Zināt polinoma racionālās saknes, lai veiktu pārskatīšanu. Ekvivalenta matemātika. Polinomu racionālās saknes. Hornera shēma. Zināšanas par Tsilikh Roots

Polinomu formā sauc par formu: anksn + an-1 xn-1 +. ... ... + A 1 x + a 0, de n - dabiskais skaitlis; un, an-1 ,. ... ... , A 1, a 0 - ir skaitļi, ko sauc par polinoma koeficientiem. Virazi nerv, an-1 xn-1,. ... ... , A 1 x, a 0 sauc par polinoma locekļiem, un 0 - vilnijas terminu. an - sniegums pie xn, an -1 - sniegums pie xn -1 utt. piemēram, polinoms 0 x2 + 0 x + 0 ir nulle. No polinoma ieraksta ir skaidrs, ka mēs esam sakrauti ar deciliem. Sāka un ielika terminu<< многочлен >> (daudz biedru). Vienu polinomu sauc par polinomu. Tsey termins līdzināties valriekstu slāvi πολι - bagato і νομχ - biedrs.

Polinoms no tā paša mainīgā ir pazīstams kā:. f (x), g (x), h (x) utt., piemēram, ja aplūkojat f (x) polinomus, tad varat rakstīt: f (x) = x 4 + 2 x 3 + (- 3) x 2 + 3/7 x + √ 2. 1. Polinomu h (x) sauc par lielāko spilniku no polinomiem f (x) і g (x), ja vēlamies paplašināt f (x), g (x) і skinny їх zagalnyy dіlnik. 2. Polinomu f (x) ar soļa n lauka P parametriem sauc par reducējamu virs lauka P, ja mēs varam izmantot n soļa polinomus h (x), g (x) Î P [x] , bet f (x) = h (x) g (x).

Jakšo є polinoms f (x) = anksn + an-1 xn-1 +. ... ... + A 1 x + a 0 і an ≠ 0, tad skaitli n sauc par polinoma f (x) soli (vai teikt: f (x) - n solis) Es rakstu mākslu. f (x) = n. Starp citu, an tiek saukts par vecāko locekli, un szorns ir šī polinoma vecākais loceklis. Piemēram, ja f (x) = 5 x 4 -2 x + 3, tad Art. f (x) = 4, vecākais vadītājs - 5, vecākais loceklis - 5 x4. Polinoma solis ir pirmās izpildes lielākais skaitlis no nulles. Nulles soļa maisiņš ir vesels skaitlis, kas dots no nulles. , Nulles grādu polinoms nav maє; polinoms f (x) = a, de a ir skaitlis, kas nav parādīts kā nulle, 0 solis; Jebkura cita polinoma soļi, kas ir labākais rādītājs mainīgā x solim, kura efektivitāte ir nulle.

Polinomu vienādība. Abi polinomi f (x) un g (x) ir vienlīdz svarīgi, jo tie ir vienādi ar vienu un to pašu veiktspēju mainīgo x un vilny locekļu vienādos soļos (vienādi ar to pašu veiktspēju). f (x) = g (x). Piemēram, polinomi f (x) = x 3 + 2 x 2 -3 x + 1 і g (x) = 2 x 23 x + 1 nav vienādi, pirmajam no tiem ir efektivitāte pie x3 izmaksas 1, un otrs - nulle (No pieņemtajām prasmēm varam rakstīt: g (x) = 0 x 3 + 2 x 2 -3 x + 1. Pirmkārt: f (x) ≠ g (x). = 2 x 2 -3 x + 5, s (x) = 2 x 2 + 3 x + 5, tāpēc tiem ir veiktspēja x attīstībai.

Un polinoma ass f 1 (x) = 2 x 5 + 3 x 3 + bx + 3 і g 1 (x) = 2 x 5 + cirvis 3 -2 x + 3 šarnīrsavienojums, ja а = 3, a b = -2. Ļaujiet norādīt polinomu f (x) = anksn + an-1 xn-1 +. ... ... + 1 x + 0 deyake numurs ar. Skaitlis f (c) = ancn + an-1 cn-1 +. ... ... + A 1 c + a 0 saukt par polinoma f (x) vērtībām x = c. Šādā rangā, lai zinātu f (c), polinomā ir jāaizstāj x un jāveic nepieciešamais aprēķins. Piemēram, ja f (x) = 2 x 3 + 3 x 2 -x + 5, tad f (-2) = 2 (-2) 3+ (-2) 2-(-2) + 5 = 3. Polinomiski, kad vērtības mainās, var būt jaunas vērtības. Skaitli z sauc par polinoma f (x) sakni, kur f (c) = 0.

Es patiešām cienu divu cietu ideju: "polinoms f (x) noved pie nulles (vai, labi, polinoms f (x) ir nulle)" un "ir polinoma f (x) vērtība pie x = nulle ". Piemēram, polinoms f (x) = x 2 -1 nav dārgs līdz nullei, tam ir efektivitāte, kas nav nulle, un tā vērtība pie x = 1 ir dārga līdz nullei. f (x) ≠ 0 un f (1) = 0. Ja viņi saprot polinomu vienādību un polinoma vērtību, pastāv cieša saikne. Ja divi vienādi polinomi ir doti f (x) un g (x), tad їх tiek doti koeficienti івні, un līdz ar to f (c) = g (c) ādas skaitlim с.

Darbības ar polinomiem Iepakošanu var salocīt, parādīt un pavairot saskaņā ar īpašiem arku atvēršanas noteikumiem un citiem elementiem. Tajā pašā laikā es zinu, ka man tas nav pārāk labi. Operācijas nosaka dažādas iestādes: f (x) + g (x) = g (x) + f (x), f (x) + (g (x) + h (x)) = (f (x) + g (x)) + h (x), f (x) g (x) = g (x) f (x), f (x) (g (x) h (x)) = (f (x) g (x)) h (x), f (x) (g (x) + h (x)) = f (x) g (x) + f (x) h (x).

Iegūsim divus polinomus f (x) = anksn + an-1 xn-1 +. ... ... + A 1 x + a 0, ≠ 0, і g (x) = bmxm + bm-1 xm-1 +. ... ... + B 1 x + bm ≠ 0. Skaidrs, Art. f (x) = n, un Art. g (x) = m. Ja reizinām qi ar diviem polinomiem, mēs redzam polinomu formā f (x) g (x) = anbmxm + n +. ... ... + A 0 b 0. Tā kā ≠ 0 і bn ≠ 0, tad anbm ≠ 0 un līdz ar to Art. (F (x) g (x)) = m + n. Skaņas ir svarīgākas par stingrām.

Solis izveidojiet divus polinomus bez nulles reizinātāju soļu summai, Art. (F (x) g (x)) = st. f (x) + Art. g (x). Vecākais loceklis (koeficienti) izveido divus polinomus, kas nav nulle, papildu koeficientu vecākajiem locekļiem (koeficientiem). Spēcīgs dalībnieks izveido divus polinomus, lai pievienotu vairākus kofaktorus. Polinomu pakāpes f (x), g (x) un f (x) ± g (x) ir saistītas ar attiecību sākumu: Art. (F (x) ± g (x)) ≤ max (F (x), G (x)).

