Pred funkciou je vedieť najmenej. Ako spoznám najmenej dôležitú funkciu v uzavretom priestore? Najdôležitejšie a najmenej dôležité funkcie - hodnota, ilustrácie

§ Extrémy, Najdôležitejšie a najmenej dôležité funkcie decilkokh zminnykh - strana číslo 1/1

§ 8. Extrém, najvýznamnejšie a najmenej významné funkcie decilkokh zminnykh.

1. Extrémne funkcie decilkokh zminnykh.

oblasť
,
- bod centrálnej oblasti.

Speck
byť volaný maximálny bod funkcie
, Yaksho za bod

zlyhať

.

analogický bod
byť volaný poukazujú na minimum funkcie
, Yaksho za bod
z deyako blízko bodu
zlyhať

.

rešpekt... 1) Za rozdielom je hodnota funkcie
vinný, ale je pridelený deyakom blízko bodu
... Do bodu maxima a bodu minima funkcie
Môžete nájsť iba vnútorné body regiónu
.

2) Yaksho isnu blízko bodu
, V yak pre be-yako bod
vidminnoyu vid
zlyhať

(

), Potom bod
názov bod prísneho maxima (podľa bod prísneho minima ) funkcie
... Pri spojení z cymu sa body k maximu a minimu nazývajú body neprísneho maxima a minima.

Body k maximu a minimu funkcie sa nazývajú її bodky do extrému ... Hodnota funkcie v bodoch maxima a minima sa volá podľa výšky і minimá , Abo, kratšie, extrémy tsієї funkcie.

Chápanie extrémov má lokálny charakter: význam funkcie v bodoch
porovnať s významnými funkciami pri dosahovaní blízkych bodov. V danom regióne nemusí byť funkcia matky extrémov, ale niekoľkých minim, maxima a maxima, bezpečnosti a potichu a minima. Zároveň sa môže objaviť viac ľudí. Nenasledujú maximá a minimálne funkcie najväčších a najmenej významných.

Vieme, že je potrebné dbať na extrémy. Poď napr.
- bod maximálnej funkcie
... Todi for viznachennyam isnuє gif "align = absmiddle width =" 17px "height =" 18px "> - okraj bodu
taka, scho
za bod
od centra periférie. Zokrem,

(1)

de
,
, і

(2)

de
,
... Ale (1) znamená, že funkcia jednej zmeny
v podstate maximálne abo na intervale
post_noyu. už,

abo
- nie іsnu,

⇒
abo
- nie іsnuє.

Podobne ako pri (2) to vieme rozpoznať

abo
- nie іsnuє.

V takejto hodnosti platí veta.

TEÓZA 8.1. (Musíte vysvetliť extrém). akú funkciu
v bode
Ak existuje extrém, potom v tom istom bode alebo urážaní starých súkromných by mal byť prvý poriadok znížený na nulu, pretože by som bol rád, keby sa jeden z týchto súkromných starých nenašiel.

Geometricky to znamená veta 8.1
- ukazujú na extrém funkcie
To je podobné ploche až po graf celej funkcie v bode alebo rovnobežke s plochou
, Abo zagalі nie іsnu. Schob perekonatsya v celku, dokončiť hádať, ako poznať rovnakú plochu k povrchu (div. Vzorec (4.6)).

Zavolajú sa body, ktoré vyhovujú teorémom 8.1 kritických bodov funkcie
... Taktiež pre funkciu jednej zmeny je potrebné myslieť na to, že extrém nestačí. To znamená, že nie každý funkčný bod je kritický až do extrému.

BUTT. Funkčnosť je dobre vidieť
... Speck
є pre celú funkciu kritickosti, tak ako v celom bode urážky a súkromia, prvého rádu
і
vrátiť na nulu. Nebude to však bod extrému. naozaj,
, Ale v be-ako okraji bodu
є body, v ktorých sú funkcie pridané k predchádzajúcim hodnotám; body, v ktorých sú funkcie pridané k týmto hodnotám. Pre tsom je ľahké obrátiť sa, pokiaľ je grafom funkcie hyperbolický paraboloid.

Pre funkciu dvoch víťazov je najvhodnejším dôvodom, áno, teorém.

TEÓZA 8.2. (Adekvátne extrému funkcií dvoch zím). hej
- kritický bod funkcie
a za deň blízko bodu
funkciou môžu byť súvislé časti staré až do iného poradia vrátane. zmysluplne

,
,
.

Todi 1) yaksho
, O to ide
nie є dot extremum;


Ako s pomocou Viet 8.2, konečne dostanem kritický bod
bez dosiahnutia (tobto yaksho
pretože funkcia nie je v blízkosti bodu
bez prerušenia v súkromných požadovanej objednávky), s odkazom na jedlo
Extrém má dať znak zvýšenia funkcie v bode tsy.

Skvelé, kvôli hodnote nápoja
v podstate
prísne maximum teda

za všetky body
z deyako blízko bodu
, Abo, inakshe

so všetkými dokončiť malikh
і
... Podobne, keď
- bod prísneho minima, potom so všetkými dokončiť malik
і
ak neuspejete
.

Takáto hodnosť, shhob z'yasuvati, chi є je kritickým bodom
až do extrému je potrebné dosiahnuť prioritnú funkciu v bode. Yakshcho so všetkými dokončí malikh
і
tam bude znamenie, potom v bode
funkcia MAє striktný extrém (minimálne,
, І maximum, yaksho
).

rešpekt... Pravidlo je vynechať a pre laxný extrém, pivo s dodatkom, ale v prípade vysokých hodnôt
і
funkcia získa nulu
BUTT. Poznať extrémne funkcie:

1)
; 2)
.

1) Funkcie

і
dá sa vidieť na všetky spôsoby. Virishuchi systém rivnyan
,
poznáme dva kritické body
і
.

