Urivok, ktorý charakterizuje transcendentálne číslo

Transcendentálne číslo- Komplexné číslo, ale nie algebraické, takže to nie je koreň žiadneho špecifického typu nuly polynómu s racionálnym výkonom.

Іsnuvannya transcendentálne čísla prvýkrát stál J. Livill v roku 1844; v tom istom zbuduvav najprv daj taketo cisla. Leeuwill rešpektuje, že algebraické čísla nemôžu byť "nad dobro" blížiace sa k racionálnym číslam. Samotná Leeuwilova veta hovorí, že ak je algebraické číslo є koreňom kroku s racionálnymi koeficientmi, potom pre každé racionálne číslo je nerovnosť spravodlivá.

de post_ayna položiť ho zbavený. Tri tvrdé nápoje dostatočné znalosti transcendencia: ak je číslo rovnaké, či ide o trvalé, racionálne čísla bez akéhokoľvek dôvodu

potom je to transcendentálne. Tento rok boli takéto čísla pomenované ako čísla Lieuvilla. Aplikácia takého čísla є

Prvým dôkazom dôkazu transcendentálnych čísel bol Boolean od G. Cantora v roku 1874 p. na základe ustálenej teórie mnohých. Cantor si je istý, že existuje veľa algebraických čísel a že existuje veľa ľubovoľných čísel, zvuk rozpoznateľného čísla, ale pre transcendentálne čísla neexistuje žiadny limit. Na vidminu z dôkazu Leeuwil však nie je možné, aby svet mieril pažbou jedného takého čísla.

Leeuwilov robot načúval celému oddielu teórie transcendentálnych čísel – teórii aproximácie algebraických čísel racionálnymi alebo viac algebraickými číslami. Leeuwilovu vetu používali roboti a matematici. Tse umožnilo nové pridanie transcendentálnych čísel. K. Mahler teda ukázal, že ide o nepermisívny polynóm, ktorý akceptuje množstvo nepodstatných hodnôt pre všetky prirodzené čísla, potom pre akékoľvek prirodzené číslo, ak je číslo zapísané v číselnej sústave so základom , je to transcendentálne, ale nie Lieuvalovo číslo. Napríklad, ak dokážeme rozpoznať nástup vitonácií, výsledkom je: číslo

transcendentálny, ale nie počtom Liuvila.

V roku 1873 p. Sh. Ermit, nápady vikoristovuchi іnshі, pred transcendenciou čísla neper (uveďte prirodzený logaritmus):

Vyzdvihol myšlienky Ermita, F. Lindemana v roku 1882 p. priniesli sme transcendenciu čísla tým, že sme vložili smietku do dlhodobého problému o kvadratúre kolíka: za pomocou kompasu a čiary nie je múdre nájsť štvorec rovnakej veľkosti ( aby to bolo veľmi štvorcové) k danej stávke. Viac mentálne Lindemann ukázal, že pre akékoľvek algebraické číslo je transcendentálne. Ekvivalentný vzorec: pre ľubovoľný počet algebry, špecifický typ i, je prirodzený logaritmus transcendentálne číslo.

O 1900 p. Na kongrese matematikov v Paríži D. Gilbert uprostred 23 nevirtuálnych problémov matematiky, poukazujúc na ofenzívu, na súkromnú formu, sformuloval L. Eiler:

Poď і - navyše algebraické čísla transcendentálny? Zokrema, chi transcendentálne čísla і?

Problém možno preformulovať do útočnej formy, blízkej pôvodnému Eilerovmu vzorcu:

Poď і - algebraické čísla, dané pomocou і navyše pomer prirodzených logaritmov iracionálny. Či bude číslo transcendentálny?

Prvá revízia problému bola vykonaná v roku 1929 p. A.O. Gelfond, ako zokrema, priniesol transcendenciu čísla. U 1930 p. R.O. Kuzmin, po dokončení metódy do Gelfondu, zokrem, by ste mohli preniesť transcendenciu čísla do diaľky. Mimo revízie Euler-Hilbertovho problému (v starom zmysle) bol revidovaný v roku 1934 priamo A. O. Gel'fondom a T. Schneiderom.

A. Baker v roku 1966 s použitím teorém Lindemanna a Gel'fonda-Schneidera, ktorí priniesli jarnú, transcendentálnu hodnotu na rovnaký počet čísel ako algebraické v prirodzenom styku.

