Momentom zotrvačnosti je hodina prenosu osí. Moment zotrvačnosti pri paralelnom prenose osí. Hlavné momenty zotrvačnosti. Hlavné osi zotrvačnosti

Osi, ktoré prechádzajú ťažiskom plochej postavy, sa nazývajú centrálne osi.
Moment zotrvačnosti sa zvyčajne nazýva centrálny moment zotrvačnosti.

Veta

Moment zotrvačnosti by mal byť väčší ako súčet momentu zotrvačnosti, ak je stredová os rovnobežná s danou osou a plocha obrázku je navyše odmocnená medzi osami.

Aby sme dokázali teorém, pozrime sa na pomerne plochý obrázok, ktorého plocha je väčšia A , stred W a centrálny moment zotrvačnosti je okolo osi X bude Ja x .
Vypočítajme moment zotrvačnosti útvaru podľa pôsobiacej osi x 1 , rovnobežne so stredovou osou a v diaľke v nej na stojane ale (Mal).

I x1 = Σ y 1 2 dA + Σ (y + a) 2 dA =
= Σ y 2 dA + 2a Σ y dA + a 2 Σ dA.

Pri analýze otrimanovho vzorca je zrejmé, že prvý dodatok je osový moment zotrvačnosti pozdĺž stredovej osi, druhý doplnok je statický momentštvorce obrázku sú podobné stredovej osi (tiež vіn dorivnyuє nula) a tretí prírastok po integrácii môže mať pohľady na stvorenie a 2 A , takže ako výsledok vezmeme vzorec:

I x1 \u003d I x + a 2 A- Veta bola dokončená.

Na základe vety je možné urobiť visnovok, ktorý v sérii rovnobežných osí bude axiálny moment zotrvačnosti plochého útvaru najmenší zo stredovej osi .

Hlavové nápravy a momenty zotrvačnosti hlavy

Urobme rovinný obrazec, momenty zotrvačnosti ako súradnicové osi Ja x і ja y a polárny moment zotrvačnosti je podobný klasu súradníc I ρ . Ako to bolo nainštalované skôr,

I x + I y = I ρ.

Ak sa osi súradníc otáčajú vo svojej vlastnej rovine na klase súradníc, potom polárny moment zotrvačnosti zostane nezmenený a osi momentu sa zmenia, ich množstvo sa stratí o veľkosť konštanty. Úlomky súčtu meniacich sa hodnôt sú konštantné, jedna z nich sa mení a druhá sa zvyšuje a navpaki.
Tiež pre prvú polohu osí jeden z osových momentov dosahuje maximálnu hodnotu a druhý - minimum.

Osі, shdo takéto momenty zotrvačnosti môžu byť minimálne maximálna hodnota nazývané hlavové osi zotrvačnosti.
Moment zotrvačnosti, podobne ako os hlavy, sa nazýva moment zotrvačnosti hlavy.

Ak má hlava prechádzať stredom hlavy postavy, nazýva sa to stredová čiara hlavy a moment zotrvačnosti ako táto os je hlavným centrálnym momentom zotrvačnosti.
Môžete urobiť visnovok, takže postava je symetrická ako os, potom všetky budú jednou z hlavových centrálnych osí zotrvačnosti postavy.

Centrálny moment zotrvačnosti

Centrálny moment zotrvačnosti plochej figúry sa nazýva prevzatý na celej ploche súčtu výtvorov elementárnych maidančikov na vzdialenosť až dvoch vzájomne kolmých osí:

I xy = Σ xy dA,

de X , r - Vidstan vіd maidanchik dA na osi X і r .
Centrálny moment zotrvačnosti môže byť kladný, záporný a rovný nule.

Centrálny moment zotrvačnosti je zahrnutý vo vzorci na určenie polohy hlavných osí asymetrických prekmitov.
Tabuľky štandardných profilov majú charakteristiku, ktorá je tzv polomer zotrvačnosti , ktorý sa počíta pre vzorce:

i x = √ (I x / A),i y = √ (I y / A) , (Tu som dal znamenie"√"- koreňový znak)

de Ja x , ja y - osové momenty zotrvačnosti pererazu pozdĺž centrálnych osí; A - Oblasť prechodu.
Tsya geometrická charakteristika vikoristovuetsya pozacentral strečing chi stláčanie, a navіt neskoré Vigin.

