Преди функцията е да знаете най-малкото. Как мога да разбера най-малко важната функция в затворена зона? Повечето и най-малко важни функции - стойност, илюстрации

§ Екстремуми, повечето и най-малко важни функции на decilkokh zminnykh - страничен номер 1/1

§ 8. Екстремум, най- и най-малко значимите функции на decilkokh zminnykh.

1. Екстремни функции на decilkokh zminnykh.

■ площ
,
- точка на централния район.

Спек
бъде наречен максимална точка функции
, Якшо за точка

провалят се

.

аналогична точка
бъде наречен насочи към минимума функции
, Якшо за точка
от деяко близо до пункта
провалят се

.

уважение... 1) Зад разликата е стойността на функцията
виновен, но е назначен на деякома близо до пункта
... До точката на максимум и точка на минимум функция
Можете да намерите само вътрешни точки на региона
.

2) Yaksho isnu близо до точката
, В як за точка бе-яко
vidminnoyu vid
провалят се

(

), След това посочете
име точка на строг максимум (Според точка на строг минимум ) функции
... При свързването от cym точките към максимума и минимума се наричат ​​точки на нестрогия максимум и минимум.

Точките към максимума и минимума на функцията се наричат ​​її точки до екстремум ... Стойността на функцията в точките на максимум и минимум се извиква според високи і минимуми , Або, по-кратко, екстремуми циєї функции.

Разбирането на екстремумите е от локален характер: значението на функцията в точки
да се сравни със значимите функции при достигане на близки точки. В даден регион функцията може да не е майка на екстремумите, а на редица минимуми, на максимум и на максимум и на безопасност и тих и на най-малкото. В същото време могат да се появят повече хора. Той не е последван от максимите и минималните функции на най-голямото и най-малко значимото.

Знаем, че е необходимо да се има предвид екстремумът. хайде например
- точка на максимална функция
... Todi for viznachennyam isnuє gif "align = absmiddle width =" 17px "height =" 18px "> - ръбът на точката
така, що
за точка
от центъра на покрайнините. Зокрем,

(1)

де
,
, і

(2)

де
,
... Ale (1) означава, че функцията на една се променя
има в точка максимум abo на интервала
post_noyu. вече,

abo
- не е,

⇒
abo
- не іsnuє.

Подобно на (2) можем да разпознаем това

abo
- не іsnuє.

В такъв ранг теоремата е валидна.

ТЕОРЕМА 8.1. (Трябва да обясните екстремума). каква функция
в точка
Ако има екстремум, тогава в същия момент или обида на частните стари, трябва да се сведе на нула първата поръчка, защото бих искал някой от тези частни стари да не се намира.

Геометрично теорема 8.1 означава това
- посочете екстремума на функцията
Това е подобно на областта до графиката на цялата функция в точката или успоредно на областта
, Abo zagalі not іsnu. Schob perekonatyatsya в цялото, за да завърши предположението, как да се знае равната площ на повърхността (div. Формула (4.6)).

Точките, които отговарят на теореми 8.1, се наричат критични точки функции
... Също така, за функцията на една промяна е необходимо да се мисли, че екстремумът не е достатъчен. Тоест, не всяка точка на функция е критична до точката на екстремум.

ДАПЕ.Функционалността се вижда лесно
... Спек
є за цялата функция на критичност, както и в цялата точка на обидата и неприкосновеността на личния живот, първи ред
і
връщане на нула. Въпреки това, няма да бъде точка на екстремум. наистина ли,
, Ale в be-like покрайнините на точката
є точки, в които функциите се добавят към предишните стойности; точки, в които функциите се добавят към тези стойности. Лесно е да се обърне tsom, стига графиката на функцията да е хиперболичен параболоид.

За функцията на двама победители най-достатъчната причина, да, е теорема.

ТЕОРЕМА 8.2. (Адекватен на екстремума на функциите на две зими). Хей
- критичната точка на функцията
и след ден близо до точката
функцията може да бъде непрекъснати части, стари до различен ред, включително. смислено

,
,
.

Тоди 1) якшо
, Това е смисълът
не по є точка екстремум;


Както с помощта на теореми 8.2, най-накрая ще получа критична точка
без да достига (тобто якшо
тъй като функцията не е в близост до точката
без прекъсвания в частните от необходимия ред), отнасящи се до храната
Екстремумът е да даде знак за увеличаване на функцията в точката tsy.

Страхотно, заради стойността на напитката
има в точка
строг максимум, тогава

за всички точки
от деяко близо до пункта
, Або, инакше

с всички тях завършете малих
і
... По същия начин, когато
- точката на строгия минимум, след което с всички тях да завършите малика
і
ако не успееш
.

Такъв ранг, shhob z'yasuvati, chi є критична точка
до точката на екстремум е необходимо да се постигне приоритетна функция в точката. Якшчо с всички тях завършват малих
і
ще има знак, тогава в точка
функция MAє строг екстремум (минимум,
, І максимум, якшо
).

уважение... Правилото е да се остави не на място и за хлабав екстремум, ейл с поправка, но при деяки стойности
і
функцията ще получи нула
ДАПЕ. Познайте екстремалните функции:

1)
; 2)
.

