Темата на матрицата и diy над тях. Матрици, шушулки над матрици. Зворотна матрица. Рангът на матрицата. Множествена матрична операция

Viznachennya.Матрицата се нарича безброй число, както складът е маса с права страна, може да се съхранява в редове и стотици

накратко да означава матрицата по следния начин:

de елементи на дадената матрица, i е номерът на реда, j е броят на стоте.

Дори в матрицата броят на редовете е равен на броя на стоте ( м = н), тогава матрицата се нарича квадрат н-ти ред, и inakse - правоъгълна.

Якшо м= 1 и н > 1, тогава можем да вземем матрицата от един порядък

yaka се нарича вектор ред , добре м> 1 та н= 1, тогава можем да изведем матрицата на една стотна

yaka се нарича вектор-стовпчик .

Квадратна матрица за всички елементи, с изключение на елементите на диагонала на главата, диагонал.

Нарича се диагонална матрица, при която елемент от диагонала на главата се свежда до единица самотен, означават Е.

Извиква се матрицата, изрязана от дадения ред със същото число транспониран към основния въпрос. Станете признати.

Две матрици и равни части, сякаш равни една на друга, да стоят върху едни и същи обекти, така че

изобщо и і j(В същото време броят на редовете (100%) матрици Аі Б maє buti са едни и същи).

1 °. Суми две матрици А=(а ij) че Б=(б ij) със същия номер м ред н 100% се нарича матрица ° С=(° С ij), чиито елементи са равни на

Матрична сума ° С=А+Б.

дупето.

двадесет . Добутком матрица А=(а ij) по числото λ наречена матрица, за който скин елемент има допълнителна добавка за конкретен елемент от матрицата Апо числото λ :

λA=λ (а ij)=(λa ij), (и= 1,2 ..., m; j= 1,2 ..., n).

дупето.

тридесет . Добутком матрица А=(а ij), scho maє мред к stovpts_v, на матрицата Б=(б ij), scho maє к ред н 100%, наречена матрица ° С=(° С ij), scho maє мред нСтовпцив, при който елемент ° С ij Dorivnyu Sumy Creations Elementiv и-ти ред матрици А і j-ти сто матрици Б, tobto

С голям брой матрици от stopc Аувеличаване на броя на редовете в матрицата Б... Inakse tvir не е назначен. Dobutok матрици означава А * Б=° С.

дупето.

За създаването на матрици не показвайте еквивалентността между матриците А* Б і Б* А, Vipadku може да няма един от тях.

Умножаването на квадратна матрица от произволен ред по подобна единична матрица не променя матрицата.

дупето. Nokhay todі zgіdno правила за умножение на матрици maєmo

,

звездите на пътя

Притежателите на визитни карти на тази сила.

Нека ви дам квадратна матрица от трети порядък:

Viznachennya. Символът от трети порядък, който се основава на матрицата (1), е число, което се обозначава със символа

които започват да са равни

За да запомните как се създава в дясната част на равенството (2) се взема от знака "+", а как от знака "-"

дупето.

Ще формулирам основната власт на бизнесмените в трети ред, ако искам вонята на кривите бизнесмени да е от някакъв порядък.

1. Размерът на дизайнера не се променя, стига редовете и стотиците да се запомнят в мента, tobto.

2. Пренареждането на двеста точки или два реда на инструмента за форматиране се умножава по -1.

3. Ако дизайнерът има два от същите сто или два от едни и същи реда, тогава ще има нула.

4. Възпроизвеждане на всички елементи от сто или един ред на притежателя на карта върху номер на бе-як λ равно на броя на λ .

5. Точно както всички елементи на притежателя на визитна картичка или реда на притежателя на визитка трябва да се върнат на нула, така и самият притежател на визитна картичка трябва да бъде обратно на нула.

6. Тъй като има двеста елемента и два реда от конструктор на форми, той е пропорционален на нула.

7. Якшо козен елемент н-та стотна ( н-ти ред) на visnacnik е чанта с две попълнения, тогава visnac може да присъства във вигляд, sumi е дву визитка, за която една н-ти век ( н-ти ред) да отмъсти на първите от предишните, а на единия на другия; Елементите, които стоят в едни и същи мисии, в три случая, в едно аз.

Например,

8 0. Дори преди елементите на deyakogo stovptsya (редове) на притежателя на картата и датата на дадените елементи от първите стотни (редове), умножени по някакъв загален множител, тогава размерът на притежателя на картата няма да се промени.

Например,

НезначителенЕдин от елементите на посетителя се нарича посетител, който се взема от дадения посетител към редовете от редове и същия елемент.

Например, второстепенен елемент а 1 посетител Δ є дизайнер на формуляр за 2-ра поръчка

Алгебричните допълнения на елемента на дизайна се наричат ​​второстепенен елемент, умножения по (-1) стр, де Р- сбор от числа в ред, който е 100%, за пренавиване на ред елементи.

Якшо, например, елемент а 2 се намира на кръста на 1-ва стотна и 2-ри ред, след това за нов Р= 1 + 2 = 3 и алгебричните събирания є

9 0. Притежател на визитна картичка за сбора от всички елементи, от които има стотина или нещо повече в алгебричните добавки.

сто . Сумата от създаването на елементи като сто или като ред на държач на формуляр за алгебрични допълнения към същите елементи от последните сто или дори ред е нула.

Винике хранене, което е възможно за квадратна матрица Аизпрати матрица deyak, така че, умножавайки матрицата по нея Арезултатът е една матрица Е, такава матрица се нарича звънене към матрица А.

Viznachennya. Матрицата се нарича например въртяща се квадратна матрица А.

Viznachennya. Квадратната матрица се нарича невиртуална матрица, тъй като се показва като нула. В допълнение, квадратната матрица се нарича вирогения.

