Laurent rindas ir izolēti īpaši punkti un klasifikācija. Īpašu punktu izolācija

īpašs punkts

matemātikā.

1) Līknes punkts ir īpašs, dots ekvivalentiem F ( x, y) = 0, - punkts М 0 ( x 0, y 0), jebkurās aizskarošajās privātajās funkcijās F ( x, y) Kļūsti par nulli:

Lai gan ne visas pārējās privātās mantotās funkcijas F ( x, y) Punktā M 0 ir nulle, tad O. t. Tiklīdz pirmo kļūdu secība līdz nullei punktā M 0 pārvēršas par nulli un visi pārējie mantojumi vai ne visi trešā mantojuma iet uz nulli, tad O. t. Kad ieraugi šķību, tuvu padotajam O. t. Svarīga loma ir pagrieziena zīmei

Ja Δ> 0, tad O. t. Jāsauc par izolētu; piemēram, līkumos y 2 - x 4 + 4x 2= 0 a koordinātu vāle є izolovana O. t. (Div. Mazs. viens ). Jakšo Δ x 2 + y 2 + a 2) 2 - 4a 2 x 2 - a 4= 0 koordinātu auss є vuzlova O. t. (Div. Mazs. 2 ). Ja Δ = 0, tad O. t. Greizs є ir vai nu izolēts, vai arī to raksturo fakts, ka tas ir greizs vienā un tajā pašā vietā, piemēram: Punkts un veido vēju, tāpat kā līkā g 2 - x 3= 0 (div. Mazs. 3 , a); b) 2. veida pagrieziena punkts - dažādas līkas galvas vienā pusē, kā šķība, kā līka (y x 2)2 x 5= 0 (div. Mazs. 3 , B); c) sevis pieņemšanas punkts (šķībam g 2 - x 4= 0 koordinātu vālīte є pašnoteikšanās punkts; (Div. Mazs. 3 , V). Kārtība іja nozīmes O. t. Є daudz o. t. Іf īpašo nosaukumu; piemēram, asimptotiskais punkts ir spirāles virsotne ar neierobežotu apgriezienu skaitu (div. Mazs. 4 ), Pinnacle punkts, Kutovas punkts utt.

2) Īpašs diferenciāļa rivnjannya punkts ir punkts, kurā viena stunda pārvēršas par nulli, un diferenciāļa rivnjaņja (Div. Differential rivnyannya) labās daļas cipars un baneris.

de R і Q - nepārtraukti diferencēt funkcijas. Atļaujot O. t. Roztašovu uz koordinātu vālītes un Teilora formulas (Div. Teilora formula)

de P 1 ( x, y) І Q 1 ( x, y) - bezgalīgi mazs līdz datumam līdz

Pats, ja λ 1 ≠ λ 2 і λ 1 λ 2> 0 vai λ 1 = λ 2, tad O. t. Vuzols; visas integrālās līknes, ejot cauri punktiem, lai sasniegtu nelielo universitātes nomali, ieietu jaunajā. Ja λ 1 ≠ λ 2 і λ 1 λ 2 i β, α ≠ 0 і β ≠ 0, tad O. t. Fokuss; Visas integrālās līknes, kas iet caur punktiem, lai sasniegtu mazākās fokusa nomales, ir spirāles ar bezgalīgu pagriezienu skaitu jebkurā no mazākajām fokusa nomalēm. Yaksho, nareshtі, λ 1,2 = ± iβ, β ≠ 0, tad O. t. raksturs nesākas tikai ar lineāriem terminiem sadalījumā P ( x, y) І Q ( x, y), ar to nepietiek visiem pārņemtajiem cilvēkiem; šeit O. t. var būt fokuss vai centrs, un tam var būt arī lielāks salokāms raksturs. Centra nomalē visas integrālās līknes ir slēgtas, un centrs atrodas vidū. Tā, piemēram, punkts (0, 0) plkst" = 2y/x(Λ 1 = 1, λ 2 = 2; dal. Mazs. 5 , A) i y" = y/x(Λ 1 = λ 2 = 1; dal. Mazs. 5 , B), ar sēdekli y "= -y / g(Λ 1 = -1, λ 2 = 1 ; cm. Mazs. 6 ), Koncentrējieties uz rivnyannya y "=(x + y) / (x - y) (Λ 1 = 1 - i, Λ 2 = 1 + i; cm. Mazs. 7 ) I centrs rivnyannya y "= -x / y(Λ 1 = -i, Λ 2 = i; cm. Mazs. astoņi ).

Yaksho x, y) і Q ( x, y) Analītiski, tuvu O. t. Kārtībā var iedalīties apgabalos: D 1 - saglabāts pēc integrāllīknēm, ap malām, lai ievadītu O. t. (Elektroniskie apgabali), D 2 - saglabāti pēc integrāllīknēm, viens par vienu (paraboliskie apgabali), і D 3 - laukumi, ko ieskauj divas integrālas līknes, kuras jāiekļauj O. t., starp spilgtām integrētajām hiperbolu tipa līknēm (hiperboliskajiem apgabaliem) (div. Mazs. 9 ). Nav integrālu līkņu, kas ieiet O. t., To O. t. To sauc par stabila tipa punktu. O. st_ykoyu O. t.. Uzglabāt ar slēgtām integrālām līknēm, tātad, lai atriebtos O. t. Mazs. 10 ).

Vivchennya O. T. Differentsialnykh ryvnyany, T. E. Pamatojoties uz neatņemamu līkņu ģimeņu uzvedības attīstību O. T. M. Ļapunova nomalē, A. Puankarē un in.).

3) Īpašs ir nepārprotamas analītiskās funkcijas punkts - punkts, kurā analītiskā funkcija sabojājas (dal. Analītiskā funkcija). Jakšo isnu pie O. t. a, Vіlna vіd іnshih O. t., Tas punkts a sauc izolovanoyu O. t. Yaksho a- Isolovana O. t. I іsnu kintseviy un es saucu usuneno O. t. f(a)= b, To var iekārot, scho a kļūs par svarīgu koriģētās funkcijas punktu. Uz priekšu, punkts z= 0 є pēc t definīcijas. Funkcijai f 1 ( z) = f(z), Jakšo z≠ 0, і f 1 (0), = 1, punkts z= 0 є ar punktu [ f 1 (z) Analītisks punkts z= 0]. jakšo a- Isolovana O. t. f(z), Yaksho un Laurent sērijas) funkcijas f(z) Nomalē izolētā O. t.Neatriebties par negatīviem soļiem z - a, jakšo a- nojaukt O. t., Atriebties negatīvo soļu skaitu z - a, jakšo a- stabs (tsom staba secībā R Tas ir sākums soļu un - bet punkts ir īpaši īpašs. Piemēram, funkcijai

p = 2, 3, ...)

plankums z= 0 є kārtības pols R, Funkcijai

plankums z= 0 є bieži vien ir vienskaitlis.