U 1996r. Yu.V. Nesterenko priniesol nezávislosť algebry do významu Ejzenštejnovho radu, zokrem, čísla v. Tse znamená transcendenciu akéhokoľvek čísla do mysle, odvodené z nuly je racionálna funkcia s algebrickými funkciami. Na druhej strane do transcendentálneho buda čísla

U 1929-1930 pp. K. Mahler v sérií navrhol novú metódu dokazovania transcendencie významu analitických funkcií a uspokojovania funkčných ekvivalentov speváckej formy (pre ktorú sa takéto funkcie nazývali Mahlerova funkcia).

Metódy teórie transcendentálnych čísel poznali stagnáciu tých istých kapitol matematiky, rast teórie diofantínskych rivnyanov.

pre a = 1 sme použili hodnotu súčtu geometrického postupu. Ak pripustíme Gausovu vetu, prinieslo napríklad a = a 1

Možné virázy s f (x) a členmi preskupenia, to isté je možné

f (x) = f (x) - f (a1) = (xn - a n 1) + an − 1 (xn − 1 - a n 1 −1) +. ... ... + a1 (x - a1).

(21) Podľa vzorca (20) môžeme vidieť násobiteľ x - a 1 od člena kože a potom ho obviňovať z luku, navyše nohy sú dostatočne vrúbkované, aby sme sa stratili v lukoch, stojac na jedna menša. Preskupenie pre nových členov platí to isté

f (x) = (x - a1) g (x),

de g (x) je stupeň n - 1:

g (x) = xn − 1 + bn − 2 xn − 2 +. ... ... + b1 x + b0.

(Počet funkcií označených b nájdete tu.) Presun tohto sveta do polynómu g (x) je príliš rýchly. Podľa Gausovej vety je koreň a2 rovný g (x) = 0, takže

g (x) = (x - a2) h (x),

de h (x) - nový polynóm s krokom vyšším ako n - 2. Opakovateľné mirkuvannya n - 1 krát (spoliehajúc sa na rešpekt, zlomyseľne s uvedením princípu matematickej indukcie),

Vďaka možnosti (22) to nie sú len tie s komplexnými číslami a1, a2,

Podstatou je koreň ryvnyannya (17) a tí, ktorí sú koreňom rivnyannya (17), sú hlúpi. Naozaj, ak číslo y je koreň rovný (17), potom s (22) ide bi

f (y) = (y - a1) (y - a2). ... ... (y - an) = 0.

Ale mi bachili (strana 115), ak sčítate zložitejšie čísla na nulu rovnakým spôsobom, ak je jeden z násobiteľov na prvom mieste na nulu. Tiež jeden z násobiteľov y − ar je 0, takže y = ar, čo musí byť nastavené.

§ 6.

1. Viznennya a výživa іsnuvannya. Akékoľvek číslo x sa nazýva algebraické číslo, bez ohľadu na to, aké je zrejmé, algebraické myseľ

Cieľ 130 MATEMATICKÝ ČÍSELNÝ SYSTÉM. II

de čísla ai tsіlі. Takže napríklad číslo 2 je algebraické;

x2 - 2 = 0.

Rovnaká hodnosť ako algebraické číslo є je koreňom toho, či sa rovná tretiemu, štvrtému, piatemu, či je svetové, a rovnako isto je to, či sa má váľať alebo nemotať medzi radikálmi. Pochopenie algebraického čísla je prirodzeným chápaním chápania racionálneho čísla, ako sa javí v kontexte n = 1.

Nie každé platné číslo je algebraické. Tse vyplya s ofenzívou, podporovanou Cantorom, teorémy: bez všetkých čísel algebry rakhunіv. Oskilki nezmyselné všetky platné čísla nie sú úmyselné, potom je povinné obviňovať platné čísla, ktoré nie sú algebraické.

Napríklad jedna z metód na výmenu ľubovoľných algebraických čísel. Pre typ pleti (1) vhodný počet

h = | an | + | an-1 | + ... ... + | a1 | + | a0 | + n,

ako sa tomu hovorí sila tuhosti "vstotoyu" rivnyannya. Pred kožou pevná hodnota n je menšia ako číslo rovnakého typu (1) s výškou h. Koža z takýchto ryvnyans je maє yaknaibilshe n korene. To nemusí platiť pre počet algebrických čísel, ktoré môžu byť vygenerované rovnakými číslami h; Všetky čísla algebry môžu byť tiež zakorenené v pohľade na ich posledné prerozdelenie, pretože sú generované rovnakým číslom 1, niekedy - číslom 2 atď.

