Trám bytov, trám bytov. Zväzok čiar, zarovnanie zväzku priamych čiar Zarovnanie zväzku rovín prechádza cez danú priamku

V článku ľahko pochopíme zväzok priamych čiar. Môžeme vidieť zarovnanie niekoľkých priamych čiar. Aplikujme poznatky o zarovnaní hromady priamych čiar, ktoré prechádzajú týmto bodom.

є priamka, scho prejsť cez bod P. Späť, byť rovný, prejsť cez bod P vynachaetsya sa rovná (3), s reálnymi číslami λ 1 i λ 2 .

Prinášanie. Najprv sa ukáže, že sa rovná (3) є lineárne sa rovná(Rovná sa prvého rádu), tobto. sa rovná, s ľubovoľným koeficientom pri X alebo r nerovná sa nule.

Skupinové koeficienty pri Xі r:

Todi, napríklad, keď λ 1 ≠ 0 λ 1 i λ 2 sa nerovná nule), môžeme vziať:

(6)

.

(7)

Otrimanova rovnosť je mentálna rovnobežnosť priamok, ktoré sú definované rovnosťami (1) a (2), ktoré nahrádzajú mentálne vety (priame čiary sa prekrývajú a nelámu). Tiež chcieť jednu z rovnosti (5) nie je víťazné, tobto. Chcem jeden koeficient pri Xі r rovná sa (4) sa nerovná nule. Zvіdsi vyplyaє, scho sa rovná (4) lineárnemu rovná sa (rieky prvého kroku) a rovná sa deyak rovným čiaram. Podľa teorému mysle je priame prejsť bodom P(X 0 , r 0), ako priamka (1), ktorá (2), tobto. vykonuyutsya rivnostі:

tobto. priamka (3) prechádza bodom P.

Prinášame ďalšiu časť vety. Ukáže sa, že či je rovná, ako prejsť cez strakaté P sa rovnajú (3) pri skutočných hodnotách λ 1 i λ 2 .

Vezmite si deň priamo cez škvrny Pі M"(X", y"). Ukáže sa, že to priamo súvisí s rovná sa (3) pre určité hodnoty λ 1 i λ 2, ktorá sa zároveň nerovná nule.

V prvej časti dôkazu vety sme ukázali, že je rovný, ako keď prechádza škvrnou P vynachaetsya sa rovná (3). Teraz, ako môže priama čiara prechádzať ešte jedným bodom? M"(X", y"), potom súradnice bodu sú kvôli vyhoveniu zarovnania (3):

S úctou, že visieť na okovoch je nemožné dosiahnuť nulu cez noc, pretože tse znamenalo b, scho priestupok rovný prechodu cez body Pі M"(X", y") i, otzhe, zbіgayutsya. Poď napr. λ 1 (A 1 X" 0 +B 1 y" 0 +C 1) ≠0. Todi uvedenie λ 2 je veľké číslo, ktoré sa počíta ako nula λ 1:

Predstavte si súradnice bodu M pre rovných (12):

Odpustenie (13):

Opýtaním sa napr. λ 2 = 4, voliteľné λ 1 =−5.

Dajme hodnotu λ 1 i λ 2 (12):

Návrh:

−6X−31r+13=0.

Príklad 2. Vyvolajte zarovnanie priamych nosníkov so stredom M(4,1):

Riešenie. Zober dva rôzne body, ktorým bodka neunikne M: M 1 (2,1), M 2 (-1,3). Budeme vás povzbudzovať, aby ste prešli cez body Mі M jeden . Normálny vektor n 1 riadok priamky je kolmý na vektor Mі M 1:=(2-4, 1-1)=(-2,0). Tobto. môžete si vziať? n 1 = (0,1). Todiho vyrovnanie priamo s normálnym vektorom n 1 prejsť cez bod M môže vyzerať takto:

Návrh:

S úctou berieme ďalšie body M 1 i M 2, vezmeme vyrovnanie toho istého zväzku priamych čiar, ale s ďalšími dvoma priamymi čiarami.

Prednášky z algebry a geometrie. 1. semester

Prednáška 14

Kapitola 14

položka 1. Vyrovnanie priamych trámov na byte.

Vymenovanie. Zväzok priamych čiar na rovine sa nazýva neosobné čiary danej roviny, ktoré tvoria jeden centrálny bod, ako sa nazýva stred zväzku.

Na obr. 1 bod
- Stred lúča.

Veta. Poď

- Dve priame čiary v súradnicovej rovine
. Rieka Todi

de
- Dôležitejšie čísla sa nerovnajú nule súčasne, rovnajú sa lúču čiar so stredom lúča v bode
.

Prinášanie.

Nech L - celkom rovný lúč so stredom lúča v bode
і - Її normálny vektor. Potom sa vektor nerovná priamke L môže vyzerať:

, (2)

de je vektor polomeru bodu
, - Vektor polomeru tekutiny, tobto. polomer-vektor aktuálneho bodu
.

Oskelki rovno і
za teorémom mysle, pohrávajú sa, ich normálne vektory a nekolineárne і, preto vytvárajú základ.

Todi vektor Môžete mať rozloženia pre základ cim:

,

de
- Koeficienty tohto rozdelenia sa zároveň nerovnajú nule, pretože štandardne normálny vektor
. Nahradením v (2) môžeme vziať buď

pivo
і
- Vektorové zarovnanie priamych čiar і
, potom. ,

Odovzdaním (3) berieme vyrovnanosť (1).

V tejto hodnosti sme priniesli, že aj keby to bola priamka z toho lúča, bolo by to vidieť (1).

Späť, povedzme, čo do pekla
, Súčasne sa nerovná nule, rovná sa (1) rovnej priamke z daného lúča.