Be-yak non-virgin matrix maє vorotnu.

Елементарни трансформирани матрициє:

пермутация на два успоредни реда в матрицата на парчета;

кратно на всички елементи на матрицата по число, което не е показано като нула;

събиране на всички елементи в редица матрици от подобни елементи в паралелен ред, умножени по едно и също число.

Матрица Имайтеизрязани от матрицата Аза помощта на елементарно преработване, да се извика еквивалентен матрица.

За необработена квадратна матрица

матрица на звънене от трети ред А-1 може да се изчисли по тази формула

тук Δ е форматът на матрицата А,А ij - алгебрични допълнителни елементи а ij матрици А.

Елемент от ред от матрица се нарича екстремни , ако се показва от нула и всички елементи на реда, които могат да бъдат намерени от една ръка, се извеждат до нула. Матрицата се нарича често крайният елемент на скин реда е вдясно от крайния елемент на предния ред. Например:

Чи не е често; - Схидчаста.

В същото време ще се показват такива операции, като добавяне на същата матрица, умножаване на матрицата по число, умножаване на матрицата по матрица, транспониране на матрицата. Усилието да стане смислено, как да vikoristovyutsya от същата страна, взето от тези отпред.

Сгъване на този тип матрица.

Сумирайки $ A + B $ матрицата $ A_ (m \ пъти n) = (a_ (ij)) $ і $ B_ (m \ пъти n) = (b_ (ij)) $ се нарича матрица $ C_ (m \ пъти n) = (c_ (ij)) $, de $ c_ (ij) = a_ (ij) + b_ (ij) $ за всички $ i = \ overline (1, m) $ і $ j = \ overline (1 , n) $.

Въведете подобни стойности за диференциални матрици:

Матрицата $ A_ (m \ пъти n) = (a_ (ij)) $ і $ B_ (m \ пъти n) = (b_ (ij)) $ се нарича матрица $ C_ (m \ пъти n) = ( c_ (ij)) $, de $ c_ (ij) = a_ (ij) -b_ (ij) $ за всички $ i = \ overline (1, m) $ і $ j = \ overline (1, n) $.

Обяснено преди да напишете $ i = \ overline (1, m) $: покажи \ получи

Нотацията "$ i = \ overline (1, m) $" означава, че параметърът $ i $ се променя от 1 на m. Например, напишете $ i = \ overline (1,5) $, за да говорим за тези, при които параметърът $ i $ се приема като 1, 2, 3, 4, 5.

Варя да бъде брутално уважение, че операцията е допълнена и показана само за матрици с еднакъв размер. Междувременно добавянето и външният вид на матрицата е операция, ясно е интуитивно, това означава смрад, между другото, тя ще бъде лишена от всякаква информация за всякакви други елементи.

Дупе номер 1

Дадени са три матрици:

$$ A = \ left (\ начало (масив) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \ край (масив) \ вдясно) \; \; B = \ вляво (\ начало (масив) (ccc) 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \ край (масив) \ дясно); \; \; F = \ вляво (\ начало (масив) (cc) 1 & 0 \ -5 и 4 \ край (масив) \ дясно). $$

Как можете да знаете матрицата $ A + F $? Познайте матриците і $ C $ і $ D $, където $ C = A + B $ і $ D = A-B $.

Матрица $ A $ за замяна на 2 реда и 3 стотни точки (с други думи - размер на матриците $ A $ до $ 2 \ по 3 $), и матрица $ F $ за замяна на 2 реда и 2 стотни точки. Размерът на матриците $ A $ и $ F $ не се променя, така че можем да го направим. операторът $ A + F $ за тези матрици не е присвоен.

Размер $ A $ и $ B $ матрици, така че. Дадената матрица е равна на броя на редовете и стотиците, към които ще бъде прикрепена операцията с допълнителни данни.

$$ C = A + B = \ вляво (\ начало (масив) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \ край (масив) \ вдясно) + \ наляво (\ начало (масив )) (ccc) 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \ край (масив) \ вдясно) = \\ = \ наляво (\ начало (масив) (ccc) -1 + 10 & -2+ (-25) & 1 + 98 \\ 5 + 3 & 9 + 0 & -8 + (- 14) \ край (масив) \ надясно) = \ наляво (\ начало (масив) (ccc) 9 & -27 & 99 \\ 8 & 9 & -22 \ край (масив) \ дясно) $$

Знаем матрицата $ D = A-B $:

$$ D = AB = \ вляво (\ начало (масив) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \ край (масив) \ надясно) - \ наляво (\ начало (масив) ( ccc) 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \ край (масив) \ вдясно) = \\ = \ ляво (\ начало (масив) (ccc) -1-10 & -2 - (- 25 ) & 1-98 \\ 5-3 & 9-0 & -8 - (- 14) \ край (масив) \ дясно) = \ ляво (\ начало (масив) (ccc) -11 & 23 & -97 \ \ 2 & 9 & 6 \ край (масив) \ вдясно) $$

Преглед: $ C = \ вляво (\ начало (масив) (ccc) 9 & -27 & 99 \\ 8 & 9 & -22 \ край (масив) \ вдясно) $, $ D = \ вляво (\ начало (масив) (ccc) -11 & 23 & -97 \\ 2 & 9 & 6 \ край (масив) \ вдясно) $.

Матрично умножение по число.

Допълнителна матрица $ A_ (m \ пъти n) = (a_ (ij)) $ за число $ \ alpha $ се нарича матрица $ B_ (m \ пъти n) = (b_ (ij)) $, de $ b_ (ij) = \ alpha \ cdot a_ (ij) $ за всички $ i = \ overline (1, m) $ і $ j = \ overline (1, n) $.

