Такива трансформации на системата от линейни линии се наричат ​​елементарни. Елементарна трансформация на системи. Линеен угар, независимост на векторните системи

3. Познайте решението на системата, което ви позволява да премахнете стъпките на матрицата.

§7. Линейни системи

Равни системи. Елементарна трансформация на системата от линейни линии.

Хайде У- Полето на комплексните числа. Равно на ум

де
, се наричат ​​линейни равни нневидомими
. Комплект за поръчка
,
наречени решения равни (1), като .

система млинеен ривнян з нсистемата се нарича равна на ума:

- Коефициенти на системата от линейни подравнявания, - Безплатни членове.

Правоъгълна маса

,

наречена матрица на света
. Нека въведем обозначението: - и-Ta ред на матрицата,
- к-Ty stovpets матрица. Матрица Аповече означават
или
.

Предстоящата трансформация на редовете в матрицата Асе наричат ​​елементарни:
) изключване на нулевия ред; ) умножение на всички елементи от всеки ред по число
; ) допълнение към ред от ред на ред от ред, умножено по
. Подобни трансформации на матричните колони Асе наричат ​​елементарни трансформации на матрицата А.

Първият ненулев елемент (по-важното е вдясно) на всеки ред от матрицата Асе нарича проводящ елемент на този ред.

Назначаване. матрица
нарича се стъпало, сякаш са осветени така:

1) нулевите редове на матрицата (като смрад) са по-ниски от ненулевите;

2) якчо
провеждане на елементи от ред от матрица, тогава

Независимо дали е ненулева матрица И в случай на обикновени елементарни трансформации, тя може да бъде сведена до стъпаловидна матрица.

дупето. Индуцируема матрица
към стъпковата матрица:
~
~
.

Матрица, сгъната със системни коефициенти линейни линии (2) се наричат ​​основна матрица на системата. Матрица
, Отриман, с допускането на свободните членове, се нарича разширена матрица на системата.

Подреждането на множеството се нарича решения на системата от линейни подравнявания (2), както и решенията на скин линейното подравняване на системата.

Системата от линейни подравнявания се нарича кохерентна, защото може да бъде само едно решение и не е луда, защото не може да бъде решена.

Системата от линейни подравнявания се нарича пеене, защото има само едно решение, което не е маркирано, защото има повече от едно решение.

Предстоящата трансформация на системата от линейни подравнявания се нарича елементарна:

) изключване от системата, равно на ума;

) кратни на двете части, независимо дали е равно на
,
;

) добавяне към дали има друго равно, умножено по ,.

Две системи от линейни линии ннеизвестните се наричат ​​еднакво силни, защото вонята не е последователна, но много от решенията им са взети.

Теорема. Например една система от линейни подравнявания е отнета от другите елементарни трансформации от типа ), ), ), тя е еднакво силна като визуална.

Ревизия на системата от линейни подравнявания по метода на игнориране на неизвестното (по метода на Гаус).

Пуснете системата млинеен ривнян з н unwidomimi:

Като система (1) за отмъщение на ума

тогава системата не е последователна.

Да приемем, че системата (1) не е равна на вида (2). Нека системата (1) промени коефициента х 1 в началото е равно
(като че ли не е така, тогава чрез пренареждане на равни места не е възможно да се достигне какво, така че не всички коефициенти при х 1 е равно на нула). Застосуемо към системата от линейни линии (1) напредващи ланцети на елементарни трансформации:

, Dodamo на друго ниво;

Първо равно, умножено по
, Dodamo до трето ниво и така нататък;

Първо равно, умножено по
добавяме към останалата част от системата.

В резултат на това отнемаме системата от линейни подравнявания (дадохме най-краткия SLN за системата от линейни подравнявания), равна на силата на системата (1). Може да разберете, че в другата система е равно на числото и, и 2, не отмъщавайте на неизвестното х 2. Хайде кнай-малкото естествено число, което е неизвестно х кИскам да си отмъстя в един равен брой и, и 2. Todi otrimana system rivnyan maє vyglyad:

Система (3) е равна на система (1). Zastosuєmo сега към подсистемата
системи за линейно подравняване (3) микроскопия, които бяха установени на SLN (1). И досега. В резултат на този процес се получава до един от двата резултата.