Tiek saukta polinomu f (x) un g (x) superpozīcija. polinoms, kas apzīmēts ar f (g (x)), kas parādās polinomā f (x), aizstāj x un attēlo polinomu g (x). Piemēram, ja f (x) = x 2 + 2 x-1 і g (x) = 2 x + 3, tad f (g (x)) = f (2 x + 3) = (2 x + 3) 2 +2 (2 x + 3) -1 = 4 x 2 + 16 x + 14, g (f (x)) = g (x 2 + 2 x-1) = 2 (x 2 + 2 x-1) + 3 = 2 x 2 + 4 x + 1. Var redzēt, ka f (g (x)) ≠ g (f (x)), ti, polinomu f (x), g (x) superpozīcija un polinomu g (x), f (x) superpozīcija різні. Šādā rangā superpozīcijas darbība nav transponēšanas spēks.

, Laika pārplūdes algoritms Jebkuram f (x), g (x), izpildiet q (x) (privāts) un r (x) (pārpalikums), tātad f (x) = g (x) q (x) + r (x) un soļi r (x)

Polinoma f (x) polinoma Dilnik apakšdaļas ir polinoms g (x) tāds, ka f (x) = g (x) q (x). Visdaudzveidīgākais divkāršais polinoms F (x) un g (x) ir d (x) d (x), kas ir diversificētie nirēji.

Eiklida algoritms (pēdējās paaudzes algoritms) ir zināšanas par visefektīvāko polinomu veidu f (x) un g (x).

Paātriniet citu risinājumu: mēs zinām šo polinomu NSD, Eiklida bloķēšanas algoritmu 1) x3 + 6 x2 + 11 x + 6 x3 + 7 x2 + 14 x + 8 1 - x2 - 3 x2 2) x3 + 7 x2 + 14 x + 8 x3 + 3 x2 + 2 x - x2 - 3 x2 -x- 4 4 x2 + 12 x + 8 0 Otzhe, polinoms ( - x2 - 3 x2) number skaitļa un saucēja GCD no dotās daļas. Saucēja sadalījuma rezultāts visā skatu polinomā.

Mēs zinām datuma datuma rezultātu. x 3 + 6 x2 + 11 x + 6 - x2 - 3 x2 x3 + 3 x2 + 2 x -x- 3 3 x2 + 9 x + 6 0

Hornera shēma Rozdіliti, ja polinoms f (x) ir pārāk daudz polinomam, kas nav nulle, g (x) - nenozīmē attēlot f (x) skatā f (x) = g (x) s (x) + r ( x), de s (x) і r (x) -polinomi і abo r (x) = 0, abo st. r (x)

Bagāža, tas ir nepieciešams stāvēt labajā un kreisajā daļā visu sporta, pat, un tas nozīmē, ka pirmajā vietā. Pririvnyaєmo їх, atvēris arkas priekšā un potējis apakšnodaļas dotās vienlīdzības labajā daļā. Otrimaєmo: a = bn-1, a-1 = bn-2-cbn-1, a-2 = bn-3-cbn-2, a 2 = b 1-cb 2, a 1 = b 0-cb 1, a 0 = r - cb 0. Nagadaєmo, ir jāzina nepilnīga daļa, tas ir, tās vērtība un pārpalikums. Vizuāli їх їх іх і: bn-1 = an, b n-2 = cbn-1 + an-1, b n-3 = cbn-2 + a n-2, b 1 = cb 2 + a 2, b 0 = cb 1 + a 1, r = cb 0 + a 0. Mēs zinājām formulas, aiz kurām ir iespējams aprēķināt nepabeigta privātā s (x) un pārpalikuma r efektivitāti. Aprēķinot, tas tiek sastādīts, ņemot vērā šādas tabulas; netiks saukta par Hornera shēmu.

1. tabula. Iezīmes f (x) c an bn-1 an-1 bn-2 = cbn-1 + an-1 an-2 bn-3 = cbn-2 + an-2 ... ... a 0 r = cb 0 + a 0 veiktspējas s (x) pārpalikums Tabulas pirmajā rindā pierakstiet visu polinoma f (x) veiktspējas rindu, atstājot tabulas pirmo šūnu. Otrajā rindā pirmajā taustiņā pierakstiet skaitli c. Šūnu līnija jāaizpilda, skaitot vienu aiz nepilnīgas privātās s (x) un pārpalikuma zemākā rādītāja. Pie citiem klientiem pierakstiet funkciju bn-1, kas, instalējot, tika piegādāta uz.

Atzinums, kas jāstāv pie ādas aizskarošām šūnām, tiek aprēķināts saskaņā ar šādu noteikumu: skaitli c reizina ar skaitli, kas atrodas priekšgalā, un rezultāts sasniedz skaitli, kas atrodas virs atslēgas. Lai iegaumētu, teiksim, p'yatu atslēgu, tas ir. Lai zinātu vienas funkcijas vērtību, ir jāreizina ar skaitli, jāatrodas ceturtajā atslēgā un jāpievieno skaitlis rezultātam, lai varētu stāvēt virs piektās atslēgas. Rozdilimo, piemēram, polinoms f (x) = 3 x 4 -5 x 2 + 3 x-1 uz x-2 ir pārāk daudz, apburta Hornera shēma. Kad tiek saglabāta shēmas diagrammas pirmā rinda, nav iespējams aizmirst par polinoma nulles koeficientiem. Tātad, izpildījums f (x) ir skaitlis 3, 0, - 5, 3, - 1. Atmiņas pirmais solis ir neprecīzā privātā soļi, kas ir mazāki par polinoma f (x) soli. .

Otzhe, viconuєmo podil aiz Hornera shēmas: 2. tabula. 2 3 3 0 6 -5 7 3 17 -1 33 Otrim nav privāti s (x) = 3 x 3 + 6 x 2 + 7 x + 17 і pārpalikums r = 33 Dārgi, tikai vienu stundu mēs pārkāpām polinoma vērtību f (2) = 33. Rozdilimo tagad ir tas pats polinoms f (x) uz x + 2 ir pārāk daudz. Pirmkārt, s = -2. otrimaєmo: 3. tabula. -2 3 3 0 -6 -5 7 3 -11 -1 21 Maєmo rezultātā f (x) = (x + 2) (3 x 3 -6 x 2 + 7 x -11) +21 ...

Polinomu Nehai c1, c2, ..., сm sakne ir polinoma f (x) dažādas saknes. Todi f (x) sniedzas līdz x-s1, t.i., F (x) = (x-c 1) s 1 (x). Mēs to varam izdarīt ts_i līdzsvarā x = c2. Otrimaєmo f (c 2) = (c 2 -c 1) s 1 (c 2) i, tātad f (c 2) = 0, tad (c2 C1) s 1 (c 2) = 0. Ale c2 ≠ h1, tas ir, C2 C1 ≠ 0, un līdz ar to s 1 (c 2) = 0. Tādējādi c2 ir polinoma s 1 (x) sakne. Svidsy vyplyaє, bet s 1 (x) stiepjas līdz x-c 2, t.i., S 1 (x) = (x-c 2) s 2 (x). Ar viraz nomaiņu s 1 (x) vienādībā f (x) = (x-c 1) s 1 (x). Mєmo f (x) = (x-c 1) (x-c 2) s 2 (x). Ja poklavshi pārējā vienādībā x = c3 ar urahuvannyam, ka, uh f (c 3) = 0, c3 ≠ h1, c3 ≠ c2, tas nav iespējams, bet c3 ir polinoma s 2 (x ). Līdz ar to s 2 (x) = (xc 3) s 3 (x), un todі f (x) = (xc 1) (xc 2) (xc 3) s 3 (x) utt. saknes c4, c5, ..., сm, mi, nareshtі, mēs varam secināt, ka f (x) = (xc 1) (xc 2) ... (х-сm) sm (x), tas ir, formulēts zemāks tverdzhennya.

