Līklīnijas integrālis nevar nonākt integrācijas ceļā. Līklīnijas integrāļa neatkarība potenciālā lauka integrācijas ceļā līknes integrāļa aprēķina potenciāla laukā potenciāla aprēķina Dekarta koordinātēs. Formula G

Reģionu sauc par vienu saiti, jo robeža ir skaidra bezpersoniska. Apgabalu sauc par n-skaņām, jo ​​robeža sadalās n-skaņās.

Cieņa. Grīna formula virna і bagātīgām komunikācijas zonām.

Lai integrālis (A, B - būtu līdzīgi punkti D) bez guļas integrācijas veids(Un tikai vālītē un beigu punktos A, B) tas ir nepieciešams un pietiekami, lai jebkura slēgta līkne (jebkurai kontūrai) atrastos D, integrālis pret nulli = 0

Pierādījums (obligāts). Lai (4) neiekristu integrācijas ceļā. Apskatīsim daļējo kontūru C, kas atrodas apgabalā D, un uz šīs kontūras atlasīsim divus daļējos punktus A, B. Līdzīgi līkni C var aplūkot kā divu līkņu AB = G2, AB = G1, C = G - 1 + G2 kombināciju.

Teorēma 1. Lai līklīnijas integrālis neiekļūtu integrācijas taisnē D, ir nepieciešams un pietiekami, ka

apgabalā D. Labklājība. Kā parasti, Grīna formula jebkurai kontūrai C būs zvіdki saskaņā ar lemі pēc nepieciešamās sacietēšanas. Nepieciešamība. Lemі jebkurai kontūrai = 0. Tas pats Zaļajai formulai apgabalam D, ko ieskauj kontūra = 0. Ar teorēmu par kopējo vidējo vidējo = mDіlі == 0. punkts.

2. teorēma. Lai līklīniskais integrālis (4) neatrastos integrācijas ceļā D, ir nepieciešams un pietiekami, lai integrāļa virāze Pdx + Qdy būtu divkāršās funkcijas u augšējais diferenciālis domēnā D. du = Pdx + Qdy. Pieejamība. Ļaujiet Vikonano, tad Nebkhіdnіst. Lai integrālis nenonāk integrācijas ceļā. Fiksēsim punktu A0 apgabalā D un pēc būtības funkciju u (A) = u (x, y) =

Kādā virzienā

XО (xО). Šādā secībā іsnuє pokhіdna \u003d P. Tāpat atkārtoti tiek pārbaudīts, ka sho \u003d Q. Atbrīvošanās gadījumā funkcija u parādās bez pārtraukuma - tā atšķir un du \u003d Pdx + Qdy.

32-33. 1. un 2. veida līklīniju integrāļu apzīmējums

Līklīnijas integrālis loka garumā (1. veids)

Lai funkcija f (x, y) ir piešķirta un nepārtraukta gludās līknes K loka AB punktos. Sadalīsim loku n elementārajos lokos ar punktiem t0..tn lai lk ir k garums. privātā loka. Ņemiet uz ādas elementāru sirdsdarbības ātrumu pietiekami daudz punkta N (k, k) un reizinot punktu ar atbilstošo. loka garumam, mēs varam pievienot trīs neatņemamas summas:

1 =f (k, k) lk 2 = Р (k, k) хk 3 = Q (k, k) yk, de хk = x k -x k -1, yk = y k -y k -1

Pirmā veida līklīniskais integrālis loka garumā tiks saukts par integrāļa summas 1 robežu, lai saprastu, ka max (lk)  0

Ja starp integrālsummu 2 vai 3 pie   0, tad internaz. 2. veida līknes integrālis, funkcijas P (x, y) vai Q (x, y) gar līknēm l = AB un tiek piešķirtas:
vai

summa:
+
Ir ierasts to saukt par izliektu 2. veida izliektu integrāli un apzīmēt simbolu:
tādā veidā f-tsії f (x, y), P (x, y), Q (x, y) - tiek saukti par tilta līknes l = AB integrācijām. Pati līkne l ir kontūra vai integrācijas ceļš A — pochatkovіy, B — integrācijas beigu punkts, dl — loka aizmugures diferenciālis pret šo 1. veida zvaigznes līknes integrāli. līknes integrālis virs līknes loka un cita veida - pār funkciju ..

