Polynomické koeficienty. Koeficienty polynómov Koeficienty polynómov uspokojujú myseľ

Ak je vyjadrený polynómom pomocou premennej x, nie je nám dané v pôvodnom tvare a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + ..., ale ako iné, jednoduchšie polynómy, potom je koeficient a 0 + a 1 + a 2 easy vykresľuje symbolický procesor Mathcad. Samotné koeficienty môžu byť funkciami (niekedy aj skladacími) iných zmien.

Malý 5.10. Výpočet koeficientov polynómu

Na výpočet polynomických koeficientov vírusu pomocou doplnkového menu (obr. 5-10):

• Zadajte Viraz.
• Vidieť v novom názve premenlivý alebo viraz, pre ktorý je potrebné rozšíriť polynomické koeficienty (v prílohe na obr. 5.10 je zmena z).
• Vyberte príkaz Symbolické / polynomické koeficienty.

Výsledkom je, že pod výrazom sa objaví vektor, ktorý pozostáva z polynomických koeficientov. Prvý prvok vektora je voľný člen a 0, druhý je 1 atď.

Konkrétne informácie, ktoré sú dôležité pri výpočte koeficientov polynómov, sú uvedené v časti venovanej numerickému deleniu koreňového polynómu (odd. časť „Polynóm cesty“ kapitola 8).

Ak chcete vypočítať polynómové koeficienty pomocou operátora symbolického výstupu:

• Zadajte Viraz.
• Kliknite na tlačidlo Coeffs na paneli Symbolic.
• Po vložení zadajte zástupný symbol kľúčové slovo coeffs je argumentom polynómu.
• Zadajte operátor symbolického výstupu ->
• stlačte tlačidlo .

Aplikácie na výpočet koeficientov polynómu sú uvedené vo výpisoch 5.7 a 5.8. Výpis 5.7 ukazuje rozpis koeficientov pre rôzne argumenty. Zostávajúci výpis demonštruje možnosť stanovenia koeficientov nielen pre najbežnejšie, ale aj pre zložitejšie vírusy, ktoré sú zahrnuté v tomto vzorci v úložnej časti.

Výpis 5.7. Výpočet koeficientov polynómu

Výpis 5.8. Výpočet polynomických koeficientov pre jednoduchú zmenu a vírus

Ako používať polynóm n-tá etapa Ak nájdete koreň, potom môžete znížiť úroveň polynómu tým, že ide o štádium polynómu, v ktorom všetky korene vychádzajú z koreňov polynómu, okrem toho, že nemá koreň.

Zapíšme si vzťah, ktorý spája polynómy:

Pri pohľade na vzťah 6.3 o rovnosti dvoch polynómov rovnakej úrovne je možné napísať vzťah, ktorý spája koeficienty týchto polynómov. Tento vzťah nezáleží na tom, ak existujú neznáme koeficienty. V dôsledku toho odmietame:

Rešpektujte tých, ktorí sú pre všetko neznámi, ale môžete žiarliť -. Ale zostáva žiarlivá є z popredia a vikoristovuetsya kontrolovať výpočet.

Ak chcete vytvoriť nový polynóm, môžete postupovať podľa rovnakého postupu - nájsť jeho koreň a potom znížiť stupeň polynómu. V skutočnosti nižší stupeň veľmi nezjednoduší hľadanie koreňov, takže je často jednoduchšie hľadať koreň výstupného polynómu, meniť blízkosť klasu v iteratívnom procese alebo, zjavne, intervaly, v ktorých polynóm mení svoje znamienko.

Nájdenie koeficientov polynómu podľa jeho koreňa

Doteraz sa uvažovalo o probléme hľadania koreňov polynómu s danými koeficientmi. Niekedy musíte vyriešiť kritický problém - nájsť koeficienty polynómu z hľadiska jeho koreňa. Polynóm s novými koreňmi je nenahraditeľný a nevyliečiteľný. Medzi nimi je však jeden polynóm s koeficientom rovným jednej. Tento polynóm sa nazýva vedenie, niečo, čo budeme mať. Všetky ostatné polynómy pochádzajú z indukovaného polynómu vynásobením všetkých koeficientov dodatočným číslom, podľa toho, ktoré je väčšie, takže sa nerovná nule. Pre jednoznačné priradenie je preto potrebné uviesť n koreňov a koeficient najvyššieho člena polynómu. Potom môžete napísať žiarlivosť:

Na nájdenie koeficientov sa polynóm zrýchli, ako ukazuje 6.3. Ale zastosuvati jogo bezpredno skladacia. Preto je proces zrýchlený, bod obratu k procesu nižšieho štádia. Pozrime sa na začiatok – polynóm prvého kroku, ktorý má jeden koreň. Potom posunieme krok a staneme sa polynómom ďalšieho kroku -, ktorý má iný koreň -. Pokračujúc v tomto procese sa dostaneme k požadovanému polynómu. Pri výpočte koeficientov nového polynómu vyhráme, že koeficienty už spočítali polynóm o jeden menej. To, čo sa objaví ako výsledok korelácie, je blízko ticha, ktoré je vyvolané poklesom spodného štádia polynómu.

Koeficienty polynómu prvého stupňa sú zapísané explicitne:

polynomické koeficienty k-tá etapa sa vypočítajú pomocou koeficientov polynomického štádia k-1:

Prejdeme na koeficienty a urobíme ďalší krok:

Nová 6,5 má polynómovú fázu cez určený koeficient. V skutočnosti je schéma bezpečná a umožňuje vám brať do úvahy koeficienty na rovnakom mieste bez potreby ďalšej pamäte. Vytvorím algoritmus na výpočet koeficientov polynómu podľa jeho koreňa vo forme diagramu podobného jazyku C#.

vypočítať:

// Vypočítajte koeficienty polynómu prvého stupňa a = 1; a = -x; // cyklus cez počet polynómov pre (int k = 2; k<=n; k++) { //Вычисляем коэффициенты полинома степени k //Вначале старший коэффициент a[k]= a; //затем остальные коэффициенты, кроме последнего for(int i=k-1;i>0; i--) (a [i] = a- a [i] * x;) // teraz najmladší účastník a = -a * x; ) // Zostávajúcou fázou je násobenie koeficientov pomocou an for (int i = 0; i<=n; i++) a[i] = a[i]*an;

Lagrangeov polynóm

Prejdite na daný bod na štvorci:. Lagrangeov polynóm sa nazýva polynóm n-tého stupňa, ktorý prechádza všetkými bodmi. Ak sa body neotáčajú, potom je takýto polynóm jedinečný. Pod rubom rozumieme situáciu, keď sú dva body a takí.

Ako vytvoriť takýto polynóm? Lagrange vyvinul útočný algoritmus. Polynóm bude súčtom polynómov n-tého štádia:

Kozhen s polynómami, ktorý je zahrnutý v taške, bude ďalším poradím. Korene polynómu zahŕňajú všetky bodky za bodkami. Jedinečnosť je zabezpečená tým, že koeficient vedúceho člena an je zvolený tak, aby polynóm prechádzal bodom. V Lagrangeovom zázname vyzerá polynóm ako nadchádzajúca objednávka.

Ak je vyjadrený polynómom pomocou premennej x, nie je nám dané v pôvodnom tvare a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + ..., ale ako iné, jednoduchšie polynómy, potom je koeficient a 0 + a 1 + a 2 easy vykresľuje symbolický procesor Mathcad. Samotné koeficienty môžu byť funkciami (niekedy aj skladacími) iných zmien.

Malý 5.10. Výpočet koeficientov polynómu

Na výpočet polynomických koeficientov ( Polynomické koeficienty) V doplnkovom menu (obr. 5 10):

• Zadajte Viraz.
• Vidieť v novom názve premenlivý alebo viraz, pre ktorý je potrebné rozšíriť polynomické koeficienty (v prílohe na obr. 5.10 je zmena z).
• prihlásiť tím Symbolické>Polynomické koeficienty(Symbol> Polynomické koeficienty).

Výsledkom je, že pod výrazom sa objaví vektor, ktorý pozostáva z polynomických koeficientov. Prvý prvok vektora je voľný člen a 0, druhý je 1 atď.

Konkrétne informácie, ktoré sú dôležité pri výpočte koeficientov polynómov, sú uvedené v časti venovanej numerickému deleniu koreňového polynómu (odd. časť „Polynóm cesty“ kapitola 8).

