Які методи існують для вирішення рівняння теплопровідності. Теплопровідність. математичний опис, приватні задачі теплопровідності. Рішення алгебраїчних рівнянь методом Ньютона
АНАЛІТИЧНІ МЕТОДИ РІШЕННЯ РІВНЯННЯ ТЕПЛОПРОВІДНОСТІ
В даний час аналітичним шляхом вирішено дуже велика кількістьодновимірних задач теплопровідності.
А.В.Ликов, наприклад, розглядає чотири методи вирішення рівняння теплопровідності в умовах одновимірної задачі: метод поділу змінних, метод джерел, операційний метод, метод кінцевих інтегральних перетворень.
Надалі зупинимося тільки на першому методі, який отримав найбільше поширення.
Метод розділення змінних при вирішенні рівняння теплопровідності
Диференціальне рівняння теплопровідності в умовах одновимірної задачі і без джерел теплоти має вигляд
T /? Ф = a? 2 t /? X 2. (3.1)
Це рівняння є окремим випадком однорідного диференціального рівняння з постійними коефіцієнтами для деякої функції t від двох змінних x і ф:
Легко перевірити, що приватним рішенням цього рівняння буде вираз
t = C exp (бx + ВФ). (3.3)
дійсно:
- ? T /? X = бС ехр (бx + ВФ) ;? t /? Ф = ВС ехр (бx + ВФ);
- ? 2 t /? X 2 = б 2 З ехр (бx + ВФ);
- ? 2 t /? Ф 2 = в 2 З ехр (бx + ВФ) ;? 2 t / (? X? Ф) = БВС ехр (бx + ВФ). (3.4)
Спільне рішення останніх семи рівнянні дає
a 1 б 2 + b 1 бв + c 1 в 2 + d 1 б + l 1 в + f 1 = 0. (3.5)
Останнє рівняння називається рівнянням коефіцієнтів.
Переходячи до рівняння (3.1) зіставляючи його з рівнянням (3.2), робимо висновок, що
b 1 = c 1 = d 1 = f 1 = 0; a 1 = - a; l 1 = 1. (3.6)
Рівняння коефіцієнтів (3.5) для окремого випадку рівняння (3.1) набуває вигляду
Б 2 a + в = 0 (3.7)
в = б 2 a. (3.8)
Таким чином, приватне рішення (3.3) є інтегралом диференціального рівняння (3.1) і з урахуванням (3.8) набуде вигляду
t = C exp (б 2 AФ + бx). (3.9)
У цьому рівнянні можна задавати будь-які значення чисел для C, б, a.
Вираз (3.9) може бути представлено у вигляді твору
t = C exp (б 2 AФ) exp (бx), (3.10)
де співмножник exp (б 2 AФ) є функцією лише часу ф, а співмножник exp (бx) - тільки відстані x:
exp (б 2 AФ) = f (ф); exp (бx) = ц (x). (3.11)
Зі збільшенням часу ф температура у всіх точках безперервно зростає і може стати вище наперед заданої, що в практичних завданнях не зустрічається. Тому зазвичай беруть лише такі значення б, при яких б 2 негативно, що можливо при б чисто уявної величиною. приймемо
б = ± iq, (3.12)
де q - довільне дійсне число (раніше значком q позначали питомий тепловий потік),
У цьому випадку рівняння (3.10) набуде такого вигляду:
t = C exp (- q 2 AФ) exp (± iqx). (3.13)
Звертаючись до відомої формули Ейлера
exp (± ix) = cos x ± i sin x (3.14)
і, користуючись нею, перетворимо рівняння (3.13). Отримаємо два рішення в комплексному вигляді:
Підсумовуємо ліві і праві частини рівнянь (3.15), потім відділимо дійсні від уявних частин в лівій і правій частинах суми і прирівняємо їх відповідно. Тоді отримаємо два рішення:
Введемо позначення:
(C 1 + C 2) / 2 = D; (C 1 - C 2) / 2 = C (3.17)
тоді отримаємо два рішення, що задовольняють диференціальних рівнянь теплопровідності (3.1):
t 1 = D exp (- q 2 AФ) cos (qx); t 2 = C exp (- q 2 AФ) sin (qx). (3.18)
Відомо, що якщо шукана функція має два приватних рішення, то і сума цих приватних рішень буде задовольняти вихідного диференціального рівняння (3.1), т. Е. Рішенням цього рівняння буде
t = C exp (- q 2 AФ) sin (qx) + D exp (- q 2 AФ) cos (qx), (3.19)
а загальне рішення, яке задовольняє цьому рівнянню, можна записати в наступному вигляді:
Будь-які значення q m, q n, C i, D i в рівнянні (3.20) будуть задовольняти рівняння (3.1). Конкретизація у виборі цих значень буде визначатися початковими і граничними умовами кожної приватної практичного завдання, причому значення q m і q n визначаються з граничних умов, а C i, і D i, - з початкових.
Крім загального рішення рівняння теплопровідності (3.20) в якому має місце твір двох функцій, одна з яких залежить від x, а інша - від ф, існують ще рішення, в яких такий поділ неможливо, наприклад:
Обидва рішення задовольняють рівняння теплопровідності, в чому легко переконатися, продифференцировав їх спочатку по ф, а потім 2 рази по x і підставивши результат в диференціальне рівняння (3.1).
Приватний приклад нестаціонарного температурного поля в стінці
Розглянемо приклад застосування отриманого вище рішення.
Початкові дані.
- 1. Дана бетонна стінка товщиною 2X = 0,80 м.
- 2. Температура навколишнього стінку середовища і = 0 ° С.
- 3. У початковий момент часу температура стінки в усіх точках F (x) = 1 ° C.
