

відповідь: lim x → ∞ e 1 10 x = + ∞, п р и x → + ∞ 0, п р и x → - ∞.

Перейдемо до методу обчислення границі функції в точці. Для цього нам потрібно знати, як правильно визначити односторонній межа. Це стане в нагоді нам і для того, щоб знайти вертикальні асимптоти графіка функції.

визначення 3

Число B є границею функції f (x) зліва при x → a в тому випадку, коли послідовність її значень сходиться до даного числа при будь-якій послідовності аргументів функції x n, сходящейся до a, якщо при цьому її значення залишаються менше a (x n< a).

Така межа на письмі позначається як lim x → a - 0 f (x) = B.

Тепер сформулюємо, що таке межа функції праворуч.

визначення 4

Число B є границею функції f (x) праворуч при x → a в тому випадку, коли послідовність її значень сходиться до даного числа при будь-якій послідовності аргументів функції xn, сходящейся до a, якщо при цьому її значення залишаються більше a (xn> a) .

Ця межа ми записуємо як lim x → a + 0 f (x) = B.

Ми можемо знайти межа функції f (x) в деякій точці тоді, коли для неї існують рівні межі з лівого і правого боку, тобто lim x → a f (x) = lim x → a - 0 f (x) = lim x → a + 0 f (x) = B. У разі нескінченності обох меж межа функції в початковій точці також буде нескінченний.

Тепер ми роз'яснимо дані визначення, записавши рішення конкретного завдання.

приклад 3

Доведіть, що існує кінцевий межа функції f (x) = 1 6 (x - 8) 2 - 8 в точці x 0 = 2 і обчисліть його значення.

Рішення

Для того щоб вирішити завдання, нам буде потрібно згадати визначення границі функції в точці. Для початку доведемо, що у вихідної функції є межа зліва. Запишемо послідовність значень фукнции, яка буде сходитися до x 0 = 2, якщо x n< 2:

f (- 2); f (0); f (1); f 1 + 1 2, f середньому 1 3 4; f 1 7 8; f 1 15 16; . . . ; f 1 1023 1024; . . . = = 8, 667; 2, 667; 0, 167; - 0, 958; - 1, 489; - 1, 747; - 1, 874; . . . ; - 1, 998; . . . → - 2

Оскільки наведена послідовність зводиться до - 2, ми можемо записати, що lim x → 2 - 0 у середньому 1 6 x - 8 2 - 8 = - 2.

6 , 4 , 3 , 2 1 2 , 2 1 4 , 2 1 8 , 2 1 16 , . . . , 2 1 1024 , . . . → 2

Значення функції в цій послідовності будуть виглядати так:

f (6); f (4); f (3); f 2 1 2, f 2 3 4; f 2 7 8; f 2 15 16; . . . ; f 2 1023 1024; . . . = = - 7, 333; - 5, 333; - 3, 833; - 2, 958; - 2, 489; - 2, 247; - 2, 124; . . . , - 2, 001,. . . → - 2

Дана послідовність також сходиться до - 2, значить, lim x → 2 + 0 1 6 (x - 8) 2 - 8 = - 2.

Ми отримали, що межі з правого і лівого боку у цій функції будуть рівними, значить, межа функції f (x) = 1 6 (x - 8) 2 - 8 в точці x 0 = 2 існує, і lim x → 2 1 6 (x - 8) 2 - 8 = - 2.

Ви можете побачити хід рішення на ілюстрації (зелені точки-послідовність значень, що сходиться до x n< 2 , синие – к x n > 2).

відповідь:Межі з правого і лівого боку у цій функції будуть рівними, значить, межа функції існує, і lim x → 2 1 6 (x - 8) 2 - 8 = - 2.

Щоб більш глибоко вивчити теорію меж, радимо вам прочитати статтю про безперервність функції в точці і основних видах точок розриву.

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl + Enter

Визначення меж послідовності і функції, властивості меж, перший і другий чудові межі, приклади.

постійне число аназивається межею послідовності(X n), якщо для будь-якого як завгодно малого позитивного числа ε> 0 існує номер N, що всі значення x n, У яких n> N, задовольняють нерівності

Записують це наступним чином: або x n → a.

Нерівність (6.1) рівносильно подвійному нерівності

a - ε< x n < a + ε которое означает, что точки x n, Починаючи з деякого номера n> N, лежать всередині інтервалу (a-ε, a + ε), тобто потрапляють в яку завгодно малу ε-околиця точки а.

Послідовність, що має межу, називається сходящейся, в іншому випадку - розбіжної.

