Za elementárne nazývajú znovuvytvorenie systému a rodovej línie. Elementárna re-vývoj systémov. Linearita, nezávislosť vektorových systémov

3. Poznať riešenie systému, ako ho možno vysvetliť odstránením krokov matice.

§7. Lineárne systémy

Ekvivalentné systémy. Elementárna reimaginácia systému lineárnych rovníc.

Poď Z- Oblasť komplexných čísel. Rovnaké s mysľou

de
, zavolal na linku n nevyhnutné
... Sada objednávok
,
nazývať sa rіshennyam rіvnyannya (1), yakscho.

systém m lіnіynykh rіvnyany z n Systém sa nevyhnutne nazýva typ:

- Koeficienty obchodných systémov, - členovia Vilny.

Obdĺžnikový stôl

,

sa nazýva matica veľkostí
... Vstupná hodnota: - i-Ten rad matríc,
- k-Tiy sto matíc. Matrix A stále zlý
abo
.

Nadchádzajúca transformácia riadkov v matici A sa nazývajú prvky:
) viklyuchennya nulový riadok; ) násobok všetkých prvkov ľubovoľného riadku na číslo
; ) doplnok k akémukoľvek riadku ľubovoľného riadku, vynásobený
... Analogická opätovná implementácia matíc stoviek pc A sa nazývajú elementárne prepisy matice A.

Prvý nenulový prvok (vazayuchi zlo vpravo) ľubovoľného riadku matice A nazývať provinčným prvkom celého radu.

Viznachennya... Matrix
byť nazývaný krokom, akoby sa mal nazývať takto:

1) nulové riadky matice (ako smrad є) sú nižšie ako nenulové riadky;

2) yaksho
poskytnúť prvky riadkov v matici, potom

Ak by išlo o nenulovú maticu A z pohľadu prvkov riadkového typu sa transformácia môže dostať do štádia častej matice.

zadok... Riadený maticou
na najbežnejšiu maticu:
~
~
.

Matrix nabitý výkonom systému Lineárne Rivnyany (2) sa nazývajú hlavná matica systému. Matrix
Otrimanu z členstva sto vilnye členov, tzv rozšírená matica systému.

Zoradenia súboru sa nazývajú riešenia systému línií systémov (2), ako aj riešenia línií kože systému.

Systém radových ľudí sa nazýva sociálny, pokiaľ chcem jedno riešenie, a je to šialené, keďže to nie je riešenie.

Systém lineárnych rivnyanov sa nazýva spievajúci, pokiaľ existuje jedno riešenie, je to nepodstatné, keďže existuje viac riešení.

Nadchádzajúca opätovná implementácia systému a línie sa nazýva elementárna:

) vyklyuchennya zo systému a do typu;

) veľa z oboch častí, či už je to rivnyannya
,
;

) dodavannya byť podobný rivnyannya byť podobný іншого іншого рівняння, vynásobený,.

Dva systémy lineárnych rivnyanov z n nedostupných ľudí nazývajú rovnako silnými, lebo smrad nie je ospalý, alebo sa mnohé ich riešenia strácajú.

Veta... Aj keď jeden systém riadkových rivnyany je prevzatý z rovnakého v viglyadi elementárnych konverziách na typ),),), je rovnako výkonný.

Virіshennya sistemi lіnіynykh іvnyany metódou vyklyuchennya nevіdomich (Gausova metóda).

Nech je daný systém m lіnіynykh rіvnyany z n nevyhnutné:

Systém Yaksho (1) na pomstu druhu

potom celý systém nespí.

Je prípustné, aby sa systém (1) nepomstil formuláru (2). Nech má systém pri zmene (1) výkon X 1 na prvom mieste
(ak to tak nie je, tak preskupením ryvnyanov na malé kúsky to nie je možné, takže keďže nie všetok výkon s X 1 späť na nulu). Zastosuєmo až po systém lineárnych rіvnyany (1) útočný lantsyuzhok elementárnej transformácie:

, Dodamo do inej krajiny;

Perche rivnyannya, vynásobené
, Dodamo do tretej sezóny a doteraz;

Perche rivnyannya, vynásobené
dodamo do zvyšku systému.

Výsledkom je, že systém lineárnych rivnyanov (nadal vikoristovuvuvuvuvuvuvuvuvaty SLU pre systém lineárnych rivnyanov) sa rovná silnému systému (1). Dá sa zistiť, že v systéme otriman_y je zhodne rivnyannya s číslom i, i 2, nemsti sa za krivdu X 2. Poď k aj najmenej prirodzené číslo, ktoré je nedostupné X k Chcel by som mať miesto v jednom rovnakom počte i, i 2. Systém Todi otriman rivnyan maє viglyad:

Systém (3) sa rovná systému (1). Zastosuєmo teraz k pidsystému
systémy lineárnych rivnyans (3) mirkuvannya, ako sú gule sú prilepené k SLU (1). Som tak ďaleko. Výsledkom je, že proces dosiahne jeden alebo dva výsledky.

