Първият достатъчен знак за екстремума. Нарастващи и намаляващи функции на интервали, екстремуми. Сочи към екстремум, екстремни функции

Първият знак на екстремума е формулиран въз основа на промяната на знака на първия остарял при преминаване през критична точка. За други значения на екстремума по -долу в § 6.4.

Теорема (първи знак към екстремума) : ЯкшоNS 0 - критичната точка на функциятаy =е(х) и за един ден близо до точкатаNS 0 , Пресечете го зло надясно, тогава знакът се губи за другия, тогаваNS 0 е точка към екстремума. Освен това, ако знакът за неприлична промяна от "+" на "-", тогаваNS 0 е точката на максимума ие(х 0 ) - максимална функция и ако знакът от "-" до "+" се загуби, тогаваNS 0 - минимум точки, ие(х 0 ) - минимална функция.

Погледнете екстремума за носене местен(Mistseviy) характер и съвест на deyakoi малки покрайнини на критичната точка.

Екстремните точки и режещите точки добавят областта на стойността на функцията към интервала на монотонност.

Приложение 6.3.В задника 6.1. знаем критичните точки NS 1 =0 і NS 2 =2.

Z'yasuêmo, който е ефективен в точките на функцията y = 2x 3 -6 пъти 2 +1 maê extrememum. Подставами в нея са загубени
стойност NS, Взети zliv и дясна ръка от точката NS 1 =0 за да достигнете до любим оточен, например, x = -1і x = 1... otrimaєmo. Тъй като знакът от "+" до "-" се губи, тогава NS 1 =0 - посочете максимума и максимума на функцията
... Сега има две стойности x = 1 и x = 3близо до критичната точка NS 2 =2 ... Показано е също, че
, а
... Тъй като знакът от "-" до "+" се губи, тогава NS 2 =2 - посочете минимума. Минимум функции
.

Знай най -доброто аз най -малко значимифункционира без прекъсване
необходимо е да се преброят стойностите във всички критични точки и в края на линията, след което да се вибрират от тях най -много и най -малко.

6.3. Признаци на непрозрачност и потискане на графиката на функцията. точки на огъване

Графика на функциите, където се нарича диференциацияopuclна интервала, ако има свой собствен по -нисък в същия интервал;пусни (да слезем), Yaksho vín roztashovany vishche, бъдете внимателни на интервала.

6.3.1. Необходими и достатъчни признаци на непрозрачност и потискане на графиката

а) Необходими знаци

Якшо графика на функциитеy =е(х) opucleus на интервала(а, б) , Тогава един приятел се губи
на целия интервал; Якшо графикuvіgnutiy На(а, б) , тогава
На(а, б) .

NS просто графични функции y =е(х) opucleus (а, б) (Фиг. 6.3). Iakshcho kovzaє uzdovzh с буца криво зло вдясно, след това я kut nahilu промяна (
), В същия час точките на точките се променят и това означава, че Перша се губи
На (а, б) ... Ale tode загуби първия пуст Як загуби разпадащата се функция е виновен, но отрицателен
На (а, б) .

Якшо графика на функциите uvіgnutiyНа (а, б) Тоест, той е подобен, бачимо, но когато е крив, той е крив (Фиг. 6.3б).
), В същото време с него това е кутова функция и това означава, че е загубена. Първо, това се губи от по -слабата и нарастващата функция, но това е положителното
На (а, б) .

б ) Адекватни знаци

Якшо за функциятаy =е(х) във всички точки на интервала deyakogo ще бъде
, След това графиката на функциитеuvіgnutiy на целия интервал, но също така
, тогаваopucleus .

"Табло за правила" : Това е знак за друго неприятно, свързано с капка, и подобно на графика с извита дъга се препоръчва да го запомните: „плюс вода“ в uvіgnoy луна, "минус вода" - в бучка луна (фиг. 6.4).

Точката на графиката за непрекъсната функция, в която има спад в отсъствието на, или navpaki, се наричаточка на огъване .

Теорема (достатъчен знак за точката на точката на прегъване).

Якшо в точка функция
две различия от приятел се губят до точката на пътуване до нула или не, дори когато преминавате през точка приятелят е отвлечен
Зминюе знак, след това точка е точка на прегъване. Координирайте точката на гърбицата
.