Очевидно по-просто, умножаването на матрица по число на деяк означава умножаване на скин елемент от дадена матрица по цяло число.

Дупе номер 2

Дадено от матрица: $ A = \ left (\ начало (масив) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \ край (масив) \ вдясно) $. Познайте матрици $ 3 cdot A $, $ -5 cdot A $ і $ - A $.

$$ 3 \ cdot A = 3 \ cdot \ ляво (\ начало (масив) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \ край (масив) \ дясно) = \ ляво (\ начало ( масив) (ccc) 3cdot (-1) & 3cdot (-2) & 3cdot 7 \ 3cdot 4 & 3cdot 9 & 3cdot 0 \ край (масив) \ дясно) = \ ляво (\ начало (масив) (ccc) -3 & -6 & 21 \\ 12 & 27 & 0 \ край (масив) \ вдясно). \\ -5 \ cdot A = -5 \ cdot \ наляво (\ начало (масив) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \ край (масив) \ дясно) = \ ляво (\ начало (масив) (ccc) -5 \ cdot (-1) & - 5 \ cdot (-2) & -5 \ cdot 7 \ -5 \ cdot 4 & -5 \ cdot 9 & -5 \ cdot 0 \ край (масив) \ дясно) = \ ляво (\ начало (масив) (ccc) 5 & 10 & -35 \ -20 & - 45 & 0 \ край (масив) \ вдясно). $$

Нотацията $ -A $ є е бърза нотация за $ -1 \ cdot A $. Така че, трябва да знаете $ -A $ всички елементи на матрицата $ A $, умножени по (-1). По същество това означава, че знакът на всички елементи на матрицата $ A $ се променя на противоположния:

$$ -A = -1 \ cdot A = -1 \ cdot \ вляво (\ начало (масив) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \ край (масив) \ вдясно) = \ ляво (\ начало (масив) (ccc) 1 & 2 & -7 \\ -4 & -9 & 0 \ край (масив) \ вдясно) $$

Преглед: $ 3 \ cdot A = \ left (\ начало (масив) (ccc) -3 & -6 & 21 \\ 12 & 27 & 0 \ край (масив) \ вдясно); \; -5 \ cdot A = \ вляво (\ начало (масив) (ccc) 5 & 10 & -35 \ -20 & -45 & 0 \ край (масив) \ вдясно); \; -A = \ вляво (\ начало (масив) (ccc) 1 & 2 & -7 \\ -4 & -9 & 0 \ край (масив) \ дясно) $.

Dobutok две матрици.

Дизайнът на операцията е обемист и на пръв поглед нескромен. Към това ще добавя и поръска дом на viznachennyaи след това лекцията се изважда, което означава и като при него працюват.

Допълнителна матрица $ A_ (m \ пъти n) = (a_ (ij)) $ върху матрица $ B_ (n \ пъти k) = (b_ (ij)) $ се нарича матрица $ C_ (m \ пъти k) = (c_ ( ij)) $, за всеки елемент на кожата $ c_ (ij) $ елемент i-тиредове от матрици $ A $ върху елемента от j-тата сто матрица $ B $: $$ c_ (ij) = \ sum \ limits_ (p = 1) ^ (n) a_ (ip) b_ (pj), \; \; i = \ над линия (1, m), j = \ над линия (1, n). $$

Покроково множество матрици са отстранени от приклада. Въпреки това, всички наведнъж ще бъдете много уважавани, но не всички матрици могат да бъдат умножени. Ако искате да умножите $ A $ матрицата по $ B $ матрицата, тогава колекцията трябва да се обърне, но броят на стотици отглеждани). Например, матрицата $ A_ (5 \ пъти 4) $ (матрицата трябва да постави 5 реда на 4 сто процента) не може да бъде умножена по матрицата $ F_ (9 \ пъти 8) $ (9 реда і 8 стотин) процента), само няколкостотин $ A в матрици $ не голям брой редове в матрици $ F $, така че. $ 4 \ neq 9 $. И оста на умножаване на матрицата $ A_ (5 \ пъти 4) $ по матрицата $ B_ (4 \ пъти 9) $ е възможна, има само няколкостотин $ A $ матрици и има много редове от $ B $ матрици. Ако резултатът е умножена матрица $ A_ (5 \ пъти 4) $ і $ B_ (4 \ пъти 9) $, ще има матрица $ C_ (5 \ пъти 9) $, така че има 5 реда и 9 стотни :

Дупе №3

Дадени матрици: $ A = \ left (\ начало (масив) (cccc) -1 & 2 & -3 & 0 \\ 5 & 4 & -2 & 1 \\ -8 & 11 & -10 & -5 \ end (масив) \ вдясно) $ i $ B = \ вляво (\ начало (масив) (cc) -9 & 3 \\ 6 & 20 \\ 7 & 0 \\ 12 & -4 \ край (масив) \ вдясно) $. Познайте матрицата $ C = A \ cdot B $.

Размерът на $ C $ матриците е важен за колекцията. Ако матрицата $ A $ е $ 3 \ по 4 $, а матрицата $ B $ е $ 4 \ по 2 $, тогава размерът на $ C $ матриците е следният: $ 3 \ по 2 $:

Също така, в резултат на добавяне на матрици $ A $ и $ B $, трябва да коригираме матрицата $ C $, така че да може да се добави в три реда и двеста: $ C = \ left (\ begin (масив) (cc ) c_ (11) & c_ (12) \ c_ (21) & c_ (22) \ c_ (31) & c_ (32) \ край (масив) \ вдясно) $. Доколкото посочените елементи са лоши, може да погледнете предната тема: "Матрица. Вижте матрицата. Основни термини", на кочана на която ще бъде обяснено значението на елементите на матрицата. Нашата мета е да знаем значението на всички елементи в $ C $ матрицата.