1. Otrimaєmo SLU, ktorá sa má pomstiť druhu (2). Tu SLU (1) je nekompatibilné.

2. Základná re-implementácia, prilepená na SLU (1), nie na systém, aby sa pomstila na formulári (2). V tsyom vipadku SLP (1) elementárne prepracovanie
byť vedený k systémom typu:

(4)

de, 1< k < l < . . .< s,

Systém priamej viditeľnosti (4) sa nazýva krok. Sú tu dve variácie.

a) r= n Systém Todi (4) ma viglyad

(5)

Systém (5) je ľahko riešiteľný. Otzhe, systém (1) sa dá jednoducho vyriešiť.

b) r< n... Nemám žiadne problémy
v systéme (4) sa nazývajú bezdomovci a sito, ktoré nie je v celom systéme domáce, sa nazýva divoké (číslo je jedna n- r). Pekné číselné hodnoty Nadama nie sú v skutočnosti rozpoznateľné, iba SLU (4) sú samotní matematici, ako systém (5). Zo všetkých bolestí hlavy nie je možné začať jednoznačne. V takejto hodnosti je systém rozvoja, tobto є duchovný. Oscilácie k neopatrným dostali veľké množstvo hodnôt Z, potom systém (4) nie je dôležitý. Tiež systém (1) є nie je priradený. Po porušení v SLU (4) je mozog nevyhnutný cez virtuálne nevyhnutnosť, môžeme rozpoznať systém, ktorý sa nazýva vonkajšie riešenie systému (1).

zadok... Pomocou tejto metódy vytvorte systém lineárnych zarovnaní G aussa

Rozšíril som maticu čiarového systému a okrem elementárnych riadkových aj pretvorenie vedúcich matíc na ďalšiu úroveň:

~

~
~
~

~. Podľa odmietnutia matice je systém lineárnych rovní zrejmý:
Systém qia sa rovná systému wirhіdnіy. Yak golovnі unvіdomі vіzmemo todі
vіlnі unvіdomі. Bolesti hlavy ich zrejme nezbavia zadarmo:

Pre riešenie SLU sme urobili spálňu. Poďte ďalej

(5, 0, -5, 0, 1) - súkromné ​​riešenie SLP.

Zavdannya na nezávislú revíziu

1. Poznať riešenie rovnakého riešenia systému a riešenia metódou prechodu na nedomácnosti:

1)
2)

4)
6)

2. Poznajte hodnotu parametra nad rámec a všeobecné riešenie systémov a zariadení:

1)
2)

3)
4)

5)
6)

§osem. Vectornі priestrannosť

Koncept vektorového priestoru. Jednoduchá sila.

Poď V ≠ Ø, ( F, +, ∙) - pole. Prvky poľa sa nazývajú skaláre.

Vizualizácia φ : F× V –> V nazývaná operácia množiny prvkov z množiny V na skalároch z polí F... Výrazne φ (λ a) naprieč λa prvok tvir a na skalár λ .

Viznachennya. Bezlich V z danej algebraickej operácie skladania prvkov množiny Vže mnoho prvkov z mnohých V na skalároch z polí F sa nazýva vektorový priestor nad poľom F, ako sú nasledujúce axiómy:

zadok. Poď F lúka, F n = {(a 1 , a 2 ,…, A n) | a i F (i=)). Kozhen element mnogini F n byť volaný n-mirnim aritmetický vektor. Zavedená dodatočná operácia n-svetové vektory a viacnásobné n-svetový vektor na skalárne pole F... Poď
. Spoľahlivý = ( a 1 + b 1 , … , a n + b n), = (λ a 1, λ a 2, ..., λ a n). Bezlich F n zvyčajne zavedené operáciami є vektorový priestor, n-svetový aritmetický vektorový priestor nad poľom F.

Poď V- vektorový priestor nad ihriskom F, ,
... Môžem mať tieto vlastnosti:

1)
;

3)
;

4)
;

Doklad o bezúhonnosti 3.

Vzhľadom na zákon rýchlej skupiny ( V, +) maєmo
.

Linearita, nezávislosť vektorových systémov.

