Krivková integrácia neleží na ceste integrácie. Nezávislosť zakriveného integrálu od dráhy integrácie potenciálneho poľa výpočtu zakriveného integrálu v potenciálnom poli výpočtu potenciálu v karteziánskych súradniciach. Formula G
Región sa nazýva monotónny; Oblasť sa nazýva n-pásmové, pretože hranice spadajú do n-pásmových násobkov.
Rešpekt. Formula Grіna vіrna i pre zložité oblasti.
Aby bolo možné integrovať (A, B - byť podobné body z D) bez toho, aby ste vstúpili spôsob integrácie(A to len z klasu a koncových bodov A, B) je potrebné a postačujúce, či ide o uzavretý krivý (od akéhokoľvek obrysu) ležať v D integrálu na nulu = 0
Dôkaz (povinný). Nenechajte (4) zostať mimo integračnej cesty. Jasne viditeľný obrys C by mal ležať v oblasti D a vibrovať dva body A, B na celom obryse. Todi krivku C možno definovať kombináciou dvoch kriviek AB = G2, AB = G1, C = Г - 1 + G2.
Veta 1. Aby zakrivený integrál neležal po integračnej dráhe v D, je potrebné a postačujúce
v oblasti D. Dostatok. Yaksho viconano, potom vzorec Grіna pre akýkoľvek obrys C bude 
Známky na lemіdne nutné potvrdiť. Nevyhnutnosť. Pre lemi pre ľubovoľnú kontúru = 0. Pre Greenov vzorec pre oblasť D, obklopenú kontúrou = 0. Podľa vety nakreslím stred stred = mDіli == 0. Prechod k hranici, utiahnutie kontúry do bodky.
Veta 2. Aby zakrivený integrál (4) nešiel cestou integrácie do D, je potrebné a postačujúce mať integrálnu virázu Pdx + Qdy s diferenciálom funkcie deyakoj = u v oblasti + D. . Dostatočnosť. No tak vicoano, to je potreba. Nenechajte integráciu prejsť na cestu integrácie. Fyzikálny bod A0 v oblasti D je zmysluplný pre funkciu u (A) = u (x, y) =
V celom vipade
XÎ (xÎ). V takejto hodnosti sa іsnu stráca = P. Podobne pre zmenu scho = Q. Keď je funkcia rozložená, funkcia u sa objaví bez prerušenia - na rozlíšenie і du = Pdx + Qdy.
32-33. Hodnota krivých integrálov 1. a 2. rodu
Krivkový integrál pozdĺž oblúka (1. rod)
Nech je funkcia f (x, y) priradená a neprerušená v bodoch oblúka AB hladkej krivky K. Rozdeľme oblúk na n elementárnych oblúkov bodmi t0..tn nie lk súkromného oblúka k. Pohľad na kožu elementárneho duzi, bod N (k, k) a vynásobenie bodu zodpovedajúcim bodom. Oblúk možno zhrnúť do troch integrálnych sumi:
1
=
f (k, k) lk 2 = 
Р (k, k) хk 3 = 
Q (k, k) yk, de хk = x k -x k -1, yk = y k -y k -1
Krivkový integrál 1. rodu pozdĺž oblúka budeme nazývať hranicou integrálu sumi 1 pre odtok, max (lk) 0 
Ak je hranica medzi integrálom sumi 2 alebo 3, keď 0, potom sa volá qya. Krivý integrál 2. rodu, funkcia P (x, y) alebo Q (x, y) pozdĺž kriviek l = AB a znamená: 
abo 
taška: 
+
Je akceptované, že sa nazýva zagalny krivočiary integrál 2. rodu a znamená symbol: 
rovnakým spôsobom f (x, y), P (x, y), Q (x, y) sa nazývajú integrované krivky l = AB. Samotná krivka je l s obrysom, alebo s dráhou integrácie A - klas, B - bod integrácie, dl - diferenciál oblúka, čiže zakrivená integrácia 1. druhu hviezdy. krivočiary integrál podľa dusi krivé, a iného rodu - podľa funkcie ..
Od hodnoty zakrivenej integrácie vipliv, takže integrácia prvého druhu neleží žiadnym priamym spôsobom z A do B alebo z B a A na prelomenie krivky l. Krivkový integrál 1. druhu podľa AB:
, Pre zakrivené integrály 2. druhu je krivka priama cez krivku krivky až po zmenu znamienka:
Niekedy, ak l je uzavretá krivka, TET V jednej sa dá dostať preč od T. A, potom z dvoch možných priamočiarych obídení uzavretého obrysu l sa nazýva kladné, že priamo, ak oblasť leží v strede obrysu, je to zlé byť nahnevaný predtým ??? zdіysnyu obhіd, to znamená priamo do zadnej časti protiroku. Protylezhniy zm_st obchádzajúce hviezdy - negatívne. Krivočiary integrál AB pozdĺž uzavretého obrysu l bude prebiehať priamo v zaťažení pomocou symbolu:
Pre priestrannú krivku sa podobne zavedie 1 integrál 1. druhu:
і tri integrály 2. rodu:
vrece troch zostávajúcich integrálov hviezd. zalnym krivočiarou integráciou 2. druhu.
Deyakyho doplnky krivých integrálov 1. rodu.
1.Integrálne 
- dodatočné oblúky AB
2.Mechanický zmysel integrálu 1. druhu.
Ak f (x, y) = (x, y) je hrúbka čiary materiálového oblúka, potom її masa: 
3. Súradnica k stredu materiálového oblúka:
4. Moment zotrvačnosti oblúka má ležať v oblasti, ach, a klas súradníc a osí, obal, oh, oh:
5. Geometrický zmysel integrálu 1. druhu
Nedovoľte, aby funkcia z = f (x, y) - veľkosť ginu f (x, y)> = 0 v troch bodoch materiálového oblúka ležala v oblasti vpravo:
, De S - plochy valcovej plochy, veľryba uložená v kolmici v plochách oxy, cx. v bodoch M (x, y) krivky AB.
Deyaky doplnky krivej integrácie 2. rodu.
Odhadovaná plocha rovinnej plochy D s kordónom L
2. Robot je silný. Nerobte si starosti s materiálom a okuliarmi, kým sa presunú do súvislého plochého krivého lietadla, priamo z B do C, robot je nútený:
Viznachennya. Oblasť G, ktorá je pre priestor triviálna, sa nazýva povrchne jednoducho spojená. Ak na akomkoľvek uzavretom obryse, ak ležíte v celej oblasti, môžete natiahnuť povrch, ležať úplne v oblasti G. Napríklad vnútro gule alebo celý triviálny priestor є na povrchu, jednoducho spojené oblasti; vnútro torusu je buď triviálny priestor, a ktorý je zahrnutý v priamke, povrchne neprepojený s oblasťami nie є. Prejdite na povrchovú monotónnu oblasť G úloh o neprerušovanom vektorovom poli. Veta 9. Na tento účel je potrebné, aby zakrivený integrál v poli vektora a neležal v smere integrácie, ale ležal iba v bodoch klasu a hrotu dráhy (A a B), aby mal dostatok slučkový vektor v oblasti G, úroveň je nulová. 4 Nevyhnutnosť. Nenechajte to tak, nestrácajte sa na integračnej ceste. Ukáže sa, že pre každý uzavretý obrys L je nula. Dobre viditeľný uzavretý obrys L v poli vektora a je dokonca v novom bode A a B (obr. 35). Pre myseľ maєmo - rіznі shlyakhi, ako získať presne A і B yakraz і zvrátiť stagnáciu! "Uti obrys L. Dostatočnosť. Nebuďte za žiadny uzavretý obrys L. Ukáže sa, že integrál neleží po dráhe integrácie. V poli vektora a dva body A a B, Pre jednoduchosť môže byť prepletené kvapkou, ak sa priamky L \ a L2 neprepletajú. krivočiary integrál smerom k ceste integrácie Potenciálne pole výpočtu zakriveného integrálu v potenciálnom poli výpočtu potenciálu v karteziánskych súradniciach. Veta 9 je potrebná a postačujúca na to, aby osamostatnenie zakriveného integrálu vytvorilo dráhu, je však dôležité ju zmeniť. Pravdepodobne efektívnejšie kritérium. Veta 10. Aby vektorové pole nebolo vírivé, je potrebné a postačujúce, aby vektorové pole bolo bezvírové.M) bolo povrchovo monotónne. Rešpekt. Na základe Viet 9 sa nezávislosť zakriveného integrálu od integračnej dráhy rovná nule cirkulácie torusu a dĺžke akejkoľvek uzavretej slučky. Tsia ma obklopuje vikoristicky prinesenými teorémami. Nevyhnutnosť. Nedovoľte, aby zakrivený integrál neležal vo forme cesty, pretože cirkulácia vektora, ale pozdĺž akéhokoľvek uzavretého obrysu L je cesta nulová. Todi t. E. V kožnom bode poľa, projekcia vektora rot a na akejkoľvek priamej ceste na nulu. Znamená to, že vektor rot sám a vo všetkých bodoch poľa je nulový vo všetkých bodoch poľa, dostatočnosť. Dostatočnosť (3) čerpania zo Stokesovho vzorca, takže ako keby rot a = 0, potom cirkulácia vektora pozdĺž akéhokoľvek uzavretého obrysu L klesne na nulu: Rotor plochého poľa mi umožní sformulovať vetu pre rovné pole. Veta 11. Pre zakrivený integrál v jednočlennom rovné pole neležiace v tvare línie L, je potrebné a postačujúce, aby sa výkon toho istého nachádzal v celom regióne. Ak región nie je jednoducho spojený, potom o tom návštevník premýšľa, zrejme nezanedbá nezávislosť zakriveného integrálu od tvaru čiary. Zadok. Nekhai Razglyanemo integrál Je jasné, že integrál viraz sa nezdá byť v bode 0 (0,0). To je podstata. V poslednej časti oblasti (bude viac ako jedna spojovacia oblasť!) ležal scho integraral (6) v podobe cesty integrácie. §ten. Potenciálne pole hodnoty. Pole vektora a (M) sa nazýva potenciál, rovnako ako skalárna funkcia i (M) je taká, že funkcia i (M) sa nazýva potenciál poľa; її povrchy sa nazývajú ekvipotenciálne povrchy. potom je spivvidnoshennya (1) mocnejšia ako tri skalárne rovnosti: Je skvelé, že potenciál poľa je hodnotený od presnosti po konštantný doplnok: ak nie, je to konštantné číslo. Aplikácia 1. Pole vektora polomeru r je potenciálne, preto sa predpokladá, že potenciál poľa vektora polomeru je rovnaký. Aplikácia 2. Vektorové pole je potenciálne. Nech je funkcia taká, ako je známa. Todi a hviezdy To znamená - potenciál poľa. Veta 12. Na to je viac ako vektor potenciál, je potrebný a postačujúci, ale nie je to vír. Zároveň sa bez prerušenia prenáša kontinuita všetkých súkromných starých súradníc vektora a a povrchu jednoväzbovej oblasti, v ktorej úlohách vektor a. Nevyhnutnosť. Potreba myslieť (2) etablovať sa bez sprostredkovateľa: keďže pole je potenciálne, teda z dôvodu nezávislosti starších v poradí diferenciácie. Dostatočnosť. Nech je vektorové pole bez vinutia (2). Aby som priniesol potenciál tohto odboru, navodím jeho potenciál i (M). Premyte (2) vodou tak, aby zakrivený integrál neležal v tvare L priamky, ale len v klase a koncových bodoch. Minifikujeme pevný bod a koncový bod Mu, z). Todiho integrál (3) bude funkciou bodu. Poznachimo Qiu funktsіyu cez W (M) aj dovedemo scho Nadalі bude zapisuvati іntegral (3) vkazuyuchi Lishe Pochatkova že kіntsevu vysoký bod cesty іntegruvannya, Rіvnіst rіvnosilno trom skalárna rovnice Nezalezhnіst krivolіnіynogo іntegrala od hlavnej cesty іntegruvannya Potentsіyne pole Obchislennya krivolіnіynogo іntegrala v potentsіynomu polі Obchislennya potentsіalu v karteziánskych súradniciach.V prvom rade je možné rovnakým spôsobom priniesť druhú a tretiu rovnosť. Vzhľadom na hodnotu nejasného mamo je viditeľný bod blízko bodu, takže ako funkcia a (M) by mal vychádzať zo vzťahu (4), v ktorom zakrivený integrál neleží v smere integracia, potom to bude tak vibrovat. Todi Zvidsi Ostanniy Integral berie krtko ako priamku MM), rovnobežná os Oh. Celkovo v kvalite parametra je možné súradnicu x: Zastosovyuchi vziať k integrálu v pravej časti (6), veta bude popisovať stred stred; Zo vzorcov (7) je to akceptované, no Takže kvôli neprerušeniu funkcie to môžeme akceptovať. Vektor nie je pole є potenciálne todi a iba todі, ak krivica integrálu neleží novým spôsobom. Výpočet krivočiareho integrálu v poli potenciálu Veta 13. Integrál v poli potenciálu a (M) diferenciálna hodnota poľa potenciálu a poľa (M) v poli potenciálu klasové body Spôsob integrácie, už skôr to bolo oznámené, funkcia je potenciál poľa. V potenciálnom poli krivý intefal neleží ako strašiak. Tom, kmitaním cesty z M \ do bodu M2 tak, aby sme prešli cez bod Afo (obr. 38), budeme schopní rozpoznať cestu v prvom kroku vpravo. pole začína z presnej vzdialenosti k stĺpiku Potenciál videného poľa môže prekonať rekordy diváka de s - postyna. Úlohy nahradím vzorcom (10) a na porovnanie potenciálu v (M) môžeme použiť vzorec Príloha 3. V aplikácii 1 je ukázané, že potenciál poľa polomerového vektora r є funkcia de - prejdite od bodu k klasu súradníc. Výpočet potenciálu v karteziánskych súradniciach Nehai daného potenciálneho poľa Už skôr sa ukázalo, že potenciálnu funkciu „(M) možno poznať zo vzorca Integrál (11). y, z) Lamano, Lankan a paralelné súradnicové osi. Súčasne sa na kožnej tyči lamana mení iba jedna súradnica, čo umožňuje jednoducho zjednodušiť výpočet. Naozaj, na ceste M0M \ maєmo: Na ceste. Malý. 39. Na ceste. Otzhe, potenciálne dorivnyuє de - súradnice bodu toku v Lankan Lamanoi, kde sa vykonáva integrácia. Aplikácia 4. Zvýšte potenciál vektorového poľa a poznajte jeho potenciál. 4 Reverzibilné, ak je pole vektora a (Af) potenciálne. Vypočíta sa rotor poľa. Mahmo Pole je potenciálny. Potenciál poľa je známy z doplnkového vzorca (12). Pozrite sa na bod klasu L / o klas súradníc O (tak vyvolajte, ak je pole a (M) priradené k klasu súradníc). Todi otrimaєmo Otzhe, de s - dovilna postyna. Potenciál celého odboru možno spoznať aj inak. Pre hodnoty je potenciál і (x, y, z) skalárna funkcia, pre ktorú je gradu = a. Tse vektor rіvnіst rіvnosilno trom skalárna rovnice: Іntegruyuchi (13), pokiaľ ide o X, otrimaєmo de - dovіlna funktsіya scho diferentsіyuєtsya og Yip Derivováním k y: Nezalezhnіst krivolіnіynogo іntegrala od hlavnej cesty іntegruvannya Potentsіyne pole Obchislennya krivolіnіynogo іntegrala v potentsіynomu polі Obchislennya potentsіalu v Kartézske súradnice Po integrácii (17) vzhľadom na y je známe, že funkcia je z. Po odoslaní (18) až (16) to vidíme. Diferencovaná rovnováha parity č a s pohľadom na spydnoshennya (15),
Jednoznačne pokrivená integrácia 2. druhu, de L- krivka, scho z'єnuє bod Mі N... dobrá funkcia P (x, y)і Q (x, y) mája bez prerušení súkromných dejín v regióne D, V celku, lež krivka L... Je dôležité, že pri akomkoľvek vzhľade zakrivený integrál neleží v tvare zakriveného L, A to len z rozetu bodov Mі N.
Vykonal dve výrazné krivky MPNі MQN Ležať v areáli Dі scho vziať na vedomie Mі N(obr. 1).
M N Malý. 1. P
Prijateľné, scho, tobto
Todi, de L- uzavretý obrys, skladanie z kriviek MPNі NQM(Otzhe, môžete ich rešpektovať). S takouto úrovňou, vzhľadom na nezávislosť zakriveného integrálu 2. druhu od spôsobu integrácie-kúpele, je rovnako dôležité myslieť si, že takýto integrál pozdĺž akéhokoľvek uzavretého obrysu je nulový.
Veta 1. Prejdite na všetky body regiónu D bez prerušenia funkcií P (x, y)і Q (x, y)і їх súkromné staré і. Todi, aby bolo možné uzavrieť slučku L Ležať v areáli D, Vikonuvalasya umova
Nevyhnutné a dostatočné, ale = na všetkých miestach regiónu D.
Dovedennya .
1) Dostatok: nie umova = viconano. Jasne viditeľná uzavretá slučka L v oblasti D, ohraničím oblasť S, môžem napísať Grinov vzorec pre nový:
Otzhe, dostatok bol prinesený.
2) Nevyhnutnosť: pravdaže, Viconanova myseľ v oblasti pokožky D, Ale viem, chcem jeden bod celého regiónu, v ktorom - ≠ 0. Nekhai napr. P (x 0, y 0)-> 0. Takže, ako v ľavej časti nepravidelností, funkcia varto nie je jednotná, bude kladná a viac ako δ> 0 v nejakej malej oblasti D', Zobraziť bod pomsty R... už,
Zvidsi podľa vzorca Grіna otrimuєmo, scho, de L'- obrys, ktorý bude obklopovať oblasť D'... Výsledkom je zahltenie mysľou. Otzhe, = na všetkých miestach regiónu D, no a je potrebné priniesť.
rešpekt 1 ... Analogickú hodnosť pre triviálny priestor možno priniesť s potrebnými a dostatočnými mysliami na nezávislosť zakriveného integrálu.
z integrácie cesty є:
Rešpekt 2. Pri predstave myslí (28 / 1,18) viráz Pdx + Qdy + Rdzє Upravte diferenciál funkcie deyakoї і... Tse umožňuje zvýšiť výpočet zakriveného integrálu na hodnotu rozdielu і v kintsevіy a pochtkovіy bodoch obrysu integrácie, takže jaka
So širokou funkciou і môžete vedieť za vzorcom
de ( x 0, y 0, z 0)- oblasť bodu z D, a C- dobrý príspevok. Jednoduché presúvanie, jednoduché naklápanie, súkromné staré funkcie і, Dané vzorcom (28 / 1,19), рівні P, Qі R.
Dajte ploché vektorové pole. Umožníme prídavky, na funkcie P a Q bez prerušenia naraz pre ich deti a v regióne.
Je možné vidieť dva body v oblasti G a dva body. Body môžu byť vytvorené rôznymi čiarami, ale ležať v oblasti zakriveného integrálu.
Takže napríklad zakrivený integrál
a dva body. Integrál je očíslovaný, v Pershe je premostenie priamo vpred, čo je z bodu A a B, a inými slovami, premostenie parabolického oblúka je z bodu. Zastosovyuchi pravidlá pre výpočet zakriveného integrálu, vieme
a) uzdovzh vidrizka
b) premostenie parabolického oblúka:
V takom poradí, mi bachimo, že význam zakriveného integrálu leží v smere integrácie, t.j. bodky sú jedna a tá istá hodnota, ktorá sa rovná.
Zodvihnite zadok, aby ste ukázali, ako pokrivené integrály, očíslované za malými cestami, kde sú dva body, v niektorých vipadoch odlišné od seba a v niektorých vipadoch majú jeden a ten istý význam.
Nechoďte A a B - dva body oblasti G. Krivky sú jasné, ale ležia v oblasti G a blízko bodov A a B.
Aj keď je to pokrivený integrál, na pomoc jedného z tsikhských šľachticov akceptujte jeden a ten istý význam a potom povedzte: „Nebudem si ľahnúť na cestu integrácie.
Na začiatku dvoch teorémov je navodená myseľ, pri akejkoľvek krivočiarej integrácii neleží na ceste integrácie.
Veta 1. Na to, aby zakrivený integrál v určitej oblasti G neležal integračnú dráhu, je potrebné a postačujúce integrovať po ľubovoľnej uzavretej vrstevnici, ktorá leží v celej oblasti a pôjde k nule.
Doručené. Dostatočnosť.
Zoberme integrál pozdĺž uzavretej slučky nakreslenej v oblasti G na nulu. Ukazuje sa, že integrácia nespočíva v spôsobe integrácie. Naozaj nedovoľte, aby dva body A a B ležali v oblasti G.
Ukazuje sa, že oblúky tvoria uzavretý obrys Z, pozriem sa na silu zakrivených integrálov,
tak jaka. Ale pre wash yak integrované v uzavretej slučke.
Otzhe, pre takú hodnosť, pokrivená integrácia nespočíva v ceste integrácie.
Nevyhnutnosť. Nechoďte do oblasti G pokrivenej integrácie, aby ste nevytýčili cestu integrácie. Dá sa ukázať, že integrál pozdĺž akéhokoľvek uzavretého obrysu, ktorý leží v celej oblasti, je nulový. Je pravda, že zreteľný uzavretý obrys by mal ležať v oblasti G a dokonca aj na nových dvoch bodoch A a B (div. Obr. 257). Todi
tak yak na pranie. Taktiež integrál pozdĺž akéhokoľvek uzavretého obrysu L, ktorý leží v oblasti G, je nulový.
Veta kráča vpred, takže pre praktickú víťaznú myseľ, ak zachytíte nejakú pokrivenú integráciu, nezložíte cestu integrácie.
Veta 2.
Na to, aby bol krivý, nie je potrebné a postačujúce integrovať integráciu v jednočlánkovej oblasti, ale je potrebné a postačujúce v skin pointe centrálnej oblasti.
Doručené. Dostatočnosť. Nechoďte v oblasti Ukáže sa, že zakrivený integrál pozdĺž ľubovoľného uzavretého obrysu L, ktorý leží v oblasti G, je nulový. Majdanchik je viditeľný, budem obklopený obrysom L. Vzhľadom na monotónnu oblasť G by mal byť majdanchik úplne vytvorený. Na prezentácii vzorcov Ostrogradskiy-Grіna zokrem, aj na Maydanchik Tomu. Tiež integrál pozdĺž akéhokoľvek uzavretého obrysu L v oblasti G je nulový. Na základe Viet 1 je robustný, ale krivá integrácia nespočíva v ceste integrácie.
Nevyhnutnosť. Nenechajte pokrivenú integráciu prejsť na cestu integrácie v regióne Q. Ukáže sa, že na všetkých miestach regiónu
Prijateľné vodítko, teda E. Scho v bode deyak_y regiónu Nehay za hodnotu. Na základe predpokladu o kontinuite súkromných starých ľudí a rozvoji bude existovať nepretržitá funkcia. Taktiež v blízkosti bodu je možné opísať číslo a (ktoré leží v oblasti G), vo všetkých bodoch, kde, ako aj v bode, bude rozdiel kladný. Zastosuєmo do stávky vzorec Ostrogradskiy-Grіna.