Вероятно елементът $ c_ (11) $. За да коригирате елемента $ c_ (11) $, трябва да знаете сумата от създаването на елементите в първия ред на матрицата $ A $ и първите сто матрици $ B $:

За да знаете елемента $ c_ (11) $, трябва да умножите елемента от първия ред на матрицата $ A $ по вида на елемента от първите сто матрици $ B $, така че. първият елемент е първият, другият друг, третият трети, четвъртият четвърти. Otrimanі резултати pіdsumovuєmo:

$$ c_ (11) = - 1cdot (-9) + 2cdot 6 + (- 3) cdot 7 + 0cdot 12 = 0. $$

Непрекъснато решение е известно на $ c_ (12) $. За това ще е необходимо да се умножат елементите на първия ред на матрицата $ A $ и друга матрица $ B $:

Подобно на предната, maєmo:

$$ c_ (12) = - 1cdot 3 + 2cdot 20 + (- 3) cdot 0 + 0cdot (-4) = 37. $$

Усилията на първия ред от $ C $ са известни. Преминаваме към друг ред, който е фиксираният елемент $ c_ (21) $. Това, което трябва да знаете, е да умножите елементите на друг ред от матрицата $ A $ и първите сто матрици $ B $:

$$ c_ (21) = 5cdot (-9) + 4cdot 6 + (- 2) cdot 7 + 1cdot 12 = -23. $$

Предстоящият елемент $ c_ (22) $ е известен чрез умножаване на елементите на друг ред от матрицата $ A $ по същите елементи на други сто матрици $ B $:

$$ c_ (22) = 5cdot 3 + 4cdot 20 + (- 2) cdot 0 + 1cdot (-4) = 91. $$

Как да разберете $ c_ (31) $ умножете елемента от третия ред на матрицата $ A $ по елемента на първите сто матрици $ B $:

$$ c_ (31) = - 8cdot (-9) + 11cdot 6 + (- 10) cdot 7 + (-5) cdot 12 = 8. $$

I, nareshty, стойността на елемента $ c_ (32) $ е да се умножи елементът от третия ред на матрицата $ A $ по същите елементи на друга стотина матрица $ B $:

$$ c_ (32) = - 8cdot 3 + 11cdot 20 + (- 10) cdot 0 + (-5) cdot (-4) = 216. $$

Известно е, че всички елементи на матриците $ C $ са били излишни за запис, но $ C = \ left (\ начало (масив) (cc) 0 & 37 \ - -23 & 91 \\ 8 & 216 \ край (масив ) \ надясно) $ ... Както и да е, пак ще пиша:

$$ C = A \ cdot B = \ left (\ начало (масив) (cccc) -1 & 2 & -3 & 0 \\ 5 & 4 & -2 & 1 \\ -8 & 11 & -10 & - 5 \ край (масив) \ дясно) \ cdot \ ляво (\ начало (масив) (cc) -9 & 3 \\ 6 & 20 \\ 7 & 0 \\ 12 & -4 \ край (масив) \ вдясно) = \ вляво (\ начало (масив) (cc) 0 & 37 \ -23 & 91 \\ 8 & 216 \ край (масив) \ дясно). $$

Преглед: $ C = \ left (\ начало (масив) (cc) 0 & 37 \ -23 & 91 \\ 8 & 216 \ край (масив) \ дясно) $.

Преди речта често няма смисъл да се докладва описание на скин елемента на матрицата-резултат. За матрици, чийто размер е малък, може да се направи така:

$$ \ вляво (\ начало (масив) (cc) 6 & 3 \ - -17 & -2 \ край (масив) \ вдясно) \ cdot \ наляво (\ начало (масив) (cc) 4 и 9 \\ - 6 & 90 \ край (масив) \ дясно) = \ ляво (\ начало (масив) (cc) 6cdot (4) + 3cdot (-6) & 6cdot (9) + 3cdot (90)) \\ -17 \ cdot (4) + (- 2) \ cdot (-6) & -17 \ cdot (9) + (- 2) \ cdot (90) \ край (масив) \ дясно) = \ ляво (\ начало (масив) ( cc) 6 & 324 \ -56 & -333 \ край (масив) \ вдясно) $$

Varto uvagu, scho множествените матрици са некомутативни. Tse означава, scho в запушването на vipad $ A \ cdot B \ neq B \ cdot A $. Lish за видовете матрици, които се наричат пермутирайте(съкратено), паритетът на $ A cdot B = B cdot A $. Самата от некомутативността на множеството е необходимо да се добави умножение на същата матрица: вдясно има зло. Например, фразата "умножете нарушението на част от равенството $ 3E-F = Y $ по матрицата $ A $ дясна" означава, че е необходимо да се отхвърли това равенство: $ (3E-F) \ точка A = Y \ cdot A $.

Транспонирана по отношение на матрици $ A_ (m \ пъти n) = (a_ (ij)) $ се нарича матрица $ A_ (n \ пъти m) ^ (T) = (a_ (ij) ^ (T)) $, за елементи като $ a_ (ij) ^ (T) = a_ (ji) $.

Изглежда по-просто, за да коригираме транспонираната матрица $ A ^ T $, е необходимо входната матрица $ A $ да замени сто единични реда за следния принцип: първият ред - първият; като сте купили още един ред - ще станете още сто; Buv третия ред - стане третата стотина и така също. Например, ние знаем транспонираната матрица в матрици $ A_ (3 \ пъти 5) $:

Очевидно, ако входната матрица е малка по размер $ 3 \ по 5 $, матрицата се транспонира с размер с размер $ 5 \ по 3 $.

Деяки характеристики на операциите с матрици.