Torzná deformácia

Základné znalosti o krútení. Točivý okrúhly lúč.

Krútenie sa nazýva tento typ deformácie, keď v priečnom reze nosníka dochádza len k nepatrnému momentu skrútenia, to je siločiniteľ, ktorý má za následok kruhový posun pozdĺž osi, kolmo na os, alebo prechod do takýto posun. Inými slovami - obviňujú sa torzné deformácie, takže až na rovnú tyč v rovinách kolmých na rovnakú os pôsobí dvojica alebo dvojica síl.
Momenty týchto párov síl sa nazývajú krútenie alebo obalenie. Obertalny moment znamenať T .
Týmto spôsobom mentálne podіlyaє silové faktory a deformácie krútenia na zvnіshnі (krútenie, strmé momenty). T ) a vnútorné (točné momenty M kr ).

V strojoch a mechanizmoch krútenia sa najčastejšie používajú okrúhle alebo rúrkové hriadele, takže na takéto uzly a časti sa najčastejšie používajú rozrahunki pre mäkkosť a tvrdosť.

Pozrime sa na krútenie okrúhleho valcového hriadeľa.
Ak chcete odhaliť humózny valcový hriadeľ, v akýchsi rýchlych upevneniach jeden z koncov a na povrchu je mriežka zadných línií a priečnych kýlov. Na voľný koniec hriadeľa, kolmý na os hriadeľa, pôsobí niekoľko síl, takže os je skrútená. Ak sa pozorne pozriete na čiary siete na povrchu hriadeľa, môžete si všimnúť, že:
- všetok hriadeľ, ako nazývajú všestranný zákrut, zbavte sa priamky;
- priemer kіl by mal byť rovnaký a rozdiel medzi susіdnіmi stávkami sa nezmení;
- Neskoršie čiary na hriadeli sa zmenia na dvojité čiary.

Preto je možné urobiť visnovok, že pri skrútení okrúhlej valcovej tyče (hriadeľa) platí hypotéza o plochých prelisoch a tiež pripustiť, aby sa polomery kil pri deformácii vyrovnali (prierezy ich priemerov sa nestali zmeniť). A oskіlki v mólach šachty sú denné zadné sily, ale stoja medzi nimi, aby sa zachránili.

Tan, deformatsia krutnya Okrúhly hriadeľ PoleAєє na prelome priečnych pasažierov, jeden jediný Navko Osi Kratchennya, záver Kutov Vіd Vіdkypleniy Perezіza - Chim Dali Vіd Skrіplain Kіntza Valo Valeki-Skump Vchodo Osskump.
Pri kožnom reze drieku otočte krútenie časti drieku, položenej medzi rezmi a hrdlami (upevnené rezom).


Kut ( Mal. jeden) otáčanie voľného konca hriadeľa (koniec rezu) sa nazýva horný koniec krútenia valcového nosníka (hriadeľa).
Vidnosny kutom krútenie φ 0 sa nazýva vinutie kuta krútenie φ 1 na vidstane l 1 od prvého rezu po hypotéku (fixný rez).
Yakshcho valcové drevo (hriadeľ) zavdovka l Ak dochádza k neustálemu prerezávaniu a krúteniu krútiacim momentom na voľnom konci (ktorý je vytvorený z homogénneho geometrického grafu), potom platí nasledovné:
φ 0 = φ 1 / l 1 = φ / l = konšt - Konštantná hodnota.

Ako rozpoznateľne tenká guľa na povrchu viscerálneho humínového valcového lúča ( Mal. jeden), okolie v strede mriežky cdef , potom úctivo, že tento stred je pri deformácii zdeformovaný a її strana, ďaleko od pevného prerezania, sa posúva na strane krútenia lúča, pričom zaujíma polohu cde 1 f 1 .

