Криволинейната интеграция не стои по пътя на интеграцията. Независимостта на кривия интеграл от пътя на интегрирането на потенциалното поле на изчислението на кривия интеграл в потенциалното поле на изчисляването на потенциала в декартовите координати. Формула G.

Регионът се нарича монотонен; Областта се нарича n-лента, тъй като границите попадат в кратни на n-лента.

Уважение. Формула Grína vírna i за сложни зони.

За да се интегрират (A, B - подобни точки от D), без да се лежи начин на интеграция(И само от кочана и крайните точки A, B) е необходимо и достатъчно, независимо дали е затворено криво (от всеки контур) да лежи в D интеграл до нула = 0

Доказателство (задължително). Не позволявайте (4) да стои настрана от пътя на интеграция. Ясен контур C трябва да лежи в областта D и две вибрационни точки A, B по целия контур. След това кривата C може да бъде определена чрез комбиниране на две криви AB = G2, AB = G1, C = Г - 1 + G2.

Теорема 1. За да може кривият интеграл да не лежи по пътя на интегрирането в D, е необходимо и достатъчно

в област D. Достатъчност. Ако viconano, тогава формулата на Грина за всеки контур C ще Знаците на lemіdne, необходими за потвърждаване. Необходимост. За леми за всеки контур = 0. За формулата на Грийн за областта D, заобиколена от контур = 0. По теоремата ще нарисувам средната среда = mDіli == 0. Отивайки до границата, затягайки контура до точка, можем да видим тази точка.

Теорема 2. За да може кривият интеграл (4) да не лежи по пътя на интегрирането в D, е необходимо и достатъчно интегралната вибрация Pdx + Qdy да бъде разширена чрез диференциала на ефективната функция = u в областта + Д. Достатъчност. Хайде, виконано, това е необходимостта. Не позволявайте на интеграцията да влезе в пътя на интеграцията. Физическата точка A0 в областта D има значение за функцията u (A) = u (x, y) =

В целия випад

XÎ (xÎ). В такъв ранг, isnu се губи = P. По същия начин, за да бъде обърнат, scho = Q. Когато функцията е разбита, функцията u се появява без прекъсване - за да се разграничи и du = Pdx + Qdy.

32-33. Стойността на кривите интеграли от 1 -ви и 2 -ри род

Криволинеен интеграл по дъгата (1 -ви род)

Нека функцията f (x, y) бъде присвоена и непрекъсната в точките на дъгата AB на гладка крива K. Нека почти разделим дъгата на n елементарни дъги по точки t0..tn не lk от k частната дъга . Гледайки кожата елементарен дузи, точката N (k, k) и умножавайки точката със съответната точка. Дъгата може да се обобщи в три интегрални суми:

1 =f (k, k) lk 2 = Р (k, k) хk 3 = Q (k, k) yk, de хk = x k -x k -1, yk = y k -y k -1

Криволинейният интеграл на 1 -ви род по дъгата ще се нарича граница на интегралната сума 1 за дренажа, max (lk)  0

Ако границата между интегралната сума е 2 или 3, когато   0, тогава се извиква qya. Извит интеграл от 2 -ри род, функцията P (x, y) или Q (x, y) по кривите l = AB и означава:
или

чанта:
+
Прието е да се нарича загален криволинеен интеграл от 2 -ри род и да означава символ:
по същия начин f (x, y), P (x, y), Q (x, y) се наричат ​​интегрирани криви l = AB. Самата крива е l с контур или с път на интегриране A - кочан, B - крайна точка на интегриране, dl - диференциал на дъгата, като по този начин е извита интеграция на първи вид звезда. криволинеен интеграл според дуси крив, а от друг род - според функция ..

От стойността на кривата интеграция на vipliv, така че интегрирането от първия вид не лежи по никакъв пряк начин от А до В или от В и А, за да пробие крива l. Криволинеен интеграл от първи вид според AB:

, За извити интеграли от 2 -ри вид, кривата е права през кривата на кривата до промяната на знака:

Понякога, ако l е затворена крива, TET В един човек може да се измъкне от T. A, а след това от две възможни направо заобикаляне на затворен контур l се нарича положителен, че директно, ако областта лежи в средата на контура, много е лошо да се ядосвам преди ??? zdіysnyu obhіd, тоест директно в задната част на контра-годината. Protylezhniy zm_st заобикаляне на звезди - отрицателно. Криволинейният интеграл AB по затворен контур l ще се движи направо в товара чрез символа:

За просторна крива по подобен начин се въвежда 1 интеграл от 1 -ви вид:

и три интеграла от 2 -ри род:

торба с три останали интеграла от звезди. загална криволинейна интеграция от 2 -ри вид.