- 4. Коефіцієнт тепловіддачі стінки б = 12,6Вт / (м 2 · ° С); коефіцієнт теплопровідності стінки л = 0,7Вт / (м · ° С); щільність матеріалу стінки з = 2000кг / м 3; питома теплоємність c = 1,13 · 10 3 Дж / (кг · ° С); коефіцієнт температуропровідності a = 1,1 · 10 -3 м 2 / год; відносний коефіцієнт тепловіддачі б / л = h = 18,0 1 / м. Потрібно визначити розподіл температури в стінці через 5 годин після початкового моменту часу.
Рішення. Звертаючись до спільного рішення (3.20) і маючи на увазі, що початкова і наступні розподілу температури симетричні щодо осі стінки, робимо висновок, що ряд синусів в цьому спільному вирішенні відпадає, і при x = Х воно матиме вигляд
Значення визначені з граничних умов (без додаткових тут пояснень) і приведені в табл.3.1.
Маючи в своєму розпорядженні значеннями з табл.3.1, знаходимо шуканий ряд значень за формулою
Таблиця 3.1 Значення функцій, що входять в формулу (3.24)
|
|
|
|
|
т. е. Д1 = 1,250; Д2 = - 0,373; Д3 = 0,188; Д4 = - 0,109; Д5 = 0,072.
Початковий розподіл температури в даній стінці придбає такий вигляд:
Щоб отримати розрахункове розподіл температури через 5 годин після початкового моменту, необхідно визначити ряд значень на час через 5 ч. Ці розрахунки виконані в табл.3.2.
Таблиця 3.2 Значення функцій, що входять в формулу (3.23)
|
A = (q ni X) 2 (AФ / X 2) |
|||||
Остаточне вираз для розподілу температури в товщі стінки через 5 годин після початкового моменту
На рис.3.1 показано розподіл температури в товщі стінки на початковий момент часу і через 5 ч. Поряд із загальним рішенням тут же зображені і приватні, причому римськими цифрами вказані приватні криві, що відповідають послідовним складовою рядів (3.25) і (3.26).
Рис.3.1.
При вирішенні практичних завдань зазвичай немає необхідності визначати температуру в усіх точках стінки. Можна обмежитися розрахунком температури лише для якої-небудь однієї точки, наприклад для точки в середині стінки. У цьому випадку обсяг обчислювальних робіт за формулою (3.23) значно скоротиться.
Якщо початкова температура в розглянутому вище випадку одно не 1 ° С, а Т с, то рівняння (3.20) набуде вигляду
Рішення рівняння теплопровідності при різних граничних умовах
Не будемо наводити послідовний хід рішення рівняння теплопровідності при інших граничних умовах, які мають практичне значення у вирішенні деяких завдань. Нижче обмежимося лише формулюванням їх умов з показом наявних готових рішень.
Початкові дані. Стінка має товщину 2 Х. У початковий момент у всіх її точках, крім поверхні, температура Т с Температура на поверхні 0 ° С утримується протягом усього розрахункового періоду.
Потрібно знайти t = f (x, ф).
Нерухоме водосховище вкрилося кригою при температурі найбільшої щільності води (Т з = 4 ° С). Глибина водосховища 5м (Х = 5 м). Розрахувати температуру води у водосховищі через 3 місяці після льодоставу. Температуропроводності нерухомою води a = 4,8 · 10 -4 м 2 / год. Тепловий потік у дна, т. Е. При x = 0, відсутній.
Протягом розрахункового періоду (ф = 3 · 30 · 24 = 2160ч) температура на поверхні утримується постійною і рівною нулю, т. Е. При x = Х Т п = 0 ° С. Весь розрахунок зводимо в табл. 3 і 4. Ці таблиці дозволяють обчислити значення температури через 3 місяці після початкового моменту для глибин у дна, а потім вище через 1 м, т. Е. T 0 (дно) = 4 ° С; t 1 = 4 ° С; t 2 = 3,85 ° С; t 3 = 3,30 ° С; t 4 = 2,96 ° С; t 5 (пов) = 0 ° С.
Таблиця 3.3
Таблиця 3.4
Як бачимо, в абсолютно нерухомій воді температурні обурення вельми повільно проникають всередину. У природних умовах у водоймах під крижаним покривом завжди спостерігаються течії або гравітаційні (проточні), або конвективні (разноплотностние), або, нарешті, викликані надходженням грунтових вод. Все різноманіття зазначених природних особливостей слід враховувати при практичних розрахунках, а рекомендації до цих розрахунків можна знайти в посібниках і в роботах К.І.Россінского.
Тіло обмежена з одного боку (напівплощина). У момент часу ф = 0 в усіх точках температура тіла дорівнює Т с. Для всіх моментів часу ф> 0 на поверхні тіла підтримується температура Т п = 0 ° С.
Потрібно знайти розподіл температури в товщі тіла і втрату теплоти через вільну поверхнюяк функцію часу: t = f (x, ф),
Рішення. Температура в будь-якій точці тіла і в будь-який момент часу
де є інтеграл Гаусса. Його значення в залежності від функції дані в табл.3.5.
Таблиця 3.5
Практично рішення починається з визначення відносини, в якому х і ф задані в умові завдання.
Кількість теплоти, що втрачається одиницею поверхні тіла в навколишнє середовище, визначається за законом Фур'є. За весь розрахунковий період з початкового моменту до розрахункового
У початковий момент часу температура грунту від поверхні до значної глибини була постійною і рівною 6 ° С. У цей момент температура на поверхні грунту впала до 0 ° С.
Потрібно визначити температуру ґрунту на глибині 0,5 м через 48 год при значенні коефіцієнта температуропровідності ґрунту a = 0,001 м 2 / год, а також оцінити кількість теплоти, що втрачається поверхнею за цей час.
За формулою (3.29) температура ґрунту на глибині 0,5 м через 48 год t = 6 · 0,87 = 5,2 ° С.
