Pirms funkcija ir zināt vismazāk. Kā es varu zināt vismazāk svarīgo funkciju slēgtā zonā? Svarīgākās un vismazākās funkcijas - vērtība, ilustrācijas

§ Ekstrēmi, Decilkokh zminnykh vissvarīgākās un vismazākās funkcijas - sānu numurs 1/1

§ 8. Ekstrēmums, decilkokh zminnykh nozīmīgākās un vismazākās funkcijas.

1. Decilkokh zminnykh ekstremālās funkcijas.

apgabalā
,
- centrālā reģiona punkts.

Speck
tiec saukts maksimālais punkts funkcijas
, Jakšo par punktu

neizdoties

.

analogs punkts
tiec saukts norāda uz minimumu funkcijas
, Jakšo par punktu
no dejako netālu no punkta
neizdoties

.

cieņu... 1) Aiz atšķirības slēpjas funkcijas vērtība
vainīgs, bet tiek nozīmēts uz dejakomu netālu no punkta
... Līdz maksimālās un minimālās funkcijas punktam
Jūs varat atrast tikai reģiona iekšējos punktus
.

2) Yaksho isnu pie punkta
, Jakā par be-yako punktu
vidminnoyu vid
neizdoties

(

), Tad norādiet
nosaukums stingrā maksimuma punkts (saskaņā ar stingrā minimuma punkts ) funkcijas
... Pie savienojuma no cym maksimuma un minimuma punktus sauc par nestingrā maksimuma un minimuma punktiem.

Funkcijas maksimuma un minimuma punktus sauc par її punkti līdz galam ... Funkcijas vērtību maksimuma un minimuma punktos sauc atbilstoši kāpumi і minimumi , Abo, īsāks, ekstrēmi tsієї funkcijas.

Ekstrēmu izpratnei ir lokāls raksturs: funkcijas nozīme punktos
salīdzināt ar nozīmīgajām funkcijām tuvu punktu sasniegšanā. Noteiktā reģionā funkcija var būt nevis ekstrēmu mātes funkcija, bet gan vairāku minimumu, vairāku maksimumu un labākā un labākā funkcija. Tajā pašā laikā var parādīties vairāk cilvēku. Tam neseko vislielākā un mazākā nozīme maksimas un minimālās funkcijas.

Mēs zinām, ka ir jāņem vērā galējības. Ej, piemēram,
- maksimālās funkcijas punkts
... Todi for viznachennyam isnuє gif "līdzināt = absmiddle width =" 17px "height =" 18px "> — punkta mala
taka, scho
par punktu
no nomales centra. Zokrems,

(1)

de
,
, і

(2)

de
,
... Ale (1) nozīmē, ka viena funkcija mainās
maє punktā maksimālais abo uz intervālu
post_noyu. jau,

abo
- nav іsnu,

⇒
abo
- nav snuє.

Līdzīgi kā (2), mēs to varam atzīt

abo
- nav snuє.

Šādā rangā teorēma ir spēkā.

TEORĒMA 8.1. (Jums jāpaskaidro galējība). kāda funkcija
punktā
Ja ir ekstrēms, tad tajā pašā punktā vai aizskarot privātos vecos pirmo pasūtījumu vajadzētu novest uz nulli, jo es gribētu, lai kāds no šiem privātajiem vecajiem neatrodas.

Ģeometriski teorēma 8.1 nozīmē to
- norāda uz funkcijas galējo punktu
Tas ir līdzīgs laukumam līdz visas funkcijas grafikam punktā vai paralēli apgabalam
, Abo zagalі nav ісnuє. Schob perekonatyatsya kopumā, lai pabeigtu minējumu, kā zināt vienādu laukumu ar virsmu (div. Formula (4.6)).

Tiek izsaukti punkti, kas ir apmierināti ar teorēmu 8.1 kritiskie punkti funkcijas
... Tāpat vienas maiņas funkcijai jādomā, ka ar ekstrēmu nepietiek. Tas nozīmē, ka ne katrs funkcijas punkts ir būtisks ekstrēma punktam.

BUTT. Funkcionalitāte ir viegli pamanāma
... Speck
є visai kritiskuma funkcijai, tāpat kā visā aizvainojuma un privātuma jautājumā, pirmā kārtība
і
atgriezties uz nulli. Tomēr tas nebūs galējības punkts. tiešām,
, Ale in be-like nomalē punktu
є punkti, kuros funkcijas tiek pievienotas iepriekšējām vērtībām; punkti, kuros funkcijas tiek pievienotas šīm vērtībām. Tsom ir viegli apgriezties, ja vien funkcijas grafiks ir hiperbolisks paraboloīds.

Divu uzvarētāju funkcijai vispietiekamākais iemesls, jā, ir teorēma.

TEORĒMA 8.2. (Atbilstoši divu ziemu funkciju galējībai). čau
- funkcijas kritiskais punkts
un dienas laikā tuvu punktam
funkcija var būt nepārtrauktas daļas, vecas līdz citai secībai, ieskaitot. jēgpilni

,
,
.

Todi 1) jakšo
, Tā ir būtība
nevis pēc є punkta ekstremitāšu;


Tāpat kā ar teorēmu 8.2 palīdzību, es beidzot saņemšu kritisko punktu
nesasniedzot (tobto yaksho
jo funkcija neatrodas punkta tuvumā
bez pārtraukumiem vajadzīgā pasūtījuma privātajos), atsaucoties uz ēdienu
Ekstrēmums ir dot zīmi par funkcijas palielināšanos tsy punktā.

Lieliski, dzēriena vērtības dēļ
maє punktā
tad stingrs maksimums

visiem punktiem
no dejako netālu no punkta
, Abo, inakshe

ar tiem visiem pabeidz malihu
і
... Līdzīgi, kad
- stingrā minimuma punkts, tad ar tiem visiem pabeigt maliku
і
ja neizdodas
.