1) Функции

і
може да се види по всякакъв начин. Вирисучи система от ривняни
,
знаем две критични точки
і
.

За откриване на критични точки е предвидена теорема 8.2. маймо:

,
,
.

doslijuемо точка
:

,
,
,

;
.

Отже, в точка
функцията е дадена на минимума, а
.

Doslidzhuєmo критична точка
:

,
,
,


.

Отже, приятелю, точката не е критична за екстремума на функцията.

2) Функции
е маркиран навсякъде. Тя е частна стара първа поръчка
и е възможно да се разбере за това. Вирисучи система от ривняни
,
Знам, аз съм една критична точка
.

За достигане на критичната точка е предвидена теорема 8.2. маймо:

,
,
,

,
,
,

.

Задайте видимостта или видимостта на екстремума в точката
отвъд второто, теорема 8.2 не стига далеч.

Doslidzhuєmo знак за увеличаване на функцията в точки
:

якшо
, тогава
;

якшо
, тогава
.

изрезки
Никола не взема знак в покрайнините на точката
, Тогава в точката tsy на функцията няма екстремум.

Стойността на максимума и минимума и необходимостта от екстремум лесно се прехвърлят във функциите на три и повече промени. Достатъчен ум за функцията (
) Тези, които знаят чрез тяхното сгъване в този курс, не гледат. Ще започнем характера на критичните точки на първо място според знака на нарастването на функцията.

2. Повечето и най-малко важни функции.

Нека функцията на две зими
регистрирани в региона
■ площ
,
,
- точки от централния район. Значението на функцията в точката
бъде наречен повечето , Якшо за точка
в региона
провалят се

.

По същия начин, значението на функцията в точки
бъде наречен най-модерният , Якшо за точка
в региона
провалят се

.

По-рано вече казахме, че функцията е непрекъсната, а зоната
- затворен и заобиколен, тогава функцията на приемане в целия регион е с най-голяма и най-малка стойност. В същата точка
і
Можете да лъжете като всички средни региони
, So і на її кордон. къде е смисълът
(abo
) Да лежи в средата на региона
, Това ще бъде точка към максималната (минималната) функция
, Така че критичната точка на функцията на централния регион
... Към това за най-важната и най-малко важна функция
В зоната
изисква се:
.

От практическа гледна точка най-голям интерес е победителят за най-важните функции. С какво е обвързано? Максимизиране на пристигането, минимизиране на витратите, определяне на оптималното заплитане на инсталацията... С други думи, в различните сфери на живота е жизненоважно да се оптимизират параметрите. И в същото време ангажиментът към познаването на най-важната и най-малко значимата функция.

Това означава, че най-важната и най-малко важната функция е да създава шум в интервала на действие X, който е или цялата област на функцията, или част от стойността. Самият интервал X може да бъде толкова кратък, колкото интервал , Обещание без аромат.

В тази статистика ще говорим за значението на най-малката и най-малката стойност на изрично дадена функция на една променлива y = f (x).

Навигация отстрани.

Най-важните и най-малко важните функции са визуализация, илюстрации.

Накратко zupinimya за основните ценности.

Най-важните функции , За да бъдете като правилно невярност.

Най-малко значимите функции y = f (x) в интервала X се нарича същата стойност , За да бъдете като правилно невярност.

Стойността на интуитивно интелигентната: най-голямата (най-малка) стойност на функцията - най-малката (най-малката) вземете стойността на отворения интервал по абсцисата.

стационарни точки- стойността на аргумента, когато функцията се изгуби, тя се превръща в нула.

Защо се нуждаем от неподвижна точка, когато тя е най-важна и най-малко важна? Помислете за хранителната верига, да, теоремата на Ферма. С теоремата за преместването функцията на максимум (локален минимум или локален максимум) също се диференцира във всяка точка, тогава точката е неподвижна. В такъв ранг функцията често взема най-високата си (най-малка) стойност за интервала X в една от неподвижните точки от същия интервал.

Също така, често най-важните и най-малко значимите функции могат да бъдат взети в точки, където самата функция не се използва, но самата функция се присвоява.

Веднага на базата на едно от най-популярните ястия според темата: „Как е възможно да имаш най-(най-малко) значимата функция“? Не очаквайте. В някои случаи линията X се намира между областите на назначената функция или интервалът X не е безкраен. И deyakі funktsії на безкрайно и на кордоните на региона на значението може да се приеме като безкрайно големи и безкрайно малки. В cich vipadkah нищо не може да се каже за най-големите и най-малко значимите функции.

За спецификата на графичната илюстрация. Да се ​​чудиш на малките е много за изясняване.

на видризка

На първото малко нещо, функцията за получаване на най-много (max y) и най-малко (min y) стойности в неподвижни точки, които са разположени в средата на посоката [-6; 6].

Випадок, виждат се изображения на още едно малко. Малко включено. За всички приложения най-малко значимата функция е постижима в неподвижната точка, а най-важната - в точката на абсцисата, в правилната посока на интервала.

