Izliektā integrāļa neatkarība no integrācijas ceļa izvēles. Grіna formula. Ņemiet vērā izliektā integrāļa neatkarību no integrācijas ceļa
Otrais veids no integrācijas veida
2. veida izliekts integrālis de L ir līkne, kas atrodas starp tiem pašiem punktiem M un N. līkne L. Ir svarīgi domāt, ka ar jebkuru skatienu izliektais integrālis neatrodas līknes L formā, bet tikai punktos M un N.
Mēs uzzīmējam divas MSN un MTN līknes tā, lai tās atrastos apgabalā D un aizvērtu punktus M un N (14. att.).
Pieņemams, scho, tobto
de L - slēgta kontūra, locījumi no līknēm MSN un NTM (no tā paša, to var izmantot). Ar šādu rangu, neatkarības prāts izliekts integrālis Otrais integrācijas veids ir spēcīgāks par prātu, taču šāds integrālis gar jebkuru slēgtu kontūru ir vienāds ar nulli.
5. teorēma (Grīna teorēma). Neizmantojiet nepārtrauktas funkcijas P (x, y) un Q (x, y) un citas privātas funkcijas visos apgabala D punktos. Lai slēgtā kontūra L atrastos apgabalā D,
nepieciešams un pietiekams visos D apgabala punktos.
Piegādāts.
1) Pietiekamība: nē umova = viconano. Skaidri redzama slēgta kontūra L reģionā D, kas atrodas blakus reģionam S, un mēs varam uzrakstīt tam Grīna formulu:
Otzhe, pietiekamība ir atnesta.
2) Nepieciešamība: pieņemsim, ka Viconan atrodas apgabala D ādā, ja vēlaties vienu punktu no visas zonas, kurā -? 0. Nekhai, piemēram, punktā P (x0, y0) maєmo: -> 0. Tātad, pārkāpumu kreisajā daļā funkcija ir nepārtraukta, vai tā būs pozitīva un efektīvāka? > 0 nelielā apgabalā D ", lai atriebtu punktu R. Otzhe,
Zvidsi pēc formulas Grіna otrimuєmo, scho
de L` ir kontūra, kas atrodas blakus reģionam D`. Viss rezultāts ir prāta pārņemts. No tā paša, = visos D apgabala punktos, kas jāatnes.
Pestīšana 1. Ar līdzīgu triviālas telpas rangu jūs ar nepieciešamo un pietiekamo prātu varat iegūt neatkarīgu izliektu integrāli
no ceļa integrācijas:
Cieņa 2. Ar prātu uzvaru (52) viraz Pdx + Qdy + Rdz є ar deyakoї funkcijas i sekundāro diferenciāli. Tas ļauj aprēķināt līknes integrāli līdz punktu starpības un integrācijas kontūras punktu vērtībai, lai
Par plašu funkciju klāstu var zināt aiz formulas
de (x0, y0, z0) ir punkts no domēna D, un C ir diezgan nepārtraukts. Tas ir efektīvs, viegli noliekams, bet privāto funkciju sniedz formula (53), kas vienāda ar P, Q un R.
Muca 10.
Saskaitiet otrā veida izliekto integrāli
ar vairākām līknēm no viena un tā paša punkta (1, 1, 1) un (2, 3, 4).
Rekonstrukcija, scho vikonany umovi (52):
Otzhe, funkcija un isnu. Mēs zinām no formulas (53) ar x0 = y0 = z0 = 0.
Šādā rangā funkcija un dizains sākas no precizitātes līdz pirmsfinālam pēc piegādes. Pieņemams C = 0, tood u = xyz. jau,
30. Formula Grіna. Ņemiet vērā izliektā integrāļa neatkarību no integrācijas ceļa.
Grīna formula: Yakshcho C - slēgta starp laukumu D un funkciju P (x, y) un Q (x, y) vienlaikus ar saviem pirmās kārtas privātajiem bērniem. slēgta zona D (ieskaitot kordonu C), tad Grіna formula ir derīga: un apbraukšana ap kontūru C tiek vibrēta tā, ka apgabals D ir pārāk ļauns.
Lekcija: Nenorādiet funkciju P (x, y) un Q (x, y), kuras netiek pārtrauktas D zonā uzreiz ar privātajām pirmajā kārtībā. Kordona integrālis (L), vienkārši atrodieties apgabalā D un novietojiet visus punktus apgabalā D:. Kontūras pozitīvā puse ir viena un tā pati, ja kontūras daļu ieskauj, ir ļaunums.
2. veida izliektā integrāļa neatkarības prāts no integrācijas ceļa. Nepieciešamais un pietiekamais prāts, ka pirmās ģints līknes integrālis, bet no viena un tā paša punkta M1 un M2, neatrodas integrācijas ceļā, bet jāatrodas tikai no vālītes un dažiem punktiem,
.