Šāds rangs, shhob z'yasuvati, chi є ir kritisks punkts
līdz galējībai, punktā ir jāpanāk prioritāra funkcija. Jakščo ar visiem pabeidz malihu
і
būs zīme, tad punktā
funkcija MA ir stingra ekstremitāte (minimums,
, І maksimums, jaksho
).

cieņu... Noteikums ir jāatstāj nevietā un par vaļīgu ekstrēmu, ale ar grozījumu, bet dejaku vērtību gadījumā
і
funkcija iegūs nulli
BUTT. Zināt ekstremālās funkcijas:

1)
; 2)
.

1) Funkcijas

і
var redzēt visādi. Rivņas Virishuchi sistēma
,
mēs zinām divus kritiskos punktus
і
.

Kritisko punktu noteikšanai ir paredzēta 8.2. teorēma. mamma:

,
,
.

doslijuєmo punkts
:

,
,
,

;
.

Otzhe, punktā
funkcija ir dota līdz minimumam, un
.

Doslidzhuєmo kritiskais punkts
:

,
,
,


.

Otzhe, draugs, punkts nav kritisks funkcijas galējībai.

2) Funkcijas
visur ir atzīmēts. Її privāts vecais pirmais pasūtījums
un par to ir iespējams uzzināt. Rivņas Virishuchi sistēma
,
Es zinu, es esmu viens kritisks punkts
.

Lai sasniegtu kritisko punktu, ir noteikta teorēma 8.2. mamma:

,
,
,

,
,
,

.

Iestatiet redzamību vai ekstremitātes redzamību punktā
tālāk par otro, teorēma 8.2 nav tālu.

Doslidzhuєmo zīme par funkciju palielināšanos punktos
:

jakšo
, tad
;

jakšo
, tad
.

lūžņi
Nikolajs neņem zīmi punkta nomalē
, Tad funkcijas tsy punktā nav galējības.

Maksimuma un minimuma vērtība un nepieciešamība pēc ekstrēma ir viegli pārnesama uz trīs un vairāk izmaiņu funkcijām. Pietiek prāta funkcijai (
) Tie, kas šajā kursā prot caur їхnyu locīšanu, neizskatās. Kritisko punktu raksturu sāksim vispirms pēc funkcijas pieauguma zīmes.

2. Lielākās un vismazākās funkcijas.

Ļaujiet divu ziemu funkcijai
reģistrēts reģionā
apgabalā
,
,
- centrālā reģiona punkti. Funkcijas nozīme punktā
tiec saukts visvairāk , Jakšo par punktu
reģionā
neizdoties

.

Tāpat funkcijas nozīme punktos
tiec saukts stilīgākais , Jakšo par punktu
reģionā
neizdoties

.

Iepriekš mēs jau teicām, ka funkcija ir nepārtraukta, un apgabals
- slēgts un ieskauts, tad pieņemšanas funkcijai visā reģionā ir vislielākā un mazākā vērtība. Tajā pašā punktā
і
Jūs varat melot kā visi vidējie reģioni
, Tātad і uz її kordona. kur ir jēga
(abo
) Gulēt reģiona vidū
, Tas būs punkts uz maksimālo (minimālo) funkciju
, Tātad centrālā reģiona funkcijas kritiskais punkts
... Uz to par vissvarīgāko un vismazāko funkciju
teritorijā
nepieciešams:
.

No praktiskā viedokļa vislielākā interese ir uzvarētājiem par svarīgākajām funkcijām. Ar ko tas ir saistīts? Ienākšanas maksimizēšana, vitrātu samazināšana līdz minimumam, instalācijas optimālās sapīšanās noteikšana... Citiem vārdiem sakot, dažādās dzīves sfērās ir ļoti svarīgi optimizēt parametrus. Un tajā pašā laikā apņemšanās apzināties vissvarīgāko un vismazāko funkciju.

Tas nozīmē, ka vissvarīgākā un vismazākā funkcija ir radīt troksni darbības intervālā X, kas ir vai nu viss funkcijas laukums, vai vērtības daļa. Pats intervāls X var būt tikpat īss kā intervāls , Bez smaržas solījums.

Šajā statistikā mēs runāsim par viena mainīgā y = f (x) skaidri norādītas funkcijas mazākās un mazākās vērtības nozīmi.

Navigācija sānos.

Vissvarīgākās un vismazākās funkcijas ir vizualizācija, ilustrācijas.

Īsumā zupinimya par galvenajām vērtībām.

Svarīgākās funkcijas , Lai būtu līdzīgs pamatota neuzticība.

Vismazāk nozīmīgas funkcijas y = f (x) intervālā X sauc par to pašu vērtību , Lai būtu līdzīgs pamatota neuzticība.

Intuitīvi inteliģentā vērtība: lielākā (mazākā) funkcijas vērtība - vismazākā (mazākā) ņem vērtību atvērtajā intervālā pie abscisas.

stacionāri punkti- argumenta vērtība, kad funkcija tiek zaudēta, tā kļūst par nulli.

Kāpēc mums ir vajadzīgs stacionārs punkts, ja tas ir vissvarīgākais un mazākais? Apsveriet barības ķēdi, jā, Fermā teorēmu. Ar nobīdes teorēmu jebkurā punktā tiek diferencēta arī maksimuma funkcija (lokālais minimums vai lokālais maksimums), tad punkts ir stacionārs. Šādā rangā funkcija bieži vien iegūst savu augstāko (mazāko) vērtību intervālam X vienā no stacionārajiem punktiem no tā paša intervāla.

Tāpat bieži vien nozīmīgākās un vismazāk nozīmīgākās funkcijas var ņemt punktos, kur pati funkcija netiek izmantota, bet tiek piešķirta pati funkcija.

Uzreiz par pamatu ņemot vienu no populārākajām ēdienreizēm pēc tēmas: "Kā var būt vis(vismazāk) nozīmīgākā funkcija"? Negaidiet. Dažos gadījumos līnija X atrodas starp piešķirtās funkcijas apgabaliem, vai arī intervāls X nav bezgalīgs. Un deyakі funktsії bezgalīgi un uz nozīmīgā reģiona kordoniem var uzskatīt par bezgalīgi lielu un bezgalīgi mazu. Cich vipadkah neko nevar teikt par lielākajām un mazāk nozīmīgajām funkcijām.