Deyaky добавки от криви интеграли от 1 -ви род.

1. Интегрално
- допълнителни дъги AB

2. Механичен смисъл на интеграла от първи вид.

Ако f (x, y) =  (x, y) е дебелината на линията на дъгата на материала, тогава нейната маса:

3. Координирайте до центъра на материалната дъга:

4. Моментът на инерция на дъгата е да лежи в областта, о, и кочанът на координатите и осите, обвивката, о, о:

5. Геометричен смисъл на интеграла от първи вид

Не позволявайте на функцията z = f (x, y) - размерът на джина f (x, y)> = 0 в трите точки на дъгата на материала да лежи в областта добре:

, De S - участъци от цилиндрична повърхност, кит, който да се съхранява перпендикулярно в зони окси, сх. в точките M (x, y) на кривата AB.

Deyaky добавки на крива интеграция на 2 -ри род.

Прогнозна площ на плоска площ D с кордон L

2. Роботът е силен. Не се притеснявайте за материала и очилата, преди да се преместят към непрекъснатия плосък крив самолет, директно от B до C, роботът е принуден да:

Viznachennya. Областта G, която е тривиална за пространството, се нарича повърхностно просто свързана. ако на който и да е затворен контур, ако лежите в цялата област, можете да разтегнете повърхността, да лежите изцяло в областта G. Например вътрешността на сферата или цялото тривиално пространство е на повърхността, просто свързани области; вътрешността на тора е или тривиално пространство и е включено в права линия, повърхностно несвързана с области, които не са. Отидете на повърхността монотонна област G на задачи за непрекъснато векторно поле. Теорема 9. За тази цел крив интеграл в полето на вектор и не лежащ по посока на интегрирането, а лежащ само в кочаните и върховите точки на пътя (A и B), е необходимо да има достатъчно закръгления вектор в областта G, нивото е нула. 4 Необходимост. Не го оставяйте, не се губете по пътя на интеграцията. Ще бъде показано, че има нула за всеки затворен контур L. Ясно видим затворен контур L в полето на вектора a е дори в нова точка A и B (фиг. 35). За ума на маемо - ризни шляхи, как да получите точно A и B yakraz и обратен застой! "Uti contour L. Достатъчност. Не бъдете за никакъв затворен контур L. Ще бъде показано, че интегралът не лежи по пътя на интегрирането. В полето на вектора a две точки A и B, За простота, може да бъдат преплетени с капка, ако линиите L \ и L2 не се преплитат. криволинеен интегралкъм пътя на интегриране Потенциално поле за изчисляване на кривия интеграл в потенциалното поле на изчисляването на потенциала в декартовите координати. Теорема 9 е необходима и достатъчна, за да може независимостта на кривия интеграл да образува път, но тя трябва да бъде важна за промяна. Вероятно по -ефективен критерий. Теорема 10. За да може векторното поле да не е вихрено, е необходимо и достатъчно, ако векторното поле не е без вихри. M) е повърхностно монотонно. Уважение. По силата на Теореми 9 независимостта на кривия интеграл от пътя на интегриране е равна на равна нула на оборота на капитала на тора и височината на всеки затворен контур. Циа ме заобикаля використично с представените теореми. Необходимост. Не позволявайте на извития интеграл да не лежи под формата на път, тъй като, добре, циркулацията на вектора, но по всеки затворен контур L, пътят е нулев. Todi t. E. В кожната точка на полето, проекцията на вектора гние и по всеки директен път към нула. Това означава, че самият вектор гние и във всички точки на полето е нула във всички точки на полето, Достатъчност. Достатъчността на (3), извлечена от формулата на Стокс, така че сякаш rot a = 0, тогава циркулацията на вектора по всеки затворен контур L ще бъде нула: Роторът на плоско поле ще ми позволи да формулирам теорема за плоско поле. Теорема 11. За крив интеграл в едносвързан плоско поле не лежа под формата на линия L, това е необходимо и достатъчно, за да може да се намери изпълнението на същото в целия регион. Ако регионът не е просто свързан, тогава посетителят мисли за него, очевидно няма да пренебрегне независимостта на извития интеграл от формата на линията. Задник. Интеграл на Nekhai Razglyanemo Ясно е, че интегралът viraz изглежда не е в точка 0 (0.0). Това е смисълът. В последната част на областта (ще има повече от една област на свързване!), Интегралът scho (6) лежеше под формата на пътя на интеграцията. § десет. Потенциално поле на стойност. Полето на вектора a (M) се нарича потенциал, както и скаларната функция i (M) е такава, че функцията i (M) се нарича потенциал на полето; нейните повърхности се наричат ​​еквипотенциални повърхности. тогава spivvidnoshennya (1) е по -мощен от трите скаларни равенства: Страхотно е, че потенциалът на полето се оценява от точността до постоянното допълнение: ако не, е постоянно число. Приложение 1. Полето на радиус вектора r е