Третият интеграл в цилиндричните координати на дупето. Изчисляване на цената на интеграла. Извити координатни системи. Какво означава да броим интеграла на трета страна и

Не отивайте за две прави координатни системи в пространството и
, I система от функции

(1)

как да се установи взаимно недвусмислена връзка между точките на определени региони
і
в qix координатни системи. Допуска се, че функциите на системата (1) може да са в
без прекъсване на частните трупи. Картодържател, съхранение на частни стари

,

се наричат ​​якобиански (известен още като якобиански) на системите и функциите (1). Ще го пуснем
v
.

В случай на бракониерство с недохранена храна, е въведена нова формула за замяна на зимите в потребителската интеграция:

Як и във времената на подинтеграла, еднозначността на системата (1) и ума
могат да бъдат порести по краищата на точките, по ръбовете на линиите и по ръбовете на повърхностите.

Система от функции (1) кожни точки
поставете една точка в края
... Три числа
извикайте извитите координати на точката ... сочи към отворено пространство
, За която една от живите координати zberіgaє трайно стойност, настройте sov. координатна повърхност.

II Вторичен интеграл в цилиндрични координати

Цилиндричната координатна система (CSK) се основава на площта
, Полярната координатна система е дадена в yakіy
, Перпендикулярно на областта. Цилиндрични координати на точка
, де
- полярни координати на точката - проекции окуляри на площада
, а - цялата координата на проекционната точка безплатно
или
.

Близо до района
Въведен от променливия ранг на декартовите координати,
CSK. Сега не е много важно да се определят формулите, които наричат ​​цилиндричните координати с декартовите:

(3)

Формулите представят цялата област
.

Координатните повърхности в този изглед ще бъдат:

1)
- цилиндрични повърхности с плътни, успоредни на оста
, Което ще ви насочи да обслужвате залога в района
, С център в точки ;

2)

;

3)
- площ, паралелна площ
.

Якобианска система (3):

.

Първоначалната формула под формата на CSK се приема като:

уважение 1 . Препоръчва се да се премине към цилиндрични координати, ако областта на интегриране е верига от кръгли цилиндри или конус, или параболична обвивка (или част), при което цялата структура се формира от приложението
.

Уважение 2. Цилиндричните координати могат да бъдат скрити по същия начин като полярните координати в областта.

Приклад 1. Изчислете интеграла на трета страна от функцията

по региони
, Която е вътрешната част на цилиндъра
, Заобиколен от конус
и параболичен
.

Решение. Регионът qiu също беше разгледан в §2, зад 6 и беше отведен към стандартния запис в DPSK. Изчисляването на интеграла в целия регион обаче е важно. Да отидем на CSK:

.

проекция
тила
на площада
- tse colo
... Отже, координирай промяна от 0 на
, а - от 0 до R. Чрез определена точка
извършва се право, успоредно на оста
... Отидете направо към
на конус и на парабола. Але конус
може в CSK ниво
, Параболоид
- ривняня
... Отже, маем

III Вторичен интеграл в сферични координати

Сферичната координатна система (SSC) е
, В yak_y е зададен UCS, и vіssu
, Перпендикулярна площ
.

Координати на сферични точки дайте място на три числа
, де - полярен разрез на проекцията на точката върху областта
,- кут между виссю
i вектор
і
.

Близо до района
въведе декартови координатни оси
і
най -високият ранг, а приложението на върха е
... Формулите за извикване на сферични координати с декартови са:

(4)

Формулите изобразяват площта върху цялото пространство
.

Якобиански системи и функции (4):

.

Координатните повърхности имат три семейства:

1)
- концентрични сфери, центрирани върху кочана на координатите;

2)
- pivploshini, scho преминават през въжето
;

3)
- кръгли конуси с върха на координатите, които служат за окачване
.

Формулата за преход към SSK в интеграцията на потребителите:

Уважение 3. Препоръчва се да преминете към SSK, ако областта на интеграция е краят на която и да е част. На същото ниво на сфери
отидете на. Yak i CSK, гледано по -рано, SSK е "вързан" за оста
... Като център на сферата на замествания по радиуса на координатната ос, тогава най -простата сферична настройка се разпознава, когато оста
:

Уважение 4. Не може да се използва за SSK:

с якобианците
... Системата от функции Qia превежда електронна поща

в "паралелепипед"

Приклад 2. Познайте средната точка на радиуса на охладителя отидете в центъра.

Решение. Nagadaєmo, средната стойност на функцията
В зоната
- множество полезни интегрирани функции в областта на снабдяването на общата зона. Нашата випадку

Отже, маем

Прераждане на подинтеграла от правоъгълни координати, към полярни координати
, Повязанах с праволинейни координати
,
, Потърсете формулата

Интеграция на региона на Якшо
заобиколен от два откоса
,
(
), Които излизат от полюсите и две криви
і
Тогава субинтегралът се изчислява по формулата

.

Приложение 1.3.Пребройте площта на фигурките, заобиколена от тези линии:
,
,
,
.

Решение.За изчисляване на площта на региона
бързо по формулата:
.

възможна зона (Фиг. 1.5). За много реконструирани криви: , , , . Нека преминем към полярни координати: , . . В полярните координатни системи областта описано от rívnyannyi:

.