Treba poznamenať, že podobný obraz možno pozorovať pri deformácii stehu, len v rovnakom smere sa povrch deformuje translačným jednosmerným pohybom a nie ovíjacím pohybom, ako v prípade deformácie krútením. Z ktorej je možné vytvoriť neskrútenú visnovku, ktorá zo zákrutov v priečnych rezoch viní len dotichny vnútornými silami (ťahom), na vytvorenie krútiaceho momentu.

Moment skrútenia je tiež výsledný moment osi tyče vnútorných bodových síl, ktoré vznikajú v priečnom reze.

Zavádzame kartézsky pravouhlý súradnicový systém Oxy. Môžeme sa pozrieť na rovinu súradníc, je tam trochu prerezaná (uzavretá oblasť) od roviny A (obr. 1).

Statické momenty

Bod C so súradnicami (x C, y C)

volal ťažisko.

Ak súradnicové osi prechádzajú cez ťažisko hrany, potom statické momenty hrany dosiahnu nulu:

Axiálne momenty zotrvačnosti prechádzanie osami x a y sa nazýva integrály tvaru:

Polárny moment zotrvačnosti Priesečník klasu súradníc sa nazýva integrál tvaru:

Centrálny moment zotrvačnosti sekcia sa nazýva integrál mysle:

Zotrvačné osi hlavy sú prerezané sa nazývajú dva navzájom kolmé na os, kde I xy =0. Pokiaľ ide o vzájomne kolmé osi є všetku symetriu rezu, potom I xy \u003d 0 i, tiež os qi - smut. Osky hlavy, ktoré prechádzajú ťažiskom rezu, sa nazývajú stredové osi zotrvačnosti hlavy

2. Steiner-Huygensova veta o paralelnom prenose osí

Steiner-Huygensova veta (Steinerova veta).
Axiálny moment zotrvačnosti cez I nezničiteľná os x pridajte súčet axiálneho momentu zotrvačnosti prierezu I od vizuálne rovnobežnej osi x * , aby ste prešli stredom prierezu hmoty, a pridajte plochu prierezu A ku štvorcu rozpätie d medzi dvoma osami.

Ak vezmeme do úvahy momenty zotrvačnosti I x і I y pre osi x a y, potom pre osi ν і u, otočené o kut α, sa momenty zotrvačnosti osi a ťažiska vypočítajú pomocou vzorce:

Z ukazovania vzorcov je jasné, že

Tobto. súčet osových momentov zotrvačnosti sa pri otáčaní vzájomne kolmých osí nemení, tzv. . Osky hlavy, ktoré prechádzajú ťažiskom rezu, sa nazývajú hlavové centrálne osi pererazu. Pre symetrické prierezy osi a symetriu so stredovými osami hlavy. Poloha osí hlavy prierezu ostatných osí je určená zástupnou spіvvіdnoshennia:

de? Osi momentu zotrvačnosti, podobne ako osi hlavy, sa nazývajú momenty zotrvačnosti hlavy:

znamienko plus pred ďalším dodatkom sa privedie do maximálneho momentu zotrvačnosti, znamienko mínus - na minimum.

Dovoľte mi vidieť Ix, Iy, Ixy. Rovnobežne s osami xy nakreslíme novú priamku x1, y1.

І významný moment zotrvačnosti samotného rezania nových osí.

X 1 \u003d x-a; y1 = y-b

I x 1 = ∫ y 1 dA = ∫ (y-b) 2 dA = ∫ (y 2 - 2by + b 3) dA = ∫ y 2 dA – 2b ∫ ydA + b 2 ∫dA=

Ix - 2b Sx + b 2A.

Ak všetko prechádza cez ťažisko rezu, tak statický moment Sx =0.

I x 1 = Ix + b 2 A

Podobne ako pri novej osi y 1 môžeme vypočítať vzorec I y 1 = Iy + a 2 A

Centrálny moment zotrvačnosti pre nové osi

Ix 1 y 1 \u003d Ixy - b Sx -a Sy + abA.