Тук се прехвърля, че $ alfa $, $ beta $ са числа, а $ A $, $ B $, $ C $ са матрици. За първите chotir'okh авторитети, след като са казали името, sashtu може да бъде наречен по аналогия на chotirma.

Матрица. Події над матрици. Силата на операциите върху матрици. Вижте матрицата.

Матрица (и очевидно математическо деление - матрична алгебра)може да бъде по-важно от значението в приложната математика, затова е позволено да се записва в проста форма смисловата част математически модели about'єktіv и процеси. Терминът "матрица" се появява през 1850 г. за скалата. За първи път матриците са били отгатнати в древен Китай и в арабските математици.

Матрица A = A mnред m * n се нарича праволинейна таблица с числа, за да отмъсти на m - редове и n - сто.

Матрични елементи a ij,за които i = j се наричат ​​диагонал и множество диагонал на главата.

За квадратна матрица (m = n), диагоналът на главата се задава на елементите a 11, a 22, ..., a nn.

Равенство на матриците.

А = Бкакви са порядките на матриците Аі Бвъпреки това a ij = b ij (i = 1,2, ..., m; j = 1,2, ..., n)

Події над матрици.

1.Добавяне на матрици - операция елемент по елемент

2. Въвеждаща матрица - операция елемент по елемент

3. Добуток матрица по номер - операция елемент по елемент

4. Умножение А * Бматрица по правило ред на stopets(броят на стотиците матрици A е равен на броя на редовете в матрица B)

A mk * B kn = C mnс кожен елемент s ijматрици C mn Dorіvnyє сборник на създанията на елементи от i-тия ред на матрицата A от j-та стотина на матрицата B, tobto.

Демонстрира се от работата на множество матрици на дупето

5. Конструкция в краката

m> 1 е само положително число. A е квадратна матрица (m = n) tobto. leishe действително за квадратни матрици

6. Транспониране на матрица A. Транспониране на матрица означава AT или A "

Редове от тези сто и петдесет бяха запомнени от мишки

дупето

Мощност на операциите върху матрици

(A + B) + C = A + (B + C)

λ (A + B) = λA + λB

A (B + C) = AB + AC

(A + B) C = AC + BC

λ (AB) = (λA) B = A (λB)

A (BC) = (AB) C

(λA) "= λ (A)"

(A + B) "= A" + B "

(AB) "= B" A "

Вижте матрицата

1. Директно: мі н- повечето положителни числа

2. Квадрат: m = n

3. Ред на матрицата: m = 1... Например, (1 3 5 7) - в практически приложения такава матрица се нарича вектор

4. Матрични стотници: n = 1... Напред

5. Диагонална матрица: m = nі a ij = 0, якшо i ≠ j... Напред

6. Единична матрица: m = nі

7. Нулева матрица: a ij = 0, i = 1,2, ..., m

j = 1,2, ..., n

8. Триъгълна матрица: всички елементи са по-ниски от диагонала на главата.

9. Симетрична матрица: m = nі a ij = a ji(така че на симетрични диагонали има равни елементи) и А "= А

Например,

10. Косо-симетрична матрица: m = nі a ij = -a ji(Тобто по симетрични диагонали на главата да застане срещу елементи). Otzhe, на главата диагонална стойка нула (повече когато i = j maєmo a ii = -a ii)

Zrozumіlo, A "= - A

11. Ермитова матрица: m = nі a ii = -ã ii (ã ji- комплекс - всеки ден до а джи, tobto. якшо A = 3 + 2i, след това в комплекс - получен Ã = 3-2i)

Датският методически асистент ще ви помогне да намерите визонува с матрици: допълнителни матрици, транспозируеми матрици, множество матрици, значение на въртящата се матрица. Целият материал на семейството е в прости и достъпни форми, водени от различни фасове, в такъв ранг се виждат хора, които не са подготвени да ги намерят с матрици. За самоконтрол и саморевизиране на Vee можете да добавите матричен калкулатор без бустер >>>.

Аз се занимавам с минимизиране на теоретичните намигвания и тогава мога да обясня "на пръсти" тези ненаучни термини. Любителите на глупавата теория, бъдете нежни, не се занимавайте с критика, нашата страст е виж висонува с матрици.

За извънгабаритно обучение по темата (за кого да "изгоря") е интензивен pdf-курс Матрица, визначник и залик!

Матрица - tse правата таблица be-like елементи... В якости елементиМожем да видим числа, тоест числови матрици. ЕЛЕМЕНТ- Tse термин. Termіn bazhano zapam'yatati, печели често іnstrіchametisya, не vypadkovo I vikoristav за yogo виждам удебелен печат.

Обозначаване:матриците ме наричат ​​големите латински букви

дупето:може да се види от матрица две по три:

Матрицата е дадена да се съхранява в шест елементи:

Всички числа (елементи) в средата на матрицата могат да се видят сами, така че да не могат да бъдат намерени:

Това е просто таблица (набор) от числа!

Също вкъщи не пренареждайтеномер, който не е посочен в обясненията. Номерът на кожата има свой собствен пряк път и преместването не е възможно!

Матрицата се разглежда на два реда:

и триста точки:

СТАНДАРТ: ако говорим за размера на матриците, тогава колекция отвключват редица редове, а след това - брой стотици. Избрахме само матрица две по три върху четките.

Ако има няколко реда в матрицата, тогава матрицата се извиква квадрат, например: - матрица три по три.

Тъй като в матрицата има сто или един ред, такива матрици също се наричат вектори.

За разбиране на матриците, които знаем от училищата, е ясно, например, точка с координати "x" и "player":. Всъщност координатите на точка се записват в матрица едно по две. Дотогава оста е за теб и дупето, за което редът на числата е смислен: и броят на две точки от областта.

Сега е възможно да се премине без преди vivchennya с матрици:

1) Дия първа. Печелене на минус от матрицата (добавяне на минус към матрицата).