Ja c1, c2, ..., сm ir dažādas polinoma f (x) saknes, tad f (x) var attēlot skatā f (x) = (xc 1) (xc 2) ... (x -cm) sm (x). Izklausās pēc nozīmīga mantojuma. Ja c1, c2, ..., cm-dažādas polinoma f (x) saknes, tad f (x) stiepjas pa polinomu (x-s1) (x-c 2) ... (x-cm). Nulles polinoma f (x) sakņu sakņu skaits ir ne vairāk kā viens solis. Protams, ja f (x) nav sakne, tad ir skaidrs, ka teorēma ir patiesa, vairāk māksla. f (x) ≥ 0. Tagad f (x) ir m saknes c1, c2, ..., сm un visas sakņu smakas. Todi, parasti mēs parādīsim f (x), lai paplašinātu līdz (x-z1) (x C2) ... (x-cm). Tādā mākslas veidā. f (x) ≥st. ((X-s1) (x-c 2) ... (x-cm)) = st. (X-z1) + Art. (X-c 2) + ... + st. (X-сm) = m, t.i. f (x) ≥m, un m ir atvērtā maisa sakņu skaits. Un nulles polinoma ass ir bezgala bagāta ar saknēm, pat tās nozīme jebkuram x ceļam ir 0. Zokrem, iemesla dēļ, nevis sodīt nevienu dziedošo pasauli. Drošas destilācijas teorēmas arī ir stingras.

Ja polinoms f (x) nav polinoms ar pakāpi, vairāk, zemāks n un vairāk, mazāk n sakņu, tad f (x) ir nulles polinoms. Patiesībā, no tsiy firmas viplyaє domām, labi, f (x) mākslai ir nulles polinoms. f (x) ≤n. Ja polinoms f (x) nav nulle, tad Art. f (x) ≤n, un tikai f (x) nav vairāk, mazāk n sakņu. Nāc berzēt. Tādējādi f (x) ir polinoms, kas nav nulle. Pieņemsim, ka f (x) un g (x) ir polinomi, kuru garums nav nulle, nevis lieli, nevis n. Ja polinomu skaitam ir vienāda vērtība izmaiņu x n + 1 vērtībām, tad f (x) = g (x).

Lai pierādītu, polinoms h (x) = f (x) - g (x) ir viegli saprotams. Skaidrs, kurš - vai nu h (x) = 0, vai st. h (x) ≤n, tas ir, h (x) nav polinoms, kura pakāpe ir lielāka par n. Tagad pieņemsim tādu pašu skaitli kā f (c) = g (c). Todi h (c) = f (c) - g (c) = 0, tas ir, E. Z ir polinoma h (x) sakne. Arī polinomam h (x) ir n + 1 sakne, un, ja tas ir tikko pabeigts, h (x) = 0, t.i., F (x) = g (x). Ja f (x) un g (x) visām izmaiņu vērtībām ir vienāda vērtība, tad polinomi ir vienādi

Polinoma saknes daudzkārtņi Ja skaitlis ir polinoma f (x) sakne, viss polinoms, kas ir vidomo, stiepjas par x-s. Jūs varat lamatas, scho f (x) iet pie jaku pēdām polinoms x-c, TE Na (x-c) k, k> 1. Visos gadījumos z sauc par daudzsakni. Es formulēšu vērtību skaidrāk. Skaitli z sauc par polinoma f (x) daudzkārtības k (k-daudzkārtne) sakni, ja polinoms stiepjas par (xc) k, k> 1 (k ir naturāls skaitlis), bet ne ar (xc ) k + 1. Ja k = 1, tad mēs to sauksim par sakni, un, ja k> 1, mēs to sauksim par daudzskaitļa f (x) sakni.

Ja polinoms f (x) ir attēlojams skatā f (x) = (xc) mg (x), m ir naturāls skaitlis, tad tam jāpaplašinās līdz (xc) m + 1 todi un tikai todi, ja g ( x) turpināt x-s. Patiešām, ja g (x) stiepjas līdz x-c, t.i., G (x) = (xc) s (x), tad f (x) = (xc) m + 1 s (x) un līdz ar to f (x) pagarināt par (xs) m + 1. Atpakaļ, ja f (x) stiepjas par (xs) m + 1, tad f (x) = (xc) m + 1 s (x). Todі (x-c) mg (x) = (x-c) m + 1 s (x) і ātruma pārsniegšanai par (x-c) m ir iespējams g (x) = (x-c) s (x). Svidsy viplivaє, scho g (x) stiepjas līdz x-s.

Piemēram, Z'yasuєmo, kur є ir skaitlis 2 pēc polinoma saknes f (x) = x 5-5 x 4 + 3 x 3 + 22 x 2 -44 x + 24, un tāpēc mēs to zinām daudzveidība. Spēja nolasīt barošanas avotu tiek saskaņota ar Hornera shēmas palīdzību, un f (x) sniedzas līdz x-2. mєmo: 4.2. tabula 1 + 1 -5 -3 3 -3 22 16-44-12 12 0 ... Tādējādi 2 ir polinoma sakne. Turklāt mēs atņēmām, ka f (x) = (x -2) (x 4 -3 x 3 -3 x 2 + 16 x -12). Tagad z'yasuєmo, chi є f (x) on (x -2) 2. Nolikt, kā viņi to atnesa, kā daļu no bagatolen g (x) = x 4 -3 x 3 -3 x 2 + 16 x 12 x 2.

Es zinu ātrumu pēc Hornera shēmas: 5.1. Tabula -3 -3 16 -12 2 1 -1 -5 6 0 Otrimal, bet g (x) stiepjas par x -2 un g (x) = (x -2) (x 3 -x 2 -5 x + 6). Todi f (x) = (x -2) 2 (x 3 -x 2 -5 x + 6). No tā paša f (x) stiepjas par (x-2) 2, tagad f (x) ir jāpagarina par (x-2) 3. Kam tas ir pārkonfigurējams, h (x) = x 3- x 2 -5 x + 6 uz x -2: 6.1. tabula 3, і f (x) = (x-2) 3 (x 2 + x-3).

Dal ir līdzīgi apgriezts, tāpēc f (x) turpinās (x-2) 4, t.i., s (x) = x 2 + x-3 turpinās x-2: 7.2. Tabula 1 1 1 3 -3 3 Ir zināms ka pārpalikums, kad s (x) tiek pagarināts līdz x-2, ir 3, tas ir, s (x) nesniedzas līdz x-2. Tādējādi f (x) nepagarina par (x-2) 4. Tādējādi f (x) neattiecas uz (x-2) 3, bet neattiecas uz (x-2) 4. Atkal skaitlis 2 ir 3 polinomu f (x) daudzkārtības sakne.

Nosauciet saknes pārrakstīšanu pēc daudzkārtības vienā tabulā. Attiecībā uz doto muciņu ir tabula ar ma takiy viglyad: 8.1. Tabula -5 3 22 -44 -24 2 2 1 1 -3 -1 1 3 -3 -5 -3 3 16 6 0 -12 0 0 Citā vārdi, aiz diagrammas Hornera polinoma f (x) dalījums ar x-2, otrā rindā noliedzam polinoma g (x) efektivitāti. Izmantosim otru rindu ar jaunās Horner sistēmas svarīgo pirmo rindu un vikono rozpodilu g (x) uz x-2 un t. D. Turpiniet aprēķināt, līdz klusi, kamēr pārpalikums netiek noraidīts, skats ir nulle. Tajā pašā laikā saknes daudzkārtība ir vienāda ar lieko nulles pārpalikumu skaitu. Pēc kārtas, lai atriebtos par atlikušo nulles pārpalikumu, ir privāts priekšnesums, kad f (x) dalīts ar (x-2) 3.

