Sistēmas un ciltsrakstu no jauna radīšanu viņi sauc par elementāru. Sistēmu elementāra pārbūve. Linearitāte, vektoru sistēmu neatkarība

3. Zināt sistēmas risinājumu, kā tas izskaidrojams ar matricas soļu noņemšanu.

§7. Lineārās sistēmas

Līdzvērtīgas sistēmas. Lineāro vienādojumu sistēmas elementāra pārtēlošana.

Aiziet Z- komplekso skaitļu lauks. Vienāds ar prātu

de
, sauc par līniju n neizbēgami
... Pasūtījumu komplekts
,
jāsauc rіshennyam rіvnyannya (1), yakscho.

Sistēma m lіnіynykh rіvnyany z n Sistēmu neizbēgami sauc par tipu:

- darbības virziena sistēmu koeficienti, - Vilny biedri.

Taisnstūra galds

,

var saukt par izmēru matricu
... Ievades vērtība: - i-Šī matricu rinda,
- k-Tiy simts matricas. Matrica A joprojām zemisks
abo
.

Gaidāmā rindu transformācija matricā A Tos sauc par elementiem:
) viklyuchennya nulles rinda; ) jebkuras rindas visu elementu reizinājums vienam skaitlim
; ) jebkuras rindas jebkuras rindas papildinājums, kas reizināts ar
... Līdzīga simtpc matricu atkārtota ieviešana A sauc par matricas elementārajām pārrakstīšanām A.

Pirmais elements, kas nav nulles elements (vazayuchi evil pa labi) jebkurā matricas rindā A saukt par visas rindas provinciālu elementu.

Viznachennya... Matrica
saukt par soli, it kā sauktu šādi:

1) matricas nulles rindas (tāpat kā smaka є) ir zemākas nekā rindas, kas nav nulles;

2) jakšo
nodrošināt rindu elementus matricā, tad

Ja tā būtu nulles matrica Un rindu tipa elementu skatījumā transformāciju var novest līdz biežas matricas stadijai.

dibens... Vadoties pēc matricas
uz visizplatītāko matricu:
~
~
.

Matrica, sakrauta ar sistēmas veiktspēju Lineārās rivnjas (2) sauc par sistēmas galveno matricu. Matrica
Otrimanu no dalības simts vilnye dalībnieku, ko sauc par paplašināto sistēmas matricu.

Kopas secības tiek sauktas par ciltskoka sistēmu (2) sistēmas risinājumiem, kā arī par sistēmas ādas līnijas līnijas risinājumiem.

Līnijas cilvēku sistēmu sauc par sociālo, ja vien es gribu vienu risinājumu, un tas ir traki, jo tas nav risinājums.

Lineāro rivnju sistēmu sauc par dziedošo, kamēr ir viens risinājums, tam nav nozīmes, jo ir vairāk nekā viens risinājums.

Gaidāmo sistēmas un līnijas atkārtotu ieviešanu sauc par elementāru:

) vyklyuchennya no sistēmas un veida;

) daudz abas daļas, vai tā būtu rivnyannya
,
;

) dodavannya to be-like rivnyannya be-like іншого іншого рівняння, reizināts ar,.

Divas sistēmas lineārās rivnyans no n nepieejamie cilvēki tiek saukti par vienlīdz spēcīgiem, jo ​​smirdoņa nav miegaina, vai arī daudzi to risinājumi tiek zaudēti.

Teorēma... Pat ja viena sistēma līnijas-of-the-line rivnyany ir ņemta no tās pašas viglyadi elementāras pārveidošanas par veidu),),), tā ir tikpat spēcīga.

Virіshennya sistemi lіnіynykh іvnyany ar vyklyuchennya nevіdomich metodi (Gausa metode).

Lai sistēma ir dota m lіnіynykh rіvnyany z n neizbēgami:

Yaksho sistēma (1), lai atriebtu veida

tad visa sistēma nav guļoša.