Uz mieta kordona vainīgs viens no darbiniekiem. Visi apgabala robežpunkti ir nepārprotami parādīti analītiskā funkcija (dabiskais kordons) є O. t. Tsієї funkcijas. Tātad visi viena mieta sīkumi | z| = 1 є funkcijai īpašs

Par bagātīgi jēgpilnu analītisko funkciju izpratnes "Par t." Krim O. t., Romiešu virsmas funkcijas (tobto O. t. Viennozīmīgi analogie elementi) apkārtnē, vai tas ir izplatības punkts, ir arī є O. t. Funkcijas. Rīmaņa virsmas izplatības punktu izolēšana (tie ir izplatības punkti, kas dažās nomalēs, vienā arkā, nav vienīgie O. t. Funkcijas) tiek klasificēti kā uzbrukuma pakāpe. Yakscho a - bezgalīgās kārtības sadales punkts ir izolēts un saukts par kritisko polu. jakšo a- Izolēts nepabeigtas kārtas sadales punkts un tiek saukts par transcendentālo O. t. Visi izolētie sadales punkti tiek saukti par kritiskiem, bet ļoti īpašiem punktiem. Pieteikties: punkts z= 0 є ar funkcijas f ( z) = Ln z un kritisks un ļoti īpašs funkcijas punkts f (z) = Sin ln z.

Be-yak O. t., Krim novājināts, є pāreja ar analītisko progresu, tas ir.

Lielā Radianskas enciklopēdija. - M .: Radianskas enciklopēdija. 1969-1978 .

Lieliski par "Īpašo punktu" vārdnīcās:

Vkazuє syudi. Div. Punkts ir arī ļoti īpašs (diferenciālā rivnyannya). Singularitātes īpatnība matemātikā ir punkts, kurā matemātisks objekts (funkcijas izsaukums) nenozīmē vērtības, bet ir neregulāra uzvedība (piemēram, punkts ... ...

Analītiskā funkcija ir punkts, kurā tiek iznīcināts analītiskais prāts. Līdzīgi analītiskā funkcija f (z) ir iestatīta punkta z0 apakšējā malā visur ... fiziskā enciklopēdija

Analītiskā funkcija ir vieta, kur analītiskā funkcija sabojājas ... Lielā enciklopēdiskā vārdnīca

īpašs punkts- - [J.N. Luginskis, M.S. Fezi Žilinskis, J.S.Kabirovs. Angļu krievu elektrotehnikas un elektroenerģētikas vārdnīca, Maskava, 1999] Elektrotehniskās tēmas, pamata izpratne LV vienskaitlis ... Dovidnik tehniskā nodošana

1) O.t. Analītiskā funkcija f (z) pārnesei kompleksā mainīgā z funkcijas f (z) elementa analītiskajam turpinājumam pa jebkuru ceļu ziemas zemē. Ļaujiet analītisko funkciju f (z) apzīmēt ar aktu ... ... matemātiskā enciklopēdija

Analītiskā funkcija, punkts, kurā tiek iznīcināta analītiskā funkcija. * * * SINGUISHING POINT ANALĪTISKĀS FUNKCIJAS DZIEDOŠANAS PUNKTS, punkts, kurā analītiskā funkcija sabojājas ... enciklopēdiskā vārdnīca

īpašs punkts- ypatingasis taškas statusas T joma automatika atitikmenys: angl. vienskaitļa punkts vok. singularer Punkt, m rus. vienskaitļa punkts, f pranc. punktu particulier, m; point singulier, m ... Automatikos terminų žodynas