Celý dôkaz nadradenosti nealgebraických čísel potvrdí, že ľubovoľné čísla sú nealgebraické. Takéto čísla sa nazývajú transcendentálne (v latinčine transcendere - prejsť, prevrátiť); tak naymenuvannya їm dáva Eiler, takže smrad "prevrátenie namáhanie metód algebry."

Cantorov dôkaz transcendentálnych čísel nemožno vystopovať ku konštruktívnym. Teoreticky je možné vytvoriť transcendentálne číslo po dodatočnom diagonálnom postupe, ktorý sa má vykonať nad explicitným zoznamom desiatok rozložení všetkých algebraických čísel; Takýto postup bol však zbavený akéhokoľvek praktického významu a neviedol by k tomu, že by sa za nás dalo napísať číslo, ktoré by sa dalo rozšíriť na desiatky ďalších. Naybіlsh tsіkavі problémy, zviazané s transcendentálnymi číslami, pole v dôkaze o tom, že existujú špecifické čísla (kde čísla p a e, o takých div. Side. 319-322) sú transcendentálne.

** 2. Leeuwilova veta o konštrukcii transcendentálnych čísel. Dôkaz o myšlienke transcendentálnych čísel pred Cantorom podal J. Liuvilem (1809–1862). Vono umožňujú konštrukciu takýchto čísel. Liuvilov dôkaz je dôležitejší ako Cantorov, ale nie je úžasný, len si postavím zadok, zdanlivo sa pozriem, zložím a dám dnu. Návod pod dôkazom Liuvilya, maєmo na pohľad pripraveného čitateľa, rád by som preukázal úplnú znalosť elementárnej matematiky.

Yak viyaviv Livill, iracionálne algebraické čísla skrývajú túto silu, ale smrad sa ani s veľkou presnosťou nedokáže priblížiť k racionálnym číslam, akoby len nebral štandard zlomkov, ale prehliadal.

Je prípustné, aby číslo z bolo vyhovujúce pre algebru s množstvom funkcií

ale nie je spokojný s takou úrovňou nižšieho stupňa. Todi

Zdá sa, že x samotné je počet algebier triedy n. Takže za nič,

číslo z = 2 je počet algebier z kroku 2, takže je vyhovujúce pre úroveň x2 - 2 = 0 pre krok 2, ale nie pre úroveň pre prvý krok; číslo z = 3 2 - krok 3, preto je v poriadku pre nižší krok Algebraické číslo stupňa n> 1

nemôže byť racionálne, pre to racionálne číslo z = p q vyhovuje

zadovolnyaє úroveň presnosti qx - p = 0 krok 1. Kožné іiracionálne číslo z môže byť s akýmkoľvek stupňom presnosti aproximované nad rámec dodatočného racionálneho čísla; tse znamená, že vždy môžete zadať posledné z racionálnych čísel

p 1, p 2,. ... ...

q 1 q 2

s nie je obklopený zrostayuchey bannery, scho Volodya tím-

scho, scho

p r → z. qr

Leeuwilova veta stverdzhu: ak počet algebier z stupňa n> 1 neexistuje, nemôže byť blízko k

dokončiť veľké zástavy poslušnosti

Poukážeme na dôkazy teorémov, ale už skôr sa ukázalo, že okrem toho môžu existovať aj transcendentálne čísla. Číslo je viditeľné

z = a1 10-1! + a2 10-2! + a3 10-3! + ... ... + am 10 − m! + ... ... = = 0, a1 a2 000a3 00000000000000000a4 000.. ... ,

de ai označujú niektoré číslice od 1 do 9 (najjednoduchšie bulo pre všetky ai sa rovná 1) a symbol n! ... ... · N. Charakteristická sila desiatej distribúcie takého počtu є tí, ktorí sú skupinami, ktorí rýchlo vyrastú pre svoj vlastný život, zergyuyutsya v nových s okremian číslami, ktoré sú ako nula. Zrejme cez zm, koniec tucta dribov, ako sa dá vstať, ak sú všetci členovia v distribúcii až do rána · 10 − m! vrátane. Todi otrimaєmo nezrovnalosť

Je prípustné, aby z bol boolovský počet algebier triedy n. Todi, vazhayuchi v Liuvilových nezrovnalostiach (3) pq = zm = 22:00! , moja vinná matka

| z - zm | > 10 (n + 1) m!

pri dosiahnutí najvyšších hodnôt m. Oprava zostávajúcich nezrovnalostí v dôsledku nezrovnalostí (4) áno

hviezdy ďalšie (n + 1) m! > (m + 1)! - 1 za dosiahnutie veľkého m. Nie je správne pre hodnoty m väčšie ako n (nečítajte čitateľovi s podrobným dôkazom). Mi šiel superhlava. Číslo z je opäť transcendentálne.