Ir pieļaujams, ka sistēma (1) neatriebjas formai (2). Mainot, ļaujiet sistēmai nodrošināt (1) veiktspēju x 1 sākumā
(ja tas tā nav, tad pārkārtojot rivnjas mazos gabaliņos tas nav iespējams, tā kā ne viss izpildījums ar x 1 atpakaļ uz nulli). Zastosuєmo līdz lineārās sistēmas (1) elementārās transformācijas aizskarošajai lantsyuzhok:

, Dodamo uz citu rivnyannya;

Perche rivnyannya, reizināts ar
, Dodamo līdz trešajai sezonai un līdz šim;

Perche rivnyannya, reizināts ar
dodamo pārējai sistēmai.

Rezultātā lineāro rivnju sistēma (nadal vikoristovuvuvuvuvuvuvuvuvaty SLU lineāro rivnju sistēmai) ir vienāda ar spēcīgu sistēmu (1). Var konstatēt, ka otriman_y sistēmā zhodne rivnyannya ar numuru i, i 2, neatriebties par nepareizo x 2. Aiziet k arī mazākais naturālais skaitlis, kas nav pieejams x k Es gribētu, lai man būtu vieta vienā vienādā skaitā i, i 2. Rivnyan maє viglyad Todi otriman sistēma:

Sistēma (3) ir vienāda ar sistēmu (1). Zastosuєmo tagad uz pidsistēmu
sistēmas lineārās rivnyans (3) mirkuvannya, piemēram, boules ir iestrēdzis SLU (1). Es esmu tik tālu. Tā rezultātā process sasniedz vienu vai divus rezultātus.

1. Otrimaєmo SLU, kas ir atriebties veidam (2). Es šeit SLU (1) nav savienojams.

2. Elementāra atkārtota ieviešana, pielipusi pie SLU (1), nevis pie sistēmas, lai atriebtos formai (2). In tsyom vipadku SLP (1) elementārais pārstrādājums
vadīties pēc šāda veida sistēmām:

(4)

de, 1< k < l < . . .< s,

Redzamības sistēmu (4) sauc par soli. Šeit ir divas variācijas.

a) r= n Todi sistēma (4) ma viglyad

(5)

Sistēmu (5) ir viegli atrisināt. Otzhe, sistēmu (1) var viegli atrisināt.

B) r< n... Man nav nekādu problēmu
sistēmā (4) tos sauc par bezpajumtniekiem, un sietu, kas nav mājīgs visā sistēmā, sauc par mežonīgu (skaitlis ir viens n- r). Nadamo diezgan skaitliskas vērtības nav īsti atpazīstamas, tikai SLU (4) ir paši matemātiķi, tāpat kā sistēma (5). No visām galvassāpēm nav iespējams viennozīmīgi sākt. Šādā rangā attīstības sistēma, tobto є garīga. Svārstībām nepiesardzīgajiem tika piešķirts liels skaits vērtību no Z, tad sistēma (4) nav svarīga. Arī sistēma (1) є nav piešķirta. Pārkāpuši SLU (4) smadzenes ir neizbēgamas caur virtuālo neizbēgamo, mēs varam atpazīt sistēmu, ko sauc par sistēmas ārējo risinājumu (1).

dibens... Izmantojot metodi, izveidojiet lineāro izlīdzinājumu sistēmu G aussa

Esmu paplašinājis līniju sistēmas matricu un papildus elementārajām rindu tipa matricām pārveidoju vadošās matricas uz nākamo līmeni:

~

~
~
~

~. Saskaņā ar matricas noraidīšanu lineāro vienādojumu sistēma ir acīmredzama:
Qia sistēma ir vienāda ar wirhіdnіy sistēmu. Jaks golovnі unvіdomі vіzmemo todі
vіlnі unvіdomі. Acīmredzot galvassāpes, visticamāk, netiks atņemtas, izmantojot bezmaksas:

SLU risinājumam uztaisījām guļamistabu. Nāc todі

(5, 0, -5, 0, 1) - SLP privātais risinājums.

Zavdannya neatkarīgai pārskatīšanai

1. Lai uzzinātu risinājumu vienam un tam pašam sistēmas risinājumam un risinājumam, pārejot uz ne-mājsaimniecībām:

1)
2)

4)
6)

2. Zināt parametra vērtību ārpus a vispārējs sistēmu un iekārtu risinājums:

1)
2)

3)
4)

5)
6)

§ astoņi. Vektoru plašums

Vektoru telpas jēdziens. Vienkārša jauda.