Teilora rinda, lai kalpotu kā efektīvs veids, kā ieviest funkcijas, kas ir analogas zol skaita ziņā Rinda (1), ko paredzēts saukt par divu rindu summu, ko saukt par Lorāna secību. Ir skaidrs, ka degradācijas zona rindā (1) ir ādas zonas (2) degradācijas zonu aizmugurējā daļa. Mēs zinām її. Interešu apgabals pirmajā rindā ir rādiusu skaits, kas jābalsta uz Košī-Hadamara formulu. Otra rinda ir statiska rinda, kas atšķiras. ) є likmes numurs - tas ir arī galvenais rindu skaita laukums (3) un (4) - apļveida gredzens, kurā rinda (1) saplūst ar analoga funkcija. Tajā pašā laikā jebkurā lokā ir absolūti un taisnīgi saplūst. Pielietojums 1. Vizuāli intereses apgabals priecē Lorāna rinda Izolēti konkrēti punkti un klasifikācija M Pirmās rindas konverģences apgabals ir likmes nosaukums un apgabals no otras rindas ir iekšējais aplis Tim- pats, ļaujiet man iziet cauri rindai. funkcija f (z), nepārprotama un apolitiska apļveida veidā. Es ievērošu Košī integrāļa teorēmu daudzkārt savienotam laukumam, kuru var pārveidot par okremo ādu ar integrāļiem summā (8). Visiem punktiem £ pēc skaitļa 7d * var uzzināt punktu skaitu skaitļā 1 + 1. Visiem punktiem £ uz apkārtmēra var iedomāties, ka viglyadi var attēlot citas lietas sumi, funkcijas formulās (10) un (12) є analogas funkcijas apļveida aplī. Tāpēc, pamatojoties uz Košī teorēmām, visu veidu integrāļu nozīme nemainās, jo tā aizstāj apli 7 / r un 7r / be circle. Tas ļauj izmantot formulas (10) un (12), Z ir neatņemama formulas (8) labajā daļā un virāzes (9) un (11), acīmredzot, ir pieņemams to izmantot. sērija (14) ) saplūst ar funkciju f (z) visā aplī, un jebkurā aplī rindas saplūst ar visu funkciju absolūti un vienlīdzīgi. Tagad mēs varam izlikt formu (6) єdino. Tiek atzīts, ka tas ir tikai viens veids, kā to novietot pa visu apļa vidu R matimemo Uz rindas (15) apkārtmēra tie saplūst vienādi. Vienlīdzības daļas pārkāpuma reizināšana (de t - fiksēts vesels skaitlis, un rindas pārkāpumu integrēt pēc termiņa. Atliek vien panākt izkārtojuma viendabīgumu. Skaitlis (6), izpildījums no kuriem aprēķina pēc formulas (7), sauc par Lorāna skaitli funkcijai f (z) skaitļā Formulas (7) funkcijām virknē Loren par praksi stagnēt maz, vairāk, kā likums , lai izvairītos no apjomīgiem skaitļiem.. Pielietojums 2. Apskatiet Lorāna dažādu reģionu funkciju sarakstu, ņemot Fuisciya / (d) divus īpašus punktus:. tromboze punktā = 0. ādas funkcijās / (d) є analītiski: a) kolas gredzens (27. att.). Funkcijas / (z) lokalizāciju ādā mēs zinām no cich zonām. Uyavimo / (z) viglyadі sumi elementārdaļskaitļos а) Colo Pārveidojiet attiecības (16) pievērsīsimies Vikoristu formulai ģeometriskā progresa sumi locekļiem, mēs to varam pieņemt ar funkciju kopas burtiem formulā ( 17): b) Aplis funkcijai -p kļūst konverģents visā aplī, tā kā sērija (19) funkcijai j ^ j | z | > 1 atšķiras. Šim nolūkam funkciju / (z) var izveidot no jauna nākamajā rangā: kad ir zināma zasosovuyu formula (19), iespējams, ka sērijas saplūst. Izplatīšanas iespēja (18) un (21) periodā (20); z | > 2 atšķiras, un sērija (21) funkcijai / (z) aizskarošā skatījumā: /<*> Vikoristovyuchi formulas (18) un (19), var redzēt ABO 1 Ir parādīts tā muca, vienai un tai pašai funkcijai f (z) loranovskoy izkliedē, vzagalі kazahuchi, maza acs maziem bērniem. 3.pielikums. Zināt Lorāna rindas Lorāna funkciju 8.rindas izkārtojumu Konkrētu punktu un klasifikāciju izdalīšana apgabala lokā (22), 4.pielikums.Lorāna sērijas paplašināšana līdz funkcijai tievā tuvumā zq = 0. jebkurai sarežģītai mašīnai Sadalījums ir derīgs jebkuram punktam z Ф 0. punktam z - 0. Reģionu var balstīt uz attiecības sākumu: Funkcija ir analītiska Z formulu apgabalā (13 ) par sniegumu Laurent sērijā ar tādiem spoguļiem kā iepriekšējā punktā, ir iespējams secināt ja funkciju f (z) ieskauj aplis, de M ir stabs), tad izolētos vienskaitļa punktus punktu zo sauc par funkcijas / (z) izolētu speciālo punktu, jo punkta aplis ir kura funkcija f (z) ir nepārprotams un analītisks. Pašā punktā zo funkcija vai nu nav piešķirta, vai arī nav viennozīmīga un analītiska. Ir trīs veidu vienskaitļa punkti, kas rodas no funkcijas / (g) uzvedības, kad tie atrodas tuvu punktam zo. Ir īpašs punkts, ko sauc: 1) īpašs punkts tiek saukts: 1) īpašs punkts, kas ir īpašs punkts, kas raksturīgs pārsēju centram th. 16. teorēma. Funkcijas f (z) īpašs punkts z0 ir izolēts є ar īpašu punktu tajā un tikai pieskārienos, jo funkcijas f (z) lokālā izplatība punkta zo tuvumā neatriebjas. galvas daļa, tas ir, E. Maє vig brutālais spēks ir vienskaitlis punkts. Todi іsnu kіntseviy, līdz ar to funkciju f (z) ieskauj th funkcijas punkta tuvuma punkts / (g) punkta zq tuvumā, lai aizstātu tikai pareizo daļu, tas ir, ma viglyad (23 ) і, arī, є Teilora. Nesvarīgi bachiti, z - * z0 Funkcijai / (g) ir robežvērtība: 17. teorēma. Funkcijas f (z) speciālais punkts zq ir izolēts, to lieto tikai tad, ja funkcija J (z) ir ietverta caurdurtā zonā pie punkta zq, Zgmechai ni. Nekhai go - funkcijas f (r) punkts ir ļoti īpašs. Vazhayuchi mēs atzīstam, ka funkcija / (g) ir analītiska deyakom uz citu, kas centrēta punktā. Tse viznacha Es nosaukšu punktus - meklēšana. 18. teorēma. Funkcijas f (z) vienskaitļa punkts zq ir izolēts ar polu tādā gadījumā un tikai tādā gadījumā, ja funkcijas f (z) Lorāna dekompozīcijas galvas daļa punkta tuvumā. ir aizstāt atsevišķu terminu skaitu, piemēram, nulle E. 4 Nāc, z0 ​​ir pols. Tātad, tā kā tuvākais punkts z0 ir caurdurts, funkcijā f (z) tas ir analītisks un redzams no nulles. Tajā pašā laikā tiek piešķirta analītiskā funkcija, un punktam zq tiek piešķirts īpašs funkcijas punkts (nulle); tas ir analogs punkta zq nomalē, un tas pats, skaņas nav redzamas, bet tas tagad tiek atzīts, ka funkcija f (z) atrodas punkta z pārdurtajā nomalē (24) formā. Tse nozīmē, ka funkcijas tuvumā f (z) ir analītisks vienlaikus ar funkciju. Funkcijai g (z) ir taisnība, ka ir parādīts, ka zq ir pilnīgs funkcijas g (z) meklēšanas punkts un ka funkcija pie 0 pragne ir funkcijas pols. Tas ir vienkāršs fakts. Punkts Zq ir funkcijas f (z) pols tajā un tikai tādā gadījumā, jo funkciju g (z) = var paplašināt līdz analogai funkcijai punkta zq tuvumā, ar g (z0) = 0. Funkcijas pola secība f (z) tiek izsaukta funkcijas jfa nulles kārta. No 16. un 18. teorēmas esam gatavi iet. 19. teorēma. Izolācija ir īpaši smalka є tā ir diezgan īpaša ar to un tikai tādā gadījumā, ja galvenā Laurēna sadalījuma daļa centrālā punkta caurdurtajā nomalē ir aizvietot bezgalīgi daudz dažādu dalībnieku nulles. 5. pielikums. Ar funkcijas vienskaitļa punktu є zo = 0. Lorāna rindas Maєmo. Vienskaitļa punktu izdalīšana un іх klasifikācija Otzhe, zo = O ir vienskaitļa punktu uzskaitījums. Funkcijas / (z) izvietošana Lorāna rindā nulles punkta tuvumā, lai atriebtu tikai pareizo daļu: 7. piemērs. / (Г) = funkcijas īpašs punkts f (z) є zq = 0. Visas funkcijas darbība uz aktīvajām un izteiktajām asīm ir skaidri redzama: uz aktīvās ass pie x 0, uz eksplicītās ass Otzhe, nav labi, bet nav pārtraukta f (z) z - * 0 neeksistē. Tas nozīmē, ka punkts t = 0 ir ļoti īpašs funkcijas f (z) punkts. Ir zināms, ka funkcija f (z) atrodas nulles punkta tuvumā. Jebkuram kompleksam Z maєmo Poklademo. Atriebties bezgalīgam skaitam dalībnieku ar negatīviem soļiem z.

Viznachennya. Tiek izsaukts īpašs funkcijas punkts izolēts, kā darbībā netālu no punkta centra - analītiska funkcija (tobto ir analītiska aplī).

Izolētu funkciju punktu klasifikācija ir saistīta ar funkciju uzvedības ķēdi konkrēta punkta tuvumā.

Viznachennya. punkts jāsauc lietots īpašs funkcijas punkts, kā arī funkcionāla funkcija no gala līdz galam, kad.

5. dibens. Parādiet, ka funkcija ir atsāknēšanas punktā, ir īpaša.

Lēmums. Zaduyuchi pirmā brīnumzeme, neskaitāma

Tas nozīmē, ka funkcija ir dota punktā.

Zavdaņa 4. Parādiet, ka punkts ir satriekts.

Viznachennya. punkts jāsauc stabs funkcijas, jo funkcija nav savijas ar izaugsmi, kad, tobto.

Es ļoti cienu saikni starp nulles un analītiskās funkcijas pola saprastājiem. Skaidrs, ka viglyādas funkcija.

Ja punktu piedod funkcijas nulle, tad funkcija atrodas pirmpolā

Ja funkcijai punkts ir nulles kārta, tad funkcijai pols pasūtījums.

6. dibens. Parādiet, ka funkcija atrodas trešās kārtas punktpolā.

Lēmums. Vvazayuchi, otrimaєmo. Kad tas ir pragmatiski līdz nullei, pastāv maєmo likums. Todi, un līdz ar to arī pati funkcija nav saistīta ar izaugsmi. Arī punkts є pie staba ir īpašs. Funkcijai punkts acīmredzami ir є trīskāršā nulle. Tādējādi noteiktai funkcijai punkts є ir trešās kārtas pols.

Zavdaņa 5. Parādiet, ka punktā ir vienkāršs stabs.

Viznachennya. punkts jāsauc Ļoti īpašs funkcijas punkts, jo visā punktā nav bezgalīgas, bezgalīgas funkcijas robežas (funkcijas uzvedība nav piešķirta).

Nāc є ustotno īpašu funkciju punktu. Jebkuram iepriekš norādītam kompleksam skaitlim ir šāda punktu secība, kas saplūst, veidojot tiltu, uz kuru vērtību virzīt: ( Sokhotska teorēma).