Tagad, kad esmu ierosinājis tikai shēmu saknes maiņai par daudzkārtību, es ķēros pie uzdevuma. Attiecībā uz a un b polinoms f (x) = x 4 + 2 x 3 + ax 2 + (a + b) x + 2 maє skaitlis - 2 saknes 2 reizinājums? Tātad saknes daudzkārtība - 2 ir vainojama pie 2, tad, ja jūs izvēlaties x + 2, lai atbalstītu shēmu, es divas reizes vainoju, lai atskaitītu pārpalikumu 0, bet trešo reizi - pārpalikumu, kā redzams no nulles . Mahmo: 9. tabula. -2 -2 -2 1 + 1 2 0 -2 -4 a a a + 4 a + 12 a + b -3 a + b -8 2 2 a -2 b + 2

Tādējādi skaitlis ir 2 є sakne no izvades polinoma 2 reizinājuma 2 un tikai līdz tod, ja

Polinoma racionālās saknes vadošais termins, es, ar 1. Taisnīgi) = anksn + an-1 xn-1 + ... + a 1 x + a 0, an ≠ 0, de an, an-1,. ... ... , A 1, a 0 ir skaitļi, tad f (l / m) = 0, t.i., Аn (l / m) n + an-1 (l / m) n-1 +. ... ... + A 1 l / m + a 0 = 0. Reiziniet vienlīdzības ķēdes pārkāpjošo daļu ar mn. Otrimaєmo anln + an-1 ln-1 m +. ... ... + A 1 lmn-1 + a 0 mn = 0. Nosūtīšanas zvaigznes anln = m (-an-1 ln-1-...-a 1 lmn-2 -a 0 mn-1).

Bachimo, tikai anln skaits paplašinās par m. Ale l / m ir īss dib, tas ir, E. Skaitļi l un m ir pavisam vienkārši, bet tikai visu skaitļu līdzības teorijas dēļ arī skaitļi ln un m ir pavisam vienkārši. Arī anln stiepjas līdz m un m, nevis vienkārši no ln, tas nozīmē, stiepjas līdz m. Ir zināms, ka polinoma racionālās saknes f (x) = 6 x 4 + 13 x 2 -24 x 2 -8 x + 8. Pēc teorēmas polinoma racionālās saknes ir atrodamas ne- īsas frakcijas formā l / m, de l ir dabiskā termina a zvanītājs a 0 = 8, un m ir vecākā virsnieka vārds a 4 = 6. Ja l / m skaitlis ir negatīvs, tad zīme Uz numuru tiks norādīts "-". Piemēram, - (1/3) = (-1) / 3. Tātad, mēs varam teikt, ka l ir skaitļa 8 zvanītājs un m ir skaitļa 6 pozitīvais zvanītājs.

Tā kā skaitļa 8 ekvivalenti ir ± 1, ± 2, ± 4, ± 8, un skaitļa 6 pozitīvie ekvivalenti būs 1, 2, 3, 6, tad parādītā maisa racionālā sakne atrodas skaitļu vidus ± 1, ± 1/2, ± 1/3, ± 1/6, ± 2/3, ± 4, ± 4/3, ± 8/3. jāatzīst, ka viņi izsūca ne īsās frakcijas. Šādā rangā ir divdesmit skaitļi - "kandidāti" saknē. Bija tikai par vēlu pārskatīt ādu no viņiem un redzēt, kā tas tika darīts ar saknēm. teorēma nāk, es robotam piedošu. Ja polinoma f (x) sakne ar vairākiem faktoriem nav īss dib l / m,, tad f (k) stiepjas par l-km jebkuram veselam skaitlim k izlietnei, bet l-km ≠ 0 .

Lai teorēmu novestu pie teorēmas, f (x) ir atdalīts ar x-k pārāk daudz. Mo f (x) = (x-k) s (x) + f (k). Tā kā f (x) ir polinoms ar vairākām funkcijām, tad šāds є ir polinoms s (x), bet f (k) ir vesels skaitlis. Iet s (x) = bn-1 + bn-2 + ... + b 1 x + b 0. Todі f (x) -f (k) = (xk) (bnxn-1 + bn-2 xn-2 + ... + b 1 x + b 0). Mēs to varam izdarīt, ja ts_y ir vienāds ar 1 x = l / m. Es paskatīšos, bet f (l / m) = 0, mēs mo f (k) = ((l / m) -k) (bn-1 (l / m) n-1 + bn-2 (l / m) n- 2 + ... + b 1 (l / m) + b 0). Atlikušās vērtības daļas pārkāpuma reizināšana ar mn: mnf (k) = (l-km) (bn-1 ln-1 + bn-2 ln-2 m + ... + b 1 lmn-2 + b 0 mn-1) ... Tas jāizmanto tā, lai skaitlis mnf (k) būtu l-km garš. Ja tas ir tāpat kā l un m ir pavisam vienkārši, tad mn un l-km var būt pavisam vienkārši, un līdz ar to f (k) stiepjas par l-km. Teorēma ir pabeigta.

Pievēršoties mūsu dibenam, pabeidzot teorēmu, mēs vēl vairāk sašaurināsim racionālo sakņu skaitu. Teorēma bieži tiek izteikta k = 1 і k = -1, t.i. + m). Ir viegli zināt, ka mūsu stilā f (1) = -5 un f (-1) = -15. Jāatzīmē, ka tajā pašā laikā mēs skatījumā iekļāvām ± 1. Tas pats ir mūsu polinoma racionālā sakne blakus skaitļu skaitam ± 1/2, ± 1/3, ± 1/6, ± 2, ± 2/ 3, ± 4/3, ± 8 / 3. Skaidrs, l / m = 1/2. Todi l -m = -1 un f (1) = -5 pēdējais veselam skaitlim. Dal, l + m = 3 і f (1) = -15, tāpēc tas iet pa 3. Otzhe, drib 1/2 ir iekļauts saknes "kandidātu" skaitā.

Ejam tagad lm = - (1/2) = ( - 1)/2. Jebkurā gadījumā lm = -3 un f (1) = -5 neiztur - 3. Tātad, drib -1/2 nevar būt šī polinoma sakne, un mēs to varam redzēt. Tās ir tikai izmaiņas frakciju ādai, mēs varam teikt, ka skaitļu saknes ir 1/2, ± 2/3, 2, - 4. Ar šādu rangu, piedodiet man, popping apgabals no racionālajām saknēm paskatījās atpalikušie. Inversijas gadījumā skaitļi tika pārpildīti ar Hornera shēmu: 10.6. Tabula 13-24-8 8 1/2 6 16-16 0

Bachimo, scho 1/2 ir polinoma f (x) і f (x) = (x-1/2) (6 x 3 + 16 x 2 -16 x-16) = (2 x-1) sakne (3 x 3 + 8 x 2-8 x 8). Ir skaidrs, ka visas polinoma f (x) saknes ir ņemtas no polinoma g (x) = 3 x 3 + 8 x 2 -8 x -8 saknēm, kas nozīmē, ka pagaidām pārskatīšana saknēs esošos "kandidātus" var veikt vienam un tam pašam polinomam. Ir zināms: 11.3. Tabula. polinoma g (x) sakne, bet līdz ar to і f (x). Dal ir zināms, ka - 2/3 ir polinoma g (x) і g (x) = (3 x + 2) (x 2 + 2 x -4) sakne.