31. Pirmās un citas ģints, galvenās jaudas un aprēķina virspusēja integrācija.
- virsmas fiksācija.
Projicējot S uz laukuma xy, mēs varam redzēt apgabalu D. Palieliniet apgabalu D ar līniju tīklu uz daļas, ko sauc par Di. No dermas līnijas dermālā punkta to veic paralēli līnijai līdz punktam, kad S ir sadalīts Si. Noliktava integrālajai summai:. Tieši maksimālais diametrs Di līdz nullei :, izmērāms:
Ce pirmās ģints virspusējs integrālis
Tātad vvazhaєtsya virsmas integrālis no pirmās ģints.
Viznachennya ir īss. Kamēr integrālajam sumi ir blāva mala, nav iespējams ar S ražošanas metodi noteikt uz Si pamatplāksnēm un no punktu izvēles, tad mūs sauc par pirmā veida virsmas integrāļiem .
Pārejot no izmaiņām x і y uz u і v:
NS 
Virspusējais integrālis ir mazāk spēcīgs nekā integrāls integrālis. Div. Pārtikā ir vairāk.
Citas ģints virsmas integrāļa apzīmējums, tā pamatjauda un aprēķins. Saite ar pirmās ģints integrāli.
Ļaujiet norādīt virsmu S, ko ieskauj līnija L (3.10. Att.). Tajā pašā laikā uz virsmas S ir noteikta kontūra L, bet ar kordonu L. nav maz miega punktu. Punktā M kontūru L var atjaunināt ar divām normālām virsmas S līnijām. Punktu M ievelk gar kontūru L, un mēs norobežojam normālo līniju.
Ja vālītē punkts M pagriežas tieši aiz normas (nevis pret pretējo), tad virsmu S sauc par divpusēju. Mēs apskatīsim tikai abpusējas virsmas. Divpusēja virsma є be-jaka gluda virsma ar rіvnyannyam.
Nekhai S ir abpusēji atvērta virsma, ko ieskauj līnija L, kurai nav paššķērsojuma punktu. Virsmas vibrējošā puse. To sauks par pozitīvu tieši apejot kontūru L tik taisnu līniju, ar rus, uz kuras aiz virsmas otras puses pati virsma pārklāsies ar ļaunumu. Divpusēju virsmu ar instalāciju uz tās tādā veidā, kas pozitīvi tieši apiet kontūras, sauc par sakārtotu virsmu.
Turpināsim, lai izraisītu citas ģints virsmas integrāli. Plašumā ir divpusēja virsma S, kur to var uzglabāt no shmatki gala numura, tāda paša veida ādas uzdevumiem vai cilindriskas virsmas ar gatavām, paralēlās asis Oz.
Neuztraucieties. ΔSi, ..., ΔSn, jo tas nav miega iekšējie punkti. Uz ādas faila ΔSi vibrē punkts Mi (xi, yi, zi) (i = 1, ..., n). Nekhai (ΔSi) xy - dilyanka ΔSi projekcijas laukums uz koordinātu laukumu Oxy, ņemts no zīmes "+", kā normāls virsmai S punktā Mi (xi, yi, zi) ( i = 1, ..., n) vissyu Oz gostry kut, ar zīmi "-", yakscho tsei kut stulbs. Salokāma neatņemama summa funkcijai R (x, y, z) virs virsmas S virs izmaiņām x, y:. Lai λ būtu lielākais no diametriem ΔSi (i = 1, ..., n).
Ja jūs nenosakāt virsmas S ceļu uz "elementāro" dilenki ΔSi un no punktu vibrācijas, tad mūs sauc par virsmas integrāli gar virsmas S vibrējošajām malām, funkcija y virspusējai integrālei cita ģints) 
.
Līdzīgi ir iespējams izmantot virsmas integrāļus gar koordinātām x, z vai y, z gar virsmas ārējām malām, t.i. E. 
і 
.
Tiklīdz visi integrāļi ir izspēlēti, ir iespējams ievadīt "zalny" integrāli virsmas dinamiskajās pusēs:.
Dažāda veida virspusējs integrālis ar lielām integrāļa pilnvarām. Tas ir bezvērtīgi, ja tas ir kā citas ģints virsmas integrālis, kas liecina par izmaiņām virsmas pusē.
Saikne ir starp pirmās un citas ģints virsmas integrāļiem.
Pieņemsim, ka virsmai S jābūt vienādai ar: z = f (x, y), un f (x, y), f "x (x, y), f" y (x, y) slēgtā stāvoklī bez pārtraukuma funkcijām laukums τ (virsmas S projekcija uz koordinātu laukumu Oxy) un funkcija R (x, y, z) uz virsmas S. ir nepārtraukta. Normāls pret virsmu S, kas var būt tieši cos α, cos β, cos γ, ir apgriezts pret virsmas augšējām malām S. Todi.