Deisno, z jednej strany, na čokoľvek
, súčasne sa nerovná nule, rovná sa (1)

Z druhej strany, poďme do Rivnyanna (1)
- dovіlnі dіysnі čísla, ktoré sa naraz nerovnajú nule a nie
- Koordinujte stred lúča. tak jaka
і
súradnice stredu lúča sú spokojné so zarovnaním priamych čiar і
:

Todi, predstavujúci súradnice bodu
v rovnakom (1), otrimuєmo

Tobto. zarovnanie (1) je zarovnanie priamky na prechod cez bod
, Je správne ľahnúť si na tento trám atď.

Veta bola dokončená.

Rešpekt. Yakscho in (1)

. Yakscho
, potom zarovnanie (1) je zarovnanie priamky . Tomu, čo sa rovná (1) chváliť
, potom vezmeme rovnomernosť, či už z tohto trámu rovno, krém rovno
:

zadok. Napíšte priamku, ktorá bude prechádzať daným bodom
.

Riešenie. Rovná čiara Shukana - priamka zväzku priamych čiar so stredom zväzku v bode
. Je zrejmé, že na vrchole tohto zväzku ležia dve priame čiary:

і

Abo
,
. Todі vnyannya byť-ako priamy lúč môže vyzerať

Ako nahradiť rovnaké grécke písmená v latinke, samozrejme

- Zarovnanie priamky na prechod cez daný bod
. Zokrema, o
, je potrebné zarovnať ceruzku rovných čiar so stredom ceruzky na klase súradníc:
.

Rivnyannia (5) na
je potrebné vyrovnať priamku s koeficientom rezu, ktorý prechádza daným bodom
:

, (6)

a pri
vezmeme zarovnanie priamky s koeficientom rezu, ktorý prechádza klasom súradníc:

.

Inými slovami, rovný
, de
, Є zarovnanie ceruzky čiar so stredom ceruzky na klase súradníc.

položka 2. Rivnyannya zv'yazuvannya byty.

Vymenovanie. Spojenie rovín sa nazýva neosobnosť všetkých rovín, ktoré tvoria jeden svetlý bod, ako sa nazýva stred spojenia.

Veta. Poď,

- tri byty v PDSK Oxyz, ktoré tvoria jeden hot spot.
. Todi rivnyannia, (7)

de
- dovіlnі dіysnі číslo jedna hodina sa nerovná nule
.

Dôkaz je prakticky jediný, ktorý opakuje dôkaz predchádzajúcej vety o zarovnaní ceruzky čiar.

zadok. Poznať zarovnanie spojenia rovín so stredom spojenia v bode
.

Riešenie. Je zrejmé, že postupujúce tri roviny sa zrútia do jedného bodu
:

,
,
.

Rieka Todi

de
a nedosiahnu nulu naraz, є shukane rovné.

Zokrema, jakčo
, potom sa rovná

(9)

є zarovnanie spojenia rovín od stredu spojenia k klasu súradníc.

položka 3. Rovinnosť zväzku rovín.

Vymenovanie. Lúč rovín sa nazýva neosobné roviny, ktoré sú prepletené pozdĺž rovnakej priamky, nazývanej celý lúč.

Veta. Poď

- dve roviny, ktoré sa preplietajú v priamke L. Todi rovné

de
- Dôležitejšie čísla sa zároveň nerovnajú nule, rovnajú sa zväzku rovín z celého zväzku L.

Dôkaz podobného dôkazu vety o zarovnaní ceruzky s rovnými čiarami sa dá prečítať.

zadok. Poznať zarovnanie zväzku rovín, ktorých celok je celá úsečka.

Riešenie. Je zrejmé, že súradnicové roviny

і
pretvarovať pozdĺž osi Ox.

Todi sa rovná (10)

. Nahradíme grécke písmená latinkou

, (11)

de
- Dovіlnі dіysnі čísla, ktoré sa zároveň nerovnajú nule. Zarovnanie (11) є shukanim ravnyannyam lúča lietadiel z celého lúča Oh.

Podobne rovnakí

, (12)

є zarovnanie lúča rovín od vrchu lúča Оу a zarovnanie

(13)

є vyrovnanie lúča rovín od vrcholu lúča Oz.

položka 4. Hlavné budovy sú na priamke.

Úloha 1. Nájdite zarovnanie priamky tak, aby prechádzala cez dva dané body
і
.

Tse zavdannya nám už vyrisheno, div. prednáška 11, odsek 4, úloha 1:

.

Úloha 2. Poznajte rez medzi dvoma rovnými čiarami

і
.

Táto úloha bola vynechaná v prednáške 11, odsek 4:

Shukaniy kutu dorovnyuє alebo kutu mizh їх priame vektory

alebo
.

Úloha 3. Nájdite výšku roviny, ako aj súradnice normálového vektora
ten súradnicový bod
ktoré ležia na tomto povrchu.

Riešenie. Jedno riešenie problému je uvedené v odseku 2, vzorec (8).

Môžete to získať, aj keď nie. Zagalne rovinatosť plochy môže vyzerať

de
- Súradnice її normálny vektor. Stratený poznať koeficient D.
: , hviezdičky .

Uvádzame v rovnakej miere:

- Shukane rovinatosť plochy.

Úloha 4. Nájdite zarovnanie oblasti cez tri dané body
,
і
.

Ako sme urobili v úlohe 3, na poskladanie celkovej rovinnosti roviny stačí poznať súradnice її normálového vektora tú súradnicu, či už je to bod, ktorý leží v danej rovine.

Ako normálny vektor oblasti môžete použiť vektor dodatočný
na vektor
, a ako bod, ktorý leží na rovine, môžete bod vziať
. Prijateľné

Shukane rovnomernosť plochy môže byť odstránená iným spôsobom. Rovinnosť plochy vektorovej formy môže vyzerať

,

.