На малко #3, граничните точки на посоката [-3; 2] е абсциса на точки, които са подобни на най-малкото и най-малко значимото от функцията.

На отворен интервал

На четвъртия малък, функцията за получаване на най-много (max y) и най-малко (min y) стойности в неподвижни точки, които се намират в средата на отворения интервал (-6; 6).

На интервала, около най-голямата стойност на всеки visnovkiv, растежът не е възможен.

в края на деня

В дупето, представено на това малко бебе, функцията за приемане на най-голямата стойност (max y) в неподвижната точка от абсцисата x = 1 и най-малката стойност (min y) се достига вдясно между интервала. При минус на несъответствието стойността на функцията асимптотично се приближава до y = 3.

На интервала функцията не е постижима за най-малката или най-голямата стойност. Когато функцията се разшири до x = 2, стойността на дясната функция се намалява до минус на несъответствието (правата линия x = 2 е вертикалната асимптота), а когато абсцисата се разшири до плюс несъответствие, стойността на функцията асимптотично приблизително до y8 = 3. Графиката на страницата е малка.

Алгоритъм за определяне на най-ниската и най-ниската стойност на непрекъсната функция за задвижване.

Можем да запишем алгоритъм, който позволява да се знае както най-важната, така и най-малко значимата функция за устройство.

1. Знаем района на дестинация за функцията и промяната, които могат да бъдат взети предвид по целия свят.
2. Известно е, че всички точки, в които няма убедителност, са отчаяни и се заемат на първо място (например такива точки се намират във функции с аргумент до знака на модула и във функции на състояние с различен -рационален индикатор). Ако няма такива точки, тогава преминаваме към офанзивната точка.
3. Визуално всички стационарни точки, които могат да се използват при vidrizok. За цялото, когато се доведе до нула, народният език и вибраимото на корена са ярко отхвърлени. Тъй като няма стационарни точки, защото не се консумират по пътя, тогава преминаваме към точката на настъпление.
4. Стойността на функцията се изброява във всички фиксирани точки (като є), в точки, които не са загубени (като є), както и за x = a і x = b.
5. Значението на функцията е вибрамо най-много и най-малко - вонята ще е най-малката и най-малко значимата функция във всеки случай.

Алгоритъмът се разбива, когато прикладът е определен на най-добрата и най-ниската стойност на функцията.

дупето.

Познайте най-добрите и най-малко значимите функции

• на видризка;
• до видризка [-4; -един].

Решение.

Областта на стойността на функцията е всички безфункционални числа, зад винетка нула, tobto. Престъплението е видризка потраляют в полето на стойността.

Знам, че ще използвам следните функции:

Очевидно функцията се губи във всички точки на развитие и [-4; -един].

Стационарните точки са значими от нивото. Нека вземем единичен корен є x = 2. В първия видризок се консумира неподвижна точка.

За първата капка, числовата стойност на функцията в краищата на изхода и в неподвижните точки, така че за x = 1, x = 2 и x = 4:

Otzhe, най-значимата функция достигнете до x = 1 и най-малката стойност - за х = 2.

За друго випадку е номерирано значението на функцията на лишаване в края на видризката [-4; -1] (за да не отмъщавате на същата неподвижна точка):

Решение.

Предимно в областта на определената функция. Квадратният трином в знаменателя на дроба не е виновен за превръщането на нула:

Лесно е да се преразгледа, че всички се намесиха от ума на задачите, за да определят областите на възложената функция.

Нека разграничим функцията:

Очевидно функцията се губи в цялата област.

Познаваме стационарни точки. Изглежда, че се превръща в нула при. Стационарната точка Qia се взема в интервала (-3; 1] и (-3; 2).

И сега е възможно да поставите в кожата точка резултатите с графиката на функцията. Сините пунктирани линии представляват асимптотите.

Като цяло можете да получите най-важните и най-малко важните функции. Алгоритмите, избрани в цялата статистика, ви позволяват да коригирате резултатите с минимум действия. Въпреки това ще има голям брой значителен напредък в растежа и спад на функцията и само когато става въпрос за бизнес за най-добрата и най-малко значимата функция за всеки интервал. Да, картината е ясна и резултатите са добре подготвени.

Екстремумът на функцията е силата на религиозния, местен характер (div. Viznachennya). Не преминавайте към максималната (минималната) от най-много (най-малките) стойности на функцията в затворена зона д.

Viznachennya.Предполага се, че функцията z = f(x, y) Определени и непрекъснати в региона д, май в региона ts_y на китайската частна история. Тоди в целия регион има точки, в които функциите са достъпни повечето и най-малкостойността на първата стойност. Тези точки могат да бъдат разположени в средата на региона или на кордона.

За да знаете коя е най-малко важната функция в затворена зона, трябва:

1) Познайте стационарните точки, roztasovani в средните области, и изчислете стойността на функцията в тези точки.

Уважение. Елате до стационарни точки на точката, в която старата не е прекратена или не е иsnu (yakshо takі є).

2) Познайте стационарните точки в зоната на кордона и изчислете стойността на функцията в тези точки.

3) Да се ​​знае значението на функцията в горните точки - точките на преливане на граничните линии.