Поняття межа функції є узагальненням поняття межа послідовності, так як межа послідовності можна розглядати як межа функції x n = f (n) целочисленного аргументу n.

Нехай дана функція f (x) і нехай a - гранична точкаобласті визначення цієї функції D (f), тобто така точка, будь-яка околиця якої містить точки безлічі D (f), відмінні від a. Крапка aможе належати безлічі D (f), а може і не належати йому.

Визначення 1.Постійне число А називається межа функції f (x) при x → a, якщо для будь-якої послідовності (x n) значень аргументу, що прагне до а, Відповідні їм послідовності (f (x n)) мають один і той же межа А.

Це визначення називають визначенням границі функції по Гейне,або " на мові послідовностей”.

визначення 2. Постійне число А називається межа функції f (x) при x → a, якщо, задавши довільне, як завгодно мале додатне числоε, можна знайти таке δ> 0 (залежне від ε), що для всіх x, Що лежать в ε-околиці числа а, Тобто для x, Що задовольняють нерівності
0 < x-a < ε , значения функции f(x) будут лежать в ε-окрестности числа А, т.е. |f(x)-A| < ε

Це визначення називають визначенням межа функції по Коші,або "Мовою ε - δ"

Визначення 1 і 2 рівносильні. Якщо функція f (x) при x → a має межа, Рівний А, це записується у вигляді

У тому випадку, якщо послідовність (f (x n)) необмежено зростає (або убуває) при будь-якому способі наближення xдо своєї межі а, То будемо говорити, що функція f (x) має нескінченну границю,і записувати це у вигляді:

Змінна величина (тобто послідовність або функція), межа якої дорівнює нулю, називається нескінченно малою величиною.

Змінна величина, межа якої дорівнює нескінченності, називається нескінченно великою величиною.

Щоб знайти межу на практиці користуються наступними теоремами.

теорема 1 . Якщо існує кожен межа

(6.4)

(6.5)

(6.6)

зауваження. Вирази виду 0/0, ∞ / ∞, ∞-∞ 0 * ∞ є невизначеними, наприклад, відношення двох нескінченно малих або нескінченно великих величин, і знайти межу такого виду носить назву "розкриття невизначеностей".

Теорема 2.

тобто можна переходити до межі в підставі ступеня при постійному показнику, зокрема,

Теорема 3.

(6.11)

де e» 2.7 - основа натурального логарифма. Формули (6.10) і (6.11) звуться перший чудового межах і другий чудовий межа.

Використовуються на практиці і слідства формули (6.11):

(6.12)

(6.13)

(6.14)

зокрема межа,

Eсли x → a і при цьому x> a, то пишуть x → a + 0. Якщо, зокрема, a = 0, то замість символу 0 + 0 пишуть +0. Аналогічно якщо x → a і при цьому x і називаються відповідно межа праворучі межа зліва функції f (x) в точці а. Щоб існував межа функції f (x) при x → a необхідно і достатньо, щоб . Функція f (x) називається безперервної в точці x 0, якщо межа

(6.15)

Умова (6.15) можна переписати у вигляді:

тобто можливий граничний перехід під знаком функції, якщо вона неперервна в цій точці.

Якщо рівність (6.15) порушено, то кажуть, що при x = x o функція f (x) має розрив.Розглянемо функцію y = 1 / x. Областю визначення цієї функції є безліч R, Крім x = 0. Точка x = 0 є граничною точкою множини D (f), оскільки в будь-який її околиці, тобто в будь-якому відкритому інтервалі, що містить точку 0, є точки з D (f), але вона сама не належить цій безлічі. Значення f (x o) = f (0) не визначене, тому в точці x o = 0 функція має розрив.

Функція f (x) називається безперервної справа в точці x o, якщо межа

і безперервної зліва в точці x o, якщо межа

Неперервність функції в точці x oрівносильна її безперервності в цій точці одночасно і праворуч і ліворуч.

Для того, щоб функція була неперервна в точці x o, Наприклад, справа, необхідно, по-перше, щоб існував кінцевий межа, а по-друге, щоб ця межа була дорівнює f (x o). Отже, якщо хоча б одне з цих двох умов не виконується, то функція буде мати розрив.

1. Якщо межа існує і не дорівнює f (x o), то говорять, що функція f (x) в точці x o має розрив першого роду,або стрибок.

2. Якщо межа дорівнює + ∞ або -∞ або не існує, то говорять, що в точці x o функція має розрив другого роду.

