Téma matrixu a kutilstva nad nimi. Matrice, struky nad matricami. Zvorotná matrica. Hodnosť matice. Viacnásobná maticová operácia
Viznachennya. Matica sa nazýva bezpočetné číslo, podobne ako sklad je tabuľka s rovnými stranami, môže byť uložená v riadkoch a stovkách
v skratke to znamená maticu takto:
de prvkov danej matice, i je číslo riadku, j je číslo sto.
Aj v matici sa počet riadkov rovná počtu stoviek ( m = n), potom sa zavolá matica námestie n-th order, and inakse - pravouhlý.
Yaksho m= 1 i n > 1, potom môžeme vziať maticu jedného rádu
ako sa nazývať riadkový vektor , no m> 1 ta n= 1, potom môžeme odvodiť stotinovú maticu
ako sa nazývať vektor-stovpchik .
Štvorcová matica pre všetky prvky okrem prvkov uhlopriečky hlavy, uhlopriečka.
Nazýva sa diagonálna matica, pri ktorej sa prvok hlavovej uhlopriečky dostane do jednej osamelý, znamenať E.
Vyvolá sa matica orezaná z daného riadku o rovnaké číslo transponované k veci. Staňte sa uznávaným.
Dve matice a rovnaké časti, akoby sa navzájom rovnali, stoja na rovnakých objektoch, takže
vôbec i і j(Zároveň počet riadkov (100%) matíc Aі B maє buti sú rovnaké).
1 °. Sumy dve matice A=(a ij), že B=(b ij) s rovnakým číslom m riadok n 100% nazývaná matica C=(c ij), ktorých prvky sa rovnajú
Maticový súčet C=A+B.
zadok.
dvadsať . Dobutkom matice A=(a ij) podľa čísla λ nazývaná matica, pre ktorý prvok vzhľadu existuje dodatočný doplnok pre konkrétny prvok matice A podľa čísla λ :
λA=λ (a ij)=(λa ij), (i= 1,2 ..., m; j= 1,2 ..., n).
zadok.
tridsať . Dobutkom matice A=(a ij), scho maє m riadok k stovpts_v, na matrice B=(b ij), scho maє k riadok n 100%, nazývaná matica C=(c ij), scho maє m riadok n Stovptsiv, pri ktorom prvku c ij Dorivnyu Sumy Creations Elementiv i-tý rad matíc A і j-stých matíc B, tobto
S veľkým počtom stopcových matríc A zvýšiť počet riadkov v matici B... Inakse tvir nie je priradený. Dobutok matice znamenajú A * B=C.
zadok.
Pri vytváraní matíc neukazujte ekvivalenciu medzi maticami A* B і B* A, Vipadku možno nemá jeden z nich.
Vynásobením štvorcovej matice ľubovoľného rádu podobnou jednoduchou maticou sa matica nezmení.
zadok. Nokhay todі zgіdno pravidlá pre násobenie matíc maєmo
,
hviezdy cesty
Majitelia vizitiek tejto moci.
Dovoľte mi, aby som vám dal štvorcovú maticu tretieho rádu:
Viznachennya. Symbol tretieho rádu, ktorý je založený na matici (1), je číslo, ktoré je označené symbolom
ktoré sa začínajú rovnať
Zapamätať si, ako vytvoriť v pravej časti rovnosti (2), je prevzaté zo znamienka „+“ a ako zo znamienka „-“
zadok.
Hlavnú silu biznismenov sformulujem do tretieho rádu, ak chcem, aby bol smrad krivých biznismenov nejaký poriadok.
1. Veľkosť návrhára sa nemení, pokiaľ sú riadky a stovky zapamätané v mint, tobto.
2. Preusporiadanie dvesto bodov alebo dvoch riadkov formátovacieho nástroja sa vynásobí -1.
3. Ak má návrhár dva rovnaké stovky alebo dva rovnaké riadky, potom bude nula.
4. Reprodukcia všetkých prvkov sto alebo jedného radu držiteľa karty na čísle be-yak λ rovná počtu λ .
5. Rovnako ako všetky prvky držiaka vizitiek alebo riadok držiaka vizitiek musia byť späť na nulu, musí byť aj samotný držiak vizitiek späť na nulu.
6. Keďže existuje dvesto prvkov a dva rady návrhára formulára, návrhár formulára je úmerný nule.
7. Yaksho kozen prvok n- stotina ( n-tý rad) visnacnika je taška s dvoma kompletmi, potom visnac môže byť prítomný vo viglyade, sumi je dvojvizitka, pre ktorú je jedna n- storočie ( n-tý rad) pomstiť sa prvým z predchádzajúcich a jednému druhému; Prvky, ktoré stoja v rovnakých misiách, v troch prípadoch, v jednom ja.
Napríklad,
80. Ešte predtým, než prvky deyakogo stovptsya (riadky) držiteľa karty a dátum daných prvkov prvých stotín (riadkov), násobené akýmsi zagalnыm multiplikátorom, potom sa veľkosť držiteľa karty nezmení.
Napríklad,
Menší Jeden z prvkov návštevníka sa nazýva návštevník, ktorý sa preberá od daného návštevníka do riadkov riadkov a rovnakého prvku.
Napríklad vedľajší prvok a 1 návštevník Δ є Dizajnér formulára 2. objednávky
Algebraické sčítania konštrukčného prvku sa nazývajú vedľajší prvok, násobenie (-1) p, de R- súčet čísel v rade, ktorý je 100%, na previnutie radu prvkov.
Yaksho, napríklad prvok a 2 sa nachádza na kríži 1. sto a 2. radu, potom pre nový R= 1 + 2 = 3 a algebraické sčítania є
9 0. Vizitkár na súčet všetkých prvkov, ktorých je asi sto na algebraických doplnkoch.
sto . Súčet vytvorenia prvkov ako sto alebo ako riadok držiaka formulára pre algebraické doplnenia k tým istým prvkom posledných sto alebo dokonca riadkov je nula.
Vinikє výživa, ktorá je možná pre štvorcovú matricu A poslať maticu deyak, teda vynásobením matice ňou A výsledkom je jedna matica E takáto matica sa nazýva vyzváňanie na maticu A.
Viznachennya. Matica sa napríklad nazýva rotačná štvorcová matica A.
