Граничні та початкові умови. Термодинамічні основи термопружності Крайові початкові та граничні умови

Початкові умови

Для можливості відліку змін температури в точках тіла у той чи інший бік у наступні моменти часу має бути заданий початковий термічний стан для його кожної точки. Іншими словами, має бути задана безперервна або розривна функція координат Т0 (х, у, z), що повністю описує температурний стан у всіх точках тіла в початковий момент часу t = 0, і потрібна функція Т (х, у, z, t), яка є рішенням диференціального рівняння (1.8), повинна задовольняти початкову умову

Т (х, у, z, 0i = o = Т0 (х, у, z). (1.11)

Граничні умови

Теплопровідне тіло може бути в різних умовах зовнішнього термічного впливу через його поверхню. Тому з усіх розв'язків диференціального рівняння (1.8) потрібно вибрати те, що задовольняє даним умовам на поверхні S, тобто даним конкретним граничним умовам. Використовуються такі форми математичного завдання граничних умов.

1. Температура в кожній точці поверхні тіла може змінюватися з часом за конкретним заданим законом, тобто температура поверхні тіла буде представляти безперервну (або розривну) функцію координат і часу Ts (х, у, z, і). При цьому потрібна функція Т (х, у, z, t), яка є рішенням рівняння (1.8), повинна задовольняти граничну умову

Т (x, y, z, 0 Is = Ts (x, y, z, i). (1.12)

У найпростіших випадках температура поверхні тіла 7 (х, у, z, t) може бути періодичною функцієючасу чи вона може бути постійною.

2. Відомий потік тепла через поверхню тіла як безперервна (або розривна) функція координат точок поверхні та часу qs (х, у, z, I). Тоді функція Т (х, у, г, I) повинна задовольняти граничну умову:

X grad Т (х, у, z, 0U = Qs (*. У> г> 0- (1 -13)

3. Встановлено температуру довкілляТа й закон теплообміну між довкіллям і поверхнею тіла, як для простоти використовується закон Ньютона. Відповідно до цього закону кількість теплоти dQ, що віддається

за час dt елементом поверхні dS із температурою

Ts (х, у, z, t) у навколишнє середовище, визначається за формулою

dQ = k (Ts - Та) dS dt, (1.14)

де k - коефіцієнт тепловіддачі кал/см2 - сек-°С. З іншого боку, відповідно до формули (1.6), ця кількість тепла підводиться до елемента поверхні зсередини і визначається рівністю

dQ = - x (grad„ 7")s dS dt. (1.15)

Прирівнюючи (1.14) і (1.15), отримаємо, що потрібна функція Т (х, у, z, t) повинна задовольняти граничну умову

(gradnr)s = -±-(Ts-Та). (1.16)

Як зазначалося вище, при стикуванні на монтажі двох секцій конструкції умови виконання зварювання є найбільш важкими. Виконання зварювання всього перерізу одночасно - абсолютно неможливо, а тому після накладання частини швів.

Якщо на загальні деформації зварних конструкцій великий вплив надає послідовність накладання окремих швів, то на місцеві деформації та деформації з площини листів, що зварюються, істотний вплив надає метод виконання кожного шва. …

Як зазначалося вище, при зварюванні складних складових перерізів і конструкцій характер деформацій, що виникають, залежить від порядку накладання швів. Тому одним із основних засобів боротьби з деформаціями при виготовленні зварних конструкцій.

Як зазначалося у вступі, диференціальні рівняння з приватними похідними другого порядку мають безліч рішень, залежних від двох довільних функцій. Щоб визначити ці довільні функції або, інакше кажучи, виділити необхідне нам приватне рішення, потрібно на потрібну функцію накласти додаткові умови. З аналогічним явищем читач зустрічався при вирішенні звичайних диференціальних рівнянь, коли виділення найчастішого рішення із загального полягало у процесі відшукання довільних постійних за заданим початковим умовам.

При розгляді завдання про коливання струни додаткові умови можуть бути двох видів: початкові та крайові (або граничні).

Початкові умови показують, у якому стані була струна в момент початку коливання. Найзручніше вважати, що струна почала коливатися в момент часу . Початкове положення точок струни визначається умовою

а початкова швидкість

де – задані функції.