7. dibens. Parādiet, ka funkcija ir ļoti īpaša.

Lēmums. Dotās funkcijas uzvedība ir redzama punkta tuvumā. Pārveidojot darbības ass pozitīvo daļu (tobto) maєmo і; ja darbības ass (tobto) ir negatīva daļa, tad i. Tas nozīmē, nav іnu starp prі. Vērtības ziņā funkcijas ziņā ir liela īpatnība.

Funkcijas uzvedība pie nulles ir redzama no Sokhotska teorēmu viedokļa. Lai tas būtu - lai tas būtu komplekss skaitlis, nevis no nulles un no neatbilstības.

Mēs zinām, ka tas ir labi. Vvazhayuchi, mēs varam atzīt pēdējo no punktiem. Acīmredzot,. Durvju pēdējās funkcijas ādas punktā, uz to un

Zavdaņa 6. Parādiet, ka funkcija ir ļoti īpaša.

Punkts uz nenoteiktu laiku ir jāuzliek īpašai funkcijai... Punktu sauc par funkcijas izolētu speciālo punktu, kas ir cilvēka pozas funkcija, kuras centrs atrodas ne dažu īpašu punktu koordinātu vālītē.

Izolētu vienskaitļa punktu klasifikāciju var paplašināt ar dažādiem veidiem.

8. dibens. Parādiet, ka funkcija ir uz divvirzienu pola nekonsekvenci.

Lēmums. Turklāt skaidra funkcija, de-analītiska funkcija punkta tuvumā. Tas nozīmē, ka funkcija ir divvirzienu nulle attiecībā uz nesakritību un divvirzienu pols funkcijas punktam є.

9. dibens. Parādīt, ka funkcija ir uz izturības trūkumu un uz specifiku.

Lēmums. Līdzīgs attēls ir parādīts 7. Funkcijas darbība ir pamanāma nenoteikta punkta nomalē. Ar darbības ass pozitīvo daļu un ar darbības ass negatīvo daļu. Tas nozīmē, ka punkts nav atsevišķi viens no otra, bet punkta vērtības dēļ tas ir ļoti īpašs.

Funkcijas specifikas raksturu punktā var spriest pēc galvas daļa Loraņivska izplatība punkta centra nomalē.

1. teorēma. To schob point boola lietots īpašs funkcijas punkts, tas ir nepieciešams un pietiekams nekāda atriebība galvas daļai.

Zavdaņa 6. Izlabojiet Teilora funkciju sadalījumu punkta tuvumā, lai parādītu, ka nulle ir īpaša iezīme.

2. teorēma. To schob point boola stabs nepieciešamās un pietiekamās funkcijas, Galva Častina saskaņā ar sadales likumu mistila kintseve dalībnieku skaits :

Nozīmīgākā negatīvā vārda skaitlis ir polu secība.

Lai veiktu dažādas funkcijas, varat tās prezentēt vigilādē

de - analītisks funkcijas punktā, - pola secība.

10. dibens. Parādiet, ka funkcija ir punktos un vienkāršos stabos.

Lēmums. Punkts ir redzams. Ātri pāriesim uz lokālo funkciju sadalījumu punkta centra nomalē, 2. lietojumprogrammā to noliegsim:

Tātad, tāpat kā seniora sadalījuma galvenajā daļā (un vienā), ceļa vienības soļi ir negatīvi, tad punkts ir šīs funkcijas vienkāršs stabs.

Jūs varat ātri labot rezultātu. Acīmredzot modrībā un elastīgi - visa funkcija, analītiska i. punktā. Tādējādi, pamatojoties uz (8), punktā tiek dota vienkārša pola funkcija.

Ir vēl viens veids: funkcija ir viegli pamanāma, jo punktā ir vienkārša nulle. Tas nozīmē, ka punktā ir vienkāršs stabs.

Tāpat, ja skatā pierakstāt funkciju, de - funkcija ir analoga punktā i, uzreiz ir skaidrs, ka punkts ir vienkāršs funkcijas pols.

Zavdaņa 7. Parādiet, ka funkcija ir 2. kārtas pols punktos un 4. kārtas pols punktos.

3. teorēma. To schob point boola Ļoti īpašs funkcijas punkts, tas ir nepieciešams un pietiekams, Galva Častina loranivske sadale punkta nomalē nokavēts dalībnieku skaits .

11. dibens. Vizuāli definējiet precīzās funkcijas īpatnības raksturu

Lēmums. Ar noteiktu atstarpi izvietotu kosinusu ir iespējams aizstāt:

Tas nozīmē, ka loraņu izplatība ma viglyad punkta nomalē

Šeit daļa ir pareiza - viens dodanok. Un galvenā daļa ir atriebties bezgalīgi daudziem papildu, jo tas ir ļoti īpašs.

Zavdaņa 8. Parādiet, ka funkcijas punkts ir ļoti īpašs.

Funkcija ir skaidra, un to var pierakstīt šādos punktos:

Zrobimo zamіnu, ar punktu iet uz punktu. Tagad nebeidzamā maєmo nomalē

Ir par vēlu ieviest jaunu vērtību. otrimmo

de - galvas daļa un - pareiza funkcijas Laurēna sadalījuma daļa bezgalīgā punkta tuvumā. Šādā rangā Laurenijas sadalītajās funkcijās galvas punkta nomalē daļa ir virkne pozitīvos soļos, bet pareizā daļa ir rinda negatīvos soļos. Paskatīšos uz tse nomaiņu

Nodoms noteikt kritērijus specifikas raksturam zudīs spēkā un uz nenoteiktu laiku.

12. dibens. Z'yasuvati funkcijas singularitātes raksturu punktā. Tad tajā vietā jūs varat atrast to neizolētu.

15. dibens. Funkcija nenoteiktos punktos ir ļoti īpaša. Parādiet, ka funkcijas punkts nav izolēts vienskaitļa punkts.

Lēmums. Funkcija var būt brīva no poliem saucēja nullēs, tas ir, punktos. Tātad jaks, tad punkts, tāda є pola bē-like nomalē, є robeža stabiem.

Modeļus apraksta divu autonomu diferenciālvienādojumu sistēmas.

Fāzes apgabals. Fāzes portrets. Isoklīna metode. Galvas izoklini. Stacionāro dzirnavu stabilitāte. Līniju sistēmas. Īpašo punktu veidi: vuzols, segli, fokuss, centrs. Muca: pirmās kārtas ķīmiskās reakcijas.

Naybіlsh tsіkavі rezultāti saskaņā ar jakісnіy bioloģisko sistēmu autoritatitātes modeli іtrimanі modeļiem ar diviem diferenciālvienādojumiem, kuri atzīst, ka viņi nepieļauj papildu metodi fāzes laukums... Ir saskatāma divu autonomu diferenciālo rasu sistēma.

(4.1)

P (x, y), Q (x, y)- bez pārtraukuma funkciju, vērtību jomā G Eiklīda apgabals ( x, y- Dekarta koordinātas) un var visā reģionā bez pārtraukuma tādā pašā secībā, kas nav zemāka par pirmo.

novads G Tas var būt neierobežots vai ierobežots. kā tev iet x, y Maija specifiska bioloģiskā sajūta (runas koncentrācija, sugu skaits) visbiežāk reģionā Gє labās puses pozitīvais kvadrants:

0 £ x< ¥ ,0 £ y< ¥ .

