Какво е линейното векторно пространство. Vznachennya векторно пространство. Прилагане на векторно пространство. Аритметично n-мерно векторно пространство. Формули, които наричат ​​векторите на старите и новите бази

ВЕКТОРНО ПРОСТРАНСТВО, линейно пространство, над полето K, - адитивно се записва абеловата група E, в която се задава умножението на елементите по скалари, така че

K × E → E: (λ, x) → λx,

което удовлетворява следните аксиоми (х, y ∈ Е, λ, μ, 1 ∈ K):

1) λ(x + y) = λx + λy,

2) (λ + μ)x = λx + μx,

3) (λμ)x = λ(μx),

4) 1 ⋅ x = x.

От аксиоми 1)-4) има такива важни степени на векторното пространство (0 ∈ E):

5) λ ⋅ 0 = 0,

6) 0 ⋅ x = 0,

ул. Елементи п. точки St п., но вектори, а елементите на полето K - скалари.

Най-голямото застосуване в математиката и допълненията може да бъде St над полето ℂ на комплексни числа или над полето ℝ на реални числа; вонящ звук Vіdpovіdno комплекс St n. abo deissnimi St n.

Аксиоми на св. п. силата на богатите класове функции, които често се споменават в анализа. От приложенията на св. н. най-основните и най-ранните є п-мирни евклидови простори. Mayzhe с такива важни дупки е богата на функционални пространства: пространството на непрекъснатите функции, пространството на световните функции, пространството на сумиращите функции, пространството на аналитичните. функции, разширение на функциите, ограничена вариация.

Концепцията St е частен изглед на концепцията за модул над пръстен, а самият St е унитарен модул над поле. Единен модул върху некомутативно тяло също е звукът. векторно пространство над тялото; теорията на такива св. п. е богата защо теорията на св. п. над полето.

Едно от важните растения, свързани със св. п., е усукване на геометрията на св. п.

Векторно подпространство или просто подпространство St n. E над полето Do zv. подмножител F ⊂ E, се затваря чрез метод на сгъване на този множител върху скалар. Подпространството, което се вижда от откритото пространство, което съдържа йога, е St над същото поле.

Права линия, преминаваща през две точки x и y B. p. E, звук. безлични елементи z ∈ E от вида z = λx + (1 - λ)y, λ ∈ K. безличен G ∈ E звук. плосък, безличен, сякаш наведнъж от две точки, възможно е да се отмъсти за правата линия, която минава през точките. Кожата е плоска и умножена, за да излезе от откритото пространство за допълнителна помощ ( паралелен трансфер): G = x + F; Това означава, че скин елемент z ∈ G може да бъде представен с единичен ранг във вид z = x + y, y ∈ F, освен това равенството е взаимно недвусмислено между F и G.

Съвкупността от всички разрушения F x = x + F на дадено подпространство F установява St над K, звук. коефициентно пространство E/F, така че операцията да бъде определена като следващата стъпка:

F x F y = F x + y; λF x = F λx , λ ∈ Do.

Нека M = (x α) α∈A - достатъчен множител на вектори z E; линейна комбинация от вектори x α ∈ E sv. вектор x, с формулата

x = ∑ α λ α x α , λ α ∈ K,

в повече от няколко kіntsev брой коефициенти под формата на нула. Сборът от всички линейни комбинации от вектори в дадения множител M е най-малкото подпространство, което може да отмъсти за M и звезди. линейна обвивка на множителя М. Линейна комбинация от звуци. тривиално, тъй като всички коефициенти λ α са равни на нула. Безлич М звук. линейно независима нелинейност, както всички нетривиални линейни комбинации от вектори с M в очите на нула.

Независимо дали е линейно независимо, безлично, да бъде в същия максимален линейно независим множител M 0, тогава в такъв множител той престава да бъде линейно независим след напредване към нов, независимо дали, елемент на E.

Елемент на кожата x ∈ E може да бъде единичен ранг от представяния на y под формата на линейна комбинация от елементи в максималния линейно независим множител:

x = ∑ α λ α x α , x α ∈ M 0 .

При zv'yazku z cim е максимално линейно независим безличен звук. основа св. п. (алгебрична основа). Всички основания на това св. п. rozmirnistyu St p. кинцевомирним п.; иначе vono звук. неодрана св. п.

Полето K може да се разглежда като едномерен ST над полето K; основата на тази св. п. е съставена от един елемент; може да бъде един вид елемент, vіdmіnny vіd нула. Ст. Звичайномирне п. с основа с н елементи св. n-световно пространство.

В теорията на реалния и комплексен St, теорията за набъбналите кратни играе важна роля. Безлич М у дейсни Ст п. зв. нека разгледаме безличното, сякаш наведнъж от са някакви две точки x, y и tx + (1 - t) y, t ∈ , също принадлежат на M.

Голямо пространство в теорията на св. п. заимства теорията на линейните функционали на св. п. Нека Є є St над полето K. Линеен функционал на Є звезда. добавка и равномерна ферментация f: E → K:

f(x + y) = f(x) + f(y), f(λx) = f(x).

Безличното E* на всички линейни функционали на E удовлетворява St над полето K с малко операции

(f 1 + f 2)(x) = f 1 (x) + f 2 (x), (λf)(x) = λf(x), x ∈ E, X ∈ K, f 1 , f 2 , f ∈ E*.

Це Ст п. pov'yazanim (или двойно) пространство (до E). От разбирането на границата до широчината на границите, редица геометрични. термини. Nehai D ⊂ E (очевидно G ⊂ E*); анулаторът на множителя D, или ортогоналните събирания на множителя D (като множителя D) звучат. безличен

D ⊥ = (f ∈ Е*: f(x) = 0 за всички х ∈ D)

(очевидно Г ⊥ = (х ∈ Е: f(x) = 0 за всички f ∈ Г)); тук D ⊥ и Г ⊥ - подпространства, простиращи се до пространствата E* и E. Тъй като f е ненулев елемент от E*, то (f) е максималното линейно подпространство в E, звук. іnodі hyperpіdspace; zsuv такъв pіdprostor zv. хиперплоскост в Е; може да се види всяка хиперплоскост

(x: f(x) = λ), където f ≠ 0, f ∈ Е*, λ ∈ K.

Ако F - подпространство V. p. E, то това е естествен изоморфизъм между F * i

E*/F ⊥ ta mizh (E/F)* ta F ⊥ .

Подмножител Р ⊂ E* звук. общ подмножител над E, така че анихилаторът отмъщава само за нулевия елемент: ⊥ = (0).

Линейно независимият множител на кожата (x α ) α∈A ⊂ E може да бъде настроен така, че да съответства на множителя (f α ) α∈A ⊂ E*, тогава. такъв множител, че f α (x β) = δ αβ (символ на Кронекер) за всички α, β ∈ A. Анонимен пар (х α , f α ) звук. при коя биоортогонална система. Ако (x α) е база в E, тогава (f α) е изцяло над E.

Значително място в теорията св. п. заема теорията на линейните трансформации св. п. Линейна модификация, или линеен оператор, T, който показва St p. p. E 1 на St p. E 2 (или линеен оператор s E 1 в E 2), sv. адитивно и равномерно излагане на пространството E 1 до E 2:

T(x + y) = Tx + Tu; Т(λх) = λТ(х); x, y ∈ E 1 .

Частният начин за разбиране на това е линеен функционал, иначе линеен оператор z E 1 в K. Линейна ферментация є, например, естествена ферментация на V. p. E върху факторното пространство E / F, което дава на елемента на кожата x ∈ E плосък множител F x ∈ E / F. Непрекъснатостта ℒ(E 1 , E 2) на всички линейни оператори T: E 1 → E 2 удовлетворява St p.

(T 1 + T 2) x \u003d T 1 x + T 2 x; (λТ)х = λТх; x ∈ E 1; λ ∈ K; T 1 , T 2 , T ∈ ℒ (E 1, E 2).