потенциално, така че се приема, че потенциалът на полето на радиус вектора е от същия. Приложение 2. Векторното поле е потенциално. Нека функцията е такава, каквато е известна. Тоди и звезди Това означава - потенциалът на полето. Теорема 12. За това, повече от вектор, той е потенциален, необходим и достатъчен, трябва да е без вихър, тоест роторът трябва да може да се движи до нула във всички точки на полето. В същото време непрекъснатостта на всички частни стари на координатите на вектора a и повърхността на едносвързаната област, в която задачите на вектора a, се прехвърля без прекъсване. Необходимост. Необходимостта да се мисли (2), за да се установи без посредственост: тъй като полето е потенциално, тоест поради независимостта на по -старите в реда на диференциация. Достатъчност. Нека векторното поле е без намотка (2). За да донеса потенциала на това поле, ще индуцирам неговия потенциал i (M). Измийте (2) вода, така че извитият интеграл да не лежи под формата на L линия, а само в кочана и крайните точки. Ще намалим фиксираната точка и крайната точка Mu, z). Интегралът на Todi (3) ще бъде функция на точка. Poznachimo Qiu funktsіyu чрез w (М) и dovedemo Scho Nadalі ще zapisuvati іntegral (3) vkazuyuchi Lishe Pochatkova че kіntsevu висока точка път іntegruvannya, Rіvnіst rіvnosilno trom скаларна уравнения Nezalezhnіst krivolіnіynogo іntegrala OD високо път іntegruvannya Potentsіyne поле Obchislennya krivolіnіynogo іntegrala в potentsіynomu polі Obchislennya potentsіalu в декартови координати На първо място можем да внесем други и трети равенства по същия начин. Поради стойността на неясен мамо, се вижда точка близо до точката.Така че като функция и (M), тя трябва да започне от връзка (4), в която извит интеграл не лежи в посока на интеграция, тогава тя ще вибрира така. Todi Zvidsi Ostanniy Integral се приема от мола като права линия MM), успоредна осОх. Като цяло, в качеството на параметъра, е възможно да се вземе координатата x: Zastosovyuchi до интеграла в дясната част (6), теоремата ще опише средната среда; От формулите (7) се приема, така че поради непрекъснатата функция можем да я приемем. Векторът не е поле е потенциален todi и само todі, ако интегралът на кривата линия не лежи по новия начин. Изчисляване на криволинейния интеграл в потенциалното поле Теорема 13. Интеграл в потенциалното поле a (M) диференциалната стойност на потенциала и (M) полето в потенциалното поле кочани точкикъм начина на интеграция, По -рано беше обявено, че функцията е потенциалът на областта. В едно потенциално поле кривият интефал не лъже като гадост от интефирования. Том, вибрирайки пътя от M \ до точка M2, така че да преминем през точката Afo (фиг. 38), ще можем да разпознаем пътя в първата стъпка вдясно, така че потенциалът на полето започва от точното разстояние до поста Потенциалът на видяното поле може да победи рекордите на зрителя de s - postyna. Ще заменя проблемите с формула (10) и можем да използваме формулата Приложение 3, за да съответстваме на потенциала v (M) .В приложение 1 е показано, че потенциалът на полето на радиус вектора r е функция de - отидете от точката до кочана на координатите. Изчисляване на потенциала в декартови координати Nekhai предвид потенциално поле По -рано беше показано, че потенциалната функция „(M) може да бъде известна от формулата Integral (11). Y, z) Lamano, Lankan и паралелни координатни оси. В същото време само една координата се променя върху кожуха на ламано, което позволява просто да се опрости изчислението. Наистина, по пътя M0M \ maêmo: На път. Малка. 39. На път. Otzhe, потенциал dorivnyuê de - координатите на точката на потока в Lankan Lamanoi, където се извършва интеграцията. Приложение 4. Приведете векторното поле към неговия потенциал и познайте неговия потенциал. 4 Обратим, ако полето на вектора a (Af) е потенциално. Роторът на полето се изчислява. Mahmo Pole е потенциал. Потенциалът на полето е известен от допълнителната формула (12). Погледнете точката на кочана L / o кочана на координатите O (така че я извикайте, ако полето a (M) е приписано на кочана на координатите). Todi otrimaєmo Otzhe, de s - dovilna postyna. Потенциалът на цялото поле може да бъде познат по различен начин. За стойностите потенциалът и (x, y, z) е скаларна функция, за която gradu = a. Tse вектор rívnіst rívnosilno trom скаларни уравнения: Интегруючи (13) по отношение на x, otrimaєmo de - dovílna funktsіya scho diferenciyuêtsya og yip Различаване по отношение на y: Nezalezhníst krivolíninoyingoynínínínínínínínínínínínínínínínínínínínía Декартови координати След интегриране (17) по отношение на y, е известно, че функцията е z. Изпращайки (18) до (16), можем да го видим. Диференциран баланс на равенство no z и с поглед към спорта (15),