Pre detekciu kritických bodov je stanovená veta 8.2. maєmo:

,
,
.

doslijuєmo bod
:

,
,
,

;
.

Otzhe, konkrétne
funkcia je daná na minimum a
.

Doslidzhuєmo kritický bod
:

,
,
,


.

Otzhe, priateľ, bod nie je kritický pre extrém funkcie.

2) Funkcie
je všade označené. Її súkromný starý prvý poriadok
a je možné sa o tom dozvedieť. Virishuchi systém rivnyan
,
Viem, som jeden kritický bod
.

Na dosiahnutie kritického bodu je stanovená veta 8.2. maєmo:

,
,
,

,
,
,

.

Nastavte viditeľnosť alebo viditeľnosť extrému v bode
za druhou vetou 8.2 nejde ďaleko.

Doslidzhuєmo príznakom zvýšenia funkcie v bodoch
:

yaksho
, potom
;

yaksho
, potom
.

útržky
Mikuláša neberte znamenie na okraji bodu
, Potom v bode tsy funkcie nie je žiadny extrém.

Hodnota maxima a minima a potreba extrému sa jednoducho prenáša do funkcií troch a viacerých zmien. Dostatočný rozum pre danú funkciu (
) Tí, ktorí vedia cez їхnyu skladanie v tomto kurze nepozerajú von. Charakter kritických bodov začneme v prvom rade podľa znamienka nárastu funkcie.

2. Najdôležitejšie a najmenej dôležité funkcie.

Nechajte funkciu dvoch zím
registrovaných v regióne
oblasť
,
,
- body centrálnej oblasti. Význam funkcie v bode
byť volaný najviac , Yaksho za bod
v regióne
zlyhať

.

Podobne význam funkcie v bodoch
byť volaný hippest , Yaksho za bod
v regióne
zlyhať

.

Skôr sme už povedali, že funkcia je neprerušená a oblasť
- uzavretý a obkolesený, vtedy má funkciu akceptovania v celom regióne najväčšiu a najmenšiu hodnotu. V tom istom bode
і
Môžete klamať ako všetky stredné regióny
, Takže і na її kordón. kde je pointa
(abo
) Ležať v strede kraja
, To bude bod k maximálnej (minimálnej) funkcii
, Takže kritický bod funkcie centrálnej oblasti
... K tomu za najdôležitejšiu a najmenej dôležitú funkciu
v oblasti
požadovaný:
.

Z praktického hľadiska je najväčší záujem o víťaza o najdôležitejšie funkcie. S čím je to spojené? Maximalizácia príjazdu, minimalizácia vitrátov, určenie optimálneho zapletenia inštalácie... Inými slovami, v rôznych sférach života je životne dôležité optimalizovať parametre. A zároveň záväzok k poznaniu najvýznamnejšej a najmenej významnej funkcie.

To znamená, že najdôležitejšou a najmenej dôležitou funkciou je vydávať hluk v akčnom intervale X, čo je buď celá oblasť funkcie alebo časť hodnoty. Samotný interval X môže byť krátky ako interval , Nevoňavý prísľub.

V týchto štatistikách sa budeme baviť o význame najmenšej a najmenšej hodnoty explicitne danej funkcie jednej premennej y = f (x).

Navigácia na boku.

Najdôležitejšie a najmenej dôležité funkcie sú vizualizácia, ilustrácie.

Stručne zupinimya na hlavné hodnoty.

Najdôležitejšie funkcie , Pre byť ako právom nevera.

Najmenej významné funkcie y = f (x) v intervale X sa nazýva rovnaká hodnota , Pre byť ako právom nevera.

Hodnota intuitívne inteligentnej: najväčšia (najmenšia) hodnota funkcie - najmenšia (najmenšia) má hodnotu na otvorenom intervale na osi x.

stacionárne body- hodnota argumentu, keď sa funkcia stratí, zmení sa na nulu.

Prečo potrebujeme stacionárny bod, keď je to najdôležitejšie a najmenej dôležité? Zoberme si potravinový reťazec, áno Fermatovu vetu. Pomocou vety o posunutí sa v ľubovoľnom bode diferencuje aj funkcia maxima (lokálneho minima alebo lokálneho maxima), vtedy je bod stacionárny. V takomto poradí funkcia často nadobúda najvyššiu (najmenšiu) hodnotu pre interval X v jednom zo stacionárnych bodov z rovnakého intervalu.

Tiež často najvýznamnejšie a najmenej významné funkcie môžu byť prevzaté v bodoch, kde sa samotná funkcia nepoužíva, ale je priradená samotná funkcia.

Okamžite na základe jedného z najobľúbenejších jedál podľa témy: „Ako môžete mať najvýznamnejšiu (najmenej) významnú funkciu“? Nečakajte. V niektorých prípadoch sa čiara X nachádza medzi oblasťami priradenej funkcie, prípadne interval X nie je nekonečný. A deyakі funktsії na nekonečne a na kordónoch oblasti významu možno považovať za nekonečne veľké a nekonečne malé. V cich vipadkah nemožno povedať nič o najväčších a najmenej významných funkciách.

Pre špecifickosť grafického znázornenia. Čudovať sa tým najmenším je veľa vecí na vyjasnenie.

na vidrizku

Na prvom mieste je funkcia prijímania najvyšších (max y) a najmenších (min y) hodnôt v stacionárnych bodoch, ktoré sú umiestnené v strede smeru [-6; 6].

Vipadok, vidno obrazky na dalsom malom. Menšie na. Pre všetky aplikácie je najmenej významná funkcia dosiahnuteľná v stacionárnom bode a najdôležitejšia - v bode úsečky, v správnom smere k intervalu.

Na malom č. 3 sú hraničné body smeru [-3; 2] є úsečky bodov, ktoré sú podobné najmenšej a najmenej významnej funkcii.