Две звезди St. E 1 и E 2. изоморфен St p., който е линеен оператор („изоморфизъм“), който създава взаимно недвусмислено сходство между тези елементи. E 1 и E 2 са изоморфни и двете и само ако техните основи могат да бъдат с еднаква плътност.

Нека T е линеен оператор, който показва E 1 E 2 . Нека получим линеен оператор или двоен линеен оператор, точно T, звук. линеен оператор Т* з E* 2 до Е* 1

(Т*φ)х = φ(Тх) за всички x ∈ Е 1 , φ ∈ Е* 2 .

Има пространство на spivv_dnosheniya T * -1 (0) \u003d ⊥, T * (E * 2) \u003d [T -1 (0)] ⊥, звездите са ясни, че T * є изоморфизъм дори и само леко , ако T е изоморфизъм.

От теорията на линейните отражения St p.

Важна група от дадена теория св. п. Нека F - подпространство V. п. E 1 E 2 - линейно пространство над същото поле, sho і E 1, а не hai T 0 - линейно пространство F в E 2; необходимо е да се знае продължението на T ферментация T 0 , присвояването на usim E 1 и є линейна ферментация E 1 към E 2 . Подобно продължение на инсталацията, но и допълнителни обмени на функцията (свързани с допълнителните структури в St, например топология или ред) могат да доведат до несъвместимост. Приложенията на разработването на проблема за продължението са теоремата на Хан-Банах и теоремата за продължението на положителните функционали в пространства с конус.

Важно разделение на теорията на св. е теорията на операциите върху св. п., така че начините за насърчаване на нови св. п. за помощ. Приложете такива операции - към операцията по вземане на подпространството и установяване на факторното пространство от подпространството. Други важни операции - бърза директна сума, директна работа и тензорна работа St.

Nehai (E α ) α∈I - семейство от C. p. над полето K. Bezlіch E - допълнителни набори от E α - могат да бъдат преобразувани в C. p. над полето K чрез въвеждане на операции

(xα) + (yα) = (xα + yα); λ(xα) = (λxα); λ ∈ K; x α , y α ∈ E α , α ∈ I;

отримане Ст п. Е зв. пряко творение St п. E α і се означава с P α∈I E α . Подпространството на V. p. E, което е съставено от обичайните тихи множества (x α), за кожата s приема безличен (α: x α ≠ 0) изключително звук. директна сума St p. E α i се приписва Σ α E α или Σ α + E α ; За крайния брой dodankiv qi, назначаването е zbіgayutsya; на тази випадка има табели:

Нека Е 1 Е 2 - две св. п. над полето К; E "1, E" 2-общо подпространство V. п. E * 1, E * 2, i E 1 □ E 2 -B. и т.н., който има за основа сумата от всички елементи в пространството на E1 × E2. На елемента на кожата x □ y ∈ E 1 □ E 2 е дадена билинейна функция b = T(x, y) на E" 1 × E 2 съгласно формулата b(f, g) = f(x)g(y ), f ∈ E " 1 , g ∈ E" 2. Преобразуването на базисните вектори x □ y ∈ E 1 □ E 2 може да се разшири до линейна трансформация T V. p. E 1 □ E 2 при V. p . E "2. Nehai E 0 \u003d T -1 (0). Тензорното създаване B. p. E 1 и E 2 звезди. фактор пространство E 1 ○ E 2 = (E 1 □ E 2) / E 0; y се присвоява x ○ w.v.

Бурбаки Н., Алгебра. Алгебрични структури. Линейна и полилинейна алгебра, Прот. от фр., М., 1962; Райков Д. А., Векторно пространство, М., 1962; Ден М. М. от английски, М., 1961; , Едуард Р., Функционален анализ, пров. от английски, М., 1969; Халмош П., Zvichayní vektornі простори, пров. от английски, М., 1963; Глазман И. М., Любич Ю. И., Звичайномирен линеен анализ при работници, М., 1969.

М.И. кадеци.

Джерела:

1. Математическа енциклопедия. Т. 1 (А - Г). изд. дъска: И. М. Виноградов (ръководител на редактора) [та ин.] - М., "Радянска енциклопедия", 1977, 1152 стб. е болен.

Лекция 6. Векторно пространство.

Основно хранене.

1. Векторно линейно пространство.

2. Основата е разширяването на пространството.

3. Ориентация към пространството.

4. Разгръщане на вектор зад основа.

5. Векторни координати.

1. Векторно линейно пространство.

Анонимност, която се състои от елементи от всякакво естество, в която са посочени линейни операции: добавяне на два елемента, което умножаването на елемент по число се нарича отворени пространства, И техните елементи - вектори th пространство і се задават като і, yak і векторни величини в геометрията: . векторитакива абстрактни простори, като правило, не могат да се представят с най-големите геометрични вектори. Елементи на абстрактните пространства могат да бъдат функции, система от числа, матрици и т.н., а в отделен случай и променливи вектори. Ето защо е прието да се назовава векторни открити пространства .

векторно пространство, например, безброй ненарни вектори, които са посочени V1 , без компланарни вектори V2 , безличен вектор с голям размер (реално пространство) V3 .

За тази конкретна випадка е възможно да се даде стъпка към векторната шир.

Назначаване 1.Анонимен вектор се нарича векторно пространство, Като линейна комбинация, независимо дали има вектори в множител, тя също е вектор на този множител. Самите вектори се наричат елементивекторно пространство.

Той е по-важен както в теоретичната, така и в приложната перспектива и в по-абстрактното (абстрактно) разбиране на векторното пространство.

Назначаване 2.Безлич Релементи, в които за всеки два елемента и се присвоява сумата и за всеки елемент се извиква ширина = "68". вектор(или линеен) отворено пространство, като елементи - вектори, като операцията по добавяне на вектори и умножаване на вектор по число, за да задоволи идващите умове ( аксиоми) :

1) добавянето е комутативно, tobto. gif width="184" height="25">;

3) използвайте такъв елемент (нулев вектор), който за каквото и да е https://pandia.ru/text/80/142/images/image003_99.gif" width="45". 99" height="27">;

5) за произволен брой вектори такова число λ може да бъде равно;

6) за всякакви вектори и каквито и да е числа λ і µ справедливост и битие на числата и битие на числа λ і µ справедлив ;

8) https://pandia.ru/text/80/142/images/image003_99.gif" .

От аксиомите, които означават векторното пространство, възкликнете най-простото доказателства :

1. Векторното пространство има повече от една нула – елементът е нулев вектор.

2. Векторно пространство има единичен вектор.

3. До кожата елемент vykonuetsya равнодушие.

4. За всеки номер на деня λ i на нулевия вектор.

5..gif" width="145" height="28">

6..gif" width="15" height="19 src=">.gif" width="71" height="24 src="> името на вектора, който отговаря на равенството https://pandia.ru /text/ 80 /142/images/image026_26.gif" width="73" height="24">.

Отже, фийно и безлично на всички геометрични вектори в є линейно (векторно) пространство, така че за елементите на които множителят се приписва на събиране и умножение по число, което удовлетворява формулировката на аксиомите.

2. Основата е разширяването на пространството.

Стотни концепции за векторно пространство е разбиране на основата и rozmіrnіst.

Назначаване.Колекция от линейно независими вектори, взети от реда sing основакакво пространство. вектор. Складова база за пространство, т.нар основа .

В основата на безличните вектори, разпръснати по правата линия dolnіy, можете да използвате един колинеарен прав вектор.

База на самолетаНека назовем два неколинеарни вектора на тази равнина, взети в същия ред.

Ако базисните вектори са по двойки перпендикулярни (ортогонални), тогава основата се нарича ортогонална, и ако q вектори могат да бъдат двойни, равни на единица, тогава основата се извиква ортонормално .