No līklīniju integrāļu apzīmējuma ir skaidrs, ka 1. veida integrāļi neietilpst tajā, ka taisnā līnijā A un B vai B un A veidā līkne l iet cauri. Pirmā veida līknes integrālis saskaņā ar AB:

, 2. veida līknes integrāļiem mainiet līknes taisno gājienu, lai mainītu zīmi:

Reizēm, ja l - līkne ir slēgta, ti, T. U zbіgaєtsya z t. Un, tad no diviem iespējamiem tiešajiem slēgtās ķēdes apvadiem l sauc par pozitīvu, ka viens tieši, kad laukums atrodas kontūras vidū, tas ir piepildīts ar zlivu pēc paplašinājuma uz ??? zdіysnyuє obkhіd, t.i., tieši steidzas pret gada bultiņu. Protilezhny zmіst apvedceļš sv - negatīvs. Līklīnijas integrālis AB pa slēgtu kontūru l iet taisni lodziņā, mēs to apzīmēsim ar simbolu:

Telpas līknei 1. veida 1. integrāli ievada līdzīgi:

un trīs otrā veida integrāļi:

trīs atlikušo zvaigžņu integrāļu summa. ar izliektu 2. veida izliektu integrāli.

Faktiskie 1. veida līklīniju integrāļu papildinājumi.

1.integrālis
- dubultloki AB

2. 1. veida mehānisko sajūtu integrālis.

Ja f (x, y) =  (x, y) - materiāla loka lineārais platums, tad її masa:

3. Materiāla loka masas centra koordinātas:

4. Loka inerces moments, kas atrodas plaknē oxy pa tīšanas asu koordinātu i ox, oy vālīti:

5. 1. veida integrāļa ģeometriskā izjūta

Ļaujiet funkcijai z \u003d f (x, y) - telpas f (x, y)\u003e \u003d 0 materiāla loka dotajos punktos atrodas plaknē oh thodi:

, De S - cilindriskās virsmas laukums, valis ir salocīts no perpendikulāra okhu plaknei, cx. līknes AB punktos M(x, y).

Dejaki 2. veida līklīnisko integrāļu papildinājumi.

Plakanā laukuma D ar kordonu L laukuma aprēķins

2. Robota spēks. Ļaujiet materiālam t spēka virzienam virzīties uz gaisu, nepārtraucot lidmašīnas plakano līkni, virziet B virzienu uz C, spēka robotu:

Pieraksts. Trivi-pasaules telpas apgabalu G sauc par virspusēji vienkārši savienotu. pat ja reģionā atrodas slēgta ķēde, ir iespējams izstiept virsmu, pilnībā atrasties apgabalā G. Piemēram, sfēras iekšpuse vai visi trīs pasaules plašumi ir virspusēji atsevišķi saistīti apgabali. ; tora iekšpuse ir vai nu trivimer telpa, un tā nav iekļauta taisnā līnijā, tā nav virspusēji atsevišķi saistīta ar reģioniem. Virspusēji vienotajā G apgabalā uzdevumiem par nepārtrauktu vektoru lauku, tad nāks teorēma. 9. teorēma. Lai līklīniskais integrālis vektora laukā neatrastos integrācijas taisnē, bet gan atrastos tikai taisnes vālītē un beigu punktos (A un B), nepieciešams un pietiek, ka cirkulācija vektora G reģionā, sasniedza nulli. 4 Nepieciešamība. Lai un t-egral neietilpst integrācijas ceļā. Tiks parādīts, ka jebkura slēgtā cilpa L ir vienāda ar nulli. Apskatīsim tuvāk slēgto kontūru L vektora a i laukā, paņemsim vēl nedaudz punktus A i B (35. att.). Par prātu maєmo - dažādi veidi, scho z'єdnuyut tieši A і B \ zvіdki yakraz i є obrany zast! "Pietiekama kontūra L. Pietiekamība. Iesim uz jebkuru slēgtu kontūru L. Parādīsim, ka kaut kādā veidā integrālis nevar atrasties integrācijas ceļā. Ņemsim divus punktus A un B vektora a laukā, un tas var būt parādīts, ka vienkāršības labad mēs esam sajaukti ar apakšnodaļu, ja līnijas L \ i L2 nepārklājas. līklīnijas integrālis integrācijas ceļā Potenciāla lauks Līklīnijas integrāļa aprēķins potenciāla laukā Potenciāla aprēķins Dekarta koordinātās 9. teorēma ir nepieciešama un pietiekama, lai saprastu līklīnijas integrāļa neatkarību ceļa formā, taču ir svarīgi to saprast. Ieviesīsim efektīvāku kritēriju. Teorēma 10. Lai līklīnijas integrālis neatrastos integrācijas L ceļā, ir nepieciešams un pietiekami, lai vektoru lauks būtu irrotācijas. M) virspusēji viena saite. Cieņa. Saskaņā ar 9. teorēmu, līklīnijas integrāļa neatkarība integrācijas ceļā ir vienāda ar tora kapitāla nulles cirkulāciju un slēgtas kontūras vzdovzh. Tsya mēbeļu mi vikoristovuєmo, pabeidzot teorēmu. Nepieciešamība. Lai līknes integrālis neietilpst ceļa formā, pretējā gadījumā vektora a cirkulācija pa slēgtu cilpu L ir vienāda ar nulli. Todi t.i. Lauka ādas punktā vektora projekcija puves un vai tā ir tieši vienāda ar nulli. Tse nozīmē, ka pats vektora puve visos lauka punktos ir vienāda ar nulli, Labklājība. Prāta pietiekamība (3) ir redzama no Stoksa formulas, tātad, kad rot a \u003d 0, tad vektora cirkulācija pa slēgtu cilpu L ir vairāk vienāda ar nulli: Plakanā lauka rotors ir progresīvāks, kas ļauj mums formulēt teorēmu plakanam laukam. 11. teorēma plakans lauks neliekot zemu līnijas L formā, tas ir nepieciešams un pietiekams, lai spivvidnoshennia būtu uzvarējusi arī visā reģionā. Ja apgabals nav vienkārši savienots, tad vikonannya domā zibenīgi šķietami, nevis rūpējas par līknes integrāļa neatkarību līnijas formā. Muca. Apskatīsim integrāli Ir skaidrs, ka integrāļa virāzei nav jēgas punktā 0 (0,0). Tāpēc izslēdziet šo punktu. Otrajā plaknes daļā (tas vairs nebūs atsevišķi saistīts laukums!) , ka integrālis (6) ir nogulsnēts integrācijas ceļa veidā. §10. Potenciālais lauks Iecelšana. Vektora a (M) lauku sauc par potenciālu, jo skalārā funkcija i (M) ir tāda, ka funkciju i (M) sauc par lauka potenciālu; її vienādas virsmas sauc par ekvipotenciālām virsmām. tad spіvvіdnoshennia (1) ir vienāds ar nākamajām trim skalārajām vienādībām: Dārgi, ka lauka potenciāls tiek mērīts precīzi līdz konstantei dodanka: pat tad, - konstants skaitlis. Piemērs 1. Rādiusa vektora є lauks ir potenciāls, tāpēc ir jāmin, ka arī rādiusa vektora є lauka potenciāls. 2. piemērs. Vektora lauks ir potenciāls. Lai funkcija ir tāda, kāda tā ir zināma. Todі і zvіdki Mean - lauka potenciāls. 