Todi f (x) = (2 x-1) (3 x + 2) (x 2 + 2 x-4). Turpmākas izmaiņas var veikt polinomam x 2 + 2 x-4, bet vienkāršā veidā vienkāršāk, zemāk g (x) vai vairāk f (x). Rezultātā tiek atzīts, ka skaitļi 2 un 4 nav є. Arī polinoms f (x) = 6 x 4 + 13 x 3 -24 x 2 -8 x + 8 ir divas racionālas saknes: 1/2 і -2/3. Visa metode dod iespēju zināt un atņemt polinoma racionālās saknes ar vairākām funkcijām. Tims ir stunda, polinoms var būt māte un racionālas saknes. Tā, piemēram, polinomam ir vairāk nekā divas saknes: - 1 ± √ 5 (polinoma sakne ir x2 + 2 x -4). polinoms var nebūt racionālu sakņu māte.

Zondējot "kandidātus" pie polinoma f (x) saknēm, pārējam teorēmu papildinājumam pārliecinieties, ka pārējais tiek ņemts par k = ± 1. Citiem vārdiem sakot, ja l / m saknēs ir "kandidāts", pēc tam pārrakstiet (f 1) і f (-1) uz lm і l + m. Vai arī tas var būt, piemēram, f (1) = 0, tas ir, 1 ir sakne, un ka f (1) joprojām ir skaitlis, un mūsu inversija ietver sajūtu. Tādā pašā veidā f (x) tiek sadalīts x-1, t.i., Otrimati f (x) = (x-1) s (x), veic polinoma s (x) pārbaudi. Tajā pašā laikā tas nav aizmirsts, bet viena sakne no polinoma f (x) -x 1 = 1 - mēs jau zinājām. Tiklīdz "kandidāti" tika pārveidoti saknēs, tika zaudēta citu teorēmu rakstīšana par racionālajām saknēm, Hornera shēmai, bet, piemēram, l / m ir sakne, tad jums vajadzētu zināt tās daudzkārtību. Ja esat gatavs, teiksim, k, tad f (x) = (x-l / m) ks (x), un pagaidām varat to mainīt uz s (x), tiklīdz ir veikts aprēķins.

Lēmums. Mainot izmaiņas y = 2 x, mēs pārietam uz polinomu ar koeficientu, kas vienāds ar vienu augstākajā līmenī. Visam diapazonam viraz tiek reizināts ar 4. Ja tiek ņemta vērā saknes funkcija, tad smarža ir atrodama dalībnieka vidū. Rakstāmie izmēri: ± 1, ± 2, ± 3, ± 4, ± 5, ± 6, ± 10, ± 12, ± 15 ±, ± 20, ± 30, ± 60

Funkcijas g (y) pēdējā vērtība ir numurēta punktu skaitā līdz nullei. Tobto, y = -5 є tā paša sakne, є verbālās funkcijas sakne. To veic ar polinomu kaudzi (satītu) divu termiņu laikā

Apgriešanās prodovzhuvati bija pārslogota nepietiekami, tāpēc, jo vienkāršāk ir sadalīt kvadrātveida trinomiālo Otzhe reizinātājos,

Uzvara ātras reizināšanas formulām un Ņūtona binomiāls polinoma paplašināšanai reizinātājos Pirmajā polinoma reizināšanas reizē vajadzētu padomāt par reizināšanas veidu reizinātājos. Piemēram, par neērtiem izpildījuma pārveidojumiem uz shykuyutsya pēc kārtas no Paskāla tricikla Ņūtona binomiāla izrādēm. Muca. Sadalīšanās ir polinoms faktoros.

Lēmums. Tas atkārtojas pēc izskata: pēdējā no sumi funkcijām arkās ir skaidri norādīta, bet tagad mazo kvadrātu formula ir ievietota: Viraz citās iekavās neveido kvadrātsakni, bet gan pirmā daudzkārtības mērķis

Vієta teorēma rotē polinoma veiktspēju caur sakni. Šīs formulas tiek manuāli labotas, lai pārbaudītu zināšanu pareizību par polinoma saknēm, kā arī salocītu polinomu atbilstoši dotajai saknei. Yaksho -korn polinoma formula pēc tam funkcijas rotē simetrisku polinomu veidā no saknēm, bet

Turklāt tas šķiet ak visu jauno radību summa no k saknēm. Kā polinoma vecākā funkcija Vit formulas definēšanai vispirms ir jāsadala visas funkcijas līdz 0. Tajā pašā laikā Vita formula dod viraz visu izmaiņu izmaiņām no vecākajām funkcijām No pēdējām Vієta viplivaє formulām, kas ir polinoma sakne, ir vesels skaitlis, tad tas smaržo pēc polinoma saknes, kas arī ir vesels skaitlis. Panākumu pierādījums, aplūkojot vienlīdzību, noraidīts ar polinoma sadalījumu saknē, vrahoyuchi, scho a 0 = 1 Kad efektivitāte ir vienāda ar x soļiem, mēs atpazīsim Vit formulas.

Virishity Rivnyannya x 6 - 5 x 3 + 4 = 0 Lēmums. Nozīmīgi y = x 3, lai mēs to pieņemtu kā y 2 - 5 y + 4 = 0, ja mēs to pieņemam, mēs pieņemam to kā Y 1 = 1; Y 2 = 4. Šādā rangā saraksts ir līdzvērtīgs tam pašam skaitlim kā: x 3 = 1 vai x 3 = 4, t.i., X 1 = 1 vai X 2 = skats: 1;

Bezouta teorēma 1. Elementu sauc par polinoma sakni, kad f (c) = 0. Bezout teorēma. Iestatiet polinoma Pn (x) garumu divvērtīgajā (x-a) ceļa vērtētajā polinomā pie x = a. Piegādāts. Saskaņā ar algoritmu f (x) = (xc) q (x) + r (x), ja tikai r (x) = 0, ja nē, tad. No tā paša f (x) = (xc) q (x) + r, no tā paša, f (c) = (cc) q (c) + r = r, kā arī f (x) = (xc) q (x) + f (c).

1. slaids: Polinoma Pn (x) garuma pieļaušana līdz divu terminu polinoma binomālajai asij + b pie x = -b / a, t.i., R = Pn (-b / a). 2. elements: ja skaitlis a ir polinoma P (x) sakne, tad polinoms tiek pagarināts par (x-a) bez pārsnieguma. 3. slaids: ja polinoms P (x) var būt pārī dažādas saknes a 1, a 2, ..., an, tad tas paplašinās līdz tvir (x-a 1) ... (x-an) visiem simtam. 4. slaids: n pakāpes polinoms nav lielāks par n saknēm. 5. slaids: jebkuram polinomam P (x) un skaitlim a starpība (P (x) -P (a)) bez pārpalikuma stiepjas par diviem termiņiem (x-a). 6. elements: Polinoma P (x) skaitlis a є sakne nav mazāks par pirmo soli un tikai viens solis, ja P (x) bez pārmērībām stiepjas par (x-a).

Racionālās frakcijas sadalījums vienkāršākās daļās Tiks parādīts, ka, ja jums ir taisnība, racionālo daļu var sadalīt vienkāršāko daļu summā. Ļaujiet tai dot pareizo racionālo dribu (1).