Na otvorenom intervale

Na štvrtom malom je funkcia prijímania najvyšších (max y) a najmenších (min y) hodnôt v stacionárnych bodoch, ktoré sa nachádzajú v strede otvoreného intervalu (-6; 6).

V intervale, asi najväčšia hodnota akéhokoľvek visnovkiv, rast nie je možný.

na konci dňa

V zadku predloženom tomuto malému bábätku je funkcia prijatia najväčšej hodnoty (max y) v stacionárnom bode od úsečky x = 1 a najmenšej hodnoty (min y) dosiahnutá vpravo medzi intervalom. Pri mínuse nekonzistentnosti sa hodnota funkcie asymptoticky blíži k y = 3.

V intervale nie je funkcia dosiahnuteľná pre najmenšiu alebo najväčšiu hodnotu. Keď je funkcia rozšírená na x = 2, hodnota pravotočivej funkcie sa zníži na mínus nekonzistentnosti (priama čiara x = 2 je vertikálna asymptota), a keď sa abscisa rozšíri na plus nekonzistentnosť, hodnota funkcie asymptoticky sa približuje k y8 = 3. Graf stránky je malý.

Algoritmus na určenie najnižšej a najnižšej hodnoty spojitej funkcie pre pohon.

Môžeme si zapísať algoritmus, ktorý umožňuje poznať najvýznamnejšiu aj najmenej významnú funkciu pohonu.

1. Poznáme oblasť určenia pre funkciu a zmenu, ktorú je možné brať do úvahy na celom svete.
2. Je známe, že všetky body, v ktorých nie je žiadna presvedčivosť, sú zúfalé a odohrávajú sa v prvom rade (takéto body sa napríklad nachádzajú vo funkciách s argumentom vedľa znamienka modulu a v stavových funkciách s iným -racionálny ukazovateľ). Ak také body nie sú, tak prejdeme na útočný bod.
3. Vizuálne, všetky stacionárne body, ktoré možno použiť na vidrizok. Pre celok, keď sa zníži na nulu, ľudová reč a vibraimo koreňa sú živo odmietnuté. Keďže nie sú žiadne stacionárne body, pretože nie sú spotrebované v ceste, potom prechádzame do útočného bodu.
4. Hodnota funkcie je vyčíslená vo všetkých pevných bodoch (napríklad є), v bodoch, ktoré sa nestrácajú (napríklad є), ako aj pre x = a і x = b.
5. Význam funkcie je vibramo najviac a najmenej - smrad a bude najchytrejšia a najmenej výrazná funkcia zo všetkých.

Algoritmus sa rozloží, keď sa zadok určí na najlepšiu a najnižšiu hodnotu funkcie.

zadok.

Poznať najlepšie a najmenej významné funkcie

• na vidrizka;
• to vidrizka [-4; -1].

rozhodnutie.

Oblasť hodnoty funkcie є všetky nefunkčné čísla, za vinetou nula, tobto. Trestný čin je vidrizka potralyayut v oblasti hodnoty.

Viem, že budem používať nasledujúce funkcie:

Je zrejmé, že funkcia sa stráca vo všetkých bodoch vývoja a [-4; -1].

Stacionárne body sú významné z úrovne. Zoberme si jeden koreň є x = 2. V prvom vidrizoku sa spotrebuje stacionárny bod.

Pre prvú kvapku je číselná hodnota funkcie na koncoch výstupu a v stacionárnych bodoch, takže pre x = 1, x = 2 a x = 4:

Otzhe, najvýznamnejšia funkcia dosiahnuť x = 1 a najmenšiu hodnotu - pre x = 2.

Pre iného je vipadku očíslovaný významom deprivačnej funkcie na konci vidrizka [-4; -1] (aby nedošlo k pomste na rovnakom stacionárnom bode):

rozhodnutie.

Väčšinou v oblasti určenej funkcie. Štvorcový trojčlen v menovateli zlomku nie je vinný tým, že sa zmení na nulu:

Je ľahké prehodnotiť, že všetci zasahovali z mysle úloh, aby stanovili oblasti pridelenej funkcie.

Rozlišujme funkciu:

Je zrejmé, že funkcia sa stráca v celej oblasti.

Poznáme stacionárne body. Vyzerá to, že sa zmení na nulu pri. Stacionárny bod Qia je braný v intervale (-3; 1] a (-3; 2).

A teraz je možné vložiť do skin pointu výsledky s grafom funkcie. Modré bodkované čiary predstavujú asymptoty.

Celkovo môžete skončiť s najdôležitejšími a najmenej dôležitými funkciami. Algoritmy vybrané v celej stati vám umožňujú opraviť výsledky s minimom akcie. Avšak dôjde k veľkému počtu významných pokrokov v raste a poklese funkcie a len vtedy, keď ide o obchod o najlepšiu a najmenej významnú funkciu pre akýkoľvek interval. Áno, obraz je jasný a výsledky sú dobre pripravené.

Extrémom funkcie je sila náboženského, miestneho charakteru (div. Viznachennya). Neprechádzajte na maximum (minimum) z najviac (najmenej) hodnôt funkcie v uzavretej oblasti D.

Viznachennya. Vraj funkcia z = f(x, y) Určené a nepretržité v regióne D, máj v oblasti ts_y čínskej súkromnej histórie. Todi v celom regióne sú body, v ktorých sú dostupné funkcie najviac a najmenej hodnotu prvej hodnoty. Tieto body môžu byť umiestnené v strede regiónu alebo na kordóne.

Aby ste poznali najmenej dôležitú funkciu v uzavretom priestore, potrebujete:

1) Poznajte stacionárne body, roztasovanie v stredných oblastiach a vypočítajte hodnotu funkcie v týchto bodoch.

