Poznať racionálne korene polynómu na vykonanie revízie. Ekvivalentná matematika. Racionálne korene polynómov. Hornerova schéma. Znalosť koreňov Tsilikh

Polynom vo forme sa nazýva forma: anxn + an-1 xn-1 +. ... ... + A 1 x + a 0, de n - prirodzené číslo; an, an-1,. ... ... , A 1, a 0 - sú čísla, nazývané koeficienty polynómu. Virazi anxn, an-1 xn-1,. ... ... , A 1 x, a 0 sa nazývajú členy polynómu a 0 - vilny člen. an - výkon pri xn, an -1 - výkon pri xn -1 atď. Polynom, ktorý má nulový výkon, sa nazýva nula. napríklad polynóm 0 x2 + 0 x + 0 je nula. Zo záznamu polynómu je zrejmé, že sme naskladaní s decilovými členmi. Začal a zadal výraz<< многочлен >> (veľa členov). Jeden polynóm sa nazýva polynóm. Termín Tsey pripomínajúci otrokov vlašských orechov πολι - bagato і νομχ - člen.

Polynom z tej istej premennej je známy ako:. f (x), g (x), h (x) atď., Ak sa napríklad pozriete na polynómy pre f (x), môžete napísať: f (x) = x 4 + 2 x 3 + (- 3) x 2 + 3/7 x + √ 2. 1. Polynóm h (x) sa nazýva najväčší spilnik polynómov f (x) і g (x), ak chceme predĺžiť f (x), g (x) a chudý zaх zagalnyy dіlnik. 2. Polynóm f (x) s koeficientmi poľa P kroku n sa nazýva redukovateľný nad poľom P, ak máme polynómy h (x), g (x) Î P [x] kroku n tak, ale f (x) = h (x) g (x).

Yaksho є polynóm f (x) = anxn + an-1 xn-1 +. ... ... + A 1 x + a 0 і an ≠ 0, potom sa číslo n nazýva krok polynomu f (x) (alebo povedané: f (x) - n-tý krok) Píšem umenie. f (x) = n. Mimochodom, an sa nazýva starší člen a anxn je vedúci člen tohto polynómu. Ak napríklad f (x) = 5 x 4 -2 x + 3, potom čl. f (x) = 4, senior manažér - 5, senior člen - 5 x4. Krok polynomu je najvyššie číslo prvého výkonu od nuly. Balenie nulového kroku je celé číslo dané nulou. „Polynóm nulového stupňa nie je maє; polynóm f (x) = a, de a je číslo, ktoré nie je zobrazené ako nula, krok 0; Kroky akéhokoľvek iného polynómu, ktoré sú najlepším indikátorom kroku premennej x, účinnosti, pri ktorej je cesta nulová.

Rovnosť polynómov. Dva polynómy f (x) a g (x) sú rovnako dôležité, pretože sa rovnajú rovnakému výkonu v rovnakých krokoch striedajúcich sa členov x a vilny (rovnaké ako rovnaké číslo). f (x) = g (x). Napríklad polynómy f (x) = x 3 + 2 x 2 až 3 x + 1 a g (x) = 2 x 23 x + 1 nie sú rovnaké, prvý z nich má účinnosť pri nákladoch x3 1 a druhý - nula (Z prijatých schopností môžeme napísať: g (x) = 0 x 3 + 2 x 2 -3 x + 1. Na prvom mieste: f (x) ≠ g (x). = 2 x 2 -3 x + 5, s (x) = 2 x 2 + 3 x + 5, pretože majú výkon pri stúpaní x.

A os polynómu f 1 (x) = 2 x 5 + 3 x 3 + bx + 3 a g 1 (x) = 2 x 5 + ax 3 -2 x + 3 pivnі todі a iba todі, ak а = 3, а b = -2. Nech je daný polynóm f (x) = anxn + an-1 xn-1 +. ... ... + A 1 x + a 0 y deyake číslo s. Číslo f (c) = ancn + an-1 cn-1 +. ... ... + A 1 c + a 0 sa nazývajú hodnoty polynómu f (x) pre x = c. V takejto hodnosti, aby sme vedeli, že f (c), v polynóme je potrebné nahradiť x a vykonať potrebný výpočet. Ak napríklad f (x) = 2 x 3 + 3 x 2 -x + 5, potom f (-2) = 2 (-2) 3+ (-2) 2-(-2) + 5 = 3. Polynóm, keď sa hodnoty menia, môžu existovať nové hodnoty. Číslo z sa nazýva koreň polynómu f (x), kde f (c) = 0.

Skutočne rešpektujem myšlienku dvoch pevných: „polynóm f (x) vedie k nule (alebo je polynóm f (x) nulový)“ a „je hodnota polynómu f (x) pri x = nula “. Napríklad polynóm f (x) = x 2 -1 nie je drahý na nulu, pre nový má nenulovú účinnosť a jeho hodnota v x = 1 je drahá na nulu. f (x) ≠ 0, a f (1) = 0. Ak chápu rovnosť polynómov a hodnotu polynómu, existuje silné spojenie. Ak sú uvedené dva rovnaké polynómy f (x) a g (x), potom їх sú dané koeficienty івні, a teda f (c) = g (c) pre číslo kože с.

Operácie nad polynómami Pytlovanie je možné skladať, zobrazovať a znásobovať podľa špeciálnych pravidiel pre otváranie oblúkov a vzhľadom na ďalšie členy. Zároveň vo výsledku viem, že na tom nie som veľmi dobre. Operácie sú určené rôznymi autoritami: f (x) + g (x) = g (x) + f (x), f (x) + (g (x) + h (x)) = (f (x) + g (x)) + h (x), f (x) g (x) = g (x) f (x), f (x) (g (x) h (x)) = (f (x) g (x)) h (x), f (x) (g (x) + h (x)) = f (x) g (x) + f (x) h (x).

Zoberme si dva polynómy f (x) = anxn + an-1 xn-1 +. ... ... + A 1 x + a 0, an ≠ 0, ig (x) = bmxm + bm-1 xm-1 +. ... ... + B 1 x + bm ≠ 0. Je zrejmé, že čl. f (x) = n a čl. g (x) = m. Ak vynásobíme čchi dvoma polynómami, uvidíme polynóm tvaru f (x) g (x) = anbmxm + n +. ... ... + A 0 b 0. Pretože ≠ 0 і bn ≠ 0, potom anbm ≠ 0, a teda čl. (F (x) g (x)) = m + n. Zvuky sú dôležitejšie ako pevné.

Krok vytvorte dva nenulové polynómy na súčet krokov multiplikátorov, čl. (F (x) g (x)) = sv. f (x) + čl. g (x). Senior member (koeficienty) vytvoria dva nenulové polynómy pre ďalších starších členov (koeficienty) kofaktorov. Silný prvok vytvorí po ceste dva polynómy na pridanie niekoľkých kofaktorov. Stupne polynómov f (x), g (x) a f (x) ± g (x) sú viazané na začiatok vzťahov: čl. (F (x) ± g (x)) ≤ max (článok F (x), článok G (x)).