Teorēma 1. Nekhai x = a є taisnes k saucēja sakne, ti, De f (a) ≠ 0, lai doto pareizo varētu attēlot divu pareizo frakciju summas skatītājos ar aizskarošu rangu: (2), de A-post nav līdz nullei, bet F 1 (x) ir polinoms, kura solis ir zemāks par saucēja soli

de polinoms, saucēja apakšējā pakāpiena solis. Es analoģiski priekšējai formulai var apgriezt: (5)

Ja rodas kādas problēmas un pārkāpumi, bieži nav nepieciešams reizināt polinomu, jebkura ceļa soļus līdz trešajai lietai. Statistika ir viegli saprotama, un procesa rangs ir vienkāršākais.

Yak ir izsalcis, zvēr, lai palīdzētu teorijai.

Bezout teorēma stverdzhu, kas ir polinoma garuma pārpalikums divu termiņu durvīs.

Ale nav pati teorēma, kas mums ir svarīga, bet viņas mantojums:

Ja skaitlis є ir polinoma sakne, tad polinoms bez pārmērībām stiepjas par diviem termiņiem.

Mūsu priekšā ir meistarība kā veids, kā uzzināt vienu polinoma sakni, nevis atdalīt polinomu ar, de - sakni no polinoma. Rezultātā mēs atpazīsim polinomu, kura soļi ir par vienu mazāki nekā ārējā. Un tad, ja nepieciešams, jūs varat atkārtot procesu.

Tse zvdannya krīt uz diviem: kā zināt polinoma sakni un sadalīt polinomu divos terminos.

Zupinimja lekcijas par cich momentiem.

1. Kā uzzināt polinoma sakni.

Inversiju kopums, skaitlis є skaitļi 1 un -1 polinoma saknes.

Šeit mēs varam palīdzēt šādiem faktiem:

Ja visu polinomu koeficientu summa ir vienāda ar nulli, tad skaitlis є ir polinoma sakne.

Piemēram, ceļa koeficientu summas polinomā līdz nullei:. Ir viegli pārkonfigurēt, ka є ir polinoma sakne.

Ja pāru soļu polinoma koeficientu summa ir nesaistīto soļu koeficientu summa, tad skaitlis ir polinoma sakne. Vilny biedrs vvazhaєtsya kofіtsієntom ar pāra pakāpi, oskilki un - puiša numurs.

Piemēram, pāru soļu koeficientu polinomu summā:, un nesaistīto soļu koeficientu summā:. Ir viegli pārkonfigurēt, ka є ir polinoma sakne.

Yaksho ni 1, ni -1 nav līdz maisa saknēm, tad drupas ir dal.

Inducētajam soļu polinomam (līdz polinomam, kurā vecākais koeficients ir koeficients, kad tā ir otrā vienība) ir derīga šāda formula:

Polinoma sakne.

Papildus Vієta formulām vajadzētu būt dažiem polinomu koeficientiem, taču mūs nevajadzētu minēt kā vienādus.

No formulas Vієta viplivaє, scho Ja polinoma sakne ir vesels skaitlis, tad smirdēt nāk no otra dalībnieka vārda, kas arī ir vesels skaitlis.

Ej prom no Tsyogo, mums ir jāpaplašina polinoma loceklis reizinātājos un, visbeidzot, no mazākā uz lielāko, lai to pārveidotu, kas ir reizinātājs є ar polinoma sakni.

Skaidrs, piemēram, polinoms

Biedra personīgās filiāles:; ; ;

Visu polinomu koeficientu summa ir arī skaitlis 1 nav polinoma sakne.

Kofіtsієntіv summa divkāršiem soļiem:

Kofіtsієntіv summa nepāra darbībās:

Arī skaitlis -1 arī nav polinoma sakne.

Atgriezenisks, kur skaitlis 2 pēc polinoma saknes :, arī skaitlis 2 ir polinoma sakne. Tas nozīmē, ka saskaņā ar Bezout teorēmu polinoms bez pārmērībām stiepjas par diviem termiņiem.

2. Jak razdіliti polinoms divos termiņos.

Polinomu var iedalīt divu locekļu stovpchik.

Rozdilimo ir polinoms ar diviem locekļiem:

Pirmais veids, kā iegūt dubultu biedru, ir Hornera shēma.

Apbrīnojiet video, tālummaiņu, kā sadalīšanas polinoms divu termiņu stovpchik, aiz papildu Hornera shēmas.

Es cienīšu jūs, ja, kad jūs paceļ nolieciens, ja jūs esat nepavadītas personas soļi ārpus dienas polinomā, vispirms tiek rakstīts 0-tā tas ir, piemēram, kad tabulas ir salocītas Hornera shēmai.

Tāpat, ja mums ir jāsadala polinoms divos terminos un rezultātā mēs varam noliegt polinomu, tad mēs varam zināt polinomu iezīmes, kas atrodas aiz Hornera shēmas:

Mi arī var būt vikoristovuvati Hornera shēma lai pārvērstu, kur skaitli dod polinoma sakne: ja skaitlis ir polinoma sakne, tad polinoma garuma pārpalikums ir nulle, tāpēc pēdējos simts procentos no citas rindas Hornera shēmu mēs pieņemsim 0.

Vikoristovuchi Horner shēma, mēs "dzenam divus zaķus": tiek mainīta viena stunda, kur ir skaitlis pēc polinoma saknes un dalāmā polinoma divos terminos.

Muca. Rozv'yazati Rivnyannya:

1.Vypishemo dalībnieka vecāks, un mēs parādīsim polinoma sakni dalībnieka vidū.

24. numurs:

2. Atgriezenisks, kur skaitlis 1 pēc polinoma saknes.

Polinoma koeficientu summa, arī skaitlis 1, ir polinoma sakne.

3. Rozdіlimo ir binārs polinoms binārā pēc Hornera shēmas.

A) veiktspējas polinoma tabulas pirmajā rindā.

Tātad, kā biedram, katru dienu atriebties, tajā simts tabulās, kurās funkcija ir vainīga, rakstot 0. Ļaunums no saknes rakstītajām zināšanām: 1. numurs.

B) Iegaumēja pirmo tabulu rindu.

Pārējā gadsimtā ir pareizi no tā atbrīvoties, mēs esam atlikuši nulli, mēs esam sadalījuši bināro polinomu divos termiņos bez pārpalikuma. Polinoma raksturlielumi, kas izgriezti attēla zilā krāsā citā tabulas rindā:

To ir viegli sajaukt, bet skaitļi 1 un -1 nav

C) Protable galds. Atgriezenisks, kur ir skaitlis 2 pēc polinoma saknes:

Tātad polinoma solis, kas rezultātā ir par vienu soli mazāk izejošā polinoma, ir arī funkciju skaits un simts punktu skaits par vienu mazāk.

Pēdējos simts procentos viņi atņēma -40 - skaitli, kas nav vienāds ar nulli, to pašu, polinomu var sadalīt divos terminos ar pārslodzi, un skaitlis 2 nav polinoma sakne.

C) Atgriezenisks, kur ir skaitlis -2 pēc polinoma saknes. Tātad, tāpat kā testa priekšgalā, tas parādījās netālu, bet nebija nekādu ļaundaru ar koeficientiem, es redzēšu rindu, es jums par to pastāstīšu:

Vidminno! Pie mi pārpalikuma tika noņemta nulle, pēc tam maiss tika sadalīts divos termiņos bez pārpalikuma, un skaitlis -2 pēc polinoma saknes. Polinomu raksturlielumi, kā apakšpolinoma rezultātu ievadīt divu terminu attēlu tabulā zaļā krāsā.