Rešpekt. Príďte do stacionárnych bodov bodu, v ktorom staré neukončené alebo nie іsnu (yakshо takі є).

2) Poznajte stacionárne body na ploche kordónu a vypočítajte hodnotu funkcie v týchto bodoch.

3) Poznať význam funkcie v horných bodoch - bodoch prekročenia hraničných čiar.

4) Najmenej známa hodnota vibrácií je najviac a najmenej.

Zadok 1,22. Poznať najlepšie a najmenej významné funkcie

z = 2X 2 - xy ++ r 2 + 7X v uzavretom priestore D: –3 X 3, –3 r 3 (obr. 1.3).

Malý. 1.3. región doslіdzhennya D

rozhodnutie. 1) Známe stacionárne body

Zvidsi pri = –1, NS= -2, stacionárny bod M 0 (–2, –1) D, z(M 0) = –7.

2) Funkcia Doslidzhuєmo na kordóne regiónu, ktorý bude uložený v AB, DC, CB, AD.

a) Rovné AB: pri= 3 a funkciu stroja

z = 2X 2 + 3X + 9 + 7X =

= 2X 2 + 10X + 9, X [–3, 3].

Funkcia Tsya jednej štvorcovej zimy.

Na základe stacionárnych bodov danej funkcie:

už, NS = –2,5.

visnachaєmo z pri NS = -2,5 a tiež na konci vidrizky [-3, 3]:

z (–2,5; –3) = –3,5; z(– 3, –3) = –3; z(3, –3) = 57,

priemer = 3,5, a = 57.

b) Jasne viditeľné slnko:NS = 3.

z = y 2 – 3y + 39; pri [–3, 3],

= 2y - 3; 2y - 3 = 0 y = 3/2.

známy z(3, 3/2) = , z(– 3, 3) = 15, z(3, 3) = 39.

c) Na vidrizku CD: y = 3, z = 2X 2 + 4x + 9; pri [–3, 3],

= –4X + 4 = 0 Þ X = –1; z(–1, 3) = 7, z(– 3, 3) = 15, z(3, 3) = 39;

Prednáška 28. Predchádzajúca extrému funkcií decilu víťazov. Umovny extremum funkcii decilkoh zimnych.

Predúprava funkcií mimoriadnych zmien je procedúra viacerých skladania, ale postup je podobný ako pri funkciách jednej zmeny. K tomu poprekladané pohľadom na jedlo na najjednoduchšie a najpraktickejšie uplatnenie funkcií dvoch zím (Div. Obr. 1). tu M 1(x 1; y 1), M 2(x 2; y 2), M 3(x 3; y 3) - poukazuje na extrém centrálnej funkcie. A ten istý bod M 1і M 3 - body na minimum funkcie a bod M 2- bod її na maximum. Obrázok 1 ukazuje funkciu troch extrémnych, aletických bodiek, prirodzene to môže byť viac alebo menej.

Zjavne presnejšie, ale ukazuje aj na extrém pre funkciu dvoch zím.

hodnotu... funkciu maximálne(minimálne) V bode, ktorý má byť bodom, kde sa má nachádzať na okraji deyakiy - na okraji bodu, vikonutsya (). - okrajové časti možno vymedziť bez bodov, ktorých súradnice sú splnené , De - pozitívne dosiahnuť malý počet.

Volajú sa funkcie maxima a minima extrémy, A - extrémny bod.

hej M 0(x 0; y 0) - bod akéhokoľvek extrému (maximálny bod alebo minimálny bod) funkcie. tody je spravodlivý

Veta 1.

Yaksho v bode extrému M 0(x 0; y 0) Prehľadávať súkromné ​​stratené і , Potom bude urážanie smradu stáť nulu:

2) Teraz je funkcia jasná . Takže jaka - funkcia je mimoriadne dôležitá, vtedy sa funkcia stratí y = y 0, Yaksho vyhral іsnu, dorіvnyuє na nulu:

(3)

Veta bola dokončená.

Vážení, umyte (1) є nie sú potrebné mysle do extrému v bode M 0(x 0; y 0) Diferencujte v celom bode funkcie. Tobto, nemysli dostatočne rozumne na toho, komu ide o vec M 0(x 0; y 0) Funkcia bude extra extrémna (maximálne minimum chi). Zdá sa, že bod M 0(x 0; y 0), V prípade trestného činu dychtivosti (1), є zbavený dospievania v extrémnom bode funkcie. Zvyškový príbeh o povahe takéhoto podozrenia na konci bodu možno rozvinúť podľa dodatočných pokročilých teorémov (vyvolaných bez vivedennya):

Veta 2.(Dostatočný svedok extrému)

hej M 0(x 0; y 0) je taký bod v regióne D Označenie funkcie tak, aby si bola vedomá nevyhnutných podmienok (1) až po extrém centrálnej funkcie. Tobto M 0(x 0; y 0) - zvýšená až po extrémny bod. Vieme v bode čísla

(4)

1) Yaksho > 0 і > 0 (abo 3 > 0 pri A = 0), To M 0(x 0; y 0) – poukazujú na minimálnu funkciu .

2) Yaksho > 0 і < 0 (abo Z<0 pri A = 0), To M 0(x 0; y 0) – bod maximálnej funkcie .

3) Yaksho < 0, potom bod M 0(x 0; y 0) – nie zrnko extrémnej funkcie .

4) Yaksho = 0, potom sa jedlo zobrazí na displeji - je potrebné pred koncom dňa.

zadok 1. hej NSі pri- počet dvoch nových položiek; p 1 = 8 RUB i p 2 = 10 RUB - cena za kus tovaru z šarže tovaru je platná; C = 0,01(x 2 + xy + y 2) - funkcia vitrátu (v rubľoch) na výrobu cich tovarov. todі dohіd R z predaja tovaru na sklade R = 8x + 10r(Rub.), A príchod NS sklad (v rubľoch)

P = R - C = 8x + 10y - 0,01(x 2 + xy + y 2).

vieme, obshy NSі pri tovar pri príchode NS bude najviac.