Нека се обърнем към нашата матрица ... Yak vie мелодично се помни, матрицата има много отрицателни числа. Не е удобно дори от поглед, гледайки матрицата, а не ръкописно стиловете на минус, което е просто грозно в украсената вигляда.

Vinesemo минус за матрицата, смяна на знака на елемента SKIN на матрицата:

При нула, як Vi знае, знакът не се променя, нулата е vin и в Afritz нула.

Zvorotn_y дупе: ... Вигляда е снизходителен.

Извън кутията минус в матрицата, промяна на знака на елемента SKIN на матрицата:

Е, оста, доста сладка излезе. І, naygolovnіshe, vikonuvati be-yakі dії с матрицата ще бъде ПО-ЛЕСНО. Тому що є така е математически Народна прикмета: chim more minusiv - tim more plutanini и pomelok.

2) Дия на приятел. Матрично умножение по число.

дупето:

Това е просто, просто умножете матрицата по числото, от което се нуждаете кожаЕлементът на матрицата се умножава по цялото число. За много хора - за трима.

Още един кафяв запас:

- множество матрици на дриб

Можете да видите няколко от тези, които robiti НЕ ТЪРСЕНЕ:

НЕ СЕ ИЗИСКВА да правите промяна в матрицата; - Остатъчен изглед на оригинала).

Тим повече, НЕ ТЪРСЕНЕза матричен скин елемент за минус система:

Зі statty Математика за чайници Mi pam'yataєmo, десетки дроби с кома в съзнанието на математиците, всички са уникални.

Єdine scho бажанопромяна в цялото приложение - опитайте се да донесете минус на матрицата:

И от якби BCIматричните елементи са 7 без излишък, Тоди е възможно (и е задължително!)

дупето:

Като цяло е възможно i ПОТРИБНОумножете всички елементи на матрицата по 2 без излишък.

Забележка: теоретично страхотна математикатъп е ученикът "подил". За да замените фразата „промяна на цената върху цената“, винаги можете да кажете „умножете върху другите“. Тобто подил - много окремий випадок.

3) Диа трета. Транспониране на матрица.

Ако искате да транспонирате матрица, трябва да напишете редове в сто от транспонираната матрица.

дупето:

Транспонуват матрицата

Тук има по-малко от един ред і, по правило, трябва да го запишете на сто:

- матрицата се транспонира.

Транспонираната матрица се обозначава с индекса на суперреда, а щрихът е десен в планините.

Покриване на дупето:

Транспонуват матрицата

Копие на първия ред на първите сто:

Нека пренапишем още един ред от още сто:

Аз, nareshty, пренаписвам третия ред на третата стотина:

Готов. Грубо казано, транспониране означава завъртане на матрицата към набика.

4) Dia четвърти. Сума (бизнес) матрица.

Сумата на матрицата е неудобна.
НЕ ВСЯКАТА МАТРИЦА МОЖЕ ДА СЕ СГЪНЕ. За показване на сгъваемите (показващи) матрици е необходимо, миризмата ще бъде същата ЗА ROSMIR.

Например, ако е дадена матрица "две по две", тогава е възможно да се сгъне само с матрица "две по две" и единична!

дупето:

Матрични резени і

За да сгънете матрицата, е необходимо да сгънете всички елементи:

За диференциалните матрици правилото е подобно, необходимо е да се знае разликата между различните елементи.

дупето:

Познайте матрицата на разликата ,

И як виришност дупето е по-просто, защо не се изгубиш? Dozіlno се отърси от минуса, за целия допълнителен минус в матрицата:

Забележка: теоретично страхотната математика на ученика "привидно" е тъпа. За да замените фразата „от гледна точка“, винаги можете да кажете „до края виж номера". Tobto vіdnіmannya е комбинация от vidnimannya.

5) Дия п'ята. Матрично умножение.

Колко матрици могат да се умножат?

Матрицата може да се умножи по матрицата е необходима, но броят на 100 матрици е равен на броя на редовете в матрицата.

дупето:
Qi можеш ли да умножиш матрица по матрица?

Също така, матричните данни могат да бъдат умножени.

И ако пренаредите матриците с мишки, тогава в този конкретен тип това е твърде много!

Виконатите вече са твърде неудобни:

Не е толкова лесно да се включите в трик, ако ученикът разбира да умножава матрицата, много от които са много неудобни.

Това означава, че за редица типове е възможно да се умножават матрици и така и така.
Например, за матрици, і е възможно да се умножи, така че умножете

Ръководител на линейната алгебра. Матрична концепция. Вижте матрицата. Операции от матрици. Разработване на задачи за матрично преобразуване.

С най-новото развитие на математиката майката често се извежда вдясно с таблици с числа, наречени матрици. Зад помощта, матрицата ръчно virishuvati системи lіnіynykh rіvnyany Vykonuvati много операции с вектори, vyrishuvati разработка на компютърна графика и други инженерно управление.

Матрицата се нарича правоъгълна таблица с числа мред и деяка номер П 100% Числа ті Псе наричат ​​матрични порядки. По същото време т = P,матрицата се нарича квадрат, а числото m = n -її в ред.

Ако искате да запишете матриците, ще се забиете, например, ако има някакви малки картинки или кръгли лъкове:

Або

За къса матрица често ще има една голяма латинска буква (например A) или символът || a ij ||, и иноди с обяснения на рози: А = || a ij || = (a ij),де (i = 1, 2, ..., m, j = 1, 2, ..., n).