Poď V- Vektorový priestor nad poľom F,

... Vektor sa nazýva lineárny kombinovaný systém a vektory
... Bez všetkých lineárnych kombinácií systémov a vektorov sa nazývame lineárny obalový reťazec systémov a vektorov a stávame sa známymi.

Viznachennya. Systém vektorov sa nazýva lineárny úhor, keď takéto skaláry
nie všetky sa rovnajú nule, scho

Ikshcho rіvnіst (1) vikonutsya todі a lishe todі, ak λ 1 = λ 2 = … = =λ m= 0, systém vektorov sa nazýva lineárne nezávislý.

zadok. Vektorový systém Chi z'yasuvati chi є = (1,-2,2), =(2,0, 1), = (-1, 3, 4) rozloha R3 je lineárna úhor alebo plochá.

rozhodnutie. Poď λ 1, λ 2, λ 3
і

 | => (0,0,0) - systémové riešenie. Otzhe, systém vektorov je lineárne štvorcový.

Sila línie a nezávislosť systémov a vektorov.

1. Systém vektorov, ktorý by sa chcel pomstiť jednému nulovému vektoru, є lineárne ladený.

2. Systém vektorov, na umiestnenie podsystému s prepadom čiary a podsystému s prepadom čiary.

3. Systém vektorov
є lineárny úhor todi a iba todi, ak chcete jeden vektor celého systému a zobrazený tvar vektora є lineárna kombinácia dopredných vektorov.

4. Kým sústava vektorov je lineárne nezávislá a sústava vektorov
lineárne úhor, potom vektor je to možné pri pohľade na lineárnu kombináciu vektorov a pred rovnakou hodnosťou.

Doručené. Oscilácie systém vektorov teda lineárne klesá
nie všetky sa rovnajú nule, scho

Pri vektorovej hodnote (2) λ m+1 ≠ 0. Yakshcho nechaj to tak λ m+1 = 0, potom z (2) => Vodsy vyplyaє, ale systém vektorov je lineárne zastaraný, oskilki λ 1 , λ 2 , … , λ m nie vsetky ceny su nulove. Príďte sa utrieť umývaním. Z (1) => de
.

Nech je vektor zobrazený rovnakým spôsobom s prehliadačom: Todi je vektor.
cez líniu nezávislosti systémov a vektorov dodávky,
1 = β 1 , …, m = β m .

5. Nedávajte dve sústavy vektorov a
, m>k... Keďže povrchový vektor systému a vektorov môže byť lineárnou kombináciou systémov a vektorov, systém vektorov je lineárny.

Báza, poradie systémov a vektorov.

Kintsevov systém vektorov v priestore V nad ihriskom F zmysluplne cez S.

Viznachennya.Či je subsystém systémov a vektorov lineárne nezávislý S nazývame základom sústav vektorov S aký systémový vektor S je to možné pri pohľade na lineárnu kombináciu systémov a vektorov.

zadok. Poznať základy vektorových sústav = (1, 0, 0), = (0, 1, 0),

= (-2, 3, 0) R3. Systém vektorov, lineárne nezávislých, sa štiepi v závislosti od výkonu posibnik základy Elektromechanotronika: náčelníkposibnik základy elektrotechnika "; ...

Pred vykonaním základných revízií:

1) Sčítanie oboch častí jedného rovnakého dielu, vynásobeného rovnakými číslami, ktoré nie sú drahé na nulu.

2) Permutácia kňazov s myšami.

3) Vizualizácia zo systému rivnyany, ktorý je rovnaký pre všetkých.

TEOREMA KRONEKERU - CAPELLI

(Inteligencia systému)

(Leopold Kronecker (1823-1891) Nimetsky matematik)

Veta: Systém je spilna (nie je potrebné jedno riešenie) iba v prípade, že hodnosť matice systému a pokročilá hodnosť rozšírenej matice.

Je zrejmé, že systém (1) môže byť napísaný vo viglyade:

x 1 + x 2 +… + x n

Doručené.

1) Pokiaľ ide o rozhodnutie, potom je tam sto voľných členov є riadková kombinácia sto percent matice A, ktorá bola tiež pridaná do matice, takže. transfer А®А * nemeňte hodnosť.

2) Yaksho RgA = RgA *, tse znamená, že vonia ako ten istý základný moll. Sto percent hlavných členov - riadková kombinácia sto percent základného moll, teda zadanie je správne, pointa je vypointovaná.

zadok. Viditeľnosť systému a línie:

~ . RgA = 2.

A * = RgA* = 3.

Systém je šialený.

zadok. Vizuálne, konzistencia líniového systému.

A =; = 2 + 12 = 1410; RgA = 2;

A * =

RgA* = 2.