Наприклад, функція y = ctg x при x → +0 має межу, що дорівнює + ∞, значить, в точці x = 0 вона має розрив другого роду. Функція y = E (x) (ціла частина від x) В точках з цілими абсциссами має розриви першого роду, або скачки.

Функція, безперервна в кожній точці проміжку, називається безперервноїв. Безперервна функція зображується суцільною кривою.

До другого чудовому межі призводять багато завдань, пов'язані з безперервним зростанням будь-якої величини. До таких завдань, наприклад, відносяться: зростання вкладу згідно із законом складних відсотків, зростання населення країни, розпад радіоактивної речовини, розмноження бактерій і т.п.

Розглянемо приклад Я. І. Перельмана, Що дає інтерпретацію числа eв завданню про складні відсотках. число eє межа . У сбербанках процентні гроші приєднуються до основного капіталу щорічно. Якщо приєднання відбувається частіше, то капітал зростає швидше, так як в освіті відсотків бере участь велика сума. Візьмемо чисто теоретичний, дуже спрощений приклад. Нехай в банк належить 100 ден. од. з розрахунку 100% річних. Якщо процентні гроші будуть приєднані до основного капіталу лише після закінчення року, то до цього терміну 100 ден. од. перетворяться в 200 грош Подивимося тепер, на що перетворяться 100 ден. од., якщо процентні гроші приєднувати до основного капіталу кожні півроку. Після закінчення півріччя 100 ден. од. виростуть в 100 × 1,5 = 150, а ще через півроку - в 150 × 1,5 = 225 (ден. од.). Якщо приєднання робити кожні 1/3 року, то після закінчення року 100 ден. од. перетворяться в 100 × (1 +1/3) 3 ≈ 237 (ден. од.). Будемо учащати терміни приєднання процентних грошей до 0,1 року, до 0,01 року, до 0,001 року і т.д. Тоді з 100 ден. од. через рік вийде:

100 × (1 +1/10) 10 ≈ 259 (ден. Од.),

100 × (1 + 1/100) 100 ≈ 270 (ден. Од.),

100 × (1 + 1/1000) 1000 ≈271 (ден. Од.).

При безмежному скорочення термінів приєднання відсотків нарощений капітал не зростає безмежно, а наближається до деякого межі, рівному приблизно 271. Більш ніж в 2,71 раз капітал, покладений під 100% річних, збільшитися не може, навіть якщо б наросли відсотки приєднувалися до капіталу кожну секунду, тому що межа

приклад 3.1. Користуючись визначенням меж числової послідовності, довести, що послідовність x n = (n-1) / n має межу, що дорівнює 1.

Рішення.Нам треба довести, що, яке б ε> 0 ми не взяли, для нього знайдеться натуральне число N, таке, що для всіх n> N має місце нерівність | x n -1 |< ε

Візьмемо будь-ε> 0. Так як x n -1 = (n + 1) / n - 1 = 1 / n, то для відшукання N досить розв'язати нерівність 1 / n<ε. Отсюда n>1 / ε і, отже, за N можна взяти цілу частину від 1 / ε N = E (1 / ε). Ми тим самим довели, що межа.

Приклад 3.2.Знайти межа послідовності, заданої загальним членом .

Рішення. Застосуємо теорему межа суми і знайдемо межа кожного доданка. При n → ∞ чисельник і знаменник кожного доданка прямує до нескінченності, і ми не можемо безпосередньо застосувати теорему межа приватного. Тому спочатку перетворимо x n, Розділивши чисельник і знаменник першого доданка на n 2, А другого на n. Потім, застосовуючи теорему межа приватного і межа суми, знайдемо:

приклад 3.3. . Знайти.

Рішення.

Тут ми скористалися теоремою про межі ступеня: межа ступеня дорівнює ступеню від межі підстави.

приклад 3.4. знайти ( ).

Рішення. Застосовувати теорему межа різниці не можна, оскільки маємо невизначеність виду ∞-∞. Перетворимо формулу загального члена:

приклад 3.5. Дана функція f (x) = 2 1 / x. Довести, що межа не існує.

Рішення.Скористаємося визначенням 1 границі функції через послідовність. Візьмемо послідовність (x n), що сходиться до 0, тобто Покажемо, що величина f (x n) = для різних послідовностей веде себе по-різному. Нехай x n = 1 / n. Очевидно, що, тоді межа Виберемо тепер в якості x nпослідовність із загальним членом x n = -1 / n, також прагне до нуля. Тому межа не існує.

приклад 3.6. Довести, що межа не існує.