Ak os xy prechádza cez ťažisko rezu, potom Ix 1 y 1 = Ixy + abA

Ak je lúč symetrický, ak sa jedna zo stredových osí pohybuje okolo celej symetrie, potom Ixy \u003d 0, tiež Ix 1 y 1 \u003d abA

Zmena momentu zotrvačnosti za hodinu otáčania osí.

Poznáme osové momenty zotrvačnosti okolo osí xy.

Nový súradnicový systém xy sa odoberie otočením starého systému o kut (a> 0), teda otočením šípky proti roku.

Nainštalujte úhor medzi staré a nové súradnice Majdančiku

y 1 \u003d ab \u003d ac - bc \u003d ab-de

od tricot acd:

ac/ad \u003d cos α ac \u003d ad * cos α

z tricot oed:

de/od=sinα dc=od*sinα

Predstavme hodnotu virázy pre y

y 1 \u003d ad cos α - od sin α \u003d y cos α - x sin α.

Podobne

x 1 \u003d x cos α + y sin α.

Vypočítame osový moment zotrvačnosti pre novú os x 1

Ix 1 = ∫y 1 2 dA = ∫ (y cos α - x sin α) 2 dA = ∫ (y 2 cos 2 α - 2xy sin α cos α + x 2 sin 2 α) dA = = cos 2 α ∫ y 2 dA - sin2 α ∫xy dA + sin 2 α ∫x 2 dA = Ix cos 2 α - Ixy sin2 α + Iy sin 2 α .

Podobne Iy 1 \u003d Ix sin 2 α - Ixy sin2 α + Iy cos 2 α.

Zložili sme ľavú a pravú časť odobraného vírusu:

Ix 1 + Iy 1 \u003d Ix (sin 2 α + cos 2 α) + Iy (sin 2 α + cos 2 α) + Ixy (sin2 α - cos2 α).

Ix 1 + Iy 1 = Ix + Iy

Súčet osových momentov zotrvačnosti sa pri otáčaní nemení.

Významný je centrálny moment zotrvačnosti pre nové osi. Predstavme si hodnoty x1, y1.

Ix 1 y 1 = ∫x 1 y 1 dA = (Ix – Iy)/2*sin 2 α + Ixy cos 2 α .

Hlavné momenty a hlavné osi zotrvačnosti.

Momenty zotrvačnosti hlavy pomenovať ich extrémne hodnoty.

Osi, ktoré majú nejaké extrémne hodnoty, sa nazývajú hlavové osi zotrvačnosti. Zápach je vždy vzájomne kolmý.

Vіdtsentrovy moment іnertsії schodo osi hlavy zavzhdі dorivnyuє 0. Oskіlki vіdomo, scho shcho majú є vіs symetriu, potom vіdtsentrovy moment іvіvnyuє 0, tiež všetky hlavy vіymetry Ak vezmeme prvý riadok vo viráze I x 1, potom її rovnáme „0“, potom vezmeme hodnotu kuta = zodpovedajúcu polohu osí zotrvačnosti hlavy.

tg2 α 0 = -

Ak α 0 >0, potom sa stará stanica osí hlavy musí otočiť v smere šípky roka. Jedna z hlavných osí je є max a іnsha - min. S pomocou hmotnosti max vietor fúka menší kut tієї vypadkovoї, vyssyu schodo kakoї môže mať väčší osový moment zotrvačnosti. Extrémne hodnoty axiálneho momentu zotrvačnosti sú určené nasledujúcim vzorcom:

Kapitola 2. Základné chápanie podpory materiálov. Úlohou tejto metódy.

Pod hodinou navrhovania rôznych spór je potrebné virishuvovať rôzne nutričné ​​hodnoty, zhorstkost, výdrž.

Mitsnist- Stavba tohto tela ukáže rozdiel v márnosti bez skazy.

