Независимост на извития интеграл от избора на интеграционния път. Формулата на Грина. Имайте предвид независимостта на извития интеграл от пътя на интеграцията
2 -ри вид от начина на интеграция
Ясно извит интеграл от 2 -ри вид, de L е крива, но от същата точка M и N. Не позволявайте функцията P (x, y) и Q (x, y) да бъде без прекъсвания в поверителността в някаква област D , в която крива L. Значително е, че при всеки поглед извитият интеграл лежи не във формата на кривата L, а само в точките M и N.
Начертаваме две MSN и MTN криви, така че да лежат в областта D и да затварят точките M и N (фиг. 14).
Приемливо, scho, tobto
de L - затворен контур, гънки от криви MSN и NTM (от същото, може да се използва). С такъв ранг, ум на независимост криволинеен интегралВторият вид по пътя на интегриране е по -мощен от ума, но такъв интеграл по всеки затворен контур е равен на нула.
Теорема 5 (теорема на Грийн). Нямате непрекъснати функции P (x, y) и Q (x, y) и други частни функции във всички точки на активната област D. За да може всеки затворен контур L да лежи в областта D,
необходимо и достатъчно във всички точки на района D.
Доставено.
1) Достатъчност: най umova = viconano. Ясно видим затворен контур L в област D, който е в съседство с област S, и можем да напишем формулата на Грин за него:
Отже, достатъчността е донесена.
2) Необходимост: да кажем, че Виконан е в кожата на областта D, ако искате една точка от цялата област, в която -? 0. Nekhai, например, в точката P (x0, y0) maêmo: -> 0. И така, в лявата част на неравностите, функцията е непрекъсната, ще бъде ли положителна и по -ефективна? > 0 в малка площ D`, за да отмъсти за точка R. Otzhe,
Zvidsi по формулата Grína otrimuêmo, scho
de L` е контур, който е в непосредствена близост до областта D`. Резултатът е да бъдете претоварени от ума. От същото, = във всички точки на областта D, която трябва да се донесе.
Спасение 1. С аналогичен ранг за тривиално пространство можете да внесете, с необходимите и достатъчни умове, независим извит интеграл
от интеграцията на пътя е:
Уважение 2. С победата на умовете (52) viraz Pdx + Qdy + Rdz е със вторичен диференциал на функцията deyakoї i. Това позволява изчисляването на криволинейния интеграл да бъде изчислено до стойността на разликата в точките и в точките на интеграционния контур, така че
За широк спектър от функции може да се знае зад формулата
de (x0, y0, z0) е точка от областта D, а C е доста непрекъсната. Той е ефективен, лесен за накланяне, но частните функции и функции, дадени с формула (53), са равни на P, Q и R.
Приклад 10.
Пребройте извития интеграл от 2 -ри вид
чрез повече криви, от същата точка (1, 1, 1) и (2, 3, 4).
Реконструкция, scho vikonany umovi (52):
Otzhe, функция и isnu. Знаем от формула (53), с x0 = y0 = z0 = 0.
В такъв ранг функцията и дизайнът започват от прецизност до предварителен пост-доставка. Приемливо C = 0, tood u = xyz. вече,
30. Формула Грина. Имайте предвид независимостта на кривия интеграл в посока на интеграцията.
Формулата на Грин: Якшчо С - затворено между областта D и функцията P (x, y) и Q (x, y) едновременно с техните частни деца от първи ред. затворена зона D (включително кордон C), тогава формулата на Грина е валидна :, и заобикалянето около контура C се вибрира, така че областта D е твърде зла.
Лекция: Не позволявайте дадените функции P (x, y) и Q (x, y), които не се прекъсват в областта D наведнъж с частните в първия ред. Кордонов интеграл (L), просто лежете в област D и поставете всички точки в област D:. Положителната страна на контура е същата, ако част от контура е заобиколена, има зло.
Умовете за независимостта на кривия интеграл от 2 -ри вид от пътя на интеграцията. Необходимият и достатъчен ум на факта, че криволинейният интеграл на първия род, но от същата точка М1 и М2, не лежи по пътя на интеграцията, а да лежи само от кочана и малкото точки,
.
31. Повърхностна интеграция на първия и друг род, на основната мощност и изчисление.