Nazýva sa superpozícia polynómov f (x) a g (x). polynóm, ktorý je označený f (g (x)), ktorý sa vyskytuje v polynóme f (x), nahrádza x a predstavuje polynóm g (x). Ak napríklad f (x) = x 2 + 2 x-1 і g (x) = 2 x + 3, potom f (g (x)) = f (2 x + 3) = (2 x + 3) 2 +2 (2 x + 3) -1 = 4 x 2 + 16 x + 14, g (f (x)) = g (x 2 + 2 x-1) = 2 (x 2 + 2 x-1) + 3 = 2 x 2 + 4 x + 1. Je zrejmé, že f (g (x)) ≠ g (f (x)), tj. Superpozícia polynómov f (x), g (x) a superpozícia polynómy g (x), f (x) різні. V takom poradí operácia superpozície nie je silou transpozície.

, Algoritmus pretečenia času Pre akékoľvek f (x), g (x) spustite q (x) (súkromné) a r (x) (prebytok), takže f (x) = g (x) q (x) + r (x) a kroky r (x)

Podčiarknuté polynómy Dilnik polynómu f (x) sú polynómy g (x) také, že f (x) = g (x) q (x). Najviac diverzifikovaný dvojitý polynóm F (x) a g (x) sú d (x) d (x), ktorí sú diverzifikovanými potápačmi.

Euclidov algoritmus (algoritmus pre poslednú generáciu) je znalosťou najúčinnejšieho typu polynómov f (x) a g (x).

Urýchlite ďalšie riešenie: Poznáme NSD týchto polynómov, algoritmus uzamknutia Euclida 1) x3 + 6 x2 + 11 x + 6 x3 + 7 x2 + 14 x + 8 1 - x2 - 3 x2 2) x3 + 7 x2 + 14 x + 8 x3 + 3 x2 + 2 x - x2 - 3 x2 -x- 4 4 x2 + 12 x + 8 0 Otzhe, polynóm ( - x2 - 3 x2) є GCD čísla a menovateľa danej frakcie. Výsledok distribúcie menovateľa na celý polynóm pohľadov.

Poznáme výsledok dátumu dátumu. x 3 + 6 x2 + 11 x + 6 - x2 - 3 x2 x3 + 3 x2 + 2 x -x- 3 3 x2 + 9 x + 6 0

Hornerova schéma Rozdіliti ak je polynóm f (x) príliš veľa pre nenulový polynóm g (x) - neznamená to, že predstavuje f (x) v zobrazení f (x) = g (x) s (x) + r ( x), de s (x) a r (x) -polynomy a abo r (x) = 0, abo st. r (x)

Batožina, je potrebné stáť v pravej a ľavej časti celého športu, dokonca, a to znamená, v prvom rade. Pririvnyaєmo їх, po otvorení oblúkov pred a zaštepených pododdeleniach v pravej časti danej rovnosti. Otrimaєmo: a = bn-1, a-1 = bn-2-cbn-1, a-2 = bn-3-cbn-2, a 2 = b 1-cb 2, a 1 = b 0-cb 1, a 0 = r - cb 0. Nagadaєmo, je potrebné poznať neúplnú časť, to znamená jej hodnotu a prebytok. Vizuálne їх їх іх і: bn-1 = an, b n-2 = cbn-1 + an-1, b n-3 = cbn-2 + a n-2, b 1 = cb 2 + a 2, b 0 = cb 1 + a 1, r = cb 0 + a 0. Poznali sme vzorce, za ktorých je možné vypočítať účinnosť neúplného súkromného s (x) a prebytku r. Pri výpočte je zostavený z pohľadu takýchto tabuliek; bude nazývaný Hornerova schéma.

Tabuľka 1. Vlastnosti f (x) c an bn-1 an-1 bn-2 = cbn-1 + an-1 an-2 bn-3 = cbn-2 + an-2 ... ... a 0 r = cb 0 + a 0 výkon s (x) prebytok V prvom riadku tabuľky napíšte riadok všetkých znakov polynómu f (x), pričom nechajte prvú bunku v tabuľke. Do druhého riadka v prvom kľúči napíšte číslo c. Bunková línia by mala byť vyplnená tak, že sa počíta jedna po najnižšej miere neúplného súkromného s (x) a prebytku r. U ostatných klientov napíšte funkciu bn-1, ktorá bola pri inštalácii dodaná do súboru.

Názor, ktorý má stáť pri kožných útočných bunkách, sa vypočíta podľa nasledujúceho pravidla: číslo c sa vynásobí číslom, ktoré stojí na prednom konci, a výsledok dosiahne číslo, ktoré stojí nad kľúčom. Aby ste si zapamätali povedzme p'yatu kľúč, to znamená. Na poznanie hodnoty v jednej funkcii je potrebné vynásobiť číslom, byť vo štvrtom kľúči a pridať číslo k výsledku, aby ste sa postavili. nad piatym kľúčom. Rozdilimo, napríklad polynóm f (x) = 3 x 4 -5 x 2 + 3 x-1 na x-2 je príliš veľa, začarovaná Hornerova schéma. Keď je uložený prvý riadok schémy zapojenia, nie je možné zabudnúť na nulové koeficienty polynómu. Predstavenie f (x) je teda číslo 3, 0, - 5, 3, - 1. Prvým krokom pamäte sú kroky nepresného súkromného, ktoré sú menšie ako kroky polynómu f (x) .

Otzhe, viconuєmo podil za Hornerovou schémou: Tabuľka 2. 2 3 3 0 6 -5 7 3 17 -1 33 Otrim nie súkromne s (x) = 3 x 3 + 6 x 2 + 7 x + 17 a prebytok r = 33 „Je nám ľúto, len jednu hodinu sme porušili hodnotu polynómu f (2) = 33. Rozdilimo je teraz rovnaký polynóm f (x) na x + 2 je príliš veľa. V prvom rade s = -2. otrimaєmo: Tabuľka 3. -2 3 3 0 -6 -5 7 3 -11 -1 21 Vo výsledku maєmo f (x) = (x + 2) (3 x 3 -6 x 2 + 7 x -11) +21 ...

Koreň polynómov Nehai c1, c2, ..., сm sú rôzne korene polynómu f (x). Todi f (x) sa rozprestiera na x-s1, t.j. F (x) = (x-c 1) s 1 (x). Môžeme to urobiť v rovnosti ts_i x = c2. Otrimaєmo f (c 2) = (c 2 -c 1) s 1 (c 2) i, so f (c 2) = 0, then (c2 C1) s 1 (c 2) = 0. Ale c2 ≠ h1, to znamená C2 C1 ≠ 0, a teda s 1 (c 2) = 0. c2 je teda koreň polynómu s 1 (x). Svidsy vyplyaє, ale s 1 (x) siaha do x-c 2, t.j. S 1 (x) = (x-c 2) s 2 (x). Prostredníctvom nahradenia virazu za s 1 (x) v rovnosti f (x) = (x-c 1) s 1 (x). Mєmo f (x) = (x-c 1) (x-c 2) s 2 (x). Mať poklavshi vo zvyšku rovnosti x = c3 s urahuvannyamom, že, uh f (c 3) = 0, c3 ≠ h1, c3 ≠ c2, to nie je možné, ale c3 je koreň polynomu s 2 (x ). Na riešenie problému teda platí korene c4, c5, ..., сm, mi, nareshtі, môžeme odvodiť f (x) = (xc 1) (xc 2) ... (х-сm) sm (x), to znamená formulované nižšie tverdzhennya.