Загальна ж кількість теплоти, втраченої одиницею поверхні грунту, при коефіцієнті теплопровідності л = 0,35 Вт / (м · ° С), питомої теплоємності c = 0,83 · 10 3 Дж / (кг · ° С) і щільності з = 1500 кг / м 3 визначимо по формулі (3.30) Q = l, 86 · 10 6 Дж / м 2.
інтегральний теплопровідність теплота тіло
рис.3.2
Внаслідок деякого зовнішнього впливу температура поверхні тіла, обмеженого з одного боку (напівплощина), зазнає періодичні коливання близько нуля. Будемо вважати, що ці коливання гармонічні, т. Е. Температура поверхні змінюється по косинусоид:
де - тривалість коливання (період), T 0 - температура поверхні,
T 0 макс - її максимальне відхилення ,.
Потрібно визначити температурне поле як функцію часу.
Амплітуда коливань температури змінюється з x по наступному закону (рис.3.2):
Приклад до завдання № 3. Зміна температури на поверхні сухому піщаному грунту протягом року характеризується косинусоидальной ходом. Середня річна температура при цьому дорівнює 6 ° С при максимальних відхиленнях від середньої влітку і взимку, що досягають 24 ° С.
Потрібно визначити температуру ґрунту на глибині 1 м в момент, коли температура на поверхні дорівнює 30 ° С (умовно 1 / VII).
Вираз косинусоид (3.31) стосовно до даного випадку (температурі поверхні) при T 0 макс = 24 0 С набуде вигляду
Т 0 = 24 cos (2рф / 8760) + 6.
З огляду на те, що поверхня ґрунту має середню річну температуру 6 ° С, а не нуль, як в рівнянні (3.32), розрахункове рівняння прийме наступний вигляд:
Прийнявши для грунту коефіцієнт температуропровідності a = 0,001 м 2 / год і маючи на увазі, що за умовами задачі необхідно визначити температуру на кінець розрахункового періоду (через 8760 год від початкового моменту), знайдемо
Розрахункова вираз (3.34) набуде такого вигляду: t = 24E -0,6 · 0,825 + 6 = 16,9 ° С.
На тій же глибині 1м максимальна амплітуда річного коливання температури, відповідно до виразу (3.33), складе
T 1 макс = 24E -0,6 = 13,2 ° С,
а максимальна температура на глибині 1 м
t 1 макс = T x макс + 6 = 13,2 + 6 = 19, 2 ° С.
На закінчення відзначимо, що розглянуті завдання і підходи можуть бути використані при вирішенні питань, пов'язаних з випуском теплої водиу водойму, а також при хімічному методі визначення витрати води і в інших випадках.
Рівняння теплопровідності для нестаціонарного випадку
нестаціонарним, Якщо температура тіла залежить як від положення точки, так і від часу.
позначимо через і = і(М, t) Температуру в точці Моднорідного тіла, обмеженого поверхнею S, В момент часу t. Відомо, що кількість теплоти dQ, Що поглинається за час dt, Виражається рівністю
де dS- елемент поверхні, k- коефіцієнт внутрішньої теплопровідності, - похідна функції іу напрямку зовнішньої нормалі до поверхні S. Так як поширюється в напрямку зниження температури, то dQ> 0, якщо> 0, і dQ < 0, если < 0.
З рівності (1) випливає
тепер знайдемо Qіншим способом. виділимо елемент dVобсягу V, Обмеженого поверхнею S. кількість теплоти dQ, Одержуваної елементом dVза час dt, Пропорційно підвищенню температури в цьому елементі і масі самого елемента, тобто
де щільність речовини, коефіцієнт пропорційності, званий теплоємністю речовини.
З рівності (2) слід
Таким чином,
де. З огляду на, що =,, отримаємо
Замінюючи праву частину рівності за допомогою формули Остроградського - Гріна, отримаємо
для будь-якого обсягу V. Звідси отримуємо диференціальне рівняння
яке називають рівнянням теплопровідності для нестаціонарного випадку.
Якщо тіло є стрижень, спрямований по осі Ох, То рівняння теплопровідності має вигляд
Розглянемо задачу Коші для таких випадків.
1. Випадок необмеженого стрижня.Знайти рішення рівняння (3) ( t> 0,), що задовольнить початковому умові. Використовуючи метод Фур'є, отримаємо рішення у вигляді
- інтеграл Пуассона.
2. випадок стрижня, обмеженого з одного боку.Рішення рівняння (3), що задовольнить початковому умові і крайовій умові, виражається формулою
3. випадок стрижня, обмеженого з двох сторін.Завдання Коші полягає, щоб при х= 0 і х = lзнайти рішення рівняння (3), що задовольнить початковому умові і двом крайовим умовам, наприклад, або.
В цьому випадку приватне рішення шукається у вигляді ряду
для крайових умов,
і у вигляді ряду
для крайових умов.
Приклад.Знайти рішення рівняння
задовольняє початковим умовам
і крайовим умовам.
□ Рішення задачі Коші будемо шукати у вигляді
Таким чином,
Рівняння теплопровідності для стаціонарного випадку
Розподіл тепла в тілі називають стаціонарним, Якщо температура тіла ізалежить від положення точки М(х, у, z), Але не залежить від часу t, Тобто
і = і(М) = і(х, у, z).
В цьому випадку 0 і рівняння теплопровідності для стаціонарного випадку звертається в рівняння Лапласа
яке часто записують у вигляді.
щоб температура ів тілі визначалася однозначно з цього рівняння, потрібно знати температуру на поверхні Sтіла. Таким чином, для рівняння (1) крайова задача формулюється наступним чином.
знайти функцію і, Що задовольняє рівняння (1) всередині обсягу Vі приймаючу в кожній точці Мповерхні Sзадані значення
Це завдання називається завданням Дирихлеабо першій крайовій завданнямдля рівняння (1).