Grafiskās ilustrācijas specifikai. Lai brīnītos par mazajiem, ir daudz kas jānoskaidro.

uz vidrizka

Pirmkārt, funkcija pieņemt lielāko (max y) un mazāko (min y) vērtību stacionārajos punktos, kas atrodas virziena vidū [-6; 6].

Vipadok, bildes uz cita mazā var redzēt. Nedaudz ieslēgta. Visiem lietojumiem vismazāk nozīmīga funkcija ir sasniedzama stacionārajā punktā, bet vissvarīgākā - punktā no abscisas, pareizajā virzienā uz intervālu.

Mazajā # 3 virziena robežpunkti [-3; 2] є punktu abscises, kas ir līdzīgas funkcijas mazākajai un vismazāk nozīmīgajai.

Atvērtā intervālā

Ceturtajā minūtē funkcija lielāko (max y) un mazāko (min y) vērtību saņemšanai stacionārajos punktos, kas atrodas atvērtā intervāla vidū (-6; 6).

Intervālā, kas ir aptuveni visnovkova lielākā vērtība, pieaugums nav iespējams.

dienas beigās

Šim mazajam zīdainim parādītajā dibenā funkcija pieņemt lielāko vērtību (max y) stacionārajā punktā no abscisas x = 1 un vismazākā vērtība (min y) tiek sasniegta labajā pusē starp intervālu. No nekonsekvences mīnusa funkcijas vērtība asimptotiski tuvojas līdz y = 3.

Intervālā funkcija nav sasniedzama ar mazāko vai lielāko vērtību. Ja funkcija tiek paplašināta līdz x = 2, labās puses funkcijas vērtība tiek samazināta līdz nekonsekvences mīnusam (taisne x = 2 ir vertikālā asimptote), un, ja abscisa tiek paplašināta līdz plus neatbilstībai, funkcijas vērtība tiek asimptotiski. tuvina y8 = 3. Lapas grafiks ir mazs.

Algoritms piedziņas nepārtrauktas funkcijas zemākās un zemākās vērtības noteikšanai.

Mēs varam pierakstīt algoritmu, kas ļauj uzzināt gan vissvarīgāko, gan vismazāko diska funkciju.

1. Mēs zinām funkcijas un pārmaiņu galamērķi, ko var ņemt vērā visā pasaulē.
2. Ir zināms, ka visi punkti, kuros nav pārliecināšanas, ir izmisīgi un notiek pirmajā vietā (piemēram, šādi punkti ir atrodami funkcijās ar argumentu līdzās moduļa zīmei un stāvokļa funkcijās ar atšķirīgu -racionāls rādītājs). Ja tādu punktu nav, tad pārejam uz uzbrukuma punktu.
3. Vizuāli visi stacionārie punkti, kurus var izmantot pie vidrizok. Vispār, kad to noved līdz nullei, tautas valoda un saknes vibraimo tiek spilgti noraidīti. Tā kā stacionāro punktu nav, jo tie netiek patērēti ceļā, tad pārejam uz uzbrukuma punktu.
4. Funkcijas vērtība tiek uzskaitīta visos fiksētajos punktos (piemēram, є), punktos, kas nav zaudēti (piemēram, є), kā arī pie x = a і x = b.
5. Funkcijas nozīme ir vibramo visvairāk un vismazāk - smirdoņa un būs visgudrākā un vismazāk nozīmīgākā funkcija no visām.

Algoritms tiek sadalīts, kad muca ir noteikta līdz funkcijas labākajai un zemākajai vērtībai.

Muca.

Zināt labākās un vismazākās funkcijas

• uz vidrizka;
• uz vidrizku [-4; -viens].

Lēmums.

Funkcijas vērtības laukums ir visi bezfunkcionālie skaitļi, aiz nulles vinjetes, tobto. Pārkāpums ir vidrizka potralyayut vērtības jomā.

Es zinu, ka izmantošu šādas funkcijas:

Acīmredzot funkcija tiek zaudēta visos attīstības punktos un [-4; -viens].

Stacionārie punkti ir nozīmīgi no līmeņa. Ņemsim vienu sakni є x = 2. Stacionārs punkts tiek patērēts pirmajā vidrizokā.

Pirmajam kritumam funkcijas skaitliskā vērtība izvades galos un stacionārajos punktos, tātad x = 1, x = 2 un x = 4:

Otzhe, nozīmīgākā funkcija sasniegt x = 1 un mazāko vērtību - ja x = 2.

Citam vipadku numurē atņemšanas funkcijas nozīme vidrizka galā [-4; -1] (lai neatriebtos tam pašam stacionāram punktam):

Lēmums.

Pārsvarā noteiktās funkcijas jomā. Kvadrātveida trinomināls daļskaitļa saucējā nav vainīgs, lai pārvērstos par nulli:

Ir viegli pārdomāt, ka visi no uzdevumu prāta iejaucās, lai noteiktu piešķirtās funkcijas jomas.

Atšķirsim funkciju:

Acīmredzot funkcija tiek zaudēta visā teritorijā.

Mēs zinām stacionāros punktus. Šķiet, ka tas kļūst par nulli plkst. Qia stacionārais punkts tiek ņemts intervālā (-3; 1] un (-3; 2).

Un tagad ādas punktā ir iespējams ievietot rezultātus ar funkcijas grafiku. Zilās punktētās līnijas apzīmē asimptotus.

Kopumā jūs varat iegūt vissvarīgākās un vismazākās funkcijas. Algoritmi, kas atlasīti visā statty, ļauj labot rezultātus ar minimālu darbību. Tomēr būs liels skaits ievērojamu progresu izaugsmē un funkciju samazināšanās, un tikai tad, ja runa ir par biznesu par labāko un vismazāko funkciju jebkurā intervālā. Jā, attēls ir skaidrs, un rezultāti ir labi sagatavoti.

Funkcijas galējība ir reliģiskā, vietējā rakstura spēks (div. Viznachennya). Nepāriet uz maksimālo (minimālo) no lielākās (mazākās) funkcijas vērtībām slēgtā zonā D.

Viznachennya. Domājams, funkcija z = f(x, y) Noteikts un nepārtraukts reģionā D, maijs Ķīnas privātās vēstures ts_y reģionā. Todi visā reģionā ir punkti, kuros ir pieejamas funkcijas visvairāk un vismazāk pirmās vērtības vērtība. Šie punkti var atrasties reģiona vidū vai uz kordona.