Запис і означає, що функція взята при довільному значенні і при , тобто аналогічно. Така форма запису постійно застосовується надалі; так, наприклад, і т.д.

Умови (1.13) та (1.14) аналогічні початковим умовам у найпростішому завданні динаміки матеріальної точки. Там визначення закону руху точки, крім диференціального рівняння, потрібно знати початкове положення точки і її початкову швидкість.

Інший характер мають крайові умови. Вони показують, що відбувається на кінцях струни під час коливань. У найпростішому випадку, коли кінці струни закріплені (початок струни - на початку координат, а кінець - у точці, функція підпорядковуватиметься умовам

З такими ж умовами читач зустрічався в курсі опору матеріалів при вивченні вигину балки, що лежить на двох опорах, під дією статичного навантаження.

Фізичний зміст того факту, що завдання початкових та крайових умов повністю визначає процес, найпростіше простежити для випадку вільних коливань струни.

Нехай, наприклад, струну, закріплену на кінцях, якось відтягнули, тобто задали функцію - рівняння початкової форми струни, і відпустили без початкової швидкості (це означає, що) Зрозуміло, що цим подальший характер коливань буде повністю визначений і ми знайдемо єдину функцію вирішуючи однорідне рівняння за умов. Можна змусити струну коливатися й інакше, а саме надавши крапкам струни деяку початкову швидкість. Фізично ясно, що й у разі подальший процес коливань буде цілком визначений. Надання точок струни початкової швидкості може бути здійснено за допомогою удару по струні (як це має місце при грі на роялі); перший спосіб збудження струни застосовується під час гри на щипкових інструментах (наприклад, гітарі).

Сформулюємо тепер остаточно математичне завдання, до якої наводить вивчення вільних коливань струни, закріпленої обох кінцях.

Потрібно вирішити однорідне лінійне диференціальне рівняння з приватними похідними другого порядку з постійними коефіцієнтами

Початкові умови відповідають питанням, яке було температурне полі у момент часу, прийнятий початку відліку. Вони описуються виразом. Найчастіше температура компонентів технологічних підсистем у початковий час може бути прийнята рівної температурі довкілля, т. е. . У цьому випадку зручно, як зазначалося вище, вести розрахунок у так званих надлишкових температурах, умовно вважаючи, що , а потім після розрахунку до результату додаючи . Межовими називаються умови взаємодії поверхонь тіл із навколишнім середовищем чи іншими тілами. Розрізняють кілька різновидів граничних умов. За граничних умов першого роду (ГУ1) припускають, що відомий закон розподілу температур на граничних поверхнях тіла . Нехай, наприклад, потрібно визначити температурне поле всередині будь-якої деталі чи інструменту. Зробити це експериментальним шляхом, не руйнуючи об'єкт вимірювання, досить важко, виміряти температуру на поверхні деталі, інструменту або іншого твердого тіла експериментальним шляхом значно простіше, це може бути виконано без пошкодження об'єкта. Якщо ми знаємо ГУ1 як закону розподілу температур на поверхнях тіла, то, вирішуючи диференціальне рівняння теплопровідності, можемо розрахувати поле температур всередині деталі, інструменту і т. д. Приватним випадком ГУ1 є умова ізотермічності поверхні тіла, тобто. .

Граничні умови другого роду (ГУ2) передбачають, що відомий закон розподілу густини теплових потоків , що йдуть через граничні поверхні. У окремому випадку. Це означає, що поверхня, що розглядається, не обмінюється теплотою з навколишнім середовищем, тобто є адіабатичної. Виконуючи теплові розрахунки, Що відносяться до технологічних підсистем, у багатьох випадках з достатньою для практики точністю можна знехтувати теплообміном тієї чи іншої поверхні (або її ділянки) з навколишнім середовищем, тобто прийняти, що спрощує розрахунок.

Граничні умови третього роду (ГУЗ) використовують у разі, коли теплообміном поверхні з довкіллям знехтувати не можна. В цьому випадку повинні бути задані температура середовища, з яким стикається дане тіло, і так званий коефіцієнт тепловіддачі , Вт/(м 2 × °С), що характеризує теплообмін між середовищем та поверхнею.

Відповідно до закону Ньютона-Рихмана щільність теплового потоку пропорційна різниці температур поверхні та її навколишнього середовища, т.е.