1) Zoznam známych hodnôt ( NS; pri), Підозрілі na extrém pre funkciu NS:

2) Teraz viem, že som pripravený na extrém pre funkciu NS bod M 0(200; 400). Pre mnohých je známy vo význame tsy, keďže začína virázami (4). Takže jaka

a je to dobré pre tých, ktorí sú ( NS; pri), A to znamená, že som v bodoch M 0(200; 400).

Takže yak a o to ide M 0(200; 400) - ukazuje na maximum funkcie NS... Príchod Tobto NS z predaja bude maximálne na x = 200(Od)і y = 400(Od) aj dvere 2800 rub.

zadok 2. Poznať body extrému a extrémnej funkcie

rozhodnutie. Funkcia Qia - funkcia dvoch zimných, určená pre tých NSі pri, Tobto na celej ploche hou, І maє v koži a body privátu v prvom poradí:

S hŕstkou známych bodov oblasti hou, Підозрілі na extrém pre túto funkciu:

Potom, ak poznáte súkromné ​​funkcie v inom poradí, môžete si zapísať rotáciu pre:

Výpočtom aktuálnych číselných hodnôt počtu hodnôt pre kožu od počtu adolescentov až po extrémy bodov môžeme rozpoznať nástup visnovky o bodoch:

Speck min.

Speck max.

Čchi nie je bod do extrému.

Čchi nie je bod do extrému.

Teraz existujú dve extrémne (maximálne) hodnoty funkcie, ktoré začínajú od dvoch vrcholov grafu celej funkcie:

Hodnota najväčšej a najmenšej hodnoty funkcií dvoch zím v uzavretom priestore.

Jednoznačne si stúpnem na úlohu. Nekhai je deyaka bez prerušenia vo funkcii dvoch zimných ľudí, ktorých možno vidieť v uzavretom priestore, de - vnútornej časti regiónu a G- її okraj (obr. 8.6).

Tie, ktorých funkcia nie je v ploche prerušená, to znamená, že grafom celej funkcie (plocha v otvorenom priestore) je sacia (bez razriviv) plocha pre každého. Pochopenie neprerušovanej funkcie dvoch prisluhovačov je analogické s porozumením neprerušovanej funkcie toho istého. Obidve funkcie jednej zmeny, funkcie dvoch mužov, zriadených elementárnymi funkciami, bez prerušenia pre všetky významy ich argumentov, pre akýkoľvek smrad hodnoty. Existujú tri funkcie, ktoré sú dôležitejšie.

Obr. 2. Možné zásobovanie potravinami: na niektorých miestach regiónu funkcia dosiahnutia jeho najvyššej a najnižšej hodnoty z naibі z naim? Aký je význam? Je pozoruhodné, že úloha je podobná tej, že sa na ňu pozeralo pre funkciu jednej zmeny, že sa pozeralo na uzavretý pohľad [ a; b] os Oh.

Je zrejmé, že body regiónu, v ktorých majú funkcie dosahu svojej najväčšej a najmenšej hodnoty, sa nachádzajú buď v strede bodov až po extrém centrálnej funkcie, ktoré sa nachádzajú v stredných regiónoch (v regióne ), alebo sa má nachádzať tu na kordóne G tsy galuzy. V uzavretej oblasti je ľahké poznať takéto body (Weierstrassova veta). A na otvorenom priestranstve (bez kordónu G) Takéto body nemusia byť.

Z uvedeného vishche viplivaє škaredé diagram bodov znakhodzhennya qih, Je to podobné ako to, čo je wikladen pre funkcie jednej zmeny.

1. Je známe, že každý je náchylný na extrém funkčného bodu, ktorý sa nachádza v oblasti D... Tse - tie body, v ktorých urážlivé súkromné, staré a vedúce k nule (buď je drahé na nulu a іnsha nie je іnu, alebo urážanie nie je іsnuyu).

2. Je známe, že každý je náchylný na extrém funkčného bodu, ktorý sa nachádza na kordóne. G oblasti. V prítomnosti vikoristovu mo rivnyannya kordónu G.

3. V bode 1. a 2. bodu (ceny) nie je možné poznať, je známa hodnota funkcie vo všetkých známych bodoch veku a z nich, z byť najväčší a najmenší.

zadok 3. vedieť z naibі z naim funguje tak, aby hľadel v uzavretom priestore, čo je trojuholníková doska s vrcholmi O(0; 0), A(1; 0), B(0; 1) (obr. 3).

rozhodnutie. Viconaєmo Vicladenu vische diagram.

1. Poznáme celý stred trojkolky (v regióne D) Body, ktoré sme získali za našu funkciu z... Pre širokú škálu zdrojov poznáme nasledovné:

Môžete počítať (je možné počítať) pre kohokoľvek (X; y)... Otzhe, body, podozrenie na extrém, budú zbavené toho, pre tých, ktorí sa urazili a súkromné, prehrali na nulu:

Zmyslom je samozrejme vysledovať oblasť D(Oskilki vіn sa pozrel na trikutnik). Tobto vona - dávkované v extrémnom bode pre danú funkciu z všetko v strede trikotu a tam je len jeden.