Якщо на поверхні тіла температура невідома, а відомий тепловий потік в кожній точці поверхні, який пропорційний, то на поверхні Sзамість крайового умови (2) будемо мати умова
Завдання знаходження рішення рівняння (1), який задовольняє крайовій умові (3), називається завданням Нейманаабо другий крайової завданням.
Для плоских фігур рівняння Лапласа записується у вигляді
Такий же вигляд має рівняння Лапласа і для простору, якщо іне залежить від координати z, Тобто і(М) Зберігає постійне значення при переміщенні точки Мпо прямій, паралельної осі Oz.
Заміною, рівняння (4) можна перетворити до полярних координат
З рівнянням Лапласа пов'язано поняття гармонійної функції. функція називається гармонійноїв області D, Якщо в цій області вона неперервна разом зі своїми похідними до другого порядку включно і задовольняє рівняння Лапласа.
Приклад.Знайти стаціонарний розподіл температури в тонкому стрижні з теплоизолированной бічною поверхнею, якщо на кінцях стержня,.
□ Маємо одновимірний випадок. Потрібно знайти функцію і, Що задовольняє рівняння і крайовим умовам,. Загальне рівняння зазначеного рівняння має вигляд. З огляду на крайові умови, отримаємо
Таким чином, розподіл температури в тонкому стрижні з теплоизолированной бічною поверхнею лінійно. ■
Завдання Дирихле для кола
Нехай дано коло радіуса Rз центром в полюсі Прополярної системи координат. Треба знайти функцію, гармонійну в колі і задовольняє на його окружності умові, де - задана функція, Безперервна на окружності. Шукана функція повинна задовольняти в колі рівняння Лапласа
Використовуючи метод Фур'є, можна отримати
- інтеграл Пуассона.
Приклад.Знайти стаціонарний розподіл температури на однорідної тонкої круглої пластинки радіусу R, Верхня половина підтримується при температурі, а нижня - при температурі.
□ Якщо, то, а якщо, то. Розподіл температури виражається інтегралом
Нехай точка расположеіа в верхньому півколі, тобто ; тоді змінюється від до, і цей інтервал довжини не містить точок. Тому введемо підстановку, звідки,. тоді отримаємо
Так права частина негативна, то іпри задовольняє нерівностям. Для цього випадку отримуємо рішення
Якщо ж точка розташована в нижньому півколі, тобто , То інтервал зміни містить точку, але не містить 0, і можна зробити підстановку, звідки,, Тоді для цих значень маємо
Провівши аналогічні перетворення, знайдемо
Так як права частина тепер позитивна, то. ■
Метод кінцевих різниць для розв'язання рівняння теплопровідності
Нехай потрібно знайти рішення рівняння
задовольняє:
початковій умові
і крайовим умовам
Отже, потрібно знайти рішення рівняння (1), що задовольняє умовам (2), (3), (4), тобто потрібно знайти рішення в прямокутнику, обмеженому прямими,,,, якщо задані значення шуканої функції на трьох його сторонах,,.
Побудуємо прямокутну сітку, утворену прямими
- крок уздовж осі Ох;
- крок уздовж осі Оt.
Введемо позначення:
З поняття кінцевих різниць можна записати
аналогічно
З огляду на формули (6), (7) і введені позначення, запишемо рівняння (1) у вигляді
Звідси отримаємо розрахункову формулу
З (8) випливає, що якщо відомі три значення до k-ом шарі сітки:,,, то можна визначити значення в ( k+ 1) -му шарі.
Початкова умова (2) дозволяє знайти всі значення на прямий; крайові умови (3), (4) дозволяють знайти значення на прямих і. За формулою (8) знаходимо значення у всіх внутрішніх точках наступного шару, тобто для k= 1. Значення шуканої функції в екстремальних точках відомі з граничних умов (3), (4). Переходячи від одного шару сітки до іншого, визначаємо значення шуканого рішення у всіх вузлах сітки. ;
теплопровідність- це один з видів теплопередачі. Передача тепла може здійснюватися за допомогою різних механізмів.
Всі тіла випромінюють електромагнітні хвилі. При кімнатній температурі це в основному випромінювання інфрачервоного діапазону. так відбувається променистий теплообмін.
При наявності поля тяжкості ще одним механізмом теплопередачі в текучих середовищах може служити конвекція. Якщо до судини, що містить рідину або газ, тепло підводиться через днище, в першу чергу прогріваються нижні порції речовини, їх щільність зменшується, вони спливають вгору і віддають частину отриманого тепла верхніх шарів.
При теплопровідності перенос енергії здійснюється в результаті безпосередньої передачі енергії від часток (молекул, атомів, електронів), що володіють більшою енергією, часткам з меншою енергією.
У нашому курсі буде розглядатися передача теплоти шляхом теплопровідності.
Розглянемо спочатку одновимірний випадок, коли температура залежить тільки від однієї координати х. Нехай дві середовища розділені плоскою перегородкою товщини l(Рис. 23.1). температури середовищ Т 1 і Т 2 підтримуються постійними. Досвідченим шляхом можна встановити, що кількість тепла Q, Передане через ділянку перегородки площею Sза час tодно
, (23.1)
де коефіцієнт пропорційності k залежить від матеріалу стінки.
при Т 1 > Т 2 тепло переноситься в позитивному напрямку осі х, при Т 1 < Т 2 - в негативному. Напрямок поширення тепла можна врахувати, якщо в рівнянні (23.1) замінити ( Т 1 - Т 2)/lна (- dT/dx). В одновимірному випадку похідна dT/dxявляє собою градієнт температури. Нагадаємо, що градієнт - це вектор, напрям якого збігається з напрямком найбільш швидкого зростання скалярної функції координат (в нашому випадку Т), А модуль дорівнює відношенню приросту функції при малому зміщенні в цьому напрямку до відстані, на якому це збільшення відбулося.