Рішення.Нехай x 1, x 2, ..., x n, ... - послідовність, для якої
. Як поводиться послідовність (f (x n)) = (sin x n) при різних x n → ∞

Якщо x n = p n, то sin x n = sin (p n) = 0 при всіх nі межа Якщо ж
x n = 2 p n + p / 2, то sin x n = sin (2 p n + p / 2) = sin p / 2 = 1 для всіх nі отже межа. Таким чином, не існує.

Теорія меж - це один з розділів математичного аналізу. Питання вирішення меж є досить великим, оскільки існують десятки прийомів рішень меж різних видів. Існують десятки нюансів і хитрощів, що дозволяють вирішити те чи інше межа. Тим не менш, ми все-таки спробуємо розібратися в основних типах меж, які найбільш часто зустрічаються на практиці.

Почнемо з самого поняття межі. Але спочатку коротка історична довідка. Жив-був в 19 столітті француз Огюстен Луї Коші, який дав строгі визначення багатьом поняттям мату і заклав його основи. Треба сказати, цей шановний математик снився, сниться і буде снитися в кошмарних снах всім студентам фізико-математичних факультетів, так як довів величезну кількість теорем математичного аналізу, причому одна теорема убойнее інший. У зв'язку з цим ми поки не будемо розглядати визначення меж по Коші, А спробуємо зробити дві речі:

1. Зрозуміти, що таке межа.
2. Навчитися вирішувати основні типи меж.

Прошу вибачення за деяку ненауковість пояснень, важливо щоб матеріал був зрозумілий навіть чайнику, що, власне, і є завданням проекту.

Отже, що ж таке межа?

А відразу приклад, чого бабусю лахміття ....

Будь межа складається з трьох частин:

1) Всім відомого значка межі.
2) Записи під значком межі, в даному випадку. Запис читається «ікс прагне до одиниці». Найчастіше - саме, хоча замість «ікси» на практиці зустрічаються і інші змінні. У практичних завданнях на місці одиниці може перебувати зовсім будь-яке число, а також нескінченність ().
3) Функції під знаком межі, в даному випадку.

сама запис читається так: «межа функції при ікс прагне до одиниці».

Розберемо наступне важливе питання - а що означає вираз «ікс прагнедо одиниці »? І що взагалі таке «прагне»?
Поняття межі - це поняття, якщо так можна сказати, динамічне. Побудуємо послідовність: спочатку, потім,, ..., , ….
Тобто вираз «ікс прагнедо одиниці »слід розуміти так -« ікс »послідовно приймає значення, які нескінченно близько наближаються до одиниці і практично з нею збігаються.

Як вирішити вищерозглянутий приклад? Виходячи з вищесказаного, потрібно просто підставити одиницю в функцію, що стоїть під знаком межі:

Отже, перше правило: Коли дано будь межа, спочатку просто намагаємося підставити число в функцію.

Ми розглянули найпростіший межа, а й такі зустрічаються на практиці, причому, не так уже й рідко!

Приклад з нескінченністю:

Розбираємося, що таке? Це той випадок, коли необмежено зростає, тобто: спочатку, потім, потім, потім і так далі до нескінченності.

А що в цей час відбувається з функцією?
, , , …

Отже: якщо, то функція прагне до мінус нескінченності:

Грубо кажучи, відповідно до нашого першого правила, ми замість «ікси» підставляємо у функцію нескінченність і отримуємо відповідь.

Ще один приклад з нескінченністю:

Знову починаємо збільшувати до безкінечності і дивимося на поведінку функції:

Висновок: при функція необмежено зростає:

І ще серія прикладів:

Будь ласка, спробуйте самостійно подумки проаналізувати наступне і запам'ятайте найпростіші види меж:

, , , , , , , , ,
Якщо де-небудь є сумніви, то можете взяти в руки калькулятор і трохи потренуватися.
У тому випадку, якщо, спробуйте побудувати послідовність,,. Якщо то , , .

! Примітка: Строго кажучи, такий підхід з побудовою послідовностей з декількох чисел є коректним, але для розуміння найпростіших прикладів цілком підійде.

Також зверніть увагу на наступну річ. Навіть якщо дан межа з великим числом вгорі, та хоч з мільйоном:, то все одно , Так як рано чи пізно «ікс» почне приймати такі гігантські значення, що мільйон у порівнянні з ними буде справжнісіньким мікробом.

Що потрібно запам'ятати і зрозуміти з вищесказаного?

1) Коли дано будь межа, спочатку просто намагаємося підставити число в функцію.

2) Ви повинні розуміти і відразу вирішувати найпростіші межі, такі як , , і т.д.