2. Teraz už poznáme bod, v extréme, na kordóne trojkolky.

a) Doslіdzhuєmo so zbierkou dilyanka OA Mezhi ( pri= 0; 0 £ NS 1 £). At tsy dilyantsi - funkcia jednej zmeny NS... Pre všetkých XÎ. K tomu jeho extrémne funkcie z možno mati, abo v bodkách, de, tobto v bodkách, alebo na konci OA, Tobto v bodoch O(0; 0) і A(1; 0).

b) Doslіdzhuєmo teraz dіlyanka OV mezhi trikutnik (tam NS= 0; 0 £ pri 1 £). Na funkcii tsіy dіlyantsі (0 £ pri£ 1) - funkcia jednej zmeny pri... Opakovane mirkuvannya bod (a), ide o visnovku, s vlastnou extrémnou funkciou z možno mati, buď v bode, alebo na koncoch OV, Tobto v bodoch O(0; 0) і B(0; 1).

c) Nareshty, dolzhuєmo dilyanka AB Mezhi. Takže jačme ďalej AB(Prejdi na tsomu) y = - x + 1 (0 £ NS£ 1), potom je tu funkcia z nabuvaє viglyadu: (0 £ NS 1 £). Je obhidny, pre svoj extremny vyznam funkcie z môžete ho dosiahnuť v bode, de, tobto v bode alebo na konci AB, Tobto v bodoch Aі V.

Otzhe, nový súbor pidosrilh na extrémnych bodoch funkcie
v trojkolke OAV takéto:

; ; ; ; ; ; .

3. A teraz poznáme význam funkcie z pri všetkých známych bodoch a vibráciách je hodnota najvýznamnejšia z naib mám najmenšiu hodnotu z naim:

V takej hodnosti, z naib = 3 a prejdite na funkciu z v trojkolke OAV naraz v dvoch bodoch - na dvoch vrcholoch Aі V... A môže dosiahnuť funkciu z v trojkolke OAV v tvojom vnútornom bode.

zadok 4. Rozpočet mesta má potenciál pre životaschopnosť v oblasti sociálneho života nie viac ako 600 miliónov rubľov, kvôli projektom a pozemkom pre 10 päťpodlažných budov pre 90 kožených bytov a pre 8 deviatich kožených budov pre 120 bytov. Priemerné náklady na jeden byt v kabíne s piatimi hornými časťami budú stáť 400 tisíc rubľov a v kabíne s deviatimi vrchmi 500 tisíc rubľov. Koľko z piatich a deviatich domov je zodpovedných za nesprávne uvedenie maximálneho počtu bytov?

rozhodnutie. hej NS- shukana počet piatich top budinkov, y - deväť vrchol, a z - nespočetné množstvo bytov v cikh stánkoch:

z = 90x + 120r

Partnerstvo všetkých bytov v päť-top kabínach v sklade 90 × 0,4 NS = 36NS miliónov rubľov a v deviatich horných 120 × 0,5 pri = 60pri miliónov rubľov Je známy myšlienkami majstra maєmo:

0 £ NS 10 £; 0 £ pri 8 £; 36 NS + 60pri 600 £

Dani obezhuvalny nervosti vikonuyutsya, samozrejme, v piatich-kutnik (obr. 4). V uzavretom priestore je potrebné poznať pointu M (x; y), Pre akúkoľvek funkciu z = 90x + 120r prijať najväčšiu hodnotu z naib.

Realizumo vicladenu vishche schéma takéhoto druhu tvorby.

1. Je známe, že celý stred päťštvrťového bodu je náchylný na extrém pre funkciu z... Takže jaka , І cі private іdnі sa pravdepodobne nedostane na nulu, potom sme sa dostali do extrému bodov v polovici päťročnej trasy.

2. Známe body, p_dozr_li na extréme, na kordónoch pyatikutnika. Na koži s n'yadrizkiv, ako vytvoriť kordón pyatitikutnik, funkcia z- funkcia linky na myseľ z = ax + by A z toho istého je jeho najväčšia a najmenšia hodnota, ktorú môžete dosiahnuť na kordónoch vidrizkiv. Tobto shukane má najväčšiu hodnotu z naib funkciu z dosiahnuť v jednom z najvyšších bodov (O; A; M1; M2; B)... výpočet hodnôt z v bodoch qix, otrimaєmo:

z(O) = 0; z ( A) = 960; z ( M 1) = 1260; z ( M 2) = 1380; z ( B) = 900.

Táto hodnosť z naim= 1380 a siahajte k veci M 2(10, 4). K najväčšiemu počtu bytov (1380) v meste pripadne 10 päťbytov a 4 deväťposchodové byty.

zadok 5... Aby sme z najlepších tricytov priniesli, koľko je dánsky obvod 2p, najštvorcovejší je jednostranný trojuholník M (2p / 3, 2p / 3), aby sa tieto body neuspokojili s rozsahom úloh: nemôže mať obvod obojstranných dverí ...

Doslidzhuєmo do extrémneho bodu M (2p / 3, 2p / 3):

∂2f/∂x2 = -2p (p-y); ∂2f/∂x∂y = p (2x + 2y-3p); ∂2f/∂y2 = -2p (p-x);

D = AC-B2=;

D > 0 A to A<0 Potom sa v predkole bodu funkcie dosiahne maximum. Otzhe, v jedinom stacionárnom bode je funkcia dosiahnuteľná na maximum a na funkciu s najväčšou hodnotou; takú hodnosť, s x = 2p/3, y = 2p/3 funkciou dosahu a najvyššej hodnoty. Ale Todi z = 2p-x-y = 2p/3... A to x = y = z Ten trikutnik je rovnostranný.

Funkcie zimných nálepiek

1. Hlavné hodnoty

Hodnota 1 Zdá sa, že pár kože (x; y) je hodnotou zmeny x a y, takže osoba bez páru D, ktorá má jedno a len jedno číslo zÎR, sa nazýva funkcia dvoch vín, čo znamená z f ( x; y). D = D (f) je definičný obor funkcie f.