Úloha 5. Poznajte rez medzi dvoma ploškami.

Riešenie. Z geometrie je zrejmé, že dvojstranný kut medzi dvoma bytmi je obklopený lineárnym kutom (Div. Obr. 12).

Nevadí bachiti, aký lineárny rez , že vimiryuє dvojtvárny kutu medzi dvoma bytmi
medzi normálovými vektormi a rovinami alebo medzi normálovými vektormi
. Tu sú znaky ekvivalencie kutivov zo vzájomne kolmých strán.

alebo
.

V tomto poradí sa úloha výpočtu kuty medzi rovinami redukuje na výpočet úlohy kuta medzi vektormi.

Úloha 6. Poznajte vzdialenosť k danému bodu
až do určenej oblasti

Riešenie. Vyberáme si určitý bod
ktoré ležia na tomto povrchu. S úctou, čo to je?
, potom klas súradníc leží na rovine a jogo môže byť brané ako bod
. Yakshcho
, potom ako taký bod môžete vziať bod priesečníka roviny s jednou zo súradnicových osí. Keďže rovina nemôže byť rovnobežná so všetkými tromi súradnicovými osami, potom ak iba jedna súradnica pretína rovinu.

Poď napr.
- Bod brvna roviny so súradnicovou čiarou Ox. Tu
, Páči sa mi to
.

Otzhe, poď smietka
tim chi inym sposobom sa odoberie, potom vydstan
typ daného bodu
až do určenej oblasti do modulu vektorovej projekcie
na normálnom vektore roviny :

.

Oskіlki, potom sa tento vzorec dá napísať na prvý pohľad

. (14)

Vymenovanie. Nech je to dané dosť hlbokej úrovni oblasti, to je dosť veľký bod k rozlohe
. číslo

nazývaný neviskózne bod
shodo byt .

Pomocou zavedeného konceptu neviditeľnosti možno vzorec na dosiahnutie bodu do roviny napísať vizuálnym spôsobom:

.

Vymenovanie. Hodnota

(15)

sa nazýva určený bod
plošný pohľad .

Zo zvyšku stretnutia môžete vidieť, že body vidíte
až do bytu jeden bod pre modul
plošný pohľad :

Zo vzorca (21) je zrejmé, že rozdiel medzi nimi a neviditeľnosťou môže mať rovnaké znamienko.

Rešpekt. Vzorce (14) - (16) môžu byť napísané iným spôsobom. Pristavme lietadlo do normálneho vzhľadu:

ja mínus, іnakshe.

Teraz vzorec (14) z bodu do roviny vyzerá takto:

- Vidhilennya body
plošný pohľad .

Úloha 7. Poznajte vzdialenosť k bodu
až po čiaru
.

Riešenie. Poradie je obrátené podobne ako predtým.

. tak jaka
, potom

.

Podobne sa podobne zavádza pojem neviditeľnosť bodu pozdĺž priamky a odchýlka bodu v priamke.

Vymenovanie. Nech je to dané celkom rovno
to je celkom bod roviny
. číslo

nazývaný neviskózne bod
shodo rovno L.

Vymenovanie. Hodnota

sa nazýva určený bod
plošný pohľad .

Ako priviesť priamku do normálneho vzhľadu:

,

, navyše znamienko plus je prevzaté z časov, ak
a mínus, v opačnom smere, potom vzorec prechádza z bodu do priamky vyzerá takto:

- Vidhilennya body
rovno L.

Úloha 8. Poznaj rozdiel medzi dvoma rovnobežnými rovinami.

Riešenie. 1. spôsob. Poznajte jednu rovinu do bodky a prejdite ňou do inej roviny, tzn. privolať úlohu k úlohe 6.

2. spôsob. Upravme zarovnanie rovnobežných rovín na normálny vzhľad:

de
і
sú normálne vektory plôch і
samozrejme,
,
– prejdite na klas súradníc k lietadlám і
samozrejme.

Takže ako normálne vektory і narovnanie od klasu súradníc k rovine, potom existujú 2 možné sklony:

a)
. Na našľapujúcom bábätku sú schematicky znázornené dve rovnobežné roviny і
a všetky z nich sú normálne vektory, okrem klasu súradníc.

Tu,
,
- Presuňte sa z klasu súradníc do najvyšších rovín. Črepy sú neznáme, pretože lietadlo je bližšie k klasu súradníc, potom stojí medzi lietadlami

b)
. Takže ako normálne vektory і smerovanie klasu súradníc na roviny a protilezhn, potom sa klas súradníc nachádza medzi rovinami, div. prichádzajúca kresba.

Tu, ako na prednom svahu,
,
- Presuňte sa z klasu súradníc do najvyšších rovín. Kričia zvuky, ktoré môžete vidieť medzi bytmi

Úloha 9. Nájdite vzdialenosť medzi dvoma rovnobežnými čiarami.

Mokrý zväzok rovín sa nazýva množstvo všetkých rovín, ktoré prechádzajú jednou priamkou.

Nejasný zväzok rovín sa nazýva navzájom rovnobežné neosobné roviny.

Veta 1. K tomu slúžia tri byty, osadené pozinkovanými rovnosťami

ako použiť globálny karteziánsky súradnicový systém, ktorý patril do jedného lúča, voľný a nejasný, potrebný a dostatočný, takže hodnosť matice

dorivnyuvav buď dvaja alebo sami.