е.

Формула (2.1) дає можливість визначити кількість теплоти. , Вт/м 2 , Яке в одиницю часу з одиниці поверхні відводиться в навколишнє середовище. Як випливає із закону Фур'є, до поверхні тіла підводиться потік

Отже,

або . (2.2)

Вираз (2.2) є математичний описграничних умов третього роду.

Граничні умови четвертого роду (ГУ4) виникають тоді, коли тверде тіло, що розглядається, перебуває в беззорому контакті з іншим твердим тіломі між ними відбувається теплообмін. Цей варіант граничних умов часто зустрічається в теплофізиці технологічних процесів. Наприклад, при обробці тиском деталі штампу практично безсоромно стикаються з оброблюваною заготовкою; при різанні металу поверхні інструменту на певних ділянках стикаються зі стружкою та заготівлею. За граничних умов четвертого роду, коли контакт між тілами ідеальний, температура в будь-якій точці поверхні дотику як з боку одного, так і з іншого тіла одна і та ж, тобто.

З метою спрощення розрахунків часто замість рівності температур у кожній точці контакту як ГУ4 приймають рівність середніх температур на поверхні контакту, тобто замість формули (2.3) вважають

Граничні умови четвертого роду використовують під час вирішення балансових завдань, т. е. під час аналізу розподілу теплоти між тілами, що у контакті. Розподіливши між дотичними тілами теплоту, що утворюється на контактній поверхні, і розрахувавши щільність теплового потоку в кожному тілі, далі користуються граничними умовами другого роду.

Закінчуючи розгляд питання граничних умовах, відзначимо, що у різних ділянках реальних тіл можуть мати місце різні граничні умови. Розглянемо, наприклад, процес плоского шліфування заготовки торцем чашкового кола (див. рис. 2.5). Якщо вирішено завдання про розподіл теплоти шліфування між колом та заготівлею, то стосовно заготівлі маємо такі граничні умови: ГУ3 – на поверхні зіткнення з рідиною; ГУ2 - на контактній поверхні з колом, де відома щільність теплового потоку, і на торці заготовки, який можна вважати адіабатичним, якщо знехтувати його тепловіддачею повітря; ГУ4 - на поверхні, де заготовка стикається з магнітним столом верстата.

Початкові та граничні умови. Невід'ємним та найважливішим елементом постановки будь-якого завдання механіки суцільних середовищ є формулювання початкових та граничних умов. Їх значення визначається тим, що та чи інша система вирішальних рівнянь описує цілий клас рухів відповідного деформованого середовища, і лише завдання відповідних досліджуваному процесу початкових і граничних умов дозволяє виділити з цього класу цікавий окремий випадок, що відповідає вирішуваному практичному завданню.

Початкові умови - це умови, якими задаються значення шуканих характеристичних функцій на момент початку розгляду досліджуваного процесу. Кількість початкових умов, що задаються, визначається кількістю основних невідомих функцій, що входять в систему вирішальних рівнянь, а також порядком вищої похідної, що входить до цієї системи за часом. Наприклад, адіабатичний рух ідеальної рідини або ідеального газу описується системою шести рівнянь із шістьма основними невідомими - трьома компонентами вектора швидкості, тиском, щільністю та питомою внутрішньою енергією, при цьому порядок похідних цих фізичних величин за часом не перевищує перший порядок. Відповідно до цього як початкові умови мають бути задані початкові поля цих шести фізичних величин: при t =0 ,. У деяких випадках (наприклад, в динамічній теорії пружності) як основні невідомі в системі роздільних рівнянь використовуються не компоненти вектора швидкості, а компоненти вектора переміщення, а рівняння руху містить похідні другого порядку компонент переміщення, що вимагає завдання двох початкових умов для шуканої функції: при t = 0

Більш складним та різноманітним чином при постановці завдань механіки суцільних середовищ задаються граничні умови. Граничні умови - це умови, якими задаються значення функцій (або їх похідних за координатами і часом) на поверхні S області, що займається деформованим середовищем. Розрізняють граничні умови кількох типів: кінематичні, динамічні, змішані та температурні.

Кінематичні граничні умови відповідають випадку, коли на поверхні S тіла (або її частини) задаються переміщення або швидкості де координати точок поверхні S, що змінюються в загальному випадку в залежності від часу.