1. Отнемаме SLU, което е равно на ума (2). И тук SLE (1) е непоследователен.

2. Елементарните трансформации, стазис към SLN (1), не водят до системата, сякаш за да отмъстят за външния вид (2). В tsomu vipadku SLP (1) чрез елементарни трансформации
насочете към системата, равна на ума:

(4)

де, 1< к < л < . . .< с,

Системата от линейни подравнявания във формата (4) се нарича стъпаловидна. Тук можете да имате две падания.

а) r= нтогава системата (4) може да изглежда

(5)

Система (5) има само едно решение. Отново системата (1) може да бъде решена само.

Б) r< н. Чиито ум няма дом
в система (4) се наричат ​​глави без куполи, а рещата на некуполите в тази система са безплатни (числото е едно н- r). Надяваме се, че доста числови стойности не са необходими, дори SLU (4) matime изглежда по същия начин като системата (5). От него заглавията са недвусмислени. В този ранг системата може да бъде разрешена, така че тя е последователна. Shards of the unknown дадоха доста числени стойности У, то системата (4) е недефинирана. Отново системата (1) е недефинирана. Viraziv в SLN (4) smut nevidomі чрез vіlnі nevidomі, otrimaemo система, която се нарича най-дивите решения на системата (1).

дупето. Развържете системата от линейни подравнявания по метода г aussa

Записваме разширената матрица на системата от линейни подравнявания и след помощта на елементарни трансформации на редове я извеждаме до стъпаловидна матрица:

~

~
~
~

~ . Като пропуснем матрицата, можем да намерим система от линейни подравнявания:
Системата Tsya е равна на външната система. Като глава на неизвестното
vіlnі nevіdomі. Между другото, главата на неизвестното е само през дивото неизвестно:

Отнехме пълното решение на SLN. Пусни ме

(5, 0, -5, 0, 1) е частно решение за SLP.

Задача за самостоятелно виждане

1. За да знаете глобалното решение и още едно решение на системата за равни по метода на изключване на неизвестното:

1)
2)

4)
6)

2. Познайте различните стойности на параметъра аглобално решение на системата от реки:

1)
2)

3)
4)

5)
6)

§осем. Векторни пространства

Концепция за векторно пространство. Най-простата мощност.

Хайде V ≠ Ø, ( Ф, +,∙) – поле. Елементите на полето се наричат ​​скалари.

Ферментация φ : Ф× V –> Vсе нарича операция за умножение на елементи на умножение Vна скалари от полето Ф. Значително φ (λ,a) през λа twir елемент акъм скалар λ .

Назначаване.Безлич Vот дадена алгебрична операция чрез добавяне на елементи в множител Vче множество елементи Vна скалари от полето Фсе нарича векторно пространство над полето F, което означава следните аксиоми:

дупето. Хайде Фполе, Ф н = {(а 1 , а 2 , … , а н) | а и Ф (и=)). Кожен елемент множество Ф нНаречен н-прост аритметичен вектор. Нека представим операцията за добавяне н-мирни вектори и умножение н-световен вектор за скаларно z поле Ф. Хайде
. Нека го направим = ( а 1 + б 1 , … , а н + б н), = (λ а 1, λ а 2, …, λ а н). Безлич Ф n където въвеждането на операции е векторно пространство и се нарича н-просто аритметично векторно пространство над полето Ф.

Хайде V- векторно пространствонад полето Ф, ,
. Има такива характеристики:

1)
;

3)
;

4)
;

Доказателство за издръжливост 3.

Z от ревност към закона на бързата група ( V,+) може би
.

Линеен угар, независимост на векторните системи.

Хайде V- Векторно пространство над полето Ф,

. Вектор се нарича линейна комбинация от система от вектори
. Анонимният от всички линейни комбинации на векторната система се нарича линейна обвивка на векторната система и се обозначава.