Lai zinātu vismazāko funkciju slēgtā zonā, jums ir nepieciešams:

1) Zināt stacionāros punktus, roztasovani vidējos reģionos, un aprēķināt funkcijas vērtību šajos punktos.

Cieņa. Nāciet uz stacionāriem punkta punktiem, kuros vecais bezgalīgs vai nav іsnu (yakshо takі є).

2) Zināt stacionāros punktus kordona zonā un aprēķināt funkcijas vērtību šajos punktos.

3) Zināt funkcijas nozīmi augšējos punktos - robežlīniju pārplūdes punktos.

4) Vismazāk zināmā vibrācijas vērtība ir lielākā un vismazākā.

Muca 1.22. Zināt labākās un vismazākās funkcijas

z = 2x 2 - xy ++ y 2 + 7x slēgtā zonā D: –3 x 3, –3 y 3 (1.3. att.).

Mazs. 1.3. reģions doslіdzhennya D

Lēmums. 1) Zināmi stacionāri punkti

Zvidsi plkst = –1, X= -2, stacionārs punkts M 0 (–2, –1) D, z(M 0) = –7.

2) Doslidzhuєmo funkcija uz reģiona kordona, kas tiks saglabāta AB, DC, CB, AD.

a) Taisni AB: plkst= 3, un mašīnas funkcija

z = 2x 2 + 3x + 9 + 7x =

= 2x 2 + 10x + 9, x [–3, 3].

Tsya funkcija viena kvadrātveida ziemas.

Dotās funkcijas stacionāro punktu dēļ:

jau, X = –2,5.

visnachaєmo z plkst X = -2,5, un arī vidrizkas beigās [-3, 3]:

z (–2,5; –3) = –3,5; z(– 3, –3) = –3; z(3, –3) = 57,

vidējais = 3,5, a = 57.

b) Skaidri redzams Saule:X = 3.

z = y 2 – 3y + 39; plkst [–3, 3],

= 2y - 3; 2y - 3 = 0 y = 3/2.

zināms z(3, 3/2) = , z(– 3, 3) = 15, z(3, 3) = 39.

c) Uz vidrizka CD: y = 3, z = 2x 2 + 4x + 9; plkst [–3, 3],

= –4x + 4 = 0 Þ x = –1; z(–1, 3) = 7, z(– 3, 3) = 15, z(3, 3) = 39;

28. lekcija. Pirms uzvarētāju deciles funkciju ekstrēma. Umovny extremum of funkcijas decilkoh wintry.

Ārkārtas izmaiņu funkciju priekšapstrāde ir vairāk locīšanas procedūra, taču procedūra ir līdzīga vienas maiņas funkcijām. Pie tam, mijas ar apskati Ediens par vienkrko un praktiskko divu ziemu funkciju pielietojumu (Div. 1. att.). šeit M 1(x 1; g 1), M 2(x 2; y 2), M3(x 3; g 3) - norāda uz centrālās funkcijas galējību. Un tas pats punkts M 1і M 3 - norāda uz funkcijas minimumu un punktu M 2- punkts її uz maksimumu. 1. attēlā ir parādīta trīs ekstrēmu plankumu, aletic punktu funkcija, dabiski, ka tā var būt vairāk vai mazāk.

Acīmredzot precīzāk, bet arī norāda uz ekstrēmu divu ziemu funkcijai.

vērtību... funkcija maksimums(minimums) Punktā, kas ir paredzēts būt-punktam, kas atrodas dejakijas nomalē - punkta nomalē, vikonutsya (). - nomales var noteikt bez punktiem, kuru koordinātas ir apmierinātas , De - pozitīvi sasniedz nelielu skaitu.

Tiek izsauktas maksimālās un minimālās funkcijas ekstrēmi, A - galējais punkts.

čau M 0(x 0; g 0) - jebkuras funkcijas galējības punkts (maksimālais punkts vai minimālais punkts). Tody ir godīgs

1. teorēma.

Jakšo galējības punktā M 0(x 0; g 0) Pārlūkot privāto zaudēto і , Tad smirdoņa aizvainošana maksās nulle:

2) Tagad funkcija ir skaidra . Tātad jaks - funkcija ir ārkārtīgi svarīga, tad funkcija tiek zaudēta, kad y = y 0, Yaksho uzvarēja іsnu, dorіvnyuє uz nulli:

(3)

Teorēma ir pabeigta.

Dārgais, mazgājiet (1) є nav nepieciešamas asprātības galējība punktā M 0(x 0; g 0) Diferencēt visā funkcijas punktā. Tobto, nedomājiet ar pietiekamu prātu par to, kurš ir punktā M 0(x 0; g 0) Funkcija būs papildu ekstremitāte (maksimālais chi minimums). Іnkshe šķiet, punkts M 0(x 0; g 0), Ja nodarījums ir aizrautīgs (1), є atņemts pusaudža vecums funkcijas galējā punktā. Atlikušo stāstu par šādu aizdomu būtību punkta galējā punktā var izstrādāt saskaņā ar papildu uzlabotajām teorēmām (izraisītas bez dzīvības):

2. teorēma.(Pietiekams ekstrēma liecinieks)

čau M 0(x 0; g 0) ir šāds punkts reģionā D Funkcijas apzīmējums, lai tai būtu jānosaka nepieciešamie nosacījumi (1) līdz centrālās funkcijas galam. Tobto M 0(x 0; g 0) - palielināts līdz galējam punktam. Mēs zinām skaitļa punktā

(4)

1) Jakšo > 0 і > 0 (apmēram 3> 0 plkst A = 0), Tas M 0(x 0; g 0) – minimālās funkcijas punkts .

2) Jakšo > 0 і < 0 (apmēram Z<0 plkst A = 0), Tas M 0(x 0; g 0) – maksimālās funkcijas punkts .

3) Jakšo < 0, tad punkts M 0(x 0; g 0) – ne kripatiņas ekstrēmu funkcijas .

4) Jakšo = 0, tad ēdiens tiks parādīts kā displejs - tas ir nepieciešams pirms dienas beigām.