4) Най-малко известната стойност на вибрацията е най-голямата и най-малката.

Дупе 1.22.Познайте най-добрите и най-малко значимите функции

z = 2х 2 - xy ++ г 2 + 7хв затворена зона д: –3 х 3, –3 г 3 (фиг. 1.3).

Малък. 1.3. регион doslіdzhennya д

Решение. 1) Известни стационарни точки

Звидси в = –1, х= -2, неподвижна точка М 0 (–2, –1) д, z(М 0) = –7.

2) Doslidzhuєmo функция на кордона на региона, който ще се съхранява в AB, DC, CB, AD.

а) Прави АБ: в= 3 и функцията на машината

z = 2х 2 + 3х + 9 + 7х =

= 2х 2 + 10х + 9, х [–3, 3].

Tsya функция на една квадратна зима.

По силата на стационарните точки на дадената функция:

вече, х = –2,5.

висначаємо zв х = -2.5, а също и в края на видризката [-3, 3]:

z (–2,5; –3) = –3,5; z(– 3, –3) = –3; z(3, –3) = 57,

средно = 3,5, а = 57.

б) Ясно видими слънце:х = 3.

z = y 2 – 3y + 39; в [–3, 3],

= 2y - 3; 2y - 3 = 0 y = 3/2.

известен z(3, 3/2) = , z(– 3, 3) = 15, z(3, 3) = 39.

в) На видризка CD: y = 3, z = 2х 2 + 4х + 9; в [–3, 3],

= –4х + 4 = 0 Þ х = –1; z(–1, 3) = 7, z(– 3, 3) = 15, z(3, 3) = 39;

Лекция 28. Предхождащи до екстремума на функциите на децила на победителите. Umovny екстремум на функциите на decilkoh зимен.

Предварителната обработка на функциите на извънредните промени е процедура на повече сгъване, но процедурата е подобна на тази за функциите на една промяна. Към това, разпръснати с поглед към храната за най-простото и практично приложение на функциите на две зими (Div. Фиг. 1). тук М 1(х 1; y 1), М 2(х 2; y 2), М 3(х 3; y 3) - сочи към екстремума на централната функция. И същата точка М 1і M 3 -сочи към минимума на функцията и точката М 2- точка на максимума. Фигура 1 показва функцията на три петна екстремни, алетични точки, естествено, тя може да бъде повече или по-малко.

Явно по-точно, но също така сочи екстремумът за функцията на две зими.

стойност... функция на максимум(минимум) В точката, която е за be-a point, където да се намира в покрайнините на deyakiy - покрайнините на точката, vikonutsya (). - покрайнините могат да бъдат определени без точки, чиито координати са изпълнени , De - положително достигат малко число.

Извикват се функции за максимум и минимум екстремуми, A - крайна точка.

Хей М 0(х 0; y 0) - точка от всеки екстремум (максимална точка или точка на минимум) на функцията. тоди е справедлив

Теорема 1.

Якшо в точката на екстремум М 0(х 0; y 0) Преглед на лични изгубени і , Тогава обидата на вонята ще струва нула:

2) Сега функцията е ясна . Така че як - функцията е изключително важна, тогава функцията се губи, когато y = y 0, Yaksho спечели іsnu, dorіvnyuє до нула:

(3)

Теоремата е завършена.

Уважаеми, измийте (1) є не са необходимиумовете до екстремум в точката М 0(х 0; y 0) Диференцирайте в цялата точка на функцията. Тобто, не мисли с достатъчно ума на този, който е в точката М 0(х 0; y 0) Функцията ще бъде допълнителен екстремум (максимален хи минимум). Іnkshe изглежда, точка М 0(х 0; y 0), В случай на нарушение на нетърпение (1), є лишени от юношеска възраств точката на екстремум за функцията. Остатъчната история за естеството на такова подозрение в екстремума на точка може да се развие според допълнителните усъвършенствани теореми (индуцирани без виведення):

Теорема 2.(Достатъчно свидетелство за екстремума)

Хей М 0(х 0; y 0) е такава точка в региона дОзначението на функцията, така че тя да е наясно с необходимите условия (1) до екстремума на централната функция. Тобто М 0(х 0; y 0) - увеличена до точката на екстремум. Знаем в точката на числото

(4)

1) Якшо > 0 і > 0 (abo 3> 0в A = 0), Че М 0(х 0; y 0) – насочете към минимална функция .

2) Якшо > 0 і < 0 (abo З<0 в A = 0), Че М 0(х 0; y 0) – точка на максимална функция .

3) Якшо < 0, след това точка М 0(х 0; y 0) – нито петънце от екстремална функция .

4) Якшо = 0, тогава храната ще се покаже като дисплей - задължително е преди края на деня.

Дупето 1.Хей хі в- брой от два нови артикула; p 1 = 8 рубли и p 2 = 10 рубли - цената на единична кожа от партида стоки е приложима; C = 0,01(x 2 + xy + y 2) - функцията на витрата (в рубли) за производството на cich стоки. todі dohіd Рот продажба на стоки в склада R = 8x + 10y(Руб.), И пристигане Псклад (в рубли)

P = R - C = 8х + 10y - 0,01(x 2 + xy + y 2).