Динамічні граничні умови (або граничні умови у напругах) задаються, коли на поверхні S діють поверхневі сили р. Як випливає з теорії напруг, в цьому випадку на будь-якому елементарному майданчику поверхні з одиничним вектором нормалі п вектор питомих поверхневих сил рп примусово задає вектор повної напруги? напруг (?) у цій точці з поверхневою силою та орієнтацією вектора п відповідної ділянки поверхні: (?) · п = рп або.

Змішані граничні умови відповідають випадку, коли на поверхні S задаються значення і кінематичних, динамічних величин або встановлюються взаємозв'язки між ними.

Температурні граничні умови поділяються кілька груп (пологів). Граничні умови першого роду задають поверхні S деформируемого середовища певні значення температури Т. Граничні умови другого роду задають межі вектор теплового потоку q, що з урахуванням закону теплопровідності Фур'є q = -- ? grad T, по суті, накладає обмеження на характер температурного розподілу на околиці граничної точки. Граничні умови третього роду встановлюють залежність між вектором теплового потоку q, спрямованим до середовища з боку навколишнього середовища, і температурним перепадом між цими середовищами і т.д.

Слід зазначити, що постановка та вирішення більшості завдань фізики швидкопротікаючих процесів, як правило, здійснюються в адіабатичному наближенні, тому температурні граничні умови використовуються досить рідко, в основному в різних поєднаннях застосовуються кінематичні, динамічні та змішані граничні умови. Розглянемо можливі варіанти завдання граничних умов приватному прикладі.

На рис. 3 схематично представлений процес взаємодії при проникненні деформованого тіла I деформується перешкоду II. Тіло I обмежене поверхнями S1 і S5, а тіло II - поверхнями S2, S3, S4, S5. Поверхня S5 є межею розділу взаємодіючих деформованих тіл. Вважатимемо, що рух тіла I до початку взаємодії, а також у його процесі відбувається в рідині, що створює певний гідростатичний тиск

Малюнок 3

і задає зовнішні щодо обох тіл поверхневі сили рп = - рп = - рni ri, що діють на будь-який з елементарних майданчиків поверхонь S1 тіла I і S2 перешкоди II, що межують з рідиною. Будемо також вважати, що поверхня Sз перешкоди жорстко закріплена, а поверхня S4 вільна від впливу поверхневих сил (рп = 0).

Для наведеного прикладу на різних поверхнях, що обмежують деформовані середовища I та II, повинні задаватися граничні умови всіх трьох основних типів. Очевидно, що на жорстко закріпленій поверхні Sз слід задати кінематичні граничні умови? тел: або Компоненти тензора напруги на поверхні S4 перешкоди також не можуть бути довільними, а взаємопов'язані з орієнтацією її елементарних майданчиків як.

Граничні умови на межі розділу (поверхня S5) взаємодіючих середовищ, що деформуються, є найбільш складними і відносяться до умов змішаного типу, що включають, у свою чергу, кінематичну і динамічну частини (див. рис. 3). Кінематична частина змішаних граничних умов накладає обмеження швидкості руху індивідуальних точок обох середовищ, що знаходяться в контакті в кожній просторовій точці поверхні S5. Можливі два варіанти завдання цих обмежень, проілюстровані на рис. 4, а і б. За найбільш простому першомуваріантом передбачається, що швидкості руху будь-яких двох індивідуальних точок, що знаходяться в контакті, однакові (? = ?) - це так звана умова "прилипання", або умова "зварювання" (див. рис. 4, а). Більш складним і в той же час більш адекватним для аналізованого процесу є завдання умови "непроникності", або умови "непротікання" (? · n= ? середовища не можуть проникати