Точките, в които един приятел е загубен да се обърне към нула или не, се наричат критични точки от друг вид.

Приложение 6.4.Познайте точките на пречупване и големината на интервалите на непрозрачност и потискане на кривината
(Крива на Гаус).

R Yesheniem.Знам първото нещо и мой приятел:
,. Един приятел се губи, когато ... Pririvnyuєmo я нула и virishimo otrimanne rivnyannya
, де
, todi
, звезди
,
- критични точки от различен вид. Обратно към промяната на знака на друг отвратителен при преминаване през критична точка
... Якшо
, Например,
, тогава
, и Якшо
, Например,
, тогава
, Tobto, един приятел е загубен от знак. вече,
- абсциса на точката на прегъване, нейните координати
... Ще разгледам функциите за сдвояване
, петно
, Симетрична точка
, Това ще бъде точка на претоварване.

За да знаете максималните и минималните функции, можете да се объркате с три достатъчни знака на екстремум. Искам най -популярният и първият да бъде първият от тях.

Първо, имам достатъчно ум за екстремума.

каква функция y = f (x)диференциран в близост до точката и в най -голямата точка не се прекъсва. Тоди

Накратко:

Алгоритъм.

Областта на функцията е известна.

Известно е, че съм загубил функцията в областта на обозначението.

Viznachaєmo нули на числото, нули на знаменателя на корема и точките на областта на стойността, в която произходът не е точки на луд екстремум, Преминете през точките, когато можете да промените знака).

Точките разбиват областта на стойността на функцията на интервалите, в които знакът се губи. Визуално, признаци на отвратителност върху кожните зинтервали (например изчисляване на значението на непристойната функция във всяка точка от даден интервал).

Вибрационните точки, в които функцията не се прекъсва и преминава, е началото на знака.

Задник.Познайте екстремума на функцията.
Решение.
Областта на стойността на функцията е всички неслучайни числа, крим x = 2.
Знам, че ще отида:

Числовите нули са точки x = -1і x = 5, Znamennyk се обръща към нула при x = 2... Еднозначни точки по числовата ос

Визуално признаците на неприличие в кожния интервал, за които цифровата стойност на по -бедната във всяка точка от кожния интервал е номерирана, например в точки x = -2, x = 0, x = 3і x = 6.

Otzhe, на интервала той е положителен (знак плюс се поставя върху малкия над интервала cym). по същия начин

Минус се поставя над друг интервал, минус над трета, плюс над четвърт.

Продължителни вибрационни точки, в които функцията не се прекъсва и знакът се губи. Це и е сочи към екстремума.
В момента x = -1функцията не се прекъсва и се губи, знакът от плюс към минус, сега, след първия познат екстремум, x = -1- точката до максимума, максималната й функция на функцията.
В момента x = 5функцията не се прекъсва и знакът от минус до плюс се губи, x = -1- точка на минимума, ий иповидаємо минимални функции.
Графична илюстрация.

както следва: .

Друга остатъчна характеристика на функцията екстремум.
Хей,

ако, тогава - точката на минимума;

yaksho, след това - точка до максимума.

Yak bachite, tsya признаци vimagaê иnuvannya obhіdnoї yak minіmum в различен ред в точки.
Задник.Познайте екстремума на функцията.
Решение.
По някаква причина в областта на стойността:

Нека да разграничим изходната функция:

Преминава към нула, когато x = 1, Tobto, tse точка на mozhlivy extremumu.
Познат на приятел, ще загубя функции и ще бъде номериран и смислен, когато x = 1: И,

Точката до екстремума на функцията е точката от областта на стойността на функцията, в която стойността на функцията се приема е минимална. максимална стойност... Стойността на функцията в тези точки се нарича екстремуми (минимална и максимална) функции.

стойност... Спек х1 области на функция е(х) да се извика точката на максимална функция Тъй като функцията е важна в цялата точка, функцията е по-важна за достигане до точките близо до тях, хората с дясна и лява ръка са е(х0 ) > е(х 0 + Δ х) х1 максимум.

стойност... Спек х2 области на функция е(х) да се извика посочете минимума на функциятаДокато смисълът на функцията в точката е по-малък от смисъла на функцията за достигане до точките близо до нея, десничарите и левичарите са е(х0 ) < е(х 0 + Δ х) ). Имам много vipadku казват, че функцията е в точка х2 минимум.

