Kіltsya bohato členité. Kіntsі polia, založené na kіltsy s bohato členitými kіltsі s bohato členitými vіdnієї zminnoї nad poľom.
Ďalej budeme brať do úvahy iba bohaté pojmy s koeficientmi z oblasti čísla K (kruh bez nulového deliča sa nazýva oblasť čísla), potom z kruhu K, v ktorý výrobu dvoch prvkov možno pripočítať k nule, napríklad jeden zo stĺpcov k nule. Tse zavzhdi bude nadávať na uvazi, navit yakscho nebude špeciálne rozoberané.
Pri pridávaní bohatšie definovaného štádia n je toto štádium m starším členom, ako je to vo vzorci (2), pokročilejším (koeficient ce at). Keďže v kіltsі nie sú žiadne nuly, potom otzhe, . Z našej mirkuvannya takto plačúc
Vzorec Tsya є objasnená nerіvnostі (5) pre vipadku, ak kіltsі K nemá nuly. Vzorec (6) je tiež platný, a to aj vtedy, ak sa jeden z bohatých členov f(x), g(x) alebo iný rovná nule. Preto je pridanie dvoch nenulových bohatých členov nenulovým bohatým členom, na to platí nasledujúca veta:
Veta 1
Dali sme algebraickú definíciu polynómu, aby sme nepomstili tie isté hádanky o funkciách. Tim nie je menší, s polynómom kože v oblasti hodnoty K môžete prirodzene prepojiť funkciu priradenú ku K a hodnote K.
No tak - bohatý člen koeficientov K. Nech je to čokoľvek, je to možné
de viraz v pravej časti sa chápe ako výsledok operácií na konci K. Oberzhuvannya, v ktorom sa prvok nazýva hodnota polynómu f (x) v bode x0. (Slovo "bod" sa používa ako analógia s bodom poklesu, ak x0 môže byť reprezentované ako bod na dynamickej osi) Týmto spôsobom je prvku skinu x0 cyklu K priradený prvok f (x0) rovnaký cyklus a je mu priradená funkcia na K s hodnotami K.
Ukáže sa, že sčítanie tohto množstva bohatých pojmov sa vykonáva najvýznamnejšími operáciami, ktoré sa vykonávajú na funkciách, ak sú sčítané, alebo, samozrejme, hodnoty funkcií sú znásobené v bode kože. .
Pozrime sa na dva polynómy: , . Nech h(x) = f(x) + g(x) – їх súčet. Môžeme dokázať, že h(x0) = f(x0) + g(x0) pre čokoľvek. Podľa vzorca (1) = , de, čo bolo potrebné priniesť.
Pridajme teraz polynómy f(x) a g(x). Pozrime sa, čo pre niekoho. Vynásobme ekvivalenciu, . Koristuyuchis sila operácií v kіltsі K (zokrema, komutatívne a asociatívne násobenie), berieme: , de. Vyrovnanie odobraného výsledku vzorcom (2) umožňuje rast chumáčikov, ktoré.
V tomto poradí funkcia, ktorú predstavuje súčet (prakticky doplnkových) dvoch bohatých členov, je súčtom (prakticky doplnkových) funkcií, ktoré predstavujú títo bohatí členovia.
Zdá sa, že podobnosť medzi polynómami a ich funkciami nie je vzájomne jednoznačná. Keďže však kruh K nie je nekonečný, potom rôzne polynómy z kruhu K [x] musia mať vždy rôzne funkcie.
prednáška 14
Nech K - deyake komutatívne zazvoní.
Vymenovanie.Štandardný bohatý člen (alebo polynóm) je stupeň jedného podstatného X nad komutatívnym kruhom K sa nazýva virázová myseľ
Prvky sa nazývajú koeficienty polynómu. Všetky smrady alebo niektoré z nich môžu byť nulové.
Kanonický tvar polynómu (23) je definovaný týmto spôsobom.
Vieme najviac, tak čo, povedz a zapíš
Stupeň polynómu sa nazýva číslo tak, ako je.
Ak ide všetko na nulu, potom je kanonický tvar polynómu 0. nulový bohatý termín. Vstúpiť nultý termín neznámy.