Runas koncentrāciju vai sugu skaitu no augšas var papildināt arī ar kuģu tilpumu vai dzīvojamo platību. Todi reģiona vērtība ziemas ma viglyad:

0 £ x< x 0 , 0 £ y< y 0 .

mainīt x, y laika gaitā tas mainās atbilstoši vienādojumu sistēmai (4.1), tā ka sistēmas ādas celms parāda izmaiņu vērtību pāri ( x, y).

Mugura, izdilis ziemas pāris ( x, y) Vidpovіdaє dziedāšanas stan no sistēmas.

Laukums ar koordinātu asīm ir pamanāms; x, y... dermas punkts M ts_y apgabals ir balstīts uz sistēmas dziedošām dzirnavām. Tas ir fāzes apgabala laukums un visu sistēmas staciju attēls. Punktu М (x, y) sauc par attēlu vai arī to attēlo punkts.

Brauc pie vālītes līdz stundai t = t 0 attēla punkta koordinātas M 0 (x(t 0), g(t 0)). Laikā, kad kozhens tuvojās t attēla punkts mainīsies atkarībā no izmaiņu vērtības x(t), g(t). punktu skaits M(x(t), Y (t)) Par fāzes apgabalu, noteiktu veidu sistēmu novietojumu un pārmaiņu procesā pārmaiņu stundā x (t), y (t) tāpat kā iepriekš (4.1.), sauc fāzes trajektorija.

Sukupn_st fāze traktorіy ar іznіy pochatkovyh ziemas nozīmes, tāpēc sistēmas "portrets" ir viegli pieejams apskatei. pobudova fāzes portrets ataut izveidot visnovka par ziemas raksturu x, y bez zināšanām par izglītības sistēmas analītiskajiem risinājumiem(4.1).

Fāzes portreta attēlam ir nepieciešams vektora lauks tieši trajektorijas sistēmās fāzes zonas ādas punktā. priesteris stavļačiD t> 0,otrimaєmo vіdpovіdnі zbіlshennya D xі D y s viraziv:

D x = P (x, y)D t,

D y = Q (x, y)D t.

taisnais vektors dy / dx punktā ( x, y) Ielieciet funkcijas zīmes formā P (x, y), Q (x, y) un to var norādīt tabulā:

P (x, y)> 0, Q (x, y)> 0
P (x, y)<0,Q(x,y)<0
P (x, y)> 0, Q (x, y)<0
P (x, y)<0,Q(x,y)>0

.(4.2)

Risinājums y = y(x, c), jo netiešā viglyadі F(x, y)= C, de s- pēcintegrācijas, jā integrālo līkņu saime (4.2.) - fāzes traktori sistēmas (4.1) apgabalā x, y.

Isoklīna metode

Lai pamudinātu fāzes portretu uz aizrādījumu Isoklīna metode - fāzes zonā uzklāj līnijas, kas pārraksta integrālās līknes zem viena dziedošā griezuma. Rivnyannya izoklin ir viegli apgriezt no (4.2). patīkami

de A– nemainīga vērtība. vērtību A ir kuta nahil tangenss, kas ir līdzīgs fāzes trajektorijai un ko var uztvert kā nozīmi -¥ uz + ¥ ... aizstājējs dy / dx punktā (4.2.) daudzums A otrimaєmo rivnyannya izoklin:

.(4.3)

Rivnyannya (4.3) viznacha apgabala ādas punktā ir līdzīga tai pašai integrālajai līknei vinjetes punktam, de P (x, y)= 0, Q (x, y) = 0 , Taisnā līnijā tam nav nozīmes, bet tajā pašā laikā nav nozīmes,

.

Tsya punkts є kā visa izoklīna punkta pārplūde - īpašs punkts. Tie uzreiz kļūst par nulli ziemas stundai xі y.

Šādā rangā īpašā virzības punktā izmaiņas ir nulle. Tāpat īpaši īpašs ir fāzu traktoru diferenciālvienādojumu punkts (4.2). stacionārā dzirnavu sistēma(4.1), un її koordinātas ir izmaiņu stacionārās vērtības būtība x, y.

Īpaši interesanti prezentēt galvas izoklīni:

dy/dx = 0, P(x, y)=0 – Isoklini horizontāli punktēti i

dy / dx =¥ , Q(x, y)=0 – Vertikālo punktu izoklīni.

Palicis upes augšgalā un zinājis krusta punktu (X, y), Koordinātas, kuru prāti ir apmierināti:

Mēs paši zinām, kā apgāzt visus fāzes apgabala izoklīnus, kuros tas nav piešķirts fāzes traktoriem. tse - īpašs punkts, Яка відповідає stacionārā dzirnavu sistēma(4.2. att.).

Sistēma (4.1) ir maza stacionārajām dzirnavām, galvas izoscīnu є pārkares punkti uz fāzes laukuma.

Ādas fāze traktorіya attīstās caur dinamiskās sistēmas struktūru, katru stundu ejot cauri vienai un tai pašai stacijai un vienā virzienā.

Ja mazgā ar Košī Vikonana teorēmām, tad caur ādu norāda uz plašumiem x, y, t iziet cauri vienai integrālajai līknei. Tas pats attiecas uz autonomiju, fāzes traktorіy: caur fāzes zonas ādas punktu, lai izietu vienu fāzi traktorіya.

Stacionāro dzirnavu efektivitāte

Iedarbināt sistēmu pārkraušanai Rivnovagu dzirnavās.

Attēla punkts atrodas vienā no īpašajiem sistēmas punktiem, kurā vērtības ir:

.

Punkts ir konkrēts punkts, tas sākas, kad punkts tiek parādīts, kad no stacionārās nometnes ir maza redzamība. Simts procenti līdz divu līmeņu veiktspējas vērtības sistēmai kustībāe, dviglyadaє ar nākamo pakāpi.

Rivnovagi stiiko dzirnavas, kas par jebkuru doto teritoriju dosies uz rivnovagu nometni (e )jūs varat norādīt apgabalu d (e ), Navkolishnє stan rіvnovagi un volodі esam pie varas, tāpēc ir trajektorija, kā paklusēt reģiona vidū d , Nicoli nav līdz atzīmei e ... (4.4. att.)

Lieliskajai sistēmu klasei - neapstrādātas sistēmas – to uzvedības raksturs, kuri nemainās pie mazākajām izmaiņām viņu redzēšanā, informāciju par uzvedības veidu stacionārās nometnes nomalē var atmest, to nav iespējams redzēt, bet piedod linearizēts sistēma.

Līniju sistēmas.

Divu rindu sistēma ir saprotama:

.(4.4)

šeit a, b, c, d- nemainīgs, x, y- Dekarta koordinātas fāzes zonā.

Mēs būsim shukati viglyadā risinājuma galvenajā mītnē:

.(4.5)

Nomainiet rotāciju ar (4.4) un ātri par e l t:

(4.6)

Algebriskā vienādojumu sistēma (4.6) ar neidentificētu A, B problēmai nav risinājuma, jo tas ir dizainers, nav ietaupījumu gadījumos, kad tie nav pašaudzēti, uz nulli:

.