Dôkaz o nevyhnutnosti. Na jednom zväzku necháme ležať tri plosky (1). Je potrebné priniesť čo

Je prijateľné mať chrbát, takže tri uvedené na povrchu ležia na vašom zväzku. Potom môže byť systém (1) neosobným riešením (pretože pre účel zväzku vlasov: na zväzku ležia tri roviny, takže smrad prechádza jednou priamkou); Ak to bude rovnaké a len spravodlivé, ak áno, tak systém (1) má buď jediné riešenie, alebo nie je sčítaný, volá po tých, ktorí budú rozhodcom, sčítaním koeficientov s neznámym, widminny v nule alebo nule.

Ak tri dané oblasti ležia na zväzku bez vlasov, potom je poradie matice

skóre 1, čo znamená poradie matice M dorіvnyuє buď dva alebo jeden.

Dôkaz o dostatočnosti. Dané: Je potrebné zabezpečiť, aby tri dané plochy ležali na jednom nosníku.

Yakscho, potom th. Poď. Ak je system (1) rozdeleny, moze to byt neosobne riesenie a v strede tychto bytov sa to prekryje (kedze yakbi nepretieklo, tak smrad by bol vsetky paralelne a poradie matrice by bolo rovne až 1), potom na chlpatom strapci ležia tri dané plôšky.

Yakscho; všetky roviny sú kolineárne (dve z nich nie sú vždy rovnobežné a tretia môže vychádzať z jednej z rovnobežných rovín).

Yakscho, potom a všetky oblasti sú zbіgayutsya.

Veta 2. Nech centrálny karteziánsky súradnicový systém nastaví dve rôzne roviny a horné roviny: ; .

V poradí tretia rovina sa dáva aj divokým rovným

ak na nosníku ležia tri súradnicové systémy, ktoré sú definované rovinami i, je potrebné a postačujúce, aby ľavá časť roviny bola lineárnou kombináciou ľavých častí rovín i.

Dôkaz o nevyhnutnosti. Je dané: rovina leží na zväzku rovín, čo znamená, že roviny. Je potrebné uviesť, že číslam treba rozumieť a tak, aby sa oslavovala rovnosť, platí pre všetky hodnoty X, pri, z:

Pravda, ako keby tam boli tri roviny, a ležať na jednom nosníku, potom de

Prvé dva riadky matice sú lineárne nezávislé (úlomky plochy a rozdielu), takže tretí riadok je lineárnou kombináciou prvých dvoch, tzn. podložiť počet a také, že

Znásobenie urážok prvej časti žiarlivosti na X, urážlivé časti iného na pri, uráža časť tretej na z a sčítanie termínu po termíne otrimani rivnostі і rivnіst, otrimаєmo ozhnіst, scho priniesol.

Dôkaz o dostatočnosti. Nech rovnosť

spravodlivý pre všetky hodnoty X, priі z. Je potrebné upozorniť na to, že oblasť leží v lúči, že ju táto oblasť označuje.

Z ktorej identity spievajte spіvvіdnoshennia,

teda tretí riadok matice M Toto je lineárna kombinácia prvých dvoch a toho. Ch.t.d.

Rovné de a nerovnajúce sa nule súčasne, sa nazývajú rovné zväzku rovín, ktoré sa vyznačujú dvoma rôznymi rovinami a rovnajú sa rovinám v hornom karteziánskom súradnicovom systéme takto:

Ako to bolo vynesené na svetlo, rovnať sa rovine lúča, ktorá je rozlíšená rôznymi rovinami a môže byť zaznamenaná divákom.

Späť, akoby sa rovnalo, v ktorom sa chce jedno z čísel i sa nerovná nule, rovná sa prvému kroku, rovná sa rovine, ktorá leží v lúči, ktorý ukazuje roviny i. Vpravo, tretí riadok matice M, Skladom s rovnakými koeficientmi a môže vyzerať

tobto. є lineárna kombinácia dvoch ďalších, tom.

Ak sa roviny i zmenia a nedosiahnem nulu naraz, potom všetky koeficienty pri X, pri, z v rovných nemôžu dosiahnuť nulu, takže ako keby boli malé, bolo tam miesto na spiving

potom byty a b boli kolineárne v superach pripuschen.

Ale ak sú roviny rovnobežné, potom použite také čísla i, z ktorých stred, ak sa jedna nerovná nule, a tak, aby boli všetky koeficienty rovnaké X, priі z rovná nule. A potom tu bude nezasklený lúč a ako veľa rovných čiar, tu musíme byť viac úctiví.

V tomto článku je označenie zväzku rovín, ktorý sa rovná zväzku rovín podľa daného pravouhlého súradnicového systému a uvádza sa, že rozdelenie charakteristických úloh súvisiacich s pojmami zväzku lietadiel je jasne viditeľný.

Navigácia na boku.

Banda lietadiel je znamenie.

Z osí geometrie je zrejmé, že v triviálnom priestore, cez priamku a bod, ktorý na nej neleží, prechádza jedna rovina. A kvôli tejto tvrdosti je jasné, že existujú neosobné byty, že pomsta je daná rovno dopredu. Obguruntuemo tse.

Dostaneme priamku a . Zoberme si bod M 1 tak, aby neležal na priamke a. Todi cez priamku a bod M 1 môžeme nakresliť rovinu, a to iba jednu. Výrazne її. Teraz si zoberme bod M 2, ktorý neleží blízko roviny. Cez priamku a a bod M2 prechádza jedna rovina. Ak vezmete bod M 3, ktorý neleží ani v rovine, ani v rovine, môžete prinútiť rovinu, aby prešla cez priamku a a bod M 3 . Je zrejmé, že celý proces navodzovania rovín, ktoré prechádzajú danou priamkou a, môže pokračovať donekonečna.

Išli sme teda do cieľa kopy bytov.

Vymenovanie.

Lúč bytov- Tse bez tváre zo všetkých bytov v triviálnom priestore, ktorý môže prechádzať jednou priamkou.