Щоб надати рівнянь, що описує перенос тепла, більш загальний і універсальний вид, ведемо в розгляд щільність потоку тепла j - кількість тепла, переноситься через одиницю площі в одиницю часу
Тоді співвідношення (23.1) можна записати у вигляді
Тут знак «мінус» відображає той факт, що напрямок теплового потоку протилежно напрямку градієнта температури (напрямку її зростання). Таким чином, щільність потоку тепла є векторною величиною. Вектор щільності потоку тепла спрямований в бік зменшення температури.
Якщо температура середовища залежить від усіх трьох координат, то співвідношення (23.3) набирає вигляду
де 
, - градієнт температури ( е
1 ,е
2 ,е
3 - орт осей координат).
Співвідношення (23.3) і (23.4) являють основний закон теплопровідності (закон Фур'є): щільність потоку тепла пропорційна градієнту температури.Коефіцієнт пропорційності k називається коефіцієнтом теплопровідності(Або просто теплопровідністю). Оскільки розмірність щільності потоку тепла [ j] = Дж / (м 2 с), а градієнт температури [ dT / dx] = К / м, то розмірність коефіцієнта теплопровідності [k] = Дж / (м × с × К).
У загальному випадку температура в різних точкахнерівномірно нагрітої речовини змінюється з плином часу. Розглянемо одновимірний випадок, коли температура залежить тільки від однієї просторової координати хі часу t, І отримаємо рівняння теплопровідності- диференціальне рівняння, якому задовольняє функція T = T(x,t).
Виділимо подумки в середовищі малий елемент об'єму у вигляді циліндра або призми, що утворюють якого паралельні осі х, А підстави перпендикулярні (рис 23.2). Площа підстави S, А висота dx. Маса цього обсягу dm= r Sdx, А його теплоємність c × dmде r - щільність речовини, з- питома теплоємність. Нехай за малий проміжок часу dtтемпература в цьому обсязі змінилася на dT. Для цього речовина в обсязі повинно отримати кількість тепла, яке дорівнює добутку його теплоємності на зміну температури: 
. З іншого боку, d Qможна може надійти в обсяг тільки через основи циліндра: (щільності потоків тепла jможуть бути як позитивними, так і негативними). Прирівнюючи вирази для d Q, отримаємо
.
Замінюючи відносини малих збільшень відповідними похідними, прийдемо до співвідношення
. (23.5)
Підставами в формулу (23.5) вираз (23.3) для щільності потоку тепла
. (23.6)
Отримане рівняння називається рівнянням теплопровідності. Якщо середовище однорідна, і теплопровідність k не залежить від температури, рівняння приймає вид
, (23.7)
де постійна називається коефіцієнтом температуропровідностісередовища.
Рівнянням (23.6) - (23.8) задовольняє безліч функцій T = T(x,t).
Для виділення єдиного рішення рівняння теплопровідності необхідно до рівняння приєднати початкові і граничні умови.
Початкова умова полягає в завданні розподілу температури в середовищі Т(х, 0) в початковий момент часу t = 0.
Граничні умовиможуть бути різними в залежності від температурного режиму на кордонах. Найчастіше зустрічаються ситуації, коли на кордонах задані температура або щільність потоку тепла як функції часу.
У ряді випадків у середовищі можуть виявитися джерела тепла. Теплота може виділятися в результаті проходження електричного струму, хімічних або ядерних реакцій. Наявність джерел тепла можна врахувати введенням об'ємної щільності енерговиділення q(x,y,z), Що дорівнює кількості теплоти, що виділяється джерелами в одиниці об'єму середовища за одиницю часу. В цьому випадку в правій частині рівняння (23.5) з'явиться доданок q:
.
рівняння дифузіїявляє собою окремий вид диференціального рівняння в приватних похідних. Буває нестаціонарним і стаціонарним.
У сенсі інтерпретації при вирішенні рівняння дифузіїмова йде про знаходження залежності концентрації речовини (або інших об'єктів) від просторових координат і часу, причому заданий коефіцієнт (в загальному випадку також залежить від просторових координат і часу), що характеризує проникність середовища для дифузії. при вирішенні рівняння теплопровідностімова йде про знаходження залежності температури середовища від просторових координат і часу, причому задана теплоємність і теплопровідність середовища (також в загальному випадку неоднорідної).
Фізично в тому і в іншому випадку передбачається відсутність або нехтує макроскопічних потоків речовини. Такі фізичні рамки застосовності цих рівнянь. Також, представляючи безперервний межа зазначених завдань (тобто не більше, ніж деяке наближення), рівняння дифузії і теплопровідності в загальному не описують статистичних флуктуацій і процесів, близьких за масштабом до довжини і часу вільного пробігу, також вельми сильно відхиляючись від передбачуваного точного рішення задачі в тому, що стосується кореляцій на відстанях, порівнянних (і великих) з відстанями, прохідними звуком (або вільними від опору середовища частинками при їх характерних швидкостях) в даному середовищі за розглянутий час.
Це в переважній частині випадків відразу ж означає і те, що рівняння дифузії і теплопровідності по області застосовності далекі від тих областей, де стають істотними квантові ефекти або кінцівку швидкості світла, тобто в переважній частині випадків не тільки за своїм висновку, а й принципово, обмежуються областю класичної ньютонівської фізики.
- У завданнях дифузії або теплопровідності в рідинах і газах, що перебувають в русі, замість рівняння дифузії застосовується рівняння переносу, що розширює рівняння дифузії на той випадок, коли зневагою макроскопічними рухом неприпустимо.
- Найближчим формальним, а багато в чому і змістовним, аналогом рівняння дифузії є рівняння Шредінгера, що відрізняється від рівняння дифузії множником уявна одиниця перед похідною за часом. Багато теореми про рішення рівняння Шредінгера і навіть деякі види формальної записи його рішень прямо аналогічні відповідним теорем про зрівняння дифузії і його рішеннях, однак якісно їх вирішення розрізняються дуже сильно.
