Nezávislosť zakriveného integrálu na voľbe cesty integrácie. Grinin vzorec. Pamätajte na nezávislosť zakriveného integrálu na ceste integrácie
2. druh zo spôsobu integrácie
Zakrivený integrál druhého druhu, de L je krivka medzi rovnakými bodmi M a N. Krivka L. Je dôležité, že zakrivený integrál pri akýchkoľvek pohľadoch neleží na tvare krivky L, ale iba na body M a N.
Nakreslíme dve krivky MSN a MTN, ale ležíme v oblasti D a uzavrieme body M a N (obr. 14).
Prijateľné, scho, tobto
de L - uzavretý obrys, záhyby z kriviek MSN a NTM (ktoré je možné použiť). S takouto hodnosťou, mysľou nezávislosti krivočiary integrál Druhý druh spôsobu integrácie je silnejší ako myseľ, ale takýto integrál pozdĺž akéhokoľvek uzavretého obrysu sa rovná nule.
Veta 5 (Greenova veta). Nemať spojité funkcie P (x, y) a Q (x, y) a ďalšie súkromné funkcie vo všetkých bodoch oblasti D. To znamená, že aby akýkoľvek uzavretý obrys L ležal v oblasti D,
potrebné a dostatočné vo všetkých bodoch oblasti D.
Doručené.
1) Dostatok: nie umova = viconano. Jasne viditeľný uzavretý obrys L v oblasti D, ktorá susedí s oblasťou S, a môžeme naň napísať Grinov vzorec:
Otzhe, dostatok sa dosiahol.
2) Nevyhnutnosť: povedzme, že Viconan je v koži oblasti D, ak chcete jeden bod celej oblasti, v ktorom -? 0. Nekhai, napríklad v bode P (x0, y0) maєmo: -> 0. Takže v ľavej časti nepravidelností je funkcia neprerušovaná, bude pozitívna a efektívnejšia? > 0 v malej oblasti D`, aby sa pomstil bodu R. Otzhe,
Zvidsi podľa vzorca Grіna otrimuєmo, scho
de L` je obrys, ktorý susedí s regiónom D`. Celý výsledok má byť ohromený mysľou. Z toho istého, = vo všetkých bodoch oblasti D, ktoré je potrebné priniesť.
Spása 1. Analogickú hodnosť pre triviálny priestor je možné dosiahnuť s potrebným a dostatočným myslením na zakrivený integrál.
z integrácie cesty:
Rešpekt 2. Víťazstvom myslí (52) viraz Pdx + Qdy + Rdz є so sekundárnym diferenciálom funkcie deyakoї i. To umožňuje vypočítať krivočiary integrál až do hodnoty rozdielu v bodoch integrálneho obrysu, takže
V prípade širokej škály funkcií môžete za vzorcom vedieť
de (x0, y0, z0) je bod z domény D a C je pomerne spojitý. Je efektívny, dá sa ľahko nakloniť, ale súkromné funkcie a funkcie dané vzorcom (53) sa rovnajú P, Q a R.
Zadok 10.
Spočítajte zakrivený integrál 2. druhu
o viac kriviek, z rovnakého bodu (1, 1, 1) a (2, 3, 4).
Rekonštrukcia, scho vikonany umovi (52):
Otzhe, funkcia a isnu. Poznáme zo vzorca (53), kde x0 = y0 = z0 = 0. Todi
V takom poradí funkcia a dizajn začínajú od precíznosti až po predposledné dodanie. Prijateľné C = 0, toodi u = xyz. už,
30. Formula Grіna. Majte na pamäti nezávislosť krivého integrálu v smere integrácie.
Grinov vzorec: Yakshcho C - uzavretý medzi oblasťou D a funkciou P (x, y) a Q (x, y) súčasne so svojimi súkromnými deťmi prvého rádu. uzavretý priestor D (vrátane kordónu C), potom platí Grinin vzorec: a obchádzanie obrysu C vibruje, takže oblasť D je zatienená.
Prednáška: Nešpecifikujte funkciu P (x, y) a Q (x, y), ktoré nie sú prerušované v oblasti D naraz so súkromnými v prvom poradí. Cordonov integrál (L), stačí ležať v oblasti D a umiestniť všetky body do oblasti D:. Pozitívna stránka obrysu je rovnaká, ak je časť obrysu obklopená, existuje zlo.