Назначаване.Системата от вектори се нарича линейна угара, тъй като се използват такива скалари
не всички са равни на нула, така че

Как еквивалентност (1) е победител или по-малко от това, ако λ 1 = λ 2 = … = =λ м=0, системата от вектори се нарича линейно независима.

дупето. Chi z'yasuvati chi є система от вектори = (1,-2,2), =(2,0, 1), = (-1, 3, 4) пространство R 3 линеен угар или независим.

Решение.Нека λ 1 , λ 2 , λ 3
і

 |=> (0,0,0) – системно решение. Отже, векторната система е линейно независима.

Доминирането на линейната заблуда и независимостта на векторната система.

1. Системата от вектори, която иска да отмъсти за един нулев вектор, е линейно угар.

2. Система от вектори за отмъщение на линейна угарна подсистема, линейна угар.

3. Система от вектори, де
е линейно угар, дори и само ако искате един вектор от системата да управлява вектора є линейна комбинация от предни вектори.

4. Като система от вектори е линейно независима, но система от вектори
линейно угар, след това вектор можете да разгледате линейна комбинация от вектори и до същия ранг.

Привеждане.Ако векторната система е линейно угара, тогава
не всички са равни на нула, така че

Във векторна еквивалентност (2) λ м+1 ≠ 0 λ м+1 = 0, тогава s (2) \u003d\u003e Виждаме, че системата от вектори е линейно угара, парчета λ 1 , λ 2 , … , λ мне всички са равни на нула. Дойдоха да си изтрият умовете. Z (1) => de
.

Нека векторът бъде показан по същия начин, както го виждате: Todo с векторно равенство
чрез линейната независимост на векторната система можем да видим това
1 = β 1 , …, м = β м .

5. Дайте данни на две системи от вектори и
, м>к. Ако векторът на векторната система може да се комбинира като линейна комбинация от векторната система, тогава векторната система е линейно угар.

Базис, ранг на системата от вектори.

Кинцева векторна система в космоса Vнад полето Ф смислено чрез С.

Назначаване. Be-yaka линейно независима подсистема на векторната система Ссе нарича основа на системата от вектори С yakscho be-yaky векторна система Сможете да разгледате линейната комбинация на векторната система.

дупето.Намерете основата на системата от вектори = (1, 0, 0), = (0, 1, 0),

= (-2, 3, 0) R3. Системата от вектори, линейно независими, oskіlki, vіdpovіdno до доминион 5, системата от вектори е премахната от системата от вектори помощник Основиелектромеханотроника: началенпомощник фондацияелектроинженерство"; ...

Преди елементарните трансформации може да се види:

1) Добавяне към двете части на едната равни части на другата, умножено по същото число, което не е равно на нула.

2) Пермутация на равните на мисиите.

3).

ТЕОРЕМА НА КРОНЕКЕР - КАПЕЛИ

(целостта на системата Umova)

(Леополд Кронекер (1823–1891) немски математик)

теорема: Системата е разделена (може да иска едно решение) или по-малко, ако рангът на матрицата на системата е равен на ранга на разширената матрица.

Очевидно системата (1) може да се запише като:

x 1 + x 2 + … + x n

Привеждане.

1) Ако решението е взето, тогава колоната на свободните членове е линейна комбинация от колоните на матрицата A, която също се добавя към матрицата, т.е. преходът А®А* не променя ранга.

2) Yakshcho RgA = RgA * , tse означава, че вонята може да бъде в същия основен минор. Stovpets vіlnyh termіnі - линейна комбинация от stovptsіv основа минор, tі правилна нотация, посочи по-високо.

дупето.Изчислете последователността на системата от линейни подравнявания:

~ . Rga = 2.

A* = RgA* = 3.

Системата е луда.

дупето.Определете сумата от системата от линейни подравнявания.

A =; = 2 + 12 = 14 ¹ 0; RgA = 2;

A* =

RgA* = 2.

Система за сън. Решение: x1 = 1; x2 = 1/2.

2.6 МЕТОД НА ГАУС

(Карл Фридрих Гаус (1777-1855) немски математик)

На базата на матричния метод и метода на Крамер, методът на Гаус може да се преобразува в системи от линейни подравнявания от голям брой подравнявания и неизвестни. Същността на метода се основава на последващо включване на недомашни пациенти.