Загальний вигляд
Рівняння зазвичай записується так:
|
∂ φ (r, t) ∂ t = ∇ ⋅ [D (φ, r) ∇ φ (r, t)], (\ displaystyle (\ frac (\ partial \ varphi (\ mathbf (r), t)) ( \ partial t)) = \ nabla \ cdot (\ big [) D (\ varphi, \ mathbf (r)) \ \ nabla \ varphi (\ mathbf (r), t) (\ big]),) |
де φ ( r, t) - щільність диффундирующего речовини в точці rі під час tі D(φ, r) - узагальнений коефіцієнт дифузії для щільності φ в точці r; ∇ - оператор Набла. Якщо коефіцієнт дифузії залежить від щільності - рівняння нелінійно, в іншому випадку - лінійно.
якщо D- симетричний позитивно певний оператор, рівняння описує анізотропну дифузію:
|
∂ φ (r, t) ∂ t = Σ i = 1 3 Σ j = 1 3 ∂ ∂ x i [D i j (φ, r) ∂ φ (r, t) ∂ x j]. (\ Displaystyle (\ frac (\ partial \ varphi (\ mathbf (r), t)) (\ partial t)) = \ sum _ (i = 1) ^ (3) \ sum _ (j = 1) ^ ( 3) (\ frac (\ partial) (\ partial x_ (i))) \ left.) |
якщо Dпостійне, то рівняння зводиться до лінійного диференціального рівняння:
∂ φ (r, t) ∂ t = D ∇ 2 φ (r, t), (\ displaystyle (\ frac (\ partial \ phi (\ mathbf (r), t)) (\ partial t)) = D \ nabla ^ (2) \ phi (\ mathbf (r), t),)Історія походження
нестаціонарне рівняння
нестаціонарнерівняння дифузії класифікується як параболическоедиференціальне рівняння. Воно описує поширення розчиняється речовини внаслідок дифузії або перерозподіл температури тіла в результаті теплопровідності.
Одновимірна випадок
У разі одновимірного дифузійного процесу з коефіцієнтом дифузії (теплопровідності) D (\ displaystyle D)рівняння має вигляд:
∂ ∂ t c (x, t) = ∂ ∂ x D ∂ ∂ x c (x, t) + f (x, t). (\ Displaystyle (\ frac (\ partial) (\ partial t)) c (x, \; t) = (\ frac (\ partial) (\ partial x)) D (\ frac (\ partial) (\ partial x )) (c (x, \; t)) + f (x, \; t).)при постійному D (\ displaystyle D)набуває вигляду:
∂ ∂ tc (x, t) = D ∂ 2 ∂ x 2 c (x, t) + f (x, t), (\ displaystyle (\ frac (\ partial) (\ partial t)) c (x, \ ; t) = D (\ frac (\ partial ^ (2)) (\ partial x ^ (2))) (c (x, \; t)) + f (x, \; t),)де c (x, t) (\ displaystyle c (x, \; t))- концентрація дифундують речовини, a f (x, t) (\ displaystyle f (x, \; t))- функція, що описує джерела речовини (тепла).
тривимірний випадок
У тривимірному випадку рівняння набуває вигляду:
∂ ∂ tc (r →, t) = (∇, D ∇ c (r →, t)) + f (r →, t), (\ displaystyle (\ frac (\ partial) (\ partial t)) c ( (\ vec (r)), \; t) = (\ nabla, \; D \ nabla c ((\ vec (r)), \; t)) + f ((\ vec (r)), \; t),)де ∇ = (∂ x, ∂ y, ∂ z) (\ displaystyle \ nabla = (\ partial _ (x), \; \ partial _ (y), \; \ partial _ (z)))- оператор Набла, а (,) (\ Displaystyle (\; \;))- скалярний твір. Воно також може бути записано як
∂ t c = d i v (D g r a d c) + f, (\ displaystyle \ partial _ (t) c = \ mathbf (div) \, (D \, \ mathbf (grad) \, c) + f,)а при постійному D (\ displaystyle D)набуває вигляду:
∂ ∂ tc (r →, t) = D Δ c (r →, t) + f (r →, t), (\ displaystyle (\ frac (\ partial) (\ partial t)) c ((\ vec ( r)), \; t) = D \ Delta c ((\ vec (r)), \; t) + f ((\ vec (r)), \; t),)де Δ = ∇ 2 = ∂ 2 ∂ x 2 + ∂ 2 ∂ y 2 + ∂ 2 ∂ z 2 (\ displaystyle \ Delta = \ nabla ^ (2) = (\ frac (\ partial ^ (2)) (\ partial x ^ (2))) + (\ frac (\ partial ^ (2)) (\ partial y ^ (2))) + (\ frac (\ partial ^ (2)) (\ partial z ^ (2))) )- оператор Лапласа.
n-мірний випадок
N (\ displaystyle n)-мірний випадок - пряме узагальнення наведеного вище, тільки під оператором Набла, градієнтом і дивергенцией, а також під оператором Лапласа треба розуміти n (\ displaystyle n)-мірні версії відповідних операторів:
∇ = (∂ 1, ∂ 2, ..., ∂ n), (\ displaystyle \ nabla = (\ partial _ (1), \; \ partial _ (2), \; \ ldots, \; \ partial _ (n )),) Δ = ∇ 2 = ∂ 1 2 + ∂ 2 2 + ... + ∂ n 2. (\ Displaystyle \ Delta = \ nabla ^ (2) = \ partial _ (1) ^ (2) + \ partial _ (2) ^ (2) + \ ldots + \ partial _ (n) ^ (2).)Це стосується і двовимірного випадку n = 2 (\ displaystyle n = 2).