1. dibens.čau Xі plkst- vairākas jaunas preces; p 1 = RUB 8 i p 2 = RUB 10 - cena vienai ādas izstrādājumam no preču partijas ir piemērojama; C = 0,01(x 2 + xy + y 2) - vitrāta funkcija (rubļos) cich preču ražošanai. todі dohіd R no preču pārdošanas noliktavā R = 8x + 10 g(Rub.), Un ierašanās P noliktava (rubļos)

P = R - C = 8x + 10y - 0,01(x 2 + xy + y 2).

mēs zinām, apmulsis Xі plkst preces, ierodoties P būs visvairāk.

1) zināmo vērtību saraksts ( X; plkst), Підозрілі par ekstrēmu funkcijai P:

2) Tagad es zinu, ka esmu gatavs kādas funkcijas ekstrēmam P punktu M 0(200; 400). Daudziem tas ir zināms tsy nozīmes punktā, jo tas sākas ar vīrusiem (4). Tātad jaks

un tas ir labi tiem, kas ir ( X; plkst), Un tas nozīmē, i punktos M 0(200; 400), tad

Tātad jaks un tas ir punkts M 0(200; 400) - norāda uz funkcijas maksimumu P... Tobto ierašanās P no pārdošanas būs maksimālais plkst x = 200(Od)і y = 400(Od) i durvis 2800 rub.

2. dibens. Zināt ekstremālās un ekstremālās funkcijas punktus

Lēmums. Qia funkcija - divu ziemas funkcija, kas paredzēta tiem Xі plkst, Tobto visā teritorijā hou, І maє ādā un privāto punktus pirmajā secībā:

Ar dažiem zināmiem apgabala punktiem hou, Підозрілі ekstrēmā šai funkcijai:

Pēc tam, ja zināt privātās funkcijas citā secībā, varat pierakstīt rotāciju:

Aprēķinot pašreizējās ādas vērtību skaita skaitliskās vērtības no pusaudžu skaita līdz punktu galam, mēs varam atpazīt visnovkas sākumu par punktiem:

Speck min.

Speck maks.

Chi nav punkts uz galējībām.

Chi nav punkts uz galējībām.

Tagad ir divas funkcijas galējās (maksimālās) vērtības, kas sākas no divām visas funkcijas grafika virsotnēm:

Slēgtā teritorijā divu ziemu funkciju lielākā un mazākā vērtība.

Skaidrs, ka es ķeršos pie uzdevuma. Nekhai ir dejaka bez pārtraukuma divu ziemas cilvēku funkcijā, ko var redzēt slēgtā zonā, de - reģiona iekšējā daļā un G- її apmale (8.6. att.).

Tie, kuru funkcija apgabalā netiek pārtraukta, tas nozīmē, ka visas funkcijas grafiks (virsma atklātā telpā) ir sūkšanas (bez razriviv) virsma visiem. Izprast divu minionu nepārtraukto funkciju ir analoģisks izpratnei par viena un tā paša nepārtrauktās funkcijas. Abas viena funkcijas mainās, funkcijas diviem, kas izveidotas ar elementārām funkcijām, bez pārtraukuma visām to argumentu nozīmēm, jebkurai vērtības smirdēšanai. Ir trīs funkcijas, kas ir svarīgākas.

Pievēršoties att. 2. Iespējamās pārtikas piegādes: dažos reģiona punktos tā augstākās un zemākās vērtības sasniegšanas funkcija z naibі z naim? Kāda ir nozīme? Jāatzīmē, ka uzdevums ir līdzīgs šim uzdevumam, ka tas tika aplūkots pēc vienas izmaiņas, ka tas aplūkoja slēgtu skatu [ a; b] ass Ak.

Acīmredzot apgabala punkti, kuros savas lielākās un mazākās vērtības sasniedzamības funkcijas atrodas vai nu to punktu vidū līdz centrālās funkcijas ekstremitātei, kas atrodas vidējos reģionos (reģionā). ), vai jāatrodas šeit uz kordona G tsy galuzy. Slēgtā zonā šādus punktus ir viegli zināt (Veijerštrāsa teorēma). Un atklātā vietā (bez kordona G) Šādu punktu var nebūt.

No minētās vishche viplivaє šķebinošs znakhodzhennya qih punktu diagramma, Tas ir līdzīgs tam, kas ir wikladen vienas izmaiņas funkcijām.

1. Ir zināms, ka ikviens ir uzņēmīgs pret funkcijas punkta ekstrēmu, kas atrodas apgabalā D... Tse - tie punkti, kuros apvainojums ir privāts, vecs un noved pie nulles (vai nu viens ir dārgs līdz nullei, bet tas nav ārprāts, vai arī tas nav aizvainojošs).

2. Ir zināms, ka visi ir uzņēmīgi pret funkcijas punkta ekstremitāšu, kas atrodas uz kordona. G apgabali. Vikoristovu mo rivnyannya kordona klātbūtnē G.

3. Punkta (cenas) 1. un 2.punktā nevar zināt, funkcijas vērtība ir zināma visos zināmajos laikmeta punktos un no tiem, z būt lielākajam un mazākajam.

3. dibens. zināt z naibі z naim funkcijas, lai apskatītu slēgtā zonā, kas ir trīsstūrveida plāksne ar galotnēm O(0; 0), A(1; 0), B(0; 1) (3. att.).

Lēmums. Viconaєmo Vicladenu vische diagramma.

1. Mēs zinām visu trīsriteņa vidusdaļu (reģionā D) Punkti, kas ņemti mūsu funkcijas ekstrēmā z... Par plašu avotu klāstu mēs zinām tālāk norādīto.

Jūs varat skaitīt (ir iespējams skaitīt) par jebkuru (X; y)... Oche, punkti, aizdomas par ekstrēmu, to atņems, tiem apvainojošiem un privātiem, zaudēja uz nulli:

Acīmredzot mērķis ir izsekot apgabalam D(Oskilki vіn paskatījās trikutnik). Tobto vona - dozēts galējā punktā noteiktai funkcijai z viss trikotāžas vidū, un tur ir tikai viens.