Нека да разгледаме системата от линейни подравнявания:

Нека разделим обидните части на 1-ва равни на 11 ¹ 0, след което:

1) умножете по 21, които виждам от друго равно

2) умножете по 31, виждам от третото равно

, де d 1 j = a 1 j /a 11 , j = 2, 3, …, n+1.

d ij = a ij - a i1 d 1j i = 2, 3, …, n; j = 2, 3, …, n+1.

дупето.Разкрийте системата от линейни линии по метода на Гаус.

, Звездите са приемливи: x 3 \u003d 2; x 2 \u003d 5; x1=1.

дупето.Проверете системата по метода на Гаус.

Нека разширим матрицата на системата.

В този ранг външната система може да бъде представена по следния начин:

, Звездите са приемливи: z = 3; y=2; х = 1.

Otriman vіdpovіd zbіgaєtsya vіdpovіddu, otrimanoyu за тази система по метода на Крамер и метода на матрицата.

За независима визия:

Предложение: (1, 2, 3, 4).

ТЕМА 3. ЕЛЕМЕНТИ НА ВЕКТОРНИ АЛГЕБРИ

ОСНОВНО ОБОЗНАЧЕНИЕ

Назначаване.векторнаречени прави линии (подредени са няколко точки). Преди vector_v_vіdnosti също нулавектор, кочана на този вид zbіgayutsya.

Назначаване.Довжина (модул)векторът се извиква между кочана и края на вектора.

Назначаване. Векторите се наричат колинеарнакато воня, разпространена по една или успоредни линии. Нулевият вектор е колинеарен на всеки вектор.

Назначаване. Векторите се наричат компланаренкато истински апартамент, като паралелна воня.

Колинеарните вектори винаги са компланарни, но не всички копланарни вектори са колинеарни.

Назначаване. Векторите се наричат равнисякаш са колинеарни, но са изправени и могат да бъдат едни и същи модули.

Be-yaki вектори и може да доведе до сърдечен кочан, tobto. за индуциране на вектори и vidpovidno равни данни и направи горещ кочан. От обозначението на векторното равенство е очевидно, че дали един вектор може да бъде безличен вектор, равен на вас.

Назначаване.Линейни операциивърху вектори се нарича събиране и умножение по число.

Sumoyu vector_v є вектор -

Tvir, dobutok - , при което kolіnearen .

Вектор на посоката іz вектор ( ), така че a > 0.

Векторът на protivolezhnoy директиви с вектора (?), така че a< 0.

МОЩНОСТ НА ВЕКТОРИВ

1) + = + - комутативност.

2) + ( + ) = ( + )+

5) (a×b) = a(b) – асоциативност

6) (a + b) = a + b - дистрибутивност

7) a(+) = a + a

Назначаване.

1) Основапространството се нарича като че ли 3 некомпланарни вектора, взети в същия ред.

2) Основана равнината се наричат ​​2 неколинеарни вектора, взети в същия ред.

3)Основана права линия се нарича ненулев вектор.

Хайде - Система от вектори m z . Основните елементарни трансформации на векторната система є

1. - добавяне на един от векторите (вектор ) на линейна комбинация от други.

2. - умножение на един вектор (вектор) по число, което не е равно на нула.

3. пермутация на два вектора () по вектори. Системите от вектори ще бъдат наречени еквивалентни (обозначение), сякаш използват език на елементарни трансформации за превод на първата система в друга.

Значително силата на въведеното понятие за еквивалентност на векторите

(рефлексивност)

Z vyplivaє, scho (симетрично)

Като аз, тогава (преходност) Теорема.Ако системата от вектори е линейно независима, тя е еквивалентна, тогава системата е линейно независима. Привеждане.Очевидно е, че е достатъчно да се докаже теоремата за система, която се отнема с помощта на едно елементарно преобразуване. Да приемем, че векторната система е линейно независима. Todі z tsogo vyplivaє, scho. Нека системата бъде отнета с помощта на една елементарна трансформация. Очевидно е, че пермутацията на вектор или умножението на един от векторите с число, което не е равно на нула, не променя линейната независимост на векторната система. Сега е възможно системата от вектори да бъде премахната от системата от добавки към вектора на линейните комбинации от други, . Необходимо е да инсталирате, че (1) можете да видите Oskilki, тогава s (1) е приемливо. (2)

Защото системата е линейно независима, тогава s (2) е ясно, което е всичко .