1.2. интеграция на потребителите

Основните степени на третите интеграли са аналогични на степента на подчинените интеграли.

V Декартови координатиИзползвайте интеграция на трета страна, за да я запишете така:

.

Якшо
, Това е третият интеграл в региона числено доривню обсягу тила :

.

Изчисляване на потребителския интеграл

Нека регионът да се интегрира затворени отдолу и отгоре с очевидно недвусмислени ненарушени повърхности
,
, И проекцията на региона на координатна площ
е плоска площ
(Фиг. 1.6).

Тоди с фиксирани стойности тип приложения точки от региона промяна в границите. Тоди отримуемо: . Yaksho, освен това, проекцията започнете с нередности , , de - недвусмислено без прекъсване функции на , тогава

.

Приложение 1.4.броя
, де - тило, заобиколен от области:

	, , , ( , , ). Решение.Областта на интеграция е пирамида (фиг. 1.7). проекция на площ е триколка , Преплетени от прави линии , , (Фиг. 1.8). в прилага точки доволен от нередностите , че .
	Разставящи межи интеграция за триколка , отримаемо

Третият интеграл в цилиндрични координати

При тръгване от декартови координати
към цилиндрични координати
(Фиг. 1.9), плетени с
spivvidnoshennymi
,
,
, освен това

	, ,, Полезен интеграл за повторно изпълнение: Приклад 1.5.Изчислете дължината на тялото, заградено с повърхности: , , . Решение.Шуканий обсяг тила врата .
	Областта на интегриране е част от цилиндъра, граничеща с област отдолу , И над района (Фиг. 1.10). проекция на площ е colo центриран върху кочан от координати и един радиус. Нека преминем към цилиндрични координати. , , ... в прилага точки , Доволен от нередности за в цилиндрични координати:

регион
, Заобиколен от крива
, Nabude viglyadu, abo
, Pri ts'omu polar kut
... Имайте чанта maêmo

.

2. Елементи на теорията на полето

Нагадамо пред начина на изчисляване на криволинейни и повърхностни интеграли.

Изчисляването на кривия интеграл за координатите на функциите, стойностите по кривите , Тя е изградена до изчисляване на певческия интеграл към ума

якошо крив зададено параметрично
vidpovidaє кочанкрив , а
- нейните кинцеви точки.

Изчисляване на повърхностния интеграл от функцията
Определен върху двустранна повърхност , Той е изграден до изчисляване на подинтеграла, например във формата

,

повърхност на Якшо , Дадено на rivnyannyam
, Недвусмислено проектиран за района
към региона
... тук - kut mízh единичен нормален вектор към повърхността аз видя
:

.

Умът се нуждае от дясната страна на повърхността Той се инициира от вибратора от типа на формулата (2.3).

Стойност на бизнеса 2.1. векторно поле
се нарича векторна функция на точката
едновременно с района й visashennya:

вектор извън кутията
характеризира се със скаларна стойност - разминаване:

Стойност на бизнеса 2.2. поток векторно поле
по повърхността се нарича повърхностен интеграл:

,

de - един нормален вектор към противоположната страна на повърхността , а
- скаларни вектори на добавки і .

Стойност на бизнеса 2.3. циркулиращ векторно поле

На затворен криво да се нарече крив интеграл

,

de
.

Формула на Остроградски-Гаус Ще инсталирам връзките между потока на векторното поле през затворена повърхност и разминаване на полето:

de - повърхност, заобиколена от затворен контур , а - един нормален вектор към цялата повърхност. Право нормално може, но е подджено с директен байпас на контура .

Приложение 2.1.Пребройте повърхностния интеграл

,

de - името на частта от конуса
(
), Район Vidsіkati
(Фиг. 2.1).

Решение.повърхност недвусмислено проект в района
■ площ
, I интегралът се изчислява по формула (2.2).

Единичен вектор, нормален към повърхността знаем от формула (2.3): . Тук виразът за нормално има знак плюс, така че як кут между виссю и нормално - глупаво аз, същото, виновен, но отрицателен. Vrahoyuchi scho , на повърхността отриммо

регион
е colo
... Към това, в последния интеграл, преминаваме към полярни координати, с
,
:

Приложение 2.2.Знайте дивергенцията и ротора на векторното поле
.

Решение.За формула (2.4) вземаме mo

Роторът на дадено векторно поле е известен с формулата (2.5)

Приложение 2.3.Знайте причината за векторното поле
през част от района :
, Розташован в първия Октант
).

	Решение.По силата на формула (2.6) . Явно част от района : , Розташовану в първия Октант. Rivnyannya на дадената област във vidrizki maê viglyad (Фиг. 2.3). Нормалният вектор към областта на координатата ma: , Единичен нормален вектор
	. . , , звезди , Отже,

de
- проекция на площта На
(Фиг. 2.4).

Приложение 2.4.Изчислете потока на векторно поле през затворена повърхност , Произведено от района
аз съм част от конуса
(
) (Фиг. 2.2).

Решение.Скористаемося по формулата на Остроградски-Гаус (2.8)

.