Atvērts dizains, kam raksturīga raksturīgāka sistēma:

.(4.7)

Rishennya ts'go rivnyannya un rādītāja vērtībal 1,2 , Kad vien iespējams, nav nulles Aі Bšķīdums (4.6.). Jēga ir būtība

.(4.8)

Ja saknes viraz ir negatīvs, tadl 1,2 kompleksie skaitļi. Jāatzīst, ka ryvnyannya saknes (4.7) pārkāpums var nebūt redzams no nulles, un nav daudz vairāku sakņu. Sistēmas (4.4) vispārīgo risinājumu var parādīt eksponenta lineārās kombinācijas skatījumā ar rādītājieml 1 , l 2 :

(4.9)

Spēcīgu traktoru sistēmu rakstura analīzei fāzes zonā lineāra vienvirziena koordinātu transformācija, yake ļauj nogādāt sistēmu kanoniskā forma:

,(4.10)

pielaide ir lielāka par manuālo attēlojumu fāzes zonā attiecībā pret atgriezeniskās saites sistēmu (4.4.). Ievadiet jaunas koordinātasξ , η aiz formulām:

(4.1)

Lineārās algebras gaitā šķiet, ka, ja nav nelīdzenumu, ir nulle daļasl 1 , l 2 Sistēmu (4.4) var pārkonfigurēt uz kanonisko (4.10) un darbību fāzes apgabalāξ , η ... Riznі vipadki, kā te var butti.

sakne λ 1 , λ 2 - vienas zīmes dizains

Visā dizaina veiktspējas pārveides diapazonā mēs izejam no dizaina zonasx, yuz laukumu ξ, η. Aicināja citus no priesteriem (4.10) uz Persha, otrimaєmo:

.(4.12)

Cenas integrācija, tas ir zināms:

De. (4.13)

Mājas rosumіty під λ 2 raksturīgās ryvnyannya sakne ir lielisks modulis, kas neiznīcinās mūsu pasaules garīgumu. Todi, šķembas dotajā saknē λ 1 , λ 2 - vienas zīmes dizains,a>1 , Un es varu tieši uz paraboliskā tipa integrāllīknēm.

Visas integrālās līknes (izņemot asi η , Якій відповідає ) Palieciet uz ass koordinātu vālītes ξ, yaka ir arī līnijas (4.11.) integrālā līkne. Koordinātu auss ir vienskaitļa punkts.

Z'yasuєmo tagad taisni no fāzes traktoru attēla punktiem. kur λ 1, λ 2 - negatīvs, tad jaks ir redzams no rivnijas (4.10), | ξ |, | η | mainīt uz stundu. Attēla punkts atrodas tuvu koordinātu vālītei, taču, neskatoties uz to, tās ir neaizsniedzamas. Pirmkārt, bija lieki izmantot Košī teorēmu, kas nozīmē, ka tikai viena fāzes trajektorija iet caur fāzes zonas ādas punktu.

Šis ir īpašs punkts, caur kuru iet integrālās līknes, līdzīgi kā iepriekš, kā parabolu saime iet cauri koordinātu vālītei, es to saukšu par universitāti (att. 4.5)

Rivnovagi dzirnavu tipa vuzols pie λ 1, λ 2 < 0 stiyko pēc Ļapunova teiktā, jo punkta attēls pa visām integrālajām līknēm sabrūk tieši blakus koordinātu vālītei. tse stiy vidusskola... Kur λ 1, λ 2 > 0, tad | Ξ |, | η | Tas aug pēdējā stundā, un attēls norāda uz āru uz koordinātu vālīti. Lieta ir ļoti īpaša– nestabila universitāte .

Fāzes zonā x, y integrālo līkņu uzvedības zagalnye skaidrais raksturs ir aizsargāts, ar koordinātu asīm netiek atstātas novārtā līknes ar integrāliem. Kut nahilu tsikh, kuri ir tuvu tiem, kuri sāks pavadīt laiku α , β , γ , δ lauku apvidos (4.11).

sakne λ 1 , λ 2 - dizaina un izstrādes zīmes.

gada pārskatīšana koordinātas x, y uz koordinātām ξ, η Es zinu domu. Rivnyannya kanoniskajiem vīniem var būt viglyad (4,10), tagad zīmes ir λ 1, λ 2 різні. Rivnyannya fāzes traktori ma viglyad:

De, (4.14)

Integrējot (4.14), ir zināms

(4.15)

tse Hiperboliska tipa līkņu saimes ekvivalenta definīcija, koordinātu aizskarošās asis- asimptote (par a=1 mi mali b vienādsānu hiperbolu saime). Koordinātu asis і pirmajā vietā є integrālās līknes– nebūs nevienas integrālas līknes, kas iet caur koordinātu vālīti. ādasno tiem jāuzglabā trīsfāzu traktorіy: no diviem vīriešiem uz zirgu nometni (vai no zirgu nometnes) un no zirgu nometnes. Visas integrālās līknes– hiperbolas būtība ir neiziet cauri koordinātu vālītei (att. 4.6) Šāds īpašs punkts tiek saukts "Segli ». Rivnya līnijas ap sānu malu tiek veiktas kā traktoriyah fāze sānu malas nomalē.

Punkta attēla raksturs ir pamanāms fāzē traktor_yakh netālu no r_vnovaga nometnes. Ej, piemēram,λ 1 > 0, λ 2<0 ... Attēls ir punkts, kas iegults uz ass ξ , Būs redzams no koordinātu vālītes, bet novietots uz ass η – netiks pārtraukta, lai tuvotos koordinātu vālītei, nesasniedz yogo uz stundas beigām. De b attēla punkts nebija zināms vālītes brīdī (aiz īpaša punkta vinjetes un asimptotes punktiem η =0), beigās uzvarēja rakhunka, ja redzēsi attālumu pret ravnovas nometni, uztīsies uz vālītes, nokritīsi pa vienu no integrālajiem līkumiem līdz pat īpašam punktam.

Acīmredzot īpaša tipa sēdeklis . Tilki ar speciāli pagrieztām vālīšu galvām uz asimptotaη =0 sistēma tuvosies nometnei. Tomēr nav pārliecinošu apgalvojumu par sistēmas nestabilitāti. cik daudz, ja visa vālīte būs sistēma vālītes fāzes zonā, tad šādas vālītes kvalitāte būs tāda, kā tas būs pareizi pirms tam īpašie punkti, uz nulli. Lai tas būtu reāli, jūs redzēsit sistēmu no paša sākuma.Atgriezieties pie koordinātāmx, y,mēs otrimaєmo to pašu attēlu, lai traktoru dabu ap koordinātu vālīti.

Būsim tuvu viens otram ar augstskolas vipadiem un sēdvietām є vipadoks, ja viens no raksturīgajiem rādītājiem, piemēram λ 1 , pagrieziet uz nulli, scho maє misce, ja- viraz ad-bc = 0(Div. Formula 4.8 ). Kopumā rivņas labo daļu attiecība (4.4) ir proporcionāla vienam pret vienu:

un sistēma padara savas dzirnavas vienādas ar visiem taisnes punktiem:

Reshta integrālās līknes pārstāv paralēlu taisnu līniju saimi ar kutovym funkciju , Aiz punktiem punkti tiek novilkti, vai tie tuvojas līdzsvara nometnei, vai arī tie skatās prom no citas raksturīgās līnijas λ saknes zīmes. 2 = a + d.(4. 7. att ) Tajā pašā laikā koordinātas būs vienādas ar vālītes vērtību ziemas.

sakne λ 1 , λ 2 – kompleksstrikotāžas

Veselā vipadā, kad irxі y mēs būsim mātes komplekss adīts ξ , η (4.10) . Tomēr, ieviešot citu atkārtotas ieviešanas procesu, ir iespējams ienest skatu visdažādākajos veidos, lai nodrošinātu jēgpilnu rindu vienpusēju atkārtotu ieviešanu. patīkami:

(4.16)

de a, b,і u, v – dizaina vērtības. Ir iespējams parādīt, ka transformācija nox, y pirms tam u, v є ar mūsu start-up, mēs spējam strādāt, līnija, vienpusēji no noteicēja, no nulles. Pamatojoties uz pryvnyan(4.10, 4.16) maєmo:

zvaigznes

(4.17)

Uzaugu par draugu no priesteriem uz Peršas, Otrimaєmo:

vieglāk integrēt, kā pāriet uz polāro koordinātu sistēmu (r, φ ) . uzstādīšanai otrimaєmo, zvaigznes:

.(4.18)

Tādā rangā, fāzes zonāu, vEs varu jums palīdzēt ar logaritmisko spirāļu ģimeni, āduasimptotiskais punkts uz vālītes koordinātām.Ir īpašs punkts, piemēram, є visu integrālo līkņu asimptotiskais punkts, ieguldīja vienudraugs, piezvani pats fokuss ( Attēls 4.8 ) .