Ak chcete vypočítať polynómové koeficienty pomocou operátora symbolického výstupu:

• Zadajte Viraz.
• stlač tlačidlo Coeffs na paneli Symbolický(Symbolizmus).
• Zadajte zástupný symbol za vložené kľúčové slovo koeficienty polynomický argument.
• Zadajte operátor symbolického výstupu →
• stlačte tlačidlo Zadajte.

Aplikácie na výpočet koeficientov polynómu sú uvedené vo výpisoch 5.7 a 5.8. Výpis 5.7 ukazuje rozpis koeficientov pre rôzne argumenty. Zostávajúci výpis demonštruje možnosť stanovenia koeficientov nielen pre tie najvariabilnejšie, ale aj pre zložitejšie vírusy, ktoré sú zahrnuté v tomto vzorci v úložnej časti.

Výpis 5.7. Výpočet koeficientov polynómu:

Výpis 5.8. Výpočet polynomických koeficientov pre jednoduchú premennú a vírus:

Uvádza sa, že v časoch, keď je charakteristika nelineárneho prvku aproximovaná výrazom, ktorý umiestňuje viac ako tri body, musia byť hodnoty funkcie vybrané v rovnakých vzdialenostiach ako hodnoty argumentu. Okrem toho, keďže počet špecifikovaných bodov prevažuje nad počtom, ktorý prispieva k významnému koeficientu aproximácie, odporúča sa použiť „metódu najmenších štvorcov“, v tomto prípade je úprava strednej hodnoty štvorcov minimálna, potom v tomto prípade Metóda súčet štvorcov na vytvorenie polynómu pre daný krok z krivky je najmenší.

Je zrejmé, že bez ohľadu na natívne počítačové programy je potrebné vytvoriť krátky recept na výpočet tejto metódy, ktorý umožní študentovi pochopiť matematickú podstatu metódy a pomocou jednoduchých mikrokalkulátorov určiť prípadnú aproximáciu v optimálne krátku hodinu.

Zistilo sa, že najracionálnejšie je vypočítať koeficienty polynómu pomocou metódy najmenších štvorcov s pomocou dodatočných úvodov Yu.B. Vytvorme ortogonálne polynómy pre daný počet N - rovnako vzdialené body.

Výrazne cez polynomické štádium l. Potom bude systém polynómov ortogonálny pre daný počet bodov, ak nejaké budú
žiarlivosť končí

. (16)

Po rýchlom sledovaní Chebishevových ortogonálnych polynómov pomocou metódy Yu.B. Kobzarev našiel všetkých sedem polynómov, ktoré by umožnili takýto systém rozdeliť
pre N = 11 rovnako vzdialených bodov, potom keď
; -0,8; ... 0 ... 0,8; 1,0 najviac:

(17)

Systém (17) ortogonálnych polynómov má takú úžasnú silu, že expanzia akejkoľvek danej funkcie medzi nimi dáva najbližšiu aproximáciu v zmysle najmenších štvorcov. Preto namiesto napríklad vyjadrenia (18) koeficientu prenosu v napäťových krokoch
s neznámymi koeficientmi ho môžete napísať, pričom na prvý pohľad predstavíte súčet (19) skúmaných polynómov:

(18)

. (19)

tu R- polynomický krok; R- celé číslo rovné číslu dodanka; - koeficient, čo je veľkosť
, Čo možno nazvať strmosťou R, Tobto є sklon nultého rádu, - prvá objednávka atď.

Tu zadaná hodnota je X proporcionálne napätie
, Rozkladá sa v strede aproximačného pozemku
, Tobto pri zmene
medzi
,X potom sa zmení z -1 na 1

. (20)

Na určenie koeficientu
v (19) vynásobte urážlivé časti žiarlivosti polynómom
a je naznačený vo všetkých bodoch . Todi, vikorista a sila ortogonality (16), vieme

. (21)

, (22)

de
- normalizačný polynóm

. (23)

Keďže nulový uzol je reprezentovaný ľavým koncom aproximačného grafu, potom
, Potom je možné sumu (22) ručne rozdeliť na sumi, de X<0 и X> 0, teda ako polynómy ( R= 0, 2, 4, 6) v týchto parcelách nie sú ničím ovplyvnené, ale nespárované ( R= 1, 3, 5, 7) sú odlíšené znamienkami. Pri odkaze na cym je úplne potrebné predstaviť nepárové
a chlap
zložky posilňujúceho faktora Predtým:

(24)

de
- zmeniť množstvo X(Podľa nášho názoru, kedy N=11
);

- veľkosť koeficientu zosilnenia v bodoch
.