Ak c1, c2, ..., сm sú rôzne korene polynómu f (x), potom f (x) môže byť reprezentované v pohľade f (x) = (xc 1) (xc 2) ... (x -cm) sm (x). Znie to ako dôležité dedičstvo. Ak sú c1, c2, ..., cm-rôzne korene polynómu f (x), potom sa f (x) rozprestiera o polynóm (x-s1) (x-c 2) ... (x-cm). Počet koreňových koreňov nenulového polynómu f (x) nie je viac ako jeden krok. Iste, ak f (x) nie je koreň, potom je zrejmé, že veta je pravdivá, viac umenia. f (x) ≥ 0. Teraz f (x) má m koreňov c1, c2, ..., сm a všetky pachy koreňov. Todi, normálne prinesieme f (x) tak, aby sa predĺžilo na (x-z1) (x C2) ... (x-cm). Takýmto spôsobom umenia. f (x) ≥st. ((X-s1) (x-c 2) ... (x-cm)) = sv. (X-z1) + čl. (X-c 2) + ... + st. (X-сm) = m, t.j. čl. f (x) ≥m, a m je počet koreňov otvoreného vrecka. A os nulového polynómu je nekonečne bohatá na korene, dokonca aj na jeho význam pre akékoľvek x dorivnyuє 0. Zokrem, a preto netrestá žiadny spevácky svet. Bezpečné, ktoré prinášajú vety o destilácii, je tiež pevné.

Ak polynóm f (x) nie je polynóm stupňa, viac, nižšie n a viac, menej n koreňov, potom f (x) je nulový polynóm. Po pravde povedané, z myslí firmy tsiy viplyaє je f (x) nulový polynóm pre umenie. f (x) ≤n. Ak polynóm f (x) nie je nula, potom čl. f (x) ≤n, a iba f (x) nie je viac, menej n koreňov. Príďte trieť. Preto f (x) je nenulový polynóm. Nech f (x) a g (x) sú nenulové polynómy dĺžky, nie veľké, nie n. Ak počet polynómov nadobúda rovnakú hodnotu pre n + 1 hodnôt zmeny x, potom f (x) = g (x).

Pre dôkaz je polynóm h (x) = f (x) - g (x) ľahko zrozumiteľný. Je zrejmé, že kto - buď h (x) = 0, alebo st. h (x) ≤n, to znamená, že h (x) nie je polynóm dĺžky, väčší, nižší n. Teraz máme rovnaké číslo ako f (c) = g (c). Todi h (c) = f (c) - g (c) = 0, to znamená, že E. Z je koreň polynómu h (x). Polynóm h (x) má tiež n + 1 koreň, a ak je práve dokončený, h (x) = 0, t.j. F (x) = g (x). Ak f (x) a g (x) majú rovnakú hodnotu pre všetky hodnoty zmeny, potom sú polynómy rovnaké

Násobky koreňa polynómu Kde je číslo koreňom polynómu f (x), celý polynóm, ktorý je ako vidomo, sa predlžuje o x-s. Môžete chytiť, scho f (x) ísť k jakým nohám polynóm x-c, TE Na (x-c) k, k> 1. Vo všetkých prípadoch sa z nazýva viacnásobný koreň. Hodnotu sformulujem jasnejšie. Číslo z sa nazýva koreň multiplicity k (k-viacnásobný koreň) polynómu f (x), ak sa polynóm rozprestiera o (xc) k, k> 1 (k je prirodzené číslo), ale nie (xc) ) k + 1. Ak k = 1, potom ho budeme nazývať koreň a ak k> 1, budeme ho nazývať viacnásobným koreňom polynómu f (x).

Ak je polynóm f (x) reprezentovateľný z pohľadu f (x) = (xc) mg (x), m je prirodzené číslo, potom musí presahovať (xc) m + 1 todi a iba todi, ak g ( x) pokračovať x-s. Skutočne, ak g (x) siaha do x-c, t.j. G (x) = (xc) s (x), potom f (x) = (xc) m + 1 s (x), a teda f (x) predĺžiť o (xs) m + 1. Späť, ak f (x) predĺžiť o (xs) m + 1, potom f (x) = (xc) m + 1 s (x). Todі (x-c) mg (x) = (x-c) m + 1 s (x) і pre prekročenie rýchlosti o (x-c) m, môžeme akceptovať g (x) = (x-c) s (x). Svidsy viplivaє, scho g (x) sa rozširuje na x-s.

Napríklad Z'yasuєmo, kde є je číslo 2 pri koreni polynómu f (x) = x 5 -5 x 4 + 3 x 3 + 22 x 2 -44 x + 24, a tak poznáme jeho mnohopočetnosť. Schopnosť čítať jedlo na prvom mieste je možné prekonfigurovať podľa ďalšej Hornerovej schémy a f (x) sa rozšíri na x-2. tabuľka 4.2 1 + 1 -5 -3 3 -3 22 16 -44 -12 24 0 ... Preto 2 je koreň polynómu. Okrem toho sme odstránili, že f (x) = (x -2) (x 4 -3 x 3 -3 x 2 + 16 x -12). Teraz z'yasuєmo, chi є f (x) na (x -2) 2. Položiť, ako to priniesli, ako súčasť bagatolu, g (x) = x 4-3 x 3-3 x 2 + 16 x- 12 x- 2.

Poznám rýchlosť podľa Hornerovej schémy: Tabuľka 5.1 -3 -3 16 -12 2 1 -1 -5 6 0 Otrimali, ale g (x) sa predlžuje o x -2 a g (x) = (x -2) (x 3 -x 2-5 x + 6). Todi f (x) = (x -2) 2 (x 3 -x 2-5 x + 6). Z toho isté platí, že f (x) sa rozširuje o (x-2) 2, teraz je potrebné, aby f (x) predĺžil o (x-2) 3. Pre ktoré je rekonfigurovateľné, h (x) = x 3- x 2 -5 x + 6 na x -2: Tabuľka 6.1 -1 -5 6 2 1 1 -3 0 Otrimaєmo, h (x) sa predlžuje o x -2, a teda f (x) sa predlžuje o (x -2) 3, a f (x) = (x-2) 3 (x 2 + x-3).

Dal je podobne obrátený, f (x) pokračuje (x-2) 4, t.j. s (x) = x 2 + x-3 pokračuje x-2: Tabuľka 7,2 1 1 1 3 -3 3 Je známe, že prebytok, keď je s (x) rozšírený na x-2, je 3, to znamená, že s (x) sa nevzťahuje na x-2. Preto sa f (x) nerozširuje o (x-2) 4. F (x) sa teda nerozširuje o (x-2) 3, ale nerozširuje o (x-2) 4. Opäť platí, že číslo 2 je koreň multiplicity 3 polynómy f (x).

Prepísanie koreňa pomenujte podľa násobnosti v jednej tabuľke. Pre daný zadok existuje tabuľka ma takiy viglyad: Tabuľka 8.1 -5 3 22 -44 -24 2 2 1 1 -3 -1 1 3 -3 -5 -3 3 16 6 0 -12 0 0 V ostatných slová, za diagramom Hornerovo členenie polynómu f (x) na x-2, v druhom riadku popierame účinnosť polynómu g (x). Použime ďalší riadok v najdôležitejšom rade nového Hornerovho systému a vicono rozpodil g (x) na x-2 a t. D. Pokračujte v počítaní, kým nie je ticho, pokiaľ nie je prebytok odmietnutý, je nula. Násobnosť koreňa sa zároveň rovná počtu nadbytočných nulových prebytkov. Aby sa pomstil zostávajúci nenulový prebytok, dochádza k súkromnému predstaveniu, keď f (x) vydelí (x-2) 3.