знаем, смахнат хі встоки, при пристигане Пще бъде най-много.

1) Списъкът с известни стойности ( Х; в), Підозрілі на екстремум за функцията П:

2) Сега знам, че съм готов за екстремум за функция Пточка М 0(200; 400). За мнозина той е известен в смисъла на tsy, тъй като започва с вирази (4). Така че як

и е добре за всеки ( Х; в), И това означава, i в точки М 0(200; 400), тогава

Така че як и това е смисълът М 0(200; 400) - точка към максимума на функцията П... Пристигане на Тобто Пот продажбите ще бъде максимално при х = 200(Од)і y = 400(Од)аз врата 2800 рубли.

Дупето 2.Познайте точките на екстремума и екстремалната функция

Решение. Qia функция - функцията на две зимни, предназначени за тези хі в, Тобто на целия район hou, І има в кожата и точките на частното в първи ред:

С няколко известни точки от района hou, Підозрілі на екстремум за тази функция:

След това, ако знаете частните функции в различен ред, можете да запишете ротацията за:

Изчислявайки текущите числови стойности на броя на стойностите за кожата от броя на подрастващите до екстремума на точките, можем да разпознаем началото на висновката за точките:

Спек мин.

Спек макс.

Чи не е точка за екстремум.

Чи не е точка за екстремум.

Сега има две екстремни (максимални) стойности на функцията, които започват от два върха на графиката на цялата функция:

Стойността на най-голямата и най-малката стойност на функциите на две зими в затворена зона.

Ясно е, че ще стъпя на задачата. Нехай е деяка без прекъсване във функцията на двама зимни хора, които се виждат в затворена зона, де - вътрешната част на района, и г- її граница (фиг. 8.6).

Тези, чиято функция не е прекъсната в областта, което означава, че графиката на цялата функция (повърхността в откритото пространство) е засмукващата (без разрив) повърхност за всеки. Разбирането на непрекъснатата функция на две миньони е аналогично на разбирането на непрекъснатата функция на едно и също. И двете функции на една промяна, функциите на двама мъже, създадени с елементарни функции, без прекъсване за всички значения на техните аргументи, за всяка воня на стойност. Има три функции, които са по-важни.

Обръщайки се към фиг. 2. Възможно снабдяване с храна: в някои точки от региона функцията за достигане на най-високата и най-ниската стойност z naibі z naim? Какво означава? Забележително е, че задачата е подобна на тази, че е разгледана за функцията на една промяна, че е разгледана затворен изглед [ а; б] ос ох.

Очевидно точките от региона, в които функциите на обхвата на тяхната най-голяма и най-малка стойност, се намират или в средата на точките до екстремума на централната функция, които се намират в средните области (в областта ), или да се намира тук на кордона г tsy galuzy. В затворена област е лесно да се познаят такива точки (теорема на Вайерщрас). И на открито (без кордон г) Може да няма такива точки.

От казаното vishche viplivaє гадно диаграма на znakhodzhennya qih точки, Това е подобно на това, което е wikladen за функциите на една промяна.

1. Известно е, че всеки е податлив на екстремума на точката на функция, която се намира в областта д... Tse - тези точки, в които обидата частни, стари и водещи до нула (или едно е скъпо до нула, а іnsha не е іnu, или обидата не е иsnuyu).

2. Известно е, че всеки е податлив на екстремума на функционалната точка, която се намира на кордона. гобласти. В присъствието на vikoristovu mo rivnyannya кордон г.

3. Не е възможно да се знае в точки 1 и 2 от точката (цената), известна е стойността на функцията във всички известни точки на възрастта и от тях, zбъдете най-големите и най-малките.

Дупето 3.зная z naibі z naimфункции да гледат в затворена зона, която представлява триъгълна плоча с върхове О(0; 0), А(1; 0), Б(0; 1) (фиг. 3).

Решение. Viconaєmo Vicladenu vische diagram.

1. Познаваме цялата среда на триколката (в региона д) Точки, взети от екстремума за нашата функция z... За широк спектър от източници знаем за следното:

Можете да броите (възможно е да преброите) за всеки (X; y)... Отже, в точки, подозрение за екстремум, ще бъде лишено от това, за тези обидни и частни, загубени на нула:

Въпросът очевидно е да се проследи района д(Оскилки вин погледна трикутника). Tobto vona - дозирано в точката на екстремум за дадена функция zвсички в средата на трикота, а там има само едно.

2. Сега знаем точката, на екстремума, на кордона на триколката.

а) Doslіdzhuєmo с колекция от dilyanka ОАМежи ( в= 0; £ 0 х£ 1). При ци дилянци - функцията на една смяна х... За всички хÎ. Към това, неговите екстремни функции zможе би mati, abo в точки, de, tobto в точки или в края на ОА, Tobto в точки относно(0; 0) і А(1; 0).