Най-големите линейно независими вектори в пространството се наричат миртова пространство, т.е. разширяването на пространството се увеличава с броя на основните вектори в това пространство.

Otzhe, очевидно похвален на дагите:

1. Едносветовно пространство V1 е права линия и основата се формира от една колинеарнавектор https://pandia.ru/text/80/142/images/image028_22.gif" width="39"

3. Голяма шир с тривиална шир V3 , чиято основа се формира от три некомпланарнивектор_v.

Трябва да отбележим, че броят на базисните вектори на права линия, на равнина, в реално пространство варира с този, който в геометрията обикновено се нарича номер на права линия, равнина, пространство. Естествено е това да доведе до по-грубо наказание.

Назначаване.Векторно пространство РНаречен н- мирно, както в новия свят вече нлинейно независими вектори и се задават Р н. номер нНаречен мирпространство.

Vіdpovіdno до rozmіrnostі открито пространство podіlyayutsya kintsevіі неограничен. Отвореността на нулевото пространство отвъд назначенията се счита за равна на нула.

Уважение 1.В пространството на кожата можете да посочите колко бази са необходими, но с това пространство всички бази на даденото пространство се сумират от един брой вектори.

Бележка 2.В н- към мирно векторно пространство се извиква базата независимо дали е подреденият ред или не нлинейно независими вектори.

3. Ориентация към пространството.

Нека основните вектори и пространство V3 труд горещ кочані поръчване, т.е. Посочва се кой вектор се разглежда първи, кой - за други и кой - за трети. Например в основата на векторите подреждането е правилно до индексиране.

За за да се ориентира пространството е необходимо да се постави определена основа и да се изрази положително .

Можете да покажете, че безличните бази на пространството са разделени на два класа, че са разделени на две подмножества, че не се припокриват.

а) всички основи, които принадлежат към едно подмножество (клас), могат въпреки товаориентация (основа на едно и също меню);

б) всякакви две бази, които лежат живот p_dmnozhin (класове), mayut протилежнуориентация, ( различнооснова).

Ако единият от двата класа бази е положителен, а другият е отрицателен, тогава изглежда, че експанзията ориентирани .

Често при ориентиране към пространството се нарича една основа управлява, и други - livimi .

https://pandia.ru/text/80/142/images/image029_29.gif" width="61" height="24 src="> име правило, Въпреки това, когато третият вектор е защитен, най-краткият завой на първия вектор е стрелка срещу година(фиг. 1.8, а).

https://pandia.ru/text/80/142/images/image036_22.gif" width="16" height="24">

https://pandia.ru/text/80/142/images/image037_23.gif" width="15" height="23">

https://pandia.ru/text/80/142/images/image039_23.gif" width="13" height="19">

https://pandia.ru/text/80/142/images/image033_23.gif" width="16" height="23">

Мал 1.8. Дясната основа (а) тази лява основа (б)

Звънете с положителна основа

Може да се зададе дясната (ливия) основа на пространството и за допълнителното правило на „десния“ („ляво“) винт чи свердла.

По аналогия с cim се въвежда понятието дясно и ляво тризнацинеобщностни вектори, които се дължат на подреждане (фиг. 1.8).

По този начин, при дива тенденция, две подредени тройки от непланирани вектори могат да имат една и съща ориентация (еднаква) в пространството V3 ако смърдят обидено дясно или обидено ляво, и - противоположна ориентация (различна), ако единият е десен, а другият е ляв.

Подобно да пасне и да има място V2 (Квадрати).

4. Разгръщане на вектор зад основа.

За по-голяма простота, огледалното отразяване може да се види на примера на тривимирово векторно пространство Р3 .

Хайде - dovіlny вектор tsgo пространство.

Материал от Уикипедия - безплатна енциклопедия

Векторни(в противен случай линеен) шир- Математическа структура, тъй като представлява набор от елементи, наречени вектори, за които определените операции се събират една по една и се умножават по число - скалар. Tsі operatsії под порядъка на осем аксиоми. Скаларите могат да бъдат елементи на реч, комплексни, или да е някакво друго поле от числа. Частният изглед на подобна шир е най-тривиалната евклидова шир, чиито вектори са победители, например за представяне на физически сили. По следния начин е важно векторният елемент на векторното пространство да не е задължително отговорен за присвояването на прав напред низ. Разбирането на понятието "вектор" към елемента на векторната шир на подобна природа не само извиква вариацията на термините, но ни позволява да разберем или да предизвикаме предаването на ниски резултати, справедливи пространства на по-скоро естествена природа.

Векторните пространства са обект на изучаване на линейната алгебра. Една от основните характеристики на векторното пространство е неговата експанзивност. Разширяването е максималният брой линейно независими елементи в пространството, което, навлизайки в грубо геометрично описание, броят на директните линии, невидими една през една след допълнителната операция на сгъване и умножаване по скалар. Векторната площ може да бъде запълнена с допълнителни структури, например с норма или скаларно създаване. Подобни пространства естествено се появяват в математическия анализ, по-важното в привидно безкрайните функционални пространства ( Английски), как действат векторите и функциите. Много проблеми в анализа трябва да бъдат обяснени, така че последователността от вектори да се сближи до следващия вектор. Разглеждайки такива източници на възможности във векторни пространства с допълваща се структура, в повечето случаи - с подобна топология, която позволява да се разбере близостта и непрекъснатостта. Такива топологични векторни пространства, zocrema, Banach и Hilbert, позволяват по-голямо усукване.

Krіm vectorіv, линейна алгебра vivchaє също тензори от най-висок ранг (скалар се счита за тензор от ранг 0, вектор - тензор от ранг 1).

Първите практики, които въвеждат въвеждането на концепцията за векторно пространство, могат да се видят до 17 век. Същите разработки бяха отнети от аналитичната геометрия, матриците, системите от линейни подравнявания, евклидовите вектори.

Назначаване

линия, или векторно пространство $V\backslash вляво(F\backslash вдясно)$над полето $Ф$- tse нареди chetverka $(V,\; F,\; +,\; \backslash cdot)$, де

• $V$- Безупречни, безлични елементи от доста естествена природа, както ги наричат вектори;
• $Ф$- (алгебрично) поле, чиито елементи се наричат скалари;
• Възложена операция добавяневектор_v $V\backslash \; пъти\; V\backslash \; до\; V$, задаване на скин двойката елементи $\backslash mathbf(x),\; \backslash mathbf(y)$безличен $V$ $V$, нарежда им чантаи означават $\backslash mathbf(x)\; +\; \backslash mathbf(y)$;
• Възложена операция умножение на вектори върху скалари $F\backslash \; пъти\; V\backslash \; до\; V$, какво spіvstavlyaє кожен елемент $\backslash ламбда$полета $Ф$и кожен елемент $\backslash mathbf(x)$безличен $V$единичният елемент на множителя $V$, какво се означава $\backslash lambda\backslash cdot\; \backslash mathbf(x)$или $\backslash lambda\backslash mathbf(x)$;

Векторни пространства, зададени върху едни и същи безлични елементи, но върху различни полета, ще бъдат различни векторни пространства (например безлични двойки реални числа $\backslash mathbb(R)^2$може да бъде двумерно векторно пространство над полето на реалните числа или едномерно - над полето на комплексните числа).