Teraz, keď som iba navrhol schému zmeny koreňa na základe multiplicity, pristúpim k úlohe. Pre a a b je polynóm f (x) = x 4 + 2 x 3 + ax 2 + (a + b) x + 2 maє číslo - 2 koreň multiplicity 2? Takže multiplicita koreňa - 2 je na vine za 2, potom, ak prejdete na x + 2 pre proponentovu schému, dvakrát obviňujem, že odpočítame prebytok 0, a tretíkrát - prebytok, ako je vidieť z nuly . Mahmo: Tabuľka 9. -2 -2 -2 1 + 1 2 0 -2 -4 a a a + 4 a + 12 a + b -3 a + b -8 2 2 a -2 b + 2

Číslo je teda 2 є koreň multiplicity 2 výstupného polynómu todi a iba todi, ak

Racionálne korene polynómu Ak nie je krátkodobý l / m (l, m celé číslo) є koreňom polynómu f (x) s niektorými parametrami, potom sa seniorská funkcia polynómu rozšíri o m a vedúci termín, I, o 1. Spravodlivý) = anxn + an-1 xn-1 + ... + a 1 x + a 0, an ≠ 0, de an, an-1,. ... ... , A 1, a 0 sú čísla, potom f (l / m) = 0, t.j. Аn (l / m) n + an-1 (l / m) n-1 +. ... ... + A 1 l / m + a 0 = 0. Poškodenú časť reťazca vynásobte mn. Otrimaєmo anln + an-1 ln-1 m +. ... ... + A 1 lmn-1 + a 0 mn = 0. Expedičné hviezdy anln = m (-an-1 ln-1-...-a 1 lmn-2 -a 0 mn-1).

Bachimo, počet anln sa predlžuje o m. Ale l / m je krátke slovo, tj. E. Čísla l a m sú celkom jednoduché, ale iba ako teória podobnosti všetkých čísel sú čísla ln a m tiež celkom jednoduché. Tiež anln sa rozširuje na m a m namiesto jednoducho z ln, čo znamená, že sa rozširuje na m. Je známe, že racionálne korene polynómu f (x) = 6 x 4 + 13 x 2 -24 x 2 -8 x + 8. Podľa vety sa racionálne korene polynómu nachádzajú v strednej frakcii v tvar l / m, de l je dialer prirodzeného výrazu a 0 = 8, a m je názov vyššieho dôstojníka a 4 = 6. Ak je číslo l / m záporné, potom znamienko „-“ bude byť uvedené na čísle. Napríklad - (1/3) = (-1) / 3. Môžeme teda povedať, že l je dialer čísla 8 a m je kladný dialer čísla 6.

Pretože sú náprotivky čísla 8 ± 1, ± 2, ± 4, ± 8 a kladné náprotivky čísla 6 budú 1, 2, 3, 6, potom sa nachádza racionálny koreň zobrazeného vrecka v strede čísel ± 1, ± 1/2, ± 1/3, ± 1/6, ± 2/3, ± 4, ± 4/3, ± 8/3. priznajme si, že odsávali nie krátke zlomky. V takom poradí je dvadsať čísel - „kandidáti“ v koreni. Bolo už len neskoro prehodnotiť kožu od nich a zistiť, ako sa to robí s koreňmi. prichádza veta, spýtam sa robota. Ak je krátky drift l / m є koreňa polynómu f (x) s niekoľkými faktormi, potom f (k) sa predlžuje o l-km pre akékoľvek celé číslo k pre drez, ale l-km ≠ 0.

Na doplnenie vety je f (x) oddelené x-k prepadom. Mo f (x) = (x-k) s (x) + f (k). Pretože f (x) je polynóm s množstvom funkcií, potom také є je polynóm s (x) a f (k) je celé číslo. Choď s (x) = bn-1 + bn-2 + ... + b 1 x + b 0. Todі f (x) -f (k) = (xk) (bnxn-1 + bn-2 xn-2 + ... + b 1 x + b 0). Môžeme to urobiť v ts_y rovnajúcom sa 1 x = l / m. Pozriem sa, ale f (l / m) = 0, budeme mo f (k) = ((l / m) -k) (bn-1 (l / m) n-1 + bn-2 (l / m) n- 2 + ... + b 1 (l / m) + b 0). Vynásobenie priestupku časti zostávajúcej hodnoty mn: mnf (k) = (l-km) (bn-1 ln-1 + bn-2 ln-2 m + ... + b 1 lmn-2 + b 0 mn-1) ... Malo by byť použité tak, aby číslo mnf (k) bolo l-km dlhé. Ak je to tak, že l і m je celkom jednoduchý, potom mn і l-km môže byť celkom jednoduché, a preto f (k) sa predlžuje o l-km. Veta bola dokončená.

Keď sa obrátime na zadok, po dokončení vety ešte viac zúžime počet racionálnych koreňov. Veta sa často uvádza pre k = 1 і k = -1, t.j. + m). Je ľahké vedieť, že v našom prípade f (1) = -5 a f (-1) = -15. Je pozoruhodné, že sme súčasne zahrnuli do pohľadu ± 1. To isté je racionálny koreň nášho polynómu vedľa počtu čísel ± 1/2, ± 1/3, ± 1/6, ± 2, ± 2 /3, ± 4/3, ± 8 /3. Jednoznačne l /m = 1/2. Todi l -m = -1 a f (1) = -5 posledné pre celé číslo. Dal, l + m = 3 a f (1) = -15, takže to pôjde o 3. Otzhe, dlib 1/2 bude zahrnutý do počtu „kandidátov“ v koreňovom adresári.

Poďme teraz lm = - (1/2) = ( - 1)/2. V každom prípade lm = -3 af (1) = -5 netrvá - 3. Takže drib -1/2 nemôže byť koreňom tohto polynómu a my ho vidíme. Je to len zmena pre kožu zlomkov, môžeme povedať, že korene čísel sú 1/2, ± 2/3, 2, - 4. Takýmto poradím mi odpustite oblasť poke zneli racionálne korene pozretých zaostávajúcich. Pri inverzii boli čísla preplnené Hornerovou schémou: tabuľka 10,6 13 -24 -8 8 1/2 6 16 -16 0

Bachimo, scho 1/2 je koreň polynómu f (x) і f (x) = (x-1/2) (6 x 3 + 16 x 2 -16 x-16) = (2 x-1) (3 x 3 + 8 x 2 -8 x -8). Je zrejmé, že všetky korene polynómu f (x) sú prevzaté z koreňov polynómu g (x) = 3 x 3 + 8 x 2 -8 x -8, čo znamená, že zatiaľ je revízia "kandidátov" v koreňoch sa môže uskutočniť pre rovnaký polynóm. Je známe: Tabuľka 11.3 8 -8 -8 2/3 3 10 -4/3 -80/9 Prebytok s g (x) na cestách x -2/3 je 80/9, t.j. 2/3 nie je koreň polynómu g (x), ale preto je f (x). Dal je známe, že - 2/3 je koreň polynómu g (x) і g (x) = (3 x + 2) (x 2 + 2 x -4).

Todi f (x) = (2 x-1) (3 x + 2) (x 2 + 2 x-4). Ďalšiu zmenu je možné vykonať pre polynóm x 2 + 2 x-4, ale jednoduchým spôsobom jednoduchší, nižší pre g (x) alebo viac pre f (x). V dôsledku toho sa uznáva, že čísla 2 a 4 nie sú є. Tiež polynóm f (x) = 6 x 4 + 13 x 3 -24 x 2 -8 x + 8 sú dva racionálne korene: 1/2 až 2/3. Celá metóda dáva možnosť poznať a zbaviť racionálne korene polynómu s množstvom funkcií. Tim je hodina, polynóm môže byť matkou a racionálnymi koreňmi. Napríklad polynóm má viac ako dva korene: - 1 ± √ 5 (koreň polynómu je x2 + 2 x -4). polynóm nemusí byť matkou racionálnych koreňov.