Je príliš neskoro priniesť Leeuwillovu vetu. Je prípustné, aby z bolo číslo algebry stupňa n> 1, ale uspokojivo rovné (1), takže

f (zm) = f (zm) - f (z) = a1 (zm - z) + a2 (zm2 - z2) +. ... ... + an (zm n - zn).

Diljachi urazil časti na zm - z, ktoré sa riadia algebraickým vzorcom

u n - v n = un − 1 + un − 2 v + un − 3 v2 +. ... ... + uvn − 2 + vn − 1, u - v

ma otrimuєmo:

Keďže zm je pragmatické pre z, potom keď veľké m dosiahne racionálne číslo zm, bude sa javiť od z menej o jednu. Na dosiahnutie veľkého m môžete urobiť takýto hrubý odhad:

N | an | (| z | +1) n − 1 = M, (7)

navyše, pravotočivé číslo M vždy stojí za to, kurz na z sa v tomto procese nezmení Viberemo je teraz skvelý

zlomok z m = p m menovateľ q m bolshim, nizh M; Todi qm

Okrem toho je možné b iz polynóm f (x) pozri multiplikátor (x - zm), і, tiež, z spokojný s rovnakým krokom nižšieho spodného n. Otzhe, f (zm) 6 = 0. Ale číslo v pravej časti rovnosti (9) je tiež číslom і, tiež je podľa absolútnej hodnoty drahšie ako jedno. Teda hodnosť od vzniku spoločenského dňa (8) a (9)

rovnaký sklad zm_st určený teorémami.

S predĺžením posledných desiatich rokov, ešte viac príležitostí na aproximáciu algebraických čísel, racionálne, pretlačili vzdialenosť. Napríklad nórsky matematik A. Tue (1863–1922) zistil, že Liouvilleova nepravidelnosť (3) má exponent n + 1, ktorý možno nahradiť menším exponentom n 2 + 1.

Siegel ukazuje, že je možné prijať najmenej (najmenej

pre väčšie n) exponent 2 n.

Transcendentálne čísla sú založené na téme, pretože si prinútim úctu matematikov. Až niekedy nedávno uprostred dňa, ako tsikavi mocnými silami, už neexistoval taký transcendentálny charakter toho, čo by sa ustanovilo. (Presah čísla p, o tom, ako sa nachádza v časti III, potom kvadratúra kolíka za dodatočnou čiarou a kompasom.)

problémy, ale priznajte jednoduchú formuláciu, deyakі - navіvіm elementárne a populárne, pre ktoré to nielenže nebolo porušené, ale navіt a neprišlo s dobrou, ale dobrou kvalitou matematiky tejto éry. Tsi „Hilbertove problémy“ poskytli silnú stimulačnú injekciu pokroku pokročilého obdobia rozvoja matematiky. Akokoľvek sú dovolené všetky smrady krok za krokom a v bagatechu jesene je zmena spojená s jednoznačným úspechom v zmysle vysielania stále väčších metód. Jeden z problémov, ktorý sa snažil ukončiť beznádejne, zapadol

dokázať, že číslo

є transcendentálne (chi hocha b іracionálne). Keď som sa naťahoval na tri desať rokov, nemohol som tento druh jedla zaťažiť pred jedlom z mojej strany, akoby som mal nádej na úspech. Zreshtoyu, Zigel I, mladý ruský matematik A. Gelfond predstavil nové metódy na dokázanie transcendencie bagatochu

čísla, čo môže byť hodnota matematiky. Zokrema, bulo je nastavené

transcendencia Hilbertovho čísla 2 2 a celku na dosiahnutie veľkej triedy čísel tvaru ab, de a je algebraické číslo, pozri 0 a 1, a b je iracionálne algebraické číslo.