Viznachennya. Štvorcová matica sa nazýva nevirtuálna matica, pretože sa zobrazuje ako nula. Okrem toho sa štvorcová matrica nazýva virogénia.
Be-yak nepanenská matrica maє vorotnu.
Elementárne transformované maticeє:
permutácia dvoch rovnobežných radov v matici v kusoch;
násobok všetkých prvkov matice číslom, ktoré nie je zobrazené ako nula;
sčítanie všetkých prvkov v rade matíc podobných prvkov v paralelnom rade, vynásobených rovnakým číslom.
Matrix Mať orezané z matrice A za pomoc elementárneho prerobenia, zavolajte ekvivalent matice.
Pre nepanenskú štvorcovú maticu
matice zvonenia tretieho rádu A-1 možno vypočítať podľa tohto vzorca
tu je Δ maticový formát A,A ij - algebraické doplnkové prvky a ij matice A.
Nazýva sa prvok riadku matice extrémna , ak sa zobrazuje od nuly a všetky prvky riadku, ktoré možno nájsť z jednej ruky, sú vynulované. Matica sa nazýva často krajný prvok radu kože je napravo od krajného prvku predného radu. Napríklad:
Čchi nie je častá; - Skhidchasta.
Zároveň sa zobrazia také operácie ako sčítanie rovnakej matice, násobenie matice číslom, násobenie matice maticou, transpozícia matice. Úsilie stať sa zmysluplným, ako vikoristovyutsya na rovnakej strane, prevzaté z tých vpredu.
Skladanie tohto typu matrice.
Sčítaním $ A + B $ matica $ A_ (m \ krát n) = (a_ (ij)) $ і $ B_ (m \ krát n) = (b_ (ij)) $ sa nazýva matica $ C_ (m \ krát n) = (c_ (ij)) $, de $ c_ (ij) = a_ (ij) + b_ (ij) $ pre všetky $ i = \ overline (1, m) $ і $ j = \ overline (1 , n) $.
Zadajte podobné hodnoty pre diferenciálne matice:
Matica $ A_ (m \ krát n) = (a_ (ij)) $ і $ B_ (m \ krát n) = (b_ (ij)) $ sa nazýva matica $ C_ (m \ krát n) = ( c_ (ij)) $, de $ c_ (ij) = a_ (ij) -b_ (ij) $ pre všetky $ i = \ overline (1, m) $ і $ j = \ overline (1, n) $.
Vysvetlené pred napísaním $ i = \ overline (1, m) $: show \ get it
Zápis "$ i = \ overline (1, m) $" znamená, že parameter $ i $ sa zmení z 1 na m. Napríklad napíšte $ i = \ overline (1,5) $, ak chcete hovoriť o tých, kde je parameter $ i $ akceptovaný ako 1, 2, 3, 4, 5.
Varto budi brutálna úcta, že operácia je doplnená a indikovaná len pre matice rovnakej veľkosti. Medzitým je pridanie a vzhľad matice operácia, je intuitívne jasná, znamená to smrad, mimochodom bude zbavená akýchkoľvek informácií o akýchkoľvek iných prvkoch.
Zadok číslo 1
Sú uvedené tri matice:
$$ A = \ vľavo (\ začiatok (pole) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \ koniec (pole) \ vpravo) \; \; B = \ vľavo (\ začiatok (pole) (ccc) 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \ koniec (pole) \ vpravo); \; \; F = \ vľavo (\ začiatok (pole) (cc) 1 & 0 \ -5 & 4 \ koniec (pole) \ vpravo). $$
Ako môžete poznať maticu $ A + F $? Poznať matice і $ C $ і $ D $, kde $ C = A + B $ і $ D = A-B $.
Matica $ A $ na nahradenie 2 riadkov a 3 sto bodov (inými slovami - veľkosť matíc $ A $ až $ 2 \ krát 3 $) a matica $ F $ na nahradenie 2 riadkov a 2 sto bodov. Veľkosť matíc $ A $ a $ F $ sa nemení, takže to môžeme urobiť. operátor $ A + F $ pre tieto matice nie je priradený.
Veľkosť $ A $ a $ B $ matice, takže. Uvedená matica sa rovná počtu riadkov a stoviek, ku ktorým sa prilepí operácia ďalších údajov.
$$ C = A + B = \ vľavo (\ začiatok (pole) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \ koniec (pole) \ vpravo) + \ vľavo (\ začiatok (pole )) (ccc) 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \ koniec (pole) \ vpravo) = \\ = \ vľavo (\ začiatok (pole) (ccc) -1 + 10 & -2+ (-25) & 1 + 98 \\ 5 + 3 & 9 + 0 & -8 + (- 14) \ koniec (pole) \ vpravo) = \ vľavo (\ začiatok (pole) (ccc) 9 & -27 & 99 \\ 8 & 9 & -22 \ koniec (pole) \ vpravo) $$
Poznáme maticu $ D = A-B $:
$$ D = AB = \ vľavo (\ začiatok (pole) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \ koniec (pole) \ vpravo) - \ vľavo (\ začiatok (pole) ( ccc) 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \ koniec (pole) \ vpravo) = \\ = \ vľavo (\ začiatok (pole) (ccc) -1-10 & -2 - (- 25 ) & 1-98 \\ 5-3 & 9-0 & -8 - (- 14) \ koniec (pole) \ vpravo) = \ vľavo (\ začiatok (pole) (ccc) -11 & 23 & -97 \ \ 2 & 9 & 6 \ koniec (pole) \ vpravo) $$
vyhliadka: $ C = \ vľavo (\ začiatok (pole) (ccc) 9 & -27 & 99 \\ 8 & 9 & -22 \ koniec (pole) \ vpravo) $, $ D = \ vľavo (\ začiatok (pole) (ccc) -11 & 23 & -97 \\ 2 & 9 & 6 \ koniec (pole) \ vpravo) $.
Maticové násobenie číslom.
Komplementárna matica $ A_ (m \ krát n) = (a_ (ij)) $ pre číslo $ \ alpha $ sa nazýva matica $ B_ (m \ krát n) = (b_ (ij)) $, de $ b_ (ij) = \ alfa \ cdot a_ (ij) $ pre všetky $ i = \ overline (1, m) $ і $ j = \ overline (1, n) $.