Добре, точка х1 - точка на максимална функция е(х). Тоди в интервала до х1 функция на растеж, Функции по -големи от нула ( е "(х)> 0) и в интервала х1 функция на разпадане загубена функцияпо -малко от нула ( е "(х) < 0 ). Тогда в точке х1

Също така е приемливо, но смисълът х2 - посочете минимума на функцията е(х). Тоди в интервала до х2 функцията на разпадане, а извлечената функция е по -малка от нула ( е "(х) < 0 ), а в интервале после х2 функция на растеж, а извлечената функция е по -голяма от нула ( е "(х)> 0). Има и много vipadku в точка х2 Функцията е загубена до нула или не.

Теорема на Ферма (необходима за обозначаване на екстремума на функцията)... къде е точката х0 - посочете екстремума на функцията е(х), Тогава в точката, където функцията отива до нула ( е "(х) = 0), но не съществува.

стойност... Извикват се точките, в които функциите са загубени до нула или не критични точки .

Приклад 1.Функционалността е лесна за разбиране.

В момента х= 0 функцията се губи до нула, от същата точка х= 0 е критична точка. Можете обаче да го видите на графиката на функцията, тя расте в тази област. х= 0 не в точката на екстремума на централната функция.

В такъв ранг помислете за онези функции, които липсват функции в момента на достигане на нула или не по едно и също време, с необходимите умове до крайността, или недостатъчно, можете да насочвате и добавяте функции за тези, които искат да мисля Том необходимо е майките да имат свои добре подредени знациВъзможно е да се прецени дали екстремумът е в определена критична точка и кой сам по себе си е максимумът или минимумът.

Теорема (първият достатъчен знак на екстремума на функцията).критична точка х0 е(х), При преминаване през точка функцията се губи, знак, освен това, ако знакът се промени от "плюс" на "минус", тогава точка до максимум, а ако от "минус" на "плюс", тогава точка до минимум.

Ще се доближа до темата х0 , Lívoruch и десничар от нея, изгубен знак zberіgaê, тогава tse означава, че функцията е abo tilki ubuvak, или расте само в deyakom около точката х0 ... В целия випад в точка х0 Екстремът е ням.

Отже, ако има точки към екстремума на функцията, това е необходимо за Виконати :

Знайте изгубената функция.
Приоритизирайте загубата до нула и по броя на критичните точки.
Мисли, но на верандата има критични точки по числовата ос и между другото има признаци на неприлична функция в отделните интервали. Ако знакът за лошия се промени от "плюс" на "минус", тогава критичната точка е точката на максимума, а ако от "минус" на "плюс", тогава точката е минималната.
Изчислете стойностите на функцията в точки към екстремума.

Приклад 2.Познайте екстремните функции .

Решение. Знам, че функцията ще бъде загубена:

По принцип ще отида на нула, за да мога да знам критичните точки:

Така че, независимо от значението на "ixi", знаменателят не е равен на нула, тогава числото обикновено е нула:

Бяха от една критична точка х= 3. Значително, знакът е лош на интервали, разделени с точка:

в интервала от минус до 3 - знак минус, така че функцията на разпадане,

в интервала от 3 до плюс неинцидентност - знакът плюс, така че функцията на растеж.

Тобто, точка х= 3 е точка до минимум.

Знаем значението на функцията в точката на минимума:

В такъв ранг точката към екстремума на функцията е известна: (3; 0), а точката е минимумът.

Теорема (друг достатъчен знак на екстремума на функцията).критична точка х0 е точка към екстремума на функцията е(х), Тъй като друга функция се губи до нула ( е ""(х) ≠ 0), освен това, ако приятел е загубен повече от нула ( е ""(х)> 0), след това точка до максимума и ако приятел се загуби по -малко от нула ( е ""(х) < 0 ), то точкой минимума.

Уважение 1. Якшо в точка х0 се превърнат в нула и перша, и приятел на същия, тогава в същия момент не може да се прецени за появата на екстремума при показването на друг достатъчен знак. Като цяло е необходимо да се ускори с първото достатъчно запознаване с екстремума на функцията.

Старание 2. Друга остатъчна характеристика на екстремума на функцията е неоторизирана, ако в неподвижната точка першата не е изчезнала (не поради другата). За всички видове хора също е необходимо да се използва първият обилен познат екстремум на функцията.