2. Mēs tagad zinām punktu, uz ekstremitātes, uz trīsriteņa kordona.

a) Doslіdzhuєmo ar kolekciju dilyanka OA Meži ( plkst= 0; 0 £ X 1 £). Pie tsy dilyantsi - vienas izmaiņas funkcija X... Visiem xÎ. Līdz ar to tās galējās funkcijas z varbūt mati, abo punktos, de, tobto punktos vai beigās OA, Tobto punktos Par(0; 0) і A(1; 0).

b) Doslіdzhuєmo tagad dіlyanka OV mezhi trikutnik (tur X= 0; 0 £ plkst 1 £). Pie tsіy dіlyantsі funkcijas (0 £ plkst£ 1) - vienas izmaiņas funkcija plkst... Atkārtoti mirkuvannya punkts (a), runa ir par visnovka, ar savu ekstremālo funkciju z varbūt mati, vai nu punktā, vai galos OV, Tobto punktos Par(0; 0) і B(0; 1).

c) Nareshty, dolzhuєmo dilyanka AB Mezhi. Tā jaks tālāk AB(Pāriet uz tsomu) y = - x + 1 (0 £ X£ 1), tad tur ir funkcija z nabuvaє viglyadu: (0 £ X 1 £). Tas ir obhidny funkcijas galējās nozīmes dēļ z to var sasniegt punktā, de, tobto punktā vai beigās AB, Tobto punktos Aі V.

Otzhe, jauns pidosrilh komplekts funkcijas galējos punktos
trīsritenī OAV tāds:

; ; ; ; ; ; .

3. Un tagad mēs zinām funkcijas nozīmi z visos zināmajos punktos un vibrācijās vērtība ir visnozīmīgākā z naib es novērtēju vismazāk z naim:

Tādā rangā, z naib = 3 un sasniedziet funkciju z trīsritenī OAV uzreiz divos punktos - abās virsotnēs Aі V... Un viņa var sasniegt funkciju z trīsritenī OAV yo iekšējā punktā.

4. dibens. Pilsētas budžetā potenciāls dzīvotspējai sociālajai dzīvei ir ne vairāk kā 600 miljoni rubļu, pateicoties projektiem un zemes gabaliem 10 piecstāvu ēkām uz 90 ādas dzīvokļiem un 8 deviņstāvu ādas ēkām uz 120 dzīvokļiem. Viena dzīvokļa vidējās izmaksas piecu stāvu kabīnē maksās 400 tūkstošus rubļu, bet deviņu augšējo kabīnē - 500 tūkstošus rubļu. Cik no piecstāvu un deviņu augšstāvu mājām ir vainojamas maksimālā dzīvokļu skaita nepareizi uzrādīšanā?

Lēmums.čau X- šukana piecu galotņu budinku skaits, y - deviņi top, un z - neskaitāms dzīvokļu skaits cikh kabīnēs:

z = 90x + 120y

Visu dzīvokļu partnerība piecstāvu kabīnēs noliktavā 90 × 0,4 X = 36X miljoni rubļu, bet deviņos augšējos 120 × 0,5 plkst = 60plkst miljons rubļu Tas ir slavens ar mamo meistara prātu:

0 £ X£ 10; 0 £ plkst 8 £; 36 X + 60plkst£ 600

Dani obezhuvalny nervosti vikonuyutsya, protams, piecu kutnik (4. att.). Slēgtā zonā ir jāzina punkts M (x; y), Jebkurai funkcijai z = 90x + 120y pieņemt vislielāko vērtību z naib.

Realizumo vicladenu vishche shēma šāda veida radīšanu.

1. Ir zināms, ka viss piecu ceturtdaļu punkta vidus ir jutīgs pret funkcijas ekstrēmu z... Tātad jaks , І ci privatni otvіdnі noteikti līdz nullei netikām, tad piecu gadu maršruta vidū netikām līdz punktu ekstremitātei.

2. Mēs zinām punktus, p_dozr_li uz ekstremitāšu, uz pyatikutnik kordoniem. Uz ādas s n'yadrizkiv, kā izveidot pyatikutnik kordonu, funkcija z- līnijas funkcija prātā z = cirvis + by Un no tā paša, tā lielākā un mazākā vērtība, kādu var sasniegt vidrizkovas kordonos. Tobto shukane ir lielākā vērtība z naib funkcija z sasniegt vienu no augstākajiem punktiem (O; A; M 1; M 2; B)... vērtību aprēķināšana z qix punktos, otrimaєmo:

z(Par) = 0; z ( A) = 960; z ( M 1) = 1260; z ( M 2) = 1380; z ( B) = 900.

Šis rangs z naim= 1380 un sniedziet roku līdz punktam M 2(10, 4). Līdz lielākajam dzīvokļu skaitam (1380) pilsētā būs 10 piecstāvu dzīvokļi un 4 deviņu stāvu dzīvokļi.

dibens 5... Lai no labākajiem tricītiem atnestu, cik Dānijas perimetrs ir 2p, viskvadrātākais ir vienpusējs trīsstūris M (2p / 3, 2p / 3), lai šie punkti nebūtu apmierināti ar uzdevumu klāstu: jūs nevar būt divpusējo durvju perimetrs ...

Doslidzhuєmo līdz galējībai M (2p/3, 2p/3):

∂ 2 f / ∂x 2 = -2p (p-y); ∂ 2 f / ∂x∂y = p (2x + 2y-3p); ∂ 2 f / ∂y 2 = -2p (p-x);

D = AC-B2 =;

D> 0 Un tas A<0 Pēc tam funkcijas punkta priekšnosacījumos tiek sasniegts maksimums. Otzhe, vienā stacionārajā punktā funkcija ir sasniedzama līdz maksimumam un līdz lielākajai vērtībai; tāds rangs, ar x = 2p/3, y = 2p/3 sasniedzamības funkcija un vislielākā vērtība. Ale Todi z = 2p-x-y = 2p/3... Un tas x = y = zŠis trikutnik ir vienādmalu.

Ziemas uzlīmju funkcijas

1. Galvenās vērtības

1. vērtība.Šķiet, ka ādas pāris (x; y) ir izmaiņu x un y vērtība, tāpēc personu bez pāra D, iestatot vienu un tikai vienu skaitli zÎR, sauc par divu vīnu funkciju, kas nozīmē z f ( x; y). D = D (f) ir funkcijas f apgabals.