Pri skúmaní „kandidátov“ v koreňoch polynómu f (x) pre zvyšok komplementu vety uistite sa, že zvyšok vyberiete pre typy k = ± 1. Inými slovami, ak l / m je „kandidát“ v koreňoch, potom podľa potreby prepíšte (f 1) і f (-1) na lm і l + m. Alebo to môže byť napríklad f (1) = 0, to znamená, že 1 je koreň a f (1) je aj naďalej číslo a naša inverzia do zmyslu. Rovnakým spôsobom je f (x) rozdelený na x-1, tj. Otrimati f (x) = (x-1) s (x), a vykonajte test na polynóm s (x). Zároveň sa nezabúda, ale jeden koreň polynómu f (x) -x 1 = 1 - to sme už vedeli. Hneď ako sa „kandidáti“ transformovali do koreňov, stratili písanie ďalších viet o racionálnych koreňoch, za Hornerovou schémou si to môžeme myslieť, ale napríklad l / m je koreň, potom by ste mali vedieť jeho mnohosť. Ak ste pripravení, povedzme, k, potom f (x) = (x-l / m) ks (x) a zatiaľ to môžete zmeniť na s (x), hneď ako sa vykoná výpočet.

Rozhodnutie. Po zmene zmeny y = 2 x prejdeme na polynóm s koeficientom rovným jednej na seniorskej úrovni. Pre celý rozsah sa viraz vynásobí 4. Ak sa vezme do úvahy funkcia koreňa, potom sa zápach nachádza v strede prvku. Zapisovateľné їх: ± 1, ± 2, ± 3, ± 4, ± 5, ± 6, ± 10, ± 12, ± 15 ±, ± 20, ± 30, ± 60

Posledná hodnota funkcie g (y) je číselne očíslovaná v počte bodov, kým nie je zrušená až na nulu. Tobto, y = -5 є koreň toho istého, є koreň slovesnej funkcie. Vykonáva sa so stohom (zvinutým) polynómu dvojčlenným

Drvivý počet ľudí v prodovzhuvati nestačí, pretože je jednoduchšie vložiť štvorhrannú trojčlennú Otzhe do multiplikátorov,

Víťazstvo vzorcov pre rýchle násobenie a Newtonovho binomika pre rozšírenie polynómu na multiplikátory Pri prvom vynásobení polynómu by sme sa mali zamyslieť nad spôsobom násobenia do multiplikátorov. Napríklad za trápne prepracovanie predstavenia na shykuyutsya v rade Pascalovej trojkolky na predstavenie Newtonovej binomiky. Zadok Rozklad je polynóm na faktory.

Rozhodnutie. Opakuje sa vzhľad: posledná z funkcií súčtov v oblúkoch je jasne označená, ale teraz je vzorec pre malé štvorce skrytý: Viraz v ostatných zátvorkách nie je správny vzorec, ale na účel násobnosti prvého

Veta Vієta otáča výkon polynómu cez jeho koreň. Tieto vzorce sú ručne opravované, aby sa skontrolovala správnosť znalostí o koreňoch polynómu a aby sa polynóm poskladal podľa daného koreňa. Vzorec pre polynom Yaksho -orn a potom funkcie rotujú v pohľade na symetrické polynómy od koreňov, ale

Okrem toho sa zdá, že je to súčet všetkých mladých tvorov z k koreňov. Ako staršia polynómová funkcia je potom na uloženie Vintovho vzorca potrebné najskôr rozdeliť všetky funkcie na 0. Rovnakým spôsobom dáva Vinta vzorec viraz pre všetky staršie faktory až do Zo zvyšku vzorca Vієta viplivaє, ktorý je koreňom polynómu, je celé číslo, potom to vonia ako koreň polynómu, ktorý je tiež celým číslom. Dôkaz úspechu pri pohľade na rovnosť, odmietnutú distribúciou polynómu v koreni, vrahoyuchi, scho a 0 = 1 Keď je účinnosť v rovnakých krokoch x, rozpoznáme vzorce Vit.

Virishiti Rivnyannya x 6 - 5 x 3 + 4 = 0 Rozhodnutie. Význam y = x 3, takže ho prijmeme ako y 2 - 5 y + 4 = 0, ak ho prijmeme, prijmeme Y 1 = 1; Y 2 = 4. V takom poradí je zoznam ekvivalentný rovnakému číslu ako: x 3 = 1 alebo x 3 = 4, t.j. X 1 = 1 alebo X 2 = pohľad: 1;

Bezoutova veta 1. Prvok sa nazýva koreň polynómu, keď f (c) = 0. Bezoutova veta. Nastavte dĺžku polynómu Pn (x) na dvojčlen (x-a) polynómu oceneného na ceste na x = a. Doručené. Na základe algoritmu f (x) = (xc) q (x) + r (x), ak iba r (x) = 0, ak nie, potom. Z toho istého, f (x) = (xc) q (x) + r, z toho istého, f (c) = (cc) q (c) + r = r, a tiež f (x) = (xc) q (x) + f (c).

Kapitola 1: Povolenie dĺžky polynómu Pn (x) k binomickej osi + b na hodnotu polynómu pri x = -b / a, t.j. R = Pn (-b / a). Prvok 2: Ak je číslo a koreňom polynómu P (x), potom sa polynóm bez prebytku predĺži o (x-a). Snímka 3: Ak polynóm P (x) môže byť párovo rôznymi koreňmi a 1, a 2, ..., an, potom bude trvať twir (x-a 1) ... (x-an) pre všetkých sto. Snímka 4: Polynóm stupňa n nie je väčší ako n koreňov. Riadok 5: Pre akýkoľvek polynóm P (x) a číslo a sa rozdiel (P (x) -P (a)) predĺži bez prebytku o dvojčlen (x-a). Prvok 6: Číslo a je koreň polynómu P (x) stupňa, ktorý nie je nižší ako prvý a iba jeden, ak sa P (x) predlžuje o (x-a) bez prebytku.

Rozdelenie racionálnej frakcie na jednoduchšie zlomky Ukáže sa, že bez ohľadu na to, či je správna, racionálna frakcia môže byť rozdelená do súčtu najjednoduchších zlomkov. Nech je to dané správnym racionálnym dribom (1).

Veta 1. Nekhai x = a є koreň menovateľa priamky k, tj. De f (a) ≠ 0, aby daný správny bol v divákoch súčtu dvoch správnych zlomkov reprezentovaný ofenzívnou hodnosťou: (2), de A-post nie na nulu, ale F 1 (x) je polynóm, ktorého krok je nižší ako krok menovateľa

de polynom, krok dolného kroku menovateľa. Analogicky k prednému vzorcu môžem orezať: (5)

Ak existujú nejaké problémy a nezrovnalosti, nie je často potrebné vynásobiť polynóm, ktorého kroky sú tri najdôležitejšie faktory. Štatistiky sú ľahko zrozumiteľné a poradie procesu je najjednoduchšie.

Jak je hladný, snaží sa pomôcť teórii.

Bezoutova veta stverdzhu, čo je prebytok dĺžky polynómu do dvojdielnych dverí.