Stupne polynómu sú označené (digri).
Úhor závisí od toho, koľko faktorov leží, sa líši chodidlo tipi bohatí členovia:
· S boolovskými koeficientmi;
· Z celočíselných koeficientov;
· S rečovými koeficientmi;
· S racionálnymi koeficientmi;
· S komplexnými koeficientmi.
No tak ja - dva bohaté pojmy:
Vymenovanie. Bohaté segmenty a ešte viac či menej, ak v niektorých prípadoch proteo іnshі, rovná nule.
Vymenovanie.
Z vznamu bohatstva bohato artikulovanho vyplivaє:
1. Nutričný termín je len taký dobrý ako nulový nutričný termín.
2. Pre nenulové bohaté výrazy
žiarlivosť to znamená
Rešpekt. Vlastné imanie bohatých členov, označených takouto hodnosťou, znamená rovnaký alebo formálne ekvivalencia za ekvivalenciu bohatých členov ako funkciu.
Významná je absencia všetkých polynómov vo forme zmeny x s rečovými koeficientmi.
Na neosobných polynómoch vo forme zmeny x so zmenami reči sú priradené dve algebraické operácie - pridávajú sa k tomu množstvo bohatých pojmov.
Nech mám dva bohato členené kroky a kroky.
Vymenovanie. Súčet dvoch bohatých členov sa nazýva bohatý člen
Z pohľadu sumi bohato artikulované:
1. Pre každého bohatého člena
2. Pre nenulové bohaté termíny a
t.j. operácia sčítania viacerých členov a algebraická operácia na viacerých členoch všetkých polynómov.
Vymenovanie. Doplnková zlúčenina dvoch bohatých členov a nazýva sa bohatý člen
Rešpekt. Subsumovuvannya
sa vykonáva pre všetky indexy i a j, pre i+j=k.
Nasleduje množstvo bohato definovaných pojmov:
1. Vytváranie nenulových bohatých členov môže byť samo o sebe nulové
2. Yakscho teda tobto. multiplicita polynómov je operácia algebry na multiplikátoroch.
3. Operácia násobenia polynómov s rečovými koeficientmi generuje operáciu násobenia polynómu počtom násobkov polynómov. Yakscho niečo
Veta. Množina všetkých polynómov s koeficientmi є komutatívny z osamelosťі bez nulových rozšírení.
Prinášanie. Prehodnoťme axiómy kiltov.
1. je aditívna abelovská skupina. Komutativita a asociativita skladania sú zrejmé (2). Nula je nulový bohatý výraz. Protilezhnym (reverzibilné) na polynóm є bohatý termín.
2. - monoid (jednoskupina).
2.1. komutatívnosť množné číslo je zrejmé.
2.2. Prinášame asociatívnosť množného čísla.
Pozrime sa na twіr bohato
Vrakhovuyuchi šo
operácia násobenia bohatých výrazov - asociatívne.
2.3 Úloha singla vo viacerých viacčlenných
zadok. Zadajte do úlohy dva polynómy s booleovskými koeficientmi, tj. .
Sumoyu bohatý termín є bohatá termínová myseľ:
a stvorenie je bohatým členom:
Dá sa ukázať, že operácia násobenia multitermov je asociatívna, a tiež multitermy vznikajú operáciou násobenia skupiny a že táto skupina je komutatívna.
Višňovok. Bohaté členy s mnohými koeficientmi vytvárajú komutatívny kruh. Je možné ukázať, že bohaté vetné členy s racionálnymi, rečovými a komplexnými koeficientmi tiež zakladajú správne okruhy bohatých vetných členov. Musíme hovoriť o „kruhoch polynómov nad kruhom.
Zocrema, tsikh kіlets je možné vyvinúť teóriu deliteľnosti, podobne ako teória deliteľnosti celých čísel.
Qi obruče odobrali názov kruhu ideálov hlavy. Daj - krúžok celistvosti s jednotou - komutatívny krúžok bez dilníka nuly, pre toho, kto rozumie pravému a ľavému dilníku živlu, sa im vyhýba. Význam deliteľnosti prvkov tohto kruhu možno formulovať takto:
Vymenovanie. Pokiaľ ide o prvky počtu hodnôt v krajine, existuje taký prvok, ktorý sa potom zdá, že prvok je rozdelený na a písať alebo písať, resp.