Знаем дивергенцията на векторното поле по следната формула (2.4):

de
- конус obsyag, за yakim се интегрира. Скористаемося, използвайки формулата за изчисляване на непристойността на конуса
(- радиусът на конуса, - його висота). Нашата випадку ще бъде разпозната
... остатъчен

.

Приложение 2.5.Пребройте циркулацията на векторно поле
по контура , Osvіchenіy peretin над повърхността
і
(
). Преоценете резултата за формулата на Стокс.

Решение.Перетин на значителни повърхности е обиколка
,
(Фиг. 2.1). Vibiratsya направо около заобикаляне, така че района е заобиколен от гняв. Записваем параметричен контур :

звезди

и параметъра промяна от преди
... За формула (2.7) с уравнения (2.1) и (2.10) можем да изведем

.

Застосуемо сега формулата на Стокс (2.9). Як повърхност , Изпънати по контура , Можете да вземете част от района
... направо нормално
до центъра на повърхността, използвайте директен байпас на контура ... Роторът на даденото векторно поле на изчисления в приложение 2.2:
... Тираж на Том Шукана

de
- площ площ
.
- колонен радиус
, звезди

Консумирани интеграли. Изчислено обсягу тила.
Третият интеграл в цилиндрични координати

Три дни в декана, лежащ в гащите на Питагор,
В ръцете на Fikhtengolts има малък обем,
До негър те завързаха трети интеграл и увиха труп в матрица,
И заменете молитвите на нахаб, като прочетете теоремата на Бернули.

Консумирани интеграли - тези, от които не можете да се страхувате =) Ако прочетете текста, тогава, shvidhe за всичко, теория и практика на "zychanykh" интегралии също подинтеграли... И там, вторично, не далеч и далеч:

На първо място, от какво да се страхувате? Интеграл по -малко, интеграл повече ...

Отивам да напиша:

- икона на потребителски интеграл;
- пидинтегрална функция на три зими;
- диференциал на tvir.
- област на интеграция.

Особено за региони на интеграция... Якшо в подинтеграленспечелен е плоска фигура, Тогава тук - простор тило , Yake, Як vidomo, заобиколен от bezlichchyu отгоре... Такъв ранг, с изключение на вината за вина, в основните повърхности отворено пространствои има прости прости столове.

Деяки журилис, розумию .... За съжаление статията може да бъде озаглавена „Полезни интеграли за чайници“ и често е необходима за благородството. И няма нищо ужасно - целият материал на Vicladeno е в гранично достъпна форма и трябва да бъде усвоен по най -добрия начин!

Какво означава да се брои интегралът на трета страна и какво е това?

Изчислете третия интеграл - това означава познавам НОМЕР:

Най -простият випад, ако, интеграл на трета страна, числено скъп, obsyagu tila... На първо място, според zmіstom zmіstom иntegruvannya, Добуток доривню безкрайно малъкобсягом елементарно "цеглинка" тил. И третият интегрален як пъти i обединява всички ци неопределено малки частиципо региони, в резултат на което да се въведе интегралната (обобщена) стойност на задължението: .

Освен това интеграцията на потребителите е важна физически добавки... Ale за tse piznishe - на 2 -ра част от зададения урок изброяване на достатъчна интеграция на трети страниНякои от функциите в стила на външния вид изглеждат като константа и са постоянни в региона. В същата статистика задачата за познаване на задължението е подробно видима, тъй като за моята субактивна оценка тя се развива в 6-7 пъти.

Как виришите потребителския интеграл?

Погледнете логично от предния елемент. трябва да бъде да се заобиколи тилаотивам до повтаряме интегралите... За които накрая преминете през три единични интеграла.

Яке бачите, цялата кухня е толкова лоша, колкото става подинтегралиВидях, че веднага получихме допълнителен размер (приблизително, очевидно, висота). Аз, мелодично, богато hto вече се досещате, как да свикнете с интеграцията.

Развитието е загубило своята сума:

задник 1

Бъдете невестулка, препишете печката на хартия:

Дайте ми отзиви за следващото хранене. Познаваш ли Ви, как питаш повърхността? Zrozum_liy Неформален zm_st tsikh rivnyan за вас? Познаваш ли Ви, как виждаш повърхността на пространството в откритото пространство?

Ако преминете към изгледа „извън кутията“ „по-рано, не, не“, тогава по всякакъв начин разработете урока и няма да успеете!

Решение: Vikoristovuêmo формула.

За това schob z'yasuvati да се заобиколи тилаотивам до повтаряме интегралитеТова е необходимо (всички гениално прости) интелигентност, добре за тило. И такъв комфорт в bagatioh vipadkakh е страхотно да вземете фотьойл.

Зад мивката тялото е заобиколено от декалома с повърхности. Защо трябва да питам? Предлагам обидната заповед d_y:

витрини успоредно на ортогоналнатапроекция на тялото върху координатната област. Като казах за първи път, се извиква проекцията yak tya, хаха =)

Веднага след като проектът се изпълнява, ще трябва да го направите повърхности, Яки успоредни дание ос. Предполагам, каква ryvnyannya на такива повърхности не отмъщавайте на "zet"... В списъка има три задачи:

- Rivnyannya задава координатната зона, как да премине през въжето;
- Rivnyannya задава координатната зона, как да премине през въжето;
- ивняння назад ■ площ "Плосък" правуспоредно на оста.