Малюнок 4

один в одного або відставати один від одного, а чи можуть прослизати одна щодо іншої зі швидкістю? - ?, Спрямованої по дотичній до межі розділу ((? I -? II) · n = 0). Динамічна частина змішаних граничних умов межі розділу двох середовищ формулюється з урахуванням третього закону Ньютона з допомогою співвідношень теорії напруг (рис. 4, в). Так, у кожній з двох індивідуальних частинок, що знаходяться в контакті, деформованих середовищ I і II реалізується свій напружений стан, що характеризується тензорами напруг (?) I і (?) II. , Зовнішньої по відношенню до даного середовища, діє вектор повної напруги? nI = (?) · nI. У середовищі II тієї ж майданчику, але з одиничним вектором нормалі nII , зовнішньої стосовно цього середовища, діє вектор повного напруги?nII =(?)II · пII. З урахуванням взаємності дії та протидії? nI = -? n II , а також очевидної умови nI = --nII = n встановлюється взаємозв'язок між тензорами напруг в обох взаємодіючих середовищах на межі їх розділу: (?)I · п = (?) II ·п або (?ijI - ?ijII) nj = 0. Можливі варіанти завдання граничних умов не вичерпуються розглянутим приватним прикладом. Варіантів завдання початкових і граничних умов так само багато, скільки існує в природі та техніці процесів взаємодії деформованих тіл або середовищ. Вони визначаються особливостями вирішуваного практичного завдання і задаються відповідно до наведених вище загальними принципами.

), що задає його поведінку в початковий момент часу або на межі області, що розглядається відповідно.

Зазвичай диференціальне рівняння має не одне рішення, а ціле їхнє сімейство. Початкові та граничні умови дозволяють вибрати з нього одне, що відповідає реальному фізичному процесу чи явищу. У теорії звичайних диференціальних рівнянь доведено теорему існування та єдиності розв'язання задачі з початковою умовою (т. зв. задачі Коші). Для рівнянь у приватних похідних отримано деякі теореми існування та єдиності рішень для певних класів початкових та крайових завдань.

Термінологія

Іноді до граничних відносять і початкові умови в нестаціонарних задачах, таких як розв'язання гіперболічних або параболічних рівнянь.

Для стаціонарних завдань існує поділ граничних умов на головніі природні.

Головні умови зазвичай мають вигляд u (∂ Ω) = g (\displaystyle u(\partial \Omega)=g), де ∂ Ω (\displaystyle \partial \Omega )- кордон області Ω (\displaystyle \Omega).

Природні умови містять також і похідну рішення щодо нормалі до кордону.

приклад

Рівняння d 2 y d t 2 = − g (\displaystyle (\frac (d^(2)y)(dt^(2)))=-g)описує рух тіла на полі земного тяжіння . Йому задовольняє будь-яка квадратична функція виду y (t) = − g t 2 / 2 + a t + b , (\displaystyle y(t)=-gt^(2)/2+at+b,)де a, b (\displaystyle a,b)- Довільні числа. Для виділення конкретного закону руху необхідно вказати початкову координату тіла та його швидкість, тобто початкові умови.

Коректність постановки граничних умов

Завдання математичної фізики описують реальні фізичні процеси, тому їх постановка повинна задовольняти наступним природним вимогам:

Рішення має існуватиу якомусь класі функцій;
Рішення має бути єдиниму якомусь класі функцій;
Рішення має безперервно залежати від даних(Початкових та граничних умов, вільного члена, коефіцієнтів тощо).

Вимога безперервної залежності рішення обумовлюється тим, що фізичні дані, як правило, визначаються з експерименту приблизно, і тому потрібно бути впевненим у тому, що розв'язання задачі в рамках обраної математичної моделіне суттєво залежатиме від похибки вимірювань. Математично цю вимогу можна записати, наприклад, так (для незалежності від вільного члена):

Нехай задано два диференціальні рівняння: L u = F 1 , L u = F 2 (\displaystyle Lu = F_ (1), ~ Lu = F_ (2))з однаковими диференціальними операторами та однаковими граничними умовами, тоді їх рішення безперервно залежатимуть від вільного члена, якщо:

∀ ε > 0 ∃ δ > 0: (‖ F 1 − F 2 ‖< δ) ⇒ (‖ u 1 − u 2 ‖ < ε) {\displaystyle \forall \varepsilon >0~\exists \delta >0:~\left(\|F_(1)-F_(2)\|<\delta \right)\Rightarrow \left(\|u_{1}-u_{2}\|<\varepsilon \right)} , де u 1 (\displaystyle u_(1)), u 2 (\displaystyle u_(2))- Розв'язання відповідних рівнянь.

Безліч функцій, для яких виконуються ці вимоги, називається класом коректності. Некоректну постановку граничних умов добре ілюструє