- повърхностна поддръжка.
Проектиран S върху областта xy, можем да видим областта D. Издигаме областта D с мрежа от линии на частта, наречена Di. От дермалната точка на дермалната линия се извършва успоредно на линията, до точката на S, разделена на Si. Склад за интегралната сума:. Директно максимален диаметър Di до нула :, измерим:
Ce повърхностен интеграл на първия род
Така че vvazhaêtsya повърхност интеграл на първия род.
Viznachennya е кратък. Докато има тъп ръб на интегралната сума, не е възможно да се постави по метода на производство S върху елементарните плочи на Si и от избора на точки, тогава ние се наричаме повърхностен интеграл от първи вид .
При преминаване от промените x y y към u i v:
NS 
Повърхностният интеграл е по -малко мощен от интегралния интеграл. Div. Има повече в храната.
Определянето на повърхностния интеграл на друг род, неговата основна мощност и изчисление. Връзка с интеграл от първия род.
Нека е зададена повърхността S, заобиколена от линията L (фиг. 3.10). В същото време на повърхността S има определен контур L, но няма малко места за спане с кордона L. В точката M контурът L може да бъде актуализиран с две нормални линии на S повърхността. Точката М е изтеглена по контура L и очертаваме нормалната линия.
Ако в кочана точката M се обърне директно зад нормалата (а не срещу противоположната), тогава повърхността S се нарича двустранна. Ще разгледаме само двустранни повърхности. Двустранната повърхност е гладка повърхност с бекак с ривяням.
Nekhai S е двустранна отворена повърхност, заобиколена от линия L, която няма точки на самопресичане. Вибрираща страна на повърхността. Той ще бъде наречен положителен, директно заобикаляйки контура L такава права линия, с рус, по която зад другата страна на повърхността, самата повърхност ще се припокрива със злото. Двустранна повърхност с инсталация върху нея по такъв начин, положително директно заобикаляща контурите, се нарича подредена повърхност.
Нека преминем към индуцирането на повърхностен интеграл от друг род. В простора има двустранна повърхност S, където може да се съхранява от крайния брой шматки, кожени задачи от същия вид или цилиндрична повърхност с готови, успоредни осиОз.
Не се притеснявайте R (x, y, z) е функция, дефинирана и без прекъсване на повърхността S. В същото време линията прекъсва S с определен ранг на n "елементарни" диланоки ΔS1, ΔS2, ..., ΔSi, ..., ΔSn, тъй като не спи вътрешни точки. В скин файла ΔSi точката Mi (xi, yi, zi) (i = 1, ..., n) вибрира. Nekhai (ΔSi) xy - областта на проекцията на дилянката ΔSi върху координатната област Oxy, взета от знака "+", като нормалата към повърхността S в точката Mi (xi, yi, zi) ( i = 1, ..., n) vissyu Oz gostry kut, със знака "-", yakscho tsei kut глупав. Сгъваема интегрална сума за функцията R (x, y, z) по повърхността S върху промените x, y:. Нека λ е най -големият от диаметрите ΔSi (i = 1, ..., n).
Ако не определите пътя на повърхността S върху "елементарните" диленки ΔSi и от вибрациите на точки, тогава ние се наричаме повърхностен интеграл по вибриращите страни на повърхността S out, функция y за повърхностен интеграл от друг род) 
.
По подобен начин е възможно да се използват повърхностните интеграли по координатите x, z или y, z по външните страни на повърхността, т.е. E. 
і 
.
Веднага след като има всички интеграли, е възможно да се въведе "zalny" интеграл от живите страни на повърхността:.
Повърхностен интеграл от различен вид с големи сили на интеграла. Няма стойност, ако е като повърхностен интеграл от друг род, знак за промяна отстрани на повърхността.
Връзката е между повърхностните интеграли от първия и друг род.
Нека повърхността S бъде дадена равна на: z = f (x, y) и f (x, y), f "x (x, y), f" y (x, y) са без прекъсващи функции в затвореното площ τ (проекция на повърхността S върху координатната област Oxy), а функцията R (x, y, z) е непрекъсната на повърхността S. Нормалата към повърхността S, която може да бъде директно cos α, cos β, cos γ, е обърната към горните страни на повърхността S. Todi.