мотивація
A.
Зазвичай рівняння дифузії виникає з емпіричного (або якось теоретично отриманого) рівняння, який стверджує пропорційність потоку речовини (або теплової енергії) різниці концентрацій (температур) областей, розділених тонким шаром речовини заданої проникності, яка характеризується коефіцієнтом дифузії (або теплопровідності):
Φ = - κ ∂ c ∂ x (\ displaystyle \ Phi = - \ varkappa (\ frac (\ partial c) (\ partial x)))(Одновимірний випадок), j = - κ ∇ c (\ displaystyle \ mathbf (j) = - \ varkappa \ nabla c)(Для будь-якої розмірності),в поєднанні з рівнянням безперервності, що виражає збереження речовини (або енергії):
∂ c ∂ t + ∂ Φ ∂ x = 0 (\ displaystyle (\ frac (\ partial c) (\ partial t)) + (\ frac (\ partial \ Phi) (\ partial x)) = 0)(Одновимірний випадок), ∂ c ∂ t + d i v j = 0 (\ displaystyle (\ frac (\ partial c) (\ partial t)) + \ mathrm (div) \, \ mathbf (j) = 0)(Для будь-якої розмірності),з урахуванням у разі рівняння теплопровідності ще теплоємності (температура = щільність енергія / питома теплоємність).
- Тут джерело речовини (енергії) в правій частині опущений, але він, звичайно ж, може бути легко туди поміщений, якщо в задачі є приплив (відтік) речовини (енергії).
- Також передбачається, що на потік диффундирующего речовини (домішки) не діють ніякі зовнішні сили, в тому числі сила тяжіння (пасивна домішка).
B.
Крім того, воно природно виникає як безперервний межа аналогічного різницевого рівняння, що виникає в свою чергу при розгляді завдання про випадковий блукання на дискретній решітці (одновимірної або n (\ displaystyle n)-мірною). (Це найпростіша модель; в більш складних моделях випадкових блукань рівняння дифузії також виникає в безперервному межі). Найпростішою інтерпретацією функції c (\ displaystyle c)в цьому випадку служить кількість (або концентрація) частинок в даній точці (або поблизу неї), причому кожна частинка рухається незалежно від інших без пам'яті (інерції) свого минулого (в кілька більш складному випадку - з обмеженою за часом пам'яттю).
Рішення
c (x, t) = ∫ - ∞ + ∞ c (x ', 0) cf (x - x', t) dx '= ∫ - ∞ + ∞ c (x', 0) 1. 4 π D t exp (- (x - x '); 2 4 D t) dx'. (\ Displaystyle c (x, \; t) = \ int \ limits _ (- \ infty) ^ (+ \ infty) c (x ", \; 0) c_ (f) (xx", \; t) \ , dx "= \ int \ limits _ (- \ infty) ^ (+ \ infty) c (x", \; 0) (\ frac (1) (\ sqrt (4 \ pi Dt))) \ exp \ left (- (\ frac ((xx ") ^ (2)) (4Dt)) \ right) \, dx".)фізичні зауваження
Так як наближення, що реалізовується рівняннями дифузії і теплопровідності, принципово обмежується областю низьких швидкостей і макроскопічних масштабів (див. Вище), то не дивно, що їх фундаментальне рішення на великих відстаняхповодиться не дуже реалістично, формально допускаючи нескінченне поширення впливу в просторі за кінцевий час; треба при цьому зауважити, що величина цього впливу так швидко зменшується з відстанню, що цей ефект як правило в принципі неспостережуваних (наприклад, мова йде про концентраціях багато менше одиниці).
Втім, якщо мова йде про ситуації, коли можуть бути експериментально виміряні настільки маленькі концентрації, і це для нас істотно, потрібно користуватися по меншій мірі не диференціальним, а різницевим рівнянням дифузії, а краще - і більш докладними мікроскопічної фізичної та статистичної моделями, щоб отримати більш адекватне уявлення про реальність в цих випадках.
стаціонарне рівняння
У разі, коли ставиться завдання по знаходженню сталого розподілу щільності або температури (наприклад, в разі, коли розподіл джерел не залежить від часу), з нестаціонарного рівняння викидають члени рівняння, пов'язані з часом. тоді виходить стаціонарне рівняння теплопровідності, Що відноситься до класу еліптичних рівнянь. його загальний вигляд:
- (∇, D ∇ c (r →)) = f (r →). (\ Displaystyle - (\ nabla, \; D \ nabla c ((\ vec (r)))) = f ((\ vec (r))).) Δ c (r →) = - f (r →) D, (\ displaystyle \ Delta c ((\ vec (r))) = - (\ frac (f ((\ vec (r)))) (D) ),) Δ c (r →) = 0. (\ displaystyle \ Delta c ((\ vec (r))) = 0.)Постановка крайових задач
- Завдання з початковими умовами (завдання Коші) про розподіл температури на нескінченній прямій
Якщо розглядати процес теплопровідності в дуже довгому стрижні, то протягом невеликого проміжку часу вплив температур на кордонах практично відсутній, і температура на даній ділянці залежить лише від початкового розподілу температур.
і, що задовольняє умові u (x, t 0) = φ (x) (- ∞<
x
<
+
∞)
{\displaystyle u(x,\;t_{0})=\varphi (x)\quad (-\infty
- Перша крайова задача для напівнескінченного стрижня
Якщо нас цікавить ділянка стержня знаходиться поблизу одного кінця і значно віддалений від іншого, то ми приходимо до крайової задачі, в якій враховується вплив лише одного з крайових умов.