Ale nie je pre nás dôležitá veta, ale jej dedičstvo:

Ak je číslo a koreňom polynómu, potom sa polynóm predlžuje bez prebytkov o dva členy.

Pred nami stojí majstrovstvo ako spôsob poznania jedného koreňa polynómu, namiesto oddeľovania polynómu pomocou, - koreňa polynómu. V dôsledku toho rozpoznáme polynóm, ktorého kroky sú o jeden menšie ako kroky vonkajšieho. A potom, ak je to potrebné, môžete postup zopakovať.

Tse zvdannya padne na dvoje dvere: ako poznať koreň polynómu a ako rozdeliť polynóm na dvojčlen.

Zupinimya prednáša o cich momentoch.

1. Ako poznať koreň polynómu.

Sada inverzií, počet є čísel 1 a -1 koreňov polynómu.

Tu vám môžeme pomôcť s nasledujúcimi skutočnosťami:

Ak je súčet všetkých koeficientov polynómu rovný nule, potom číslo є je koreň polynomu.

Napríklad v polynóme súčtu koeficientov cesty na nulu:. Je ľahké prekonfigurovať, že є je koreň polynomu.

Ak je súčet koeficientov polynómu pre párové kroky súčtom koeficientov pre nepárové kroky, potom je číslo koreňom polynómu.Člen Vilny vvazhaєtsya kofіtsієntom so spárovaným stupňom, oskilki a - číslom chlapa.

Napríklad v polynomiálnom súčte koeficientov pre párové kroky:, a súčte koeficientov pre nepárové kroky:. Je ľahké prekonfigurovať, že є je koreň polynomu.

Yaksho ni 1, ni -1 nie je ku koreňom vaku, potom sú zrúcaniny dal.

Pre indukovaný krokový polynóm (ak ide o polynóm, v ktorom je starší koeficient koeficientom, keď je druhou jednotkou), platí Vita vzorec:

De - koreň polynómu.

Okrem vzorcov Vієta by mali existovať aj niektoré polynómové koeficienty, ale nemali by sme byť uvádzaní ako rovnakí.

Zo vzorca Vyta viplivay, scho Ak je koreňom polynómu celé číslo, zápach je z mien prvého člena, ktorý je tiež celým číslom.

Choď preč od tsyogo, potrebujeme rozšíriť polynomiálny člen na multiplikátory a nakoniec od najmenšieho po najväčší transformovať, čo je multiplikátor є od koreňa polynómu.

Je zrejmé, že napríklad polynóm

Osobné pobočky člena:; ; ;

Súčet všetkých koeficientov polynómu je tiež číslo 1, ktoré nie je koreňom polynómu.

Súčet kofіtsієntіv pre dvojité kroky:

Súčet kofіtsієntіv pri nespárovaných krokoch:

Číslo -1 tiež nie je koreňom polynómu.

Je reverzibilné, kde je číslo 2 koreňom polynómu :, tiež číslo 2 je koreňom polynómu. To znamená, že podľa Bezoutovej vety sa polynóm predlžuje bez prebytkov o dva členy.

2. Yak razdіliti polynomial into two-term.

Polynom je možné rozdeliť na dvojčlenný stovpchik.

Rozdilimo je dvojčlenný polynóm:

Prvá metóda vrecka rozpodilu sa transformuje na dvojčlennú - Hornerovu schému.

Žasnite nad videom, priblížením, ako rozdelenie polynómu na dvojdielny stovpchik, a je za dodatočnou Hornerovou schémou.

Budem ťa rešpektovať, ak keď ťa zdvihne zhrbená, ak sú kroky nezúčastnenej osoby vo vonkajšom polynóme denné, v prvom rade sa píše 0 - je to teda ako keď sa tabuľky preložia pre Hornerova schéma.

Tiež, ak potrebujeme rozdeliť polynóm na dva termíny a vo výsledku môžeme poprieť polynóm, potom môžeme poznať vlastnosti polynómov za Hornerovou schémou:

Mi môže byť aj vikoristovuvati Hornerova schéma na prevod, kde je číslo dané koreňom polynómu: ak je číslo koreňom polynómu, potom je prebytok dĺžky polynómu nulový, takže v posledných sto percentách druhého riadka Hornerovej schémy prijmeme 0.

Podľa Vikoristovuchi Hornerovej schémy „jazdíme na dvoch zajacoch“: jedna hodina je obrátená, kde je číslo koreňom polynómu a deliteľným polynómom na dva pojmy.

Zadok Rozv'yazati Rivnyannya:

1. Vypishemo rodiča člena a v strede člena zobrazíme koreň polynómu.

Číslo 24:

2. Reverzibilné, kde je číslo 1 pri koreni polynómu.

Súčet koeficientov polynómu, tiež číslo 1, je koreňom polynómu.

3. Rozdіlimo je binárny polynóm v binárnom formáte podľa Hornerovej schémy.

A) v prvom riadku tabuľky výkonnostných polynómov.

Ako člen sa teda máme každý deň pomstiť, a to v sto stoloch, v ktorých je funkcia vinná pri písaní 0. Zlo písomných znalostí koreňa: číslo 1.

B) Zapamätal si prvý riadok tabuliek.

Vo zvyšku storočia je v poriadku sa ho zbaviť, vynulovali sme, rozdelili sme binárny polynóm na dvojčlenný bez prebytku. Charakteristiky polynómu vyrezané ako dôsledok obrázku v modrej farbe v druhom riadku tabuľky:

Je ľahké zameniť sa, ale čísla 1 a -1 nie sú

C) Protable stôl. Je reverzibilné, kde je číslo 2 koreňom polynómu:

Krok polynómu, ktorý je vo výsledku o jeden krok odchádzajúceho polynómu menší, je teda tiež počtom funkcií a počtom stoviek bodov na jednom menšom.

V posledných sto percentách odniesli -40 - číslo, ktoré sa nerovná nule, to isté môže byť polynóm rozdelený na dva termíny s preťažením a číslo 2 nie je koreňom polynómu.

C) Reverzibilné, kde je číslo -2 pri koreni polynómu. Takže, pretože sa popredie testu javilo neďaleko, nedošlo k žiadnemu nečestnému správaniu s koeficientmi, uvidím riadok, poviem vám o tom:

Vidminno! Pri prebytku mi bola odstránená nula, potom bolo vrecko rozdelené na dvojčlenné bez prebytku a číslo -2 koreňom polynómu. Polynomické charakteristiky, ako do výsledku zadať sub-polynóm dvoma výrazmi v tabuľke obrázkov zelenou farbou.

V dôsledku toho sme odstránili štvorcový trojčlen Jeho koreň je ľahké nájsť podľa Vitovej vety:

Otzhe, koreň bludného ryvnyannya:

{}

Vyhliadka: ( }

Dánsko je polynóm veľkých kofіtsіonti. Ak je číslo koreňom polynómu, potom je є číslom 16. Ak má teda tento polynóm koreň, môžu existovať iba čísla ± 1; ± 2; ± 4; ± 8; ± 16. Bez strednej inverzie, kde číslo 2 je koreňom polynómu, takže x 3 - 5x 2 - 2x + 16 = (x - 2) Q (x), de Q (x) je polynóm iného krok. Polynom je opäť možné vynásobiť, z ktorých jeden je (x - 2). Pokiaľ ide o vtip, typ polynómu Q (x) je rýchly, takzvaná Hornerova schéma. Hlavnou výhodou tejto metódy je kompaktnosť písma a možnosť rýchleho rozdelenia polynómu na dva termíny. V skutočnosti napíšem Hornerovu schému vo forme metódy agregácie, prajem si, aby bol z pohľadu ostatných be absolútne milovaný. Nie je možné odmietnuť samotný proces. Nebudeme sa zaoberať prísnym zakladaním Hornerovej schémy, ale ukáže sa to, yak vona pratsyuє.