Швидше за всичко, проекцията на шукана е обиден трикутник:

Можливо, не всичко до края на ума, за нищо. Вижте дали можете да отидете от екрана на монитора и да преминете направо към трансфера си ( да отида, да видя как се чудиш на 3-световния стол отгоре)... Дотогава имаше повече място в безкрайния триъгълен „коридор“ и проекция върху зоната на нови сенки.

Завършвам със специално уважение, засега няма повече priuschennya за проекциятаи да бъдеш срамежлив „срамежлив за всичко“, „нимовирнише“ няма да бъде vypadkovі. Отдясно, във факта, че не всички повърхности са анализирани и може да се окаже, че частта от триколката се вижда от тях. Як с задника попитай сферацентриран върху кочана на координати с радиус по -малък от един, например сфера - нейната проекция върху областта (номер ) Като цяло има засенчена зона и проекцията не е сложна (Colo "zrіzhe" yomu gostrí kuti).

На другия етап, той е z'yasovuêmo, отдолу е заобиколен отгоре, отдолу отдолу и просторен фотьойл. Обърнахме се към ума и се чудехме, тъй като повърхностите бяха засенчени. Rivnyannya задава самата координатна област, а rivnyannya - параболичен цилиндър, шиене по -горезона и преминете през въжето. В такъв ранг проекцията на тила е ефективна триколка.

Преди речта тук се появи смазвамум - в новия булевард не е необходимо да се включва плоската площ, парчетата на повърхността, абсцисалните оси да се движат и така се забавя. Много просто, във всички случаи не можехме да пресечем проекцията наведнъж - трикутникът „промаляван“ беше използван само за анализ на проекцията.

Фрагмент от параболичен цилиндър е добре изобразен:

Писля виконаня фотьойл z байпасна поръчканякакви проблеми!

Редът на заобикаляне на проекцията е важен за събирането. (В същото време НАБАГАТО ЗРУЧНИШЕ се ориентира на двойни кресла).Опасявам се АБСОЛЮТНО ТАКА, да, аз влизам подинтеграли! Лазерната показалка и сканирането на плоската зона са скрити. Viberemo "традиционен" 1 -ви начин за заобикаляне:

Дал е взет в ръцете на очарователен лихтарик, удивен на тривиалното кресло и строго надолу по хълмаобразовайте пациента. Крайбрежната алея влиза в сградата през района и преминава през повърхността. В този ранг редът на заобикаляне на тялото:

Нека преминем към повтарящи се интеграли:

1) Погледнете „зетовата“ интеграция. vikoristovuєmo Формулата на Нютон-Лайбниц:

Резултатът е представен в "игрековата" интеграция:

Какво стана? По пътя решението извика до подинтеграла, а самото - до формулата кръг от цилиндрична пръчка! Допълнителна информация:

2)

Изпитвам голямо уважение към рационалната технология за решаване на 3 -ти интеграл.

vidpovid:

Изчислението може да бъде записано в един ред:


По различен начин бъдете в безопасност - можете да спечелите играта до степен да загубите качество и колкото по -важен е задникът, толкова по -голям е шансът да направите помилване.

Съвети за важни храни:

Защо трябва да работите в кресло, ако не сте наясно със задачите?

Можете да пиете chotirma с пътеки:

1) Начертайте проекция и само себе си. Най -важният вариант е, че е възможно виконати да има два прилични кресла; Препоръчвам cherga in persh.

2) Начертайте само тило. Добре е проектът да е неудобен и очевиден. Така например, тривиално кресло беше инсталирано в избрания задник. Тук обаче има и минус - според 3D изображенията не е ръчно да стартирате процедурата за заобикаляне на проекцията и по най -добрия начин бих угодил само на хора с добра подготовка.

3) Начертайте само проекция. Не е лошо, но има много допълнителни писма и коментари, регионът не е заобиколен от други страни. Жалко, че третият вариант често е нахален - ако е малко прекалено дълъг или ако сте обвързани с трудни трудности. Това също може да се приложи.

4) Придвижете се без стол. По принцип е необходимо да се представи само една мисъл и да се коментира писмено нейната форма / форма. Важно е да се обадите на прости хора. Ale, всичко е по -красиво от zrobiti Бих искал схематично малко момче, фрагменти от "целта" на решението могат да бъдат отнети.

Предстои тило за самопомощ:

задник 2

За помощта на разточителния интеграл пребройте обема на тялото, заобиколен от повърхности

В този конкретен контекст, областта на интеграция се определя преобладаващо от нередности; задайте първия октант, включително координатните области, и нередността - полупространство, Покажете кочана на координатите (Перевирт)+ Самата област. "Вертикалната" зона на параболоидите е повдигната по протежение на параболата и на фотьойлите, даден е перетин. Като цяло е необходимо да се знае точката на предшественика или, по -просто, върха на параболата (Вижте стойността и rozrahovuêmo vidpovídne "z").

Ще го продам:

задник 3

Изчислете с помощта на интегралния отпадък обема на тялото, заобиколен от стойностите на повърхностите. Фотьойл Viconati.

Решение: Формулата "фотьойл висонати" ни дава свобода, ейл, швидше за всичко, трябва да уважаваме едно просторно кресло. Проекцията обаче не може да бъде зададена, още повече, че не е лесно.