DOPLNENIE K ROSDIL II

Algebra mnohých

1. Zagalna teória... Pochopenie triedy, sukupnosti a bezmocných predmetov sú jednou z najzákladnejších matematiky. Bezlich byť uznaný aktom moci ("atribút") A, ktorý je vinný buď matkou, alebo nie matkou z analýzy kože ob'єkt; že silu A možno vnímať ako silu osoby A v tom, že nám bude „odpustené“, potom sa zdá, že bezmocnosť A sa skladá z 5 jednoduchých čísel 2, 3 ,. ... ...

Matematická teória je veľa, pretože je možné nastaviť nové čísla pre dodatočné operácie spevu (možno predtým, pretože čísla za dodatočnými operáciami skladania a násobenia zahŕňajú nové čísla). Vivchennya operácií s množnými číslami sa stáva predmetom „algebry množných čísel“, pretože je veľmi špirálovitá s jednoduchou numerickou algebrou, ktorá chce byť z nej vidieť. To, že metódy algebry môžu ustrnúť až do zavedenia nečíselných objektov, ako napr

veľký duch myšlienok v modernej matematike. Hodinu to zostalo, že upadla do zabudnutia, ale algebra je veľa svetla v bohatom galuseu matematiky, napríklad v teórii mieru a teórii imperialít; Pri systematizácii matematikov je tiež dôležité pochopiť logické súvislosti.

Nadal si predstavím deyak po mnohých predmetoch, povahe takého baiduzhu a ako to môžeme nazvať univerzálnym súborom (aka universum mirkuvannya) a

A, B, C,. ... ... bude ako podnásobok I. Ak I je počet všetkých prirodzených čísel, potom A, povedzme, môže znamenať bez všetkých párových čísel, B - bez všetkých nepárových čísel, C - bez všetkých prvočísel atď. oblasť, potom A môžu byť voľné body v strede stávky, B - voľné body v strede stávky atď. prvkov. Meta, ktorá bola predĺžením prenesená na rovnaký kus, bola postaraná zachovaním tejto polohy, ale sila deyaku je znázornená množstvom prvkov z I, ktoré budú volodyuyuyu silu. Ak je A є univerzálne víťazná sila, ktorej pažbou možno poslúžiť (rovnako ako o číslach), sila uspokojenia triviálnej vyrovnanosti x = x, potom sa zdá, že sila I bude silou kože. , veľmi malé; Zo strany, ak A є, ak existuje vnútorná superzrozumiteľná sila (pre xtalt x 6 = x), potom sa zdá, že nie je potrebné pomstiť sa žiadnemu z prvkov, je „prázdny“ a znamená to symbol.

Zdá sa, že mnohé A є podnásobky B, kratšie, „A vstúpia do B“ alebo „B sa pomstia A“, pretože mnohé A nemajú taký prvok, pretože pre mnohých B neexistuje ani bi.

A B alebo B A.

Napríklad bez čísla A všetkých celých čísel, ktoré možno predĺžiť o 10, є násobok neobmedzeného počtu všetkých čísel, ktoré môžu byť 5, takže ako číslo vzhľadu, ktoré môže byť 10, môže trvať aj 5. maє mіsce і tie y іnshe, teda

Znamená to, že prvok pokožky A є hodina vody je prvok B a späť, toľko A a B má nahradiť jeden z tých istých prvkov.

Spіvіdnoshennya A B mіzh v mnohých ngadu spіvіdnoshennya a 6 b mіzh v číslach. Zokrema, evidentne skĺzol-

tieto orgány:

1) A.

2) Ak AB і BA, potom A = B.

3) Ak AB a BC, tak AC.

Dôvody vzťahu AB sa nazývajú „v dobrom stave“. Hlavnou myšlienkou analýzy analýzy vzťahu medzi počtom detí a 6b medzi číslami poľa je, že ak sú obe rovnaké čísla daných (rôznych) čísel a a b, je nie je nezvyčajné nosiť lekciu, než je menej analogickej tvrdosti je nesprávne. Napríklad, ak A є bezlich, ktoré možno sčítať z čísel 1, 2, 3,

a B je násobiteľ, ktorý možno sčítať z čísel 2, 3, 4,

potom neexistuje žiadna komunikácia medzi A B, žiadna komunikácia B A. Existuje veľa dôvodov povedať, že A, B, C,. ... ... množné číslo I є "čiastočne v poradí", do poradia čísel a, b, c,. ... ...