Більш того, при границі є дуже хороший геометричний сенс. Для кращого розуміння теми рекомендую ознайомитися з методичним матеріалом Графіки і властивості елементарних функцій. Після прочитання цієї статті ви не тільки остаточно зрозумієте, що таке межа, але і познайомитеся з цікавими випадками, коли границі функції взагалі не існує!

На практиці, на жаль, подарунків трохи. А тому переходимо до розгляду більш складних меж. До речі, по цій темі є інтенсивний курсв pdf-форматі, який особливо корисний, якщо у Вас ДУЖЕ мало часу на підготовку. Але матеріали сайту, зрозуміло, не гірше:

Зараз ми розглянемо групу меж, коли, а функція являє собою дріб, у чисельнику і знаменнику якої знаходяться многочлени

приклад:

обчислити межа

Згідно з нашим правилом спробуємо підставити нескінченність в функцію. Що у нас виходить вгорі? Нескінченність. А що виходить внизу? Теж нескінченність. Таким чином, у нас є так звана невизначеність виду. Можна було б подумати, що, і відповідь готова, але в загальному випадку це зовсім не так, і потрібно застосувати деякий прийом рішення, який ми зараз і розглянемо.

Як вирішувати межі даного типу?

Спочатку ми дивимося на чисельник і знаходимо в старшій ступеня:

Старша ступінь в чисельнику дорівнює двом.

Тепер дивимося на знаменник і теж знаходимо в старшій ступеня:

Старша ступінь знаменника дорівнює двом.

Потім ми вибираємо найстаршу ступінь чисельника і знаменника: в даному прикладі вони збігаються і дорівнюють двійці.

Отже, метод вирішення наступний: для того, щоб розкрити невизначеність необхідно розділити чисельник і знаменник на в старшій ступеня.

Ось воно як, відповідь, а зовсім не нескінченність.

Що принципово важливо в оформленні рішення?

По-перше, вказуємо невизначеність, якщо вона є.

По-друге, бажано перервати рішення для проміжних пояснень. Я зазвичай використовую знак, він не несе ніякого математичного сенсу, а позначає, що рішення перервано для проміжного пояснення.

По-третє, в межі бажано позначати, що і куди прагне. Коли робота оформляється від руки, зручніше це зробити так:

Для позначок краще використовувати простий олівець.

Звичайно, можна нічого цього не робити, але тоді, можливо, викладач відзначить недоліки в рішенні чи почне ставити додаткові питання за завданням. А воно Вам треба?

приклад 2

знайти межа
Знову в чисельнику і знаменнику знаходимо в старшій ступеня:

Максимальний ступінь в чисельнику: 3
Максимальний ступінь в знаменнику: 4
вибираємо найбільшезначення, в даному випадку четвірку.
Згідно з нашим алгоритмом, для розкриття невизначеності ділимо чисельник і знаменник на.
Повне оформлення завдання може виглядати так:

Розділимо чисельник і знаменник на

приклад 3

знайти межа
Максимальний ступінь «ікси» в чисельнику: 2
Максимальний ступінь «ікси» в знаменнику: 1 (можна записати як)
Для розкриття невизначеності необхідно розділити чисельник і знаменник на. Чистовий варіант рішення може виглядати так:

Розділимо чисельник і знаменник на

Під записом мається на увазі не розподіл на нуль (ділити на нуль не можна), а розподіл на нескінченно мале число.

Таким чином, при розкритті невизначеності виду у нас може вийти кінцеве число, Нуль або нескінченність.

Межі з невизначеністю виду і метод їх вирішення

Наступна група меж чимось схожа на щойно розглянуті межі: в чисельнику і знаменнику знаходяться многочлени, але «ікс» прагне вже не до нескінченності, а до кінцевого числа.

приклад 4

вирішити межа
Спочатку спробуємо підставити -1 в дріб:

В даному випадку отримана так звана невизначеність.

загальне правило : Якщо в чисельнику і знаменнику знаходяться многочлени, і є невизначеності виду, то для її розкриття потрібно розкласти чисельник і знаменник на множники.

Для цього найчастіше потрібно вирішити квадратне рівняння і (або) використовувати формули скороченого множення. Якщо дані речі забулися, тоді відвідайте сторінку Математичні формули і таблиціі ознайомтеся з методичним матеріалом Гарячі формули шкільного курсу математики. До речі його найкраще роздрукувати, потрібно дуже часто, та й інформація з паперу засвоюється краще.