Z hľadiska deliteľnosti dvoch prvkov je sila deliteľnosti v krajine civilizácie vyjadrená takto:
Počet mocnín je rozšírenie na kruhu čísel v prípade mocnín deliteľnosti v kruhu čísel.
5. Kožný prvok sa delí na to, či ide o dilníka jedinej osoby. Pravda, yakscho je dilnikom osamelosti, tí sú tiež dilnikom osamelosti, ale tse znamená, sho, todi d, otzhe.
6. Ak sa delí na, tak sa delí aj na, de be-akýsi dilnik samoty.
Pravda, zo žiarlivosti vibruje žiarlivosť a neskôr.
7. Kožený prvok z dilnikіv i de - či už je to dilník jednej osoby, dilník tej.
Pravda, žiarlivosť vyžaruje žiarlivosť, to sa rovná žiarlivosti. Otzhe, yakscho, potom navpaki.
Nadalі razglyadimemo prvky kіltsya tsіlіsnostі, vіdminnі vіd zero.
Vymenovanie. spolupracovníkov, dokonca aj koža z nich є dilnik іnshoy:
S vyrovnanosťou (55) kričí, scho. Zvіdsi, keď sme skrátili urážky časti získanej horlivosti, vezmeme to. Otzhe, є dilnikami sám. V takej hodnosti, ako i - združujúce prvky, potom de - deaky dilnik osamelosti. Z druhej strany, ktorú bi mi nevzal dilnik samoty, živlov a spoločníkov medzi sebou, čriepky.
Vymenovanie. Prvky celistvosti sú tzv spolupracovníkov, Yakshcho , De - Delnik sám.
zadok. Majú kіltsі qіlih čísla spolupracovníkov є stávkové čísla.
Yakshcho a súvisiace prvky cyklu integrity teda. Zvіdsi viplivaє, scho - hlavný ideál, generovaný prvkom, є submultiple - hlavný ideál, generovaný prvkom a navpaki:
Tse znamená, že dva súvisiace prvky, kruh integrity, vedú k tomuto hlavnému ideálu.
No tak - dovіlnі elementi kіltsya tsіlіsnostі.
Vymenovanie. Prvok sa nazýva horúci dilnik prvkov a spravidla sa koža z týchto prvkov delí na.
Pre silu 5 všetkých dilnikov rovnakého kіltsya tsіlіsnosti є zagalnymi dilniks prvkov, ktoré. Ale, v prvkoch môžu byť ďalšie spálne. Dovoľte nám predstaviť chápanie najväčšieho spacieho dilníka (NDD) z týchto prvkov. Označenie GCD dvoch celých čísel, ktoré sa GCD nazýva najväčší zo spální, nie je možné rozšíriť na kіlїsnosti, pretože v dosť veľkej krajine bezúhonnosti netreba robiť poriadok. Je však možné zaviesť aj ďalšie označenie GCD dvoch čísel i a samotného: GCD dvoch čísel i, nazýva sa taká postupnosť týchto čísel, ktorú možno rozdeliť na akúkoľvek inú ich postupnosť. Samotné označenie GCD a rozširuje prvky kruhu integrity.
Vymenovanie. Najväčším horúcim dilnikom dvoch prvkov kruhu integrity je taký prvok, ktorý je označený symbolom a môžu to byť dve sily:
Rešpekt. Došlo mi, že zároveň od úradov 1., 2. nech je s tým spojený živel. Pravda, yakscho - prvky GCD, potom sa formálne zaznamenáva ako yak. Yakscho і, potom prvky a rozdeliť do seba і, tiež, є spolupracovníkov. Z druhej strany, yakscho, potom, samozrejme, de - byť-akýmsi dilnikom osamelosti. V tomto rangu je GCD prvkov definovane presne po bod multiplikatora, co je dilnik jednotlivca.