Systém je spilna. Riešenie: x1 = 1; x 2 = 1/2.

2.6 GAUSSOVÁ METÓDA

(Karl Fridrikh Gaus (1777-1855) Nimetsky matematik)

Na základe maticovej metódy a Cramerovej metódy možno Gausovu metódu použiť na stagnáciu až po lineárne systémy, od veľkého počtu rovnakých a nedomicilovaných. Podstata metódy polarizácie je v poslednom týždni nešťastníka.

Systém lineárnych rivnyanov je pochopiteľný:

Rozdilimo uráža časť 1. rivnyannya na 11 ¹ 0, niekedy:

1) vynásobené 21 a založené na inom rovnakom

2) vynásobené 31 і od tretieho času

, de d1j = a1j/a11, j = 2, 3, ..., n + 1.

d ij = a ij - a i1 d 1j i = 2, 3,…, n; j = 2, 3, ..., n + 1.

zadok. Vyvinúť systém lineárnych pretekov Gaussovou metódou.

, Hviezdy sú rozpoznateľné: x 3 = 2; x2 = 5; x1 = 1.

zadok. Systém virishity Gaussovou metódou.

Rozšíriteľná systémová matica.

V takejto hodnosti môže byť systém vyhіdnaya zastúpený vo viglyadі:

, Hviezdy sú rozpoznateľné: z = 3; y = 2; x = 1.

Otrimana je prevzatý z pohľadu, ktorý je pre daný systém vytlačený Cramerovou metódou a maticovou metódou.

Pre sebaurčenie:

Zobraziť: (1, 2, 3, 4).

TÉMA 3. PRVKY VEKTORÁLNEHO ALGEBRÍ

ZÁKLADNÁ HODNOTA

Viznachennya. Vektor nazývaná konjugácia tvaru (niekoľko bodiek je usporiadaných). Pred vektormi platí to isté nulový vektor, ucho a koniec, ako začať.

Viznachennya. Dovzhina (modul) vektor sa nazýva ucho a koniec vektora.

Viznachennya. Vektorové sú tzv kolineárne na jednej alebo viacerých rovnobežných rovných líniách je cítiť zápach praženia. Nulový vektor je kolineárny s ľubovoľným vektorom.

Viznachennya. Vektorové sú tzv koplanárny ako rovná plocha ako smrad paralela.

Kolineárne vektory sú koplanárne, ale nie všetky koplanárne vektory sú kolineárne.

Viznachennya. Vektorové sú tzv rivnim nakoľko je smrad kolineárny, tie isté moduly sú však narovnané a podobné.

Be-like vektory môžu vyvolať klas, tobto. pobuduvaty vektor na zaklade datumu a moze byt najskorsie ucho. Z hodnoty rovnosti vektorov vapingu, ale nech je to vektor, neexistujú žiadne vektory, ktoré by sa vám rovnali.

Viznachennya. Linkové operácie nad vektormi sa nazýva dodatočné číslo.

Sumyu vektory vektor -

Tvir, dobutok - , zároveň je kolineárny.

Vektor smerov із vektorom (), kde a> 0.

Vektor susedných narovnaní s vektorom (?), kde a< 0.

VEKTORY ORGÁNOV

1) + = + - komutivita.

2) + ( + ) = ( + )+

5) (a × b) = a (b) - asociácia

6) (a + b) = a + b - rozdelenie

7) a (+) = a + a

Viznachennya.

1) Základ v otvorenom priestore sú 3 nekoplanárne vektory, zachytené v jedinom poradí.

2) Základ na ploche sú 2 nekolineárne vektory, nasnímané v speve.

3)Základ byť ako nenulový vektor, ktorý sa má nazývať rovný.

Poď - Systém vektorov m z. Hlavné elementárne transformácie systémov a vektorov є

1. - pridanie jedného z vektorov (vektora) kombinácie čiar.

2. - Viac jeden z vektorov (vektorov) na číslo, ktoré nie je nula.

3. permutácia dvoch vektorov () u myší. Systém vektorov sa bude nazývať ekvivalentný (význam), ako aj kopija elementárneho znovuvytvorenia, ktorá prevedie prvý systém na priateľa.