Дотримумося ипрацованой по -ранни тактики - колекция от повърхности, Yaki приложение за паралелна ос. Rivnyannya такива повърхности не могат да бъдат отмъстени в очевидна промяна viglyadi "z":

- Rivnyannya задайте координатната област, преминете през линията ( Як на площада, името е "същото" за семейството);
- ивняння назад ■ площ, Scho преминете през "едно меню" "Плосък" правуспоредно на оста.

Shukane tilo е заобиколен от зона под i параболични цилиндрипо -горе:

Редът на обикаляне на пода е лесен, с много „iksov“ и „igrekovie“ между интеграцията, предполагам, че е лесно да се използват двупосочни кресла:

В този ранг:

1)

При интегриране според "игрек" - "икс", той се използва като константа, за тази константа си струва да се обвинява знакът за интеграл.

3)

vidpovid:

Така че, без да забравяме малко, в голям брой изпадки отримивания в резултат на нискокачествено (и бързо) звучене с тривиални кресла, отражения на великото имущество виникна илузия обсягу, За яку I rozpoviv shche at urotsi Obsyag tila опаковане... И така, оценихме тривиално представените задачи, особено когато бях добре, но в новата сграда има повече от 4 „кубчета“.

Обиден приклад за независимо решение:

задник 4

Изчислете с помощта на интегралния отпадък обема на тялото, заобиколен от стойностите на повърхностите. Мащабирайте стола на дадения етаж и th -та проекция върху зоната.

Уводна форма на дизайна в края на урока.

Не е несериозно, ако изпълнението на тривиален стол е трудно:

задник 5

За помощта на потребителския интеграл да знае обема на тялото, даден да го обгради с повърхности

Решение: Проекцията е неудобна тук, но трябва да се помисли над оста над реда. Ако вибрирате по първия начин, тогава фигурата ще бъде разделена на 2 части, така че няма да е илюзорно да блокирате изчислената сума двеинтеграция на трети страни. В zyazyka z tsim nabagato обещаващ viglyadê 2 -ри начин. Визуално и възможно да си представите чрез проекцията на това тяло върху стола:

Моля ви да вибрирате за качеството на тези снимки, виждам ги директно от авторитетните ръкописи.

Vibiraєmo голяма поръчка за ръководство за заобикаляне на фигурите:

Сега вдясно зад пода. Под него е заобиколен от област, отгоре - от област, яка преминава през висящите ординати. Но всичко беше скучно, но останалата част от района все още беше стръмна и районът не беше толкова лесен. Тук атмосферата не се определя: или роботът за бижута е в различна скала (просто трябва да бъде завършен), или стол с височина около 20 сантиметра (този, който може да се побере).

Але е и трето, руският метод за решаване на проблема - чукване =) и област отстрани, област - отдолу и област - отгоре. "

"Вертикалната" между интеграцията очевидно е следната:

Многобройно obsyag tila, не zabuvayuchi, но по прожекция сме го направили по -широк начин:

1)

vidpovid:

Да, ние си спомнихме, че не си струва повече от сто долара, за да бъдат популяризирани в сгради, които не са по -скъпи от сто долара, често заобиколени от зона по -долу. Ако не е правило, трябва да сте готови - можете да ядете много, de tilo roztashovani пидквадрат. Така, например, веднага щом в rozibranoi zavdannyu да се замени областта, тогава беше възможно само да се появи симетрично в долното полупространство и ако това ще бъде оградено от областта отдолу и от областта - над нея !

Лесно е да се преконатиш, което ще види същия резултат:

(Pam'yataєmo, тило трябва да се заобиколи строго отдолу нагоре по хълма!)

В допълнение, зоната "кохан" може да се види не вдясно, най -простият задник: охлаждаща течност, разпространяваща се в района - с изчислен обсяг, не е известно да е загънат.

Всички цветове са лесни за разбиране, но останалото е аналогично за независимо решение:

задник 6

За помощта на разточителния интеграл да знаете обема на til, заобиколен от повърхности

Кратко решение и обяснение в края на урока.

Преминаваме към друг параграф с не по -малко популярни материали:

Третият интеграл в цилиндрични координати

Цилиндрични координати - це, през деня, полярни координатив откритото пространство.
В цилиндрична координатна система позицията на точка се определя като полярните координати на точката - проекцията на точката върху областта и самата точка.

Преминете от тривиалната декартова система към цилиндричната координатна система, следвайте следните формули:

За да прегърнем нашето преобръщане на виглиада с офанзивен ранг:

Явно по опростен начин, което разглеждаме в tsy statti:

Не забравяйте за допълнителния множител "er" и го поставете правилно полярност на интеграциятапри заобикаляне на проекцията:

задник 7

Решение: Dotrimuêmosya в същия ред, dіy: на първо място, има ривняня, в която всеки ден има zet. Тук има един. проекция цилиндрична повърхностна квадрат е "една промяна" обиколка .