Отже, вирішуємо наш межа

Розкладемо чисельник і знаменник на множники

Для того щоб розкласти чисельник на множники, потрібно вирішити квадратне рівняння:

Спочатку знаходимо дискримінант:

І квадратний корінь з нього:.

У разі якщо дискримінант великий, наприклад 361, використовуємо калькулятор, функція витягання квадратного кореня є на найпростішому калькуляторі.

! Якщо корінь не розгорнеться остачі (виходить дробове число з комою), дуже ймовірно, що дискримінант обчислений невірно або в завданні помилка.

Далі знаходимо коріння:

Таким чином:

Всі. Чисельник на множники розкладений.

Знаменник. Знаменник вже є найпростішим множником, і спростити його ніяк не можна.

Очевидно, що можна скоротити на:

Тепер і підставляємо -1 в вираз, яке залишилося під знаком межі:

Природно, в контрольної роботи, На заліку, іспиті так докладно рішення ніколи не розписують. У чистовому варіанті оформлення повинно виглядати приблизно так:

Розкладемо чисельник на множники.

приклад 5

обчислити межа

Спочатку «чистової» варіант вирішення

Розкладемо чисельник і знаменник на множники.

чисельник:
знаменник:



,

Що важливого в даному прикладі?
По-перше, Ви повинні добре розуміти, як розкритий чисельник, спочатку ми винесли за дужки 2, а потім використовували формулу різниці квадратів. Вже цю-то формулу потрібно знати і бачити.

рекомендація: Якщо в межі (практично будь-якого типу) можна винести число за дужку, то завжди це робимо.
Більш того, такі числа доцільно виносити за значок межі. Навіщо? Так просто щоб вони не заважали під ногами. Головне, потім ці числа не втратити по ходу рішення.

Зверніть увагу, що на заключному етапі рішення я виніс за значок межі двійку, а потім - мінус.

! важливо
В ході вирішення фрагмент типу зустрічається дуже часто. Скорочувати таку дрібне можна . Спочатку потрібно поміняти знак у чисельника або у знаменника (винести -1 за дужки).
, Тобто з'являється знак «мінус», який при обчисленні межі враховується і втрачати його зовсім не потрібно.

Взагалі, я помітив, що найчастіше в знаходженні меж даного типу доводиться вирішувати два квадратних рівняння, тобто і в чисельнику і в знаменнику знаходяться квадратного тричлена.

Метод множення чисельника і знаменника на поєднане вираз

Продовжуємо розглядати невизначеність виду

наступний типмеж схожий на попередній тип. Єдине, крім многочленів, у нас додадуться коріння.

приклад 6

знайти межа

Починаємо вирішувати.

Спочатку пробуємо підставити 3 в вираз під знаком межі
Ще раз повторюю - це перше, що потрібно виконувати для кожного межі. Дана дія зазвичай проводиться в думках або на чернетці.

Отримано невизначеність виду, яку потрібно усувати.

Як Ви, напевно, помітили, у нас в чисельнику знаходиться різниця коренів. А від коренів в математиці прийнято, по можливості, позбавлятися. Навіщо? А без них життя простіше.

Межі доставляють всім студентам, що вивчають математику, чимало клопоту. Щоб вирішити межа, часом доводиться застосовувати масу хитрощів і вибирати з безлічі способів вирішення саме той, який підійде для конкретного прикладу.

У цій статті ми не допоможемо вам зрозуміти межі своїх можливостей або осягнути межі контролю, але постараємося відповісти на питання: як зрозуміти межі в вищої математики? Розуміння приходить з досвідом, тому заодно наведемо кілька докладних прикладів вирішення меж з поясненнями.

Поняття межі в математиці

Перше питання: що це взагалі за межу і межа чого? Можна говорити про межі числових послідовностей і функцій. Нас цікавить поняття границі функції, так як саме з ними найчастіше стикаються студенти. Але спочатку - саме загальне визначеннямежі:

Припустимо, є деяка змінна величина. Якщо ця величина в процесі зміни необмежено наближається до певного числа a , то a - межа цієї величини.

Для певної в деякому інтервалі функції f (x) = y межею називається таке число A , До якого прагне функція при х , Яка прагне до певної точки а . Крапка а належить інтервалу, на якому визначена функція.

Звучить громіздко, але записується дуже просто:

Lim- від англійського limit- межа.

Існує також геометричне пояснення визначення меж, але тут ми не будемо лізти в теорію, так як нас більше цікавить практична, ніж теоретична сторона питання. Коли ми говоримо, що х прагне до якогось значення, це означає, що змінна не приймає значення числа, але нескінченно близько до нього наближається.