Kvôli tejto úcte k autoritám 1., 2. Najväčší spiaci dilník je uvedený takto:
Sila 6. vám umožňuje rozšíriť chápanie GCD o pomerne veľkom počte prvkov cyklu integrity.
Analogicky so zavedením dvojitého chápania najnižší nadávkový násobok prvky rovnováhy integrity, určené do bodu asociácie a môžu to byť aj dve právomoci:
Zokrema, vvazhuchi, otrimuemo, scho.
Veta. Ako sú prvky kіltsya tsіlіsnostі іsnuyut і. Todi
Prinášanie. Pevnosť a) žiari bez stopy. Na dôkaz b) je potrebné prehodnotiť, že prvok, význam rovnosti, mocnina 1., 2. GCD. Pravda, s, otzhe, zvіdki pіdki skorochennya na, prípustné be-yakom kіltsі іlіsnostі, snáď, tobto. . Podobne tobto. . Cim priniesol moc 1. Dokázať moc 2. Jasné. Poďme na to. Todі - divoký násobok prvkov i. Vіdpovіdno to yakosі deyakogo, zvіdki, tobto. a že bolo potrebné priniesť.
Vymenovanie. Prvky celistvosti sa nazývajú vzájomne jednoduché, akoby mohol páchnuť smrad ospalých samotárov, osamelosti atď. ako NOD.
No tak - dobrý dilnik osamelosti, to je dobrý prvok kruhu integrity. Todі z umowi viplivaє, scho. Tse znamená, že všetky prvky sú spojené s prvkom a všetky dilníky sú rovnaké ako dilníky prvku. Їx meno triviálne alebo nejasný elementov dilnikov. Všetci dilníci vo vіdminnі vіd і, ako aj rovnakým spôsobom, sa nazývajú netriviálne, alebo Počkaj elementov dilnikov.
zadok. V kіltsі qіlih čísla triviálne dilnikami číslo 10 є číslo i , a netriviálne - číslo i .
Vymenovanie. Prvok celistvosti sa nazýva nevylúčiteľný, ale odpusťme, pretože to nie je dilnik osamelosti a nemôže existovať netriviálny dilnikiv; prvok sa nazýva skladací alebo skladací, ako keby existovali netriviálne prípady.
Inými slovami, prvok sa nazýva skladací, pretože je možné ho dať na vytvorenie dvoch netriviálnych dilnikov; element - sa nazýva nezničiteľný, takže jogu nemožno vidieť v dvoch netriviálnych prípadoch.
zadok. Pre kіltsі qіlih čísla nerozložiteľné є čísla tobto. jednoduché čísla a protilezhnі odpustíme. Všetky ostatné dátumy sú vіdminnі vіd, - Roskladnі.
Neoddeliteľné prvky môžu byť také silné:
· Ak je prvok kruhu integrity nerozložiteľný, potom ak je s ním nejaká asociácia, prvok je tiež nerozložiteľný;
· Yakshcho - dovіlny prvok kіltsya tsіlіsnostі, a - nerozšíriteľný prvok z, potom buď delíme, alebo i - vzájomne jednoduché prvky z.
Rozhodne, prvá sila vibruje bez sprostredkovateľa so silou rozdeľovania 7 prvkov jadra integrity. Takýmto spôsobom sa privedie ďalšia sila. Ako GCD, potom ako dilnik neskladacieho elementu, je to bud deakim dilnik jedinej osoby, alebo element mysle. Pre prvý typ sú prvky vzájomne jednoduché, pre ostatné - rozdelené na ., čo dáva možnosť vidieť - prsteň s jednoznačnými rozloženiami, potom z rovnosti a urážok je rozloženie viac ako poradie jednoduchých prvkov, v bezpečí, možno ako dvojníci vlkolakov. chi s neodvolateľný sled bulo b , tobto . , čo je nemožné, črepy sa rovnajú nerozoznateľnému. CIM priniesol jednoduchosť prvkov 3 a .