За vipadku maêmo:
= 
лекция 4
Тема: Формула Грина. Имайте предвид независимостта на кривия интеграл в посока на интеграцията.
Формулата на Грина.
Формулата на Грина ще установи връзка между извит интеграл по затворен контур G върху област и подинтеграл върху област, заобиколена от контур на цим.
Извит интеграл по затворен контур D се обозначава със символа Затворен контур D за поправка в пеещата точка В целия контур и завършва в точка В. Интегралът по затворен контур не лежи във вибратора на точка B.
стойност 1... Заобикалянето на контура D е положително, тъй като при заобикаляне на контура D, площта D се засенчва. G + - контур G да се направи в положителна посока, G - - контур да се направи в отрицателна посока tobto в протолежен десен
| G + |
| х |
| Y |
| ° С |
| д |
| X = x 1 (y) |
| X = x 2 (y) |
| а |
| б |
| Б |
| ° С |
| Y = y 2 (x) |
| Y = y 1 (x) |
| м |
| н |
.
По същия начин трябва да се съобщи, scho:
По отношение (1) и (2) ще приемем:
вече,
Формулата на Грина за разпадащи се яхнии е осъществена.
уважение 1... Формулата на Грина трябва да се счита за справедлива, тъй като границата G на D областта е или прави линии, успоредни на оста 0X, или 0Y, за да преливат по -ниско в две точки. Формулата на Грийн е валидна за n-вискозни области.
Обърнете внимание на областта на кривия интеграл към пътя на интеграция в областта.
В края на абзаца помислете за това, когато видите някаква крива интеграция, тя не лежи на пътя на интеграцията, а да лежи от кочана и върха на интеграцията.
Теорема 1... С цел изкривена интеграция на schob 
без да оставяме пътя на интегриране в монотонна област, е необходимо и достатъчно, с интеграция, да се вземе със себе си всеки затворен на парчета гладък контур в цялата област, за да се доведе до нула.
Доказателство: Необходимост.Като се има предвид: не заставайте на пътя на интеграцията. Необходимо е извитият интеграл по всеки затворен контурен гладък контур да се доведе до нула.
В дадената зона на откриване D не разполагайте с достатъчно гладко затворен контур D. На контура G винаги има точки B и C.
| G |
| д |
| н |
| м |
| Б |
| ° С |
, Тобто
достатъчност... Дадено: Krivolyniyiniyintegral 
по затворен контурен гладък контур пътищата са нулеви.
Необходимо е да се гарантира, че интеграцията не пречи на интеграцията.
Ясно извит интеграл по два гладко изрязани контура, но от една точка B и C. Зад мивката:
Тобто Вигнутий
Интегралът не лежи по пътя на интеграцията.
Теорема 2.Не ходете без прекъсване едновременно с частни деца и в несвързаната зона D. 
без да лежите по пътя, интеграцията е необходима и достатъчна, но в областта D същото
Доказателство: Достатъчност.Дадено:. Необходимо е да се донесе, scho не пречат на интеграцията. Да донесе достатъчно за цялото път към нула по затворен контурен гладък контур. За формулата на Grína maêmo:
Необходимост.Дадено: За теорема 1 извитият интеграл не пречат на интеграцията. Необходимо е да се донесе, scho
На пътя на интеграцията.
Явно крива интеграция от 2 -ри вид, де L- крива, която е свързана с точка Мі н... добра функция P (x, y)і Q (x, y)Май без прекъсвания в личната история в региона д, Като цяло лежи крива L... Показателно е, че при всякакъв вид извитият интеграл не лежи под формата на криво L, И само от зародиша на точките Мі н.
Проведени две значими криви MPNі MQNДа лежи в района ди аз приемам смисъла Мі н(Фиг. 1).
В
М нМалка. 1.
Добре, scho 
, tobto 
Тоди, де L- затворен контур, сгъваем от криви MPNі NQM(Отже, можеш да ги уважаваш). С такъв ранг, предвид независимостта на извития интеграл от 2-ри вид от начина на интегриране-баня, също толкова важно е да се мисли, че такъв интеграл по всеки затворен контур е нула.