Potvrďte "úplne objednaný" sukupnist.

Je to skvelé, aj keď je to hodnota podielu A B ďalej, je to tak, ak nedôjde k zvýšeniu násobnosti A množiny I,

Sila 4) to môže byť niekedy paradoxné, aj keď, ak si to dobre premyslíte, je to logicky suvoro v závislosti od presnej zmeny významu znaku. Spravodlivosť, nahlásenie len A poškodené b

v K tomu vipadku, kedze vela prazdneho miesta zabral prvok, ktory neuberie z A; Ak sa nemôžete pomstiť za prázdne prvky, potom nemôžete, ako keby A.

V súčasnosti sú dôležité dve operácie s násobkami, ale formálne sa od algebraických autorít vyžaduje, aby pridali tento násobok čísel, pretože chcú pre svoju vnútornú múdrosť vidieť pohľady z cyklov aritmetiky. Nechajte A a B - ako dva veľa. Za "logický súčet" A a B bezmyšlienkovite, zásobiť sa tichými prvkami, rád sa odohráva v A resp

v B (vrátane prvkov і ті, ktoré sa nachádzajú v A a B). Mnohé Qi sú známe ako A + B. 2

Medzi dôležité mocniny algebry prevažujú operácie A + B a AB. Čitateľ môže prehodnotiť spravodlivosť samotných operácií:

Revízia všetkých týchto zákonov je napravo od najjednoduchšej logiky. Napríklad pravidlo 10) štatút, že neexistujú žiadne prvky, že nie je potrebné A, alebo napríklad A bez A; pravidlo 12) štatút, že tam nie sú žiadne tiché prvky, ako sa dostať preč v A a zároveň ujsť buď B, alebo C, dostať sa bez problémov preč, ako, alebo len jednu hodinu, v A a B, pri dokazovaní podobného druhu pravidiel sa ručne ilustruje, čo je možné vidieť bez obrázku A, B, C,. ... ... pri pohľade na figúrky na námestí a budeme si za ten čas ešte viac vážiť, aby nám neunikli všetky logické možnosti, ale zistíme, ak pôjdeme po samozrejmosti vonkajšie prvky dva z mnohých, buď navpaki, prejavy v jednom súbore prvkov, ktoré sa v iných neuskutočňujú.

Čitateľ, šialene, brutálne rešpektovanie tých zákonov 6), 7), 8), 9) a 12) nazval to isté so známymi komutatívnymi, asociačnými a distributívnymi zákonmi pravekej algebry. Znie to ako pravidlá špeciálnej algebry, ako pravidlá algebry, ako pravidlá algebry. Nawpaki, zákony 10), 11) a 13) neexistujú žiadne analógie špeciálnych algebier a vôňa algebry má veľa jednoduchých štruktúr. Napríklad binomický vzorec v algebre možno vynásobiť najjednoduchšou paritou

(A + B) n = (A + B) (A + B). ... ... (A + B) = A + B,

ako viplivay іf právo 11). Zákony 14), 15) a 17) hovoria o tých, ktorí majú moc mnohých a ja sa podľa vzťahu pred operáciami sčítania tej násobnosti ešte viac podobám sile čísel 0 a 1 podľa vzťahu pred operácie s počtom prídavkov. Ale zákon 16) nemá v numerickej algebre obdobu.

V algebre množiny existuje hodnota dátumu ešte jednej operácie. Nerobiť A - ak existuje mnohopočetnosť univerzálnej množiny I. Todi zo sčítania A v I, musí byť pre všetky prvky I bezvýznamné, pretože sa neuskutočňuje v A. Pre mnohopočetnosť je zadá sa hodnota A0. Takže, ak som bez všetkých prirodzených čísel a A je bez všetkých prvočísel, potom je bez problémov A0, ktoré sa dá sčítať zo všetkých skladových čísel a čísla 1. Operácia prejsť z A do A0, pre ktorú existuje nemá analógiu v starovekých algebrách, moc:

23) A00 = A.

24) Mzdy A B Ekvivalentné mzdy B 0 A0.

25) (A + B) 0 = A0 B0. 26) (AB)o = A0 + B0.

Prepísať cich úradov, viem, nadaєm readachev.