Aiziet V ≠ Ø, ( F, +, ∙) - lauks. Lauka elementus sauc par skalāriem.

Vizualizācija φ : F× V –> V ko sauc par daudzskaitlības elementu daudzuma darbību V uz skalāriem no laukiem F... Ievērojami φ (λ un) pāri λa tvir elements a uz skalāru λ .

Viznachennya. Bezlich V no dotas algebriskas kopas elementu locīšanas darbības V ka daudzi elementi no daudziem V uz skalāriem no laukiem F saukt par vektoru telpu virs lauka F, piemēram, šādas aksiomas:

dibens. Aiziet F lauks, F n = {(a 1 , a 2 ,…, A n) | a i F (i=)). Kozhen elements mnogini F n tiec saukts n-mirnim aritmētiskais vektors. Ieviesta papildu operācija n-pasaules vektori un vairāki n-pasaules vektors uz skalāra lauku F... Aiziet
. Uzticams = ( a 1 + b 1 , … , a n + b n), = (λ a 1, λ a 2, ..., λ a n). Bezlich F n parasti ievada ar operācijām є vektoru telpa, n-pasaules aritmētiskā vektora telpa virs lauka F.

Aiziet V- vektora telpa virs lauka F, ,
... Mayut m_sce šīs īpašības:

1)
;

3)
;

4)
;

Integritātes pierādījums 3.

Ātrās grupas likuma dēļ ( V, +) maєmo
.

Linearitāte, vektoru sistēmu neatkarība.

Aiziet V- vektora telpa virs lauka F,

... Vektoru sauc par lineāru kombināciju sistēmu un vektoriem
... Bez visām sistēmu un vektoru lineārajām kombinācijām mūs sauc par sistēmu un vektoru lineāro apvalku ķēdi un kļūstam zināmi.

Viznachennya. Vektoru sistēmu sauc par lineāro papuvi, kad tādi skalāri
ne visi ir vienādi ar nulli, scho

Ikshcho rіvnіst (1) vikonutsya todі un lishe todі, ja λ 1 = λ 2 = … = =λ m= 0, vektoru sistēmu sauc par lineāri neatkarīgu.

dibens. Chi z'yasuvati chi є vektoru sistēma = (1,-2,2), =(2,0, 1), = (-1, 3, 4) R3 izplešanās ir lineāra papuve vai plakana.

Lēmums. Nāc, λ 1, λ 2, λ 3
і

 | => (0,0,0) - sistēmas risinājums. Otzhe, vektoru sistēma ir lineāri kvadrātveida.

Izcelšanās spēks un sistēmu un vektoru neatkarība.

1. Vektoru sistēma, kas vēlas atriebties vienam nulles vektoram, є lineāri atmatā.

2. Vektoru sistēma, lai novietotu iekritušo apakšsistēmu un līniju kritušo apakšsistēmu.

3. Vektoru sistēma
є lineāra papuve todi un tikai todi, ja vēlaties vienu visas sistēmas vektoru un parādīto vektora formu є priekšējo vektoru lineāro kombināciju.

4. Kamēr vektoru sistēma ir lineāri neatkarīga, un vektoru sistēma
lineāri papuve, tad vektors tas ir iespējams, redzot lineāru vektoru kombināciju un pirms tā paša ranga.

Piegādāts. Svārstības vektoru sistēma ir lineāri samazinājies, tad
ne visi ir vienādi ar nulli, scho

Pēc vektora vērtības (2) λ m+1 ≠ 0. Jakščo palaida vaļā λ m+1 = 0, tad z (2) => Vodsy vyplyaє, bet vektoru sistēma ir lineāri novecojusi, oskilki λ 1 , λ 2 , … , λ m ne visas cenas ir nulle. Nāc noslaucīt ar mazgāšanas līdzekli. Z (1) => de
.

Ļaujiet vektoru parādīt tādā pašā veidā ar skatītāju: Todi ir vektors.
caur piegādes sistēmu un vektoru neatkarības līniju,
1 = β 1 , …, m = β m .