Rezultātā mēs esam noņēmuši trīsstūra kvadrātu Tās sakni ir viegli atrast pēc Vitas teorēmas:

Otzhe, ļaunā ryvnyannya sakne:

{}

Skatīt: ( }

Dānija ir maє tsіlі kofіtsіonti polinoms. Ja skaitlis ir polinoma sakne, tad tas ir є skaitlis 16. Tādējādi, ja šim polinomam ir sakne, tad var būt tikai skaitļi ± 1; ± 2; ± 4; ± 8; ± 16. Bez vidējas inversijas, kur skaitlis 2 ir polinoma sakne, tātad x 3 - 5x 2 - 2x + 16 = (x - 2) Q (x), de Q (x) ir cita polinoms solis. Atkal polinomu var reizināt, no kuriem viens ir (x - 2). Pa jokam polinoma Q (x) tips ir ātrs, tā sauktā Hornera shēma. Šīs metodes galvenā priekšrocība ir rakstīšanas kompaktums un iespēja ātri sadalīt polinomu divos terminos. Patiesībā es pierakstīšu Hornera shēmu pamatformā, izmantojot apkopošanas metodi, es, pēc pārējo domām, novēlu є absolūti mīļoto. To var izdarīt pats, un nav nepieciešams noraidīt pašu procesu. Mēs neiesaistīsimies Hornera shēmas stingrā sagatavošanā, bet tas tiks parādīts, jaku vona pratsju.

	1	−5	−2	16
2	1	−3	−8	0

Taisnstūra tabulā 2 × (n + 2) de n ir polinoma soļi, (div. Att.) Augšējā rindā ierakstiet polinoma funkciju skaitu (augšējā rinda, kad tā ir pārslogota). Rindu apakšā pierakstiet skaitli - polinoma sakni (skaitlim x 0, ja vēlamies to sadalīt divos terminos (x - x 0)), mūsu pieteikumā skaitli 2 Tad šim noteikumam tiks iegaumēta visa tabulas apakšējā rinda.

Drauga apakšējās rindas šūnā ir šūnu skaits virs tā, tas ir, 1. Tad jūs varat iet šādi. Ryvnyannya (skaitlis 2) sakne reizina skaitli (1) ar pēdējo un pievieno rezultātu skaitlim tā, kā tas atrodas augšējā rindā virs jaunās atslēgas sākuma mūsu lietojumprogrammā:

Rezultāts tiek rakstīts uz vilna klitina pid -2. Darbības ir līdzīgas pareizai:
Apakštipa rezultātā noraidītais polinoma solis ir par 1 mazāks nekā izejošā. Otzhe:

Uzturs par zināšanām par polinoma racionālajām saknēm f(x)Q[x] (Ar racionālu kofіtsієntami), lai izveidotu uzturu par racionālu polinomu sakņu attīstību k ∙ f(x)Z[x] (Ar tsіlimi kofіtsіntami). šeit ir numurs kє dotā polinoma koeficientu saucēju zemākais reizinātājs.

Ir nepieciešams, bet nepietiek, lai saprastu polinoma racionālās saknes ar vairākiem faktoriem, tāpēc teorēma ir gatava.

Teorēma 6.1 (par polinoma racionālo sakni ar vairākām funkcijām). yaksho – racionāla polinoma saknef(x) = a n  x n + + …+ a 1  x + a 0 s tsilimi kofіtsієntami, turklāt(lpp, q) = 1, Tad frakcijas numurslppє. dalībnieka izplatītājs 0 , Un reklāmkarogsqє Vecākā virsnieka tirgotājs 0 .

Teorēma 6.2.yaksho Q ( de (lpp, q) = 1) є polinoma racionālā sakne f(x) tad ar vairākiem speciālistiem
–veseli skaitļi.

Muca. Nakts Visas racionālās saknes

f(x) = 6 x 4 + x 3 + 2 x 2 – 4 x + 1.

1. Pēc 6.1. Teorēmas: – racionāla polinoma sakne f(x), ( de ( lpp, q) = 1), tad a 0 = 1 lpp, a n = 6 q... Toms lpp { 1}, q (1, 2, 3, 6), kas nozīmē,

2. Vidomo, scho (mantojuma 5.3) numurs aє pēc polinoma saknes f(x) Todi un tikai todi, ja f(x) paplašināt līdz ( x - a).

Arī polinoma skaitļu 1 un -1 sakņu apgriešanai f(x) Jūs varat paātrināt Hornera shēmu:

f(1) = 60,f(–1) = 120, 1. sējums un -1 nav f(x).

3. Lai redzētu daļu no pārpalikuma skaitļiem
, Skoristyaєmosyya teorēma 6.2. kā griezties abo
pieņemot vērtību skaitu skaitļa kopējām vērtībām lpp reklāmkaroga q Tad tabulu vispārējās tabulās (div. Nizhche) tiek rakstīts burts "c", pirmajā vypadku - "ін".


=
=

4. Aiz Hornera shēmas palīdzības ir iespējams mainīt zaudēto reižu skaitu
saknes f(x). razdіlimo kolekcija f(x) Ieslēgts ( NS – ).

Rezultātā mamo: f(x) = (NS – )(6 x 3 + 4 x 2 + 4 NS - 2) i - sakne f(x). Privāts q(x) = 6 x 3 + 4 x 2 + 4 NS - 2 sadalīts ( NS + ).

Tātad jaku q (–) = 30, tad (-) nav polinoma sakne q(x), Un i no polinoma f(x).

Nareshti, atsevišķs polinoms q(x) = 6 x 3 + 4 x 2 + + 4 NS - 2 ieslēgts ( NS – ).

otrima: q () = 0, t.i. - sakne q(x), Un tas nozīmē - sakne f (x). Šajā rangā polinoms f (x) Ir divas racionālas saknes: i.

Saite no algebriskās іrratsіonalnostі uz saucēja daļu

Skolas kursā ar pirmo klašu tipiem standarta skaitļa skaitli reizina saucējā.

Uzliec. 1.t =
.

Šeit standartā ir ātras reizināšanas formula (kvadrātu starpība), kas ļauj standartā izsaukt iracionālo.

2. Zvіlnitsya no іrratsіonalnostі frakcijas saucējā

t =
... Viraz - skaitļu starpības nevienāds kvadrāts a=
і b= 1. Pēc formulas paātrināšanas a 3 – b 3 = (a +b) · ( a 2 – ab + b 2 ), Varat izmantot reizinātāju m = (a +b) =
+ 1, uz kura nākamā reiziniet skaitļa daļu un saucēju t, Schob sakrata іrratsіonalnostі standarta frakcijā t... Šādā rangā,

Situācijas, ātrās reizināšanas formulas, nedarbojas, ir iespējams veikt vikoristovuvati іnshі priyomi. Zemāk tiks formulēta teorēma, kas pierāda, ka atspere, ļaujot jums zināt algoritmu frakcijas attiecībai pret saucēju vairāk saliekamās situācijās.

Uzņēmējdarbības vērtība 6.1. numurs z tiec saukts algebrisks virs lauka F, Yaksho ir tikai polinoms f(x) F[x], Sakņu yakogo є z, Kopumā skaitlis z tiec saukts pārpasaulīgs pār laukuF.