Myseľ nezávislosti zakriveného integrálu 2. druhu na ceste integrácie. Potrebná a dostatočná úvaha o tom, že krivočiary integrál prvého rodu, ale z rovnakého bodu M1 a M2, neleží na ceste integrácie, ale spočíva iba v klasu a niekoľkých bodoch,
.
31. Povrchové integrály prvého a ďalšieho rodu, základná moc a výpočet.
- fixácia povrchu.
Projekčne S na plochu xy, môžeme vidieť oblasť D. Zdvihnite oblasť D so sieťou čiar na časti s názvom Di. Z dermálneho bodu dermálnej línie sa uskutočňuje rovnobežne s čiarou, do bodu S je rozdelený na Si. Sklad pre integrálny súčet:. Priamo maximálny priemer Di do nuly:, merateľné:
Povrchový integrál prvého rodu
Takže vvazhaєtsya povrchový integrál prvého rodu.
Viznachennya je krátka. Pokiaľ existuje matný okraj integrálnych súčtov, nie je možné položiť spôsobom výroby S na elementárne dilenki Si a z výberu bodov, potom sa nazýva povrchový integrál prvého druhu.
Pri prechode zo zmien x і y na u і v:
NS 
Povrchový integrál je menej účinný ako integrálny integrál. Div. V jedle je toho viac.
Označenie povrchového integrálu iného rodu, jeho základná sila a výpočet. Spojenie s integrálom prvého rodu.
Nech je daná plocha S, obklopená priamkou L (obr. 3.10). Súčasne na povrchu S existuje určitý obrys L, ale nie je málo miest na spanie s kordónom L. V bode M môže byť obrys L aktualizovaný dvoma normálnymi čiarami povrchu S. Bod M je nakreslený pozdĺž obrysu L a vyznačíme normálnu čiaru.
Ak sa v klasu bod M otočí priamo za normálu (a nie proti opačnému), potom sa povrch S nazýva obojstranný. Pozrieme sa iba na obojstranné povrchy. Obojstranný povrch є be-yak hladký povrch s rіvnyannyam.
Nekhai S je obojstranná otvorená plocha, obklopená čiarou L, ktorá nemá body vlastného priesečníka. Vibračná strana povrchu. Bude sa to nazývať pozitívne priamo obchádzajúce obrys L takou priamkou, s rusom, na ktorej za druhou stranou povrchu sa samotný povrch bude prekrývať so zlom. Obojstranný povrch s inštaláciou na neho takým spôsobom, ktorý pozitívne obchádza kontúry, sa nazýva usporiadaný povrch.
Prejdeme k indukcii povrchového integrálu iného rodu. V priestrannom, obojstrannom povrchu S je rovnobežné osi Oz.
Nebojte sa, R (x, y, z) je funkcia definovaná a bez prerušenia na povrchu S. Riadok zároveň preruší S s určitým poradím na n „elementárnych“ dylanokoch ΔS1, ΔS2, ..., ΔSi, ..., ΔSn, pretože nespí vnútorné body. Na súbore kože ΔSi vibruje bod Mi (xi, yi, zi) (i = 1, ..., n). Nekhai (ΔSi) xy - plocha priemetu dilyanky ΔSi na súradnicovú oblasť Oxy, prevzatá zo znamienka „+“, ako normála k povrchu S v bode Mi (xi, yi, zi) ( i = 1, ..., n) vissyu Oz gostry kut, so znakom „-“, yakscho tsei kut hlúpy. Skladateľný integrálny súčet pre funkciu R (x, y, z) nad povrchom S cez zmeny x, y:. Nech λ je najväčší z priemerov ΔSi (i = 1, ..., n).
Ak neurčíte cestu povrchu S na „elementárnych“ dilenkách ΔSi a od vibrácií bodov, potom sa nám hovorí povrchový integrál pozdĺž vibrujúcich strán povrchu S out, funkcia y pre povrchový integrál iný rod) 
.
Podobne je možné použiť povrchové integrály pozdĺž súradníc x, z alebo y, z pozdĺž vonkajších strán povrchu, tj. 