12. teorēma. Lai būtu vairāk par vektoru a, ir nepieciešams un pietiekams, lai tas būtu irrotācijas, t.i., lai rotors sasniegtu nulli visos lauka punktos. Šajā gadījumā vektora a visu privāto relatīvo koordinātu veidu nepārtrauktība un atsevišķi saistītā apgabala virsma, kurā uzdevumos tiek pārnests vektors a. Nepieciešamība. Nepieciešamību domāt (2) nosaka nepārtraukts necilvēks: lauks ir potenciāli potenciāls, t.i., dažādu diferenciācijas kārtības veidu neatkarības dēļ. Pieejamība. Ļaujiet vektora laukam būt bez virpuļiem (2). Lai ieviestu lauka potenciālu, mums būs nepieciešams joga potenciāls i (M). Padomājiet (2), ka ir skaidrs, ka līknes integrāli nevar novietot taisnes L formā, bet gan tikai vālītes un beigu punktu veidā. Fiksējam pasta punktu un tiks mainīts beigu punkts Mu, z). Tad integrālis (3) būs punkta funkcija. Poznachimo Qiu funktsіyu caur w (M) i dovedemo scho Nadalі būs zapisuvati іntegral (3) vkazuyuchi lishe Pochatkova ka kіntsevu punkts augsts ceļu іntegruvannya, Rіvnіst rіvnosilno TROM skalāro vienādojumu Nezalezhnіst krivolіnіynogo іntegrala od lielceļš іntegruvannya Potentsіyne lauks Obchislennya krivolіnіynogo іntegrala jo potentsіynomu polі Obchislennya potentsіalu Dekarta koordinātēs Mēs vienādi izvedam pirmo no tām, otru un trešo vienādību. Apskatīsim punktu tuvu punktam Tātad, tā kā funkcija і (M) tiek piešķirta relācijām (4), kurās līklīniskais integrālis neatrodas integrācijas ceļā, tad integrācijas ceļš ir izvēlēts, kā parādīts 37. att. Todi Zvіdsi Atlikušais integrālis tiek ņemts kā mols taisnā līnijā MM), paralēlā ass Ak. Koordinātu x var ņemt parametra labajā pusē parametra kvalitātē. No formulas (7) redzam, ka Tātad funkcijas nepārtrauktības dēļ tas ir nepieciešams. Vektora lauks ir potenciāls, un tikai tad, ja tas ir greizs lineārs integrālis jaunā veidā. Līklīnijas integrāļa aprēķins potenciālā laukā 13. teorēma vālītes punkti integrācijas veids, Agrāk tika pierādīts, ka funkcija ir lauka potenciāls. Potenciāls izliekta iekšpuses lauks nevar tikt nogulsnēts infekcijas vidū. Tāpēc, izvēloties ceļu no punkta M \ uz punktu M2 tā, lai taisne iet caur punktu Afo (38. att.), mēs varam vai nu mainīt ceļa orientāciju pirmajā intervālā pa labi, Tā kā potenciāls no lauka tiek noteikts ar precizitāti līdz pastāvīgam papildinājumam, tad vai tas būtu izpētītā lauka potenciāls var pārspēt viglyadі de s - postіyna ierakstus. Formula (10) aizstāj un - s, ir nepieciešams papildu potenciālam v (M) izmantot formulu Piemērs 3. 1. pielietojumā tika parādīts, ka rādiusa vektora r lauka potenciāls ir funkcija de - pāriet no punkta uz koordinātu vālīti. Potenciāla aprēķins Dekarta koordinātēs Dot potenciāla lauku Iepriekš tika parādīts, ka potenciāla funkciju “(M) var atrast, izmantojot formulu Integrāls (11) visērtākajā veidā, lai to aprēķinātu šādi: y , z ) laman, lanka kā paralēli koordinātu asīm,. Ja tā, tad uz lamanas ādas tiek mainīta tikai viena koordināta, kas ļauj vienkāršot aprēķinu. Tiesa, uz vіdіzku М0М \maєmo: Uz vіdrіzku. Mal. 39. Uz vіdrіzku. Otzhe, tiek integrētas iespējas uzlabot straumēšanas punkta koordinātas lamano joslās, uzdovzh yah. Piemērs 4. Paaugstiniet vektora lauka potenciālu un zināt tā potenciālu. 4 Apskatīsim, vai vektora a (Af) lauks ir potenciāls. Z tsієї tse / ma aprēķināms rotora lauks. maijs Lauks ir potenciāls. Lauka potenciāls ir zināms no papildu formulas (12). Paņemiet vālītes punktu A / vai koordinātu vālīti O (tāpēc zvaniet, lai atrastu, jo lauks a (M) ir piešķirts koordinātu vālītei). Todi otrimayemo Otzhe, de s - diezgan ātri. Lauka potenciālu var uzzināt savādāk. Izvēlētajam potenciālam i (x, y, z) ir skalāra funkcija, kurai gradu = a. Tse vektors rіvnіst rіvnosilno trom skalārs vienādojumu: Іntegruyuchi (13), attiecībā uz X, otrimaєmo de - dovіlna funktsіya scho diferentsіyuєtsya og Yip atšķirīgo attiecībā uz y: Nezalezhnіst krivolіnіynogo іntegrala od augsts ceļš іntegruvannya Potentsіyne lauks Obchislennya krivolіnіynogo іntegrala in potentsіynomu polі Obchislennya potentsіalu in Dekarta koordinātas Integrējot (17) virs y, mēs zinām, ka funkcija z ir vienāda. Aizstājot (18) ar (16), mēs to ņemam. Atšķirība paliks vienāda bez z un, skatoties uz spіvvіdnosnja (15), mēs pieņemam vienādu zvaigzni