Числа a ij,за влизане в склада на дадена матрица, се наричат ​​елементи. При записа a ijпърви индекс і означава номера на реда, а другия индекс j- Брой сто. Една квадратна матрица

(1.1)

въведено от разбирането за главата и побитовите диагонали. Диагоналът на главата на матрицата (1.1) се нарича диагонал а 11 до 12 … a nnпреминете от левия горен кут на матрицата към десния долен кут. Диагоналът на тази матрица се нарича диагонал a n 1 a (n -1) 2… a 1 n, scho преминават от левия долен кут към десния горен кут.

Основни операции върху матрици с тази степен.

Нека преминем към стойността на основните операции върху матрици.

Допълнителни матрици.Суми две матрици A = | a ij || ,де і B = | b ij || ,де (i = 1, 2, ..., m, j = 1, 2, ..., n)някои и тихи заповеди ті Псе нарича матрица С = || s ij || (i = 1,2, ..., m; j = 1, 2, ...., n)тих ред ті P,елементи s ijкоито започват с формулата

, де (i = 1, 2, ..., m, j = 1, 2, ..., n)(1.2)

За poznachennya sumi две матрици vikorist Z = A + U.Операцията на сгъване на суми матрици се нарича их сгъване. Otzhe, за viznachennyam:

+ =

От стойността на матриците на сбора и по-точно от формулите (1.2), без нуждата от средата, операцията на сгъваемите матрици може да бъде мощна, операцията на сгъване на произволни числа, но самата:

1) движеща сила: A + B = B + A,

2) с добър авторитет: ( A + B) + C = A + (B + C).

Силата на властта не позволява нищо относно реда на преминаване през допълнителните матрици, когато две или повече матрици са сгънати.

Матрично умножение по число. Допълнителни матрици A = || a ij || , De (i = 1, 2, ..., m, j = 1, 2, ..., n) върху числото на речта l, се нарича матрица З = | | s ij || (i = 1,2, ..., m; j = 1, 2, ...., n)Елементи като започват с формулата:

, де (i = 1, 2, ..., m, j = 1, 2, ..., n)(1.3)

За матрицата, присвоена на матрицата от броя на використите, напишете З = l A abo З = А l.Операцията по сгъване на матрица в число се нарича умножение на матрица на число.

От средата на формулата (1.3) става ясно, че умножението на матрицата по броя на мощността е:

1) със свободната мощност на числов множител: (l m) A = l (m A);

2) отделната мощност на матрицата на суми: l (A + B) = l A + l B;

3) отделете мощността от сумата на числата: (l + m) A = l A + m A

Уважение.Имам две матрици Аі Имайтеот същия ред ті Пестествено име taku е матрица Зтих ред ті P, yaka u sumi с матрица Бда, матрица А. З = А - чл.

Дори е лесно да се обърнем към факта, че растежът Здве матрици Аі Имайтеможе да се оправи зад правилото C = A + (-1) B.

Tvir матрица abo умножаване на матрицата.

Добутком матрица A = | a ij || de (i = 1, 2, ..., m, j = 1, 2, ..., n)Поръчки на МА, според поръчката ті н,на матрицата B = | b ij || ,де (i = 1, 2, ..., n, j = 1, 2, ..., p),Поръчки на МА, според поръчката ні R,да се нарече матрица З = | | s ij || (i = 1,2, ..., m; j = 1, 2, ...., p), scho MAє заповеди, по реда ті РЕлементи като започват с формулата:

де (i = 1, 2, ..., m, j = 1, 2, ..., p)(1.4)

За значението на матрицата Ана матрицата Имайтевикоритую запис C = A × B... Операция на сгъване на матрицата Ана матрицата Имайтесе наричат ​​умножения на qix матрици.

3 от формулирания висе на viplive, счо матрица A може да се умножи не по матрица,е необходимо, но броят на 100 матрици Аувеличава броя на редовете в матрицата Изкуство.

Формула (1.4) е правилото за сгъване на елементите на матрицата С, което чрез матрицата Ана матрицата Изкуство.Цялото правило може да се формулира с думи: елемент с ij, който стои върху повторението на i-тия ред и j-тия ред на матрицата C = AB, допълнителната сума от сдвоени създания на същите елементи от i-тия ред на матрицата A и j-ти ред на матрица B.

Yak челното zasosuvannya на даденото правило се индуцира от формулата за умножение на квадратни матрици от различен ред.

× =

Формулите (1.4) предполагат мощността на матрицата Ана матрицата V:

1) има правомощия: (АВ) С = А (ВС);

2) матриците на мощността са различни една от друга:

(A + B) C = AC + BC или A (B + C) = AC + AC.

Храна за пермутациите (преместване) на силата на създаване на матрица Ана матрицата Имайтеима смисъл да поставят liche за квадратни матрици А и Бсъщия ред.

Вероятно важни са матриците, за които пермутацията на степента е справедлива и правилна. Две матрици за създаване на тези, които справедливо пермутират мощността, се приемат като сменяеми.

Сред квадратните матрици има клас за диагонални матрици, в кожата на някои елементи се регулира позата на диагонала на главата, равна на нула. Скин диагонална матрица по поръчка Пма вигляд

D = (1.5)

де d 1, d 2,… , d n-яки за предпочитан номер. Лесно е да се бачити, така че всички числа да са равни на себе си, tobto. d 1 = d 2 =… = d nслед това за квадратна матрица Апоръчка Псправедлив паритет A D = D A.

В средата на всички диагонални матрици (1.5) с елементи, които могат да се добавят. d 1 = d 2 =… = d n = = дРолята на изиграването на две матрици е особено важна. Първите z qix матрици отиват на d = 1,да се нарече единична матрица н д.Друга матрица се появява в d = 0да се нарече нулева матрица н-ти ред, който се обозначава със символа ОВ такъв ранг,

E = O =

По силата на донесеното вище A E = E Aі AO = PRO A.Нещо повече, лесно е да се покаже как

A E = E A = A, A O = O A = 0. (1.6)

Първата от формулите (1.6) характеризира особената роля на единичната матрица E,аналогично на ролята, тъй като числото 1 се умножава, когато числата се умножават. До специалната роля на нулевата матрица о,тогава її viyavlya не е само приятел от формули (1.7);

А + 0 = 0 + А = А.