Teraz zamiesť súčet kladnými a zápornými hodnotami Môžete brať len súčty za kladné výsledky koeficientu pevnosti spárovaného a nespárovaného skladu. potom

(25)

Zadajte do tabuľky. 1 hodnota koeficientov normovaných polynómov
a vikorysty, je ľahké poznať koeficienty
za vzorcami (25), potom v (19) zoskupte pojmy podľa krokov X a prejdite na daný koeficient zosilnenia v tvare polynómu v krokoch
. Koeficienty tohto polynómu budú vybrané spôsobom najmenších štvorcov vzhľadom na experimentálnu krivku
bude prakticky nahnevaný na teoretickú krivku
.

Výpočet koeficientov polynómu, vypočítaných počas harmonickej analýzy na určenie koeficientov a parametrov nelinearity a v konečnom vrecúšku na výber optimálneho režimu napájacieho zdroja, si pozrite na Je to na konkrétnom zadku.

stôl 1

Laboratórny robot č.7

INTERPOLÁCIA FUNKCIÍ POLYNÓMOV

Lagrange

Zavdannya. Vypočítajte najbližšie hodnoty funkcie pre daný hodnotný argument x * pomocou Lagrangeovho interpolačného polynómu; Vytvorte graf Lagrangeovho polynómu, ktorý prechádza danými šiestimi bodmi.

Krátky popis metódy.

Začnime s najjednoduchším a najzrejmejším typom interpolácie s algebraickými polynómami. Pre danú tabuľku údajov)

interpolačný polynóm, Ako to poteší mysle

Žiarlivosť (7.2) môže byť napísaná vo forme systému žiarlivosti

Aké sú koeficienty polynómu? a predtým. Tento systém je jasne prepojený, keďže systém funkcií 1, x, x 2,…x n lineárne nezávislé v bodoch x 0, x i .x str. Jednoznačné oddelenie systému (7.3) vyplýva zo známeho faktu, že pôvod tohto systému ( Vandermondov zástupca)

Náhrada za nulu, pretože uzly interpolácie sú párovo odlišné. Veta je teda správna.

Veta 7.1.Existuje jediný interpolačný polynómový stupeň n, ktorý uspokojuje mysle(7.2).

Rešpekt. V praxi sa systém (7.3) nikdy nepoužíva na výpočet koeficientov interpolačného polynómu. Vpravo je, že je často zle premyslená. Okrem toho existujú rôzne manuálne explicitné formuláre na písanie interpolačného polynómu, ktoré možno použiť počas interpolácie. Ukazuje sa, že väčšina doplnkov k interpolačnému polynómu sú jednoznačne výpočty koeficientov a predtým nie je potrebné.

Predvolená interpolácia spočíva v dennej funkcii (x) uspokojuje myseľ Inými slovami, o dennej funkcii sa robí úloha, ktorej rozvrh prechádza danými bodmi (x i, y i) Keďže funkcia (x) prechádza všetkými danými bodmi , potom sa táto metóda nazýva globálna interpolácia. Najjednoduchšia a najjednoduchšia na sledovanie je polynomiálna interpolácia. Jedna z foriem zápisu interpolačného polynómu -Lagrangeov polynóm:

Nezáleží na tom, koľko, existuje polynóm, ktorý poteší myseľ

Lagrangeov polynóm je teda efektívny a interpolačný.

V inžinierskej praxi sa najčastejšie používa interpolácia s polynómami prvého, druhého a tretieho stupňa. Predstavme si nasledujúce vzorce na písanie Lagrangeových polynómov prvej a druhej fázy:

Zadok 7.1. Nech je uvedená tabuľka funkčných hodnôt pri= Ln x:

Pre najbližší výpočet hodnoty 1p (1.23) rýchla lineárna a kvadratická interpolácia.

Vezmite x 0 = 1,2 a x 1 = 1,3. Výpočet pomocou vzorca (7.4) dáva hodnotu 1n (1.23) 0,206335.