Наведемо конкретний приклад. Завдання - знайти межу.

Щоб вирішити такий приклад, підставимо значення x = 3 в функцію. отримаємо:

До речі, якщо Вас цікавлять базові операції над матрицями, читайте окрему статтю на цю тему.

У прикладах х може прагнути до будь-якого значення. Це може бути будь-яке число або нескінченність. Ось приклад, коли х прямує до нескінченності:

Інтуїтивно зрозуміло, що чим більше число в знаменнику, тим менше значення буде приймати функція. Так, при необмеженій зростанні х значення 1 / х буде зменшуватися і наближатиметься до нуля.

Як бачимо, щоб вирішити межа, потрібно просто підставити в функцію значення, до якого прагнути х . Однак це найпростіший випадок. Часто знаходження межі не так очевидно. В межах зустрічаються невизначеності типу 0/0 або нескінченність / нескінченність . Що робити в таких випадках? Вдаватися до хитрощів!

Невизначеності в межах

Невизначеність виду нескінченність / нескінченність

Нехай є межа:

Якщо ми спробуємо в функцію підставити нескінченність, то отримаємо нескінченність як в чисельнику, так і в знаменнику. Взагалі варто сказати, що в дозволі таких невизначеностей є певний елемент мистецтва: потрібно зауважити, як можна перетворити функцію таким чином, щоб невизначеність пішла. У нашому випадку розділимо чисельник і знаменник на х в старшій ступеня. Що вийде?

З уже розглянутого вище прикладу ми знаємо, що члени, які містять в знаменнику х, будуть прагнути до нуля. Тоді рішення межі:

Для розкриття невизначеностей типу нескінченність / нескінченністьділимо чисельник і знаменник на ху найвищому ступені.

До речі! Для наших читачів зараз діє знижка 10% на будь-який вид роботи

Ще один вид невизначеностей: 0/0

Як завжди, підстановка в функцію значення х = -1 дає 0 в чисельнику і знаменнику. Подивіться трохи уважніше і Ви помітите, що в чисельнику у нас квадратне рівняння. Знайдемо коріння і запишемо:

Скоротимо і отримаємо:

Отже, якщо Ви стикаєтеся з невизначеністю типу 0/0 - розкладайте чисельник і знаменник на множники.

Щоб Вам було простіше вирішувати приклади, наведемо таблицю з межами деяких функцій:

Правило Лопіталя в межах

Ще один потужний спосіб, що дозволяє усунути невизначеності обох типів. У чому суть методу?

Якщо в межі є невизначеність, беремо похідну від чисельника і знаменника до тих пір, поки невизначеність не зникне.

Наочно правило Лопіталя виглядає так:

Важливий момент : Межа, в якому замість чисельника і знаменника стоять похідні від чисельника і знаменника, повинен існувати.

А тепер - реальний приклад:

У наявності типова невизначеність 0/0 . Візьмемо похідні від чисельника і знаменника:

Вуаля, невизначеність усунуто швидко і елегантно.

Сподіваємося, що Ви зможете з користю застосувати цю інформацію на практиці і знайти відповідь на питання "як вирішувати межі у вищій математиці". Якщо потрібно обчислити межа послідовності або межа функції в точці, а часу на цю роботу немає від слова «зовсім», зверніться в професійний студентський сервіс за швидким і докладним рішенням.

Розглянемо функцію %% f (x) %%, певну, по крайней мере, в деякій проколеної околиці %% \ stackrel (\ circ) (\ text (U)) (a) %% точки %% a \ in \ overline ( \ mathbb (R)) %% розширеної числової прямої.

Поняття межі по Коші

Число %% A \ in \ mathbb (R) %% називають межею функції%% f (x) %% в точці %% a \ in \ mathbb (R) %% (або при %% x %%, яка прагне до %% a \ in \ mathbb (R) %%), якщо, яке б не було позитивне число %% \ varepsilon %%, знайдеться позитивне число %% \ delta %%, таке, що для всіх точок проколеної %% \ delta %% - околиці точки %% a %% значення функції належать %% \ varepsilon %% - околиці точки %% A %%, або

$$ A = \ lim \ limits_ (x \ to a) (f (x)) \ Leftrightarrow \ forall \ varepsilon> 0 ~ \ exists \ delta> 0 \ big (x \ in \ stackrel (\ circ) (\ text (U)) _ \ delta (a) \ Rightarrow f (x) \ in \ text (U) _ \ varepsilon (A) \ big) $$

Це визначення називається визначенням мовою %% \ varepsilon %% і %% \ delta %%, запропоновано французьким математиком Огюстеном Коші і використовується з початку XIX століття по теперішній час, оскільки володіє необхідною математичної строгістю і точністю.