Apskatīsim 2. veida līklīnisko integrāli, de L- līkne, kas savieno punktus Mі N. ļaujiet funkcijām P(x, y)і Q(x, y) Maija netraucētas privātās brīvdienas aktīvajā reģionā D, Veselos melos šķībi L. Būtiski, ka, ņemot vērā dažus apsvērumus, līknes integrālis neatrodas līknes formā L, Un tikai daži punkti Mі N.

Mēs veiksim divas papildu līknes MPNі MQN, ko melot apvidū D un ko dara punkti Mі N(1. att.).

M N Mal. viens. P

Teiksim, ko, tobto

Todi, de L- noslēguma kontūra, locīšana no izliekumiem MPNі NQM(Tēvs, joga var būt vvazhati dovilnym). Šajā pakāpē prāts par 2. veida līklīniskā integrāļa neatkarību integrācijas veidā ir vienāds ar prātu, ka šāds integrālis virs slēgtas kontūras ir vienāds ar nulli.

1. teorēma. Nogādājiet to visos diako reģiona punktos D nepārtrauktas funkcijas P(x, y)і Q(x, y) un їх privātie braucieni i. Todi, lai aizvērtu ķēdi L, kas atrodas šajā apgabalā D, Ļauns prāts

Nepieciešams un pietiekams, schob = visos reģiona punktos D.

Atnešana .

1) Labklājība: palaidiet prātu = vikonano. Mēs varam redzēt diezgan slēgtu kontūru L reģionā D, Kāds ir robežas laukums S, es rakstu zaļo formulu jaunajam:

Otzhe, pietiekamība ir atnesta.

2) Nepieciešamība: ir pieļaujams, ka prāts ir vikonan ādas punkta zonā D, Ale, reģionā būtu viens punkts, kurā - ≠ 0. Ej, piemēram, punktā P(x0, y0)-> 0. Tā kā varto neadministratīvi vienādās funkcijas nelīdzenuma kreisajā daļā tas būs pozitīvs un vairāk nekā jebkurš δ> 0 aktīvajā mazajā laukumā. D` Par ko atriebties punkts R. otzhe,

Rezultāti pēc Grīna formulas tiek ņemti, ko, de L`- kontūra, kas ieskauj apgabalu D`. Tsey rezultāts superchit prātā. Arī = visos reģiona punktos D, ko vajadzēja atnest.

cieņa 1 . Ar līdzīgu rangu trivi-pasaulīgai telpai var dot nepieciešamo un pietiekamo prātu par līklīnijas integrāļa neatkarību.

integrācijas virzienā є:

Cieņa 2. Kad vikonnі prātos (28 / 1.18) viraz Pdx+Qdy+Rdzє povnim diferenciālās darbības funkcijas і. Tas ļauj aprēķināt līknes integrāļa aprēķinu līdz norādītajai starpības vērtībai і integrācijas kontūras beigu un pumpuru punktos, tātad

Ar kuru funkciju і var uzzināt pēc formulas

de( x0, y0, z0)- punkts no apgabala D, a C- diezgan ātri. Tas ir gudrs, to ir viegli pārslēgt, jo tajā ir lieliskas privātas funkcijas і, Dots pēc formulas (28 / 1.19), vienāds P, Qі R.

Ļaujiet man sniegt jums plakanu vektora lauku. Tālāk pieņemsim, ka funkcijas P un Q ir nepārtrauktas vienlaikus ar saviem radiniekiem un reālajā platībā Par dzīvokli

Apgabalā G var meklēt vēl divus punktus, un Qi punktus var savienot ar dažādām līnijām, kas atrodas līknes integrāļa šaurāko vērtību apgabalā, šķietami atšķirīgi.

Tā, piemēram, mēs varam aplūkot līklīnijas integrāli

un divi punkti. Aprēķināsim šo integrāli, pirmkārt, savienojot taisni, kas savieno punktus A un B, і, citā veidā, savienojot parabolas z'ednuє qi punktu loku. Zastosovuyuchi noteikumi līklīnijas integrāļa aprēķināšanai, mēs zinām

a) uzdovzh vіdrіzka

b) parabolas loka iemaņas:

Šādā rangā mēs uzskatām, ka līklīniskā integrāļa vērtība atrodas integrācijas ceļā, t.i., atrodas līnijas formā, kas iet aiz punktiem A un B. Punkti dod vienu un to pašu vērtību, vienādu.