■ площ обграждат шукана само отдолу и отгоре („висящи“ от цилиндъра) и проектирани в редица:

На гърба на тривиално кресло. Основното сгъване на полето при предизвикване на зоната, като преобръщане на цилиндъра преди "косене" на рязането, в резултат на което elips... За да изясним, даденият перетин е аналитично: за цялата презаписваема площ на функционалната и числената стойност на функцията ("висота") в запитващите точки, които лежат върху проекцията на кордона:

Ясно Намерете точки на фотьойла и точно (Не така, да, аз =))от реда:

Проекцията на пода върху площта е colo и целият аргумент за прехода към цилиндрична координатна система:

Познаваме повърхността в цилиндрични координати:

Сега редът за заобикаляне на тилата се премести.

Колекция от парчета от проекцията. Каква е процедурата за заобикаляне? ТОЧНО ТАКА САМ, като кога номерирани подинтеграли в полярни координати... Ето винен елемент:

"Вертикалната" между интеграцията също е очевидна - тя се въвежда в тялото през областта и се влиза през областта:

Нека преминем към повтарящи се интеграли:

В същото време множителят "ep" веднага се поставя в интеграла "sviy".

Vinik jak zazvychay по -лек от злото на клонки:

1)

Резултатът от обидната интеграция е носим:

И тук не се забравя, че "fe" се използва като константа. Ale tse до един час:

vidpovid:

Изглежда като завданя за независимо решение:

задник 8

Изчислете с помощта на интегралния интеграл obsyag til, заобиколен от повърхности. Фотьойл Viconati на дадената сграда и проекция върху района.

Окончателен дизайн на Zrazok в края на урока.

Звярно уважение, но в съзнанието на задачите не се казва нито дума за прехода към цилиндрична координатна система и човек няма да осъзнае важни интеграли в декартовите координати. ... И може би няма да бъде - дори третият, от самото начало руски начин за решаване на проблеми =)

Всичко само поправете! ... в добър смисъл: =)

задник 9

За помощта на разточителния интеграл да знаете обема на til, заобиколен от повърхности

Скромно и с удоволствие.

Решение: Дане тило обмежено крайна повърхності елиптична параболична... Читатели, които с уважение се запознават с материалите на статистиката Основни повърхности за пространствоВече сме си представяли, че е лесно да го видим, но на практика често виждаме повече модели на сгъване, затова ще дам аналитичен доклад.

Знаем много линии, зад хомотите повърхностите се преливат. Склад и вирусно, ще стъпя на системата:

От 1 -ва ривняния, по термин, един към друг:

Резултатът е два корена:

Между другото, ние знаем значението на подобната система:
, Viplya stars, scho
В такъв ранг корените на една точка са кочан от координати. Естествено - дори върховете на върховете растат над върха.

В днешно време има различен корен - също и в подобната система:

Какъв вид геометричен zm_st на рендерирания резултат? "На височина" (в областта) параболоид и конус надвиснал по протежение обиколка- един радиус, центриран в точки.

В същото време "купата" на параболоида замества "фунията" на конуса, така че преструвам секрайните повърхности са последвани от пунктирана линия (зад винетка ще видя далеч от нас, която се вижда от този ъгъл):

Проектирането на сградата върху площта е колоцентриран върху кочана на координати с радиус 1, който не можех да си представя чрез очевидността на този факт (Защитете писателския коментар robimo!)... Преди речта, на двете предни седалки на проекцията на фотьойла, можете да бъдете избити, какби няма нищо против.

При преминаване към цилиндрични координати съгласно стандартни формули, несъответствието се записва в най -простия изглед и в реда на заобикаляне на проекцията на определени проблеми:

Познаваме повърхността в цилиндричната координатна система:

Така че, ако погледнете горната част на конуса във фабриката, тогава можете да го видите от гледна точка:

"Scanuêmo tilo" отдолу нагоре. Размяната на светлините за влизане в новата елиптичен параболоидпреминавам през крайната повърхност. В такъв ранг "вертикалният" ред на заобикаляне на тялото:

Инша за правилната техника:

vidpovid:

Не е фантазия, ако беше толкова лесно да се помолите да не сте заобиколени от повърхности, а да сте свободни от нередности:

задник 10

Геометричното усещане за просторни нередности, ще завърша доклада, като обясня в същия предварителен устав - Основните повърхности за пространството и по причината.

Предвид предпочитанието искам да отмъстя на параметъра, но не е позволено да се показва точно стола, който показва принципите на типа на пода. Мислете, че Як ще бъде висконати. Кратко решение и обяснение - в края на урока.

... добре, няколко пъти? Мислейки да завършите урока, пийте точно така и вижте как го искате =)

задник 11

За допълнителна цена на интеграла изчислете обема на дадения обект:
, De е доста положително число.

Решение: непоследователност задайте центъра на кочана на координатите на радиуса и несъответствието - "пълнене" на кръгъл цилиндър с радиус на симетрия. В такъв ранг, шуканът е заобиколен от кръгъл цилиндър отстрани и симетрични сферични сегменти отгоре и отдолу.

Beruchi за базовата единица vimira, кресло viconmo:

По -точно следващата стъпка е да го наречем малко, някои пропорции по оста ми дори не са добри. Въпреки това, за справедливост в името на справедливостта, нямаше нужда от някакъв вид кресло зад ума и такава илюстрация се появи в изобилие.