2. Súkromné ​​a okrem zvýšenia funkcií dvoch zím

Keďže vo funkcii z = f (x; y) dve zmeny x a y na určenie hodnoty jedného z nich, napríklad y = y 0, potom môžeme prijať funkciu z = f (x; y 0), takže že jeden sa dá nájsť v tej istej premennej x.

Podobne, ak zafixujeme zmenu x = x 0, môžeme prijať funkciu z = f (x 0; y) tej istej zmeny.

Hodnota 2 Veličina D x z = f (x 0 + Dx; y 0) - f (x 0; y 0) je tzv. súkromná zbіlshennya funkcia z = f (x; y) v bode (x 0; y 0) argumentom x.

Hodnota 3 Veličina D y z = f (x 0; y 0 + Dy) - f (x 0; y 0) je tzv. súkromná zbіlshennya funkcia z = f (x; y) v bode (x 0; y 0) vzhľadom na argument y.

Hodnota 4. Veličina Dz = f (x 0 + Dx; y 0 + Dy) - f (x 0; y 0) je tzv. Zvýšme prírastok funkcia z = f (x; y) v bode (x 0; y 0).

3. Súkromné ​​funkcie dvoch zím

Nech funkcia z = f (x; y) dostane dve nezávislé zmeny x a y. Opravte jeden z nich, napríklad vvazayuchi y = const, dostaneme sa k funkcii jednej zmeny x. Todi môže predstaviť pochopenie primitívnej otrimanovej funkcie pre x, čo je zmysluplné. Za zmienku stojí funkčné funkcie toho istého zimného mamo:

Obchodná hodnota 5. Hranica vzťahu súkromného prírastku D x z funkcie z = f (x; y) pre zmeny x až po prírastok Dx zmeny x pri Dx, ak klesnete na nulu, zavolajte súkromné ​​obscénne funkcie na x a byť rozpoznané; ;

Podobne začať a znamenať súkromne ukradnuté funkcia z = f (x; y) podľa zmien y.

zadok 1. Poznajte súkromné ​​funkcie:

1.f (x; y) = x 3 + x 2 y2 + y3 + 3;

2.z = x y + y x.

rozhodnutie

1. Vazhayuchi y = const, i vazhayuchi pri rovnakej x nezávislej zmene, vieme

Podobne s x = const, posadnutý .

2. Pre y = konšt

;

pri x = konšt

Všetko, čo bolo povedané, môže byť rozšírené o funkciu ľubovoľného počtu prisluhovačov.

zadok 2. Poznať súkromné ​​funkcie

u = f (x; y; z) = cos (x2 + y2 + z2).

rozhodnutie

Sin (x 2 + y 2 + z 2) × 2x, y = const, z = const;

Sin (x 2 + y 2 + z 2) × 2y, x = const, z = const;

Hriech (x 2 + y 2 + z 2) × 2z, x = konšt., y = konšt.

Oscilácie súkromných starých sú z funkcií decilov zimných, ako aj funkcií decilov zimných, potom je pre ne možné vyčísliť aj súkromné. Hovoria tomu súkromné ​​staré objednávky.

Napríklad pre funkciu f (x; y) existujú dva typy a typy starších v rôznom poradí:

- priateľ unesený x;

і = - zmena časti strateného

- priateľa unesie y.

4. Vonkajší diferenciál funkcie dvoch

Obchodná hodnota 6. Nazvime hlavnú časť všeobecného prírastku Dz, čiaru vo vzťahu k prírastku argumentov Dx a Dy, ako diferenciál funkcie z = f (x; y) dvoch zmien x a y.

Vzhľadom na to, že Dx = dx a Dy = dy, sekundárny diferenciál funkcie z = f (x; y) možno vypočítať podľa vzorca

zadok 3. Vypočítajte novú diferenciálnu funkciu

z = ln (x2 + y2).

rozhodnutie. Poznáme súkromie starých a daných funkcií

Substitúcia vo vzorci (3.5) je

dz =

Poznať súkromné ​​funkcie

284. z = x 2 + 2xy + y 2 + 5 285. z = (x + y) 3

286. z = 287. z =

288. z = x 3 r – y 3 x 289. z = 2 r.

290. z = x y ln (x + y) 291. z = ln

292. z = ln + ln x y 293. z =

294. z = e y / x - e x / y 295. z = x y + sin

296. z = sin (x 2 y + xy 2) 297. z = y x + arctan

Poznajte súkromie iného poriadku

298. z = x 4 + 4x 2 y 3 + 7xy + 1 299. z = x 2 y

300.z = 4x 3 + 3x 2 y + 3xy 2 - y 3 301.z = xy + hriech (x + y)

302. z = hriech x cos y 303. z =

304.z = xe y 305. z = x + y +

306. z = x 2y 307. z = ln (x + e xy)

Revízia, scho

308, z = 309, z = ln (x – 2 roky)

310. z = 311. z = x 2 hriech

312. z = 313. z = arctan

Spoznajte nový funkčný diferenciál

314,z = xy 3 - 3x 2 y 2 + 2y 4 +1 315. z = 3x 2 y 5

316. z = hriech (x 2 + y 2) 317. z = x y

318. z = e xy 319. z = e x cos y

320.z = e y cos x 321.z = cos + sin

5. Extrémne funkcie dvoch zím

Hlavné hodnoty

Hodnota 1 Bod М (x 0; y 0) sa nazýva bod maxima (minima) funkcie z = f (x; y), keďže je blízko bodu M, takže pre všetky body (x; y) chýba prehľad:

f (x 0; y 0) ³ f (x; y), .

Veta 1 (Treba myslieť na extrém) ... Ak je funkcia z = f (x; y) diferencovaná, je dosiahnuteľná do extrému v bode M (x 0; y 0), potom її súkromné ​​sú v tse bodoch prvého rádu, takže ;

Body, v niektorých súkromných, sú nulové, sú volané stacionárne abo kritických bodov.