і 
.
Hneď ako sú k dispozícii všetky integrály, je možné vstúpiť do „zalného“ integrálu na žiarivých stranách povrchu:.
Povrchný integrál iného druhu s veľkými schopnosťami integrálu. Je to bezcenné, ak je to ako povrchový integrál iného rodu, znak zmeny na bočnej strane povrchu.
Spojenie je medzi povrchovými integrálmi prvého a iného rodu.
Nech je plocha S daná rovná: z = f (x, y), a f (x, y), f "x (x, y), f" y (x, y) - bez prerušovacích funkcií v uzavretom plocha τ (priemet povrchu S na súradnicovú plochu Oxy), a funkcia R (x, y, z) je na povrchu S spojitá. Normála k povrchu S, ktorá môže byť priamo cos α, cos β, cos γ, je obrátený k horným stranám povrchu S. Todi.
Pre vipadku maєmo:
= 
prednáška 4
Téma: Formula Grіna. Majte na pamäti nezávislosť krivého integrálu v smere integrácie.
Grinin vzorec.
Grinin vzorec vytvorí prepojenie medzi zakriveným integrálom pozdĺž uzavretej slučky Г na ploche a integrálom pod čiarou v oblasti obklopenej cymovým obrysom.
Zakrivený integrál pozdĺž uzavretého obrysu G je označený symbolom Uzavretý obrys D na opravu v bode spevu V celom obryse a končí v bode B. Integrál pozdĺž uzavretého obrysu neleží vo vibrátore bodu B.
hodnota 1... Obchádzanie obrysu D je kladné, pretože pri obchádzaní obrysu D je oblasť D zatienená. G + - obrys G urobiť v pozitívnom smere, G - - obrys urobiť v negatívnom smere tobto v protolezhny vpravo
| G + |
| X |
| Y |
| c |
| d |
| X = x 1 (y) |
| X = x 2 (y) |
| a |
| b |
| B |
| C. |
| Y = y 2 (x) |
| Y = y 1 (x) |
| m |
| n |
.
Podobne by malo byť uvedené aj scho:
S ohľadom na (1) a (2) budeme akceptovať:
už,
Grinin vzorec na rozpadajúce sa dusené mäso bol zrealizovaný.
rešpekt 1... Grinin vzorec je potrebné považovať za spravodlivý, pretože hranica G oblasti D je buď priamka rovnobežná s osou 0X alebo 0Y, aby pretekala viac nizh v dvoch bodoch. Greenov vzorec platí pre n-viskózne oblasti.
Dbajte na to, aby oblasť krivého integrálu bola smerom k integračnej ceste v tejto oblasti.
Na konci odseku sa zamyslite nad tým, keď uvidíte nejakú pokrivenú integráciu, neleží jej v ceste integrácia, ale ľahne si z nej.
Veta 1... Aby bola schob zakrivená integrácia 
bez ležania cesty integrácie v monotónnej oblasti je nevyhnutné a postačujúce, s integráciou, vziať pozdĺž akéhokoľvek uzavretého po častiach hladkého obrysu v celej oblasti na nulu.
Dôkaz: Nutnosť. Vzhľadom na to: neležať na ceste integrácie. Zakrivený integrál pozdĺž akéhokoľvek uzavretého po častiach hladkého obrysu je potrebné uviesť na nulu.
V danej oblasti D detekcie nemáte dostatočne po častiach hladký uzavretý obrys D. Na vrstevnici G sú vždy body B a C.
| G |
| D |
| n |
| m |
| B |
| C. |
, Tobto
dostatočnosť... Vzhľadom: Krivolyniyiniyintegral 
pozdĺž uzavretého po častiach hladkého obrysu sú cesty nulové.
Je potrebné priniesť, aby integrácia nestála v ceste integrácii.
Jasne zakrivený integrál pozdĺž dvoch po častiach hladkých obrysov, ale z jedného bodu B a C. Za umývadlom:
Tobto Vignutius
Integrál neleží na ceste integrácie.
Veta 2. Nechoďte bez prerušenia naraz so súkromnými deťmi v jednolinkovej oblasti D. 
bez ležania na ceste je integrácia potrebná a dostatočná, ale v oblasti D je viac
Dôkaz: Dostatok. Vzhľadom na :. Je potrebné priniesť, scho nekladú prekážky integrácie. Aby priniesol dosť pre celok cesta na nulu po uzavretom po častiach hladkom obryse. Pre vzorec Grіna maєmo:
Nevyhnutnosť. Vzhľadom: Pre vetu 1, krivočiary integrál nekladú prekážky integrácie. Je potrebné priniesť, scho
Na cestu integrácie.
Zjavne pokrivená integrácia 2. druhu, de L- krivka, bod scho z'єnuє Mі N.... dobrá funkcia P (x, y)і Q (x, y) Máj bez prerušenia súkromnej histórie v regióne D, V celku lež krivka L... Je dôležité, že pri každom vzhľade zakrivený integrál neleží vo forme krivého L, A len z rozetov bodov Mі N..
Vykonali sa dve významné krivky MPNі MQN Ležať v oblasti D chápem pointu Mі N.(Obr. 1).
Q
M N. Malé. 1.
Dobre, scho 
, tobto 
Todi, de L- uzavretý obrys, skladací z kriviek MPNі NQM(Otzhe, môžete ich rešpektovať). Pri takejto hodnosti, vzhľadom na nezávislosť zakriveného integrálu druhého druhu na spôsobe integrácie vane, je rovnako dôležité myslieť si, že taký integrál pozdĺž akéhokoľvek uzavretého obrysu je nulový.
lístok číslo 34.Povrchový integrál prvého rodu (na povrchu)
Viditeľný neuzavretý povrch S, Obklopený obrysom L, І rozib'єmo її byť ako krivky na časti S 1, S 2, ..., S n... Viberemo v kožnej časti bodu M i Projektujem časť na bodkovanú plochu na povrch, aby mohla prejsť bodom. Otrimaєmo v projekcii roviny s plochou T i... Nazýva sa ρ to najlepšie z povrchu medzi dvoma bodmi povrchu S.
Obchodná hodnota 12.1. pomenovaný oblasť S povrchu hraničná oblasť sumi T i o
Povrchný integrál prvého rodu.
Povrch Deyaku je viditeľný S, Obklopený obrysom LČiastočne vzrástol S 1, S 2, ..., S s(Pri veľkej ploche kožnej časti to môže byť výrazné S p). Nechoďte na kožný bod povrchu danej funkcie f (x, y, z). Viberemo v časti pokožky S i bod M i (x i, y i, z i) a úložisko za integrovanú sumu
. (12.2)
Obchodná hodnota 12.2. Yakshko іsnu kintseviy border with integrated sumi (12.2), but not to lay in the way of tvarovanie povrchu na časti a výber bodov M i, Tomu sa hovorí povrchový integrál prvého druhu funkcie f (M) = f (x, y, z) na povrchu S viem
Rešpekt. Povrchový integrál 1. druhu je najsilnejšou autoritou integrálov (linearita, integrácia daných funkcií podľa niektorých častí daného povrchu a podobne).
Geometrická a fyzikálna zmena povrchového integrálu 1. druhu.
Yaksho pіdіntegralnа funkcia f (M)≡ 1, potom od hodnoty 12,2 viplivaє, pre povrchy vozoviek otvoreného povrchu S.
. (12.4)
Dodatok povrchového integrálu 1. druhu.
1. Plocha zakriveného povrchu, plochý povrch z = f (x, y) Z viglyadu môžete vedieť:
(14.21)
(Ω - projekcia S na námestie Pro hu).
2. Masa povrchy
(14.22)
3. Momenty:
statické momenty povrchy súradnicových oblastí O xy, O. xz, O. yz;
Momenty zotrvačnosti povrchu súradnicových osí;
Momenty zotrvačnosti povrchu súradnicových oblastí;
- (14.26)
Moment zotrvačnosti povrchu je klas súradníc.
4. Súradnica do stredu povrchu:
. (14.27)
Lístok číslo 35. Výpočet povrchového integrálu 1. druhu (redukcia prvého na násobok).
Preložené vipadom, ak je povrch S položte si otázku explicitne, aby z = φ (x, y)... Súčasne hodnota povrchovej plochy snímky,
S i =, De Δ σ i - projekčná plocha S i na námestie Pro hu, a γ i- кут між віссю O z normálny k povrchu S v bode M i... Vidomo scho
,
de ( x i, y i, z i) - súradnice bodov M i... Následne
Zaviesť viraz do vzorca (12.2),
,
De pidsumovannya vpravo sa vykonáva pozdĺž oblasti Ω oblasti Pro hu, Scho є projekcia na povrchovú plochu qiu S(Obr. 1).
S: z = φ (x, y)
Δσ iΩ
Súčasne je v pravej časti vykreslený integrálny súčet pre funkciu dvoch zimných pozdĺž plochej oblasti, ako na hranici s subintegrálnym.
(12.5)
Rešpekt. Aby bolo znova objasnené, v ľavej časti vzorca (12.5) je povrchné integrál a vpravo - otrok.
Lístok číslo 36.Povrchný integrál iného rodu. Potikove vektorové pole. Spojenie je medzi povrchovými integrálmi prvého a iného rodu.
Potikove vektorové pole.
Vektor nie je viditeľný A (M), Pevne v priestrannej oblasti G, na hladkom povrchu S G i pole jednoduchých normálov NS (M) na opačnej strane povrchu S.
Obchodná hodnota 13.3. Povrchový integrál 1. druhu
,
(13.1)
de An je skalárny doplnok príbuzných vektorov a A n- vektorová projekcia A na normálnom, byť nazývaný vektorové pole toku A (M) po bočnej strane povrchu S .
Rešpekt 1. Kedykoľvek vibrujete na boku povrchu, je to normálne, ale je ľahké zmeniť znamienko tak ľahko.
Rešpekt 2. Yaksho vektor A nastavte rýchlosť priamky v danom bode, potom integrál (13.1) označuje počet čiar, ktoré prejdú povrchom za jednu hodinu S pozitívnym smerom (zvidsy zagalny výraz „potik“).
Zjavne pokrivená integrácia
pričom plochý krivý deyakoy L, Scho z'єnuє bod Mі N.... Povolíme povolenky, funkcie P (x, y)і Q (x, y) Máj bez prerušenia súkromnej histórie v tomto regióne D... Z'yasuєmo, pre ktorý myseľ písania krivočarej integrácie nespočíva v krivej podobe L, A ľahnite si len z polohy klasu a hrotov Mі N..
Dve jasné krivky MPNі MQN Ležať v danej oblasti D chápem pointu Mі N.... ahoj
(1)
Todi podľa predloženia úradov 1 a 4 pokrivených integrálov maєmo:
integrál uzavretej slučky tobto L
Vo zvyšku vzorca krivočiary integrál zachytáva pozdĺž uzavretej slučky L, Pridajte krivky MPNі NQM... tsey kontúra L Je zrejmé, že je možné rešpektovať tých, ktorí sú spokojní.
S takým hodnotením odmietnite:
pre akékoľvek dva body M a N krivočiary integrál neleží vo forme jednej krivky, ale iba v polohe týchto bodov, potom, scho krivočiary integrál pozdĺž akéhokoľvek uzavretého obrysu cesty na nulu .
Je fér povedať, že je to pravda.
ak je zakrivený integrál pozdĺž akéhokoľvek uzavretého obrysu nulový, potom celý zakrivený integrál neleží vo forme krivého, ale existujú dva body, a ležať iba z polohy cich bodov . Dobrá, dobrá hodnota (2) Ďalšia hodnota (1)
veta
Nemajte funkcie P (x, y), Q (x, y) vo všetkých bodoch v oblasti D funkcie P (x, y), naraz so svojim súkromným a bez prerušenia. Todi, aby bol zakrivený integrál pozdĺž akéhokoľvek uzavretého obrysu L, ktorý leží v th oblasti, bol znížený na nulu, takže
(2)
je to nevyhnutné a dostatočné
vo všetkých bodoch oblasti D.
Dovedennya
Jasne viditeľná uzavretá slučka L v oblasti D a pre nový môžeme napísať Grіnov vzorec:
Akonáhle uvidíte myseľ (3), potom subintegral, ktorý stojí za ruku, môže byť tiež privedený na nulu, dokonca,
V takom poradí, dostatočnosť myseľ (3) priniesla.
hotovo teraz nutnosť zamyslite sa nad tým, aby bolo jasné, že víťazstvo je rovnaké (2) L v oblasti D Potom sa v bode pokožky regiónu zobrazí myseľ (3).
Prijateľné, navpaki, čo reč (2) vikonutsya, tobto
ale umova (3) nebuďte návštevníci, tobto
Chcel by som byť v jednom bode. Nekhai napríklad v deyakiy point maєmo nervnist
Takže, ako v ľavej časti nepravidelností, funkcia je neprerušovaná, potom bude kladná a viac ako určité číslo vo všetkých bodoch je možné dosiahnuť malú oblasť, takže zametať bod. Výsledkom celého rozvoja je aj podriadená integrácia v celom regióne. Viedeň bude pozitívnejšia. naozaj,
Spolu so vzorcom Grіna lіva je súčasťou zostávajúcich nezrovnalostí v krivočarej integrácii cesty pozdĺž pohraničných oblastí, ktorá je za príplatok v cestnej doprave nulová. Zvyšok nedôslednosti je tiež prehnanie myslí (2) a to znamená, že to nie je pravda. Zvidsey viplivaє, scho
vo všetkých bodoch tohto regiónu D.
V takom poradí sa veta dostala do popredia.
V prípade diferenciálneho vzdelávania bolo hlásené bulo,
rovnako k tomu, že viraz Pdx + Qdyє dodatočná funkcia diferenciálneho účinku u (x, y), Tobto
Ale ve vektoru tsyom vipadku
є gradiєnt funkcie u (x, y);
funkciu u (x, y), Gradient pre vektor, nazvaný potenciál ten vektor.
Priniesol ti, scho v širokej škále pokrivenej integrácie pozdĺž krivky L medzi jednotlivými bodmi M a N je rozdiel hodnotou funkcie v počte bodov:
Dovedennya
yaksho Pdx + Qdy ise Zrevidujte funkciu diferenciálu u (x, y), To je zakrivené lineárne nabude viglyadu
Na výpočet integrálu napíšte parametrickú krivku L, Scho z'єnuє bod Mі N.:
Viraz, stáť v oblúkoch, є fungovať od t, Scho є so spoločným t... Tom
Yak mi bachimo, krivočiary integrál z hlavného diferenciálu neleží vo forme krivého, ako aj integrácie.
V tomto poradí:
hovoriť o nezávislosti pokrivených integrálov druhu II z formy na cestu integrácie ofenzívy:
Yaksho v regióne P (x, y)і Q (x, y) spojitý naraz s vlastným i, potom:
1. v oblasti D neklamte vo forme integračná cesta, kde je hodnota po častiach hladkých kriviek Ležať v danej oblasti a podľa možnosti máte klbké ucho a zlatý koniec však.
2. Integrovaný uzdovzh byť ako uzavretý krivý L Ležať v oblasti D cesta na nulu.
3.Isnu takú funkciu u (x, y) Za ktorý viraz Pdx + Qdy differential nový diferenciál, tobto
P (x, y) dx + Q (x, y) dy = du.
4. v danej oblasti visonuvalia b umova
v oblasti pokožky D.
Na výpočet integrálu nepokladajte integrálny obrys
ďalšie vibrujú v kvalite Nového spôsobu integrácie lamana, ktorý sa získava z bodu i, lanky, ktorá je rovnobežná s osami Oh a Oy.
pidintegralny viraz P (x, y) dx + Q (x, y) dy ak sú výhry vysoké є Zrekapitulujme si diferenciál akčné funkcie u = u (x, y) tobto
du (x, y) = P (x, y) dx + Q (x, y) dy
funkciu u (x, y)(Po prvé) je možné vedieť, ako vypočítať približný krivočiary integrál podľa lamania de - či je bod pevný, B (x, y) je bod zmeny a bodom sú súradnice ma NS i. Todi vdovzh maєmo i dy = 0, A vdovzh maєmo x = konštі dx = 0.
Vezmem vzorec:
Podobne integrácia podľa lamaniy de otrimaєmo
obliecť si
1.
počítať 
Daniyintegral preto nespočíva v obryse integrácie
Viberamo spôsobom integrácie lamanu, lanky, ktoré sú rovnobežné so súradnicovými osami. V prvý deň:
V iné termíny:
už,
2. ved najprv u, yaksho
Jazda a obrys Predtýmє lamana OMN... Todi
3. Vieš ako
tu klasový bod Na klasu nie je možné brať súradnice, takže v tsy bode funkcie P (x, y)і Q (x, y) nie viznachenі, ale napríklad pre bod klasu vіmemo. Todi
4. Poznajte oblasť obklopenú elipsami
Plocha figúrky, zaradená v oblasti KHOU a obklopená uzavretou čiarou C, sa vypočíta podľa vzorca
,
de contour C sa obchádza v pozitívnom smere.
Pokrútený intagrál prepísať na spievajúci,
parameter t testovaciu hodnotu od 0 do 2π.
Táto hodnosť
3. Visiaci zakrivený integrál pozdĺž oblúka L, yaksho L- oblúk cykloidu
PODNIKATELIA TÉMY „krivočiary integrácia“
možnosť 1
De L - z priameho bodu A (0; -2) і B (4; 0) do oblasti XOY.
udovzh lamanoi L: OAB, de O (0,0), A (2,0), B (4,5). Obišiel obrys šípky proti smeru hodinových ručičiek.
Za súradnicami, kde L - oblúk elipsy leží v I -tej štvrtine.
De L - kontúra trojkolky s vrcholmi A (1,1), B (2,2), C (1,3). Obišiel obrys šípky proti smeru hodinových ručičiek.
, Viem, jogín.
7. Silové pole je určené silou F (x, y), pretože body sú umiestnené na klasu súradníc a priamo do klasu súradníc. Poznať robota o sile poľa materiálny bod jednoduchá hmotnosť parabolou dusi y 2 = 8x z bodu (2, 4) do bodu (4; 4).
Možnosť 2
1. Vypočítajte zakrivený integrál pozdĺž oblúka (karteziánske súradnice).
De L je priamka z jedného bodu O (0; 0) a A (1; 2).
2. Vypočítajte krivočiary integrál 
, Kde L je parabolický oblúk z bodu A (-1; 1) do bodu B (1,1). Obchádzanie obrysu šípky proti smeru hodinových ručičiek.
3. Vypočítajte krivočiary integrál 
kde L - kruhový oblúk 
ležať na 1 alebo 2 štvorcoch. Obchádzanie obrysu šípky roka.
4. Stagnujúci vzorec Grіna, vypočítajte integrál, de L - obrys, vyjadrenie priamky a všeobecnej osi OX pri Obhidovom obryse opačného smeru.
5. Inštalácia, aby ste videli myseľ nezávislosti integrálu na ceste integrácie pre integrál 
, Viem, jogín.
6. Revízia, počet úloh viraz s rôznym diferenciálom funkcie U (x, y), a vedieť її.
7. V bode kože silového poľa je sila priamo záporná na súradnici a na štvorci osi aplikovaného bodu. Spoznajte pole robota pri presune jednej hmoty parabolou z bodu (1,0) do bodu (0,1).
možnosť 3
1. Vypočítajte zakrivený integrál pozdĺž oblúka (karteziánske súradnice).
1. de L - parabola zdvihne oblúk paraboly.
2. Vypočítajte krivočiary integrál 
ako priamky L, z bodu A (0,1), B (2,3). Obchádzanie obrysu šípky proti smeru hodinových ručičiek.
3. Zakrivený integrál spočítajte ako L - oblúk prvého oblúka cykloidu.Obchádzanie obrysu za starou šípkou.
4. Zastosovyuchi vzorec Grіna, vypočítajte integrál 
de L - elipsuje Obhid obrys šípky proti smeru hodinových ručičiek.
5. Inštalácia, aby ste videli myseľ nezávislosti integrálu na ceste integrácie pre integrál 
, Viem, jogín.
6. Revízia, počet úloh viraz s rôznym diferenciálom funkcie U (x, y), a vedieť її.
7. Vypočítajte silu robota, keď je bod materiálu posunutý v hornej polovici elipsy 
z bodu A (a, 0) do bodu B (-a, 0).