Zjavne jednoduchšie, vynásobiť maticu deyakovým číslom znamená vynásobiť skin element danej matice celým číslom.
Zadok číslo 2
Dané maticou: $ A = \ vľavo (\ začiatok (pole) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \ koniec (pole) \ vpravo) $. Poznať matice $ 3 cdot A $, $ -5 cdot A $ і $ - A $.
$$ 3 \ cdot A = 3 \ cdot \ vľavo (\ začiatok (pole) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \ koniec (pole) \ vpravo) = \ vľavo (\ začiatok ( pole) (ccc) 3cbodka (-1) & 3cbodka (-2) & 3cbodka 7 \ 3cbodka 4 & 3cbodka 9 & 3cbodka 0 \ koniec (pole) \ vpravo) = \ vľavo (\ začiatok (pole) (ccc) -3 & -6 & 21 \\ 12 & 27 & 0 \ koniec (pole) \ vpravo). \\ -5 \ cdot A = -5 \ cdot \ vľavo (\ begin (pole) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \ koniec (pole) \ vpravo) = \ vľavo (\ začiatok (pole) (ccc) -5 \ cdot (-1) & - 5 \ cdot (-2) & -5 \ cdot 7 \ -5 \ cdot 4 & -5 \ cdot 9 & -5 \ cdot 0 \ koniec (pole) \ vpravo) = \ vľavo (\ začiatok (pole) (ccc) 5 & 10 & -35 \ -20 & - 45 & 0 \ koniec (pole) \ vpravo). $$
Zápis $ -A $ є je rýchly zápis pre $ -1 \ cdot A $. Takže musíte poznať $ -A $ všetky prvky matice $ A $ vynásobené (-1). V podstate to znamená, že znamienko všetkých prvkov matice $ A $ sa zmení na opačné:
$$ -A = -1 \ cdot A = -1 \ cdot \ vľavo (\ začiatok (pole) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \ koniec (pole) \ vpravo) = \ vľavo (\ začiatok (pole) (ccc) 1 & 2 & -7 \\ -4 & -9 & 0 \ koniec (pole) \ vpravo) $$
vyhliadka: $ 3 \ cdot A = \ vľavo (\ začiatok (pole) (ccc) -3 & -6 & 21 \\ 12 & 27 & 0 \ koniec (pole) \ vpravo); \; -5 \ cdot A = \ vľavo (\ začiatok (pole) (ccc) 5 & 10 & -35 \ -20 & -45 & 0 \ koniec (pole) \ vpravo); \; -A = \ vľavo (\ začiatok (pole) (ccc) 1 & 2 & -7 \\ -4 & -9 & 0 \ koniec (pole) \ vpravo) $.
Dobutok dve matrice.
Dizajn prevádzky je objemný a na prvý pohľad neskromný. K tomu pridám posýpku domov viznachennya a potom sa prednáška odoberie, čo znamená a ako u neho pratsyuvati.
Komplementárna matica $ A_ (m \ krát n) = (a_ (ij)) $ do matice $ B_ (n \ krát k) = (b_ (ij)) $ sa nazýva matica $ C_ (m \ krát k) = (c_ ( ij)) $, pre akýkoľvek prvok vzhľadu $ c_ (ij) $ prvok i-tý riadky matíc $ A $ na prvku j-tého sto matíc $ B $: $$ c_ (ij) = \ súčet \ limity_ (p = 1) ^ (n) a_ (ip) b_ (pj), \; \; i = \ overline (1, m), j = \ overline (1, n). $$
Pokrokovo viacnásobné matrice sú odstránené zo zadku. Avšak naraz budete veľmi rešpektovaní, ale nie všetky matice sa dajú znásobiť. Ak chcete vynásobiť maticu $ A $ maticou $ B $, zbierku je potrebné obrátiť, ale počet stoviek uzgojenimi). Napríklad maticu $ A_ (5 \ krát 4) $ (matica má umiestniť 5 riadkov po 4 sto percent) nemožno vynásobiť maticou $ F_ (9 \ krát 8) $ (9 riadkov і 8 sto percent), len niekoľko stoviek $ A v maticách $ nie veľký počet riadkov v maticách $ F $, takže. 4 $ \ neq 9 $. A os vynásobenia matice $ A_ (5 \ krát 4) $ maticou $ B_ (4 \ krát 9) $ je možná, existuje len niekoľko stoviek matíc $ A $ a existuje veľa riadkov $ B $ matice. Ak je výsledkom vynásobená matica $ A_ (5 \ krát 4) $ і $ B_ (4 \ krát 9) $, bude existovať matica $ C_ (5 \ krát 9) $, takže existuje 5 riadkov a 9 stotín :
Zadok č. 3
Dané matice: $ A = \ vľavo (\ začiatok (pole) (cccc) -1 & 2 & -3 & 0 \\ 5 & 4 & -2 & 1 \\ -8 & 11 & -10 & -5 \ koniec (pole) \ vpravo) $ i $ B = \ vľavo (\ začiatok (pole) (cc) -9 & 3 \\ 6 & 20 \\ 7 & 0 \\ 12 & -4 \ koniec (pole) \ vpravo) $. Poznať maticu $ C = A \ cdot B $.
Veľkosť matíc $ C $ je pre kolekciu významná. Ak je matica $ A $ $ 3 \ krát 4 $ a matica $ B $ je $ 4 \ krát 2 $, potom je veľkosť matíc $ C $ takáto: $ 3 \ krát 2 $:
V dôsledku sčítania matíc $ A $ a $ B $ musíme tiež opraviť maticu $ C $ tak, aby sa dala pridať do troch riadkov a dvesto: $ C = \ left (\ begin (pole) (cc ) c_ (11) & c_ (12) \ c_ (21) & c_ (22) \ c_ (31) & c_ (32) \ koniec (pole) \ vpravo) $. Pokiaľ sú naznačené prvky prebudené, môžete sa pozrieť na úvodnú tému: "Matrix. Pozri maticu. Základné pojmy", na ktorej klase budú vysvetlené naznačené prvky matice. Našou meta je poznať význam všetkých prvkov v matici $ C $.