Най-простата мощност

1. Векторното пространство е абелева група чрез събиране.
2. Неутрален елемент $\backslash mathbf(0)\; \backslash в\; V$
3. $0\backslash cdot\backslash mathbf(x)\; =\; \backslash mathbf(0)$за който и да е $\backslash mathbf(x)\; \backslash в\; V$.
4. За бъде-кой $\backslash mathbf(x)\; \backslash в\; V$елемент на пролапс $-\backslash mathbf(x)\; \backslash в\; V$Ние сме единни, че пеем от груповите власти.
5. $1\backslash cdot\backslash mathbf(x)\; =\; \backslash mathbf(x)$за който и да е $\backslash mathbf(x)\; \backslash в\; V$.
6. $(-\backslash alpha)\backslash cdot\backslash mathbf(x)\; =\; \backslash alpha\backslash cdot(-\backslash mathbf(x))\; =\; -(\backslash alpha\backslash mathbf(x))$за каквото и да е $\backslash алфа\; \backslash \; във\; F$і $\backslash mathbf(x)\; \backslash в\; V$.
7. $\backslash alpha\backslash cdot\; \backslash mathbf(0)\; =\; \backslash mathbf(0)$за който и да е $\backslash алфа\; \backslash \; във\; F$.

Povyazanі vznachennya тази власт

Pіdprosіr

Алгебрично обозначение: Линейно подпространствоили векторно подпространствое непразно подмножество $К$линейно пространство $V$така че какво $К$най-линейната шир по отношение на пеенето $V$ diam сгъване на това умножение със скалар. Много подпространства звънят, за да означават като $\backslash mathrm(Lat)(V)$. Sob pіdnіzhina bula pіdprostorom, nebhіdno i dovoljno, shob

1. за какъвто и да е вектор $\backslash mathbf(x)\backslash в\; K$, вектор $\backslash alpha\backslash mathbf(x)$също в легнало положение $К$, за каквото и да е $\backslash алфа\backslash в\; F$;
2. за всякакви вектори $\backslash mathbf(x),\; \backslash mathbf(y)\; \backslash в\; K$, вектор $\backslash mathbf(x)+\backslash mathbf(y)$също в легнало положение $К$.

Останалите две твърдения са еквивалентни на обидните:

За всякакви вектори $\backslash mathbf(x),\; \backslash mathbf(y)\; \backslash в\; K$, вектор $\backslash alpha\backslash mathbf(x)+\backslash beta\backslash mathbf(y)$също в легнало положение $К$за каквото и да е $\backslash алфа,\; \backslash бета\; \backslash в\; F$.

Zokrema, векторно пространство, което се състои от повече от нулев вектор, е подпространство на всякакъв вид пространство; бъдете един вид пространство за себе си. Под пространството, с което двама души не се разбират, те се обаждат дръж сеили нетривиален.

Силата на подпространствата

• Перетин бе-като родината на подпространствата - ново подпространство;
• Количество подпространство $\backslash (K\_i\backslash quad|\backslash quad\; i\; \backslash in\; 1\backslash lddots\; N\backslash )$изглежда като безличен, за да отмъсти за всички елементи на sumi $K\_i$: $\backslash sum\_(i=1)^N(K\_i):=\; \backslash (\backslash mathbf(x)\_1\; +\; \backslash mathbf(x)\_2\; +\; \backslash ldots\; +\; \backslash mathbf(x)\_N\backslash quad|\backslash quad\; \backslash mathbf(x)\_i\; \backslash in\; K\_i\backslash quad\; (i\backslash in\; 1\backslash lddots\; N)\backslash )$.
  • Сборът от последното семейство pidspaces - new pidspace.

Линейни комбинации

Кинцева сборен ум

$\backslash alpha\_1\backslash mathbf(x)\_1\; +\; \backslash alpha\_2\backslash mathbf(x)\_2\; +\; \backslash ldots\; +\; \backslash alpha\_n\backslash mathbf(x)\_n$

Линейната комбинация се нарича:

Основа. Romіrnіst

вектори $\backslash mathbf(x)\_1,\; \backslash mathbf(x)\_2,\; \backslash ldots,\; \backslash mathbf(x)\_n$Наречен линеен угар, което е нетривиална линейна комбинация, която е по-близо до нула:

$\backslash alpha\_1\backslash mathbf(x)\_1\; +\; \backslash alpha\_2\backslash mathbf(x)\_2\; +\; \backslash ldots\; +\; \backslash alpha\_n\backslash mathbf(x)\_n\; =\; \backslash mathbf(0),\; \backslash quad\; \backslash \; |\backslash alpha\_1|\; +\; |\; \backslash \; алфа\_2\; |\; +\; \backslash ldots\; +\; |\backslash alpha\_n|\; \backslash neq\; 0.$

По друг начин векторите се наричат линейно независими.

Dane vyznachennya posledaє nadne zagalnennya: безличен vector_v z $V$Наречен линеен угарякшо линейно угар деяк kintseveйога множител, т.е линейно независимиякшо бе-як його kintseveподмножеството е линейно независимо.

Основа на господство:

• Бъди като $н$линейно независими елементи $н$-уреди мирната шир основакакво пространство.
• Било векторно $\backslash mathbf(x)\; \backslash в\; V$възможно е да се разкрие (в един ранг) в края на реда комбинация от основни елементи:

$\backslash mathbf(x)\; =\; \backslash alpha\_1\backslash mathbf(x)\_1\; +\; \backslash alpha\_2\backslash mathbf(x)\_2\; +\; \backslash ldots\; +\; \backslash alpha\_n\backslash mathbf(x)\_n$.

Линейна обвивка

Линейна обвивка $\backslash mathcal\; V(X)$множествено $х$линейно пространство $V$- ретин у $V$какво да отмъсти $х$.

Линейна обвивка с подпространство $V$.

Линейната обвивка се нарича още подпространство, хайвер $х$. За да се каже така, scho е линейна обвивка $\backslash mathcal\; V(X)$- пространство, дръпнетебезличен $х$.

Линейна обвивка $\backslash mathcal\; V(X)$се състои от всички линейни комбинации от различни терминални подсистеми от елементи $х$. Зокрема, якчо $х$- kіnceve bezlіch, тогава $\backslash mathcal\; V(X)$се състои от необходимите линейни комбинации от елементи $х$. По този начин нулевият вектор трябва винаги да лежи върху линейните оболонци.

Yakscho $х$- линейно независим безличен, wono є основа $\backslash mathcal\; V(X)$и cim означава йога мир.

Приложи

• Нулева шир, единственият елемент на която е нула.
• Разширяване на общите функции $X\backslash \; до\; F$с края на носа, правя векторната шир на rozmirnosti еднаква плътност $х$.
• Полето на реалните числа може да се разглежда като непрекъснато-виртуално векторно пространство над полето на рационалните числа.
• Бъди като поле е едноизмерна шир над теб.

Допълнителни структури

Раздел. също

Напишете отзив за статията "Векторно пространство"

Бележки

литература

• Гелфанд И. М.Лекции по линейна алгебра. - 5-те. – М.: Добросвет, МЦНМО, 1998. – 319 с. - ISBN 5-7913-0015-8.
• Гелфанд И. М.Лекции по линейна алгебра. 5-ти изглед. - М.: Добросвет, МТСНМО, 1998. - 320 с. - ISBN 5-7913-0016-6.
• Кострикин А. И., Манин Ю. И.Линейна алгебра и геометрия. 2-ри изглед. – М.: Наука, 1986. – 304 с.
• Кострикин А. И.Въведение в алгебрата. Част 2: Линейна алгебра. - 3-та. - М.: Наука., 2004. - 368 с. - (Университетски асистент).
• Малцев A.I.Основи на линейната алгебра. - 3-та. – М.: Наука, 1970. – 400 с.

• Постников М. М.Линейна алгебра (Лекции по геометрия. II семестър). - 2-ро. – М.: Наука, 1986. – 400 с.
• Странг Г.Линейна алгебра и нейните приложения = Линейна алгебра и нейните приложения. – М.: Світ, 1980. – 454 с.
• Илин В. А., Позняк Е. Г.Линейна алгебра. 6-ти изглед. – М.: Физматлит, 2010. – 280 с. - ISBN 978-5-9221-0481-4.
• Халмош П.Крайномерни векторни пространства = крайномерни векторни пространства. – М.: Физматгиз, 1963. – 263 с.
• Фадиев Д.К.Лекции по алгебра. - 5-те. - Санкт Петербург. : Лан, 2007. - 416 с.
• Шафаревич И. Р., Ремизов А. О.Линейна алгебра и геометрия. - 1-во – М.: Физматлит, 2009. – 511 с.
• Шрайер О., Шпернер Г.Въведение в линейната алгебра в геометричния речник = Olshansky G. (превод от немски). - М.-Л.: ОНТИ, 1934. - 210 с.