Priamo, ako by sa chcel pomstiť fúzy roviny lúča, sa nazýva stred lúča rovin. V tomto poradí majte rôzne vírusy „zväzok lietadiel so stredom a“.

Konkrétny zväzok rovín možno definovať buď zobrazením jeho stredu, alebo zobrazením toho, či existujú dve roviny lúča, ktoré sú v podstate rovnaké. Na druhej strane buďte ako dva byty, ktoré sú prepletené, nastavte pár bytov.

Zarovnanie lúča bytov - rozpis úloh.

Z praktických dôvodov nie je potrebné tlieskať hromadou bytov pri geometrickom obraze oblohy.

Pozrime sa na logickú otázku: „Aké je zarovnanie lúča bytov“?

Pre koho je dôležité poznamenať, že v triviálnom priestore je predstavený Oxyz, aj zadá zväzok rovín na dodatočné vloženie dvoch rovín a tretej. Byty nech sa viac rovnajú bytom mysle, ale bytom mysle. Takže zo zarovnania lúča rovín sa volá zarovnanie, keďže nastavíte zarovnanie všetkých rovín lúča.

Obviňujte ďalší logický dôvod: „Aký druh zarovnania zväzku rovín v pravouhlom súradnicovom systéme Oxyz“?

Pohľad na zarovnanie skupiny rovín dáva nasledujúcu vetu.

Veta.

Oblasť leží na zväzku rovín, ktoré znamenajú dve roviny, ktoré sa prekrývajú a, dané rovnosťami a podobným spôsobom, tiež a len trochu viac, ak її zagalne rovnosti môžu vyzerať, de i - dolnі dіysnі čísla, naraz nie rovná nule (stop).

Prinášanie.

Na preukázanie dostatočnosti musíte preukázať:

Prepíšme rovesníkov. Otrimane sa rovná najdivokejším rovným v oblasti, ako vírus, ktorý nedosiahnu nulu cez noc.

Povedzme, že smrad naozaj cez noc neklesne na nulu metódou recidívy. Povedzme si čo. Todi, ako, potom, ako, potom. Odvolanie žiarlivosti znamená, že vektory pov'yazanі spіvvіdnoshennymi abo (na spotrebu úžasného článku), tiež vikonuєtsya i. Takže jak je normálny vektor oblasti, - normálový vektor plochy a vektory a kolineáry, potom sa roviny a rovnobežky buď vyhnú (div. Umov zákon o rovnobežnosti dvoch rovín). A nemôžete k tomu pridať lietadlá a nastaviť veľa lietadiel a potom sú tónované.

Otzhe, rovná sa pravde divokých rovných oblasti. Ukazuje sa, že rovina, ako je označená ako rovná, prechádza líniou peretiny rovín.

Ak je to pravda, potom sa systém rovná mysli môže byť neosobné rozhodnutie. (Ak je sústava napísaná ako rovná jedinému riešeniu, potom roviny, z ktorých je sústava poskladaná, môžu nakresliť jeden bod, potom sa rovina mení priamo, čo je označené rovinami, ktoré sa menia a . že jednu hodinu ležia všetky tri roviny, teda rovina je rovnobežná s priamkou, danou rovinami, ktoré sa prekrývajú, i).

Keďže prvé vyrovnanie vyrovnávacieho systému bolo zaznamenané s lineárnou kombináciou druhého a tretieho rovného, ​​je možné ho vypnúť bez stopy zo systému (hovorili o tom v článku). Tobto, vonkajší systém rovných je ekvivalentný systému mysle rovných . A tento systém môže byť neosobným riešením, čriepkami oblasti a môže neosobnými bodkami cez tie, ktoré zapáchajú.

Dostatok priniesol.

Prejdime k potvrdeniu potreby.

Na preukázanie nevyhnutnosti je potrebné ukázať, že ak by plocha nebola vopred daná, rovnala by sa prechodu cez líniu peretiny rovín s danými hodnotami parametrov a .

Zoberme si rovinu, ako keď prechádzame bodom a cez priamku priečky rovín (M 0 neleží na priamke priečky týchto rovín). Ukáže sa, že vždy je možné zvoliť také hodnoty a parametre i, pre ktoré sú súradnice bodu M 0 spokojné s rovnosťou, aby bola rovnosť spravodlivá. Tsim bude privedený k prosperite.

Predstavme súradnice bodu М0: . Kedze roviny i neprechadzaju bodom M 0 naraz (v minulosti roviny zbіgali b), tak ak len jedna z viraziv abo vіdmіnno vіd nula. Yakshcho, potom môžete zmeniť výber parametra yak i, po priradení parametra skôr nenulovej hodnoty, je vypočítateľný. Takže po priradení parametra skôr nenulovej hodnoty je možné vypočítať .

Veta bola dokončená.

Otzhe, môžem sa pozrieť. Špecifikuje všetky oblasti lúča. Ako môžem vziať deaco pár významov a vložíme zarovnanie lúča rovín, berieme do úvahy rovnomernosť jednej roviny t lúča.

Takže, ako v rovnakom zväzku rovín, parametre a nedosiahnu nulu naraz, potom to možno zapísať do pohľadu, yakshcho, a do pohľadu, yakshcho.

Vyrovnanie však nie je ekvivalentné vyrovnaniu lúča rovín mysle, takže pre niektoré hodnoty zarovnania nie je možné vziať zarovnanie roviny mysle a pre žiadne hodnoty nie je možné prijať vyrovnanie roviny mysle.

Prejdime k hornej časti aplikácií.

zadok.

Napíšte zarovnanie zväzku rovín, ktorý v pravouhlom súradnicovom systéme Oxyz nastavuje dve roviny, ktoré sa prekrývajú. že .

Riešenie.