Zákony 1) -26) sú základom algebry množín. Zapáchajte zázrakom sily „dvojníka“ v útočnom zmysle:

Dokonca aj v jednom zo zákonov 1) – 26) nahradiť jeden typom

(v koži їх vstup), potom ako výsledok opäť príde jeden z týchto zákonov. Napríklad zákon 6) transformovať na zákon 7), 12) - v 13), 17) - v 16) tenký. púčik. , "Dvіyna" їy veta, ako prejsť od prvej k ďalším hodnotám permutácií symbolov. Spravdі, fragmenty dôkazu

Cieľ. II ALGEBRA množín 139

Prvá veta je vybudovaná z posledného štádia sveta (v raných štádiách sveta, ktorý sa vykonáva) z aktov zo zákonov 1–26, potom z uloženia „dvoch“ zákonov do skladu dôkazov. „dvoch“ viet. (K pohonu takého „dvojníka“ v geometrii div. Rozdil IV.)

2. Stagnácia matematickej logiky. Revízia zákonov algebry mnohých pravidiel na základe analýzy logického zmyslu vzťahu A B a operácie A + B, AB a A0. Teraz môžeme dokončiť proces skúmania zákonov 1) – 26) ako základu pre „algebru logiky“. Presnejšie povedané: tá časť logiky, keďže je jej veľa, alebo sa na ňu môžete zo samotnej podstaty samotnej sily predmetov pozerať, sa dá zredukovať na formálny algebraický systém založený na zákony 1) – 26). Logický "chytrý allsvit" viznachaє bezlich I; Sila pokožky A je pôvodom bezmocnosti A, ktorá je vybudovaná z tichých predmetov v I, ktoré môžu byť bezmocné. Pravidlá pre prenos konvenčnej logickej terminológie do jazyka mnohých zrozumeli z

Algebraické výrazy majú množinu slabík „Barbara“, čo znamená „ak každé A є B a každé B є C, potom každé A є C“

3) Ak AB a BC, potom AC.

Podobne, "zákon zákazu", čo je stverdzhu, ale "ob'єkt nemôže byť voloditický naraz a nie volodya deyako power", napíšte na viglyad:

20) AA 0 =,

a "Zákon tretieho zapnutý", čo znamená, že "objekt je vinný buď matkou, alebo nie matkou proti moci deyak", napíšte:

19) A + A0 = I.

Teda tú časť logiky, ktorá je z hľadiska symbolov odlišná, +, · і 0, možno interpretovať ako formálny systém algebry usporiadaný podľa zákonov 1) –26). Na základe zla logická analýza matematiky matematická analýza v logike sa etablovala nová disciplína - matematická logika, aká je, v procese boorish development.

Z axiomatického hľadiska mi patrí úcta k zázračnému faktu, že 1) –26 sa zároveň pomocou algebrických viet mnohých dá logicky oprieť o postupujúce tri skutočnosti:

27) A + B = B + A,

(A + B) + C = A + (B + C),

(A0 + B0) 0 + (A0 + B) 0 = A.

Zdá sa, že veľa algebry môže byť motivovaných ako fundamentálne deduktívna teória na základe euklidovskej geometrie na základe týchto troch pozícií, ktoré možno použiť ako axiómy. Ak sú axiómy akceptované, potom operácia AB a dodávka A B začína v podmienkach A + B a A0:

Volanie je pažbou matematického systému, v ktorom sú stanovené všetky formálne zákony algebry, je dané systémom ôsmich čísel 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30: tu platí a + b pre,

Hodnota v najmenšom násobku a і b, ab - na domovskej stránke pre najväčšie číslo a і b, a b - firma "b prejdite na a" a a0 - číslo 30 a. Su-

Objav takýchto aplikácií vyvolal vývoj cudzích algebraických systémov, ktoré sa uspokoja so zákonitosťami 27). Takéto systémy sa nazývajú "Booleovské algebry" - na počesť Georgea Boolea (1815-1864), anglického matematika a logika, ktorého kniha "Vyšetrovanie zákonov myslenia" vyšla v roku 1854.