Punkta attēla raksturs ir saskatāms pēc fāzes trajektorijām. Perche z rivnyan (4.17) reizinot aru, Un draugs tālāk vі noliktavā, mēs pieņemsim:

de

čau a 1 < 0 (a 1 = Reλ ) ... Attēla punkts ir bez pārtraukuma nonākt līdz koordinātu vālītei, kuru nevar sasniegt stundas beigās. Tas nozīmē, ka fāzes trajektorija ir spirāles izliekums un dzēšanas daudzuma izskats ziemīgs. tse - ātra fokusēšana .

Vienkāršā fokusā, tāpat kā citā universitātē, vikonāno ir ne tikai Umovs Ļapunovs, bet gan daudz vimogu. Pati ar jebkādiem vālīšu skatiem sistēma stundas laikā pagriezīsies jaku ļoti tuvu gravas stāvoklim. Tāds stīvums, ar tādu vālīti, tas ne tikai izaug, bet arī izdziest, pragmatiski līdz nullei, es to saucu absolūts stils .

Jakšo pie formulas (4.18) a 1 >0 , Tad attēla punkts ir redzams no koordinātu vālītes un no labās puses nestabils fokuss . Ejot cauri teritorijaiu, vuz fāzes laukumux, yspirāles var arī pārklāties ar spirālēm, aizsargs tiks deformēts.

Tagad vipadok skaidrs, jaa 1 =0 ... Fāzes traktori uz vietasu, vbūt aplis jakim apgabalāx, yziņot e-pastā:

Šis rangs, ara 1=0 caur īpašu punktux = 0, Y = 0 neiet cauri integrāļa līknei. Šāds izolēts punkts ir izolēts, tuvu šādām integrālām līknēm, tās ir slēgtas līknes, zorem, elipsi, viens ieguldījums vienā un īpašs punkts, ko sauc par centru.

Tādējādi raksturīgās lauku teritorijas sakņu rakstura dēļ papuvē var būt vairāki lauku apvidu veidi (4.7.). Fāzes tips traktorіy uz apgabala x, y att. sešu veidu attēlu skaitam. 4.9.

Mazs. 4.9.Lineāro iekārtu sistēmas fāzu portretu veidi stacionārās nometnes nomalē (4.4).

Pieci nometņu veidi ir rupji, to raksturs nemainās, sasniedzot mazākās rivjaņu labo daļu izmaiņas (4.4). Ar daudz mali vainīgi, čūskas ir ne tikai pareizās daļas, bet arī vecās pirmās kārtas. Shost stan rivnovagi - centrs - nav rupjš. Ar nelielām labās daļas parametru izmaiņām fokusa līmenis ir jāpārvieto uz spēcīgu vai nestabilu fokusu.

bifurkācijas diagrammas

Ieviestā vērtība:

. (4.11)

Todi ir raksturīgs rivnjanijai, kas tiks ierakstīta viglyadā:

. (4.12)

Skaidrs laukums ar taisnstūrveida Dekarta koordinātām s , D un jo īpaši atsevišķos reģionos, jo tie noved pie tāda veida nometnes, kuras pamatā ir raksturīgās pazīmes sakņu raksturs.

.(4.13)

Garīgā stabilitāte būs vienāda ar negatīvās darbības daļas izpausmil 1 i l 2 ... Nepieciešamais un pietiekams prāts ir nelikumību vikonannyas > 0, D > 0 ... Diagrammā (4.15.) mēs varam redzēt punktus, kas tiek pārvietoti parametru apgabala pirmajā ceturksnī. Īpašs punkts būs fokuss, jakšol 1 i l 2 komplekss. Punktu skaits apgabalā, tiem , tobto punkti starp abām paraboliskās galvas malāms 2 = 4 D... punkti піввіс s = 0, D> 0, pamatojoties uz centra veidu. līdzīgi,l 1 i l 2 - dіysnі, ale rіznih zīmes, tā ka punkts ir ļoti īpašs D<0, utt. Maisā varam pieņemt parametru izmēru diagrammas s, D, Teritorijā, kas piemērotas dažāda veida apdullināšanai.

Mazs. 4.10. bifurkācijas diagrammas

līniju tīklu sistēmām 4.4

Līniju sistēmas Yakshho funkcionalitāte a, b, c, d ja parametrs mainās, tad mainoties parametram, mainīsies vērtības , D ... Šķērsojot kordonu, skaidri mainās fāzes portreta raksturs. Šo kordonu sauc par bifurkāciju - atbilstoši sānu attīstībai no kordona, sistēmai ir divi topoloģiski progresīvi fāzes portreti un, acīmredzot, divi dažādi uzvedības veidi.

Diagrammās var redzēt, kā šāda čūska var tikt garām. Ir viegli uzņemt īpašu skatu — koordinātu vālīti — to ir viegli atkāpties, taču sēdekli var novirzīt uz universitāti, taču tas ir stabils vai nestabils, kad mainās ordinātu ass. Spēcīga universitāte var iet vai nu uz segliem, vai uz spēcīgu fokusu utt. Acīmredzot, dodieties uz stabilu universitāti - spēcīgu fokusu un nestabilu universitāti - nestabilu fokusu ne tikai bifurkācijām, tā kā fāzu telpas topoloģija nemaz nemainās. Sīkāk par fāzu telpas topoloģiju un bifurkācijas pārejām runāsim 6. lekcijā.

Ar bifurkācijas pārejām mainās konkrēta punkta stinguma raksturs. Piemēram, vienmērīgu fokusu caur centru var pārveidot par nestabilu fokusu. Qia bifurkatsiya sauc bifurkatsiyu Andronovs-Hopf pēc bērnu vārdiem. Ja nelineārās sistēmās ir bifurkācija, tiek novērota robežcikla populācija, un sistēma kļūst pašoscilējoša (Div. Lektsiyu 8).

Muca. Lineāru ķīmisko reakciju sistēma

runa X pārvēršoties pastāvīgā kautrībā, pārvēršoties runā Y un kautrībā, proporcionālā runas koncentrācijā Y, Vivoditsya no reakcijas sfērām. Visas reakcijas var būt pirmās kārtas, izņemot runas steigu, nulles secību. Reakciju shēma ma viglyad:

(4.14)

і apraksta priesteru sistēma:

(4.15)

Stacionārā koncentrācija tiek noraidīta, iestatot labās daļas uz nulli:

.(4.16)

Sistēmas fāzes portrets ir skaidri redzams. Rozdilimo citas vienādas sistēmas (4.16) uz Persha. otrimaєmo:

.(4.17)

Rivnyannya (4.17) ir zīme par dzīvnieku uzvedību fāzes zonā. Tiks veicināts visas sistēmas pakāpenisks portrets. Mazu stikla gabalu kolekcija fāzes zonā. Rivnyannya izoklini vertikālie punkti:

Rivnyannya izoklini horizontāli punkti:

Īpašs punkts (stacionārā nometne) ir gulēt uz galvas izoklīna krusteniskajām lencēm.