Encyklopedický YouTube
1 / 5
✪ +38. Prsteň bohatých členov
✪ Teória bunky | prstene bohatých členov 1
✪ Teória prstenca a poľa 7. Prsteň bohato členných. Nie je daný bohatým členom. Rozšírenie poľa
✪ Prsteň bohatých pojmov nad faktoriálnym krúžkom. Pochopenie poľa
✪ +41. Bohaté segmenty ako kіlce
titulky
Bohaté segmenty v jednom zminnoy nad poľom
bohatý
Bohatý člen vyhliadka X s koeficientmi pre pole k- tse viraz myseľ
p = pmxm + pm − 1 xm − 1 + ⋯ + p 1 x + p 0 , (\displaystyle p=p_(m)x^(m)+p_(m-1)x^(m-1)+\ cdots+p_(1)x+p_(0),)de p 0 , …, p m - prvky k, koeficient p, ale X, X 2, ... - formálne symboly („krok X"). Tento spôsob myslenia sa dá pridávať a znásobovať podľa skvelých pravidiel kutilstva algebraická viráza(Komutivita skladania, distributívnosť, redukcia podobných členov atď.). členov p k X k s nulovým koeficientom p k v hodine nahrávania zvuk stíšiť. Vikoristovuyuchi symbol sumi, bohato napísaný v kompaktnejšom vzhľade:
p = p m x m + p m − 1 x m − 1 + ⋯ + p 1 x + p 0 = ∑ k = 0 m p k x k. (\displaystyle p=p_(m)x^(m)+p_(m-1)x^(m-1)+\cdots +p_(1)x+p_(0)=\sum _(k=0 )^(m)p_(k)x^(k).)Prsteň bohatých členov
Ľahko bachiti, scho bez mena k (\displaystyle k) Robím komutatívny prsteň, ktorý je označovaný k[x] (\displaystyle k[x]) a hodnosť krúžok z bohato členitého nad k (\displaystyle k) . Symbol x (\displaystyle x) začnite to nazývať „had“, terminológia vinylu je jasná polynomiálne funkcie vyššie R (\displaystyle \mathbb (R) ) alebo cez C (\displaystyle \mathbb (C) ). Avšak v zagalnom režime bohato artikulované a polynomické funkcie - celá reč; napríklad cez koncové pole F p (\displaystyle \mathbb (F) _(p)) z prvočísla p (\displaystyle p) prvkov u bohatých členov x 1 (\displaystyle x^(1))і x p + 1 (\displaystyle x^(p+1)) nastaviť jednu a tú istú funkciu, ale existujú rôzne bohaté členy (bohaté členy sa považujú za rovnaké alebo menšie ako rovnaké, ak majú všetky koeficienty). Otzhe, zmeň sa x (\displaystyle x) nemôže vstúpiť do poľa réžie k (\displaystyle k); o prsteň k[x] (\displaystyle k[x]) môžete uvažovať takto: k viacerým prvkom poľa pridáme nový prvok x (\displaystyle x) a navyše, že axiómy kіltsya a schob x (\displaystyle x) prepínanie z prvkov poľa.
Skaláre prvkov a počet bohatých výrazov možno vynásobiť skalármi z poľa k (\displaystyle k), je to vlastne asociatívna algebra nad poľom k (\displaystyle k). Ako sa pozerať k[x] (\displaystyle k[x]) jaka vektorový priestor(takže "zabudnite" na pluralitu), tam môže byť nevyčerpateľný základ prvkov 1 = x 0 (\displaystyle 1=x^(0)), x = x 1 (\displaystyle x=x^(1)), x 2 (\displaystyle x^(2)) atď.