2. Privātā un papildus funkciju palielināšana divas ziemas

Tā kā funkcijā z = f (x; y) vienas vērtības fiksēšanai tiek izmainītas divas x un y, piemēram, y = y 0, tad varam pieņemt funkciju z = f (x; y 0), tātad. ka vienu var atrast tajā pašā mainīgajā x.

Līdzīgi, ja mēs fiksējam izmaiņas x = x 0, mēs varam pieņemt šīs pašas izmaiņas funkciju z = f (x 0; y).

2. vērtība. Lielumu D x z = f (x 0 + Dx; y 0) - f (x 0; y 0) sauc privātā zbіlshennya funkcija z = f (x; y) punktā (x 0; y 0) ar argumentu x.

3. vērtība. Lielumu D y z = f (x 0; y 0 + Dy) - f (x 0; y 0) sauc privātā zbіlshennya funkcija z = f (x; y) punktā (x 0; y 0) attiecībā pret argumentu y.

4. vērtība. Lielumu Dz = f (x 0 + Dx; y 0 + Dy) - f (x 0; y 0) sauc Palielināsim pieaugumu funkcija z = f (x; y) punktā (x 0; y 0).

3. Divu ziemu privātās funkcijas

Dotas funkcijai z = f (x; y) divas neatkarīgas izmaiņas x un y. Labojiet vienu no tiem, piemēram, vvazayuchi y = const, mēs nonākam pie vienas izmaiņas x. Todi var ieviest izpratni par primitīvo otriman funkciju x, kas ir nozīmīga. Ir vērts pieminēt tā paša ziemas mamo funkcionālās funkcijas:

Biznesa vērtība 5. Funkcijas z = f (x; y) privātā pieauguma D x z attiecības robeža x izmaiņām līdz x izmaiņu Dx pieaugumam pie Dx, ja nokrīt līdz nullei, izsauc privāti neķītri funkcijas uz x un jāatpazīst; ;

Līdzīgi, lai sāktu un nozīmētu privāti nozagts funkcija z = f (x; y) saskaņā ar y izmaiņām.

1. dibens. Zināt privātās funkcijas:

1.f (x; y) = x 3 + x 2 y 2 + y 3 + 3;

2.z = x y + y x.

Lēmums

1. Vazhayuchi y = const, i vazhayuchi pie tām pašām x neatkarīgajām izmaiņām, mēs zinām

Līdzīgi ar x = const, apsēsts .

2. Ja y = konst

;

pie x = konst

Visu teikto var paplašināt attiecībā uz jebkura skaita minionu funkcijām.

2. dibens. Zināt privātās funkcijas

u = f (x; y; z) = cos (x 2 + y 2 + z 2).

Lēmums

Sin (x 2 + y 2 + z 2) × 2x, y = const, z = const;

Sin (x 2 + y 2 + z 2) × 2y, x = const, z = const;

Sin (x 2 + y 2 + z 2) × 2z, x = const, y = const.

Privāto veco svārstības ir no ziemu deciļu funkcijām, kā arī ziemas deciļu funkcijām, tad tām var arī uzskaitīt privātās. Viņi to sauc privāti veci pasūtījumi.

Piemēram, funkcijai f (x; y) ir divi veco funkciju veidi un veidi atšķirīgā secībā:

- draugu nolaupījis x;

і = - zaudētās daļas maiņa

- draugu nolaupa y.

4. Divu funkciju ārējais diferenciālis

Biznesa vērtība 6. Sauksim Dz vispārējā pieauguma galvas daļu, taisni attiecībā pret argumentu Dx un Dy pieaugumu, kā divu izmaiņu x un y funkcijas z = f (x; y) diferenciāli.

Ņemot vērā, ka Dx = dx і Dy = dy, funkcijas z = f (x; y) sekundāro diferenciāli var aprēķināt pēc formulas

3. dibens. Aprēķiniet jauno diferenciālo funkciju

z = ln (x 2 + y 2).

Lēmums. Mēs zinām veco un doto funkciju privātumu

Aizstāšana formulā (3.5) ir

dz =

Zināt privātās funkcijas

284. z = x 2 + 2xy + y 2 + 5 285. z = (x + y) 3

286. z = 287. z =

288. z = x 3 y - y 3 x 289. z = 2 g

290. z = x y ln (x + y) 291. z = ln

292. z = ln + ln x y 293. z =

294. z = e y / x - e x / y 295. z = x y + sin

296. z = sin (x 2 y + xy 2) 297. z = y x + arctan

Zināt cita pasūtījuma privātumu

298. z = x 4 + 4x 2 y 3 + 7xy + 1 299. z = x 2 y

300.z = 4x3 + 3x2 y + 3xy 2 - y 3 301.z = xy + grēks (x + y)

302. z = sin x cos y 303. z =

304.z = xe y 305. z = x + y +

306. z = x 2y 307. z = ln (x + e xy)

Pārskatīšana, scho

308. z = 309. z = ln (x - 2y)

310. z = 311. z = x 2 sin

312. z = 313. z = arctāns

Iepazīstieties ar jauno funkcionālo diferenciāli

314.z = xy 3 — 3 x 2 y 2 + 2 y 4 +1 315. z = 3 x 2 y 5

316. z = sin (x 2 + y 2) 317. z = x y

318. z = e xy 319. z = e x cos y

320.z = e y cos x 321.z = cos + sin

5. Divu ziemu ekstrēmās funkcijas

Galvenās vērtības

1. vērtība. Punktu М (x 0; y 0) sauc par funkcijas z = f (x; y) maksimuma (minimuma) punktu, jo tas atrodas tuvu punktam M, tā ka visiem punktiem (x; y) trūkst izpratnes:

f (x 0; y 0) ³ f (x; y), .

1. teorēma (Jādomā par ekstrēmu) ... Ja funkcija z = f (x; y) ir diferencēta, tā ir pieejama ekstrēmumam punktā M (x 0; y 0), tad pirmās kārtas ;

Punkti, dažos privātos, tiek ņemti līdz nullei, tiek izsaukti stacionārs abo kritiskie punkti.