Локален характер на екстремните функции

Когато стойността се подобри, екстремумът на функцията е с по -малко локален характер - най -и най -малко важната функция в контекста на най -важните стойности.

Нека признаем, че гледате приходите си час или два преди вечеря в един рик. Ако спечелим 45 000 рубли при равни условия и 42 000 рубли в kvitnі и 39 000 рубли в червни, тогава печелените пари от трева са максималната функция за печелене на пари в печеливши условия. Заедно с това спечелихме 71 000 рубли в заплатата, 75 000 рубли през пролетта и 74 000 рубли в есенните листа, което означава минималната функция за печелене на пари в разумни срокове. Преглеждам леко обратно, но максималната средна стойност на листа-трева-червей е по-малка от минималната стойност на падането на листата.

Казват, че е загално, за интервала на функция може да има майки на екстри и освен това можете да се появявате, но дали минималната функция е по -голяма от максималната. Така че, за функцията на изображението върху малкия, вие.

Това не е за мислене, а максималната и минималната функция, очевидно, най -и най -смислената във всички изяви. В точката на максимума функцията е по -малко важна по отношение на тези стойности, тъй като е възможно в тези точки, да достигне близките до максималната точка, а в минималната точка - най -малко смислената, междувременно, до близките стойности, до точката на минимум.

Това може да се изясни, като посочите точките към екстремума на функцията и посочите точките до минимума като точки от локалния минимум, а точките до максимума като точки от локалния максимум.

Shukaêmo extrememum функционира наведнъж

Приклад 3.

Решение: Функцията е присвоена и непрекъсната в цялата числова линия. тя се губи Той също е в цялата числова линия. За това, в тази конкретна гледна точка, да служи като критична точка е лишено от tі, в което, tobto, Zvídki i. Критични точки и разбийте цялата област на стойността на функцията на три монотонни интервала: Viberemo в кожата от тях от една контролна точка и има знак за отвратителен в същата точка.

За интервала може да се обслужва контролната точка: тя е известна. След като вземем точка в интервала, можем да я отбележим и като вземем точка в интервала, маемо. Отже, на интервали i и на интервали. Очевидно за първия достатъчен познат екстремум, в точката на екстремума не е (така се губи знакът в интервала), а в точката на функцията е минимален (грешката се губи при преминаване през пълния точка на zm. Познаваме следните функции:, a. В интервала, функцията на спад, както в целия интервал, така и в интервала на растеж, както в целия интервал.

Посочете графика на графиката, ние знаем точките на кросоувъра с координатните оси. В случай на ривняня, коренът на i, т.е. познаването на двете точки (0; 0) и (4; 0) графиката на функцията. Vikoristovuchi всички otrimaní vídomosі, willêmo graphіk (div. На кочана).

За саморевизия с rozrakhunks можете да ускорите онлайн калкулатор на старини .

Приклад 4.Знайте екстремума на функцията и насърчаването на графиката.

Областта на стойността на функцията е цялата числова линия, с изключение на точки, tobto.

За бързо освобождаване можете да побързате, ако е дадена функция на човек, така че яко ... Графиката към нея е симетрична според оста Ойи до края на деня можете да избирате само за интервала.

Знам, че ще отида и критични точки на функцията:

1) ;

2) ,

Ако функцията е да издържи разрива в точката tsy, това няма да е точката на екстремума.

В такъв ранг, функцията е зададенаима две критични точки: i. Ще разгледам паритета на функцията, която е преработена според различен, добре известен екстремум, само точка. За кого познавам приятел ще отида и е значителен нейния знак, когато: отпримаемо. Така че както i, тогава в точката на минималната функция, с .

Повече за графиката на функцията, за поведението на кордоните в района на назначаване:

(Тук символът е прагненя хдо нула вдясно, освен това хстанете позитивни; по подобен начин означава прагматичен хдо нула зло, освен това хстане отрицателен). Такъв ранг, Якшо, значи. Отдалечени, знаем

tobto yaksho че.

Точката не се припокрива с осите на графиката на функцията. Малунок - на кочана.

За саморевизия с rozrakhunks можете да ускорите онлайн калкулатор на старини .

Prodovzhumo shukati extremum функционира наведнъж

Приклад 8.Познайте екстремума на функцията.