Vipadku maєmo:
= 
lekcija 4
Tēma: Formula Grіna. Ievērojiet greizā integrāļa neatkarību integrācijas virzienā.
Grіna formula.
Grіna formula izveidos saikni starp izliektu integrāli gar slēgtu kontūru G apgabalā un apakšintegrālu virs apgabala, ko ieskauj cym kontūra.
Izliekta integrāle gar slēgtu kontūru D apzīmēta ar simbolu Slēgta kontūra D, lai to labotu dziedāšanas vietā. Visā kontūrā un beigās punktā B. Integrālis gar slēgtu kontūru neatrodas B punkta vibratorā.
vērtība 1... Apbraucot kontūru D, esiet pozitīvs, jo, apejot kontūru D, apgabals D tiek aizēnots. G + - kontūra G, kas jādara pozitīvā virzienā, G - - kontūra, kas jādara negatīvā virzienā, tobto in protolezhny right
| G + |
| X |
| Y |
| c |
| d |
| X = x 1 (y) |
| X = x 2 (y) |
| a |
| b |
| B |
| C |
| Y = y 2 (x) |
| Y = y 1 (x) |
| m |
| n |
.
Līdzīgi ir jāziņo, scho:
Ar cieņu (1) un (2) mēs pieņemsim:
jau,
Grіna formula drupinošiem sautējumiem ir īstenota.
cieņa 1... Grіna formula ir uzskatāma par taisnīgu, jo D reģiona robeža G ir vai nu taisnas līnijas, kas ir paralēlas asij 0X, vai 0Y, lai divos punktos pārplūstu vairāk. Grīna formula ir derīga n-viskoziem reģioniem.
Ņemiet vērā greizā integrāļa apgabalu uz integrācijas ceļu apgabalā.
Rindkopas beigās padomājiet par to, kad redzat kādu greizu integrāciju, tā nav integrācijas ceļš, bet gan nolikšana no integrācijas vālītes un galotnes.
1. teorēma... Lai Schob izliekta integrācija 
nenogulot integrācijas ceļu vienmuļā zonā, ar integrāciju ir nepieciešams un pietiekams, lai visas slēgtās gabalos gludās kontūras visā apgabalā būtu līdz nullei.
Pierādījums: nepieciešamība.Ņemot vērā: nelieciet integrācijas ceļā. Liektais integrālis gar jebkuru slēgtu gabalu gludu kontūru ir jānovieto līdz nullei.
Noteiktā noteikšanas apgabalā D nav pietiekami gabala gludas slēgtas kontūras D. Uz kontūras G vienmēr ir punkti B un C.
| G |
| D |
| n |
| m |
| B |
| C |
, Tobto
pietiekamība... Dots: Krivolyniyiniyintegral 
gar slēgtu gabaliski gludu kontūru ceļi ir nulle.
Jāpiebilst, ka integrācija nav integrācijas ceļš.
Skaidri izliekta integrāle gar divām gabalos gludām kontūrām, bet no viena punkta B un C. Aiz izlietnes:
Tobto Vignutius
Integrāls neatrodas integrācijas ceļā.
2. teorēma. Neiztikt bez pārtraukuma vienlaikus ar privātiem bērniem vienas saites zonā D. Par greizu integrāciju 
bez guļus ceļa, integrācija ir nepieciešama un pietiekama, bet D apgabalā ir vairāk
Pierādījums: pietiekamība. Dots:. Līdzi jāņem, scho netraucē integrācijai. Lai atnestu pietiekami visam ceļš līdz nullei gar slēgtu gabaliski gludu kontūru. Grіna maєmo formulai:
Nepieciešamība. Dots: 1. teorēmai - līknes integrālis netraucē integrācijai. Līdzi jāņem, scho
Integrācijas ceļā.
Skaidri greiza 2. veida integrācija, de L- līkne, scho z'єnuє punkts Mі N... laba funkcija P (x, y)і Q (x, y) Maijs bez pārtraukumiem privātajā vēsturē reģionā D, Kopumā gulēt līkni L... Zīmīgi, ka ar jebkāda veida izskatu izliektais integrālis neatrodas līka formā L, Un tikai no punktu rozetēšanas Mі N.
Veica divas nozīmīgas līknes MPNі MQN Gulēt apkārtnē D es jau ņemu punktu Mі N(1. att.).
Q
M N Mazs. 1.
Pieņemami, scho 
, tobto 
Todi, de L- slēgta kontūra, saliekama no līknēm MPNі NQM(Otzhe, jūs varat viņus cienīt). Ar šādu rangu, ņemot vērā 2. veida izliektā integrāļa neatkarību no integrācijas vannas, ir vienlīdz svarīgi domāt, ka šāds integrālis jebkurā slēgtā kontūrā ir nulle.
biļetes numurs 34.Pirmās ģints virsējais integrālis (uz virsmas)
Redzama neslēgta virsma S, Ieskauj kontūra L, І rozib'єmo її būt līdzīgas līknes uz detaļas S 1, S 2, ..., S n... Viberemo ādas daļas punktā M i Es projicēju daļu uz punktētas vietas uz virsmu, lai tā varētu iziet cauri punktam. Otrimaєmo figūras projekcijas plaknē ar laukumu T i... To sauc par ρ labāko virsmu starp diviem virsmas punktiem S.