В крайна сметка е чудесно, че разбирането за нулева матрица може да се въведе за неквадратни матрици (нула се нарича бе-якуматрица, всички елементи, които се добавят към нула).

Матрични блокове

Да си признаем, деяка е матрица A = | a ij ||зад добавянето на хоризонтални и вертикални прави линии, той се изрязва по ръбовете на правоъгълни клетки, кожни клетки - матрица с по-малки размери и се нарича блок от визуална матрица. Такава разлика има способността да се погледне визуалната матрица. Акато deyakoi нова (т.нар. блокова) матрица А = || A a b ||, елементите са блоковете. Значението на елементите се обозначава с голямата латинска буква, наголостта, вонята є, изглежда изглеждат като матрици, а не числа і (като числови елементи) има два индекса, първият ще бъде номерът на реда "блок", а другият - номерът на реда "блок".

На дупето, матрицата

можете да видите блокова матрица на як

елементи като блокове:

Чудим се на факта, че основните операции с блокови матрици вървят по самите правила, за да се отървем от вонята на необикновените числови матрици, лишавайки ролите на елементите на блоковете.

Концепцията на дизайнера.

Лесно мога да видя квадратна матрица от всякакъв ред П:

А = (1.7)

При такава матрица на кожата има единична числова характеристика, наречена посетител, типът на матрицата.

Якшо заповед нматрицата (1.7) е единична единица, тогава матрицата се съхранява в един елемент и аз j е символът от първи ред, който показва такава матрица, ние го наричаме стойност на този елемент.

тогава указателят от различен ред, който се основава на такава матрица, се нарича число, което е a 11 a 22 - a 12 a 21и да бъде известен с един от символите:

Otzhe, за viznachennyam

(1.9)

Формула (1.9) е правилото за сгъване на матрицата от различен ред за елементите на една и съща матрица. Словесната формулировка на това правило е следната: обозначение от различен ред, подобно на матрица (1.8), допълнително развитие на елементи, като например стоящи върху диагонал на главата на матрицата, а също и на елементи, вместо стоящи от другата Бизнесмените от други и други порядки познават по-широкото разпространение на системите от рода на времето.

Ясно е, як vikonuyutsya операции с матрици в системата MathCad ... Прости операции на матричната алгебра, реализирани от MathCad като оператори. Писането на операторите зад съветника е възможно най-близо до їхньої математическа работа. Операторът на кожата се завърта със символ. Матричните и векторните операции на MathCad 2001 са лесно видими. n x 1,Следователно всички тези операции са справедливи за тях, но за матрици, които не са особено обременени (например действията на операциите стават стагниращи само за квадратни матрици) n x n). Като такова е допустимо за вектори (например скаларен tvir), но, тъй като е маловажно за същото писане, по прост начин за вектори и матрици.

За диалоза задайте броя на редовете и стотици матрици.

q При натискане на бутона OK се извежда поле за въвеждане на матрични елементи. За да въведете елемент от матрицата, поставете курсора на стойностите \ u200b \ u200b на позицията и въведете номера на вираз от клавиатурата.

За да можете да видите операцията зад допълнителна лента с инструменти, трябва:

q прегледайте матрицата и щракнете върху нея в панела с бутона за работа,

q Или щракнете върху бутоните на панела и въведете позицията на матрицата.

Меню "Символи" отмъсти три операции - транспониране, инвертиране, виснатник.

Tse означава, например, че е възможно да се изчисли форматът на матрицата чрез избиране на командата Символи / Матрица / Шаблон.

Номерът на първия ред (първата стотна) от матрицата на MathCAD е взет от ORIGIN. За promovchannyam vіdlіk се пази от нула. В случай на математическа нотация често е прието да се запази изглед на 1. За MathCAD той се появява в числа в редове и в числа в редове 1, трябва да зададете стойността на промяната ORIGIN: = 1.

Функциите, предназначени за роботи от родовата алгебра, изберете в секцията „Вектор и матрица“ до диалога „Вмъкване на функция“ (nagaduumo, просто кликнете върху бутона на панела „Стандарт“). Основните функции ще бъдат описани по-долу.

Транспониране

Фиг. 2 Транспонираща матрица

С MathCAD можете да сгъвате матрици, така че да могат да се разглеждат една по една. За операторите qih използвайте символи <+> abo <-> със сигурност. Матрицата е виновна за майката, но размерът е същият; Кожен елемент суми две матрици за допълнителни елементи от матрици-доданки (дупе на фиг. 3).
За сгъваеми матрици MathCAD ще адаптира операцията на сгъване на матрици със скаларна стойност, така че. номер (задница фиг. 4). Елемент на кожата на получената матрица от голяма сума от специфичен елемент от целевата матрица и скаларна стойност.
За да въведете символа за умножение, е необходимо да натиснете клавиша със звезда<*>за ускоряване на лентата с инструменти матрица,натискане на бутона Точков продукт (умножете)(Фиг. 1). Множество матрици се обозначават с точка, както е показано в приложението на фиг. 6. Символът за множество матрици може да вибрира по същия начин, както при скаларните вирази.
Друг приклад, който може да се приложи към множеството на вектора върху матрицата-ред i, navpaki, редове върху вектора, е показан на фиг. 7. В другия ред на дупето се показва като зрител, формулата за избор на изображение на оператор е Няма място (наведнъж).Същият оператор обаче се умножава по два вектора по същия начин .

Повече информация.