Úloha rovinnosti roviny pri oknách sa rovná rozptylovej rovinnosti roviny mysle. Teraz si môžeme zapísať potrebu zväzku rovín: .

Návrh:

zadok.

Či ležať rovno na hromade bytov so stredom?

Riešenie.

Ak rovina leží na lúči, potom je rovná, čo je stred lúča, aby ležala blízko tejto roviny. Týmto spôsobom môžete vziať dva rôzne body priamky a obrátiť ju, pričom zápach leží blízko bytu. Ak áno, potom by mal byt ležať na určenom zväzku bytov, ak nie - neklamte.

Parametrické zarovnanie priamky v priestore umožňuje jednoducho určiť súradnicový bod, ktorý na nej leží. Zoberieme dve hodnoty parametra (napríklad i) a vypočítame súradnice dvoch bodov M1 a M2 priamo:

Pri článku vidno označenie priamok lúča so stredom v danom bode roviny. Pripravuje sa správa o rozhodnutí z vymenovaní, pri pohľade na zarovnanie lúča priamych čiar, význam súradníc.

Rovinu preklenuje veľa priamych čiar, ale mimo triviálneho priestoru. Je axiómou geometrie hovoriť o bodoch, ktoré sú dva body, ktoré sa neobiehajú, sú rozmiestnené po rovine, potom cez ne môže byť nakreslená iba jedna priamka. Ak je bod M 0 a M 1 nastavený na rovinu, potom cez ne môže byť nakreslená priamka. Ak je ešte jeden bod M2, ktorý neleží na priamke M0M1, potom možno nakresliť priamku M0M2. Tak ako je významný bod M 3, aby neležal na žiadnej z nakreslených čiar, je možné cez neho viesť aj priamku tak, aby prechádzala cez M 0.

Ukazuje, že v rovine je možné kresliť cez daný bod neosobné priame čiary. І tse viedlo k vymenovaniu niekoľkých priamych čiar.

Menovanie 1

Rovina je daná bez akéhokoľvek počtu priamok, ak leží v blízkosti roviny a prechádza bodom M 0, nazýva sa to zväzok priamok so stredom v bode M 0.

Vykhodyachi z vznachennya, možno, scho be-yakі dve priame čiary z th lúča sa prepletajú v strede tohto lúča priamych čiar. Lúč je priradený mysli, ako je naznačený stred tohto lúča.

Zarovnanie zväzku rovných čiar - oddelenie úloh

Pre riešenie úloh je zarovnanie lúča priamok pevné, takže samotný lúč je videný rovnakým spôsobom ako súradnicový systém Ox v blízkosti roviny.

Ak je na rovine pravouhlý súradnicový systém O x y iz priradený priamkami, ktoré sa prekrývajú a 1 a a 2, lúč je daný priamkami. Pre súradnicový systém Približne x y môžete vidieť rovné priame čiary, ako keď vidíte A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 alebo A 2 x + B 2 y + C 2 \u003d 0.

Zaveďme definíciu rozpätia priamok ako bod M0 so súradnicami x0 a y0. Ukazuje, že bod M má súradnice M0 (x0, y0).

Aby sme určili typ zarovnania, ktoré je víťazné vo zväzkoch, pozrime sa na vetu.

Veta

Keď sú dané dve rovné čiary, ktoré sú prepletené, a 1 і a 2 є rovné čiary, vstupujú jaky do zväzku priamych čiar, usadených v súradnicovom systéme O x y. Lineárne zarovnanie môže vyzerať A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 і A 2 x + B 2 y + C 2 \u003d 0 párne a iba raz, ak sa priamka rovná α (A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0) + β · (A 2 x + B 2 y + C 2) \u003d 0 s reálnymi číslami, ktoré sa nerovnajú nule. Tsya umova sa píše takto: α 2 + β 2 ≠ 0.

Prinášanie

Pozrime sa na dôkaz z pohľadu priamky a z určeného zväzku a potom dokážeme, že її možno nastaviť pre dodatočné vyrovnanie α (A 1 x + B 1 y + C 1) + β (A 2 x + B2y + C2) = 0.

Stred lúča sa považuje za bod so súradnicami M0 = (x0, y0).

Podstatné je, že n → = (A 1 , B 1) je normálový vektor priamky A 1 x + B 1 y + C 1 = 0, potom n 2 → = (A 2 , B 2) je normálový vektor pre priamka A 2 x + B 2 y + C 2 = 0. Predpokladá sa, že n → 1 і n 2 → nie sú kolineárne vektory, takže priamka a 1 a a 2 nemá veľké krížové body. Taktiež je potrebné rozložiť normálový vektor n → za dva nekolineárne n 1 → і n 2 → . Po expanzii musí nasledovať vzorec n → = α · n 1 → + β · n 2 → . Pre výsledok je podstatné, že n → = (α · A 1 + β · A 2, α · B 1 + β · B 2).

Potom je potrebné vypočítať súradnice normálového vektora priamky a, rovné n → = α · A 1 + β · A 2, α · B 1 + β · B 2 . Súradnice bodu, ktorý sa pretína s priamkou a v bode M 0 (x 0 , y 0) sú zaznamenané za pomocou priamky a. Todi otrimuemo myseľ:

α A 1 + β A 2 x - x 0 + α B 1 + β B 2 y - y 0 = 0 ⇔ ⇔ α (A 1 x + B 1 y - A 1 x 0 + B 1 y 0) + β A 2x + B2y - A2x0 - B2y0 = 0

Podľa - A 1 x 0 - B 1 y 0 \u003d C 1 i - A 2 x 0 - B 2 y 0 \u003d C 2 je potrebné mať priamku a môže vyzerať α (A 1 x + B 1 y + C1) + pA2x + B2y + C2 = 0. Potreba bola naznačená.