Uzņēmējdarbības vērtība 12.1. nosaukts apgabalā S virsma pierobežas sumi apgabals T i plkst
Pirmās ģints virspusējs integrālis.
Dejaku virsma ir redzama S, Ieskauj kontūra L, І rose'єmo її daļēji S 1, S 2, ..., S lpp(Ar visu ādas daļas laukumu tas var būt nozīmīgs Lpp). Neejiet uz dotās funkcijas virsmas ādas punktu f (x, y, z). Viberemo ādas daļā S i punkts M i (x i, y i, z i) uzglabāšana par integrētu summu
. (12.2)
Uzņēmējdarbības vērtība 12.2. Yakshcho іsnu kintseviy robeža ar neatņemamu sumi (12.2), bet netraucē daļas veidošanai un punktu izvēlei M i, To sauc pirmā veida funkciju virsmas integrālis f (M) = f (x, y, z) uz virsmas S Es zinu
Cieņa. Pirmā veida virspusējais integrālis ir visspēcīgākās integrāļu autoritātes (linearitāte, doto funkciju integrācija atbilstoši dažām noteiktās virsmas daļām utt.).
Pirmā veida virsmas integrāļa ģeometriskās un fiziskās izmaiņas.
Yaksho pіdіntegralnа funkcija f (M)≡ 1, tad no vērtības 12,2 viplivaє, atklātas virsmas ceļa virsmām S.
. (12.4)
Pirmā veida virsmas integrāļa Dodatok.
1. Izliektas virsmas laukums, līdzena virsma z = f (x, y), Jūs varat zināt no viglyad:
(14.21)
(Ω - projekcija S uz Pro laukumu hu).
2. Masa virsmas
(14.22)
3. Mirkļi:
statiski momenti koordinātu zonu virsmas O xy, O xz, O yz;
Koordinātu asu virsmas inerces momenti;
Koordinātu zonu virsmas inerces momenti;
- (14.26)
Virsmas inerces moments ir koordinātu vālīte.
4. Koordinēt virsmas centru:
. (14.27)
Biļetes numurs 35. Pirmā veida virspusējā integrāļa aprēķins (pirmā samazināšana līdz daudzkārtnei).
Mijas ar vipad, ja virsma S skaidri pajautājiet sev, lai iegūtu to pašu z = φ (x, y)... Tajā pašā laikā slīdes virsmas laukuma vērtība,
S i =, De Δ σ i - projekcijas apgabals S i uz Pro laukumu hu, a γ i- кут між віссю O z normāli pret virsmu S punktā M i... Vidomo scho
,
de ( x i, y i, z i) - punktu koordinātas M i... Sekojoši,
Ievadiet viraz formulā (12.2),
,
De pidsumovannya labajā pusē tiek veikta gar Pro zonas apgabalu Ω hu, Scho є projekcija uz qiu virsmas laukuma S(1. att.).
S: z = φ (x, y)
Δσ iΩ
Tajā pašā laikā labajā pusē tiek atveidota neatņemama summa divu ziemu funkcijai gar līdzenu laukumu, tāpat kā robežās ar apakšintegrāciju.
(12.5)
Cieņa. Vēlreiz jāprecizē, ka formulas (12.5) kreisajā daļā tas ir virspusējs neatņemama un labajā pusē - vergs.
Biļetes numurs 36.Citas ģints virspusējs integrālis. Potika vektora lauks. Saikne ir starp pirmās un citas ģints virsmas integrāļiem.
Potika vektora lauks.
Nav redzams vektors A (M), Pevne plašajā teritorijā G, uz gludas virsmas S G. i atsevišķu normālu lauks NS (M) virsmas otrā pusē S.
Uzņēmējdarbības vērtība 13.3. Pirmā veida virspusēja integrālis
,
(13.1)
de An ir saistīto vektoru skalārais papildinājums, un A n- vektoru projekcija A parastā normāli, sauc plūsmas vektora lauks A (M) caur virsmas sāniem S .
Cieņa 1. Ja vibrējat virsmas malā, tad tas ir normāli, bet, tik viegli, un tāpēc ir iespējams mainīt zīmi.
Respekts 2. Jakšo vektors A iestatiet līnijas ātrumu dotajā punktā, tad integrālis (13.1) apzīmē līniju skaitu, kas iziet cauri virsmai vienas stundas laikā S pozitīvā virzienā (zvidsy zagalny termins "potik").
Skaidri greiza integrācija
ņemot plakanu līku deyakoy L, Scho z'єnuє punkts Mі N... Mēs atļausim piemaksas par funkcijām P (x, y)і Q (x, y) Maijs bez pārtraukumiem privātajā vēsturē šajā reģionā D... Z'yasuєmo, kam prāts rakstīt līknes integrāciju nav izliekts L, Un nolieciet tikai no vālītes un uzgaļu punktu stāvokļa Mі N.
Divi skaidri līkumi MPNі MQN Gulēt noteiktā vietā D es jau ņemu punktu Mі N... čau
(1)
Todi pēc iestāžu iesnieguma 1. un 4. greizā mamo integrācija:
tobto slēgtās cilpas integrālis L
Pārējā formulā fiksētais līknes integrālis gar slēgtu cilpu L, Pievienojiet līknes MPNі NQM... tsey kontūra L Acīmredzot ir iespējams cienīt tos, kas ir apmierināti.
Ar šādu rangu noliedziet:
jebkuriem diviem punktiem M un N līknes integrālis neatrodas vienas līknes formā, bet tikai šo punktu pozīcijā, scho līknes integrālis gar jebkuru slēgtu ceļa kontūru līdz nullei .
Ir godīgi teikt, ka tā ir taisnība.
ja izliekts integrālis gar jebkuru slēgtu kontūru ir nulle, tad viss izliektais integrālis neatrodas izliekta formā, bet ir divi punkti, un apgulties tikai no cich pozīcijas punktu . Laba, laba vērtība (2) nākamā vērtība (1)
teorēma
Neizmantojiet funkcijas P (x, y), Q (x, y) visos dejako apgabala D funkciju punktos vienlaikus ar savu privāto veco un bez pārtraukuma. Todi, lai izliektu integrāli pa jebkuru slēgtu kontūru L, kas atrodas th reģionā, pazeminātu līdz nullei, lai
(2)
tas ir vajadzīgs un pietiekams
visos apgabala punktos D.
Dovedennya
Skaidri redzama slēgta cilpa L apgabalā D un jaunajam mēs varam uzrakstīt Grіn formulu:
Tiklīdz jūs redzat vārdu (3), tad pakārtoto integrāli, kas ir rokas vērts, var arī samazināt līdz nullei un, no tā paša,
Šādā rangā, pietiekamība prāts (3) celta.
darīts tagad nepieciešamība padomājiet par to, lai būtu skaidrs, ka uzvarēt ir vienādi (2) L apgabalā D Pēc tam reģiona ādas punktā tiek parādīts prāts (3).
Pieņemams, navpaki, ko parlauks (2) vikonutsya, tobto
bet umova (3) nav apmeklētājs, tobto
Es gribētu būt vienā punktā. Nekhai, piemēram, deyakiy point maєmo nervnist
Tātad, tāpat kā pārkāpumu kreisajā daļā, funkcija ir nepārtraukta, tad tā būs pozitīva un visos punktos būs vairāk nekā noteikts skaitlis, ir iespējams sasniegt nelielu platību, tātad punktu slaucīt. Attīstības rezultātā visā reģionā notiek arī pakārtota integrācija. Vīne būs pozitīvāka. tiešām,
Kopā ar formulu Grіna lіva daļa no atlikušajiem nelīdzenumiem ceļa līknes integrācijā gar reģiona robežām, kas par piemaksām uz ceļa ir nulle. Pārējā neatbilstība ir arī prātu pārrunāšana (2), un tas nozīmē, ka tā nav taisnība. Zvidsey viplivaє, scho
visos dotā reģiona punktos D.
Šādā rangā teorēma ir izvirzīta priekšplānā.
Diferenciālās izglītības gadījumā bulo tika audzināts,
vienlīdz ar to, ka viraz Pdx + Qdy functional papildu funkcionālo funkciju diferenciālis u (x, y), Tobto
Ale in tsyom vipadku vector
pakāpeniskas funkcijas u (x, y);
funkciju u (x, y), Gradients vektoram, sauc potenciāls th vektors.
Atnests tev, scho visdažādākajā greizajā integrācijā gar līkni L starp diviem punktiem M un N atšķirība ir funkcijas vērtība pie punktu skaita:
Dovedennya
yaksho Pdx + Qdyє pārskatīt diferenciālo funkciju u (x, y), Tas ir izliekts un integrēts nabude viglyadu
Integrāla aprēķināšanai uzrakstiet parametru līkni L, Scho z'єnuє punkts Mі N:
Viraz, stāvēt arkās, є funkcija no t, Scho є ar kopēju t... Toms
Jak mi Bachimo, līknes integrālis no galvenā diferenciāļa nav izliekts.
Šajā rangā:
runā par II veida greizo integrāļu neatkarību no formas līdz uzbrukuma ceļa integrācijai:
Jakšo reģionā P (x, y)і Q (x, y) nepārtraukts uzreiz ar savu i, tad:
1. apgabalā D nemelo formā integrācijas ceļš, kur ir gabalos gludo līkņu vērtība Gulēt noteiktā zonā un, kā jums var būt spilgta auss un zelta gals tomēr.
2.Integral uzdovzh būt kā slēgts greizs L Gulēt apkārtnē D ceļš līdz nullei.
3.Insnu šāda funkcija u (x, y) Par ko viraz Pdx + Qdy differential jauns diferenciālis, tobto
P (x, y) dx + Q (x, y) dy = du.
4. konkrētajā visonuvalia b umova reģionā
ādas zonā D.
Lai aprēķinātu integrāli, nenolieciet integrālā kontūru
nākamā vibrācija Jaunā ceļa kvalitātē, lai integrētu lamanu, kas iegūts no punkta i, lankas, kas ir paralēla asīm Oh un Oy.
pidintegralny viraz P (x, y) dx + Q (x, y) dy ja uzvaras ir lielas є Atgādināsim diferenciāli darbības funkcijas u = u (x, y) tobto
du (x, y) = P (x, y) dx + Q (x, y) dy
funkciju u (x, y)(Pirmkārt) jūs varat zināt, kā aprēķināt aptuveno līknes integrāli saskaņā ar lamania de - ja punkts ir fiksēts, B (x, y) ir maiņas punkts, un punkts ir ma koordinātas NS i. Todi vdovzh maєmo i dy = 0, Un vdovzh maєmo x = konstі dx = 0.
Es ņemšu formulu:
Līdzīgi, integrējot saskaņā ar lamaniy de otrimaєmo
uzvilkt
1.
saskaitīt 
Daniyintegral neatrodas integrācijas kontūrā, tāpēc
Viberemo, lai integrētu lamanu, lanku, kas ir paralēla koordinātu asīm. Pirmajā dienā:
Citos datumos:
jau,
2. vispirms zini u, jaksho
Brauciens un kontūra Pirmsє lamāna OMN... Todi
3. Ziniet, kā
šeit vālītes punkts Uz vālītes nav iespējams uzņemt koordinātas, tātad funkcijas tsy punktā P (x, y)і Q (x, y) nevis viznachenі, bet, piemēram, vālītes punktam vіmemo ,. Todi
4. Ziniet apgabalu, ko ieskauj elipi
Figūru laukums, kas izaudzis KHOU apgabalā un ko ieskauj slēgta līnija C, tiek aprēķināts pēc formulas
,
de kontūra C tiek apieta pozitīvā virzienā.
Pārrakstīja greizo integralu dziedošajā,
parametrs t testa vērtība no 0 līdz 2π.
Šis rangs
3. Piekārta izliekta integrāle gar loka L, yaksho L- tse cikloīda arka
UZŅĒMĒJI TEMĀ "līknes integrācija"
1. variants
De L - no taisna punkta A (0; -2) і B (4; 0) gulēt uz XOY apgabala.
udovzh lamanoi L: OAB, de O (0,0), A (2,0), B (4,5). Apiet bultiņas pretēji pulksteņrādītāja virzienam kontūru.
Aiz koordinātēm, kur L - elipses loka atrodas pirmajā ceturksnī.
De L - tricikla kontūra ar virsotnēm A (1,1), B (2,2), C (1,3). Apiet bultiņas pretēji pulksteņrādītāja virzienam kontūru.
, Zinu yogo.
7. Spēka lauku nosaka spēks F (x, y), jo punkti atrodas pie koordinātu vālītes un iztaisnojas koordinātu vālītē. Zināt lauka spēka robotu materiālais punkts viena masa ar dus parabolu y 2 = 8x no punkta (2, 4) līdz punktam (4; 4).
2. variants
1. Aprēķiniet izliekto integrāli gar loka (Dekarta koordinātas).
De L ir taisna līnija no viena punkta O (0; 0) un A (1; 2).
2. Aprēķināt līknes integrāli 
, Kur L ir parabolisks loks no punkta A (-1; 1) līdz punktam B (1,1). Apiet bultiņas pretēji pulksteņrādītāja virzienam kontūru.
3. Aprēķiniet līknes integrāli 
kur L - apļveida loka 
gulēt 1 vai 2 kvadrātā. Apiet gada bultiņas kontūru.
4. Stagnējošā formula Grіna, aprēķiniet integrāli, de L - kontūru, līnijas un vispārējās ass OX apgalvojumus pretējā virziena Obhid kontūrā.
5. Instalējiet, lai redzētu integrāļa neatkarību no integrālā ceļa 
, Zinu yogo.
6. Pārskatīšana, uzdevumu skaits viraz ar atšķirīgu funkcijas diferenciāli U (x, y), un zināt її.
7. Spēka lauka ādas punktā spēks ir tieši negatīvs uz ordinātu un uzliktā punkta abscisas kvadrātu. Ziniet robota lauku, pārvietojot vienu masu ar parabolu no punkta (1.0) uz punktu (0.1).
3. variants
1. Aprēķiniet izliekto integrāli gar loka (Dekarta koordinātas).
1. de L - parabolas loku paceļ parabola.
2. Aprēķināt līknes integrāli 
kā L- taisna līnija, no punkta A (0,1), B (2,3). Apiet bultiņas pretēji pulksteņrādītāja virzienam kontūru.
3. Saskaitiet izliekto integrāli, kur L ir cikloīda pirmā loka loka, apejot kontūru aiz bultiņas uzgaļa.
4. Zastosovyuchi formula Grіna, aprēķiniet integrāli 
de L - elips Novērst pretēji pulksteņrādītāja virzienam vērstās bultiņas kontūru.
5. Instalējiet, lai redzētu integrāļa neatkarību no integrālā ceļa 
, Zinu yogo.
6. Pārskatīšana, uzdevumu skaits viraz ar atšķirīgu funkcijas diferenciāli U (x, y), un zināt її.
7. Aprēķiniet robota spēku, kad materiāla punkts ir nobīdīts elipses augšējā pusē 
no punkta A (a, 0) līdz punktam B (-a, 0).
4. variants.
1. Aprēķiniet izliekto integrāli gar loka (Dekarta koordinātas).
1.de L - kvadrāta kontūra
2. Aprēķināt līknes integrāli 
kur L ir punkta A (0,0) parabolas loka līdz punktam B (1,1). Apiet bultiņas pretēji pulksteņrādītāja virzienam kontūru.
3. Aprēķiniet līknes integrāli yaksho L - elipses augšējā puse 
Apiet gada bultiņas kontūru.
4. Zastosovjuči Grīna formula, aprēķiniet integrāli de L - trīsriteņa kontūru ar virsotnēm A (1; 0), B (1; 1), C (0,1). Apiet bultiņas pretēji pulksteņrādītāja virzienam kontūru.
6. Pārskatīšana, uzdevumu skaits viraz ar atšķirīgu funkcijas diferenciāli U (x, y), un zināt її.
7. Staba ādas punktā tiek pielikts spēks, kas tiek pielikts uz koordinātu asi є 
Vizuāli robots būs spiests pārvietot uz likmes materiālos punktus. Kāpēc robots jānogādā līdz nullei?
5. variants.
1. Aprēķiniet izliekto integrāli gar loka (Dekarta koordinātas).
De L - taisna līnija, scho no apakšējā punkta 0 (0,0), і А (4; 2)
2. Aprēķiniet izliekto integrāli, kur L ir izliektās līnijas loka no punkta A (0,1) līdz punktam B (-1, e). Apiet bultiņas pretēji pulksteņrādītāja virzienam kontūru.
3. Saskaitiet izliekto neatņemamo jaksčo L - 1. ceturkšņa likme 
Apiet gada bultiņas kontūru.
4. Zastosovyuchi formula Grіna, aprēķiniet integrāli 
de L - kontūra, aptverot pret spoku līnijas kontūru.
5. Instalējiet, lai redzētu integrāļa neatkarību no integrālā ceļa 
, Zinu yogo.
6. Pārskatīšana, uzdevumu skaits viraz ar atšķirīgu funkcijas diferenciāli U (x, y), un zināt її.
7. Lauks tiek apstiprināts ar spēku / / = taisns jaiks, lai kļūtu par kut ar taisnu rādiusu - punkta vektors її zasosuvannya. Ziniet lauka robotu, kad m masas materiālais punkts ir pārvietots no punkta (a, 0) uz punktu (0, a).
6. variants.
1. Aprēķiniet izliekto integrāli gar loka (Dekarta koordinātas).
De L - ceturtdaļa apļa, lai gulētu I laukumā.
2. Aprēķināt līknes integrāli 
kur L - lamana ABC, A (1; 2), B (1; 5), C (3; 5). Apiet bultiņas pretēji pulksteņrādītāja virzienam kontūru.
3. Saskaitiet izliekto integrāli, kur L ir apļa augšējā puse 
Apiet gada bultiņas kontūru.
4. Zastosovyuchi Grіna formulu, aprēķiniet integrālo de L - kontūru, ielenkumu, obhida kontūru anti -godinnikovaya bultiņai.
5. Instalējiet, lai redzētu integrāļa neatkarību no integrālā ceļa 
, Zinu yogo.
6. Pārskatīšana, uzdevumu skaits viraz ar atšķirīgu funkcijas diferenciāli U (x, y), un zināt її.
7. Lai zinātu robotam atsperes spēku, taisni uz koordinātu vālīti, kur spēka pielietošanas punkts aprakstīs elipses pusi pret veco bultiņu 
gulēt I kvadrantā. Spēka vērtība ir proporcionāla redzamajam punktam no koordinātu vālītes.
7. variants.
1. Aprēķiniet izliekto integrāli gar loka (Dekarta koordinātas).
Parabola de L daļa no punkta (1, 1/4) līdz punktam (2; 1).
2. Aprēķināt līknes integrāli 
de L - taisna līnija, bet no apakšējā punkta B (1; 2) un B (2; 4). Apiet bultiņas pretēji pulksteņrādītāja virzienam kontūru.
3. Saskaitiet izliekto integrālo yakshcho L - cikloīda Obhida Persha arku kontūru aiz vecās bultiņas.
5. Instalējiet, lai redzētu integrāļa neatkarību no integrālā ceļa 
, Zinu yogo.
6. Pārskatīšana, uzdevumu skaits viraz ar atšķirīgu funkcijas diferenciāli U (x, y), un zināt її.
7. Vienas masas materiālais punkts tiek pārvietots pa apkārtmēru pirms nākamā spēka, kas projicēts uz ass koordinātām. 
... Stimulējiet ādas kolas vālītes spēku. Ziniet robotu gar kontūru.
8. variants.
1. Aprēķiniet izliekto integrāli gar loka (Dekarta koordinātas).
De L ir taisnstūra kontūra ar virsotnēm punktos 0 0 (0; 0), A (4; 0), B (4; 2), C (0; 2).
2. Saskaitiet izliekto integrāli, kur L ir parabolas loks no punkta A (0; 0) līdz punktam B (1; 2). Apiet bultiņas pretēji pulksteņrādītāja virzienam kontūru.
3. Aprēķiniet līknes integrāli 
kur L ir apļa daļa 
gulēt kvadrātā 1. Aizvērt kontūru aiz vecās bultiņas.
4. Zastosovyuchi formula Grіna, aprēķiniet integrāli 
de L - tricikla kontūra ar virsotnēm A (0; 0), B (1; 0), C (0; 1).
5. Izveidot, saskatīt integrāļa neatkarības prātu no integrāļa ceļa un to zināt.
6. Pārskatīšana, uzdevumu skaits viraz ar atšķirīgu funkcijas diferenciāli U (x, y), un zināt її.
7. Materiālais punkts pārvietojas pa e -pastu 
ar spēku vērtība, kas virzās uz punktu līdz elipses centram un tiek iztaisnota līdz elipses centram. Uzskaitiet robota spēku, jo mērķis ir apiet visu e -pastu.
9. variants.
1. Aprēķiniet izliekto integrāli gar loka (Dekarta koordinātas).
De L - paraboles loks, kas atrodas starp punktiem
A, B (2; 2).
2. Aprēķināt līknes integrāli 
kur L ir taisna līnija, bet no apakšējā punkta A (5; 0) un B (0,5). Apiet bultiņas pretēji pulksteņrādītāja virzienam kontūru.
3. Aprēķiniet izliekto integrāli, kur L ir elipses loka starp punktiem, kas apzīmē kontūru aiz gareniskās bultiņas.
4. Zastosovyuchi Grіna formula, aprēķiniet pretējā virziena kontūru L - kolo Obhіd.
5. Instalējiet, lai redzētu integrāļa neatkarību no integrālā ceļa 
, Zinu yogo.
6. Pārskatīšana, uzdevumu skaits viraz ar atšķirīgu funkcijas diferenciāli U (x, y), un zināt її.
7. Līknes ādas punktā tiek pielikts spēks, kas tiek projicēts uz koordinātu asi є Vizuāli robots ir spiests pārvietot vienas masas materiālo punktu pa līknēm no punkta M (-4; 0) uz punkts N (0; 2).
10. variants.
1. Aprēķiniet izliekto integrāli gar loka (Dekarta koordinātas).
De L ir taisnas līnijas segments, scho no apakšējā punkta A
2. Saskaitiet izliekto integrāli, kur L ir izliektā loka no punkta A (1; 0) līdz B (e, 5). Apiet bultiņas pretēji pulksteņrādītāja virzienam kontūru.
3. Vich_slіt izliekts integrālis іkscho L - apļa loka gulēt 1U laukumā. Apiet gada bultiņas kontūru.
4. Zastosovyuchi Grіna formula, aprēķiniet integrāli de L - trīsriteņa kontūru ar virsotnēm A (1; 0), B (2; 0), C (1; 2). Apiet bultiņas pretēji pulksteņrādītāja virzienam kontūru.
5. Instalējiet, lai redzētu integrāļa neatkarību no integrālā ceļa 
, Zinu yogo.
6. Pārskatīšana, uzdevumu skaits viraz ar atšķirīgu funkcijas diferenciāli U (x, y), un zināt її.
7. Līnijas ādas punktā tiek pielikts spēks, projekcija uz koordinātu ass. Aprēķiniet robotu, kas sadalīts ar spēku, kad materiāla punkts tiek pārvietots pa M (1; 0) līniju uz punktu N (0) ; 3).