Možno prvok $ c_ (11) $. Na opravu prvku $ c_ (11) $ potrebujete poznať súčet výtvorov prvkov v prvom riadku matice $ A $ a prvých sto matíc $ B $:
Ak chcete poznať prvok $ c_ (11) $, musíte vynásobiť prvok prvého riadku matice $ A $ rovnakým prvkom z prvých sto matíc $ B $, takže. prvý prvok je prvý, druhý druhý, tretia tretina, štvrtá štvrtina. Otrimanove výsledky pіdsumovuєmo:
$$ c_ (11) = - 1 cbodka (-9) + 2 cbodka 6 + (- 3) cbodka 7 + 0 cbodka 12 = 0. $$
Kontinuálne riešenie je známe $ c_ (12) $. Na to bude potrebné vynásobiť prvky prvého riadku matice $ A $ a ďalších matíc $ B $:
Podobne ako vpredu, maєmo:
$$ c_ (12) = - 1 cbodka 3 + 2 cbodka 20 + (- 3) cbodka 0 + 0 cbodka (-4) = 37. $$
Úsilie prvého radu $ C $ je známe. Prejdeme na ďalší riadok, ktorým je fixný prvok $ c_ (21) $. Čo potrebujete vedieť, je vynásobiť prvky ďalšieho riadku matice $ A $ a prvých sto matíc $ B $:
$$ c_ (21) = 5 cbodka (-9) + 4 cbodka 6 + (- 2) cbodka 7 + 1 cbodka 12 = -23. $$
Nadchádzajúci prvok $ c_ (22) $ poznáme vynásobením prvkov iného riadku matice $ A $ rovnakými prvkami ďalších sto matíc $ B $:
$$ c_ (22) = 5 cbodka 3 + 4 cbodka 20 + (- 2) cbodka 0 + 1 cbodka (-4) = 91. $$
Ako vedieť $ c_ (31) $ vynásobte prvok tretieho riadku matice $ A $ prvkom prvých sto matíc $ B $:
$$ c_ (31) = - 8 cdot (-9) + 11 cdot 6 + (- 10) cdot 7 + (-5) cdot 12 = 8. $$
Ja, nareshty, hodnota prvku $ c_ (32) $ je vynásobiť prvok tretieho riadku matice $ A $ rovnakými prvkami ďalšej stovky matice $ B $:
$$ c_ (32) = - 8 cdot 3 + 11 cdot 20 + (- 10) cdot 0 + (-5) cdot (-4) = 216. $$
O všetkých prvkoch matíc $ C $ je známe, že ich zapisovanie bolo zbytočné, ale $ C = \ left (\ begin (pole) (cc) 0 & 37 \ - -23 & 91 \\ 8 & 216 \ end (pole ) \ vpravo) $ ... Každopádne napíšem ešte raz:
$$ C = A \ cdot B = \ vľavo (\ začiatok (pole) (cccc) -1 & 2 & -3 & 0 \\ 5 & 4 & -2 & 1 \\ -8 & 11 & -10 & - 5 \ koniec (pole) \ vpravo) \ cdot \ vľavo (\ začiatok (pole) (cc) -9 & 3 \\ 6 & 20 \\ 7 & 0 \\ 12 & -4 \ koniec (pole) \ vpravo) = \ vľavo (\ začiatok (pole) (cc) 0 & 37 \ -23 & 91 \\ 8 & 216 \ koniec (pole) \ vpravo). $$
vyhliadka: $ C = \ vľavo (\ začiatok (pole) (cc) 0 & 37 \ -23 & 91 \\ 8 & 216 \ koniec (pole) \ vpravo) $.
Pred vystúpením často nemá zmysel uvádzať popis kožného prvku maticového výsledku. Pre matice, ktorých veľkosť je malá, to možno urobiť takto:
$$ \ vľavo (\ začiatok (pole) (cc) 6 & 3 \ - -17 & -2 \ koniec (pole) \ vpravo) \ cdot \ vľavo (\ begin (pole) (cc) 4 & 9 \\ - 6 & 90 \ koniec (pole) \ vpravo) = \ vľavo (\ začiatok (pole) (cc) 6 cbodka (4) + 3 cbodka (-6) & 6 cbodka (9) + 3 cbodka (90)) \\ -17 \ cbodka (4) + (- 2) \ cdot (-6) & -17 \ cdot (9) + (- 2) \ cdot (90) \ koniec (pole) \ vpravo) = \ vľavo (\ začiatok (pole) ( cc) 6 & 324 \ -56 & -333 \ koniec (pole) \ vpravo) $$
Varto uvagu, scho viacnásobné matice sú nekomutatívne. Tse znamená, scho vo vipade $ A \ cdot B \ neq B \ cdot A $. Lish pre typy matíc, ktoré sú tzv permutovať(skrátene), parita $ A cdot B = B cdot A $. Z nekomutatívnosti multiplicity je potrebné pridať násobenie tej istej matice: vpravo je zlo. Napríklad fráza „vynásobte priestupok časti rovnosti $ 3E-F = Y $ maticou $ A $ pravou rukou“ znamená, že je potrebné túto rovnosť zamietnuť: $ (3E-F) \ bodka A = Y \ cdot A $.
Transponované vzhľadom na matice $ A_ (m \ krát n) = (a_ (ij)) $ sa nazýva matica $ A_ (n \ krát m) ^ (T) = (a_ (ij) ^ (T)) $, pre prvky ako $ a_ (ij) ^ (T) = a_ (ji) $.
Zrejme na opravu transponovanej matice $ A ^ T $ je potrebné, aby vstupná matica $ A $ nahradila sto samostatných riadkov za nasledujúci princíp: prvý riadok - prvý; po zakúpení ďalšieho riadku - stanete sa ďalšími stovkami; Buv tretí rad - staňte sa treťou stovkou a tak tiež. Napríklad poznáme transponovanú maticu na matice $ A_ (3 \ krát 5) $:
Zdá sa, že ak je vstupná matica malá vo veľkosti $ 3 \ krát 5 $, matica je transponovaná s veľkosťou $ 5 \ krát 3 $.
Deyakiho charakteristika operácií s maticami.
Tu sa prenáša, že $ alfa $, $ beta $ sú čísla a $ A $, $ B $, $ C $ sú matice. Pre prvých chotir'okhských autorít, po vyslovení mena, sashtu môže byť pomenovaný podľa analógie chotirma.