Rozloženie v pohode k[X]
Chinnik kіltsya k[X]
L ≃ k [x] / (p). (\displaystyle L\simeq k[x]/(p).)Dôležité okremy vipadok - ak existuje kіltse, čo pomstiť k, samotné pole; zmysluplne joga K. Jednoduchosť faktorového modulu tým (p) (\displaystyle (p)) rovnako silná nevinnosť p (\displaystyle p). Veta k primitívnemu prvku tvrdí, že či už ide o Kіntseovu oddeliteľnú príponu, môže byť generovaná jedným prvkom, a preto sa môže pozerať na kruhový faktor polynómov v menšom poli pomocou neredukovaného bohatého člena. Ako zadok môžete preniesť pole komplexných čísel, napríklad vygenerované R prvok i, také že i2 + 1 = 0. Vidpovidno, bohatý člen X 2 + 1 neriadený nad Rі
C ≃ R [x] / (X2 + 1) . (\displaystyle \mathbb (C) \simeq \mathbb(R) [x]/(X^(2)+1).)Divokejšie, pre úplnejší (navіt nekomutatívny) prsteň Ačo sa pomstiť k ten prvok a kіltsya A, sho komtuє z usima prvkov k, іsnuє jednoduchý homomorfizmus kіletsz k[X] v A, čo zvládaš X v a:
ϕ : k[x] → A, ϕ(x) = a. (\displaystyle \phi:k[x]\to A,\quad \phi(x)=a.)Dôvod a jednota takéhoto homomorfizmu sa prejavuje pomocou univerzálnej sily kruhu bohatých pojmov a vysvetľuje „jedinečnosť“ kruhu polynómov v rôznych konštrukciách teórie kruhu a komutatívnej algebry.
Moduly
Množstvo bohato členitých v podobe množstva zmien
Vymenovanie
Bohatý člen vіd n zmeniť X 1 ,…, X n s koeficientmi pre pole K sa mení podobne ako polynóm vo forme jednej zmeny, ale hodnoty sa dajú zložiť. Pre akýkoľvek multi-index α = (α 1 ,…, α n), z kože α i- nenulové celé číslo, dajme tomu
X α = ∏ i = 1 n X i α i = X 1 α 1 … X n α n , p α = p α 1 … α n ∈ K . (\displaystyle X^(\alpha )=\prod _(i=1)^(n)X_(i)^(\alpha _(i))=X_(1)^(\alpha _(1))\ ldots X_(n)^(\alpha _(n)),\quad p_(\alpha )=p_(\alpha _(1)\ldots \alpha _(n))\in \mathbb (K) .\ )X α volal monomiálny krok | α | = ∑ i = 1 n α i (\displaystyle |\alpha |=\sum _(i=1)^(n)\alpha _(i)). Bohatý člen- posledná riadková kombinácia monotermov s koeficientmi K: ∑ α p α X α (\displaystyle \sum _(\alpha )p_(\alpha )X^(\alpha )).
Bohatí príslušníci druhu n meniť s koeficientmi poľa k(S najvýznamnejšími operáciami skladania a násobenia) vytvorte komutatívny kruh, ktorý znamená k[X 1 ,…, X n]. Tento prsteň môže byť odobratý bagatorazovannym zastosuvannym operáciou "pričom kruh polynómov cez tento prsteň". Napríklad, k[X 1 , X 2] izomorfne k[X 1 ][X 2], jak i k[X 2 ][X jeden]. Celý kruh hrá základnú úlohu v algebraickej geometrii. V komutatívnej algebre sa dosiahlo veľa výsledkov až do bodu zdokonalenia ideálneho kruhu a modulov nad ním.
Hilbertova nulová veta
Dekіlka zásadných výsledkov, ktoré stoja vo vzájomnom spojení medzi ideálmi krajiny k[X 1 ,…, X n] to algebraické pіdbagati k n vіdomі pіd spať im'yam Hilbertove nulové teorémy.
- (slabá forma, uzavretá algebra) Poď k- algebraický, uzavretý obor. Todi, či to bude maximálna іdeal m kіltsya k[X 1 ,…, X n] môže vyzerať
- (slabá forma, či už ide o pole koeficientov) Poď k- lúka, K- algebraický, uzavretý obor, čo sa pomstiť kі ja- Ideálne v kіltsi k[X 1 ,…, X n]. Todi ja pomstiť 1 v tom a len v tom prípade, ak je bohato artikulovaný ja nerob divokú nulu K n .
- (silná forma) Poď k- lúka, K- algebraický, uzavretý obor, čo sa pomstiť k, ja- Ideálne v kіltsi k[X 1 ,…, X n] ta V(ja) - algebraické podvedomie, K n pevne ja. Poď f- bohatý výraz rovný nule vo všetkých bodoch V(ja). Todі deaky stupіn fžiť podľa ideálu ja.