Tvrdosť- budovanie konštrukcie, ktorú možno využiť bez veľkých deformácií (posunov). Dopredné prípustné hodnoty deformácie upravujú budúce normy a pravidlá (SNIP).

výdrž

Môžeme sa pozrieť na uchopenie nožnice gnuchka

Ak chcete zvýšiť krok za krokom, potom bude na chrbte rýchly účes. Keď sila F dosiahne kritickú hodnotu, dôjde k vydutiu šmyku. - Absolútne krátke.

Vďaka tomu sa strih nezrúti, ale prudko zmení svoj tvar. Takýto jav sa nazýva vtratoy stamina a vedie k záhube.

Sopromat- Tse základy vied o mіtsnіst, zhorstkіst, stіykіst inžinierskych stavieb. Supramatik vikoristovuyutsya metódy a teoretická mechanika, fyzika, matematika. Na vіdmіnu vіd teoreticheї mekhanіk spromat vrakhovuє zmіnu rozmіrіv aj forma tіl pіd dієyu vantazhennya, že teplota.

V prípade praktických úloh je často potrebné určiť momenty zotrvačnosti naprieč osami v rôznych orientáciách v rovnakej rovine. Ak potrebujete ručne vyladiť hodnotu momentu v zotrvačnosti celého crossoveru (predovšetkým skladové diely), existujú ďalšie osi, ktoré nájdete v technickej literatúre, špeciálnych údajoch a tabuľkách a tiež hľadajte vzorce. Preto je dôležité stanoviť úhory medzi momentmi zotrvačnosti jedného a toho istého kríženia rôznych osí.

V divokej zmene možno prechod zo starého na nový súradnicový systém považovať za dve po sebe nasledujúce transformácie starého súradnicového systému:

1) dráhu paralelného posunu súradnicových osí v novej polohe

2) spôsob, ako zmeniť їх shоdo nový klas súradníc. Pozrime sa na prvú z týchto transformácií, teda na paralelný prenos súradnicových osí.

Je prípustné, aby momenty zotrvačnosti thogo prierezu starých osí (obr. 18.5) boli v dome.

Zoberme si nový súradnicový systém osí, ktoré sú rovnobežné s nami. Výrazne a a b sú súradnice bodu (súradnice nového klasu súradníc) v starom súradnicovom systéme

Poďme sa pozrieť na elementárnu oblasť Súradnice її y starého súradnicového systému sa rovná y i . Nový systém páchne rovnako

Môžeme znázorniť hodnotu súradníc osového momentu zotrvačnosti okolo osi

Iným spôsobom - moment zotrvačnosti je statický moment križovatky pozdĺž osi cestnej plochy F križovatky.

Otzhe,

Ak všetko z prechádza ťažiskom rezu, potom statický moment i

Zo vzorca (25.5) je vidieť, že moment zotrvačnosti by mal byť ako os, aby neprechádzal ťažiskom viac ako moment zotrvačnosti, ak os prechádza ťažiskom, o sumu, ktorá je vždy kladná. Od rovnakého momentu zotrvačnosti pre rovnobežné osi môže byť axiálny moment zotrvačnosti najmenšia hodnota ako prejsť ťažiskom rezu.

Moment zotrvačnosti okolo osi [podľa vzorca (24.5)]

V okremy pádu, ak všetko prechádza ťažiskom rezu

Vzorce (25.5) a (27.5) sú široko používané pri výpočte axiálnych momentov zotrvačnosti pri skladaní (skladových) prekročeniach.

Teraz si môžeme predstaviť hodnotu centrálneho momentu zotrvačnosti pre šírku osí

Pozrime sa na moment zotrvačnosti plochého útvaru (obr.) pre osi $(Z_1)$ a $(Y_1)$ pre daný moment zotrvačnosti pre osi $X$ a $Y$.

$(I_((x_1))) = \int\limits_A (y_1^2dA) = \int\limits_A (((\left((y + a) \right))^2)dA) = \int\limits_A ( \left(((y^2) + 2ay + (a^2)) \right)dA) = \int\limits_A ((y^2)dA) + 2a\int\limits_A (ydA) + (a^2 )\int\limits_A (dA) = $

$ = (I_x) + 2a(S_x) + (a^2)A$,

de $(S_x)$ - statický moment figúry je okolo osi $X$.

Podobne ako na osi $(Y_1)$

$(I_((y_1))) = (I_y) + 2a(S_y) + (b^2)A$.

Centrálny moment zotrvačnosti pre osi $(X_1)$ a $(Y_1)$

$(I_((x_1)(y_1))) = \int\limits_A ((x_1)(y_1)dA) = \int\limits_A (\left((x + b) \right)\left((y + a ) \right)dA) = \int\limits_A (\left((xy + xa + by + ba) \right)dA) = \int\limits_A (xydA) + a\int\limits_A (xdA) + b\int \limits_A(ydA) + ab\int\limits_A(dA) = (I_(xy)) + a(S_x) + b(S_y) + abA$

Najčastejšie dochádza k prechodu od centrálnych osí (horných osí plochej postavy) k plným, paralelným. Potom $(S_x) = 0$, $(S_y) = 0$, úlomky osi $X$ a $Y$ sú centrálne. Zostávajúca majonéza

de, - výkonové momenty zotrvačnosti, to sú momenty zotrvačnosti podľa výkonu centrálnych osí;

$a$, $b$ - vіdstanі vіd centrálne osi na analіzovanih;

$A$ - oblasť postavy.

Treba si uvedomiť, že pri priradení centrálneho momentu zotrvačnosti k veličinám $a$ a $b$ je na vine znamienko, takže smrad sú v skutočnosti súradnicami ťažiska obrazca v r. osi, na ktoré sa pozerá. Keď sú priradené axiálne momenty zotrvačnosti a hodnoty, hodnoty sú prezentované za modulom (ako v norme), avšak črepy smradu stúpajú do štvorca.

Pomocou vzorcov paralelného prenosu je možné zmeniť prechod zo stredových osí na plné, alebo naopak- v prevіlnyh centrálnych osí Prvý prechod je označený znamienkom "+". Ďalší prechod je označený tabuľou- ".

Na prechod medzi paralelnými osami použite rôzne vzorce

Obdĺžniková sietnica

Významne je centrálny moment zotrvačnosti obdĺžnika úmerný hlavným momentom zotrvačnosti okolo osí $Z$ a $Y$.

$(I_x) = \frac((b(h^3)))(3)$; $(I_y) = \frac((h(b^3)))(3)$.

.

Podobne $(I_y) = \frac((h(b^3)))((12))$.

Trikutny Pereriz

Je príznačné, že centrálny moment zotrvačnosti tricoutteru nad daným momentom zotrvačnosti základne $(I_x) = \frac((b(h^3)))((12))$.

.

Ak má stredová os $(Y_c)$ inú konfiguráciu, môžeme sa na ňu tiež pozrieť. Moment zotrvačnosti všetkých útvarov pozdĺž osi $(Y_c)$ je väčší ako súčet momentu zotrvačnosti trikotu $ABD$ pozdĺž osi $(Y_c)$ a momentu zotrvačnosti trikotu $CBD$ pozdĺž osi $(Y_c)$, tobto

.

Vymenovanie na moment zotrvačnosti zloženej koľajnice

Dajme dokopy dôležitý peretín, ktorý sa skladá z okremih prvkov, geometrické charakteristiky akékoľvek známe. Plocha, statický moment a moment zotrvačnosti skladu tvoria súčet príslušných charakteristík skladu. Ako záhyby po obvode, môžete to urobiť zvonku ako jedna z figúrok, geometrické charakteristiky figúry sú viditeľné. Napríklad momenty zotrvačnosti skladiska znázornené na obr. sa objaví takto

$I_z^() = \frac((120 \cdot ((22)^3)))((12)) - 2 \cdot \frac((50 \cdot ((16)^3)))(12 )) = 72 \, 300 $ cm 4 .

$I_y^() = \frac((22 \cdot ((120)^3)))((12)) - 2 \cdot \left((\frac((16 \cdot ((50)^3)) )((12)) + 50 \cdot 16 \cdot ((29)^2)) \vpravo) = 1\.490\.000 $cm 4