Комбінуючи різні околиці точки %% a %% виду %% \ stackrel (\ circ) (\ text (U)) _ \ delta (a), \ text (U) _ \ delta (\ infty), \ text (U) _ \ delta (- \ infty), \ text (U) _ \ delta (+ \ infty), \ text (U) _ \ delta ^ + (a), \ text (U) _ \ delta ^ - (a) %% з околицями %% \ text (U) _ \ varepsilon (A), \ text (U) _ \ varepsilon (\ infty), \ text (U) _ \ varepsilon (+ \ infty), \ text (U) _ \ varepsilon (- \ infty) %%, отримаємо 24 визначення меж по Коші.

геометричний сенс

Геометричний сенс границі функції

З'ясуємо, в чому полягає геометричний зміст границі функції в точці. Побудуємо графік функції %% y = f (x) %% і відзначимо на ньому точки %% x = a %% і %% y = A %%.

Межа функції %% y = f (x) %% в точці %% x \ to a %% існує і дорівнює A, якщо для будь-якої %% \ varepsilon %% - околиці точки %% A %% можна вказати таку %% \ delta %% - околиця точки %% a %%, що для будь-якого %% x %% з цієї %% \ delta %% - околиці значення %% f (x) %% буде перебувати в %% \ varepsilon %% - околиці точки %% A %%.

Відзначимо, що за визначенням границі функції за Коші для існування межі при %% x \ to a %% байдуже, яке значення приймає функція в самій точці %% a %%. Можна навести приклади, коли функція не визначена при %% x = a %% або приймає значення, відмінне від %% A %%. Проте межа може бути дорівнює %% A %%.

Визначення меж по Гейне

Елемент %% A \ in \ overline (\ mathbb (R)) %% називається межею функції %% f (x) %% при %% x \ to a, a \ in \ overline (\ mathbb (R)) %% , якщо для будь-якій послідовності %% \ (x_n \) \ to a %% з області визначення, послідовність відповідних значень %% \ big \ (f (x_n) \ big \) %% прагне до %% A %%.

Визначення меж по Гейне зручно використовувати, коли виникають сумніви в існуванні границі функції в даній точці. Якщо можна побудувати хоча б одну послідовність %% \ (x_n \) %% з межею в точці %% a %% таку, що послідовність %% \ big \ (f (x_n) \ big \) %% не має меж, то можна зробити висновок про те, що функція %% f (x) %% не має межі в цій точці. Якщо для двох різнихпослідовностей %% \ (x "_n \) %% і %% \ (x" "_ n \) %%, що мають однаковиймежа %% a %%, послідовності %% \ big \ (f (x "_n) \ big \) %% і %% \ big \ (f (x" "_ n) \ big \) %% мають різнімежі, то в цьому випадку також не існує межа функції %% f (x) %%.

приклад

Нехай %% f (x) = \ sin (1 / x) %%. Перевіримо, чи існує межа даної функції в точці %% a = 0 %%.

Виберемо спочатку сходящуюся до цієї точки послідовність $$ \ (x_n \) = \ left \ (\ frac ((- 1) ^ n) (n \ pi) \ right \). $$

Ясно, що %% x_n \ ne 0 ~ \ forall ~ n \ in \ mathbb (N) %% і %% \ lim (x_n) = 0 %%. Тоді %% f (x_n) = \ sin (\ left ((- 1) ^ nn \ pi \ right)) \ equiv 0 %% і %% \ lim \ big \ (f (x_n) \ big \) = 0 %%.

Потім візьмемо сходящуюся до тієї ж точки послідовність $$ x "_n = \ left \ (\ frac (2) ((4n + 1) \ pi) \ right \), $$

для якої %% \ lim (x "_n) = + 0 %%, %% f (x" _n) = \ sin (\ big ((4n + 1) \ pi / 2 \ big)) \ equiv 1 %% і %% \ lim \ big \ (f (x "_n) \ big \) = 1 %%. Аналогічно для послідовності $$ x" "_ n = \ left \ (- \ frac (2) ((4n + 1) \ pi) \ right \), $$

також сходящейся до точки %% x = 0 %%, %% \ lim \ big \ (f (x "" _ n) \ big \) = -1 %%.

Всі три послідовності дали різні результати, що суперечить умові визначення по Гейне, тобто дана функція не має границі в точці %% x = 0 %%.

теорема

Визначення меж по Коші і по Гейне еквівалентні.