5. Nenorādiet divas vektoru sistēmas un
, m>k... Tā kā sistēmas un vektoru ādas vektors var būt kā sistēmu un vektoru lineāra kombinācija, vektoru sistēma ir lineāra.

Sistēmu un vektoru bāze, rangs.

Kinceva vektoru sistēma telpā V virs lauka F jēgpilni cauri S.

Viznachennya. Vai sistēmu un vektoru apakšsistēma ir lineāri neatkarīga S var saukt par vektoru sistēmu pamatu S kāds sistēmas vektors S tas ir iespējams, redzot lineāru sistēmu un vektoru kombināciju.

dibens. Zināt vektoru sistēmu pamatus = (1, 0, 0), = (0, 1, 0),

= (-2, 3, 0) R3. Lineāri neatkarīgu vektoru sistēma sadalās atkarībā no jaudas posibnik pamati Elektromehānika: priekšnieksposibnik pamati elektrotehnika "; ...

Pirms elementāru labojumu veikšanas:

1) Saskaitījums abām viena daļām vienādās daļās, reizināts ar tiem pašiem skaitļiem, kas nav dārgi līdz nullei.

2) Priesteru permutācija ar pelēm.

3) Vizualizācija no rivnyany sistēmas, kas visiem ir vienāda.

TEORĒMA KRONEKERU - CAPELLI

(Sistēmas inteliģence)

(Leopolds Kronekers (1823-1891) Nimetskis matemātiķis)

Teorēma: Sistēma ir spilna (nav vajadzīgs viens risinājums) tikai tad, ja sistēmas matricas rangs un paplašinātās matricas uzlabotais rangs.

Acīmredzot sistēmu (1) var ierakstīt viglyadā:

x 1 + x 2 +… + x n

Piegādāts.

1) Cik pieņemts lēmums, tad ir simts brīvo dalībnieku є simtprocentīga matricas A līniju kombinācija, kas arī ir pievienota matricai, lai. nodošana А®А * nemaina rangu.

2) Yaksho RgA = RgA *, tse nozīmē, ka tas smaržo pēc tā paša pamata minora. Simts procenti no galvenajiem biedriem - rindu kombinācija simts procenti no pamata minora, tas ir, ieraksts ir pareizs, punkts ir norādīts.

dibens. Sistēmas un līnijas redzamība:

~ . RgA = 2.

A * = RgA * = 3.

Sistēma ir ārprātīga.

dibens. Vizuāli līniju sistēmas konsekvence.

A =; = 2 + 12 = 14 ¹ 0; RgA = 2;

A * =

RgA * = 2.

Sistēma ir spilna. Risinājums: x1 = 1; x 2 = 1/2.

2.6. GAUSA METODE

(Kārlis Frīdrihs Gauss (1777-1855) Nimetskis matemātiķis)

Pamatojoties uz matricas metodi un Cramer metodi, Gausa metodi var izmantot stagnācijai līdz lineārām sistēmām, sākot no liela skaita vienādām un nerezidentām sistēmām. Polarizācijas metodes būtība ir pēdējā nelaimīgā nedēļā.

Lineāro rivnu sistēma ir saprotama:

Rozdilimo pārkāpj daļu no 1. rivnyannya par 11 ¹ 0, dažreiz:

1) reizināts ar 21 un pamatojoties uz citu vienādu

2) reizināts ar 31 і no trešās reizes

, de d 1 j = a 1 j / a 11, j = 2, 3, ..., n + 1.

d ij = a ij - a i1 d 1j i = 2, 3,…, n; j = 2, 3, ..., n + 1.

dibens. Izstrādāt lineāro skrējienu sistēmu pēc Gausa metodes.

, Zvaigznes ir atpazīstamas: x 3 = 2; x 2 = 5; x1 = 1.

dibens. Virishity sistēma pēc Gausa metodes.

Paplašināma sistēmas matrica.

Šādā rangā vyhіdnaya sistēmu var attēlot viglyadі:

, Zvaigznes ir atpazīstamas: z = 3; y = 2; x = 1.