Muca analīze parāda, ka līklīnijas integrāļi tiek aprēķināti dažādos veidos, ka divi dotie punkti ir saistīti, savā starpā ir atšķirīgi, un citos veidos tiem ir vienādas vērtības.

Pieņemsim, ka A un B ir vēl divi apgabala G punkti. Apskatīsim dažādas līknes, kas atrodas apgabalā G, un aizveram punktus A un B.

Kā līknes integrālis, lai palīdzētu vienam no šiem ceļiem, ir vajadzīgas vienas un tās pašas vērtības, lai teiktu, ka vīns nevar atrasties integrācijas ceļā.

Pie nākamajām divām teorēmām jādomā, ka kādam līklīniju integrālim nevar nokrist integrācijas ceļā.

1. teorēma. Lai līklīniskais integrālis reālajā apgabalā G neatrastos integrācijas ceļā, nepieciešams un pietiekami, lai integrālis pār jebkuru slēgtu kontūru, kas atrodas apgabalā G, sasniegtu nulli.

Atnešana. Pieejamība.

Ļaujiet integrālim pāri slēgtai cilpai, zīmēsim apgabalā G līdz nullei. Tiks parādīts, ka šis integrālis nevar nonākt integrācijas ceļā. Tiesa, lai A un B ir divi punkti, kas atrodas apgabalā G. Tāpēc apgabalā G atrodas divi punkti no divām dažādām, diezgan izvēlētām līknēm (257. att.).

Tiks parādīts, ka loki veido slēgtu cilpu, aplūkojot līklīniju integrāļu spēku,

tik jaks. Ale aiz prāta kā integrālis pa slēgtu cilpu.

Otzhe jeb tādā rangā līklīnijas integrālis neietilpst integrācijas ceļā.

Nepieciešamība. Lai līknes integrālis neatrodas apgabalā G integrācijas virzienā. Parādīts, ka integrālis pār jebkuru slēgtu kontūru, kas atrodas šajā reģionā, ir vienāds ar nulli. Faktiski mēs varam redzēt slēgtāku kontūru, kas atrodas apgabalā G, un mēs to paņemam vēl divos jaunos punktos A un B (dal. 257. att.). arī

tik kā prāts. Arī integrālis pār jebkuru slēgto cilpu L, kas atrodas apgabalā G, līdz nullei.

Teorēmas parādīšanās ir pietiekami laba praktiskai spriešanai, ja ir daudz līklīnisko integrāļu, nevar atrasties integrācijas ceļā.

2. teorēma.

Lai līklīnijas integrālis neatrastos integrācijas ceļā vienas saites reģionā, ir nepieciešams un pietiekams, lai reģiona ādas punktā prāts būtu.

Atnešana. Pieejamība. Iesim apgabalā Parādīsim, ka līklīnijas integrālis virs jebkuras slēgtas kontūras L, kas atrodas apgabalā G, ir vienāds ar nulli. Apskatīsim maidančiku a, ko ieskauj kontūra L. Sakarā ar vienu sasaistīto apgabalu G, maidančiks a pilnībā atrodas uz balkona. Pamatojoties uz formulu Ostrohradsky-Grіn zokrem, uz Maidanchik Tom un arī,. Arī integrālis jebkurā slēgtajā cilpā L reģionā G ir vienāds ar nulli. Pamatojoties uz 1. teorēmu, ir saprātīgi strādāt, ka līklīnijas integrālis nevar nonākt integrācijas ceļā.

Nepieciešamība. Lai līklīniskais integrālis neietilpst integrācijas ceļā reālajā reģionā Q. Tiks parādīts, ka visos reģiona punktos

Ir pieņemami vadīt, t.i., Nehai reģiona aktīvajā punktā uz tikšanos. Pamatojoties uz pieņēmumu par privāto upuru un mazumtirdzniecības nepārtrauktību, tā būs nepārtraukta funkcija. Tāpat tuvu punktam var aprakstīt ar skaitli a (kas atrodas apgabalā G), kura visos punktos, tāpat kā i, punktā starpība būs pozitīva. Zastosuyemo likt uz spēles formulu Ostrohradsky-Grіn.