Вектори и матрици вектори Основно разбиране Вижте векторите Операции върху вектори Видове пространства Матрици Основно разбиране друго

Урок, който характеризира векторното пространство

Кутузов вървеше на редици, чуруликайки и говорейки малко ласкави думи към офицерите, познаващи вината от турската война, които някои войници. Поглеждайки към vzuttya, vіn kіlka веднъж накратко pokituvav главата и сочейки към нея австрийските генерали с такъв вираз, че nіbi не нарани никого, но не bachiti за миг, това е гнило. Командирът на полка хукна пред всички, страхувайки се да не пропусне думата на главнокомандващия на полка. Ззаду Кутузов, при такава гледка, че се усещаше всяка слабо произнесена дума, бяха почти 20 души. Свитите на господата се движеха помежду си и се смееха на другите. Най-близък до главнокомандващия е гарнийският адютант. Това беше княз Болконски. Поверен му от йшов його другар Несвицки, висш щабов офицер, превъзходен товст, с любезен, опростен гарним вид и добри очи; Леденостудената звезда на Несвицки избледняваше в смях, като злобен хусарски офицер, който духна нов. Хусарският офицер, без да се кикоти, без да променя изражението на очите си, които ръмжеха, със сериозна маскировка се чудеше на гърба на командира на полка и имитираше кожата на неговия рок. Щораз като командир на полка, трепери и се навежда напред, просто така, просто така, трепери и се наведе напред, хусарски офицер. Несвицки се засмя и shtovhav іnshih, ридае се учуди на артиста.
Кутузов повилно и лукаво вдигна хиляди очи, като блуждаещи от орбитите си, преследващи шефа. Porivnyavshis іz трети отряд, vіn raptom zupinivsya. Светлана, без да минава през зъбите си, неволно се облегна на него.
- Ах, Тимохин! - Като каза главнокомандващият, познавайки капитана с червен нос, който пострада за син шинел.
Изглеждаше, че не е възможно да се изправиш повече, Тимохин, дори като командир на полка, те лиши от уважение. Ейл, посред нощ, преди новия главнокомандващ, капитанът се изтегли така, че да изглежда така, чуди се на новия главнокомандващ още един час, капитанът не видя bi; И към това Кутузов, след като може би разбра лагера си, и бажаючи, напротив, всеки добър капитан, набързо се върна. Според пухкавия, наранен вид на Кутузов имаше дреболия възпоменателен смях.
- Shche іzmailіvskiy другар, - като каза vіn. - Добър офицер! Доволен ли си от него? - Захранване на Кутузов от командира на полка.
I командир на полка, който гледа напред, като огледало, невидимо за себе си, в хусарски офицер, треперещ, pidishov напред и vіdpovіv:
- Повече удоволствие, Ваше превъзходителство.
- Всички ние не сме без слабости - каза Кутузов, кискайки се и гледайки навън. - Vіn mav prihilnіst на Bacchus.
Ядосал се командирът на полка, че не е виновен за никого и че нищо не е наред. Офицерът крещеше в спомен за маскировката на капитана с червен нос и надут корем и имитираше маскировката и стойката му толкова подобно, че Несвицки не можа веднага да спре да се смее.
Кутузов се обърна. Вижда се, че офицерът мигновено прокле прикритията си, сякаш искаше: при този хвилин, като Кутузов, се обърна, офицерът улови гримаса и след това пое най-сериозния, шантав и невинен вираз.
Третата рота беше оставена и Кутузов се замисли, може би се досещаше. Княз Андрий, като влезе в пощата и моя френски, тихо каза:
- Вий беше наказан да гадае за уволнения Долохов в цом полка.
- Къде е Долохов? - като попита Кутузов.
Долохов, вече облечен във войнишко палто, без карета, викаха Його. Връвната фигура на бял войник с ясни черни очи излезе отпред. Vіn pіdіyshov до главнокомандващия и zrobiv на varta.
– Иск? - Леко се намръщи, захранвайки Кутузов.
„Це Долохов“, каза княз Андрий.
– А! - Казва Кутузов. - Съжалявам, какъв урок да те поправя, служи добре. Господар на милостта. Няма да те забравя, защото го заслужаваш.
Ясните очи на Блаки толкова се удивиха на главнокомандващия, като на командира на полка, с техните вирази, пронизващи булото на разузнаването, че главнокомандващият досега беше вдигнал лицето на войника.
- За едно питам, Ваше Превъзходителство, - казва вино със звучния си твърд, небързан глас. - Моля ви да ми дадете една година, за да поправя вината си и да предам признанието си на руския император.
Кутузов се обърна. Под прикритието на йога същата усмивка на очите изчезна, както в онзи час, когато се обърнахте назад пред погледа на капитан Тимохин. Vіn vidvernavsya и гримаса, nіbi hotіv vzlovit tsim, че всичко, което Долохов ви е казал, и всичко, което vіn би могъл да ви каже, вие знаете от дълго време, от дълго време, че всичко вече е дошло при вас и че не е тези, от които се нуждаете. Обърнах се и се изправих до количката.
Полкът се раздели на роти и се изправи до признаването на апартаменти недалеч от Браунау, където се изправиха, облечени след важни преходи.
— Вие не претендирате за мен, Прохор Игнатийович? - каза командирът на полка за третата рота, която се срина до месеца и слезе при капитана Тимохин, който беше отпред. Образът на командира на полка се произнесе след щастлив поглед към неизмеримата радост. - Службата на царя ... не е възможна ... понякога на фронта, аз го счупих ... Аз самият съм първият, вие знаете по-малко ... Аз вече дякувах! - І вин протегна ръка към командира на ротата.
- Извинете, генерале, ще ви убия! - капитанът, с червен нос, ухилен и ухилен с усмивка, без два предни зъба, бит с дупе под Измаил.
- Кажете на Пан Долохов, че няма да забравя йога, за да съм спокоен. Но кажи ми, бъди мил, искам да питам всичко, какво не е наред, как да се държа? аз всички...
- В услуга на по-добрите, Ваше превъзходителство... але карахтер... - каза Тимохин.
- Какво, какъв е характерът? - като проспа командирът на полка.
- Да знаете, Ваше превъзходителство, с дни, - казва капитанът, - тогава е разумно, и знаещо, и любезно. И тогава звярът. Евреин беше убит близо до Полша, бъдете мили...
„Е, добре, добре“, каза командирът на полка, „всичко е необходимо, за да гръмне момчето в нещастието. Аже страхотно звъязки... Това е всичко...
- Чувам, ваше превъзходителство - каза Тимохин с усмивка, която дава снизходителност, че вината е на ума на шефа.
- Да да.
Командирът на полка знаеше при лавите на Долохов и като взе кон.
- Направи го преди първия - отлети, - като ти каза.
Долохов се огледа наоколо, без да казва нищо и не променя атмосферата на компанията си, но се изкиска лукаво.
- Е, от доброто, - далече командирът на полка. - Хората според прелестите на горелката са ми добри, - след като добавиха вино, войниците бяха чули. - Като всички! Слава Богу! - І vіn, изпреварвайки компанията, pіd'їhav да іnshoy.
- Е, вин, нали, добър човек; Можеш да служиш с него - каза Тимохин на подчинения офицер, че е нов.
- Една дума, червен!... (командирът на полка беше наречен червеният крал) - смейте се, казвайки подчинения офицер.
Щастливото настроение на властите след оглед на прелезите и на войниците. Рота вървеше весело. Гласовете на войниците се движеха отстрани.
- Как казаха, Кутузов е крив, за едното око?
- И тогава не! Наричаме кривата.
- Не... брат, очманиши за теб. Чоботи и подкрутки - гледам всичко ...
- Като вино, братко, виж ми краката... добре! мисля…
- А другия е австриец, с него бов, вместо крейдой да маже. Като брашно, бяло. Аз съм чай, как да чистя боеприпаси!
- Шоу, Федешоу! Всички казваха, че самият Бунапарт трябва да бъде при Брунов.
- Бунапарт спри! Бах, Бреше, глупако! Какво ли не знаеш! Сега прусакът се бунтува. Австрийското його означава да се успокоиш. Как да се примирим с вината, тогава и с Бунапарте, ще се борим. И тогава, изглежда, Бунапартът на Брунов си заслужава! Виждаш, че си глупак. Слушай повече.
- Проклети апартаменти на Бах! Петата рота, чудо, вече увива селото, мирише на качамак, но не можем да отидем до месеца.
- Дай ми крекер, дяволе.
- Дадохте ли на Тютюн втори път? Това, братко. Е, Бог е с теб.
- Гореща би спирка zrobili, а след това още пет мили proprem не їсти.
- Беше удоволствие, тъй като германците ни дадоха файтони. Хайде, знайте: важно е!
- И ето, братко, народът вика за палав пишов. Там всичко е начебто поле був, всички руски корони; и nі, брат, sucіlny nіmets pіshov.
- Авторите на песни напред! – усети вика на капитана.
И пред компания от ризни лави двадесет души вибрираха. Барабанистът заспа, прикривайки се, докато запя, и, като махна с ръка, влачейки протяжна войнишка песен, започна: „Не е зора, слънцето беше заето...“ и завърши с думи: "Тогава те, братя, да ни е слава с бащата Каменски ..." Песента беше була, съхранявана близо до Туреччина и сега беше снабдена в Австрия, само с тази змия, която на плочата "Каменски баща" вмъкна думите: „Бащата на Кутузов“.
Vіdіrvavshi върху левите думи на войника и размахвайки ръце, не хвърляйки вина на земята, барабанистът, сух и гарниран войник от съдбата на четиридесетте, хвърляйки остър поглед към песните на войниците и замръзнал. Нека се изпотим, като сме се променили, че всички погледи са насочени към новия, внимателно повдигаме и двамата с ръце, като невидима, скъпа реч над главите ни, докоснахме няколко секунди и възхитено, хвърляйки її.
Ах, вие, моят блус, блус!
„Senі novі my…”, запяха двайсет гласа и лъжичарят, без да се интересува от тежестта на боеприпасите, скочи напред и пишов назад пред ротата, навивайки на рамото и заплашвайки някого с лъжици. Войниците, размахвайки ръце в ритъма на песента, тръгнаха през откритото пространство, небрежно потупвайки краката си. Зад устата се чуха звуци на колела, пукане на пружините и тъпота на конете.
Кутузов се обърна от пощата към мястото. Главнокомандващият даде знак, че хората продължават да ходят свободно и под йога маска и под всякакъв вид йога, пощата висеше от задоволство при звуците на песен, изпомпвайки танцуващия войник и устата на войниците, че те ходеше весело и дъвчеше. На другия ред, от десния фланг, от който файтонът обикаляше ротата, черноокият войник Долохов, който беше особено дъвчащ и грациозен в ритъма на песента и се чудеше на прикритието на минаващите с такъв вираз, случайно падна във въздуха, който не беше. в този час от фирма. Хусарски корнет от пощата на Кутузов, имитирайки командира на полка, видя каретата и отиде при Долохов.
Хусарският корнет Жерков близо до Петербург беше лежал пред това насилствено напрежение като херувим Долохов. Зад кордона Жерков направи Долохов войник, но не го интересуваше необходимостта да познава йога. Сега, след като преместих Кутузов със заплата, се върнах към новия от радостта на стар приятел:
- Приятел на сърцето, ти як? - като каза вино при звуците на песен, то е равно на чатала на неговия кон с роти.
- Яка ли съм? - Студено е Долохов, - като башиш.
Песента на Жвава придава особено значение на тона на розовата веселост, както каза Жерков, и на студенината на гласовете на Долохов.
- Е, как сте с властите? - като попита Жерков.
- Нищо, добри хора. Ти як в щаба му се е промъкнал?
- Команди, проклинам.
Вуните се помолиха.
„Тя пусна сокола от десния си ръкав”, казваше песента, имитирайки бадьора, почти весело. Розмова им, може би, була биншой, якби смърди не говореше при звуците на песен.
- Какво е вярно, австрийците бяха бити? - като попита Долохов.
- И дяволът знае, изглежда.
- Аз съм радий - отговори кратко и ясно Долохов, сякаш песента означаваше това.
„Е, елате пред нас, ако свърши вечерта, фараонът ще я положи“, каза Жерков.
- Имате ли много стотинки?
- Идвам.
- Не можеш. Дадох обет. Не пия и не играя, не чупя доковете.
- Е, направи го първо...
- Ще го видиш там.
Вонята отново се помоли.
- Влезте, ако имате нужда, всички в щаба ще помогнат... - каза Жерков.
Долохов се засмя.
- По-добре не турбуйте. Каквото и да ти трябва, няма да те моля, сам ще го взема.
- Е, толкова съм...
- Е аз съм.
- Сбогом.
– Бъдете здрави…
... и високо, и далече,
На следващия ден...
Жерков, хвърляйки шпорите си към жабата, три пъти, горещ, чупещ се с крака, без да знае как, почти, тичащ и галоп, тичайки из компанията и наздоган на файтона, също и ритъма на песента.