Otrimana ir ņemta no skata, kas tiek iespiests dotajai sistēmai, izmantojot Cramer metodi un matricas metodi.

Pašnoteikšanās nolūkā:

Skatīt: (1, 2, 3, 4).

3. TĒMA. VEKTORĀLĀ ALĢEBRI ELEMENTI

PAMATVĒRTĪBA

Viznachennya. Vektors sauc par formas konjugāciju (ir sakārtoti pāris punkti). Pirms vektoriem tas pats attiecas uz nulles vektors, auss un beigas, kā sākt.

Viznachennya. Dovžina (modulis) vektoru sauc par vektora ausi un galu.

Viznachennya. Vektoru sauc kolineārs uz vienas vai vairākām paralēlām taisnēm ir cepeša smaka. Nulles vektors ir kolineārs jebkuram vektoram.

Viznachennya. Vektoru sauc koplanārs kā līdzens laukums kā smirdīga paralēle.

Kolineārie vektori ir koplanāri, bet ne visi koplanārie vektori ir kolineāri.

Viznachennya. Vektoru sauc rivnim cik smirdoņa ir kolineāra, tomēr tie paši moduļi ir iztaisnoti un līdzīgi.

Būt līdzīgi vektori var audzināt vālīti, tobto. pobuduvaty vektors, pamatojoties uz datumu un var būt agrākais auss. No vapinga vektoru vienādības vērtības, lai arī tas būtu vektors, nav tādu vektoru, kas būtu vienādi ar jums.

Viznachennya. Līnijas operācijas virs vektoriem sauc par papildu skaitli.

Sumyu vektoru vektors -

Tvir, Dobutok - , tajā pašā laikā tas ir kolineārs.

Virzienu vektors із ar vektoru (), kur a> 0.

Blakus esošo iztaisnojumu vektors ar vektoru (?), Kur a< 0.

IESTĀDES VEKTORI

1) + = + - komutativitāte.

2) + ( + ) = ( + )+

5) (a × b) = a (b) - asociācija

6) (a + b) = a + b - sadalījums

7) a (+) = a + a

Viznachennya.

1) Pamats atklātajā telpā ir 3 nekoplanāri vektori, kas ņemti vienskaitlī.

2) Pamats apgabalā ir 2 nekolineāri vektori, kas ņemti dziedošā secībā.

3)Pamats būt-līdzīgs nulles vektors, ko sauc par taisnu.

Aiziet - vektoru sistēma m z. Sistēmu un vektoru galvenās elementārās transformācijas є

1. - viena no līniju kombinācijas vektoriem (vektora) pievienošana.

2. - Vairāki viens z vektori (vektori) katram skaitlim, kas nav nulle.

3. divu vektoru () permutācija pelēm. Vektoru sistēmas tiks sauktas par ekvivalentām (nozīmē), kā arī elementārās transformācijas lance, kas pārveidos pirmo sistēmu citā.

Saskaņā ar ieviestās vektoru ekvivalences izpratnes spēku

(Refleksivitāte)

Z viplyaє, scho (simetrija)

Ja es, tad (transitivitāte) Teorēma. Ja vektoru sistēma ir lineāri neatkarīga, tā ir ekvivalenta, tad sistēma ir lineāri neatkarīga. Piegādāts. Acīmredzot pietiek ar teorēmu nogādāt sistēmā, kas tiek apgriezta ar vienas elementāras atkārtotas realizācijas palīdzību. Tiek atzīts, ka vektoru sistēma ir lineāri neatkarīga. Todi z tsyogo viplyaє, scho. Lai sistēma ir otriman ar vienas elementāras pāradaptācijas palīdzību. Acīmredzot vektoru permutācija ir viena no trim vektoriem reizinājums ar skaitli, kas nav dārgs līdz nullei, nemaina sistēmu un vektoru lineāro neatkarību. Tagad ir iespējams, ka vektoru sistēma tiek izgriezta no sistēmām un pievienota to lineārās kombinācijas vektoram. Vajag piecelties, ka (1) dzers Oskilki, tad pieņemsim (1). (2)

Jo sistēma ir lineāri neatkarīga, tad z (2) ir spilgts, un viss.