Tagad ir svarīgi, ka koordinātu asis ir savītas ar integrālām līknēm zem yaky kut.

jakšo x = 0, tad.

Šādā rangā kuta tangenss ir nahilu integrālajai līknei y = y (x),šķērso ordinātu x = 0, Negatīvs kvadrāta augšdaļā x, y var būt koncentrācijas vērtība un ka mēs esam iedalīti tikai fāzes laukuma labajā augšējā kvadrantā). Tajā pašā laikā kuta nahil pieskares vērtība dotiski palielinās no attāluma līdz koordinātu vālītei.

Redzams y = 0. Ass vidū smirdoņa integrālās līknes apraksta ar vienādu

plkst kuta nahil tangenss integrālās līknes, kas šķērso abscis, pozitīvas un iet no nulles līdz abscisas beigām x.

Plkst.

Tad ar nelielu pieaugumu kuta nahil tangenss mainās ārpus absolūtās vērtības, kļūstot negatīvs un pragmatisks līdz -1, kad x ® ¥ ... Zinot taisnās līnijas līdz integrālām līknēm uz galvas līnijām un koordinātu asīm, ir viegli iedomāties visu fāzu traktoru attēlu.

Konkrēta punkta stinguma raksturu var iestatīt, izmantojot Ļapunova metodi. Sistēmas un ma viglyad raksturīgā forma:

.

Riskrivayuchi viznachnik, otrimaєmo, kas raksturīgi rіvnyannya sistēmai: , Tobto raksturīgā ryvnyannya negatīvā nodarījuma saknes. Otzhe, sistēmas stacionārā nometne ir stabila universitāte. Ar lielu runas koncentrāciju X pragmatiski, līdz stacionārā strofa ir monotona, runas Y koncentrācija var iziet cauri min vai max. Vairāki režīmi šādā sistēmā ir neērti.

Pamata izpratne un apzīmējums:

Punktu "a" sauc par analītiskās funkcijas f (z) nulli, kurai f (a) = 0.

Funkcijas f (z) kārtas "n" nulle ir punkts "a", kas ir fn (a) ¹0.

Īpašu punktu "a" sauc par funkcijas f (z) izolētu vienskaitļa punktu, jo tas atrodas centrālā punkta nomalē, kurā nav vienskaitļa punktu, malas "a".

Ir trīs veidu izolēti punkti:.

1 speciālo punktu uzskaitījums;

3 ļoti īpaši punkti.

Speciālā punkta veids var būt vērtība no dotās funkcijas uzvedības zināmā īpašā punktā, kā arī, ņemot vērā Lorāna sēriju, kas atveidota funkcijai zināma īpašā punkta tuvumā.

Tipam tiek piešķirts īpašs punkts no tajā esošās funkcijas uzvedības.

1. Speciālo punktu noņemšana.

Izolēts ir īpašs funkcijas f (z) punkts a, ko sauc par usunen, kā arī robežas beigas.

2.Poļi.

Funkcijas f (z) izolētu punktu a sauc par polu, kur .

3. Simts īpaši punkti.

Izolēts ir īpašs funkcijas f (z) punkts a, un to sauc par ļoti īpašu punktu, it kā tas nav vienkāršs, bet ne bezgalīgs.

Starp nullēm un funkcijas poliem ir izsaukums.

Lai punkts a būtu n kārtas pols funkcijai f (Z), ir nepieciešams un pietiekami, ja punkts ir n kārtas n līdz funkcijai n.

Mēs piedosim nosaukumu n = 1 pols.

vērtība: Pastāv īpašs nepārprotama rakstura punkts, ko sauc:

a) usuneno, kur galva ir daļa no dienas sadales;

b) stabs, kur galvenā daļa ir atriebties par biedru skaitu;

c) Tas ir diezgan īpašs fakts, ka ir svarīgi atriebties bezgalīgam dalībnieku skaitam.

a) Šādā pakāpē īpaša maviglijas izvietošanas punkta nomalē:

Lieliska funkcionalitāte visos likmju punktos | z-a |

Centrā z = a paritāte nav mainīga, tāpēc funkcija pie z = a ir tumša, un labā daļa ir nepārtraukta. Ja izmaiņu funkcijas nozīmes centrā, kas ir ieņēmusi pareizo daļu tajā pašā nozīmē, tad attīstība tiks novērsta, un nosaukums ir universāls.

b) Staba nomalē Lorāns maє viglyad secību m ievieto rindā:

c) Vienkārša staba tuvumā

Vidrahuvannya no šīm formulām їх aprēķināšanai.

Analītisko funkciju f (z) izolētos speciālos punktos z 0 sauc par komplekso skaitli, kas ir svarīgs integrālim. , Ņemts pozitīvā virzienā gar stabu L, kura centrs ir punktā z 0, bet atrodas analogās funkcijas f (z) apgabalā (tobto aplī 0<|z-z0|

Funkcijas f (z) definīcija izolētajā vienskaitļa punktā z 0 ar simbolu Res f (z 0) vai Res (f (z); z 0). Tādā rangā,

Res f (z 0) = . (22.15.1)

Tā kā formulām (22.15.1) ir n = -1, tad mēs varam teikt:

C 1 =

bet Res f (z 0) = C -1,

tā, lai funkcija f (z) tiktu pievienota īpašajam punktam z 0, kas vienāds ar efektivitāti pirmajam terminam ar negatīvu rādītāju paplašinātajā funkcijā f (z) Laurent sērijā.

Vidrahuvana uzskaitījums.

Pareizi meklēti konkrēti punkti. Acīmredzot, ja z = z 0 є ir pareizs vai ja funkcijas f (z) vienskaitļa punkts ir brutāls spēks, tad Res f (z 0) = 0 (Lorāna izklājlapās, cik reižu galvas daļa ir izpildīta atrodas, tātad c-1 = 0).

Pole. Punktu z 0 є piedod funkcijas f (z) pols. Todi Laurent sērija funkcijai f (z) punkta z 0 ma skata tuvumā:

Zvidsi

Līdz tam, pārejot no vienādības punkta uz robežu pie z --z 0, mēs atpazīsim

Res f (z0) =

Lieta ir ļoti īpaša. Ja punkts z 0 ir ļoti īpašs funkcijas f (z) punkts, tad, lai aprēķinātu funkcijas funkcionēšanu šajos punktos, bez iepriekšēja brīdinājuma mainiet funkciju c-1 paplašinātajā funkcijā Laurent sērijā.

Podiju klasifikācija. Suma, tvir podіy, їkh jauda, ​​grafiski parādīts.

Iet uz:

1. Vipadkovі

2. Pieklājīgi

3. Nevēlami

Cienīgs - tse taka podija, kā tas ir ievadīts obov'yazkovo dotajā prātā (uz nakti bija brūces).

Vipadkove - tse taka podіya, kā redzat, bet varbūt neredzat (dodiet gulēt).

Tas ir neprātīgi - tse taka iet, kā dotā prātā nenāk (starp citu, zaļās olīvas no kastes tikai ar červoņiem).