Уважавам ви, но тук не е необходимо да затваряте, върху който цилиндърът виси от дъното на „капачките“ - ако вземете компасите и завъртите кръга с центъра върху кочана на координатите на радиуса на 2 см, тогава точките ще изпреварят цилиндъра около ...

1. Цилиндричните координати представляват данните за полярните координати в областта xy с необикновена декартова апликация z (фиг. 3).

Нека M (x, y, z) е достатъчна точка в пространството xyz, P е проекцията на точката M върху областта xy. Точка М недвусмислено е представена с три числа - полярните координати на точката P, z - кандидатът на точка М.

Якобиански (8)

задник 2.

изчислете интеграла

de T - зона, заобиколена от повърхности

Решение. Нека преминем към интеграли към сферични координати, следвайки формулите (9). Областта на интеграция може да бъде зададена от нередности

А това означава

задник 3Знайте обсяг до ограничено:

x 2 + y 2 + z 2 = 8,

Махмо: x 2 + y 2 + z 2 = 8 - сфера с радиус R = v8, центрирана в точка O (000),

Горната част на конуса z 2 = x 2 + y 2 от върха на симетрията Oz и горната част в точка O (фиг. 2.20).

Знаем, че линията преобръща сферата и конуса:

І така как зад мивката z? 0, тогава

Кръгът е R = 2, който лежи в областта z = 2.

Том е ужасен (2.28)

de област U е оградена отгоре

(Част от сферата),

(Част от конуса);

зона U да се проектира върху областта Охи в зона D - радиус 2.

Също така е необходимо да се премине към дъното на интеграла към цилиндричните координати, формули на vikoristovuchi (2.36):

Между промените, r се познава от областта D v извън R = 2 с центъра в точката O, от нас самите: 0? Ts? 2p, 0? R? 2. По този начин площта U в цилиндрични координати се определя от появата на нередности:

Уважаеми, scho

На Нехай е даден материален тило, тъй като това е обширна област Р, запомнена от Масой. Необходимо е да се знае теглото на цялото тяло по причината, която в кожната точка R € P в къщата на разпределението на теглото. Розибьемо регион P върху не припокриващи се кубични (т.е. Mayut obsyag) части с пасиви съгласно. В кожата на частичните области ft * вибрира случайна точка P *. Приемливо близо, но в границите на частната зона ft * капацитета на пощата и пътя / * (P *). Todі МАСА ATK tsієї Честън tіla virazitsya nablizhenim rіvnіstyu ATPC и МАСА vsogo tіla Buda nablizheno dorіvnyuє Potrіyny іntegral Vlastivostі potrіynih іntegralіv Obchislennya potrіynogo іntegrala в декартови координати Obchislennya potrіynogo іntegrala в tsilіndrichnih и сферични координати Nekhay г - naybіlshy на dіametrіv области chastkovih Yakscho в г - * 0 сума (1) няма дарение на границата, но не пречат на развитието на площта ft от страна на подрегиона, но не и при избора на точки P * € ft *, тогава границата между m Rozib'єmo ft върху n не напречни кубични части и техните obsyagi е значително чрез пример. В под-зоната на дермалната част P *точката Pk (xk, yk, zk) се вибрира с ранг на ранг; Ако d За интегралната сума, но може да е между, но не да пречи на развитието на региона L от частта на подрегиона P *, но не и при избора на точки Pk € P *, тогава граница се нарича тройни интеграли на функцията f (x) y, z) в областта Q и се обозначава със символа Теорема 6. Ако функцията f (x, y, z) е непрекъсната в затворената кубична област P, след това се интегрира в цялата област. Силата на третите интеграли Силата на третите интеграли е аналогична на степента на подчинените интеграли Основните се променят от тях. Не знам функциите на интегриране в куб. Област L. 1. Линейност. В същото време функцията се нарича интегрирана в областта Q. Така, според стойността, можете да се обърнете към задачите за изчисляване на теглото на файла, също между (2) е ненужна интегрална VGT функция d (P ) в областта d. dv елемент в правоъгълни координати. de a і (3 - повечето от изказванията postіynі. вие сте в областта P, след това 3. Ако / (P) = 1 в областта P, тогава n de V - обемът на областта Q. Функцията / ( P) е непрекъснат в затворените кубични области ft и M í t - най -добре и най -малко значимив ft, тогава de V е площ от ft. 5. Адитивност. Ако областта ft е разделена на кубчета без спални вътрешни точки и f (P) е интегрирана в областта ft, тогава f (P) е интегрирана в областта на кожата от ft | і ft2, с 6. Теорема за средната стойност. Теорема 7 (за средната стойност). Ако функцията f (P) не се прекъсва в затворената кубична област ft, тогава има тънък Pc € ft, така че формулата de V - обем на областта ft (nagadaєmo, че областта е чиста, незаконна) ще бъде валиден. § 7. Изчисляването на потребителския интеграл в декартовите координати Як i при изчисляване на подинтегралите, вдясно, се извежда до изчисляването на повтарящите се интеграли. Допуска се, че функцията не се прекъсва в реалната област ft. 1ви випадок. Площ ft е правоъгълен паралелепипеден проект към областта yOz в правоъгълен i2; Todi otrimaêmo Zamynyuchi subintegral чрез повтарящи се, остатъчно otrimaêmo В такъв ранг, тъй като областта P е праволинеен паралелепипед, започнахме да броим третия интеграл до последното преброяване на три интегрални интеграла. Формула (2) може да бъде пренаписана с оглед на правоъгълника ê е ортогоналната проекция на паралелепипеда P върху областта xOy. 2 -ри випадок. Сега областта Q е видима, така че границата между повърхността 5 се преплита, било то права, успоредна на оста Oz, не повече от в две точки или по цялата дължина (фиг. 22). Оставете z = tpi (x, y) равно на повърхността 5, която ще загради областта P от дъното, и повърхността S2, която ще огради областта P отгоре, ma равна z = y). Не наранявайте повърхността на S \ и S2, за да бъде проектирана на една и съща площ от областта xOy. Значително я преминава през D и преплита кривата през кордона L. Rashta 5 до Q лежи на цилиндрична повърхностсъздавам, успоредни оси Oz, и от кривата L в ролята на водеща. Като аналогия с формула (3), можем да изведем площта D на площта xOy е криволинейна трапеция, заобиколена от две криви, след което подинтегралът във формула (4) може да бъде редуциран до втора и можем да направим остатъчна (2) формула. Фиг-23 Приклад Пребройте общата сума на тетраедъра, заобиколен от квадратите на проекцията на тетраедра върху площта xOy, служат като триколка, изявленията са прави, така че x се променя от 0 до 6 и с фиксирано x (0 ^ x ^ 6) y промяна от 0 на 3 - | (Фиг. 23). Ако има фиксирани x, y, тогава точката може да бъде преместена вертикално от областта в областта между 0 до 6 - x - 2y. Зад формулата ще разпознаем §8. Изброяване на потребителския интеграл в цилиндрични и сферични координати Храненето при подмяната на зимите в потребителския интеграл се извършва по същия начин, както в случая на подинтеграла. Функцията / (z, y, z) не е прекъсната в затворената кубична област ft, а функциите са непрекъснати наведнъж със своите частни частни такива от първи ред в затворената кубична област ft *. Да предположим, че функцията (1) установява индивидуално съответствие между точките rj, () областта ft *, от едната страна, и всички точки (z, y, z) от областта ft-от другата . Това е правилната формула за замяна на победителите в системата от функции на потребителската интеграция - де - Якобиан (1). На практика при изчисляване на интеграли на трети страни често се използва за замяна на правоъгълни координати с цилиндрични и сферични координати. 8.1. Третият интеграл в цилиндрични координати В цилиндричната координатна система позицията на точката P в пространството се определя от три числа p, de p і (p е полярните координати на проекцията P1 на точката P върху областта xOy, az е кандидатът за точка P (фиг. 24). tochіі R. Ясно scho в координати система цилиндрични координатни връхни Potrіyny интеграл Vlastivostі potrіynih интегралив Obchislennya potrіynogo интеграла в декартови координати yakogo zbіgaєtsya на vіssyu Oz, napivploschina scho primikaê to osí Oz, і area, успоредно на областта хОу. Цилиндричните координати са обвързани с декартовите формули за настъпление (div. Fig. 24). За система (3), площта ft е показани в областта на машината и формулата (2) към прехода от третите прави външни координати към интеграла в цилиндрични координати в цилиндрични координати. Tsei vysliv за елемент на obsyagu може да бъде изрязан от геометричен mirkuvan. Розибьемо зона P върху елементарните пидообразуващи координатни повърхности и числено обсяги на ръбовите извити призми (фиг. 25). Вижда се, че стойността не е безкрайно малка. висок ред, Otrimuêmo Tse позволява да се вземе за елемент зъб в цилиндрични координати, стойността ще бъде приложена. Ci на повърхността се преобръща по линията g, която е описана от системата на rivnyan (цилиндър), (площ), фиг. 26 a нейната проекция върху областта xOy от системата В такъв ранг се отчита Bazhaêmiy obsyag съгласно формулата (4), в як. Третият интеграл в сферични координати В сферичната координатна система позицията на точката P (x, y, z) в пространството е обозначена с три числа, de g - се появяват като кочан от координати към точката kut между оста на Ox и проекцията на радиус -вектора ZRO и in - разрезът между оста Oz и радиус вектора на OR на точката P, видян от оста Oz (фиг. 27). Зрозумило, scho. Координатни повърхности в централните координатни системи: r = const - сфери с център върху кочана на координатите; ip = const в = const - кръгове и конуси с тегло Oz. Малка. 27 От малкото се вижда, че сферичната и декартовата координати са свързани с началото на връзката.Якобианските функции са номерирани (5). Maêmo Otzhe, и формула (2) nabavaê viglyad Елемент obshygu в сферични координати - Viraz за елемент obshyaz може да бъде изрязан и от геометричен миркуван. Ясно видима област в пространството, заобиколена от сфери с радиус z и z + dr, конуси в i в + d $ и в област. Todi Потребителски интеграл Силата на третия интеграл е видима Преброяване на трети интеграл в декартови координати Изброяване на потребителски интеграл в цилиндрични и сферични координати Приложение 2. Знайте обема на Q, сферична координатна система ... От третата ривення е известно между промените на кута 9: звезди