Обръщайки се, Кутузов, съседният австрийски генерал, минава покрай кабинета му и, викайки адютанта, наказва данъците на неговите деякски книжа, които лежат в лагера на армията, и си тръгва, отнемайки външния вид на ерцхерцог Фердинанд, а вид херувов, ръководещ армията. Княз Андрей Болконски с необходимите документи го заведе в кабинета на главнокомандващия. Пред подреждането на масата седяха Кутузов и австрийският член на правителството.
- И... - казва Кутузов, поглеждайки назад към Болконски, с една дума моли адютанта да пъпчи и продължава с френската роза.
„Говоря само с един, генерале“, каза Кутузов, говорейки от приема с изтънченост в тази интонация, която прозвуча на висок глас в кожата, каза думата неясно. Беше очевидно, че самият Кутузов беше доволен от изслушването. - Само едно казвам, генерале, че якбито вдясно лежеше пред моя специален бажанн, тогава волята на величието на император Франц отдавна е б виконан. Отдавна съм дошъл при ерцхерцога. Изпълнявам честта си, че за мен специално прехвърля командването на армията на по-голям за мен признат и майстор генерал, като богат австриец, и да оставя настрана цялото тежко бреме за мен, това би било особено bіdradoy. Ейл, уреди най-силния за нас, генерале.
Аз Кутузов се засмя с такова виразно, ниби вино, казвайки: „Имаш право да не ме лъжеш и да ме вдъхновяваш абсолютно байдуже, ако ми вярваш, не можеш да ми кажеш. Всичко съм вдясно."
Австрийският генерал изглеждаше недоволен, но не отговори веднага на Кутузов със същия тон.
- Навпаки, - каза с мърморещ и ядосан тон, който така измести приемащото значение на думите, че те се движат, - Навпаки, съдбата на ваше превъзходство във великата справедливост е високо оценена от йога величието; но ни е грижа, че правилното повдигане помага на славния руски военен и главния командир на тихите лаври, че вонята звучеше да пожъне в битки, - след като допих виното, приготвих приготвената фраза.
Кутузов се поклони без дразнещ смях.
- И аз съм толкова примирен, грундирам върху останалата част от листа, сякаш той ме е издигнал до най-високата висота, ерцхерцог Фердинанд, признавам, че австрийските войници, под командването на такъв майсторски помощник, като генерал Мак, сега те вече спечелиха решителна победа и няма да искат повече от нашата помощ с Кутузов.
Генералът се намръщи. Въпреки че нямаше положителни знаци за поражението на австрийците, но имаше много обзавеждане, което потвърждаваше безсънните чувства; И на това признанието на Кутузов за победата на австрийците беше подобно на глузуването. Але Кутузов се засмя лукаво, всички с един и същи вираз, сякаш казваше, че имам право да го призная. Дейсно, останалата част от листа, отнемайки му от армията на Мак, разказвайки на Його за победата и за най-стратегическия лагер на армията.
„Дайте ми този лист“, каза Кутузов, обръщайки се към княз Андрий. - Axis bazhaête bachiti. - Аз Кутузов, с хитра усмивка на устните, четене на германския австрийски генерал следващата стъпкаот листа на ерцхерцог Фердинанд: „Wir haben vollkommen zusammengehaltene Krafte, nahe 70 000 Mann, um den Feind, wenn er den Lech passirte, angreifen und schlagen zu konnen. Wir konnen, da wir Meister von Ulm sind, den Vortheil, auch von beiden Uferien der Donau Meister zu bleiben, nicht verlieren; mithin auch one Augenblick, wenn der Feind den Lech nicht passirte, die Donau ubersetzen, uns auf seine Communikations Line werfen, die Donau unterhalb repassiren und dem Feinde, wenn er sich gegen unsere sae Allirte mitgan. Wir werden auf solche Weise den Zeitpunkt, wo die Kaiserlich Russeische Armee ausgerustet sein wird, muthig entgegenharren, und sodann leicht gemeinschaftlich die Moglichkeit finden, dem Feinde das Schicksal zuzu. [Може да имаме цяла сила, близо 70 000 души, за да можем да атакуваме и победим врага веднага щом пресечете Його през Лех. И така, тъй като вече имаме Улм, тогава можем да се възползваме от командването и на двата бряга на Дунава, шохвилин, сякаш врагът не е преминал Лех, прекосява Дунава, втурва се към комуникационната линия його, слиза по-надолу по Дунава и врагът, сякаш насочваш цялата си умствена сила към нашите верни съюзници, не дава на виконати його намир. В този ранг ние ще бъдем badoro за проверка за един час, ако императорската руска армия бъде призована да се подготви, и в същото време ние лесно познаваме способността да подготвим дела на врага, за което заслужавам вино. ”]