билет номер 34.Повърхностният интеграл на първия род (върху повърхността)
Видима незатворена повърхност С, Заобиколен от контур L, I rozib'єmo я бе-подобни криви на част S 1, S 2, ..., S n... Viberemo в точката на кожата M iПроектирам част върху пунктирана площ към повърхността, така че да минава през точка. Откриваме в проекцията на равнина с площ T i... Нарича се ρ най -доброто от повърхността между две точки на повърхността С.
Стойност на бизнеса 12.1.на име ■ площ Сповърхностгранична суми зона T iв
Повърхностен интеграл на първия род.
Повърхността на Деяку се вижда С, Заобиколен от контур L, I rosejemomo я отчасти S 1, S 2, ..., S стр(С цяла област на кожата, тя може да бъде значителна S стр). Не отивайте до кожната точка на повърхността на дадената функция f (x, y, z). Viberemo в кожата S iточка M i (x i, y i, z i)и съхранение за интегралната сума
. (12.2)
Стойност на бизнеса 12.2. Yakshcho иsnu kintseviy граница с интегрална сума (12.2), но не пречат на оформянето на повърхността върху част и избор на точки M i, Тогава се нарича повърхностен интеграл от първия вид функция f (M) = f (x, y, z)на повърхността С Знам
Уважение. Повърхностният интеграл от първи вид е най -мощният авторитет на интегралите (линията, интегрирането на дадената функция според някои части от дадената повърхност и т.н.).
Геометрични и физически промени на повърхностния интеграл от първи вид.
Функция Yaksho pіdіntegralnа f (M)≡ 1, след това от стойността 12.2 viplivaê, за пътните настилки на откритата повърхност С.
. (12.4)
Добаток на повърхностния интеграл от 1 -ви вид.
1. Площта на извита повърхност, плоска повърхност z = f (x, y), Можете да знаете от viglyad:
(14.21)
(Ω - проекция Сдо площада Pro ху).
2. Маса повърхности
(14.22)
3. Моменти:
статични моментиповърхности на координатни области O xy, О xz, О yz;
Моменти на инерция на повърхността на координатните оси;
Моменти на инерция на повърхността на координатните области;
- (14.26)
Инерционният момент на повърхността е кочан от координати.
4. Координирайте към центъра на повърхността:
. (14.27)
Билет номер 35. Изчисляването на повърхностния интеграл от първи вид (редукция на първия до кратно).
Разпръснато с vipad, ако повърхността Сзапитайте се изрично, за да получите същото z = φ (x, y)... В същото време стойността на площта на плъзгача,
S i =, De Δ σ i -проекционна зона S iдо площада Pro ху, а γ i- кут между виссю O zнормално на повърхността Св точка M i... Vidomo scho
,
de ( x i, y i, z i) -координати на точки M i... Следователно,
Въведете viraz във формула (12.2),
,
De pidsumovannya вдясно се извършва по протежение на областта Ω на Pro областта ху, Scho е проекция върху повърхността на qiu С(Фиг. 1).
S: z = φ (x, y)
Δσ iΩ
В същото време в дясната част се изобразява интегрална сума за функцията на две зими по плоската площ, както в границата със субинтеграл.
(12.5)
Уважение. За да бъде уточнено отново, в лявата част на формулата (12.5) е така повърхностноинтегрално, а в дясно - роб.
Билет номер 36.Повърхностен интеграл на друг род. Потично векторно поле. Връзката е между повърхностните интеграли от първия и друг род.
Потично векторно поле.
Не се вижда вектор А (М), Певне в просторната зона G,върху гладка повърхност S G i поле на единични нормали NS (М)от другата страна на повърхността С.
Стойност на бизнеса 13.3.Повърхностен интеграл от първи вид
,
(13.1)
de Ан е скаларна добавка на свързани вектори и A n- векторна проекция А при нормално нормално, обадете се векторно поле на поток А (М)през страничната страна на повърхността С .
Уважение 1. Всеки път, когато вибрирате отстрани на повърхността, това е нормално, но толкова лесно е толкова лесно да смените знака.
Уважение 2. Якшо вектор А задайте скоростта на линията в дадената точка, тогава интегралът (13.1) означава броя на линиите, които преминават през повърхността за един час Св положителна посока (zvidsy zagalny термин "potik").