Явно крива интеграция от 2 -ри вид, де L- крива, която е свързана с точка Мі н... добра функция P (x, y)і Q (x, y)Май без прекъсвания в личната история в региона д, Като цяло лежи крива L... Показателно е, че при всякакъв вид извитият интеграл не лежи под формата на криво L, И само от зародиша на точките Мі н.

Проведени две значими криви MPNі MQNДа лежи в района ди аз приемам смисъла Мі н(Фиг. 1).

М нМалка. 1. P

Приемливо, scho, tobto

Тоди, де L- затворен контур, сгъваем от криви MPNі NQM(Отже, можеш да ги уважаваш). С такъв ранг, умовете за независимостта на извития интеграл от 2-ри вид от начина на интегриране-баня, също толкова важно е да се мисли, че такъв интеграл по всеки затворен контур е нула.

Теорема 1.Отидете до всички точки на региона дбез прекъсване на функциите P (x, y)і Q (x, y)и техните частни стари и. Todi, за да може да затвори цикъла LДа лежи в района д, Виконувалася умова

Необходимо и достатъчно, но = във всички точки на региона д.

Доведення .

1) Достатъчност: най umova = viconano. Ясно видим затворен контур LВ зоната д, Ще гранича с района С, Мога да напиша формулата на Грин за новата:

Отже, достатъчността е донесена.

2) Необходимост: Разбира се, умът на Виконан в областта на кожата д, Ale знам, искам една точка от целия регион, в която - ≠ 0. Nekhai, например, в точката P (x 0, y 0)-> 0. Така че, тъй като в лявата част на неравностите, функцията varto не е еднаква, тя ще бъде положителна и повече от δ> 0 в някаква малка област D`, Покажете отмъстителната точка R... вече,

Zvidsi по формулата Grína otrimuêmo, scho, de L`- контура, който ще заобикаля района D`... Целият резултат е да бъде затрупан от ума. Отже, = във всички точки на региона д, добре и е необходимо да се донесе.

уважение 1 ... Аналогичен ранг за тривиално пространство може да бъде донесен с необходимите и достатъчни умове за независимостта на кривия интеграл

от интеграцията на пътя е:

Уважение 2. На визовете на умовете (28 / 1.18) viraz Pdx + Qdy + Rdzе Преразгледайте диференциала на функцията deyakoї і... Tse ви позволява да увеличите изчислението на извития интеграл до стойността на разликата ів края на линията и върху кочаните точки на контура

С широка функция іможете да знаете зад формулата

de ( x 0, y 0, z 0)- зона z точка д, а ° С- добър пост-живот. Лесно преместване, лесно накланяне, частни стари функции і, Дадено от формулата (28 / 1.19), нива P, Qі R.