1. Разбиране на линейното пространство

Назначаване 1.1. Безлич Релементи x, y, z... дали природата се нарича линейна (горе) шир, сякаш има три вимоги:

1. Използвам правилото, за помощ на някакъв вид два елемента хі гбезличен Рпоставете третия елемент z tsієї множител, заглавия сума от елементи хі ги означават z = x + y.
2. Іsnuє правило, за помощ на всякакъв вид елемент хбезличен Раз се-какво речево число α зададен на видим елемент w tsієї множител, заглавия от създателя на елемента хна брой α и означават w=αxили w=xα.
3. Представени са две правила за подреждане на следните осем аксиоми:
1. x+y=y+x(сила на преместване на суми);
2. (x+y)+z=x+(y+z)(Happy power sumi);
3. іsnuє нулев елемент 0 е такъв, че х+0=хза какъвто и да е елемент х.
4. за какъвто и да е елемент хіsnuє облицовъчен елемент х"такъв, че х+х"=0;
5. един· x=xза който и да е х;
6. λ(μx)=(λμ)x(Щастлив е силата на числов множител);
7. (λ+μ )x= λx+μx(rozpodіlna pravіstіst schodo nіznyh mnіmnіnіv);
8. λ(x+y)=λx+λy(rozpodіlna vlastіvіst shkodo sumi elementіv).

Елементите на линейно (векторно) пространство се наричат ​​вектори.

2. Основа на линейното пространство

Назначаване 2.1. Колекция от линейно независими елементи в пространството Рнаречена основа на това пространство, що се отнася до елемента кожа хпространство Рнаучете номера на речта така че виконано ревност

Собственият капитал (2.1) се нарича оформление на елемент хзад основата и числата се наричат ​​координати на елемента х(към основата).

Знаем, че има елемент хлинейно пространство Р

Нека основното и друго оформление х:

Виждайки (2.1) от (2.2) може би:

(2.3)

Oskіlki основни елементи и линейно независими от spіvvіdnoshennia (2.3)

Също кожен елемент на линейно пространство РМожете да бути оформления на базата на един ранг.

Теорема 2.2. При добавяне на повече от два елемента от линейното пространство Рих координати (каквато и да е основата на пространството Р) се добавят и когато има няколко елемента хкаквото и да е числото α всички координати хумножете по α .

Доказателството е видно от аксиоми 1-8 от точка 1.1.

3. Отвореност на линейното пространство

Нека разгледаме пълното речево пространство Р.

Назначаване 3.1. Линейно пространство Рнаричан п-вирним, както в новия свят нлинейно независими елементи, но било то ( н+1) елементите вече са линейно угари. На какъв номер ннаречено разширяване на пространството Р.

Отвореността към пространството се обозначава със символа dim.

Назначаване 3.2. Линейно пространство Рсе наричат ​​неразривни, сякаш съществуват редица линейно независими елементи.

Теорема 3.3. Хайде Рє линейна шир на пространството н(дим R=n). Така да бъде нлинейно независими елементи от това пространство установяват тази основа.

Привеждане. така че як Рє н-мирна шир, тогава от обозначението 2.1 виждаме, че в новото нлинейно независими елементи. Хайде х- be-всякакъв елемент s Р. Todi zgіdno z назначения 3.1 линейно угар, tobto. основни числа (не всички са равни на нула), така че равенството е справедливо

(3.3)

3.3. Рможе би има подредба за елементите i, тогава вонята задоволява основата на пространството Р. ■

Теорема 3.4. Нека линейното пространство Р maє основа, която се образува от нелементи. Todі rozmirnіst Рдоривнює н(дим R=n).

Привеждане. Хайде безличен нелементите са основата на пространството Р. Стига да донеса, счо бе-яки н+1 елементи която шир е линейно угар. Декларирайки qi елементи според основата, вземаме:

де а 11 , а 12 ,...,а n+1,n номера на речта.

Нека елементите линейно независими. Пренаписваме (3.4) за матричния изглед:

Частите са линейно независими, матрични А maє vorotnu матрица A-1.Подравняването на матрицата на Razv'yazavshi (3.5) трябва да се вземе:

Както може да се види от уравнение (3.9), то може да бъде представено чрез линейна комбинация от вектори. . Отже вектори линейни депозити. ■

4. Смяна на базис и преобразуване на координати

Отидете в космоса Рпоръчка с външна основа є і под основа . Векторите на тази база могат да се променят чрез линейна комбинация от вектори в изходната база по следния начин:

матрица ПНаречен матрица заменя основатана .

В своя собствена линия векторите на изходната основа се въртят през векторите на новия напредващ spiving:

З (4.6) виждаме, че QP=E, де Е-единична матрица и матрици Ві Пвзаимноизгодни матрици.

Нека да разгледаме как се променят координатите на векторите при промяна на основата.

Хайде вектор хможе координати и координати също

(4.7)

матрица П ТНаречен матрица за преобразуване на координати. Won се транспонира от матрицата към основата. обратна матрица (PT)-1дава израз на нови координати чрез старите.

Матрица, която е обърната към транспонирана двойка матрица, се нарича контраградиентс нея.