Явно крива интеграция
като за плоска крива deyakoy L, Scho zienuê точка Мі н... Ще разрешим надбавки за функциите P (x, y)і Q (x, y)Май без прекъсвания в личната история в този регион д... Z'yasuêmo, за което умовете за писане на криволинейна интеграция не са под формата на криви L, И легнете само от позицията на кочаните и върховите точки Мі н.
Две ясни криви MPNі MQNДа лежи в дадена област ди аз приемам смисъла Мі н... Хей
(1)
Todi по представяне на властите 1 и 4 крива интеграция на мамо:
tobto интегрален затворен контур L
В останалата част от формулата криволинейният интеграл от улавя по затворен контур L, Добавете кривите MPNі NQM... контур LОчевидно е възможно да се уважават тези, които са доволни.
С такъв ранг отречете:
за всякакви две точки M и N криволинейният интеграл не лежи под формата на единична крива, а само в позицията на тези точки, следващата, scho криволинеен интеграл по всеки затворен контур на пътя до нула .
Честно е да се каже, че е истина.
ако извит интеграл по произволен затворен контур е нула, тогава целият извит интеграл не лежи под формата на крив, но има две точки, и легнете само от позицията на чич точки . Добре, добра стойност (2) следваща стойност (1)
теорема
Не разполагайте с функции P (x, y), Q (x, y) във всички точки на зоната на deyakoi D функции едновременно със собствени лични и без прекъсване. Todi, за да се извие интеграл по всеки затворен контур L, който се намира в този регион, понижен до нула, така че
(2)
необходимо и достатъчно е
във всички точки на района D.
Доведення
Ясно видим затворен контур LВ зоната да за новата можем да напишем формулата на Грин:
Веднага щом видите думата (3), тогава подинтегралът, който си струва ръка, също може да бъде сведен до нула, дори,
В такъв ранг, достатъчностум (3) донесе.
направено сега необходимостпомислете за това, така че да е ясно, че е равно (2) да бъдете победител LВ зоната дСлед това в точката на кожата на региона се показва умът (3).
Приемливо, navpaki, какъв език (2) vikonutsya, tobto
но umova (3) не бъди победител, tobto
Бих искал да бъда в една точка. Nekhai, например, в deyakiy точка maêmo nervnist
Така че, тъй като в лявата част на неравностите, функцията е непрекъсната, тогава тя ще бъде положителна и повече от определен брой във всички точки е възможно да се достигне до малка площ, така че да се помете точката. В резултат на развитието в целия регион също има подчинена интеграция. Виена ще бъде по -позитивна. наистина ли,
Заедно с формулата Grína líva, част от останалите нередности в криволинейната интеграция на пътя по граничните райони, която за допълнителния автомобилен транспорт е нула. Също така, останалата част от несъответствието е да се прекалява с умовете (2) и това означава, че това не е вярно. Zvidsey viplivaê, scho
във всички точки на този регион д.
В този ранг се извежда теоремата.
В случай на диференцирано образование, bulo е възпитан,
еднакво на факта, че viraz Pdx + Qdyе допълнителен диференциал на функционалните функции u (x, y), Тобто
Ale в tsyom vipadku вектор
е градиентни функции u (x, y);
функция u (x, y), Градиент за вектор, да бъде извикан потенциалй вектор.
Донесено на теб, scho в голямо разнообразие от крива интеграция по кривата L, между двете точки M и N, разликата е стойността на функцията в броя точки:
Доведення
Якшо Pdx + Qdyе Ревизирайте диференциалната функция u (x, y), Това е криволинейно интегрално набуде вигляду
За изчисляване на интеграла напишете параметрична крива L, Scho zienuê точка Мі н:
Viraz, за да стои в арките, е функция от T, Scho е с общ T... Том
Як ми бачимо, криволинейният интеграл от основния диференциал не лежи под формата на криво, както и интегрирането.
В този ранг:
говорят за независимостта на криви интеграли от II видот формата към интеграцията на пътя на офанзивата:
Якшо в региона P (x, y)і Q (x, y) непрекъснатоизведнъж със своя, тогава:
1. в района D не лъжат по формаинтеграционен път, където е стойността на парче-гладките кривиДа лежите в дадена област и, тъй като може да имате шиповидно ухо и гръбначен край въпреки това.