2. teorēma (Prāta pietiekamība ekstremitātei)

Ļaujiet funkcijai z = f (x; y):

a) ir norādīts dejakomā pie punkta (x 0; y 0), jakā і;

b) var izmantot tajā pašā punktā, nepārtraucot privātos datus citā secībā

;

Todi, ja D = АС - B 2> 0, tad punktā (x 0; y 0) funkcijai z = f (x; y) ir ekstrēmums, turklāt, ja А< 0 (или С < 0) – максимум, если А >0 (abo C> 0) - minimums. Brīžiem D = AC - B 2< 0, функция z = f(x; y) экстремума не имеет. Если D = AC - B 2 = 0, то требуется дальнейшее исследование (сомнительный случай).

1. dibens. Zināt funkcijas z = x 2 + xy + y 2 - 3x - 6y ekstrēmu.

Lēmums. Mēs zinām pirmo privātuma kārtību:

Skoristya ar nepieciešamo prātu un ekstrēmu:

Virіshuyuchi sistēma rіvnyany, mēs zinām koordinātas x un y stacionāros punktus: x = 0; y = 3, tas ir, M (0; 3).

Ir numurēti privātie citā secībā, un to nozīmi mēs zinām M punktā.

A = = 2; C = = 2;

Savā ziņā diskriminants D = AC - B 2 = 2 × 2 - 1> 0, A = 2> 0. Tad punktā M (0; 3) funkcija ir iestatīta maє minimums. Funkcijas vērtība punktā z min = -9.

Zināt ekstrēmu funkcijas

322. z = x 2 + y 2 + xy - 4x - 5y 323. z = y 3 - x 3 - 3xy

324. z = x 2 - 2xy + 4y 3 325. z = - y 2 - x + 6y

326. z = x y (1 - x - y) 327. z = 2xy - 4x - 2y

328. z = e - x / 2 (x + y 2) 329. z = x 3 + 8y 3 - 6xy + 1

330.z = 3x2 y - x 3 - y 4 331.z = 3x + 6y - x 2 - xy + y 2

Divu ziemu svarīgākās un vismazākās funkcijas

Slēgtā teritorijā

Lai uzzinātu lielākā daļaі vismazāk funkcijas nozīme norobežotajā zonā, prasība:

1) zināt kritiskos punktus, roztasvani noteiktā apgabalā, un aprēķināt funkcijas vērtību šajos punktos;

2) zināt kritiskos punktus uz reģiona kordona un aprēķināt tajos nozīmīgākās un mazāk nozīmīgākās funkcijas;

3) no vismazāk zināmā vibrācijas vērtība ir lielākā un vismazākā.

2. dibens. Zināt labāko un vismazāk nozīmīgo funkciju z = skaitlis x 2 + y 2 £ 1.

Lēmums. Mēs zinām to kritisko punktu koordinātas, kas ir izkliedēti dotā laukuma vidū, kuriem ir iespējams aprēķināt pirmās kārtas privātās funkcijas līdz nullei.

zvaigznes x = 0, y = 0 і, arī М (0; 0) ir kritiskais punkts.

Funkcijas z skaitliskā vērtība punktā M (0; 0): z (0; 0) = 2.

Ir zināms, ka var atpazīt kritiskos punktus uz kordona laukuma - apli, kas doti vienādiem x 2 + y 2 = 1. Paredzēti 2 = 1 - x 2 funkcijā z = z (x; y) pēc vienas izmaiņas

z = ;

kur xÎ [-1; viens].

numurēts pazaudēts iestatot to uz nulli, mēs varam noņemt kritiskos punktus kordona zonā x 1 = 0, x 2 =, x 3 =

Mēs zinām funkcijas z (x) = vērtību kritiskajos punktos un ceļa galos [-1; 1]: z (0) =; =; ; z (-1) =; z (1) =

Vislielākā un vismazākā funkcijas z vidējā vērtība ir kritiskajos punktos, izplatoties vidū un uz kolas kordona.

Otzhe, z naib. = Z (0; 0) = 2

z naymenuwan. = z

gudrs ekstremāls

2. vērtība. Noņemsim funkcijas z = f (x; y) ekstrēmu, lai to sauktu par visas funkcijas ekstrēmu, sniedzoties pēc prāta, lai mainītu x un y, adīšanas vienāds j (x; y) = 0 (vienāds saite). , Y =.

Tādā rangā hipotēzei ir vismazākā nozīme, tāpat kā trīsriteņa rivni kājas savā starpā.

Zināt labākās un nenozīmīgākās funkcijas:

332. z = x 2 - xy + y 2 - 4x slēgtā zonā, ko ieskauj līnijas x = 0, y = 0, 2x + 3y - 12 = 0.

333. z = xy + x + y kvadrātā, ko ieskauj taisnas līnijas x = 1, x = 2, y = 2, y = 3.

334.z = x 2 + 3y 2 + x - y trīsritenī, ko ieskauj taisnas līnijas x = 1, y = 1, x + y = 1.

335.z = sin x + sin y + sin (x + y) domēnā і 0 £ x £, 0 £ y £.

336.z = xy ar skaitli x 2 + y 2 £ 1.

337.z = 1 - x 2 - y 2 ar skaitli (x - 1) 2 + (y - 1) 2 £ 1.

338.z = x 2 + y 2 ar skaitli (x -) 2 + (y -) 2 9 £.

339. Zināt funkcijas z = x 2 + y 2 ekstrēmu, ja x un y ir piesaistīti vienādam = 1.

340. Trīs trīsriteņi, kur ir P perimetrs, zina apgabalam lielāko.

341. No dotā laukuma S zināt mazākās vērtības perimetru.

342. Vizuāli atvērtā baseina izmērs ar tilpumu V, tāpēc varu nosaukt virsmu.

343. Zināt taisnstūra paralēlskaldņa izmēru, kuram uz virsmas var dot maksimālo virsmu S.

344. Vizuāli drenai vispiemērotākais balona izmērs, virsma S = 6p.

* Pid saproti necaurredzamībaі izvairīšanās intelekta funkciju grafiks necaurredzamība kalnāі uz leju noteikti.