Stratené poznať dôkaz dostatočnosti.

Neskôr je potrebné dokázať vychýlenie zväzku priamok z bodu M 0 (x 0 , y 0) . Toto vyrovnanie je priradené pomocou dvoch čiar, ktoré sa prekrývajú A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 і A 2 x + B 2 y + C 2 \u003d 0.

Zapíšme vyrovnanie α (A 1 x + B 1 y + C 1) + β A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 v zobrazení α A 1 + β A 2 x + α B 1 + β B 2 y + a C1 + pC2 = 0.

Rivnyannya bude vvazhatsya zagalnym, yakshcho vykonuetsya myseľ, ak α · A 1 + β · A 2 a α · B 1 + β · B 2 vіdminnі vіd nula. V opačnom prípade sme odobrali tvar α A 1 + β A 2 = 0 ⇔ A 1 = - β α A 2 і α B 1 + β B 2 = 0 ⇔ B 1 = - β α B 2 alebo α A 1 + β A2 = 0⇔A2 = - α β Ai i α B 1 + β B2 = 0 ⇔ B2 = - α βB1. Tse znamenalo b, že vektory nie sú kolineárne.

Takto to nie je možné, hrebene n 1 → і n 2 → ce sú normálové vektory priamok a 1 a a 2, takže sa menia.

Môže byť, α · (A 1 x + B 1 y + C 1) + β · A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 rovné čiary. Ďalej je potrebné preukázať splnenie súradníc bodu na prechodoch їх tak, aby súradnice bodu M0 (x0, y0). Dá sa ukázať, že platí rovnosť α · (A 1 x + B 1 y + C 1) + β · A 2 x + B 2 y + C 2 = 0.

M 0 (x 0, y 0)

Ak je A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 і A 2 x + B 2 y + C 2 \u003d 0 spravodlivé, hviezdy sú jasné, potom α A 1 x + B 1 y + C 1 + β A2x + B2y + C2 = ao + p° = 0.

Čo bolo potrebné priniesť.

Môžeme urobiť visnovok, ktorý sa rovná, ako môže vyzerať α · A 1 x + B 1 y + C 1 + β · A 2 x + B 2 y + C 2 = 0, є vyrovnanie lúča.

čo znamená?

Je potrebné, aby aspoň jeden z parametrov dosiahol nulu, potom sa to dá odpustiť. Pamätajte, že α ≠ 0 môžeme brať v tvare A 1 x + B 1 y + C 1 + λ · A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 s λ = α β .

o ?

Zápach nie je ekvivalentný ceruzke čiar, ktorá leží až do tvaru α · A 1 x + B 1 y + C 1 + β · A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 . Zarovnanie A 1 x + B 1 y + C 1 + λ A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 pre ľubovoľnú hodnotu λ nedáva možnosť odhadu tvaru A 2 x + B 2 y + C 2 = 0

Rovnica μ · A 1 x + B 1 y + C 1 + A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 pre akúkoľvek hodnotu μ nebude mať za následok A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 .

Podávame správu o riešení aplikácií.

zadok 1

Napíšte orientáciu priamky lúča z daného stredu v bode M 0 (- 1 , 4) , k = 3 .

Riešenie

Rovné čiary je potrebné sploštiť, keďže prechádzame daným bodom so súradnicami M 0 (- 1 , 4) s koeficientom rezu rovným 3 . Potom zapíšeme zarovnanie priamky s koeficientom rezu a vezmeme y - 4 = 3 · (x - (- 1)) ⇔ y = 3 x + 7.

Návrh: y = 3 x + 7.

zadok 2

Nájdite súradnice stredu zväzku čiar v O x y tak, aby existovali dve rovnaké čiary, ktoré sa prekrývajú, x - 4 2 \u003d y + 3 0 і x 2 3 + y - 1 \u003d 1.

Riešenie

Pre poznanie súradníc stredu lúča je potrebné poznať priesečníky x - 4 2 = y + 3 0 a x 2 3 + y - 1 = 1 .

Berieme to do úvahy kánonicky rovné priamka na rovine x - 4 2 = y + 3 0 je ekvivalentná x 2 3 + y - 1 = 1 a priamka na vіrіzkah x 2 3 + y - 1 \u003d 1 priamke priamka 3 2 x - y - 1 = 0.

Teraz zostavujeme systém zarovnania, ktorý zahŕňa zarovnanie rovných čiar.

Berieme to do úvahy

y + 3 = 0 3 2 x - y - 1 = 0 ⇔ y = - 3 3 2 x - (- 3) - 1 = 0 ⇔ y = - 3 x = - 4 3

Je dôležité, aby - 4 3 - 3 - súradnice centrálneho bodu, kde sú všetky priame čiary prepletené.

Návrh: - 4 3 , - 3 .

zadok 3

3 x - 2 y + 1 = 0 і x = - 2 + 2 · λ y = 5 · λ je uvedené za dodatočnými priamkami v O x y, aby bolo možné nakresliť bod kríža.

Riešenie

Pre klas je potrebné vziať rovnú priamku. Priraďuje sa k parametrickým zarovnaniam x = - 2 + 2 · λ y = 5 · λ.

Pozrite sa, čo nasleduje

x = - 2 + 2 λ y = 5 λ ⇔ λ = x + 2 2 λ = y 5 ⇔ x + 2 2 = y 5 ⇔ ⇔ 5 (x + 2) = 2 y ⇔ 5 x - 2 y + 10 = 0

Je možné zaznamenať zarovnanie zväzku priamych čiar a vziať α (3 x - 2 y + 1) + β (5 x - 2 y + 10) \u003d 0 a α i β є s reálnymi číslami, de obov'zkovoyu mentalita sa berie do úvahy α 2 + β 2 ≠ 0.