Matrix. Podії cez matrice. Sila operácií nad maticami. Pozri maticu.
Matica (a zrejme matematické delenie - maticová algebra) môže byť v aplikovanej matematike dôležitejší ako význam, preto je dovolené písať v jednoduchej forme významovú časť matematických modelov o'єktіv a procesoch. Pojem "matrix" sa objavil v roku 1850 na skale. Prvýkrát sa matice hádali v starovekej Číne a u arabských matematikov.
Matrix A = A mn rozkaz m * n sa volať priamka tabuľka čísel, na pomstu m - riadkov a n - sto.
Maticové prvky a ij, pre ktoré i = j sa nazývajú diagonálne a množinové uhlopriečka hlavy.
Pre štvorcovú maticu (m = n) je hlavová uhlopriečka nastavená na prvky a 11, a 22, ..., a nn.
Rovnosť matríc.
A = B aké sú poradia matrík Aі B však a ij = b ij (i = 1,2, ..., m; j = 1,2, ..., n)
Podії cez matrice.
1. Sčítanie matíc - operácia prvok po prvku
2. Úvodná matica - operácia prvok po prvku
3. Matica Dobutok podľa čísla - operácia prvok po prvku
4. Násobenie A * B matice podľa pravidla riadok na sto zvierat(počet stoviek matíc A sa rovná počtu riadkov v matici B)
A mk * B kn = C mn s koženým prvkom s ij matice C mn Dorіvnyє sumy výtvorov prvkov i-tého riadku matice A z j-tej stovky matice B, tobto.
Demonštrované fungovaním viacerých matríc na zadku
5. Konštrukcia na nohách
m> 1 je iba kladné číslo. A je štvorcová matica (m = n) tobto. leishe aktuálne pre štvorcové matrice
6. Maticová transpozícia A. Maticová transpozícia znamená AT alebo A “
Rad tých stopäťdesiat si pamätali myši
zadok
Sila operácií s maticami
(A + B) + C = A + (B + C)
λ (A + B) = λA + λB
A (B + C) = AB + AC
(A + B) C = AC + BC
λ (AB) = (λA) B = A (λB)
A (BC) = (AB) C
(λA) "= λ (A)"
(A + B) "= A" + B "
(AB) "= B" A "
Pozri maticu
1. Priamo: mі n- najpozitívnejšie čísla
2. Štvorec: m = n
3. Riadok matice: m = 1... Napríklad (1 3 5 7) - v praktických aplikáciách sa takáto matica nazýva vektor
4. Matrix setpets: n = 1... Vpred
5. Diagonálna matica: m = nі a ij = 0, yaksho i ≠ j... Vpred
6. Jedna matica: m = nі
7. Nulová matica: a ij = 0, i = 1,2, ..., m
j = 1,2, ..., n
8. Trojuholníková matica: všetky prvky sú nižšie ako uhlopriečka hlavy.
9. Symetrická matica: m = nі a ij = a ji(takže na symetrických uhlopriečkach sú rovnaké prvky) a A "= A
Napríklad,
10. Šikmá symetrická matica: m = nі a ij = -a ji(Tobto na symetrických uhlopriečkach hlavy postaviť sa proti živlom). Otzhe, na hlave diagonálny stojan nula (viac, keď i = j maєmo a ii = -a ii)
Zrozumіlo, A "= - A
11. Ermitova matica: m = nі a ii = -ã ii (ã ji- komplexné - každý deň až do a ji, tobto. yaksho A = 3 + 2i, potom v komplexe - prijaté A = 3-2i)
Dánsky metodický asistent vám pomôže nájsť visonuvati s matrikami: prídavné matice, transponovateľné matice, viacnásobné matice, význam rotačnej matice. Všetok materiál majetku je v jednoduchých a prístupných formách, vedený rôznymi zadkami, v takejto hodnosti možno nájsť ľudí, ktorí na to nie sú pripravení, visonuvati s matrikami. Pre sebakontrolu a samokontrolu Vee môžete pridať maticovú kalkulačku bez zosilňovača >>>.
Magatizujem, aby som minimalizoval teoretické žmurkanie, a potom môžem vysvetliť „na prstoch“ tie nevedecké pojmy. Milovníci teórie zakrslíkov, buďte láskaví, nezapájajte sa do kritiky, to je naša vášeň pozri visonuvati s matrikami.
Pre nadrozmerné školenie na tému (pre koho „páliť“) є intenzívny pdf-kurz Matrix, viznachnik a zalik!
Matrix - tse priama tabuľka byť-ako prvkov... V jakosti prvkov Môžeme vidieť čísla, teda číselné matice. ELEMENT- Tse termín. Termіn bazhano zapam'yatati, wіn často іnstrіchametisya, nie vypadkovo I vikoristav pre Yogo vidieť tučným písmom.
Označenie: matriky volajú veľké latinské písmená
zadok: možno vidieť pomocou matice dva krát tri:
Matica sa má uložiť do šiestich prvkov:
Všetky čísla (prvky) v strede matice je možné vidieť samostatne, takže ich nemožno nájsť: 
Je to len tabuľka (množina) čísel!
Aj domov nepreskupovaťčíslo, ktoré nie je uvedené vo vysvetlivkách. Číslo kože má svoju vlastnú skratku a prehadzovanie nie je možné!
Matica sa pozerá na dva riadky: 
a tristo bodov: 
ŠTANDARDNÝ: ak hovoríme o veľkosti matíc, tak zbierka obsahovať niekoľko riadkov a potom - počet stoviek. Na štetce sme vybrali iba matricu dva-tri.
Ak je v matici niekoľko riadkov, potom sa matica nazýva námestie, napríklad: 
- matica tri krát tri.
Keďže v matici je sto alebo jeden riadok, takéto matice sa tiež nazývajú vektory.
Pre pochopenie matíc, ktoré poznáme zo škôl, je jasný napríklad bod so súradnicami „x“ a „hráč“:. V skutočnosti sú súradnice bodu zapísané v matici jedna ku dvom. Dovtedy je os pre vás a zadok, pre ktoré má význam poradie čísel: a počet dvoch bodov plochy.
Teraz je možné prejsť bez predchádzajúcej vivchennya s matrikami:
1) Diya persha. Výhra mínus z matice (pridanie mínus do matice).
Obráťme sa na náš matrix 
... Yak vie melodicky pamätal, matica má veľa záporných čísel. Nie je to ani praktické na prvý pohľad, pri pohľade na matricu, bez rukopisu štýlov mínus, čo je na zdobenej viglyade len škaredé.
Vinesemo mínus pre maticu, zmena znamienka prvku SKIN matice:
Pri nule, jaka Vi vie, sa znamienko nemení, nula je vin a v Afritz nula.
Zvorotn_y zadok: 
... Viglyadaє zhovievavý.
Out of box mínus v matici, zmena znamienka prvku SKIN matice:
No, os, celkom milé vyšlo. І, naygolovnіshe, vikonuvati be-yakі dії s matricou bude JEDNODUCHŠIE. Tomu scho є taka je matematický Národná prikmeta: chim viac minusiv - tim viac plutanini a pomelok.
2) Diya od priateľa. Maticové násobenie číslom.
zadok:
Je to jednoduché, stačí vynásobiť maticu číslom, ktoré potrebujete koža Prvok matice sa vynásobí celým číslom. Pre veľa ľudí - pre troch.
Ešte jedna hnedá zásoba:
- viacnásobné matrice na drib
Zopár tých, ktorí robia, môžete vidieť NIE JE DOPYT:
NIE JE POTREBNÉ vykonať zmenu v matrici; 
- Zvyšný pohľad na originál).
Tim viac, NIE JE DOPYT pre maticový prvok kože pre mínusový systém:
Nie statty Matematika pre čajníky Mi pam'yataєmo, desiatky zlomkov s kómou v mysli matematikov, všetky sú svojím spôsobom jedinečné.
Єdine scho bazhano zmena v celej aplikácii - skúste vniesť do matice mínus:
A z yakbi BCI maticových prvkov bolo 7 bez prebytku, Todi je možné (a je povinné!)
zadok:
Vo všeobecnosti je možné i POTRIBNO vynásobte všetky prvky matice 2 bez prebytku.
Poznámka: teoreticky skvelá matematikaškolák "podil" je tupý. Ak chcete nahradiť frázu „zmena ceny na cene“, môžete vždy povedať „násobiť na iných“. Tobto podil - veľa okremiy vipadoks.
3) Dia tretina. Maticová transpozícia.
Ak chcete transponovať maticu, musíte napísať riadky v stovke transponovanej matice.
zadok:
Transponuvati Matrix
Tu je menej ako jeden riadok і, podľa pravidla ho musíte zapísať v stovkách:
- matica je transponovaná.
Transponovaná matica je označená indexom superriadku a ťah je pravotočivý v horách.
Transponuvati Matrix 
Kópia prvého radu v prvej stovke:
Prepíšme ďalší riadok z ďalšej stovky: 
Ja, nareshty, prepisujem tretí riadok na tretiu stovku:
Pripravený. Zhruba transpondovanie znamená otáčanie matrice na nabik.
4) Dia štvrtý. Súčtová (obchodná) matica.
Súčet matice je nepríjemný.
NIE JE MOŽNÉ ZLOŽIŤ VŠETKY MATRIXY. Pre zobrazenie skladacích (zobrazení) matíc je potrebné, aby smrady boli rovnaké PRE ROSMIROM.
Napríklad, ak je daná matica "dva na dva", potom je možné zložiť iba s maticou "dva na dva" a jednou! 
zadok:
Matricové plátky 
і 
Aby bolo možné matricu zložiť, je potrebné zložiť všetky prvky:
Pre diferenciálne matice je pravidlo podobné, je potrebné poznať rozdiel medzi rôznymi prvkami.
zadok:
Poznať maticu rozdielov 
, 
A virishita jaka je jednoduchšia, prečo sa nestratíš? Dozіlno striasť mínus, za celé mínus navyše v matici:
Poznámka: teoreticky skvelá matematika školáka "zdanlivo" je tupá. Ak chcete nahradiť frázu „z hľadiska“, môžete vždy povedať „až do konca pozri číslo". Tobto vіdnіmannya je kombináciou vidnimannya.
5) Diya p'yata. Maticové násobenie.
Koľko matíc je možné vynásobiť?
Maticu je možné vynásobiť tým, že sa matica vyžaduje, ale počet 100 matíc sa rovnal počtu riadkov v matici.
zadok:
Qi môžete vynásobiť maticu maticou?
Matricové údaje možno tiež znásobiť.
A ak preusporiadate matice s myšami, tak v tomto konkrétnom type je to príliš veľa!
Viconati je už príliš nepríjemný:
Nie je také ľahké zapojiť sa do triku, ak študent rozumie násobeniu matice, z ktorých mnohé sú veľmi nepríjemné.
To znamená, že pre množstvo typov je možné násobiť matice a tak a tak.
Napríklad pre matice і je možné násobiť, teda і násobiť
Vedúci riadkovej algebry. Maticový koncept. Pozri maticu. Operácie z matríc. Vývoj úloh na konverziu matíc.
S najnovším vývojom matematiky sa matka často dostáva doprava s tabuľkami čísel nazývanými matice. Za pomocou matice manuálne virishuvati systémy lіnіynykh rіvnyany Vykonuvati veľa operácií s vektormi, vyrishuvati vývoj počítačovej grafiky a інші inžiniersky manažment.
Matica sa nazýva obdĺžniková tabuľka čísel m rad a číslo deyaka P 100% čísla Tі P sa nazývajú maticové objednávky. V rovnaký čas T = P, matica sa nazýva štvorec a číslo m = n -її v poradí.
Ak si chcete zapísať matrice, zaseknete sa, napríklad ak tam budú nejaké malé obrázky alebo okrúhle mašle:
Abo 
Pre krátku maticu bude často jedno veľké latinské písmeno (napríklad A) alebo symbol || a ij ||, a inodi s vysvetleniami ruží: A = || a ij || = (a ij), de (i = 1, 2, ..., m, j = 1, 2, ..., n).
čísla a ij, na vstup do skladu danej matrice, sa nazývajú elementy. Pri zázname a ij prvý index і znamená číslo riadku a druhý index j- Počet sto. Jedna štvorcová matica
(1.1)
zavedené chápaním hlavy a bitových uhlopriečok. Hlavová uhlopriečka matice (1.1) sa nazýva uhlopriečka od 11 do 12 … a nn prejdite z ľavej hornej časti matice do pravej dolnej časti. Uhlopriečka tejto matice sa nazýva uhlopriečka a n 1 a (n -1) 2… a 1 n, scho ísť z ľavej dolnej časti do pravej hornej časti.
Základné operácie s maticami tejto mocniny.
Prejdime k hodnote hlavných operácií s maticami.
Ďalšie matrice. Sumy dve matice A = | a ij || , de і B = | b ij || , de (i = 1, 2, ..., m, j = 1, 2, ..., n) niektoré a tiché príkazy samy Tі P nazývame maticou С = || s ij || (i = 1,2, ..., m; j = 1, 2, ...., n) tichý poriadok Tі P, prvkov s ij ktoré začínajú vzorcom
, de (i = 1, 2, ..., m, j = 1, 2, ..., n)(1.2)
Pre poznachennya sumi dve matrice vikorist Z = A + U. Operácia skladania matíc sumi sa nazýva їх skladanie. Otzhe, pre viznachennyam:
+ 
= 
Z hodnoty súčtových matíc, presnejšie zo vzorcov (1.2), bez potreby stredu, môže byť výkonná operácia skladania matíc, operácia skladania ľubovoľných čísel, ale samotná:
1) pohyblivý výkon: A + B = B + A,
2) s dobrou autoritou: ( A + B) + C = A + (B + C).
Sila autority neumožňuje nič o poradí prechodu cez ďalšie matice, keď sú dve alebo viac matíc zložené.
Maticové násobenie číslom. Doplnkové matice A = || a ij || , De (i = 1, 2, ..., m, j = 1, 2, ..., n) na rečovom čísle l, sa nazýva matica З = | | s ij || (i = 1,2, ..., m; j = 1, 2, ...., n) Prvky, ako napríklad, začínajú vzorcom:
, de (i = 1, 2, ..., m, j = 1, 2, ..., n)(1.3)
Pre maticu priradenú k matici počtom víťazov napíšte З = l A abo З = А l. Operácia skladania matice na číslo sa nazýva násobenie matice čísla.
Zo stredu vzorca (1.3) je zrejmé, že násobenie matice počtom mocnin je:
1) s voľnou mocninou číselného násobiteľa: (1 m) A = 1 (m A);
2) oddelená mocnina sumi matice: 1 (A + B) = 1 A + 1 B;
3) oddeľte mocninu od súčtu čísel: (l + m) A = lA + mA
Rešpekt. Mám dve matrice Aі Mať rovnakého rádu Tі P prirodzene pomenovať taku a matrix Z tichý poriadok Tі P, yaka u sumi s matricou Báno matica A. З = A - čl.
Je dokonca ľahké obrátiť sa na skutočnosť, že rast Z dve matrice Aі Mať môže byť lemované za pravidlo C = A + (-1) B.
Matica Tvir abo násobenie matice.
Dobutkom matice A = | a ij || de (i = 1, 2, ..., m, j = 1, 2, ..., n) MA objednáva, podľa objednávky Tі n, na matricu B = | b ij || , de (i = 1, 2, ..., n, j = 1, 2, ..., p), MA objednáva, podľa objednávky nі R, nazývať maticou З = | | s ij || (i = 1,2, ..., m; j = 1, 2, ...., p), scho MAє objednávky, podľa objednávky Tі R Prvky, ako napríklad, začínajú vzorcom:
de (i = 1, 2, ..., m, j = 1, 2, ..., p)(1.4)
Pre význam matice A na matricu Mať vikorytuyu rekord C = A × B... Operácia skladania matrice A na matricu Mať sa nazývajú násobenia matíc qix.
3 formulovaného vise viplive, scho maticu A možno vynásobiť nie maticou, je potrebné, ale počet 100 matrík A zvýšil počet riadkov v matici čl.
Vzorec (1.4) є pravidlo skladania prvkov matice С, ktoré maticou A na matricu čl. Celé pravidlo možno formulovať slovami: prvok s ij, ktorý stojí na opakovaní i-teho riadku a j-teho riadku matice C = AB, dodatočný súčet párových výtvorov tých istých prvkov i-riadku matice A a j-tý riadok matice B.
Yak butt zasosuvannya daného pravidla je vyvolaný vzorcom pre násobenie štvorcových matíc iného rádu.
× = 
Vzorce (1.4) naznačujú silu matice A na matricu V:
1) existuje poverená právomoc: (AB) C = A (BC);
2) výkonové matice sa navzájom líšia:
(A + B) C = AC + BC alebo A (B + C) = AC + AC.
Potrava o permutáciách (pohybovaní) sily tvorby matrice A na matricu Mať maє zmysel dať liche pre štvorcové matice A i B rovnaké poradie.
Pravdepodobne dôležité sú matice, pre ktoré je permutácia moci spravodlivá a správna. Dve matice na vytvorenie tých, ktorí spravodlivo permutujú moc, sú akceptované ako zameniteľné.
Medzi štvorcovými maticami je trieda o diagonálnych maticách, v koži niektorých prvkov je upravený postoj uhlopriečky hlavy, rovný nule. Diagonálna matrica kože na objednávku P ma viglyad
D = 
(1.5)
de d 1, d 2,… , d n-yaki za preferovaný počet. Je ľahké bachiť, aby sa všetky čísla rovnali sebe, tobto. d1 = d2 =… = d n potom pre štvorcovú maticu A objednať P spravodlivá parita A D = D A.
V strede sú všetky diagonálne matice (1.5) s prvkami, ktoré je možné pridať. d1 = d2 =… = d n = = dÚloha dvoch matíc je obzvlášť dôležitá. Prvá z matíc cix prejdite na d = 1, nazývať jedinou maticou n e.Ďalšia matica sa objaví na d = 0 nazývame nulová matica n-tý rád, ktorý je označený symbolom O. V takej hodnosti,
E = 
O = 
Z titulu prineseného vische A E = E Aі AO = PRO A. A čo viac, je ľahké ukázať ako
A E = E A = A, A O = O A = 0. (1.6)
Prvý zo vzorcov (1.6) charakterizuje špeciálnu úlohu jedinej matice E, analogicky k úlohe, pretože číslo 1 sa násobí, keď sa násobia čísla. Až do špeciálnej úlohy nulovej matice ó, potom її viyavlya nie je len priateľ zo vzorcov (1.7);
A + 0 = 0 + A = A.
Na konci je skvelé, že pochopenie nulovej matice možno zadať aj pre neštvorcové matice (nula je tzv. be-jaku matica, všetky prvky, ktoré sú pripočítané k nule).
Maticové bloky
Je pravda, že deyaka je matrix A = | a ij || za pridaním vodorovných a zvislých priamych čiar je vyrezaný na okrajoch pravouhlých buniek, kožných buniek - matrice menších veľkostí a nazýva sa blok vizuálnej matrice. Takýto rozdiel má schopnosť pozrieť sa na vizuálnu maticu. A ako deyakoi nová (tzv. bloková) matrica A = || A a b ||, prvky sú bloky. Význam prvkov označuje veľké latinské písmeno, nagolosita, smrad є, zdá sa, vyzerajú ako matice, nie čísla і (ako číselné prvky) existujú dva indexy, prvý bude číslo riadku „blok“ a druhý - číslo riadku „blok“.
Na zadku, matrica
môžete vidieť maticu jačích blokov
prvky ako bloky:
Zaujíma nás skutočnosť, že základné operácie s blokovými maticami idú do samotných pravidiel, aby sa zbavili zápachu mimoriadnych číselných matíc, ktoré zbavujú úlohy prvkov blokov.
Koncept dizajnéra.
Ľahko vidím štvorcovú maticu ľubovoľného poradia P:
A = (1.7)
Pri takejto matici pokožky existuje jedinečná číselná charakteristika, ktorá sa nazýva návštevník, typ matice.
Yaksho poriadok n matica (1.7) je jedna jednotka, potom je matica uložená v jednom prvku a ja j je symbol prvého rádu, ktorý zobrazuje takúto maticu, nazývame ju hodnotou tohto prvku.
potom označenie iného rádu, ktoré je založené na takejto matici, sa nazýva číslo, ktoré je od 11 do 22 - od 12 do 21 a byť známy jedným zo symbolov:
Otzhe, pre viznachennyam
(1.9)
Vzorec (1.9) є pravidlo pre skladanie matice rôzneho poradia pre prvky tej istej matice. Slovná formulácia tohto pravidla je nasledovná: označenie iného poradia, podobné matici (1.8), dodatočné rozvinutie prvkov, ako je postavenie na hlavovej uhlopriečke matice, a tiež prvkov, a nie postavenie na druhej Obchodníci iných a iných rádov poznajú širšiu dostupnosť systémov rodu.
Je jasné, yak vikonuyutsya operácie s maticami v systéme MathCad ... Jednoduché operácie maticovej algebry implementované MathCad ako operátory. Písanie operátorov za sprievodcom je čo najbližšie k їхної matematickej práci. Operátor kože sa otočí so symbolom. Mathové a vektorové operácie MathCad 2001 sú ľahko viditeľné. n x 1, Preto sú pre nich všetky tieto operácie spravodlivé, ale pre matice, ktoré nie sú nijak zvlášť zaťažené (napríklad akcie operácií stagnujú iba na štvorcových maticách) n x n). Ako taký je prípustný pre vektory (napríklad skalárny tvir), ale ako taký je nedôležitý pri rovnakom zápise, jednoduchým spôsobom na vektoroch a maticách.
Pre dialózu nastavte počet riadkov a stovky matíc.
q Po stlačení tlačidla OK sa zobrazí pole na zadávanie prvkov matice. Ak chcete zadať prvok matice, umiestnite kurzor na hodnoty pozície a zadajte počet vírusov z klávesnice.
Aby ste mohli vidieť operáciu za ďalším panelom nástrojov, potrebujete:
q zobrazte maticu a kliknite na ňu v paneli pomocou ovládacieho tlačidla,
q Alebo kliknite na tlačidlá na paneli a zadajte polohu matice.
Menu "Symboly" pomstí tri operácie - transpondujúci, invertujúci, visnatnik.
Tse znamená, že napríklad výberom príkazu je možné vypočítať formát matice Symboly / Matica / Šablóna.
Číslo prvého riadku (prvá stotina) matice MathCAD je prevzaté z ORIGIN. Pre promovchannyam vіdlіk sa udržiava od nuly. V prípade matematického zápisu sa často akceptuje zachovanie pohľadu 1. Pre MathCAD sa zobrazuje v číslach v riadkoch a v číslach v riadkoch 1, je potrebné nastaviť hodnotu zmeny ORIGIN: = 1.
Funkcie, určené pre roboty z rodovej algebry, vyberte v sekcii „Vektor a matica“ do dialógu „Vložiť funkciu“ (nagaduumo, stačí kliknúť na tlačidlo na paneli „Štandard“). Hlavné funkcie budú popísané nižšie.
Transpondujúce
|
Pomocou MathCADu môžete zložiť matice, aby sa dali prezerať jednu po druhej. Pre operátorov cich použite symboly <+> abo <-> pre istotu. Matrix je vinný matkou, veľkosť je však rovnaká; Kožený prvok sumi dve matice pre doplnkové prvky matíc-dodankov (zadok na obr. 3).
Pre skladanie matíc MathCAD prispôsobí fungovanie skladania matíc so skalárnou hodnotou, takže. číslo (zadok obr. 4). Prvok vzhľadu výslednej matice veľkého súčtu špecifického prvku cieľovej matice a skalárnej hodnoty.
Pre zadanie symbolu násobenia je potrebné stlačiť kláves s hviezdičkou<*>na zrýchlenie panela s nástrojmi matica, stlačením tlačidla Bodový produkt (násobenie)(obr. 1). Viacnásobné matice sú označené bodkou, ako je znázornené v prílohe na obr. 6. Symbol pre viacnásobné matice je možné zvoliť tak, ako je to v skalárnych virázach.
Ďalší zadok, ktorý možno aplikovať na násobnosť vektora na matici-riadok i, navpaki, riadky na vektore, je znázornený na obr. 7. V druhom rade zadku je zobrazený, podobne ako v prehliadači, vzorec na výber obrázku operátora Žiadny priestor (naraz). Rovnaký operátor sa však vynásobí dvoma vektormi rovnakým spôsobom .
Viac informácií.