б) Doslіdzhuєmo сега dіlyanka ОВмежи трикутник (там х= 0; £ 0 в£ 1). При функцията tsіy dіlyantsі (0 £ в£ 1) - функция на една промяна в... Многократно mirkuvannya точка (а), тя идва до visnovka, със собствена екстремална функция zможе би мати, или в точката, или в краищата на ОВ, Tobto в точки относно(0; 0) і Б(0; 1).

в) Нарешти, dolzhuєmo dilyanka АБМежи. Така че върви АБ(Прекоси към tsomu) y = - x + 1 (0 £ х£ 1), след това има функцията z nabuvaє viglyadu: (0 £ х£ 1). Той е обхиден, поради изключителното си значение на функцията zможете да го достигнете в точка, de, tobto в точка или в края на АБ, Tobto в точки Аі V.

Otzhe, нов набор от pidosrilh на екстремалните точки на функцията
в триколка OAVтакъв:

; ; ; ; ; ; .

3. И сега знаем значението на функцията zпри всички известни точки и вибрации стойността е най-значима z naibнай-малко ценя z naim:

В такъв ранг, z naib = 3 и достигнете функцията zв триколка OAVнаведнъж в две точки - на двата върха Аі V... И тя може да стигне до функцията zв триколка OAVвъв вътрешната точка.

Дупето 4.Бюджетът на града няма повече жизненост за социалния живот от 600 милиона рубли; Средната цена на един апартамент в кабината с пет горни части ще струва 400 хиляди рубли, а в кабината с девет върха - 500 хиляди рубли. Колко от петте и деветте от най-добрите къщи са виновни за неправилното посочване на максималния брой апартаменти?

Решение.Хей х- shukana брой пет върхови сгради, y -девет отгоре и z -безброй апартаменти в cikh сепарета:

z = 90х + 120г

Партньорство на всички апартаменти в сепарета с пет горни части в склад 90 × 0,4 х = 36хмилиона рубли, а в девет горни 120 × 0,5 в = 60вмилиона рубли Известен е с умовете на майстора на maєmo:

0 £ х£ 10; £ 0 в£ 8; 36 х + 60в£600

Dani obezhuvalny nervosti vikonuyutsya, очевидно, в пет-kutnik (фиг. 4). В затворена зона е необходимо да се знае точката M (x; y), За всяка функция z = 90х + 120гприемете най-голямата стойност z naib.

Realizumo vicladenu vishche схема на такъв вид създаване.

1. Известно е, че цялата среда на точката пет четвърти е податлива на екстремум за функцията z... Така че як , І cі private іdnі вероятно не стига до нула, тогава сме стигнали до екстремума от точки в средата на петгодишния маршрут.

2. Знаем точките, п_дозр_ли на екстремума, на кордоните на пятикутника. На кожата s n'yadrizkiv, как да се установи кордона на пятикутника, функцията z- функция на линията на ум z = ax + byИ от същото това е най-голямата и най-малката стойност, до която можете да стигнете по кордоните на видризкив. Тобто шукане е най-голямата ценност z naibфункция zдостигнете в една от горните точки (О; А; М 1; М 2; Б)... изчисляване на стойности zв qix точки, отримаем:

z(относно) = 0; z ( А) = 960; z ( М 1) = 1260; z ( М 2) = 1380; z ( Б) = 900.

Този ранг z naim= 1380 и посегнете към точката М 2(10, 4). Към най-голям брой апартаменти (1380) в града ще има 10 пет и 4 девет апартамента.

дупе 5... За да изведете от най-добрите трицити колко датският периметър е 2p, най-квадратният е едностранният триъгълник M (2p / 3, 2p / 3), така че тези точки да не са доволни от набора от задачи: вие не може да има периметъра на двустранната врата ...

Doslidzhuєmo до крайна точка M (2p / 3, 2p / 3):

∂ 2 f / ∂x 2 = -2p (p-y); ∂ 2 f / ∂x∂y = p (2x + 2y-3p); ∂ 2 f / ∂y 2 = -2p (p-x);

D = AC-B 2 =;

D> 0И това А<0 След това в предварителните точки на функцията се достига максимума. Отже, в единичната стационарна точка функцията е постижима максимално и до тази с най-голяма стойност; такъв ранг, с x = 2p / 3, y = 2p / 3функция на обхват и с най-голяма стойност. Але Тоди z = 2p-x-y = 2p / 3... И това x = y = zТоя трикутник е равностранен.

Функции на зимните стикери

1. Основни ценности

Стойност 1.Изглежда, че двойката кожа (x; y) е стойността на промяната x и y, така че лицето без двойката D, задаващо едно и само едно число zÎR, се нарича функция на две вина, което означава z f ( x; y). D = D (f) е областта на областта на функцията f.

2. Частно и в допълнение към увеличаването на функциите на две зими

Тъй като във функцията z = f (x; y) две промени x и y за фиксиране на стойността на една от тях, например y = y 0, тогава можем да приемем функцията z = f (x; y 0), така че че може да се намери в същата променлива x.

По същия начин, ако фиксираме промяната x = x 0, можем да приемем функцията z = f (x 0; y) на същата промяна.

Стойност 2.Величината D x z = f (x 0 + Dx; y 0) - f (x 0; y 0) се нарича частно zbіlshennyaфункция z = f (x; y) в точка (x 0; y 0) чрез аргумент x.