Polia Kіntsі sa dajú vyvolať zo zväzku bohato rozdelených čísel rovnakým spôsobom, ako keby sa polia vyvolávali zo zväzku celých čísel. Dovoľte mi mať prsteň bohato členitý F[x] nad ihriskom F. Len tak boli vyzvaní na zazvonenie Z, vodnozínový krúžok, môžete povzbudiť a vodnosínový krúžok F[x]. Vibelyuchi s F [x] dosť bohatý člen p(x), môžete pomenovať prsteň vіdnosin, vicorist p(x) ako modul pre úlohu aritmetiky celého kruhu. Sme posadnutí pohľadom na menej ako sugestívne bohatých členov, črepy obmezhennya vedia nevhodné bezvýznamnosť mysle.
Vymenovanie 2.4.1. Pre dosť namysleného bohatého člena p(x) nenulový krok nad ihriskom F sa nazýva neosobnosť všetkých polynómov nad F, ktorých kroky sú vybrané z kroku polynómu p(x), s operácie skladania a násobenia bohatých výrazov na modul p(x). Tse krúžok je akceptovaný, aby znamenal cez F(x)/(p(x)).
Doplnkový prvok r(x) kіltsya F[x] môžete si predstaviť prsteňový prvok PF[x]/(p(x)) pre pomoc r(x)-R P(X). Dva prvky a(x)і b(x) h F[x], sú mapované do jedného a toho istého prvku F[x]/(p(x)), sa nazývajú rovné:
a(x) = b(x)(mod p(x)).
Todi b(x)= oh)+Q (x) p (x) pre deyaky bohatého člena Q(x).
Veta 2.4.2.Anonymný F1х]/(р(х)) є kіltsem.
Prinášanie Dúfam, že čitateľ má pravdu.
Vibero v kіltsі bohato členité GF(2), napríklad bohatý výraz p(x)= x 3+1. Rovnaký okruh bohatých výrazov na modul p(x) jeden GF(2) [x] / (x 3 + jeden). Skladá sa z prvkov
{0, 1, x, x + 1, x 2, x 2 + 1, x 2 + x, x 2 + x + 1). V tomto kruhu je množné číslo víťazné, napríklad v tomto poradí:
(x 2 + 1) (x 2) = R x 3 + 1 ((x 2 + 1) (x 2)) = R x 3 + 1 ((x 3 + 1) x + x 2 + x) \u003d x 2 + x,
de vikoristano redukcia podľa pravidla x 4 = x (x 3+ 1) + X.
Veta 2.4.3.Okruh polynómov modulo indukovaný bohatý člen p (x) je rovnaké pole a iba vtedy, ak je bohatý člen p (x) jednoduchý Predpokladajme, že jednoduchý bohatý výraz je súčasne neindukovateľný a indukovateľný. Aby sme pole prinútili dokázať neredukovateľnosť p(x), podarilo sa nám pozrieť aj na polynómy, ktoré sú vzdialenejšie a výsledky sú menej závažného charakteru).