	1	−5	−2	16
2	1	−3	−8	0

V obdĺžnikovej tabuľke 2 × (n + 2), de n sú kroky polynómu, (div. Obr.) V hornom rade je množstvo polynómových znakov (horný rad je vyplnený dobrým) . V spodnej časti riadkov napíšte číslo - koreň polynómu (pre číslo x 0, ak ho chceme rozdeliť na dvojčlenné (x - x 0)), v našej aplikácii číslo 2 . Nechajte celý spodný riadok tabuľky postupovať podľa tohto pravidla.

Cela priateľa v dolnom rade má počet buniek nad ním, tobto 1. Potom to dopadne takto. Koreň ryvnyannya (číslo 2) vynásobte číslo (1) posledným a pripočítajte výsledok k číslu tak, ako stojí v hornom riadku nad začiatkom nového kľúča, v našej aplikácii maєmo:

Výsledok sa zapíše do vilna klitina pid -2. Dal je opravený rovnakým spôsobom:
Krok polynómu, odmietnutý v dôsledku podtypu, je o 1 menší ako krok odchádzajúceho. Otzhe:

Výživa o znalosti racionálnych koreňov polynómu f(X)Q[X] (S racionálnymi koofіnіntami) vybudovať výživu o vývoji racionálnych koreňov polynómov k ∙ f(X)Z[X] (S tsіlimi kofіtsіntami). tu je číslo kє najnižší násobok menovateľov koeficientov daného polynómu.

Je potrebné, ale nie dostatočné, porozumieť racionálnym koreňom polynómu s niekoľkými faktormi, takže veta je pripravená.

Veta 6.1 (o racionálnom koreni polynómu s množstvom funkcií). yaksho – racionálny koreň polynómuf(X) = a n  X n + + …+ a 1  X + a 0 s tsilimi kofіtsієntami, navyše(p, q) = 1, Potom číslo zlomkupє Predajca člena 0 , A bannerqє Predajca vyššieho dôstojníka 0 .

Veta 6.2.yaksho Q ( de (p, q) = 1) ational racionálny koreň polynómu f(X) potom s niekoľkými odborníkmi
–celé čísla.

Zadok Night All Rational Roots

f(X) = 6 X 4 + X 3 + 2 X 2 – 4 x + 1.

1. Podľa vety 6.1: – racionálny koreň polynómu f(X), ( de ( p, q) = 1), potom a 0 = 1 p, a n = 6 q... Tom p { 1}, q (1, 2, 3, 6), čo znamená,

2. Vidomo, scho (dedičnosť 5,3) číslo aє koreňom polynómu f(X) Todi a iba todi, ak f(X) predĺžiť do ( x - a).

Tiež pre inverziu koreňov polynómu číslo 1 a -1 f(X) Hornerovu schému môžete urýchliť:

f(1) = 60,f(–1) = 120, zväzok 1 a -1 nie f(X).

3. Vidieť časť nadbytočných čísel
, Skoristyaєmosyya veta 6.2. ako sa obrátiť abo
akceptovanie počtu hodnôt pre spoločné hodnoty čísla p a bannera q Potom je vo všeobecných tabuľkách (div. Nizhche) napísané písmeno „c“, v prvom vypadku - „ін“.


=
=

4. Za pomoci Hornerovej schémy je možné zmeniť počet stratených časov
korene f(X). zbierka razdіlimo f(X) Na ( NS – ).

V dôsledku toho maєmo: f(X) = (NS – )(6 X 3 + 4 X 2 + 4 NS - 2) i - koreň f(X). Súkromné q(X) = 6 X 3 + 4 X 2 + 4 NS - 2 distribuované po ( NS + ).

Tak ako q (–) = 30, potom (-) nie je koreňom polynómu q(X), A i polynómu f(X).

Nareshtі, razdіlimo polynom q(X) = 6 X 3 + 4 X 2 + + 4 NS - 2 na ( NS – ).

otrima: q () = 0, t.j. - koreň q(X), A to znamená - root f (X). V tejto hodnosti je polynóm f (X) Existujú dva racionálne korene: i.

Spojenie z algebraických іrratsіonalnostі v menovateli zlomku

V školskom kurze musí byť pri typoch prvej triedy číslo štandardného čísla v menovateli vynásobené číslom uvedeným v menovateli.

Dať to na. 1.t =
.

Tu, v štandarde, existuje vzorec rýchleho násobenia (rozdiel v štvorcoch), ktorý umožňuje vyzváňanie rasy v banneri.

2. Zvіlnitsya z іrratsіonalnosti v menovateli zlomku

t =
... Viraz - nerovný štvorec rozdielu čísel a=
і b= 1. Zrýchlený vzorcom a 3 – b 3 = (a +b) · ( a 2 – ab + b 2 ), Môžete použiť multiplikátor m = (a +b) =
+ 1, na ktoré ďalej vynásobte číslo a menovateľ zlomku t Schob striasť іrratsіonalnostі v štandardnej frakcii t... V takom poradí,

Situácie, vzorce rýchleho násobenia, nefungujú, je možné vikoristovuvati іnshі priyomi. Ďalej bude formulovaná veta, ktorá dokazuje, že pružina vám umožní poznať algoritmus pre pomer zlomku k menovateľu vo viac skladacích situáciách.

Obchodná hodnota 6.1.číslo z byť volaný algebraické nad poľom F Yaksho je polynóm f(X) F[X], Root yakogo є z, Vo všeobecnosti číslo z byť volaný transcendentálne nad poľomF.

Viznachennya 6.2.Algebraický krok nad poľom F čísla z nazývané kroky sú uvedené nad poľom F polynóm p(X)F[X], Koreňové є číslo z.

Zadok Ukáže sa, že číslo z =
ge algebraické nad poľom Q a tento krok poznáme.

Poznáme nezrovnalosti v teréne Q polynóm p(NS), Root yakogo є X =
... Postavené ako priestupok voči časti rývnosti X =
vo štvrtom kroku otrimaєmo NS 4 = 2 abo NS 4 – 2 = 0. Z toho istého, p(NS) = NS 4 – 2 a čísla krokov z dvere deg p(NS) = 4.

Veta 6.3 (o zvuku algebraického a racionalizmu v menovateli zlomku).ahojz – algebraické číslo nad poľomFkrokn... viraz myseľt = ,de f(X), (X)F[X], (Z) 0

Na viglyade môže byť zastúpená jedna hodnosť:

t = s n -1 z n -1 + c n -2 z n -2 + … + c 1 z + c 0 , c i F.

Algoritmus znenia z iracionality v menovateli zlomku bude demonštrovaný na konkrétnej aplikácii.

Zadok Zvіlnitsya z іrratsіonalnostі v zlomku menovateľa:

t =

1. Menovateľ zlomku є je hodnota polynómu (NS) = NS 2 – NS+1 o NS =
... Na prednom zadku je to znázornené
- algebraické číslo nad poľom Q krok 4, aby sa yak nezakorenil Q polynóm p(NS) = NS 4 – 2.