Стойност 3.Величината D y z = f (x 0; y 0 + Dy) - f (x 0; y 0) се нарича частно zbіlshennyaфункция z = f (x; y) в точка (x 0; y 0) по отношение на аргумента y.

Стойност 4.Величината Dz = f (x 0 + Dx; y 0 + Dy) - f (x 0; y 0) се нарича Да увеличим увеличениетофункция z = f (x; y) в точка (x 0; y 0).

3. Частните функции на двете зими

Нека на функцията z = f (x; y) са дадени две независими промени x и y. Поправете един от тях, например, vvazayuchi y = const, стигаме до функцията на една промяна x. Тоди може да въведе разбиране за примитивната функция на отриман за x, което е смислено. Струва си да се спомене функционалните функции на същия зимен мамо:

Бизнес стойност 5.Границата на отношението на частното увеличение D x z на функцията z = f (x; y) за промени в x до увеличаването на Dx на промяната в x при Dx, ако паднете до нула, извикайте частно нецензурнофункции на x и да бъдат разпознати; ;

По същия начин да започне и да означава частно откраднатфункция z = f (x; y) според промените в y.

Дупето 1.Познайте частните функции:

1.f (x; y) = x 3 + x 2 y 2 + y 3 + 3;

2.z = x y + y x.

Решение

1. Vazhayuchi y = const, i vazhayuchi при същата x независима промяна, ние знаем

По същия начин с x = const, обсебен .

2. За y = const

;

при x = const

Всичко, което беше казано, може да се разшири върху функцията на произволен брой миньони.

Дупето 2.Познайте частните функции

u = f (x; y; z) = cos (x 2 + y 2 + z 2).

Решение

Sin (x 2 + y 2 + z 2) × 2x, y = const, z = const;

Sin (x 2 + y 2 + z 2) × 2y, x = const, z = const;

Sin (x 2 + y 2 + z 2) × 2z, x = const, y = const.

Осцилациите на частните стари са от функциите на децилите на зимните, както и функциите на децилите на зимните, тогава за тях също е възможно да се изброят частните. Наричат ​​го частни стари поръчки.

Например, за функцията f (x; y) има два вида и типа по-стари в различен ред:

- приятел, отвлечен от х;

і = - промяна на част от загубеното

- приятел е отвлечен от y.

4. Външен диференциал на функцията на две

Стойност на бизнеса 6.Нека наречем главната част на общото увеличение на Dz, линията по отношение на увеличаването на аргументите Dx и Dy, като диференциал на функцията z = f (x; y) на две промени x и y.

По отношение на факта, че Dx = dx и Dy = dy, вторичният диференциал на функцията z = f (x; y) може да се изчисли по формулата

Дупето 3.Изчислете новата диференциална функция

z = ln (x 2 + y 2).

Решение. Ние знаем поверителността на старите и дадени функции

Заместването във формула (3.5) е

dz =

Познайте частните функции

284. z = x 2 + 2xy + y 2 + 5 285. z = (x + y) 3

286. z = 287. z =

288. z = x 3 y - y 3 x 289. z = 2y

290. z = x y ln (x + y) 291. z = ln

292. z = ln + ln x y 293. z =

294. z = e y / x - e x / y 295. z = x y + sin

296. z = sin (x 2 y + xy 2) 297. z = y x + арктан

Познайте поверителността на различна поръчка

298. z = x 4 + 4x 2 y 3 + 7xy + 1 299. z = x 2 y

300.z = 4x 3 + 3x 2 y + 3xy 2 - y 3 301.z = xy + sin (x + y)

302. z = sin x cos y 303. z =

304.z = xe y 305. z = x + y +

306. z = x 2y 307. z = ln (x + e xy)

Ревизия, счо

308. z = 309. z = ln (x - 2y)

310. z = 311. z = x 2 sin

312. z = 313. z = арктан

Познайте новия функционален диференциал

314.z = xy 3 - 3x 2 y 2 + 2y 4 +1 315. z = 3x 2 y 5

316. z = sin (x 2 + y 2) 317. z = x y

318. z = e xy 319. z = e x cos y

320.z = e y cos x 321.z = cos + sin

5. Екстремални функции на две зими

Основни ценности

Стойност 1.Точката М (x 0; y 0) се нарича точката на максимума (минимума) на функцията z = f (x; y), тъй като е близо до точката M, така че за всички точки (x; y) липсва прозрение:

f (x 0; y 0) ³ f (x; y), .

Теорема 1 (Трябва да се мисли за екстремум) ... Ако функцията z = f (x; y) е диференцирана, тя е постижима до екстремума в точка M (x 0; y 0), то нейните частни са от първи ред в tse точките, така че ;

Точките, в някои частни, се свеждат до нула, извикват се стационарен abo критични точки.