Ние го приемаме. Какво беше необходимо да донеса.

57. Матрици. добавяне на матрица за умножение на матрица по склар на матрица като векторно пространство на його пространството.

Тип матрица: квадратна

Добавяне на матрици

Мощно добавяне на матрици:

1. комутативност: A + B = B + A;

Умножаване на матрица по число

Умножение на матрица A по число? (значително: ? A) поле в матрицата B, елементът като начин за умножаване на скин елемента на матрицата A по цяло число, така че скин елементът на матрицата B е повече: Bij = Aij

Силата на умножаване на матрици по число:

2. (λβ)A = λ(βA)

3. (λ+β)A = λA + βA

4. λ(A+B) = λA + λB

Векторен ред и векторен ред

Матрици на света m x 1 и 1 x n є с елементи от пространства K ^ n и K ^ m е възможно:

Разширената матрица m x1 се нарича вектор колона и може да бъде специално обозначена:

Матрица за разширение 1 x n се нарича векторен ред и може да има специално значение:

58. Матрици. Добавяне на множество матрици. Матрици като пръстен, матрици на силата на пръстена.

Матрицата се нарича правоъгълна таблица с числа, която се формира от m със същата дължина на редове или n със същата дължина на strobts.

aij- матричен елемент, който се намира в i-ти ред и j-та колона.

Тип матрица: квадратна

Квадратната матрица е матрица с равен брой колони и редове.

Добавяне на матрици

Добавянето на матрици A + B е операцията на стойността на матрица C, всички елементи на която са равни на двойната сума на всичките два елемента на матрицата A и B, тогава елементът на кожата на матрицата е допълнителен Сij = Aij + Bij

Мощно добавяне на матрици:

1. комутативност: A + B = B + A;

2. асоциативност: (A+B)+C =A+(B+C);

3. събиране с нулева матрица: A + Θ = A;

4. Основата на матрицата на дължината: A + (-A) = Θ;

Силите на силата на линейните операции повтарят аксиомите на линейното пространство и е вярна следната теорема:

Богата матрица от равни разширения mxn с елементи от полето P (полетата на всички реални и комплексни числа) установява линейно пространство над полето P (такава матрица е векторът на това пространство).

Възпроизвеждане на матрици

Умножение на матрици (знак: AB, до знака на множителя A x B) - операцията за изчисляване на матрицата C, елементът на кожата е най-ценната сума от елементите в реда на първия множител и колоната на другият.

Броят на колоните в матрица A може да се увеличи с броя на редовете в матрица B, в противен случай изглежда, че матрица A се дължи на стесняване от матрица B. Тъй като матрица A може да бъде разширена mxn , B - nxk , след това разширение krnist AB = C до създаването.

Мощност на множество матрици:

1. асоциативност (AB) C = A (BC);

2.некомутативни (в една ивица): AB BA;

3.tver комутативно в кратни с единична матрица: AI = IA;

4. дистрибутивност: (A + B) C = AC + BC, A (B + C) = AB + AC;

5. асоциативност и комутативност при умножение по число: (λA)B = λ(AB) = A(λB);

59 Особено и незабележими елементарни трансформации на редове от матрици. Елементарни матрици. Възпроизвеждане върху елементарни матрици.

обратна матрица - такава матрица А -1, когато се умножи по як, изходната матрица Адава резултата един по един матрицата Е:

Елементарни трансформации на редовеиме:

По същия начин те се назначават елементарна трансформация на стовпцив.

Елементарна трансформация върколаци.

Обозначението сочи към тези, че матрицата може да бъде отрязана от пътя на елементарни трансформации (или navpaki).