3. Jeden zo stasosuvanov k teórii imperialít. Algebra mnohých je najbližšia teórii definícií a umožňuje novému svetlu, aby sa na ňu pozrel. Ľahko pochopiteľný, ale najjednoduchší zadok: veľmi jasný experiment kvôli nekonečnému množstvu možných dedičstiev, pretože všetky sa dajú minúť ako "nežravo". Experiment môže spočívať napríklad v tom, s ktorým dobre zamiešam kartu nová paluba... Aj keď mnohé zo všetkých výsledkov v experimente sú významné prostredníctvom I a A znamená podnásobok I, potom skutočnosť, že sa zdá, že výsledok experimentu leží na podnásobku A, je

p (A) = počet prvkov A. počet prvkov I

Pokiaľ počet prvkov, ktoré možno nájsť v množine A, možno označiť n (A), potom je možné použiť zostávajúcu rovnosť

Myšlienky algebry sa prejavujú pri výpočte hodnôt tých, ak je možné poznať hodnoty niektorých čísel, pri výpočte ich hodnôt. Napríklad, ak poznáte hodnotu p (A), p (B) a p (AB), môžete vypočítať hodnotu p (A + B):

Nie je dôležité priniesť cenu. Moje maєmo

n (A + B) = n (A) + n (B) - n (AB),

Kmity prvkov, ktoré možno nájsť jednu hodinu v A a B, takže prvky AB sa použijú dve, keď sa vypočítajú súčty n (A) + n (B), a preto je potrebné vziať n (AB ) z celej sumy, keď sa spočítajú sumy B) buv je správne. Nech malí uraziť časť vlastného imania na n (I), nebudeme akceptovať vzťah (2).

Tsіkavіsha vzorec ísť, ako keby ísť o tri sady A, B, C z I.

p (A + B + C) = p [(A + B) + C] = p (A + B) + p (C) - p [(A + B) C].

Zákon (12) z prvého bodu nám dáva (A + B) C = AC + BC. Zvidsy viplyaє:

p [(A + B) C)] = p (AC + BC) = p (AC) + p (BC) - p (ABC).

Vzhľadom na predtým uznanú hodnotu p [(A + B) C] a hodnotu p (A + B), vezmite z (2), prichádzame k požadovanému vzorcu:

p (A + B + C) = p (A) + p (B) + p (C) - p (AB) - p (AC) - p (BC) + p (ABC). (3)

Yak zadok možno vidieť útočný experiment. Tri čísla 1, 2, 3 by mali byť napísané v ľubovoľnom poradí. Koľko je to, že berieme jednu z číslic, aby sa vzťahovala na správnu (v zmysle číslovania) správu? Nech A є bezliché permutácie, pre ktoré má číslo 1 hodnotu ako prvé rôzne, B sú bezliché permutácie, pre ktoré má číslo 2 hodnotu ostatné, C sú bezliché permutácie, pre ktoré má číslo 3 hodnotu ako tretie. Musíme vypočítať p (A + B + C). Zrozumilo, scho

p (A) = p (B) = p (C) = 26 = 1 3;

zmysluplne, ak je číslica na správnom mieste, potom dvoma spôsobmi preusporiadame sito dvoch číslic z čísla 3 · 2 · 1 = 6 možných permutácií troch číslic. dal,

Správny. Zistite vzorec pre p (A + B + C + D) a počkajte na experiment, v ktorom je osud 4 číslice. Veľkosť cesty je 58 = 0,6250.

Zagalnaya vzorec pre definíciu n viacnásobnej ma viglyad

combinatsiyam, scho pomsta raz, dva, tri,. ... ... , (n - 1) písmená z číslic A1, A2,. ... ...

An. Rovnaký vzorec môže byť vytvorený za dodatočnou matematickou indukciou - takže vzorec (3) bol odvodený zo vzorca (2).

Zo vzorca (4) je možné vytvoriť vzory s n číslicami 1, 2, 3,. ... ... n napísané v akomkoľvek poradí, potom je pravdou, že jedno z čísel sa vzťahuje na správne miesto,

navyše pred posledným členom je znak + alebo -, zvazhayuchi na tých, ktorých є n sú nespárovaní chlapci. Zokrem, pre n = 5

p5 = 1 - 2! + 3! - 4! + 5! = 30 = 0,6333. ... ...

Na razdіlі VIII mi pobachimo, ale ak n pragno nessіnchnostі, viraz

1 1 1 1 Sn = 2! - 3! + 4! -. ... ... ± n!

pragne mezhi 1 e, čo znamená yakogo, s piatimi znakmi napísanými Komi,

jedna 0,36788. Oscilácie zo vzorca (5) možno vidieť, že pn = 1 - Sn, potom je jasné, že v n → ∞

pn → 1 - e ≈ 0,63212.