Veta 2 (Dostatok mysle pre extrém)

Nech funkcia z = f (x; y):

a) je uvedené v deyakom blízko bodu (x 0; y 0), v yak і;

b) možno použiť v rovnakom bode bez prerušenia osobných údajov v inom poradí

;

Todi, ak D = АС - B 2> 0, tak v bode (x 0; y 0) má funkcia z = f (x; y) extrém, navyše ak А< 0 (или С < 0) – максимум, если А >0 (abo C> 0) - minimum. V časoch D = AC - B 2< 0, функция z = f(x; y) экстремума не имеет. Если D = AC - B 2 = 0, то требуется дальнейшее исследование (сомнительный случай).

zadok 1. Poznať extrém funkcie z = x 2 + xy + y 2 - 3x - 6y.

rozhodnutie. Poznáme prvé poradie ochrany osobných údajov:

Skoristya s potrebnou mysľou a extrémom:

Virіshuyuchi systém rіvnyany, poznáme súradnice x a y stacionárne body: x = 0; y = 3, to znamená M (0; 3).

Sú očíslované súkromné ​​v inom poradí a ich význam poznáme v bode M.

A = = 2; C = = 2;

V istom zmysle diskriminant D = AC - B 2 = 2 × 2 - 1> 0, A = 2> 0. Potom v bode M (0; 3) funkcia je nastavená maximálne minimum. Hodnota funkcie v bode z min = -9.

Poznať extrémne funkcie

322. z = x 2 + y 2 + xy - 4x - 5y 323. z = y 3 - x 3 - 3xy

324. z = x 2 - 2xy + 4y 3 325. z = - y 2 - x + 6r

326. z = x y (1 - x - y) 327. z = 2xy - 4x - 2r

328. z = e - x / 2 (x + y 2) 329. z = x 3 + 8 y 3 - 6xy + 1

330.z = 3x 2 y - x 3 - y 4 331.z = 3x + 6 y - x 2 - xy + y 2

Najdôležitejšie a najmenej dôležité funkcie dvoch zím

V uzavretom priestore

Aby vedel najviacі najmenej význam funkcie v uzavretom priestore, požiadavka:

1) poznať kritické body, roztasvani v danej oblasti a vypočítať hodnotu funkcie v týchto bodoch;

2) poznať kritické body na kordóne regiónu a vypočítať v nich najvýznamnejšie a najmenej významné funkcie;

3) z najmenej známych je hodnota vibrácií najväčšia a najmenšia.

zadok 2. Poznať najlepšiu a najmenej významnú funkciu z = v počte x 2 + y 2 £ 1.

rozhodnutie. Poznáme súradnice kritických bodov, ktoré sú rozmiestnené v strede danej oblasti, pre ktoré je možné vypočítať privátne funkcie prvého rádu k nule.

hviezdy x = 0, y = 0 і, tiež М (0; 0) je kritický bod.

Číselná hodnota funkcie z v bode M (0; 0): z (0; 0) = 2.

Je známe, že kritické body na ploche kordónu - kružnica, daná rovným x 2 + y 2 = 1. Za predpokladu, že 2 = 1 - x 2 vo funkcii z = z (x; y), možno rozpoznať funkciou jednej zmeny

z = ;

kde xÎ [-1; 1].

očíslované stratené po nastavení na nulu môžeme odobrať kritické body na kordónovej ploche x 1 = 0, x 2 =, x 3 =

Poznáme hodnotu funkcie z (x) = v kritických bodoch a na koncoch cesty [-1; 1]: z(0) =; =; ; z (-1) =; z (1) =

Najväčšia a najmenšia priemerná hodnota funkcie z je v kritických bodoch, šíri sa v strede a na kolovom kordóne.

Otzhe, z naib. = Z(0; 0) = 2

z naymenuwan. = z

šikovný extrém

Hodnota 2 Odstránime extrém funkcie z = f (x; y), aby sme ho nazvali extrémom celej funkcie, siahajúc do mysle, pre zmenu x a y pletenie rovné j (x; y) = 0 (rovná sa odkaz). , Y =.

V takejto hodnosti je hypotéza najmenej významná, ako nohy trojkolky rivni medzi sebou.

Poznať najlepšie a najmenej významné funkcie:

332. z = x 2 - xy + y 2 - 4x v uzavretej oblasti, obklopenej čiarami x = 0, y = 0, 2x + 3y - 12 = 0.

333. z = xy + x + y v štvorci, obklopený rovnými čiarami x = 1, x = 2, y = 2, y = 3.

334.z = x 2 + 3y 2 + x - y v trojkolke, obklopenej priamkami x = 1, y = 1, x + y = 1.

335.z = sin x + sin y + sin (x + y) v doméne і 0 £ x £, 0 £ y £.

336.z = xy v počte x 2 + y 2 £ 1.

337.z = 1 - x 2 - y 2 v počte (x - 1) 2 + (y - 1) 2 £ 1.

338.z = x 2 + y 2 v počte (x -) 2 + (y -) 2 £ 9.

339. Poznajte extrém funkcie z = x 2 + y 2, ak x a y sú rovnaké = 1.

340. Tri trojkolky, kde je obvod P, poznajú najväčšiu pre danú oblasť.

341. Z danej oblasti S poznať obvod najmenšej hodnoty.

342. Vizuálne veľkosť otvoreného bazéna s objemom V, takže hladinu viem pomenovať.

343. Poznať veľkosť pravouhlého rovnobežnostena, ktorému možno priradiť maximálnu plochu S, keď je daný na ploche.

344. Vizuálne je veľkosť valca najlepšia pre odtok, povrch je S = 6p.

*Pid rozumie nepriehľadnosťі vyhýbanie sa graf funkcií inteligencie neprehľadnosť do kopcaі cesta dole pre istotu.