Знайти рішення рівняння теплопровідності в області - ∞ ⩽ x ⩽ + ∞ (\ displaystyle - \ infty \ leqslant x \ leqslant + \ infty)і t ⩾ t 0 (\ displaystyle t \ geqslant t_ (0)), Що задовольняє умовам
(U (x, t 0) = φ (x), (0< x < ∞) u (0 , t) = μ (t) , (t ⩾ t 0) {\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}u(x,\;t_{0})=\varphi (x),\quad (0де φ (x) (\ displaystyle \ varphi (x))і μ (t) (\ displaystyle \ mu (t))- задані функції.
- Крайова задача без початкових умов
Якщо момент часу який нас цікавить досить віддалений від початкового, то має сенс знехтувати початковими умовами, оскільки їх вплив на процес з часом слабшає. Таким чином, ми приходимо до задачі, в якій задані крайові умови і відсутні початкові.
Знайти рішення рівняння теплопровідності в області 0 ⩽ x ⩽ l (\ displaystyle 0 \ leqslant x \ leqslant l)і
−
∞
<
t
{\displaystyle -\infty
де і - задані функції.
- Крайові задачі для обмеженого стрижня
Розглянемо наступну крайову задачу:
u t = a 2 u x x + f (x, t), 0< x < l , 0 < t ⩽ T {\displaystyle u_{t}=a^{2}u_{xx}+f(x,\;t),\quad 0якщо f (x, t) = 0 (\ displaystyle f (x, \; t) = 0), То таке рівняння називають однорідним, в іншому випадку - неоднорідним.
u (x, 0) = φ (x), 0 ⩽ x ⩽ l (\ displaystyle u (x, \; 0) = \ varphi (x), \ quad 0 \ leqslant x \ leqslant l)- початкова умова в момент часу t = 0 (\ displaystyle t = 0), Температура в точці x (\ displaystyle x)задається функцією φ (x) (\ displaystyle \ varphi (x)). u (0, t) = μ 1 (t), u (l, t) = μ 2 (t),) 0 ⩽ t ⩽ T (\ displaystyle \ left. (\ begin (array) (l) u (0 , \; t) = \ mu _ (1) (t), \\ u (l, \; t) = \ mu _ (2) (t), \ end (array)) \ right \) \ quad 0 \ leqslant t \ leqslant T)- крайові умови. функції μ 1 (t) (\ displaystyle \ mu _ (1) (t))і μ 2 (t) (\ displaystyle \ mu _ (2) (t))задають значення температури в граничних точках 0 і l (\ displaystyle l)в будь-який момент часу t (\ displaystyle t).Залежно від роду крайових умов, завдання для рівняння теплопровідності можна розбити на три типи. Розглянемо загальний випадок ( α i 2 + β i 2 ≠ 0, (i = 1, 2) (\ displaystyle \ alpha _ (i) ^ (2) + \ beta _ (i) ^ (2) \ neq 0, \; (i = 1, \; 2))).
α 1 u x (0, t) + β 1 u (0, t) = μ 1 (t), α 2 u x (l, t) + β 2 u (l, t) = μ 2 (t). (\ Displaystyle (\ begin (array) (l) \ alpha _ (1) u_ (x) (0, \; t) + \ beta _ (1) u (0, \; t) = \ mu _ (1 ) (t), \\\ alpha _ (2) u_ (x) (l, \; t) + \ beta _ (2) u (l, \; t) = \ mu _ (2) (t). \ end (array)))якщо α i = 0, (i = 1, 2) (\ displaystyle \ alpha _ (i) = 0, \; (i = 1, \; 2)), То така умова називають умовою першого роду, якщо β i = 0, (i = 1, 2) (\ displaystyle \ beta _ (i) = 0, \; (i = 1, \; 2)) - другого роду, а якщо α i (\ displaystyle \ alpha _ (i))і β i (\ displaystyle \ beta _ (i))відмінні від нуля, то умовою третього роду. Звідси отримуємо завдання для рівняння теплопровідності - першу, другу і третю крайову.
принцип максимуму
Нехай функція в просторі D × [0, T], D ∈ R n (\ displaystyle D \ times, \; D \ in \ mathbb (R) ^ (n)), Задовольняє однорідному рівнянню теплопровідності ∂ u ∂ t - a 2 Δ u = 0 (\ displaystyle (\ frac (\ partial u) (\ partial t)) - a ^ (2) \ Delta u = 0), причому D (\ displaystyle D)- обмежена область. Принцип максимуму стверджує, що функція u (x, t) (\ displaystyle u (x, \; t))може приймати екстремальні значення або в початковий момент часу, або на кордоні області D (\ displaystyle D).
Примітки
Рівняння теплопровідності в однорідному середовищі, як ми бачили, має вигляд
Коефіцієнт внутрішньої теплопровідності, с - теплоємність речовини і - щільність. Крім рівняння (1), потрібно мати на увазі початкова умова, що дає початковий розподіл температури і при
Якщо тіло обмежене поверхнею (S), то на цій поверхні ми будемо мати і граничне умова, яке може бути різним, залежно від фізичних обставинам. Так, наприклад, поверхня (S) може підтримуватися при певній температурі, яка може і змінюватися з плином часу. У цьому випадку граничний умова зводиться до завдання функції U на поверхні (S), причому ця задана функція може залежати і від часу t. Якщо температура поверхні не фіксована, але є радіаційний в навколишнє середовище даної температури то за законом Ньютона, правда, далеко не точному, потік тепла через поверхню (S) пропорційний різниці температур навколишнього простору і поверхні тіла (S). Це дає граничне умова виду
де коефіцієнт пропорційності h називається коефіцієнтом зовнішньої теплопровідності.
У разі поширення тепла в тілі лінійних розмірів, т. Е. В однорідному стержні, який ми вважаємо розташованим вздовж осі замість рівняння (1) ми будемо мати рівняння
При такій формі рівняння не враховується, звичайно, тепловий обмін між поверхнею стрижня і навколишнім простором.
Рівняння (S) можна отримати також з рівняння (1), припускаючи U не залежить від. Початкова умова в разі стрижня