2. Интегрален уздовж бе-подобен затворен крив LДа лежи в района D път към нула.
3. Има ли такава функция u (x, y)За кой вираз Pdx + Qdyе нов диференциал, tobto
P (x, y) dx + Q (x, y) dy = du.
4. в дадения регион на visonuvalia b umova
в областта на кожата д.
За изчисляване на интеграла не поставяйте интегралния контур
следващото вибриране в качеството на Новия начин за интегриране на ламана, което се получава от точката i, ланката, която е успоредна на осите Oh и Oy.
пидинтегрален вираз P (x, y) dx + Q (x, y) dyако победите са високи е Нека повторим диференциалафункции за действие u = u (x, y) tobto
du (x, y) = P (x, y) dx + Q (x, y) dy
функция u (x, y)(Първо) можете да знаете как да изчислите приблизителния криволинеен интеграл според lamania de - ако точката е фиксирана, B (x, y)е точката на промяна, а точката е ma координатите NS i. Todi vdovzh maêmo i dy = 0, И vdovzh maêmo x = constі dx = 0.
Ще взема формулата:
По същия начин, интегриране според lamaniy de otrimaєmo
облечен
1.
броя 
Daniyintegral не лежи в контура на интеграцията, затова
Viberamo по начина на интегриране на laman, lanka, които са успоредни на координатните оси. На първия ден:
На други дати:
вече,
2. знам първо ти, Якшо
Задвижване и контур Предие ламана OMN... Тоди
3. Знай как
тук кочанНе е възможно да се вземат координати на кочана, така че в точката tsy на функцията P (x, y)і Q (x, y)не viznachenі, но към това за точката на кочан вимемо, например ,. Тоди
4. Познайте района, заобиколен от елипси
Площта на фигурката, която е нараснала в района на KHOU и е заобиколена от затворена линия C, се изчислява по формулата
,
de contour C се заобикаля в положителна посока.
Преписайте кривия интаграл в пеещия,
параметър Tтестова стойност от 0 до 2π.
Този ранг
3. Висящ извит интеграл по дъгата L,Якшо L- цинална арка
ПРЕДПРИНИМАТЕЛИ ПО ТЕМАТА "криволинейна интеграция"
Опция 1
De L - от правия пункт A (0; -2) і B (4; 0) да лежи върху XOY областта.
udovzh lamanoi L: OAB, de O (0,0), A (2,0), B (4,5). Заобиколи контура на стрелката обратно на часовниковата стрелка.
Зад координатите, където L - дъгата на елипсата лежи в първата четвърт.
De L - контур на триколка с върхове A (1,1), B (2,2), C (1,3). Заобиколи контура на стрелката обратно на часовниковата стрелка.
, Знам йога.
7. Силовото поле се установява от силата F (x, y), тъй като точките са разположени в кочана на координатите и са изправени в кочана на координатите. Да познава робота на силата на полето материална точкаединична маса от дуси парабола y 2 = 8x от точка (2, 4) до точка (4; 4).
Вариант 2
1. Изчислете извития интеграл по дъгата (декартови координати).
De L е права линия от една точка O (0; 0) и A (1; 2).
2. Изчислете криволинеен интеграл 
, Където L е параболична дъга от точка A (-1; 1) до точка B (1,1). Заобиколи контура на стрелката обратно на часовниковата стрелка.
3. Изчислете криволинеен интеграл 
където L - кръгова дъга 
лежи на 1 или 2 квадрата. Заобикаляне на контура за стрелката на годината.
4. Застояла формула Грина, изчислете интеграла, de L - контура, изявленията на линията и общата ос OX при Обхид контур в обратна посока.
5. Инсталирайте, за да видите съзнанието за независимостта на интеграла от пътя на интеграцията за интеграла 
, Знам йога.
6. Ревизия, броят на задачите viraz с различен диференциал на функцията U (x, y), и я познайте.
7. В точката на скина на силовото поле силата е директно отрицателна върху ординатата и върху квадрата на абсцисата на приложената точка. Познайте полето на робота при преместване на единична маса с парабола от точка (1.0) до точка (0.1).