Теорема 2 (Достатъчност на ума за екстремум)

Нека функцията z = f (x; y):

а) е посочено в деяком близо до точката (x 0; y 0), в як і;

б) може да се използва в една и съща точка без прекъсване на личните данни в различен ред

;

Тоди, ако D = АС - B 2> 0, то в точката (x 0; y 0) функцията z = f (x; y) има екстремум, освен това, ако А< 0 (или С < 0) – максимум, если А >0 (abo C> 0) - минимум. В моменти D = AC - B 2< 0, функция z = f(x; y) экстремума не имеет. Если D = AC - B 2 = 0, то требуется дальнейшее исследование (сомнительный случай).

Дупето 1.Познайте екстремума на функцията z = x 2 + xy + y 2 - 3x - 6y.

Решение. Ние знаем първия ред на поверителност:

Използвайте с необходимия ум и екстремум:

Virіshuyuchi система rіvnyany, ние знаем координатите x и y стационарни точки: x = 0; y = 3, тоест M (0; 3).

Има номерирани частни от различен ред и знаем тяхното значение в точка М.

A = = 2; C = = 2;

В известен смисъл дискриминантът D = AC - B 2 = 2 × 2 - 1> 0, A = 2> 0. Тогава в точка M (0; 3) функцията е зададенамає минимум. Стойността на функцията в точка z min = -9.

Познайте екстремалните функции

322. z = x 2 + y 2 + xy - 4x - 5y 323. z = y 3 - x 3 - 3xy

324. z = x 2 - 2xy + 4y 3 325. z = - y 2 - x + 6y

326. z = x y (1 - x - y) 327. z = 2xy - 4x - 2y

328. z = e - x / 2 (x + y 2) 329. z = x 3 + 8y 3 - 6xy + 1

330.z = 3x 2 y - x 3 - y 4 331.z = 3x + 6y - x 2 - xy + y 2

Повечето и най-малко важни функции на две зими

В затворена зона

За да се знае повечетоі най-малкотозначението на функцията в затворената зона, изискването:

1) да се знаят критичните точки, roztasvani в дадена област, и да се изчисли стойността на функцията в тези точки;

2) да се познават критичните точки на кордона на района и да се изчислят най- и най-малко значимите функции в тях;

3) от най-малко известната стойността на вибрацията е най-голяма и най-малка.

Дупето 2.Познайте най-добрата и най-малко значимата функция z = в число x 2 + y 2 £ 1.

Решение. Знаем координатите на критичните точки, които са разположени в средата на дадената област, за които е възможно да се изчислят частните функции от първи порядък до нула.

звезди x = 0, y = 0 і, също така, М (0; 0) е критична точка.

Числовата стойност на функцията z в точката M (0; 0): z (0; 0) = 2.

Известно е, че критичните точки на зоната на кордона - окръжността, дадена на равно x 2 + y 2 = 1. При условие 2 = 1 - x 2 във функцията z = z (x; y), могат да бъдат разпознати чрез функцията на една промяна

z = ;

където xÎ [-1; едно].

номериран изгубен като го зададем на нула, можем да отнеме критични точки от зоната на кордона x 1 = 0, x 2 =, x 3 =

Знаем стойността на функцията z (x) = в критичните точки и в краищата на пътя [-1; 1]: z (0) =; =; ; z (-1) =; z (1) =

Най-голямата и най-малката средна стойност на функцията z е в критични точки, разпръснати в средата и на кола кордона.

Otzhe, z naib. = Z (0; 0) = 2

z naymenuwan. = z

умен екстремум

Стойност 2.Нека премахнем екстремума на функцията z = f (x; y), за да се нарече екстремум на цялата функция, достигайки до ума, за промяна на x и y, плетейки равното j (x; y) = 0 (равно връзка). , Y =.

В такъв ранг хипотезата е от най-малко значение, като краката на триколката ривни между себе си.

Познайте най-добрите и най-малко значимите функции:

332. z = x 2 - xy + y 2 - 4x в затворена област, заобиколена от линии x = 0, y = 0, 2x + 3y - 12 = 0.

333. z = xy + x + y в квадрата, заобиколен от прави линии x = 1, x = 2, y = 2, y = 3.

334.z = x 2 + 3y 2 + x - y в триколка, заобиколена от прави линии x = 1, y = 1, x + y = 1.

335.z = sin x + sin y + sin (x + y) в областта і 0 £ x £, 0 £ y £.

336.z = xy в число x 2 + y 2 £ 1.

337.z = 1 - x 2 - y 2 на брой (x - 1) 2 + (y - 1) 2 £ 1.

338.z = x 2 + y 2 в число (x -) 2 + (y -) 2 £ 9.

339. Познайте екстремума на функцията z = x 2 + y 2, ако x и y са свързани с едно и също = 1.

340. Три триколки, където е периметърът на P, знаят най-големия за района.

341. От дадена област S да се знае периметърът на най-малката стойност.

342. Визуално размерът на открития басейн с обем V, така че мога да назова повърхността.

343. Да се ​​знае размерът на правоъгълен паралелепипед, на който може да се даде максимална повърхност S, когато е дадена върху повърхност.

344. Визуално размерът на цилиндъра е най-добрият за дренажа, повърхността е S = 6p.

* Pid разбирам непрозрачності избягванеграфика на функциите на интелигентността непрозрачност нагоре по хълмаі надолусъс сигурност.