2. Poznáme distribučný rad GCD ( (NS), p(X)) Za pomocou Euclidovho algoritmu.

_ X 4 – 2 | X 2 - X + 1

X 4 - X 3 + x 2 X 2 + X = q 1 (X)

_ X 3 - X 2 – 2

X 3 - X 2 + x

X 2 - X + 1 | – X –2 = r 1 (X )

X 2 + 2 X - x + 3 = q 2 (X)

_–3X+ 1

–3 X – 6

_ – X –2 |7 = r 2

– X –2 -X - =q 3 (X)

Otzhe, NSD ( (NS), p(X)) = r 2 = 7. Poznáme tento distribučný rad.

Posledný Euklides je možné zapísať pomocou hodnôt polynómov.

p(X) = (X) · q 1 (X) + r 1 (X)
r 1 (X) =p(X) – (X) · q 1 (X)

Je potrebné, ale nie dostatočné, porozumieť racionálnym koreňom polynómu s niekoľkými faktormi, takže veta je pripravená.

Veta 6.2.yaksho Q ( de (p, q) = 1) ational racionálny koreň polynómu f(X) potom s niekoľkými odborníkmi
–celé čísla.

Zadok Night All Rational Roots

f(X) = 6 X 4 + X 3 + 2 X 2 – 4 x + 1.

1. Podľa vety 6.1: – racionálny koreň polynómu f(X), ( de ( p, q) = 1), potom a 0 = 1 p, a n = 6 q... Tom p { 1}, q (1, 2, 3, 6), čo znamená,

2. Vidomo, scho (dedičnosť 5,3) číslo aє koreňom polynómu f(X) Todi a iba todi, ak f(X) predĺžiť do ( x - a).

Tiež pre inverziu koreňov polynómu číslo 1 a -1 f(X) Hornerovu schému môžete urýchliť:

f(1) = 60,f(–1) = 120, zväzok 1 a -1 nie f(X).


=
=

4. Za pomoci Hornerovej schémy je možné zmeniť počet stratených časov
korene f(X). zbierka razdіlimo f(X) Na ( NS – ).

V dôsledku toho maєmo: f(X) = (NS – )(6 X 3 + 4 X 2 + 4 NS - 2) i - koreň f(X). Súkromné q(X) = 6 X 3 + 4 X 2 + 4 NS - 2 distribuované po ( NS + ).

Tak ako q (–) = 30, potom (-) nie je koreňom polynómu q(X), A i polynómu f(X).

Nareshtі, razdіlimo polynom q(X) = 6 X 3 + 4 X 2 + + 4 NS - 2 na ( NS – ).

otrima: q () = 0, t.j. - koreň q(X), A to znamená - root f (X). V tejto hodnosti je polynóm f (X) Existujú dva racionálne korene: i.

Spojenie z algebraických іrratsіonalnostі v menovateli zlomku

V školskom kurze musí byť pri typoch prvej triedy číslo štandardného čísla v menovateli vynásobené číslom uvedeným v menovateli.

Dať to na. 1.t =
.

Tu, v štandarde, existuje vzorec rýchleho násobenia (rozdiel v štvorcoch), ktorý umožňuje vyzváňanie rasy v banneri.

2. Zvіlnitsya z іrratsіonalnosti v menovateli zlomku

Obchodná hodnota 6.1.číslo z byť volaný algebraické nad poľom F Yaksho je polynóm f(X) F[X], Root yakogo є z, Vo všeobecnosti číslo z byť volaný transcendentálne nad poľomF.

Viznachennya 6.2.Algebraický krok nad poľom F čísla z nazývané kroky sú uvedené nad poľom F polynóm p(X)F[X], Koreňové є číslo z.

Zadok Ukáže sa, že číslo z =
ge algebraické nad poľom Q a tento krok poznáme.

Veta 6.3 (o zvuku algebraického a racionalizmu v menovateli zlomku).ahojz- algebraické číslo nad poľomFkrokn... viraz myseľt = ,de f(X), (X)F[X], (Z) 0

Na viglyade môže byť zastúpená jedna hodnosť:

t = s n -1 z n -1 + c n -2 z n -2 + … + c 1 z + c 0 , c i F.

Algoritmus znenia z iracionality v menovateli zlomku bude demonštrovaný na konkrétnej aplikácii.

Zadok Zvіlnitsya z іrratsіonalnostі v zlomku menovateľa:

t =

2. Poznáme distribučný rad GCD ( (NS), p(X)) Za pomocou Euclidovho algoritmu.

_ X 4 – 2 | X 2 - X + 1

X 4 - X 3 + x 2 X 2 + X = q 1 (X)

_ X 3 - X 2 – 2

X 3 - X 2 + x

X 2 - X + 1 | – X –2 = r 1 (X )

X 2 + 2 X - x + 3 = q 2 (X)

_–3X+ 1

–3 X – 6

_ – X –2 |7 = r 2

– X –2 -X - =q 3 (X)

Otzhe, NSD ( (NS), p(X)) = r 2 = 7. Poznáme tento distribučný rad.

Posledný Euklides je možné zapísať pomocou hodnôt polynómov.

p(X) = (X) · q 1 (X) + r 1 (X)
r 1 (X) =p(X) – (X) · q 1 (X)

(X) = r 1 (X) · q 2 (X) + r 2 (X)
r 2 (X) = (X) – r 1 (X) · q 2 (X)

r 1 (X) = r 2 (X) · q 2 (X).

Pidstavami v rovnosti 7 = r 2 (X) = (X) – r 1 (X) · q 2 (X) Hodnota prebytku r 1 (X) = p(X) – (X) · q 1 (X). (NS), p(X)): 7 = p(X) · (– q 2 (X)) + (X) ·. Aby sme nahradili význam daných polynómov a vrahuvati, p(
) = 0, potom maєmo:

(1 –
+
) · (–
+ 2
+ 3
+ 1)] = 7 (1)

3. S (1) viplivay, čo je štandardná frakcia t vynásobte číslom m=, To je rozpoznateľné po 7. V takom poradí,

t =
=.

POSTUP 16. Téma hodiny: Štandardný polynomický pohľad

Typ hodiny: konverzačná lekcia a ovládanie znalostí a inteligencie

Metodická lekcia:

Vrátiť sa do Minnya a zmenšiť polynóm na štandardné zobrazenie

Vývoj vo vedeckej komunite mislennya, rešpekt

vikhovuvati nezávislosť

Štruktúra lekcie:

organizačný moment

inštrukcie

Samočinná prevádzka robota.

1. Pridajte ďalšie propozície:

a) Viraz, ako sa pomstiť za vrece sa nazýva monomické ... (polynóm).

b) Polynóm je uložený ako štandardné monomiály a nenesie názov iných pododdielov ... (štandardný polynóm).

c) Väčšina krokov je monomiálmi v polynóme štandardného pohľadu ... (krok polynomu).

d) V prvom rade je potrebný počet krokov polynómu ... (uveďte ho do štandardného zobrazenia).

e) Na poznanie hodnoty polynómu je potrebné zmeniť prvý ... (reprezentovať polynóm v štandardnom zobrazení), ďalšie ... (hodnotu zmeny pripočítajte k daniy viraz).

2. Poznáte hodnotu polynómu:

a) 2 a 4 - ab+2 b 2 o a=-1, b=-0,5

b) X 2 +2 xy+ r 2 o X=1,2, r=-1,2

3. Zmenšite polynóm na štandardné zobrazenie:

a) -5ax 2 + 7a 2 x + 2a 2 x + 9ax 2 - 4ax 2 - 8a 2 NS;