Prinášanie. Daj mi bohatého vtáka p(x) jednoduché. Aby sme priniesli, čo je prsteň, na čo sa pozerá, tvorí pole, stačí ukázať, že obal nenulového prvku môže byť multiplikatívnym výnosom. Poď s (X)-nejaký nenulový prvok prstenca. Todi deg s (X)< stupeň p(r). Oskіlki bohatý člen p(x) jednoduché, potom gcd = 1. Nasleduje 2.3.7
NID = 1 =a(x)p(x) + b(x) s(x)
pre niektorých bohatých členov oh)і b(x). Otzhe,
1 = R p(x)[ 1] = R p(x)= R p(x){ R p(x) indukuje polynómy q (nie presne súkromné) a r (prebytok) tak, že p = q * s + r, navyše buď r = 0 alebo deg (r)< deg(s). Если r =0 , то говорят, что s делит p (или является делителем p) и обозначают это так: s | p. Будем называть многочлен унитарным (или приведенным), если его старший коэффициент равен 1. Определение. Общим наибольшим делителем ненулевых многочленов p и s называется такой унитарный многочлен ОНД(p, s), что 1. ОНД(p, s) | p; ОНД(p, s) | s. 2. q | p, q | s q | ОНД(p, s). По определению, для ненулевого многочлена р со старшим коэффициентом а ОНД (р, 0) = ОНД (0, р) = р/а; ОНД (0, 0)=0. Аналогично определяется ОНД любого числа многочленов. Единственность ОНД двух многочленов непосредственно вытекает из определения. Существование его следует из следующего утверждения. Основная теорема теории делимости (для многочленов). Для любых двух ненулевых многочленов p и q над полем k можно найти такие многочлены u и v над тем же полем, что ОНД(p, q)= u*p+v*q. Доказательство этой теоремы очень похоже на приведенное в лекции доказательство аналогичной теоремы над Z. Все же наметим основные его шаги. Выберем такие многочлены u и v чтобы сумма w= u*p+v*q имела возможно меньшую степень(но была ненулевой!). Можно при этом считать w унитарным многочленом. Проверим, что w | p. Выполняя деление с остатком, получаем: p= s*w+r. Подставляя это равенство в исходное, находим: r = p - s*w =p - s*(u*p+v*q) = (1-s*u)*p+(-s*v)q = U*p + V*q . Если при этом r 0, то deg(r) Замечание. Используя индукцию, можно доказать, что для любого числа многочленов ОНД для подходящих многочленов. Более того, эта формула сохраняется даже для бесконечного множества многочленов, поскольку их ОНД в действительности является ОНД некоторого их конечного подмножества.
Dôsledok. Be-yaky іdeal іѕ kіltї bohato artikulované nad poľom є osnovnym. Pravda, povedzme p - OND všetkých polynómov, ktoré sú zahrnuté v ideáli I. Todi, de Pre účely ideálu sú hviezdy jasné, ktoré teda I = (p). Násobenie. Prineste pole do deyka, p, q, s sú bohato členené nad k. Ak p=q*s, navyše polynómy q a s môžu byť menšie, nižšie p, potom sa polynóm p nazýva pohonný polynóm (nad poľom k). V druhom prípade je p ireducibilné. Neredukovateľný bohatý člen v kruhu k[x] je analógom prvočísla v kruhu Z . Je pochopiteľné, že nenulový polynóm p= je možné rozšíriť na TV: p= *, kde všetky polynómy nie sú zmenšené nad k a môžu mať vyšší koeficient rovný 1. Dá sa dostať na rovnaký presný rád násobiteľov. Zrozumilo, medzi násobkami môžu byť rovnaké; takéto multiplikátory sa nazývajú násobky. Kombináciou viacerých faktorov môžete napísať rovnaké rozloženie takto: p = 0. Použiť. jeden.. Stojí za to rešpektovať, že bohaté podmienky prvého kroku nie sú redukované nad žiadne pole. Násobiteľ x є násobok, інші - jednoduchý. 2. Bohatý člen by nemal byť umiestnený nad poľom Q racionálnych čísel. Pre nás platí, že ()=(x-a)*q, po dosadení x=a za qi môžeme predpokladať: , čo je nemožné pre racionálne číslo a. Navodí sa rovnaký polynóm nad poľom R rečových čísel: , navyše, druhý multiplikátor má záporný diskriminant a nedá sa rozšíriť cez R . Nareshti, nad poľom C komplexných čísel je možné: , de = - odmocnina z 1. V takom prípade je možné pochopiť ovládateľnosť zdroja, takže nad takýmto poľom je možné vidieť polynóm. Sila bohatých členov, aby sa nedali navodiť. 1. Keďže ide o p-neredukovateľný bohatý člen i d = OND (p, q) 1, potom p | q. Pravda, p = d*s і tak deg(s)>0, aby sme prepočítali neredukovateľnosť p, і tak deg(s)=0, potom d | QP | q. 2. Ako p | i p nie je indukovateľné, ale p | chi p | . Pravda, inak gcd(p,) = gcd(p,) =1 a preto hlavné vety teórie nepravdivosti, hviezdy: tiež, potom gcd(p,)=1 i, tiež, deg(p)=0 .