Решение. Ние знаем областта на функцията. Така че, ако не можете да спечелите, ние ще можем да го разпознаем.

Знам, че ще загубя функцията.

Извиква се функцията y = f (x) нарастващ (намаляващ) В същия интервал, когато x 1< x 2 выполняется неравенство (f(x 1) < f (x 2) (f(x 1) >f (x 2)).

Ако функцията y = f (x) се диференцира с растежа (спада), то тя е подобна на другата f "(x)> 0

(F "(x)< 0).

Спек x околода бъде повикан точка на местния максимум (минимум) Функции f (x), сякаш близо до точката x около, За всички точки, където несигурността е f (x) ≤ f (x o) (f (x) ≥ f (x o)).

Извикват се точки за максимум и минимум точки до екстремума, И значението на функцията в qix точки - я екстремуми.

Необходимо е да се обясни екстремума... къде е точката x околое точка към екстремума на функцията f (x), тогава или f "(x о) = 0, или f (x о) не е исуе. Такива точки се наричат критиченОсвен това самата функция е от критична важност. Екстремум на функциите на шукати сред критичните точки.

За най -доброто от umov.Хей x около- точката е критична. Където f "(x) при пресичане на точката x околознак плюс на минус, след това в точка x околофункцията е максимална, най -малко - минимална. Ако при преминаване през критична точка знакът не се промени, тогава в точката x околоЕкстремът е ням.

Другият има достатъчно ум.Нека функцията f (x) бъде загубена
f "(x) в близост до точката x околоЩе отида до точката на моя приятел x около... Където f "(x о) = 0,> 0 (<0), то точка x околое точката на локалния минимум (максимум) на функцията f (x). Ако w = 0, тогава е необходимо да се отървете от първия изобилен ум или да се изгубите.

В края на функцията y = f (x) е възможно да се достигне най -малката или най -голямата стойност или в критични точки, или в краищата на кривата.

Doslіdzhennya умове и pobudova графики.

Знайте обхвата на функцията

Знайте точките на преобръщане на графиката с координатните оси

Познайте интервалите на стоманените маркировки

Дослидити за паритет, несдвоеност

Познайте асимптотиката на графиката на функциите

Познайте интервалите на монотонност на функциите

Познайте екстремните функции

Познайте интервалите на непрозрачността и точките на гърбицата

Асимптоти на графики на функции. Заглавната диаграма на напредъка и индуциране на графиките на функциите. Сложете го.

вертикална

Вертикалната асимптота е в пряка гледка към канализацията .

Като правило, когато вертикалните асимптоти са маркирани, те се шегуват не с една граница, а с две едностранни (лява и дясна). Важно е да се съсредоточите върху стойността, тъй като функцията се изпълнява в света на близост до вертикалната асимптотика от други страни. например:

Уважение: брутално уважение към признаците на несъответствие в равенствата на чич.

[Ed] Хоризонтално

Хоризонталната асимптота е лесна за окото

[Ed] Pohila

Отвлечена асимптотата - направо на ум за потъването между тях

Приклад за кражба на асимптоти

Уважение: функцията може да бъде не повече от две откраднати (хоризонтални) асимптоти!

Уважение: Ако искам една от двете погрешни визии между не исну (или доривню), тогава отвличането на асимптоти, когато (или) не е исну!

Връзка между спиращи и хоризонтални асимптоти

Якшчо с изчислени граници Очевидно е, че асимптотата е откраднала от хоризонталата. Какви са двата вида асимптоти?

Точно в това хоризонтална асимптотапри , І за хранителни значения

1. Функцията е или една кражба на асимптота, или една вертикална асимптота, или една кражба и една вертикална, или две отвличания, или две вертикални, или няма повече асимптоти.

2. Определението на стойностите в т. 1.) асимптотите са пряко свързани с определенията на сходните между тях.

Графика на функции с две хоризонтални асимптоти

] Познаването на асимптотите

Ред за обръщане на асимптота

1. Изчисляване на вертикалните асимптоти.

2. Znhozhennya две между

3. Znhozhennya две между:

(както в точка 2.), тогава, и между шегуването около формулата на хоризонталната асимптотика, .

Необходимостта от знак на екстремума може да се формулира по следния начин: като точка М(x 0, y 0) Ê точката на локалния екстремум на диференцираната функция z = f(х, y), Тогава векторът на градиента на функцията в точката ще бъде нулев вектор, така че .