Viznachennya 6.2.Algebriskais solis pāri laukam F cipari z izsauktie soļi ir norādīti virs lauka F polinoms lpp(x)F[x], Saknes є numurs z.

Muca. Tiks parādīts, ka skaitlis z =
є algebriskā virs lauka Q un mēs zinām šo soli.

Mēs zinām pārkāpumus laukā Q polinoms lpp(NS), Sakņu yakogo x =
... Izgatavots no aizvainojuma uz daļu no ryvnosti x =
ceturtajā solī otrimaєmo NS 4 = 2 abo NS 4 – 2 = 0. No tā paša, lpp(NS) = NS 4 – 2 un soļu numuri z durvis deg lpp(NS) = 4.

Teorēma 6.3 (par algebriskā un racionālisma skaņu frakcijas saucējā).čauz – algebriskais skaitlis pāri laukamFsolisn... viraz prātst = ,de f(x), (x)F[x], (Z) 0

Viglyadā var pārstāvēt vienu rangu:

t = s n -1 z n -1 + c n -2 z n -2 + … + c 1 z + c 0 , c i F.

Ar iracionalitāti saistītās skaņas algoritms frakcijas saucējā tiks parādīts konkrētā lietojumā.

Muca. Zvіlnitsya no іrratsіonalnostі saucēja frakcijā:

t =

1. Frakcijas є saucējs ir polinoma vērtība (NS) = NS 2 – NS+1 plkst NS =
... Priekšējā muca parāda, ka
- algebriskais skaitlis virs lauka Q 4. solis, tāpēc jaku neizdosies sakņot Q polinoms lpp(NS) = NS 4 – 2.

2. Mēs zinām GCD izplatīšanas līniju ( (NS), lpp(x)) Aiz Eiklida algoritma palīdzības.

_ x 4 – 2 | x 2 - x + 1

x 4 - x 3 + x 2 x 2 + X = q 1 (x)

_ x 3 - x 2 – 2

x 3 - x 2 + x

x 2 - x + 1 | – x –2 = r 1 (x )

x 2 + 2 x - x + 3 = q 2 (x)

_–3x+ 1

–3 x – 6

_ – x –2 |7 = r 2

– x –2 -x - =q 3 (x)

Otzhe, NSD ( (NS), lpp(x)) = r 2 = 7. Mēs zinām šo izplatīšanas līniju.

Ir iespējams pierakstīt pēdējo no Eiklida pēc polinomu vērtībām.

lpp(x) = (x) · q 1 (x) + r 1 (x)
r 1 (x) =lpp(x) – (x) · q 1 (x)

Ir nepieciešams, bet nepietiek, lai saprastu polinoma racionālās saknes ar vairākiem faktoriem, tāpēc teorēma ir gatava.

Teorēma 6.2.yaksho Q ( de (lpp, q) = 1) є polinoma racionālā sakne f(x) tad ar vairākiem speciālistiem
–veseli skaitļi.

Muca. Nakts Visas racionālās saknes

f(x) = 6 x 4 + x 3 + 2 x 2 – 4 x + 1.

1. Pēc 6.1. Teorēmas: – racionāla polinoma sakne f(x), ( de ( lpp, q) = 1), tad a 0 = 1 lpp, a n = 6 q... Toms lpp { 1}, q (1, 2, 3, 6), kas nozīmē,

2. Vidomo, scho (mantojuma 5.3) numurs aє pēc polinoma saknes f(x) Todi un tikai todi, ja f(x) paplašināt līdz ( x - a).

Arī polinoma skaitļu 1 un -1 sakņu apgriešanai f(x) Jūs varat paātrināt Hornera shēmu:

f(1) = 60,f(–1) = 120, 1. sējums un -1 nav f(x).


=
=

4. Aiz Hornera shēmas palīdzības ir iespējams mainīt zaudēto reižu skaitu
saknes f(x). razdіlimo kolekcija f(x) Ieslēgts ( NS – ).

Rezultātā mamo: f(x) = (NS – )(6 x 3 + 4 x 2 + 4 NS - 2) i - sakne f(x). Privāts q(x) = 6 x 3 + 4 x 2 + 4 NS - 2 sadalīts ( NS + ).

Tātad jaku q (–) = 30, tad (-) nav polinoma sakne q(x), Un i no polinoma f(x).

Nareshti, atsevišķs polinoms q(x) = 6 x 3 + 4 x 2 + + 4 NS - 2 ieslēgts ( NS – ).

otrima: q () = 0, t.i. - sakne q(x), Un tas nozīmē - sakne f (x). Šajā rangā polinoms f (x) Ir divas racionālas saknes: i.

Saite no algebriskās іrratsіonalnostі uz saucēja daļu

Skolas kursā ar pirmo klašu tipiem standarta skaitļa skaitli reizina saucējā.

Uzliec. 1.t =
.

Šeit standartā ir ātras reizināšanas formula (kvadrātu starpība), kas ļauj standartā izsaukt iracionālo.

2. Zvіlnitsya no іrratsіonalnostі frakcijas saucējā

Viznachennya 6.2.Algebriskais solis pāri laukam F cipari z izsauktie soļi ir norādīti virs lauka F polinoms lpp(x)F[x], Saknes є numurs z.

Muca. Tiks parādīts, ka skaitlis z =
є algebriskā virs lauka Q un mēs zinām šo soli.

Teorēma 6.3 (par algebriskā un racionālisma skaņu frakcijas saucējā).čauz- algebriskais skaitlis virs laukaFsolisn... viraz prātst = ,de f(x), (x)F[x], (Z) 0

Viglyadā var pārstāvēt vienu rangu:

t = s n -1 z n -1 + c n -2 z n -2 + … + c 1 z + c 0 , c i F.

Ar iracionalitāti saistītās skaņas algoritms frakcijas saucējā tiks parādīts konkrētā lietojumā.

Muca. Zvіlnitsya no іrratsіonalnostі saucēja frakcijā:

t =

2. Mēs zinām GCD izplatīšanas līniju ( (NS), lpp(x)) Aiz Eiklida algoritma palīdzības.

_ x 4 – 2 | x 2 - x + 1

x 4 - x 3 + x 2 x 2 + X = q 1 (x)

_ x 3 - x 2 – 2

x 3 - x 2 + x

x 2 - x + 1 | – x –2 = r 1 (x )

x 2 + 2 x - x + 3 = q 2 (x)

_–3x+ 1

–3 x – 6

_ – x –2 |7 = r 2

– x –2 -x - =q 3 (x)

Otzhe, NSD ( (NS), lpp(x)) = r 2 = 7. Mēs zinām šo izplatīšanas līniju.

Ir iespējams pierakstīt pēdējo no Eiklida pēc polinomu vērtībām.

lpp(x) = (x) · q 1 (x) + r 1 (x)
r 1 (x) =lpp(x) – (x) · q 1 (x)

(x) = r 1 (x) · q 2 (x) + r 2 (x)
r 2 (x) = (x) – r 1 (x) · q 2 (x)

r 1 (x) = r 2 (x) · q 2 (x).

Pidstavami vienlīdzībā 7 = r 2 (x) = (x) – r 1 (x) · q 2 (x) Pārpalikuma vērtība r 1 (x) = lpp(x) – (x) · q 1 (x). (NS), lpp(x)): 7 = lpp(x) · (– q 2 (x)) + (x) ·. Lai aizstātu doto polinomu un vrahuvati nozīmi, lpp(
) = 0, tad mamo: