Trešais integrālis muca cilindriskajās koordinātās. Integrāļa izmaksu aprēķināšana. Izliektas koordinātu sistēmas. Ko nozīmē skaitīt nevajadzīgo integrāli un arī

Pārvietosim divas taisnas koordinātu sistēmas telpā un
, I funkciju sistēma

(1)

kā izveidot savstarpēji nepārprotamas attiecības starp noteiktu reģionu punktiem
і
qix koordinātu sistēmās. Jāatzīst, ka sistēmas (1) funkcijas var būt iekļautas
nepārtraukti privāti žurnāli. Karšu turētājs, privātu veco uzglabāšana

tiek saukti par sistēmu un funkciju jakobu (pazīstams arī kā jakobu) (1). Mēs to atlaidīsim
v
.

Ja ēdiens tiek barots ar nepietiekamu uzturu, tiek ieviesta jauna formula ziemas aizstāšanai patērētāju integrācijā:

Jak ir apakšintegrācijas laikos, apmaiņā pret sistēmas unikalitāti (1)
var būt porains punktu malās, līniju malās un virsmu malās.

Funkciju sistēma (1) ādas punkti
beigās liec vienu punktu
... Trīs skaitļi
izsaukt punkta izliektās koordinātas ... norādiet uz atvērto telpu
, Kurai no zhih koordinātēm zberіgaє pastāvīgi ir vērtība, iestatiet sov. koordinātu virsma.

II Sekundārais integrālis cilindriskās koordinātās

Cilindriskā koordinātu sistēma (CSK) ir balstīta uz laukumu
, Polārā koordinātu sistēma ir dota yakіy
, Perpendikulāri laukumam. Punkta cilindriskās koordinātas
, de
- punkta polārās koordinātas - prognozes okulāri uz laukuma
, a - visa projekcijas punkta koordināta par brīvu
abo
.

Netālu no teritorijas
Ieviests pēc Dekarta koordinātu secības,
CSK. Tagad nav ļoti svarīgi noteikt formulas, kas izsauc cilindriskās koordinātas ar Dekarta formu:

(3)

Formulas attēlo visu teritoriju
.

Koordinātu virsmas šajā skatā būs:

1)
- cilindriskas virsmas ar cietu, paralēli asij
, Kas jums palīdzēs kalpot šajā teritorijā
, Ar centru punktos ;

2)

;

3)
- apgabals, paralēlais laukums
.

Jēkaba sistēma (3):

Sākotnējā formula CSK formā tiek uzskatīta par:

cieņa 1 . Ieteicams pāriet uz cilindriskām koordinātām, ja integrācijas apgabals ir apļveida cilindru ķēde vai konuss, vai parabolisks iesaiņojums (vai daļa), ar kuru no konstrukcijas tiek veidota visa struktūra
.

Cieņa 2. Cilindriskās koordinātas var paslēpt tāpat kā apgabala polārās koordinātas.

Muca 1. Aprēķiniet trešās puses integrāli no funkcijas

pēc reģiona
, Kas ir cilindra iekšējā daļa
, Ieskauj konuss
un parabolisks
.

Lēmums. Cji reģions tika aplūkots arī 2.§, 6.puse, un tika pārnests uz standarta ierakstu DPSK. Tomēr integrāla aprēķins visā reģionā ir svarīgs. Dodamies uz CSK:

projekcija
tila
uz laukuma
- tse colo
... Otzhe, koordinē mainīt no 0 uz
, a - no 0 līdz R. Caur noteiktu punktu
veic taisni, paralēli asij
... Dodieties tieši uz
uz konusa un uz paraboloīda. Ale konuss
maє in CSK рівняння
, Paraboloīds
- rivnyannya
... Otzhe, mamo

III Sekundārais integrālis sfēriskajās koordinātās

Sfēriskā koordinātu sistēma (SSC) ir
, Yak_y ir iestatīts UCS, і vіssu
, Perpendikulāra zona
.

Sfērisko punktu koordinātas dod atstarpi trim skaitļiem
, de - punkta projekcijas polārais griezums uz laukuma
,- кут між віссю
i vektors
і
.

Netālu no teritorijas
ieviesa Dekarta koordinātu asis
і
augstākā pakāpe, un samita lietotne ir
... Formulas sfērisko koordinātu izsaukšanai ar Dekarta koordinātām ir šādas:

(4)

Formulas atveido laukumu visā telpā
.

Jēkaba sistēmas un funkcijas (4):

Koordinātu virsmām ir trīs saimes:

1)
- koncentriskas sfēras, kuru centrā ir koordinātu vālīte;

2)
- pivploshini, scho iziet cauri virvei
;

3)
- apļveida konusi ar vālītes augšdaļu, kas kalpo pakarināšanai
.

Formula pārejai uz SSK patērētāju integrācijā:

Cieņa 3. Ieteicams pāriet uz SSK, ja integrācijas apgabals ir tā sastāvdaļa. Tajā pašā sfēru līmenī
iet uz. Yak i CSK, skatīts iepriekš, SSK ir "piesaistīts" asij
... Kā kompensācijas sfēras centrs koordinātu ass rādiusā, tad, mainot sfērisko asi, tiek atpazīts vienkāršākais sfēriskais līdzsvars
:

Cieņa 4. Nevar izmantot SSK:

ar Jēkabu
... Qia funkciju sistēma tulko e-pastu

"paralēlskaldnē"

Muca 2. Ziniet dzesētāja rādiusa viduspunktu ej uz centru.

Lēmums. Nagadaєmo, funkcijas vidējā vērtība
apgabalā
- daudzas noderīgas integrētas funkcijas piegādes jomā vispārējai teritorijai. Mūsu vipadku

Otzhe, mamo

Apakšintegrāla reinkarnācija no taisnstūra koordinātām, uz polārajām koordinātām
, Pov'yazanikh ar taisnas līnijas koordinātām
,
, Meklējiet formulu

Yaksho reģions іntegruvannya
divu vālu ieskauts
,
(
), Kas iziet no poliem, un divas līknes
і
Pēc tam apakšintegrāciju aprēķina pēc formulas

Pieteikums 1.3. Saskaitiet figūriņu laukumu, ko ieskauj šīs līnijas:
,
,
,
.

Lēmums. Lai aprēķinātu reģiona platību
ātri pēc formulas:
.

iedomājama joma
(1.5. Att.). Daudzām rekonstruētām līknēm:

,
,

,
.

Pāriesim pie polārajām koordinātām:

,
.

Polāro koordinātu sistēmās apgabals
aprakstījis rіvnyannyi:

1.2. patērētāju integrācija

Trešo integrāļu galvenās pilnvaras ir analogas pakārtoto integrāļu pilnvarām.

V Dekarta koordinātas Izmantojiet trešās puses integrāciju, lai to pierakstītu šādi:

yaksho
, Tas ir trešais integrālis reģionā skaitliski dorіvnyє obsyagu tila :

Patērētāja integrāļa aprēķins

Ļaujiet reģionam integrēties apakšā un augšā norobežota ar acīmredzami nepārprotamām, netraucētām virsmām
,
, Un reģiona projekcija uz koordinātu apgabalu
є līdzena teritorija
(1.6. Att.).

Todi ar fiksētām vērtībām
lietojumprogrammu veids reģiona punkti robežu maiņa.

Todi otrimuєmo:

Yaksho, turklāt projekcija
jāsāk ar pārkāpumiem

,
,

de
- nepārprotami bez pārtraukuma funkcijas ieslēgtas
, tad

Pieteikums 1.4. saskaitīt
, de - tilo, apkārtnē:

,
,
,
(
,
,
).

Lēmums. Integrācijas apgabals є piramīda (1.7. Att.). apgabala projekcija є trīsritenis
, Savīti ar taisnām līnijām
,
,
(1.8. Att.). plkst
piemērot punktus
apmierināti ar pārkāpumiem
, tas

Razstavlyayuchi mezhі integrācija trīsriteņiem
, otrimaєmo

Trešais integrālis cilindriskās koordinātās

Dodoties no Dekarta koordinātām
uz cilindriskām koordinātām
(1.9. Att.), Adīts ar
spivvidnoshennymi
,
,
, Turklāt

,
,,

Noderīga integrālā sastāvdaļa atkārtotai ieviešanai:

Muca 1.5. Aprēķiniet ķermeņa garumu, ko norobežo virsmas:
,
,
.

Lēmums. Shukaniy obsyag tila durvis
.

Integrācijas zona ir cilindra daļa, ko ierobežo zemāk esošā zona
, Un virs apgabala
(1.10. Att.). apgabala projekcija є kolo
centrā ir koordinātu vālīte un viens rādiuss.

Pāriesim pie cilindriskām koordinātām.
,
,
... plkst
piemērot punktus
, Apmierināts ar pārkāpumiem

par cilindriskās koordinātas:

novads
, Līknes ieskauts
, Nabude viglyadu, abo
, Pri ts'omu polar kut
... Paņem maisu mamo

2. Lauku teorijas elementi

Nagadamo izliekto un virsmas integrāļu aprēķināšanas veidu priekšā.

Liektā integrāļa aprēķins funkciju koordinātām, līkņu vērtības , Tas ir veidots, lai aprēķinātu dziedāšanas neatņemamu prātu

yaksho greizs norādīts parametriski
vidpovidaє vālītes punkts greizs , a
- її kіntsevіy punkti.

Virsmas integrāļa aprēķins no funkcijas
Paredzēts uz abpusējas virsmas , Tas ir veidots, aprēķinot apakšintegrāli, piemēram, formā

yaksho virsma , Ņemot vērā rivnyannyam
, Viennozīmīgi izstrādāts šai teritorijai
uz reģionu
... šeit - kut mіzh viens parasts vektors uz virsmu es vissyu
:

Prātam ir vajadzīga virsmas labā puse To ierosina formulas (2.3.) Tipa zīmes vibrators.

Uzņēmējdarbības vērtība 2.1. vektora lauks
saukt par punkta vektora funkciju
vienlaikus ar apgabalu її visašenja:

vektors no kastes
ko raksturo skalārā vērtība - atšķirības:

Uzņēmējdarbības vērtība 2.2. straume vektora lauks
pāri virsmai sauc par virsmas integrāli:

de - viens normāls vektors pretējā virsmas pusē , a
- skalāru papildvektori і .

Uzņēmējdarbības vērtība 2.3. cirkulē vektora lauks

uz slēgts greizs saukt par greizu integrāli

de
.

Ostrogradska-Gausa formula Es instalēšu saites starp vektora lauka plūsmu caur slēgtu virsmu lauku atšķirības:

de - virsma, ko ieskauj slēgta kontūra , a - viens normāls vektors visai virsmai. Taisns normāls maє, bet tas ir poddzheno ar tiešu kontūras apvedceļu .

Pieteikums 2.1. Saskaitiet virsmas integrāli

de - konusa daļas nosaukums
(
), Vidsіkati apgabals
(2.1. Attēls).

Lēmums. virsma viennozīmīgi projekts šajā jomā
apgabalā
, I integrāli aprēķina pēc formulas (2.2).

Viens vektors, kas ir normāls virsmai mēs zinām no formulas (2.3):

Šeit viraz normālam ir plus zīme, tāpēc jaku kut між віссю
un normāli - stulba es, tas pats,
vainīgs, bet negatīvs. Vrahoyuchi scho
, uz virsmas otrimmo

novads
є kolo
... Šajā pēdējā integrālē mēs pārietam uz polārajām koordinātām ar
,
:

2.2. Papildinājums. Ziniet vektora lauka novirzi un rotoru
.

Lēmums. Formulai (2.4) mēs ņemam mo

Dotā vektora lauka rotors ir zināms ar formulu (2.5)

2.3. Papildinājums. Ziniet vektora lauka cēloni
caur daļu teritorijas :
, Roztashovan pirmajā oktantā
).

Lēmums. Saskaņā ar formulu (2.6)

Acīmredzot daļa no teritorijas :
, Roztashovanu pirmajā oktantā. Rivnyannya no konkrētā apgabala vidrizki maє viglyad

(2.3. Att.). Parastais vektors ma koordinātas laukumam:
, Viens normāls vektors

,
, zvaigznes
, Otzhe,

de
- teritorijas projekcija uz
(2.4. Att.).

Lietojumprogramma 2.4. Aprēķiniet vektora lauka plūsmu caur slēgtu virsmu , Ražots pēc apgabala
es esmu konusa daļa
(
) (2.2. Att.).

Lēmums. Skoristaєmosya pēc Ostrogradska-Gausa formulas (2.8)

Mēs zinām vektoru lauka atšķirības šādu formulu (2.4):

de
- obsyag konuss, jo jakims tiek integrēts. Skoristaєmosya vіdomoyu formula konusa neķītrības aprēķināšanai
(- konusa rādiuss, - jogo visota). Mūsu vipadku atpazīs
... atlikušais

2.5. Pielikums. Saskaitiet vektora lauka apriti
gar kontūru , Osvіchenіy peretin virs virsmas
і
(
). Pārvērtējiet Stoksa formulas rezultātu.

Lēmums. Ievērojamu virsmu eret apkārtmērs
,
(2.1. Att.). Vibiratsja taisni apkārt, apejot tā, ka apkārtni ieskauj dusmas. Rakstāma parametru kontūra :

zvaigznes

un parametrs mainīt no pirms tam
... Formulai (2.7) ar vienādojumiem (2.1) un (2.10) mēs varam secināt

Zastosuєmo tagad Stoksa formula (2.9). Jak virsma , Izstiepts uz kontūras , Jūs varat uzņemt daļu teritorijas
... taisni normāli
līdz virsmas centram, izmantojiet tiešu kontūras apvedceļu ... Dotā aprēķina vektora lauka rotors lietojumprogrammā 2.2.
... Toma Šukana tirāža

de
- apgabala platība
.
- colo rādiuss
, zvaigznes

Patērētie integrāļi. Aprēķināts obsyagu tila.
Trešais integrālis cilindriskās koordinātās

Trīs dienas dekanātā, kas gulēja Pitagora biksēs,
Fikhtengolts rokās ir neliels apdares apjoms,
Līdz brīdim, kad viņi sasēja trešo integrāli un ietina līķi matricā,
Un nomainiet nahaba lūgšanas, izlasot Bernulli teorēmu.

Patērētie integrāļi - tie, no kuriem jūs nevarat baidīties =) Ja lasāt tekstu, tad, labāk par visu, jūs nebaidīsities teorija un prakse "zychanykh" integrāļi un arī apakšintegrāļi... Un tur, otršķirīgi, netālu un tālu:

Pirmkārt, no kā baidīties? Integrāli mazāk, integrāli vairāk ...

Es rakstīšu:

- patērētāja integrāļa ikona;
- pidintegralna trīs ziemu funkcija;
- tvir diferenciālis.
- integrācijas joma.

Īpaši priekš integrācijas reģionos... Jakho iekšā apakšintegrāls uzvarēja ir plakana figūra, Tad šeit - plašums līdz , Yake, jaku vidomo, ieskauj bezlichchyu virs galvas... Šāds rangs, izņemot vainas vainu, in galvenās virsmas ir atvērtas un ir vienkāršākie triviālie krēsli.

The deyakі zhurilis, rozumіyu .... Diemžēl rakstu var nosaukt "Noderīgi integrāļi tējkannām", un tas bieži vien ir vajadzīgs muižniecībai. Un nav nekā briesmīga - viss Vicladeno materiāls ir robežām pieejamā formā un jāapgūst vislabākajā veidā!

Ko nozīmē trešās puses integrāļa skaitīšana un kas tas ir?

Aprēķiniet trešo integrāli - tas nozīmē zināt NUMBER:

Vienkāršākajā vipadā, ja trešās puses neatņemama skaitliski dārga obsyagu tila... Pirmkārt un galvenokārt, saskaņā ar zmіstom zmіstom іntegruvannya, Dobutok dorіvnyu bezgala mazs obsyagom elementary "tseglinka" til. Un trešais neatņemamais jaku laiks i ob'єnuє visi ci bezgalīgi mazas daļiņas pa reģioniem, kā rezultātā jāievada saistību neatņemamā (apkopotā) vērtība: .

Turklāt patērētāju integrācija ir ļoti svarīga fiziskās piedevas... Ale par tse piznishe - stundas 2. daļā, kas piešķirta pietiekamas trešo pušu integrācijas uzskaitījums Dažas ārējā izskata stila funkcijas parādās kā nemainīgas un reģionā netiek pārtrauktas. Tajā pašā laikā ir jāzina pienākums zināt pienākumu detalizēti, jo manam subaktīvajam novērtējumam tas tiek izstrādāts 6-7 reizes.

Jak virіshiti patērētāju integrālis?

Raugieties loģiski no priekšējās daļas. vajag būt lai apietu tila ES eju uz mēs atkārtojam integrāļus... Kam beidzot jāiziet trīs atsevišķi integrāļi.

Jak bahīts, visa virtuve ir tikpat slikta, kā kļūst apakšintegrāļi Es redzēju, ka uzreiz mēs saņēmām papildu izmēru (aptuveni, acīmredzot, visota). Es melodiski bagātīgi hto jūs jau uzminējāt, kā pierast pie integrācijas.

Attīstība ir zaudējusi savu summu:

muca 1

Esiet zebiekste, pārrakstiet plīti uz papīru:

Sniedziet man atsauksmes par nākamo maltīti. Vai jūs zināt Vi, kā jūs jautājat virsmai? Zrozum_liy Jums neformāls zm_st tsikh rivnyan? Vai jūs zināt Vi, kā jūs redzat rozetes virsmu atklātā telpā?

Tiklīdz jūs nokļūsit tiešajā skatā "ātrāk, nē, nē", tad, noteikti, izstrādājiet nodarbību, un jūs nepaslīdēsit cauri!

Lēmums: Formula Vikoristovuєmo.

Par to schob z'yasuvati lai apietu tila ES eju uz mēs atkārtojam integrāļus Tas ir nepieciešams (viss ģeniāli vienkāršs) inteliģence, labi tilo. І Šāds komforts bagatioh vipadkakh ir lielisks, ja ņemat krēslu.

Aiz izlietnes ķermeni ieskauj dekalkomas virsmas. Kāpēc man vajadzētu jautāt? Es ierosinu aizskarošu rīkojumu d_y:

demonstrējams paralēli ortogonālamķermeņa projekcija uz koordinātu zonu. Pirmo reizi sakot, tiek dēvēta jaku tsjas projekcija, lol =)

Tiklīdz projekts tiek īstenots, jums tas būs jādara virsmas, Yakі paralēla ass. Es domāju, kāda veida ryvnyannya no šādām virsmām neatriebjas par burtu "z"... Ir trīs uzdevumi, kuriem jāpievērš uzmanība:

- Rivnyannya iestatīja koordinātu zonu, kā iziet cauri virvei;
- Rivnyannya iestatīja koordinātu zonu, kā iziet cauri virvei;
- івняння atpakaļ apgabalā "Plakana" taisna paralēli asij.

Shvidshe par visu, šukana projekcija ir aizvainojošs trikutnik:

Mozhlivo, ne visi līdz galam, par velti. Pārbaudiet, vai varat pāriet no monitora ekrāna un doties tieši uz pārsūtīšanu ( lai redzētu, kā jūs no augšas brīnāties par 3 pasaules krēslu)... Līdz tam bija plašāk atrasties bezgalīgā trigonālā "koridorā" un projicēt jauno līniju un ēnojumu laukumu.

Ietinos ar īpašu cieņu, pagaidām vairs nav priuschennya par projekciju un, būdams piesardzīgs pret visu, “nimovirnishe” nebūs vypadkovi. Labajā pusē tas, ka nav analizētas visas virsmas, un var gadīties, ka trīsriteņu daļa ir redzama no tām. Yak ar krājumu muca jautāt sfēra centrā ir koordinātu vālīte, kuras rādiuss ir mazāks par vienu, piemēram, sfēra - jection projekcija uz laukumu (skaitlis ) Kopumā ir ēnains apgabals, un projekcija nav sarežģīta (Colo "zrіzhe" yomu gostrі kuti).

Otrajā posmā tas ir zyasovuєmo, zem tā ir ieskauts augšpusē, apakšā apakšā un ietilpīgs atzveltnes krēsls. Mēs pievērsāmies prātam un brīnījāmies, jo virsmas aizēnoja. Rivnjanja pati nosaka koordinātu zonu, bet rivnjanja - paraboliskais cilindrs, šūšana virs zonā un iziet cauri virvei. Šādā rangā tila projekcija ir efektīva є trīsritenis.

Pirms runas šeit parādījās satriekt prātā - jaunajā bulvārī nav jāiekļauj līdzenais laukums, virsmas šķembas, abscissa asis jiggling, un tāpēc palēninās. Gluži vienkārši, jebkurā gadījumā mēs nevarējām šķērsot projekciju uzreiz - trikutnik "promalyovany" tika izmantots tikai projekcijas analīzei.

Paraboliskā cilindra fragments ir labi attēlots:

Pislya vikonannya atzveltnes krēsls z apvedceļa rīkojums kādas problēmas!

Kolekcijai ir svarīga projekcijas apiešanas secība. (Tajā pašā laikā NABAGATO ZRUCHNISHE orієntuvatisya uz divvietīgiem krēsliem). Baidīties PILNĪGI TĀ PATS, jaku iekšā apakšintegrāļi! Lāzera rādītājs un plakanas vietas skenēšana ir paslēpta. Viberemo "tradicionālais" pirmais veids, kā apiet:

Dal tiek ņemts burvīga lichtarika rokās, brīnoties par triviālo krēslu un stingri lejup no kalna izglītot pacientu. Promenāde iekļūst ēkā caur teritoriju un iet caur virsmu. Šajā rangā ķermeņa apiešanas secība:

Pāriesim pie atkārtotiem integrāļiem:

1) Paskatieties uz "zetovy" integrāciju. vikoristovuєmo Ņūtona-Leibnica formula:

Rezultāts ir parādīts integrācijā "іgrekovy":

Kas notika? Pa ceļam risinājums skanēja līdz apakšintegrālam, bet pats - līdz formulai cilindriska stieņa kārta! Vēl laba informācija:

Es ļoti cienu 3. integrāļa racionālo risinājumu tehnoloģiju.

vidpovid:

Aprēķinu var ierakstīt vienā rindā:

Savādāk esi drošs - tu vari uzvarēt spēli līdz kvalitātes zaudēšanai, un jo svarīgāks ir muca, jo lielāka iespēja piedot.

Padomi par svarīgu pārtiku:

Kāpēc jums jāstrādā atzveltnes krēslā, ja neesat uzmanīgs uzdevumiem?

Jūs varat dzert chotirma ar ceļiem:

1) Uzzīmējiet projekciju un sevi. Vissvarīgākais variants ir tas, ka vikonatam ir iespējams iegūt divus pienācīgus atzveltnes krēslus, neejiet, apzagiet krēslu. Es iesaku čergu pershu valodā.

2) Zīmējiet tikai tilo. Ir labi, ja projekts ir neērts un acīmredzams. Tā, piemēram, izvēlētajā muca tika uzstādīts triviāls krēsls. Tomēr šeit ir mīnus - izmantojot 3D attēlus, nav manuāli jāuzsāk projicēšanas apiešanas procedūra, un vislabākajā veidā es iepriecinātu tikai cilvēkus ar labu sagatavotību.

3) Uzzīmējiet tikai projekciju. Tas nav slikti, bet ir daudz papildu vēstuļu un komentāru, reģionu neietekmē citas puses. Diemžēl trešais variants bieži vien ir nepieklājīgs - ja tikai nedaudz par daudz vai ja esat saskāries ar grūtām grūtībām. To var arī piemērot.

4) Izkustieties bez krēsla. Kopumā ir nepieciešams izklāstīt nelielu domu un rakstiski komentēt tās formu / formu. Ir svarīgi iet uz vienkāršu cilvēku aicinājumu. Ale, viss ir skaistāk par zrobiti Es gribētu shematisku mazuli, var atņemt risinājuma "mērķa" fragmentus.

Nākamie palīgi pašpalīdzībai:

muca 2

Lai palīdzētu izšķērdīgam integrālam, saskaitiet virsbūves tilpumu, ko ieskauj virsmas

Šajā konkrētajā kontekstā integrācijas jomu pārsvarā nosaka pārkāpumi; noteikt 1. oktantu, ieskaitot koordinātu apgabalus, un pārkāpumu - pustelpa, Parādiet koordinātu vālīti (Perevirt)+ Pati teritorija. Paraboliskās formas "vertikālā" zona ir paraboliska, un uz atzveltnes krēsliem būs peretīns. Kopumā ir jāzina atskaites punkts pirms datkas vai vienkārši parabola virsotne (Skatiet vērtību і rozrahovuєmo vіdpovіdne "z").

Es to pārdošu:

muca 3

Aprēķiniet atkritumu integrāļa palīdzību ķermeņa tilpumu, ko ieskauj virsmu vērtības. Viconati atzveltnes krēsls.

Lēmums: Formula "visonati atzveltnes krēsls" dod mums brīvību, ale, shvidshe par visu, mums ir jārespektē ietilpīgs atzveltnes krēsls. Tomēr projekciju nevar iestatīt, turklāt tas nav viegli.

Dotrimumosya іdpratsovanoi agrākā taktika - kolekcija virsmas, Yaki paralēlās ass aplikat. Rivnyannya šādas virsmas nevar atriebt acīmredzamās viglyadi izmaiņas "z":

- iestatiet koordinātu apgabalu, lai tas šķērsotu līniju ( jaku uz laukuma, nosaukums ir "tas pats";
- івняння atpakaļ apgabalā, Scho iet cauri vienai izvēlnei "Plakana" taisna paralēli asij.

Shukane tilo ieskauj teritorija zem i paraboliskais cilindrs virs:

Grīdas apbraukšanas secība ir vienkārša, un starp integrāciju ir daudz "iksov" un "іgrekovie", es domāju, ka ir viegli izmantot divvirzienu krēslus:

Šajā rangā:

Integrējot saskaņā ar "іgrek" - "іks", to izmanto kā konstanti, jo par šo konstanti ir vērts vainot integrālo zīmi.

vidpovid:

Tātad, nedaudz aizmirstot, lielā skaitā vypadkіv otrymivaniya zemas kvalitātes (un ātras) skaņas rezultāts ar triviāliem krēsliem, lieliskās imovіrnіstya vinykna atspulgi. іluzіya obsyagu, Par jaku I rozpoviv shche at urotsi Obsyag tila ietīšana... Tātad, mēs novērtējām triviāli uzrādītos uzdevumus, it īpaši, kad man bija labi, bet jaunajā ēkā ir vairāk nekā 4 "kubi".

Aizskarošs sēžamvieta neatkarīgam risinājumam:

muca 4

Aprēķiniet atkritumu integrāļa palīdzību ķermeņa tilpumu, ko ieskauj virsmu vērtības. Mērogojiet konkrētā stāva krēslu un trešo projekciju uz laukuma.

Semināra ievada dizains stundas beigās.

Tas nav vieglprātīgi, ja triviāla krēsla izpilde ir sarežģīta:

muca 5

Lai palīdzētu patērētājam integrāli zināt ķermeņa tilpumu, kas dots, lai ieskautu viņu ar virsmām

Lēmums: Projekcija šeit ir neērta, bet par asi virs pasūtījuma її ir jādomā. Ja vibrēsit 1. ceļu, tad figuru tiks sadalīts 2 daļās, tāpēc aprēķinātā summas bloķēšana nebūs iluzora divi trešo pušu integrācija. Pie zyazyka z tsim nabagato daudzsološs viglyadє 2. veids. Vizuāli un iedomājami ar šī ķermeņa projekciju uz krēsla:

Es lūdzu jūs vibrēt par šo attēlu kvalitāti, es tos redzu tieši no autoritatīvajiem rokrakstiem.

Vibiraєmo lielais ceļvedis, lai apietu figūriņas:

Tagad pa labi aiz grīdas. Apakšā to ieskauj teritorija, augšā - zona, jaku iet cauri karājas ordinātām. Tas nav tik vienkārši, bet pārējā teritorija joprojām ir stāva, un teritorija nav tik vienkārša. Vibra šeit ir neatkarīga: vai nu juvelierizstrādājumu robots atrodas citā mērogā (tas vienkārši jāpabeidz), vai arī krēsla augstums ir tuvu 20 centimetriem (tas, kas var ietilpt).

Ale, treškārt, krievu metode problēmas risināšanai - āmurs =) apgabals uz sāniem, apgabals - no apakšas un apgabals - no augšas. "

Acīmredzot "vertikālais" starp integrāciju ir šāds:

Daudzi obsyag tila, nevis zabuvayuchi, bet projekcija tika veikta plašākā veidā:

vidpovid:

Viņi atcerējās, kā tikt paaugstinātam ēkās, kas nav dārgākas par simts dolāriem, un to bieži ieskauj zemāk esoša teritorija. Ja tas nav noteikums, jums jābūt gatavam - jūs varat ēst daudz, de tilo roztashovani pid apgabalā. Tā, piemēram, tiklīdz rozibranoi zavdannyu vietā jāaizstāj apgabals, tad simetriski nebūtu iespējams parādīties apakšējā pustelpā, un, ja tas norobežotos ar apgabalu zemāk un ar apgabalu - virs tas!

Tas ir viegli perekonatisya, kas redzēs to pašu rezultātu:

(Pam'yataєmo, tilo nepieciešams apiet stingri no apakšas kalnā!)

Turklāt "kokhana" apgabals var parādīties zagalā nevis labajā pusē, vienkāršākais dibens: dzesēšanas šķidrums, kas izplatās pa visu apkārtni - ja to saskaita, jūs neziniet zagala.

Visas krāsas ir viegli saprotamas, bet pārējās ir līdzīgas neatkarīgam risinājumam:

muca 6

Lai palīdzētu izšķērdīgam integrālam, lai uzzinātu til tilpumu, ko ieskauj virsmas

Īss lēmums un paskaidrojums stundas beigās.

Pārejam pie citas rindkopas ar ne mazāk populāriem materiāliem:

Trešais integrālis cilindriskās koordinātās

Cilindriskās koordinātas - tse, pa dienu, polārās koordinātas atklātā telpā.
Cilindriskā koordinātu sistēmā punkta atrašanās vieta tiek definēta kā punkta polārās koordinātas - punkta projekcija uz laukumu un pašu punktu.

Pārejiet no triviālās Dekarta sistēmas uz cilindrisko koordinātu sistēmu, ievērojiet šādas formulas:

Lai aptvertu mūsu viglādes apgāšanos ar aizskarošu pakāpi:

Es, acīmredzot, vienkāršotā veidā, uz ko mēs skatāmies kopumā:

Neaizmirstiet par dodatkovy reizinātāju "er" un novietojiet to pareizi integrācijas polaritāte apejot projekciju:

muca 7

Lēmums: Pēc tā paša pasūtījuma rīkojieties: pirmkārt, ir ryvnyannya, kurā katru dienu ir "zet". Šeit ir viens. projekcija cilindriska virsma uz kvadrātu ("viena maiņa") apkārtmērs .

apgabalā ieskauj šukānu tikai no apakšas no augšas ("karājas" no cilindra), kas veidots vairākos veidos:

Triviāla krēsla aizmugurē. Galvenā lauka salocīšana apgabala aicinājumā, jaks apgāž cilindru pirms griezuma "pļaušanas", kā rezultātā elips... Lai precizētu, dotais peretīns ir analītiski: visam pārrakstāmajam apgabalam funkcionālajā skatā un funkcijas ("visota") skaitlisko vērtību jautājuma punktos, kas atrodas uz kordona projekcijas:

Apiet punktus uz krēsla un precīzi (Ne tā, jaku es =)) no rindas:

Grīdas projekcija uz laukumu o colo, un tas ir arguments pārejai uz cilindrisku koordinātu sistēmu:

Mēs zinām virsmu cilindriskās koordinātās:

Tagad tila apiešanas kārtība ir mainījusies.

Projekcijas atgriezumu kolekcija. Kāda ir apiešanas procedūra? TIEŠI TĀ PATS, piemēram, ja numurētie apakšintegrāli polārajās koordinātās... Šeit ir vīna elements:

"Vertikālā" starp integrāciju ir arī acīmredzama - tā tiek ievadīta ķermenī caur apgabalu un tiek ievadīta caur apgabalu:

Pāriesim pie atkārtotiem integrāļiem:

Tajā pašā laikā reizinātājs "ep" tiek nekavējoties ievietots "sviy" integrālē.

Vinik jak zazvychay vieglāks par ļauno uz zariem:

Uzbrukuma integrācijas rezultāts ir valkājams:

Un šeit nav aizmirsts, ka "fe" tiek izmantots kā konstante. Ale līdz pulksten vieniem:

vidpovid:

Tas izskatās kā zavdannya neatkarīgam risinājumam:

muca 8

Aprēķiniet, lai palīdzētu atkritumu integrālis obsyag til, ko ieskauj virsmas. Konkrētās ēkas Viconati atzveltnes krēsls un tā projekcija uz teritoriju.

Zrazok galīgais dizains stundas beigās.

Zvērīga cieņa, bet uzdevumu prātā par pāreju uz cilindrisku koordinātu sistēmu nav teikts ne vārda, un cilvēks neapzināsies svarīgus integrāļus Dekarta koordinātās. ... Un varbūt tā nebūs - pat trešais, no paša sākuma krievu veids, kā risināt problēmas =)

Viss tikai izlabojiet! ... labā nozīmē: =)

muca 9

Lai palīdzētu izšķērdīgam integrālam, lai uzzinātu til tilpumu, ko ieskauj virsmas

Pieticīgi un ar prieku.

Lēmums: Dane tilo obmezhene gala virsmaі eliptisks parabolisks... Lasītāji, kuri ar cieņu iepazīstas ar statistikas materiāliem Galvenās telpas vietas Mēs jau esam iedomājušies, ka to ir viegli redzēt, taču praksē mēs bieži redzam vairāk salokāmas idejas, tāpēc es sniegšu analītisku ziņojumu.

Mēs zinām daudzas līnijas, aiz jūgiem, virsmas pārplūst. Noliktava un vīrusu sistēma, es pievērsīšos sistēmai:

No pirmā ryvnyannya termiņa pēc termiņa viens otram:

Rezultāts ir divas saknes:

Starp citu, mēs zinām nozīmi be-like sistēmā:
, Viplya stars, scho
Šādā rangā viena punkta saknes ir koordinātu vālīte. Dabiski - pat virsotnes ir redzamas uz virsmas.

Mūsdienās ir cita sakne - arī be -like sistēmā:

Kāda veida atveidotā rezultāta ģeometriskais zm_st? "Uz zemes" (apgabalā), paraboloīds un konuss ir apkārtmērs- viens rādiuss, kas centrēts punktos.

Tajā pašā laikā paraboloīda "bļoda" aizstāj konusa "piltuvi", tāpēc izlikties gala virsmām seko punktēta līnija (aiz vinjetes es redzēšu tālu no mums, ko var redzēt no šī leņķa):

Ēkas projicēšana uz teritoriju є colo centrā bija 1 rādiusa koordinātu vālīte, kuru es nemēģināju vizualizēt ar šī fakta acīmredzamību (Aizsargājiet rakstīšanas komentārus robimo!)... Pirms runas divos priekšējos sēdekļos uz krēsla var tikt izvirzīta projekcija, jabijs neiebilst.

Dodoties uz cilindriskām koordinātām saskaņā ar standarta formulām, neatbilstība tiek reģistrēta visvienkāršākajā skatā un secībā, kā apiet noteiktu problēmu projekciju:

Mēs zinām virsmu cilindriskajā koordinātu sistēmā:

Tātad, ja rūpnīcā aplūkojat konusa augšējo daļu, tad to varat redzēt no viedokļa:

"Scanuєmo tilo" no apakšas uz augšu. Gaismas maiņa, lai iekļūtu jaunajā eliptisks paraboloīds eju cauri gala virsmai. Šādā rangā "vertikālā" secība apiet ķermeni:

Iepazīstieties ar pareizo tehniku:

vidpovid:

Tas nav iedomāts, ja būtu tik viegli pajautāt sev, lai tevi neietekmē virsmas, bet lai nebūtu pārkāpumu:

muca 10

Plašo pārkāpumu ģeometriskā izjūta, es pabeigšu ziņojumu pēc tam, kad esmu precizējis tos pašus priekšnoteikumus - Galvenās virsmas telpai un.

Dane, es gribu atriebties par parametru vai pat atzīt precīzā krēsla iestatījumu, kas parāda grīdas skata principus. Domājiet, ka jaks būs visonati. Īss lēmums un skaidrojums - stundas beigās.

... nu, pāris reizes? Domājot pabeigt nodarbību, ale vienkārši tā un paskatieties, kā vēlaties =)

muca 11

Par integrāļa papildu izmaksām aprēķiniet dotā objekta apjomu:
, De ir diezgan pozitīvs skaitlis.

Lēmums: neatbilstība iestatiet centru uz rādiusa koordinātu vālīti un neatbilstību - apļveida cilindra "uzpildīšana" ar simetrijas rādiusu. Šādā rangā šukānu no sāniem ieskauj apļveida cilindrs un simetriski sfēriski segmenti virs un zem.

Beruchi bāzes vienībai Vimira, viconmo krēsls:

Precīzāk, nākamais solis ir to mazliet saukt, dažas proporcijas gar manu asi nav pat labas. Tomēr taisnīguma labad prāta labad nevajadzēja nekāda veida atzveltnes krēslu un šāda ilustrācija bija pārpilnībā.

Es cienu jūs, bet šeit nav obligāti jāatsakās, pie kura cilindrs karājas no “vāciņu” apakšas - ja rokās paņemat kompasu un sākat apli, kura centrā ir rādiusa koordinātu vālīte 2 cm, tad punkti pārplūdīs ar cilindru ...

1. Cilindriskās koordinātas attēlo polāro koordinātu datus apgabalā xy ar serpentīna Dekarta aplikāciju z (3. att.).

Lai M (x, y, z) būtu pietiekams punkts telpā xyz, P ir punkta M projekcija uz laukumu xy. Punktu M nepārprotami nosaka trīs skaitļi - punkta P polārās koordinātas, z - punkta M aplikāts.

Jēkabs (8)

muca 2.

aprēķināt integrāli

de T - virsma, ko ieskauj virsmas

Lēmums. Pārejam pie integrāļiem līdz sfēriskām koordinātām saskaņā ar formulām (9). Todi integrācijas apgabalu var noteikt ar pārkāpumiem

Un tas nozīmē

muca 3 Zināt obsyag til, ierobežots:

x 2 + y 2 + z 2 = 8,

Mahmo: x 2 + y 2 + z 2 = 8 - sfēra ar rādiusu R = v8, kas centrēta punktā O (000),

Konusa augšējā daļa z 2 = x 2 + y 2 no simetrijas Oz augšdaļas un augšdaļa punktā O (2.20. Att.).

Mēs zinām līniju, kas apgāž sfēru un konusu:

І tik jaku aiz izlietnes z? 0, tad

Aplis ir R = 2, kas atrodas apgabalā z = 2.

Toms ir šausmīgs (2.28)

de apgabals U ir ieskauts augšpusē

(Sfēras daļa),

(Daļa no konusa);

apgabals U, kas jāprojektē Okhy zonā apgabalā D - rādiuss 2.

Ir arī vērts doties uz integrāļa apakšdaļu cilindriskajām koordinātām, vikoristovuchi formulām (2.36):

Starp izmaiņām r ir zināms ar laukumu D v ārpus R = 2 ar centru punktā O, mēs paši: 0? Ts? 2p, 0? R? 2. Tādējādi apgabalu U cilindriskās koordinātēs nosaka pārkāpumu sākums:

Dārgais, scho

Nehajam ir dots materiāls tilo, jo tā ir plaša teritorija P, ko iegaumēja Masojs. Ir jāzina visa ķermeņa svars iemesla dēļ, kas ādas punktā R € P svara sadalījuma mājā. Rozib'mo reģions P uz kubiskām daļām, kas nepārklājas (t.i., Mayut obsyag), ar saistībām saskaņā ar. Daļējo zonu ādā ft * vibrē izlases punkts P *. Pieļaujami tuvu, bet privātās zonas robežās ft * amata un ceļa ietilpība / * (P *). Todі masa ATK tsієї Chastain tіla virazitsya nablizhenim rіvnіstyu ATPC un masa vsogo tіla Buda nablizheno dorіvnyuє Potrіyny іntegral Vlastivostі potrіynih іntegralіv Obchislennya potrіynogo іntegrala Dekarta koordinātes Obchislennya potrіynogo іntegrala jo tsilіndrichnih i sfēriskas koordinātas Nekhay d - naybіlshy no dіametrіv chastkovih jomām Yakscho pie d - * 0 summa (1) nav dāvinājuma robežas, bet neapgrūtina platības pēdas attīstību apakšapgabala daļā, bet ne punktu P * € ft * izvēlē, tad robežai jābūt ņemti dotā tipa masai m, un slēgtā kubiskā laukā ft no vērtības Rozib'єmo ft uz n, kas nav šķērseniskas kubiskas daļas un їх obsyagi, ir būtiski, izmantojot piemēru. Dermas apakšreģionā P *punkts Pk (xk, yk, zk) tiek vibrēts ar iepriekšēju rangu; Ja d Par neatņemamu sumi un var būt starp, bet nenoteikt, lai attīstītu L apgabalu no apakšapgabala P *, bet ne punktu Pk € P *izvēlē, tad robežu sauc par funkcijas f (x) y, z) trīskāršajiem integrāļiem apgabalā Q, un to apzīmē ar simbolu 6. teorēma. Ja funkcija f (x, y, z) ir nepārtraukta slēgtajā kubveida laukumā P, tad tas ir integrēts visā teritorijā. Trešo integrāļu spēks Trešo integrāļu spēks ir līdzīgs pakārtoto integrāļu pilnvarām. No tiem tiek mainīti galvenie. Nezinu integrācijas funkcijas kubveida apgabalā L. 1. Linearitāte. Tajā pašā laikā funkcija tiek saukta par integrētu apgabalā Q. Tādējādi saskaņā ar vērtību varat pievērsties uzdevumiem par faila svara aprēķināšanu, kā arī starp (2) є nevajadzīgu integrālo VGT funkciju d ( P) laukuma d. Dv elements taisnstūra koordinātās. de a і (3 - lielākā daļa runu postіynі. jūs atrodaties apgabalā P, tad 3. Ja / (P) = 1 apgabalā P, tad n de V - apgabala apjoms Q. Funkcija / ( P) ir nepārtraukta slēgtajos kubiskos reģionos ft і M і t - її best and vismazāk nozīmīgs pēdās, tad de V ir pēdu laukums. 5. Aditivitāte. Ja laukums ft ir sadalīts kubiciņos bez miega iekšējiem punktiem un f (P) ir integrēts apgabalā ft, tad f (P) ir integrēts ādas zonā no pēdas | і ft2, ar 6. Vidējās vērtības teorēma. 7. teorēma (par vidējo). Ja funkcija f (P) netiek pārtraukta slēgtajā kubveida laukumā ft, tad ir plāns Pc € ft, lai formula de V - laukuma ft tilpums (nagadaєmo, lai laukums būtu skaidrs, bezlich) būt derīgam. § 7. Patērētāja integrāļa aprēķins Dekarta koordinātās Yak i, aprēķinot apakšintegrālus, labajā pusē tiek parādīts līdz atkārtoto integrāļu aprēķinam. Jāatzīst, ka funkcija netiek pārtraukta reālajā zonā ft. 1. vipadok. Platība ft є taisnstūra paralēlskaldņa projekts uz laukumu yOz taisnstūra i2; Todi otrimaєmo Zaminyuchi subintegral caur atkārtotu, atlikušo otrimaєmo Šādā rangā, ja apgabals P ir taisna paralēlskaldnis, mēs sākām skaitīt trešo integrāli pirms pēdējās trīs neatņemamās integrālās daļas skaitīšanas. Formulu (2) var pārrakstīt taisnstūra skatījumā є ir paralēlskaldņa P taisnleņķa projekcija uz laukumu xOy. 2. vipadok. Tagad apgabals Q ir redzams, tā ka robeža starp virsmu 5 ir savstarpēji saistīta, vai tā būtu taisna, paralēla asij Oz, ne vairāk kā divos punktos vai visā garumā (22. att.). Ļaujiet z = tpi (x, y), kas vienāds ar virsmu 5, kas ietvers laukumu P zemāk, un virsmu S2, kas apņem laukumu P iepriekš, ma ir vienāds ar z = y). Neievainojiet S \ un S2 virsmu, kas projektējama vienā un tajā pašā apgabalā xOy. Ievērojami її līdz D un līknes savijums caur L. Rashta kordonu 5 līdz Q gulēt uz cilindriska virsma izveidot, paralēlās asis Oz, і no līknes L vadošā lomā. Tā kā pēc analoģijas ar formulu (3), mēs varam secināt apgabala D apgabalu xOy є izliektā trapecija, ko ieskauj divas līknes, tad apakšintegrāli formulā (4) var samazināt līdz otrajai, un mēs varam izveidot atlikušo ( 2) formula. 23. attēls. Saskaitiet tetraedra kopsummu, ko ieskauj tetraedra projekcijas kvadrāti uz laukuma xOy, kas kalpo kā trīsritenis, apgalvojumi ir taisni, tāpēc x mainās no 0 līdz 6 un ar fiksētu x (0 ^ x ^ 6) y mainīt no 0 uz 3 - | (23. att.). Ja ir fiksēti x, y, tad punkts var pārvietoties vertikāli no apgabala uz apgabalu no 0 līdz 6 - x - 2y. Aiz formulas mēs atpazīsim 8.§. Patērētāja integrāļa uzskaitīšana cilindriskās un sfēriskās koordinātās Uzturs par ziemas aizstāšanu patērētāja integrālē tiek veikts tāpat kā apakšintegrāļa gadījumā. Funkcija / (z, y, z) slēgtā kubveida zonā ft nav nepārtraukta, un funkcijas tiek nepārtrauktas vienlaikus ar privātajām privātajām pirmās kārtas kārtām slēgtajā kubveida laukumā ft *. Pieņemsim, ka funkcija (1) izveido individuālu atbilstību starp punktiem rj, () laukumu ft *no vienas puses un visus laukuma ft punktus (z, y, z)-no otras puses . Tā ir pareizā formula, kā aizstāt minionus patērētāju integrācijas - de -Jēkaba funkciju sistēmā (1). Praksē, aprēķinot trešo personu integrāļus, to bieži izmanto, lai aizstātu taisnstūra koordinātas ar cilindriskām un sfēriskām koordinātām. 8.1. Trešais integrālis cilindriskās koordinātās Cilindriskajā koordinātu sistēmā punkta P atrašanās vietu telpā nosaka trīs skaitļi p, de p і (p ir punkta P projekcijas P1 polārās koordinātas uz laukumu xOy, az ir applicate punkts P (24 att.) tochіі R. Skaidrs scho in koordinātes sistemі tsilіndrichnih koordinatnі poverhnі Potrіyny іntegral Vlastivostі potrіynih іntegralіv Obchislennya potrіynogo іntegrala in Dekarta koordinātes Obchislennya potrіynogo іntegrala in tsilіndrichnih i sfēriskas koordinātas vіdpovіdno opisuyut:. circular tsilіndr, vіs yakogo zbіgaєtsya no vіssyu Oz, napіvploschina scho primikaє līdz osі Oz, і apgabals, paralēli apgabalam хОу. Cilindriskās koordinātas ir saistītas ar Dekarta uzbrukuma formulām (div. 24. att.). Sistēmai (3) platība ft ir kartēta uz apgabalu ar formulu (2) līdz pārejai no trešās taisnās ārējās koordinātas uz integrāli cilindriskās koordinātās cilindriskās koordinātas. Tsei vysl_v obsyagu elementam var apgriezt no ģeometriskā mirkuvan. Rozib'єmo apgabals P elementārajos apgabalos ar koordinātu virsmām un skaitliski aizēnotām izliektām prizmām (25. att.). Var redzēt, ka vērtība nav bezgalīgi maza. augsta kārtība, Otrimuєmo Tse ļauj elementam ņemt cilpiņu cilindriskās koordinātās, vērtība tiks piemērota. Virsmas ci tiek apgāzta pa līniju g, ko raksturo rivnyan (cilindra) sistēma, (laukums), 26. att. A її sistēmas projekcija uz laukumu xOy Šajā rangā Bazhakmiy obsyag tiek skaitīts pēc līdz formulai (4), jakā. Trešais integrālis sfēriskajās koordinātās Sfēriskajā koordinātu sistēmā punkta P (x, y, z) atrašanās vietu telpā norāda ar trim skaitļiem, de d - parādās kā koordinātu vālīte punktam kut starp asi vērsis un rādiusa -vektora ZRO projekcija un ieejas virziens Oz і pēc punkta P rādiusa vektora OR, skatoties no ass Oz (27. att.). Zrozumilo, scho. Koordinātu virsmas centrālajās koordinātu sistēmās: r = konstante - sfēras, kas centrētas uz koordinātu vālītes; ip = konst в = const - apļi un konusi ar svaru Oz. Mazs. 27 No mazās puses redzams, ka sfēriskās un Dekarta koordinātas ir saistītas ar attiecību sākumu.Jākoba funkcijas ir numurētas (5). Mahmo Otzhe, formula (2), kas uzbriež vigljada elementu obsjagu sfēriskās koordinātās - Virazu obshygu elementam var apgriezt no ģeometriskā mirkuvan. Skaidri redzama zona kosmosā, ko ieskauj z un z + dr rādiusa sfēras, konusi iekšā i in + d $ un apgabalā. Todi Patērētāju integrālis Trešā integrāļa jauda ir redzama Trešā integrāļa uzskaitījums Dekarta koordinātās Trešā integrāļa uzskaitījums cilindriskās un sfēriskās koordinātās Pielietojums 2. Ziniet Q tilpumu, sfērisko koordinātu sistēmu ... No trešās ryvennya ir zināms starp kuta 9 izmaiņām: zvaigznes