Aby sme dosiahli kvadratickú interpoláciu, vezmeme x 0 = 1,1, x 1 = 1,2, x 2 = 1,3 - tri najbližšie k bodu x = 1,23

vuzla. Pri výpočte pomocou vzorca (7.5) je to 1n (1.23) 0,207066.

Dostaňme sa k najzrejmejšej vete o krádeži interpolácie.

Veta 7.1. nechať fungovať f(x) diferencovateľné n+1

raz za reláciu [A, b], Ako umiestniť interpolačné uzly na zastavenie interpolácie v bode právom žiarlivosť

v ktorom

- bod, ktorý nasleduje po intervale (A, b).

Hlavná nekonzistentnosť tejto vety spočíva v tom, že bod nie je známy. Preto sa najčastejšie kritizuje nie samotná veta, ale jej dedičstvo.

Vyšetrovanie.Spravodlivé hodnotenie straty interpolácie do bodky , Čo sa deje, pozri

a tiež odhad pre maximálny modul chyby interpolácie na úsek vyzerá

Zadok 7.2. Odhaduje sa, že únos je čoraz bližšie

ln (1.23), extrahovaný v dodatku 7.1 pre dodatočnú interpoláciu polynómov prvého a druhého stupňa. V týchto prípadoch je viditeľná nervozita (7,7).

Vážení, pre moje dobro. Tu Tom

Potom v dôsledku nerovností (7.9) a (7.10) môžeme odstrániť nasledujúce odhady krádeže:

Na obed , Ak sa pravdepodobnosť mierne mení, potom veľkosť absolútnej straty môže úzko súvisieť s hodnotami funkcie. Informácie o typickom správaní tejto funkcie je možné získať z obr. 1. Veľmi si vážime tých, ktorí, keď argument x prekročí hranice, hodnota opatrnosti sa ešte zvýši. To vysvetľuje nespoľahlivosť extrapolácie funkcie na hodnotu argumentu z opatrnosti.

Teraz ma nechaj ísť a nechaj ma ísť i-tý okraj tabuľky a zhrubnutím odhadu (7.8) môžeme eliminovať vznik nerovností

Umožňuje vám potvrdiť, že na pridanie hladkej funkcie pri fixovaní štádia interpolačného polynómu, redukcia interpolácie na sekciu [x 0, x n] pri zvýšení na nulu NIE JE väčšia, nižšia ako hodnota okolo časti. Táto skutočnosť sa zvyčajne formuluje takto: interpolácia polynómovým stupňom P maє (n + 1) rád presnosti shodo h max. Uzavretá, lineárna a kvadratická interpolácia samozrejme poskytuje ďalší a tretí rád presnosti.

algoritmus programu

vikoristické moduly crtі graf;

označenie tých dôležitých;

klas zostavenej časti programu

špecifikovaná hodnota prvkov poľa x [i] a y [i]; hodnota argumentu XZ; Уz = 0; v cykle podľa i vіd 0 až 5 vikonuvati

| v cykle] v 0 až 5 vykonuvat yakscho * / potom | xx = xx (ХZ - x [j] / (x [i] - x [j]);

| y z = y z + y [i] x x

koniec cyklu i;

význam ikony na obrazovke XZі Уз;.

Stlačte a stlačte kláves Enter;

prepnúť do grafického režimu;

obraz špecifikovaných bodov (x i, y i);

grafika Lagrangeovho polynómu;

stlačením ľubovoľného tlačidla ukončíte program.

Vkazivka. Pri práci v grafickom režime zrýchlite s programami od pokročilých laboratórnych robotov.

Ovládajte jedlo

1. Aký je účel interpolácie?

2. Ktorý polynóm sa nazýva interpolačný polynóm?

3. Aký je rozdiel medzi globálnou a lokálnou interpoláciou?

4. Ako určiť štádium Lagrangeovho interpolačného polynómu na základe počtu uzlov?

5. Koľko existuje polynómov, ktoré by informovali mysle o interpolácii?

6. Aké sú nedostatky Lagrangeovho interpolačného polynómu?

7. Ako sa hodnotí strata interpolácie?

8. Ako sa mení presnosť interpolácie v dlhodobom horizonte v dôsledku opatrnosti a prečo?

Zodpovedá za zostavenie výstupných dát, výpisu problému, informácií o metóde vývoja, textu programu, extrahovanie výsledkov a grafu.