вариант 3
1. Изчислете извития интеграл по дъгата (декартови координати).
1. de L - дъгата на параболата се повдига от параболата.
2. Изчислете криволинеен интеграл 
като L- прави линии, от точка A (0,1), B (2,3). Заобикаляне на контура на стрелката обратно на часовниковата стрелка.
3. Пребройте извития интеграл като L - дъгата на първата дъга на циклоида.Изминавайки контура зад старата стрелка.
4. Застосовучи формула Грина, изчислете интеграла 
de L - изплъзва Obhid контура на стрелката обратно на часовниковата стрелка.
5. Инсталирайте, за да видите съзнанието за независимостта на интеграла от пътя на интеграцията за интеграла 
, Знам йога.
6. Ревизия, броят на задачите viraz с различен диференциал на функцията U (x, y), и я познайте.
7. Изчислете силата на робота, когато материалната точка е изместена в горната половина на елипсата 
от точка A (a, 0) до точка B (-a, 0).
Вариант 4.
1. Изчислете извития интеграл по дъгата (декартови координати).
1.de L - контур на квадрат
2. Изчислете криволинеен интеграл 
където L е дъгата на параболата на точка A (0,0), до точка B (1,1). Заобикаляне на контура на стрелката обратно на часовниковата стрелка.
3. Изчислете криволинеен интеграл якшо L - горна половина на елипсата 
Заобикаляне на контура за стрелката на годината.
4. Формулата на Zastosovyuchi Green, изчислете интеграла de L - контура на триколката с върховете A (1; 0), B (1; 1), C (0,1). Заобиколи контура на стрелката обратно на часовниковата стрелка.
6. Ревизия, броят на задачите viraz с различен диференциал на функцията U (x, y), и я познайте.
7. В точката на скина на кол се прилага сила, която се прилага върху координатната ос е 
Визуално роботът ще бъде принуден да премести материалните точки на залога. Защо роботът трябва да бъде доставен на нула?
Вариант 5.
1. Изчислете извития интеграл по дъгата (декартови координати).
De L - права линия, scho от долната точка 0 (0,0), і А (4; 2)
2. Изчислете извития интеграл, където L е дъгата на кривата линия от точка А (0,1) до точка В (-1, д). Заобиколи контура на стрелката обратно на часовниковата стрелка.
3. Пребройте извития интегрален якшчо L - залог от 1 -во тримесечие 
Заобикаляне на контура за стрелката на годината.
4. Застосовучи формула Грина, изчислете интеграла 
de L - контур, обхващащ и Obhid контур на линията против призраци.
5. Инсталирайте, за да видите съзнанието за независимостта на интеграла от пътя на интеграцията за интеграла 
, Знам йога.
6. Ревизия, броят на задачите viraz с различен диференциал на функцията U (x, y), и я познайте.
7. Полето се утвърждава със сила / / = прав яке, за да се превърне в кут с прав радиус - вектора на точката й засушаване. Познайте робота на полето, когато материалната точка с маса m е изместена от точката (a, 0) към точката (0, a).
Вариант 6.
1. Изчислете извития интеграл по дъгата (декартови координати).
De L - четвърт кръг, който да лежи в I квадрата.
2. Изчислете криволинеен интеграл 
където L - ламана ABC, A (1; 2), B (1; 5), C (3; 5). Заобикаляне на контура на стрелката обратно на часовниковата стрелка.
3. Пребройте извития интеграл, където L е горната половина на окръжността 
Заобикаляне на контура за стрелката на годината.
4. Формулата на Zastosovyuchi Grína, изчислете интеграла de L - контура, обмежението, Obhіd контура в обратната посока.
5. Инсталирайте, за да видите съзнанието за независимостта на интеграла от пътя на интеграцията за интеграла 
, Знам йога.
6. Ревизия, броят на задачите viraz с различен диференциал на функцията U (x, y), и я познайте.
7. Да познава на робота силата на пружината, направо към кочана на координатите, където точката на прилагане на силата ще опише половината от елипсата спрямо старата стрелка 
да лежи в I-квадранта. Стойността на силата е пропорционална на видимата точка от кочана на координатите.
Вариант 7.