Návrh: a (3 x - 2 y + 1) + p (5 x - 2 y + 10) = 0.

zadok 4

Napíšte rovné čiary tak, aby prešli bodom M 1 (2, - 1) a prekrývajte ceruzku s rovnými čiarami rovnými α · (5 x + y - 19) + β · (2 ​​​​x - 3 y + 6) = 0.

Riešenie

Úlohy sa delia dvoma spôsobmi.

Prvý spôsob začína označením M 0 ako stred brvna. Potom je potrebné poznať body priamky 5 x + y - 19 = 0 і 2 x - 3 y + 6 = 0 , takže výsledkom i budú súradnice pre M 0 .

Zobrazujeme súradnice po zmene systému, ktorý sa objavil:

5 x + y - 19 = 0 2 x - 3 y + 6 = 0 ⇔ y = 19 - 5 x 2 x - 3 (19 - 5 x) + 6 = 0 ⇔ y = 19 - 5 xx = 3 ⇔ ⇔ y = 19 - 5 3 x = 3 ⇔ y = 4 x = 3

Takže bod M 0 má súradnice (3, 4) . Toto sa zapíše ako M0 (3, 4). Aby ste sa pozreli na úroveň, o čom vtipkovať, ako prechádzať bodmi so súradnicami M 0 (3, 4) a M 1 (2, - 1) . Vo výsledku berieme:

x - 3 2 - 3 = y - 4 - 1 - 4 ⇔ x - 3 - 1 = y - 4 - 5 ⇔ x - 3 1 = y - 4 5

Ďalší spôsob je založený na tom, že je potrebné priradiť parametre ? - jeden). Pre ktoré poznáme súradnice M 1 a berieme to, že

α 5 2 + (-1) - 19 + β 2 2 - 3 (- 1) + 6 = 0 ⇔ ⇔ - 10 α + 13 β = 0 ⇔ α = 13 β 10

Akceptujeme hodnotu β = 10, pri ktorej je možné si vybrať, či je hodnota β inak rovnaká, alebo je to dané nemotorným výpočtom α. Berieme α = 13 β 10 = 13 10 10 = 13.

Pri nastavení hodnoty α = 13 a β = 10 pri danom zarovnaní lúča môžeme zmeniť:

13 (5 x + y - 19) + 10 (2 x - 3 r + 6) = 0 ⇔ 85 x - 17 r - 187 = 0 ⇔ 5 x - y - 11 = 0

Je potrebné prehodnotiť rovnocennosť rovných, ktorých videli.

x - 3 1 = y - 4 5 ⇔ 5 x - 3 = 1 r - 4 ⇔ 5 x - y - 11 = 0

Zdá sa, že všetko je napísané správne.

Platné: 5 x - y - 11 = 0.

zadok 5

Priraďte presah priamky 3 x - y + 5 = 0 ceruzke s priamkami α · (x - 2 y + 4) + β · (x - y + 4) = 0 .

Riešenie

Riešením je prejsť dvoma spôsobmi.

Prvý spôsob riešenia je založený na význame stredov súradníc daného zamerania lúča a jeho opätovnom overení:

x - 2 y + 4 = 0 x - y + 4 = 0 ⇔ x = 2 y - 4 x - y + 4 = 0 ⇔ x = 2 y - 4 2 y - 4 - y + 4 = 0 ⇔ ⇔ x = 2 r - 4 r = 0 ⇔ x = 2 0 - 4 r = 0 ⇔ x = - 4 r = 0 3 (- 4) - 0 + 5 = 0 ⇔ - 7 = 0

Je dôležité, aby nahradenie súradníc do stredu zarovnania priamky 3 x - y + 5 = 0 poskytlo nesprávne zarovnanie. Robimo visnovok, ktorý priamo neprevracia stred trsov, teda a neleží na vás.

Ďalší spôsob je založený na otváraní oblúkov a prinášaní podobných sčítaní α · (x - 2 y + 4) + β · x - y + 4 = 0 ⇔ 2 α + β · y + 4 α + 4 β = 0.

Ak čiara 3 x - y + 5 = 0 leží na ceruzke čiar, potom α a β sú také dôležité, že dve sa rovnajú α + β x - 2 α + β y + 4 α + 4 β = 0 і 3 x - y + 5 = 0 є ekvivalent.

Potom vezmeme systém, ktorý sa skladá z troch rovných α + β = 3 2 α + β = 1 4 α + 4 β = 5 .

Pre transformáciu її je potrebné vyrovnať koeficienty pred zmenou x і y і voľné členy zjavného sa rovná α + β · x - 2 α + β · y + 4 α + 4 β = 0 і 3 x - y + 5 = 0, aby sa získal výsledok riešenia.

Pre opätovné overenie je potrebné skontrolovať Kroneckerovu-Capelliho vetu.

Pre ktoré je potrebné zapísať hlavné a rozšírené matice pre skladaný systém vyrovnávania. Predpokladáme, že A = 1 1 2 1 4 4 a T = 1 1 3 2 1 1 4 4 5 .

Výsledkom je, že poradie rozšírenej matice je 3, skóre je 1 1 3 2 1 1 4 4 5 = 7 ≠ 0 .

Je možné, že vyrovnávacia sústava α + β = 3 2 α + β = 1 4 α + 4 β = 5 nie je priradená, takže ju možno oddeliť. Takže ako riešenie by priamka nemala prechádzať stredom priamky zjavných priamych lúčov.

Návrh:ні, rovné čiary 3 x - y + 5 = 0 nepatria do danej ceruzky riadkov napísaných rovných tvaru α · (x - 2 y + 4) + β · (x - y + 4) = 0 .

Akoby ste si spomenuli na pardon v texte, buďte láskaví, pozrite si to a stlačte Ctrl + Enter