Дайте плоско векторно поле. Ще разрешим надбавки за функциите на P и Q без прекъсване наведнъж за техните деца и в региона. За района

Възможно е да се видят две точки в областта G и две точки. Точките могат да бъдат направени с различни линии, но лежат в областта на извития интеграл.

Така например, извитият интеграл

и две точки. Интегралът е номериран, в Перше мостът е право напред, който е от точката А и В, и с други думи, свързването на параболичната дъга е от точката. Правилата на Zastosovyuchi за изчисляване на крив интеграл, ние знаем

а) uzdovzh vidrizka

б) преодоляване на параболичната дъга:

В такъв ранг, mi bachimo, че смисълът на извития интеграл е в посоката на интегриране, т.е. точки yesє една и съща стойност, равна.

Вземете задника, за да покажете как кривите интеграли, номерирани зад малките пътеки, където има две точки, в някои випади, различни от себе си, а в някои випади да приемат едно и също значение.

Не отивайте A и B - две точки от областта G. Кривите са ясни, но лежат в областта G и затварят точки A и B.

Дори и да е крив интеграл, за помощта на един от цих благородниците приемете едно и също значение, тогава кажете: „Няма да легна по пътя на интеграцията“.

В началото на двете теореми умът е индуциран, с всяка криволинейна интеграция, той не лежи на пътя на интеграцията.

Теорема 1. За да има извит интеграл в определена област G, без да се отклонява по пътя на интегрирането, е необходимо и достатъчно да се интегрира по всеки затворен контур, който лежи в цялата област и ще отиде до нула.

Доставено. Достатъчност.

Нека вземем интеграл по затворен контур, начертан в област G, до нула. Показано е, че интеграцията не пречи на интеграцията. Наистина, не позволявайте на A и B две точки да лежат в G зоната.

Показано е, че дъгите образуват затворен контур Z, ще разгледам силата на извити интеграли,

така яко. Ale за измиване на яко, интегрирано в затворен контур.

Отже, за такъв ранг, кривата интеграция не пречи на интеграцията.

Необходимост. Не отивайте в областта G крива интеграция, за да не очертаете пътя на интеграцията. Може да се покаже, че интеграл по всеки затворен контур, който лежи в цялата област, е нула. Вярно е, че ясен затворен контур трябва да лежи в областта G и дори върху нови две точки A и B (раздел. Фиг. 257). Тоди

така яко за измиване. Също така интегралът по всеки затворен контур L, който се намира в областта G, е нула.

Теоремата е крачка напред, дайте ръка за практическото викторианско мислене, когато хванете някаква крива интеграция, не очертавате пътя на интеграцията.

Теорема 2.

За да бъде крива, не е необходимо и достатъчно да се интегрира интеграцията в област с една връзка, но е необходимо и достатъчно в скин точката на централния регион.

Доставено. Достатъчност. Не влизайте в областта Ще бъде показано, че извитият интеграл по всеки затворен контур L, който се намира в областта G, е нула. Майданчикът се вижда, аз ще бъда заобиколен от контур L. Поради монотонната област G, майданчикът трябва да бъде напълно оформен. При представянето на формулите на Остроградски-Грина зокрем, на Майдан, Тому и отже. Също така интегралът по всеки затворен контур L в областта G е нула. Въз основа на теореми 1 тя е стабилна, но кривата интеграция не пречи на интегрирането.

Необходимост. Не позволявайте на кривата интеграция да тръгне по пътя на интеграцията в региона Q. Ще бъде показано, че във всички точки на региона

Приемливо ръководство, т.е. E. Scho в точката deyak_y на региона Nehay за стойността. По силата на предположението за приемствеността на личните стари хора и развитието, ще има непрекъсната функция. Също така, близо до точката е възможно да се опише числото a (което се намира в областта G), във всички точки, където, както и в точката, разликата ще бъде положителна. Застосуем на клада формулата на Остроградски-Грина.