1. Изчислете извития интеграл по дъгата (декартови координати).
De L-част на параболата от точка (1, 1/4) до точка (2; 1).
2. Изчислете криволинеен интеграл 
de L - права линия, но от долната точка B (1; 2) и B (2; 4). Заобикаляне на контура на стрелката обратно на часовниковата стрелка.
3. Пребройте извития интегрален якшчо L - Перша арка на циклоида Obhid контура зад старата стрела.
5. Инсталирайте, за да видите съзнанието за независимостта на интеграла от пътя на интеграцията за интеграла 
, Знам йога.
6. Ревизия, броят на задачите viraz с различен диференциал на функцията U (x, y), и я познайте.
7. Материалната точка на единична маса се измества по обиколката преди следващата сила, проектирана върху координатите на оста е 
... Донесете силата си в ухото на кожна кола. Познайте робота по контура.
Вариант 8.
1. Изчислете извития интеграл по дъгата (декартови координати).
De L е контурът на правоъгълник с върхове в точките 0 0 (0; 0), A (4; 0), B (4; 2), C (0; 2).
2. Изчислете извития интеграл, където L е дъгата на параболата от точка A (0; 0) до точка B (1; 2). Заобикаляне на контура на стрелката обратно на часовниковата стрелка.
3. Изчислете криволинеен интеграл 
където L е част от окръжност 
да лежи на квадрат 1. Обхиди контура зад старата стрела.
4. Застосовучи формула Грина, изчислете интеграла 
de L - контурът на триколката с върховете A (0; 0), B (1; 0), C (0; 1). Заобикаляне на контура на противоположната стрелка.
5. Установете, за да видите съзнанието за независимостта на интеграла от пътя на интеграцията за интеграла и да го познаете.
6. Ревизия, броят на задачите viraz с различен диференциал на функцията U (x, y), и я познайте.
7. Материалната точка се движи по имейла 
по сила, стойността на това, което отива към точката до центъра на елипсата и се изправя до центъра на елипсата. Избройте силата на робота, тъй като целта е да се заобиколи целия имейл.
Вариант 9.
1. Изчислете извития интеграл по дъгата (декартови координати).
De L - дъга на парабола, която да лежи между точките
A, B (2; 2).
2. Изчислете криволинеен интеграл 
където L е права линия, но от долната точка A (5; 0) и B (0,5). Заобикаляне на контура на стрелката обратно на часовниковата стрелка.
3. Изчислете извития интеграл, където L е дъгата на елипсата между точките, които представляват контура зад старата стрелка.
4. Формулата на Zastosovyuchi Grína, изчислете интеграла de L - kolo Obhіd контура на обратната посока.
5. Инсталирайте, за да видите съзнанието за независимостта на интеграла от пътя на интеграцията за интеграла 
, Знам йога.
6. Ревизия, броят на задачите viraz с различен диференциал на функцията U (x, y), и я познайте.
7. В точката на скина на кривата се прилага сила, проектирана върху координатната ос е Визуално, роботът е принуден да премести материалната точка на единична маса по кривите от точка М (-4; 0) до точката N (0; 2).
Вариант 10.
1. Изчислете извития интеграл по дъгата (декартови координати).
De L е прав участък, който е от долната точка А
2. Пребройте извития интеграл, където L е дъгата на извития от точка A (1; 0) до B (e, 5). Заобикаляне на контура на стрелката обратно на часовниковата стрелка.
3. Vich_slіt извит интеграл икшо L - дъга на окръжност лежи в квадрат 1U. Заобиколете контура за стрелката на годината.
4. Формулата на Zastosovyuchi Grína, изчислете интеграла de L - контура на триколката с върховете A (1; 0), B (2; 0), C (1; 2). Заобиколи контура на стрелката обратно на часовниковата стрелка.
5. Инсталирайте, за да видите съзнанието за независимостта на интеграла от пътя на интеграцията за интеграла 
, Знам йога.
6. Ревизия, броят на задачите viraz с различен диференциал на функцията U (x, y), и я познайте.
7. В точката на скина на линията се прилага сила, проекцията върху координатната ос. Изчислете робота, разбит от сила, когато материалната точка е изместена по линията M (1; 0) към точката N (0 ; 3).