Zvidsi tiks atzīti. Ir nepieciešams to audzināt.

57.Matrica. Papildu matricas Vairākas matricas vienā matricas skalārā kā vektora telpa un lielums.

Matricas tips: kvadrāts

Papildu matricas

Papildu matricu jauda:

1. Sarēķināmība: A + B = B + A;

Matricas reizināšana ar skaitli

Matricu A reizinot ar skaitli? (nozīmē:? A) lauki matricas B indukcijā, kuru elementi tiek izvadīti ar matricas A ādas elementa daudzkārtni ar veselu skaitli, lai būtu pieejams matricas B ādas elements: Bij = Aij

Vairāku matricu jauda vienam skaitlim:

2. (λβ) A = λ (βA)

3. (λ + β) A = λA + βA

4. λ (A + B) = λA + λB

Vector rinda i vector stoovpets

Matricas izmērs m x 1 un 1 x n ar atstarpju K ^ n un K ^ m elementiem šādi:

matricu ar izmēru m x1 sauc par vektoru-stovpez un īpašām vērtībām:

Matricu, kuras izmērs ir 1 x n, sauc par vektoru rindu ar īpašām vērtībām:

58.Matrica. Pievienotas vairākas matricas. Matricas jaka gredzens, jaudas matricas gredzens.

Matricu sauc par taisnstūrveida skaitļu tabulu, kuru var pievienot līdz m no tāda paša rindu skaita vai n no tāda paša skaita stroboskopiem.

aij ir matricas elements, kas atrodas i-tajā rindā un j-tajā 100%.

Matricas tips: kvadrāts

Kvadrātveida matrica ir vesela matrica ar vienādu skaitu simts un viena rinda.

Papildu matricas

Papildu matricas A + B є matricas C, visu veidu matricu A un B elementu visu veidu elementu sapārošanas summas operācija, lai matricas ādas elements būtu ceļš Cij = Aij + Bij

Papildu matricu jauda:

1. Sarēķināmība: A + B = B + A;

2. asociācija: (A + B) + C = A + (B + C);

3. Nulles matricas pievienošana: A + Θ = A;

4. Prototipa matricas noņemšana: A + (-A) = Θ;

Lineāro darbību spēka centieni atkārto lineārās telpas aksiomas, un ir patiesa šāda teorēma:

Liela vienādu izmēru matrica mxn ar elementiem no lauka P (visu patvaļīgu vai komplekso skaitļu lauki) nosaka līnijas telpu virs lauka P (ādas matrica ir telpas vektors).

Matricas reizināšana

Matricu reizināšana (nozīmē: AB, pirms reizināšanas zīmes A x B) ir matricas C aprēķināšanas operācija, kuras ādas elements ir elementu izveides summa, kas atrodas tajā pašā rindā ar pirmo reizinātāju ar skaitītāju otrs.

Simtprocentu skaitu matricā A var ņemt no rindu skaita matricā B, piemēram, matricas B izmantošanā vainojama matrica A. Arī matrica A ir maza izmēra mxn, B - nxk, tas ir

Vairāku matricu jauda:

1.asociācija (AB) C = A (BC);

2. nekomutativitāte (zagalom): AB BA;

3.tvir komutatīvi daudzkārtnēs ar vienu matricu: AI = IA;

4.sadale: (A + B) C = AC + BC, A (B + C) = AB + AC;

5. Asociāciju un komutāciju reizina ar skaitli: (λA) B = λ (AB) = A (λB);

59. * Ļaunās matricas. Matricas rindu transformācijas speciālie un nevienskaitļa elementi. Elementārās matricas. Reproducēšana uz elementārām matricām.

gredzena matrica ir tāda matrica A -1, kad matrica tiek reizināta ar jaku A jā, rezultātā matrica pa vienai E:

Elementāras rindu transformācijas zvanīt:

Līdzīgi sāciet elementāra simtpciv atjaunošana.

Elementāra transformācija vilkači.

Apzīmēta gadījumā, ja matricu var apgriezt ar elementāru pārstrādi (vai navpaki).