5. Изоморфизъм на линейните пространства

Назначаване 5.1. Два пълни речеви реда Рі R"се наричат ​​изоморфни, тъй като между елементите на тези пространства е възможно да се установи взаимно недвусмислена последователност, така че x, y∈Рда дадеш x", y"∊R"очевидно, тогава елементът x+y∈Рвалиден елемент x"+y"∈R", но за каквато и да е реч α , елемент α х∈Рвалиден елемент α х"∈R".

Теорема 5.2. Като пространство Рі R"изоморфна, смрадта може да бъде същата rozmіrnіst.

Привеждане. Нека линейното пространство Рі R"изоморфна и нека елементите пространство Рдайте елементи интервал R" е приемлив. Елементите са разрешени линейно независими. Нека покажем, че елементите също линейно независими. Излизането от портата е приемливо, какви са елементите линейни депозити. тогава един от тях може да бъде показан чрез линейна комбинация от други елементи:. ейл елементи дайте елементи y в пространството R, а сборът е равен на сбора . Ale rest означава линейно изобилие от елементи . Отже линейно независими. Z линейни отлагания на елементи следваща линия от елементи . Също така, максималният брой линейно независими вектори за пространства Рі R"едно и също, tobto. tsі простори mayut същото rozmіrnіst. ■

Теорема 5.3. Бъдете като двама н-мирни речеви линейни пространства Рі R"изоморфен.

Привеждане. виберо основа і за пространства Рі R"очевидно. Същият скин елемент в пространството R може да бъде показан чрез линейна комбинация от основни елементи: . Кой елемент в пространството R"задайте видимостта на елемента със същите координати:. Имайте свой собствен елемент х"пространство R"валиден елемент хпространство Р. Показателно, що се отнася до елементите хі гпространство Рдайте елементи х"і y"пространство R"очевидно, според теорема 2.2, елементът x+yпространство Рвалиден елемент x"+y"пространство R", и елементът α хвалиден елемент α х". ■

Нека V е празен множител, чиито елементи се наричат ​​вектори и имат смисъл ... и т.н. Отидете на Vzadanі и пеене ранг две операции. Първата операция е бинарна адитивна операция (или, грубо казано, това е операция на сгъване). Тази операция е значително означена с +, (всъщност тя е необовъязикова, така че на 100% тази операция е започната по такъв начин, че операцията на сгъване за големи числа е обозначена, дори ако не числата са заразни , но вектори, така че операцията на сгъване на вектори може да бъде разпозната като с нашия собствен специален знак, например, така: () Друга операция е умножението на вектор по някакъв елемент? такъв множител, като поле, като в резултат на което се появява нов вектор (). комплексни числа).

Отже, формулираме аксиомите на векторното пространство. (3)

1. а) сумата от всеки два елемента от V и б) добавянето на скаларен и достатъчен елемент от V от реални елементи от V (вектори).

2. сгъването на това дали има три елемента от V подреждането според закона (иначе изглежда - векторът не се събира асоциативно):

3. сгъване на произволни два елемента от V подред към закона за изместване (векторът не се събира комутативно): .

4. Използвайте такъв елемент V (нулев вектор) като за каквото и да е.

5. за всеки елемент от V използвайте такъв елемент от V, чиято сума с външния елемент е по-скъпа, tobto. (.)

За някакви скалари (числа)? аз? i за всеки два вектора z V

Вектор pidspace

Векторно пространство или просто подпространство, векторно пространство E налично поле K се нарича безлично, затворено чрез сгъване на това умножение със скалар. Подпространството, което се гледа от откритото пространство, което съдържа йога, е векторна шир над същото поле. (5)

Права линия, която минава през две точки x и y от векторното пространство E, се нарича безличен елемент в ума, ??. Безличното G се нарича плоска безличност, сякаш наведнъж, ако има две, е възможно да се отмъсти за правата линия, която минава през q точки. Плоскосостта на кожата е безлична, за да излезе извън определено подпространство за допълнителен звук (паралелен трансфер): G=x+F, tse означава, че скин елементът z може да бъде представен от единичен ранг в полезрението, освен това с това равенство, разликата между F и G е взаимно недвусмислена.

Сумата от всички откази на дадено подпространство F установява векторно пространство над K се нарича коефициентно пространство E/F, което е началото на операцията:

Нека M = - достатъчен множител на вектори E; линейна комбинация от вектори се нарича вектор x, а стойностите се дават от формулата

yakіy има само краен брой коефициенти под формата на нула. Сборът от всички линейни комбинации от вектори в даден множител M е най-малкото подпространство, което отмъщава за M и се нарича линейна обвивка на множителя M. Линейната комбинация се нарича тривиална, тъй като всички коефициенти са нула. Анонимният M се нарича линейно неизменен анонимен, тъй като всички нетривиални линейни комбинации от вектори в M под формата на нула.

Теоретично теорията за набъбналите умножения играе важна роля. Безлично M в реално векторно пространство се нарича множител, така че в същото време, ако има две точки x, y, върховете също лежат с M.

Голямото поле в теорията на векторните пространства е теорията на линейните функционали върху векторно пространство и теорията на дуалността, която е свързана с cim. Нека E е векторна експанзия над полето K. Линеен функционал върху E се нарича адитивно хомогенно възбуждане, est E е векторна експанзия над поле K. Линеен функционал върху E е адитивно еднородно изложение

Отсъствието на всички линейни функционали върху E установява векторно пространство над полето K няколко операции

Тази векторна шир се нарича кооптирана (или две) експанзия (до E). От разбирането на свързаното пространство се свързват редица геометрични термини. Нека D?E (очевидно безлико G) се нарича безлико

(видповідно); тук і - pіdprostory vіdpovіdno до prostor_vі Є. Yakscho ее ненулев елемент, тогава ( е) є максималният vlasny linіyny pіdprosіr в Е, се нарича іnоdі hyperpіdprosіr; разширението на такова подпространство се нарича хиперравнина в E; може да се види всяка хиперплоскост

{x: f(x)=??), де е? 0, е, Преди.

Подмножителят се нарича общ подмножител над E, така че анулаторът елиминира нулевия елемент = (0).

На кожата, линейно независимо кратно, може да се даде подмножество, tobto. такъв множител, scho (символ на Kronecker) за всички. Безличните двойки се наричат ​​по тяхната биорторгонална система. Въпреки че безличното е в основата на Е, то е напълно над Е.

Значително полето на теорията на векторните пространства е заето от теорията на линейните трансформации на векторното пространство. Хайде - две векторни пространства над това само поле K. Линейно разширение, или линеен оператор, T, който показва векторно пространство във векторно пространство (или линеен оператор на изкуството.

Две векторни пространства се наричат ​​изоморфни векторни пространства, тъй като има линеен оператор („изоморфизъм“), който прави сходството между тях елементи i.

Теорията на линейните и полилинейни представяния на векторното пространство е тясно свързана с теорията на линейните представяния на векторното пространство.

p align="justify"> Важна група от лидери в теорията на векторното пространство е одобрена от лидерите на продължението на линейните представи. Нека F - подпространство на векторното пространство - линейно пространство над същото поле, че і, і нека го - линейно пространство на F в; необходимо е да се знае хода на Т ферментацията, предназначена за всички и є линейни ферментации. Такова продължение на zavzhdi іsnuє, но допълненията към обмена на функцията (сдвояване с базовите структури във векторното пространство, например топология или ред) могат да бъдат zrobiti zavdannya несъгласувани. Приложенията на разработването на проблема за продължението са теоремата на Хан-Банах и теоремата за продължението на положителните функционали в пространства с конус.

Важно разделение на теорията на векторните пространства е действието на теорията върху векторните пространства, т.е. начини за вдъхновяване на нови векторни пространства за изгледи. Приложете такива операции - към операцията по вземане на подпространството и установяване на факторното пространство от подпространството. Други важни операции - бързо директно сумиране, директно създаване и тензорно създаване на векторно пространство.