Точките, в някои частни, първият ред на функцията на двамата победители е нула, се извикват стационарни точки.

За да формулираме достатъчен знак за екстремума на функцията на двете, трябва да знаем матрицата на диференциала от различен ред на централната функция, написана с оглед на квадратичната форма:

И също така шаблонът на централната матрица, който може да бъде написан в обиден изглед:

Достатъчен знак за екстремум

Уважение.Якшо в неподвижната точка М: Δ = AB – Z 2= 0, тогава появата на екстремума е възможна, но за цялата нужда от допълнителна информация.

BUTT:Познайте екстремните функции

Множество частни стари първи и друг ред на дадената функция:

За познаване на неподвижните точки е възможно да се доведат до нула някои от старите в първия ред и системата на ривни е приемлива:

но:

Системата Virishuchi tsiu можем да разпознаем две неподвижни точки М(0, 0) и н(1, 1/2).

За да се определи проявлението на екстремума и характера в тези точки, стойностите на частните по -стари от различен ред се броят последни в точките на кожата.

За неподвижна точка М(0, 0) е видимоêmo:

Резултати: Δ = AB – Z 2 = - 36 < 0, в этой стационарной точке экстремума нет.

За неподвижна точка н(1, 1/2) moo:

Оскилки Δ = AB – Z 2= 108> 0 i А= 6> 0, robimo visnovok, но в неподвижна точка ще има локален минимум на тази функция. Освен това смисълът на функцията в точката на минимума ще бъде 0.

Метод на най -малките квадрати

За практичните добавки, включително икономичните, те често имат задачата да изгладят експериментално отстранените отлагания на deyakykh. За да може да се изобрази точно естествената тенденция на угар yот хСлед като са направили грешка под формата на доказателства за ревностните тенденции, обединени с неизбежните ощипвания на експериментални или статистически данни. Така че изглади пустотата, шегувай се с формулите. С цяла формула услугата за аналитично подаване на депозити от допълнителни или експериментални данни беше взета въз основа на емпиричен.

Забавната шега на предстоящата емпирична формула ще се раздели на два основни етапа. На първия етап настройте, вибрирайте, загален виглядтакива депозити y = f(х). При такъв вибор често се получават допълнителни огледала, които по правило са без математически характер. На другия етап няма параметри на противоположната емпирична функция, викарист и само много експериментални данни.

Повечето от разширенията и теоретично грундирани метод на най -малките квадрати в качеството на неродните параметри в емпиричната функция е(х) Вибрирайте следните стойности, общото количество квадрати на "остатъците" δ i (от "теоретичната" стойност на функцията от експериментално коригираните стойности) беше b минималното, tobto .:

de i - експериментални данни, и н- няколко двойки чич данихи.

Лесно мога да разбера задача от този вид. Нямат линейна функция в качеството на емпиричната функция, така че (фиг. 22) е необходимо да се знаят тези стойности на параметрите аі бЗа да осигурите минимална функционалност: .

Очевидно функцията ще бъде функция на двама аі бдокато тихо, стига да не знаете и да не ги поправите „хубави“ значения, някои от всички и номера след дата, познавате експериментално. Към това за познаване на параметрите на правите линии, с най -добър ранг uzgodzheno с допълнителни данни, за да се допълни системата за девственост на ривни:

Системата може да бъде представена на viglyad, когато е наличен броят на по -старите и същите реализации. нормални системи :

qia система lіnіynykh rívnyany maê dine rіshennya, както може да се намери зад правилото на Kramer:

;

С такъв ранг, най -добрите линейни приближения на експерименталното проследяване по метода на най -малките квадрати, ще бъде ясно.

BUTT:Степен на пропуск в производството на предприятието Yи партида основни средства NS, Люлеещ се в интелигентни odinitsy, попитайте масата.

NS
Y

За да се определи формата на емпиричната формула, връзката ще бъде подканена от графиката на експерименталното утаяване (улеи на фиг. 23). Като изместите експерименталните точки на графиката, можете да я пуснете NSі Yе liniynoyu, tobto maê viglyad:

За визначение числови стойностипараметри аі босъществява разработването на коефициентите на системите и нормалните нива, като в името на ефективността се изчислява в таблицата.