V súlade so silou zavedeného chápania ekvivalencie vektorov

(Reflexivita)

Z viplyaє, scho (symetria)

Ak ja, tak (prechodnosť) Veta. Ak je systém vektorov lineárne nezávislý, je ekvivalentný, potom je systém lineárne nezávislý. Doručené. Je zrejmé, že stačí uviesť teorém do systému, ktorý je ohraničený pomocou jednej elementárnej re-implementácie. Pripúšťa sa, že systém vektorov je lineárne nezávislý. Todi z tsyogo viplyaє, scho. Nech je systém otriman s pomocou jednej elementárnej readaptácie. Je zrejmé, že permutácia vektorov je násobením jedného z troch vektorov číslom, ktoré nie je drahé na nulu, nemení lineárnu nezávislosť systémov a vektorov. Teraz je možné, že systém vektorov je orezaný zo systémov a pridaný k vektoru lineárnej kombinácie týchto,. Je potrebné vstať, že (1) vypije Oskіlki, potom to prijmeme (1). (2)

Pretože systém je lineárne nezávislý, potom z (2) je živé a všetko.

Zvidsi bude uznaný. Je potrebné to vychovať.

57. Matica. Ďalšie matice Viaceré matice na maticu sú skalárne ako vektorový priestor a veľkosť.

Typ matice: štvorcová

Ďalšie matrice

Sila ďalších matíc:

1. Vyčísliteľnosť: A + B = B + A;

Maticové násobenie číslom

Vynásobiť maticu A číslom? (význam:? A) polia pri indukcii matice B, ktorých prvky sú eliminované násobkom prvku skinu matice A celým číslom, takže je dostupný prvok skinu matice B: Bij = Aij

Mocnosť viacerých matíc na číslo:

2. (λβ) A = λ (βA)

3. (λ + β) A = λA + βA

4. λ (A + B) = λA + λB

Vektorový riadok a vektorové stoovpets

Veľkosť matice m x 1 a 1 x n s prvkami priestorov K ^ n a K ^ m takto:

matica veľkosti m x1 sa nazýva vektor-stovpez a špeciálne hodnoty:

Matica s veľkosťou 1 x n sa nazýva vektorový riadok so špeciálnymi hodnotami:

58. Matica. Pridané viaceré matrice. Matrix yak ring, power matrix ring.

Matica sa nazýva obdĺžniková tabuľka čísel, ktorú možno sčítať až do m rovnakého počtu riadkov alebo n rovnakého počtu stroboskopov.

aij je prvok matice, ktorý sa nachádza v i-tom riadku a v j-tom 100 %.

Typ matice: štvorcová

Štvorcová matica je celá matica s rovnakým počtom sto a jedným riadkom.

Ďalšie matrice

Dodatočné matice A + B є operácia poznania matice C, všetkých prvkov párovacích súčtov všetkých typov prvkov matíc A a B tak, aby povrchový prvok matice bol road Cij = Aij + Bij

Sila ďalších matíc:

1. Vyčísliteľnosť: A + B = B + A;

2. asociácia: (A + B) + C = A + (B + C);

3.Pridanie nulovej matice: A + Θ = A;

4. Odstránenie prototypovej matice: A + (-A) = Θ;

Úsilie sily lineárnych operácií opakuje axiómy lineárneho priestoru a platí nasledujúca veta:

Veľká matica rovnakých rozmerov mxn s prvkami z poľa P (polia všetkých ľubovoľných alebo komplexných čísel) nastavuje riadkovú medzeru nad poľom P (matica kože je vektor priestoru).

Maticové násobenie

Násobenie matíc (čo znamená: AB, pred znamienkom násobenia A x B) je operácia výpočtu matice C, ktorej povrchový prvok je súčtom vytvorenia prvkov v tom istom riadku prvého násobiteľa k počítadlu ostatný.

Počet sto percent v matici A môžeme vziať z počtu riadkov v matici B, napríklad matica A má na svedomí použitie matice B. Taktiež matica A má malú veľkosť mxn, B - nxk, teda

Sila viacerých matíc:

1.asociácia (AB) C = A (BC);

2. nekomutatívnosť (zagalom): AB BA;

3.tvir komutatívne v násobkoch s jednou maticou: AI = IA;

4.rozdelenie: (A + B) C = AC + BC, A (B + C) = AB + AC;

5. Asociácia a komutácia sa vynásobí číslom: (λA) B = λ (AB) = A (λB);

59. * Zlé matriky. Špeciálne a nesingulárne prvky transformácie riadkov v matici. Elementárne matice. Reprodukcia na elementárnych maticiach.

prstencová matrica je taká matrica A -1, keď sa matica vynásobí jakom Aáno, vo výsledku jedna po druhej matice E:

Elementárne transformácie riadkov volaj:

Podobne začnite elementárne znovuvytvorenie stopciv.

Elementárna transformácia vlkolakov.

Určené v prípade tých, že matricu možno orezať cestou elementárneho prepracovania (alebo navpaki).