Možnosť 4.
1. Vypočítajte zakrivený integrál pozdĺž oblúka (karteziánske súradnice).
1.de L - obrys štvorca
2. Vypočítajte krivočiary integrál 
kde L je oblúk paraboly bodu A (0,0) až do bodu B (1,1). Obchádzanie obrysu šípky proti smeru hodinových ručičiek.
3. Vypočítajte krivočiary integrál yaksho L - horná polovica elipsy 
Obchádzanie obrysu šípky roka.
4. Vzorec Zastosovyuchi Grіna, vypočítajte integrál de L - obrys trojkolky s vrcholmi A (1; 0), B (1; 1), C (0,1). Obchádzanie obrysu šípky proti smeru hodinových ručičiek.
6. Revízia, počet úloh viraz s rôznym diferenciálom funkcie U (x, y), a vedieť її.
7. Na kožný bod kolíka pôsobí silou, ktorá pôsobí na súradnicovú os є 
Vizuálne bude robot nútený posúvať materiálne body na kolíku. Prečo by mal byť robot dodaný na nulu?
Možnosť 5.
1. Vypočítajte zakrivený integrál pozdĺž oblúka (karteziánske súradnice).
De L - priamka, scho od spodného bodu 0 (0,0), і А (4; 2)
2. Vypočítajte zakrivený integrál, kde L je oblúk zakrivenej čiary od bodu A (0,1) do bodu B (-1, e). Obchádzanie obrysu šípky proti smeru hodinových ručičiek.
3. Spočítajte zakrivený integrál yakshcho L - podiel 1. štvrtiny 
Obchádzanie obrysu šípky roka.
4. Zastosovyuchi vzorec Grіna, vypočítajte integrál 
de L - obrys, obklopujúci a Obhidov obrys línie proti duchom.
5. Inštalácia, aby ste videli myseľ nezávislosti integrálu na ceste integrácie pre integrál 
, Viem, jogín.
6. Revízia, počet úloh viraz s rôznym diferenciálom funkcie U (x, y), a vedieť її.
7. Pole je potvrdené silou / / = priamym zatáčaním, aby sa stalo kut s priamym polomerom - vektorom bodu її zasosuvannya. Poznáte robot poľa, keď sa hmotný bod s hmotnosťou m posunie z bodu (a, 0) do bodu (0, a).
Možnosť 6.
1. Vypočítajte zakrivený integrál pozdĺž oblúka (karteziánske súradnice).
De L - štvrť kruhu, ktorý leží v štvorci I.
2. Vypočítajte krivočiary integrál 
kde L - lamana ABC, A (1; 2), B (1; 5), C (3; 5). Obchádzanie obrysu šípky proti smeru hodinových ručičiek.
3. Spočítajte zakrivený integrál, kde L je horná polovica kruhu 
Obchádzanie obrysu šípky roka.
4. Vzorec Zastosovyuchi Grіna, vypočítajte integrál de L - obrys, obopnutie, Obhidov obrys šípky anti -godinnikovaya.
5. Inštalácia, aby ste videli myseľ nezávislosti integrálu na ceste integrácie pre integrál 
, Viem, jogín.
6. Revízia, počet úloh viraz s rôznym diferenciálom funkcie U (x, y), a vedieť її.
7. Poznať robotovi silu pružiny priamo na súradnicový klas, kde bod pôsobenia sily popíše polovicu elipsy oproti starej šípke 
ležať v I-kvadrante. Hodnota sily je úmerná viditeľnému bodu z klasu súradníc.
Možnosť 7.
1. Vypočítajte zakrivený integrál pozdĺž oblúka (karteziánske súradnice).
De L-časť paraboly z bodu (1, 1/4) do bodu (2; 1).
2. Vypočítajte krivočiary integrál 
de L - rovná čiara, ale zo spodného bodu B (1; 2) a B (2; 4). Obchádzanie obrysu šípky proti smeru hodinových ručičiek.
3. Spočítajte zakrivený integrál yakshcho L - Persha oblúk cykloidu Obhid obrys za starú šípku.
5. Inštalácia, aby ste videli myseľ nezávislosti integrálu na ceste integrácie pre integrál 
, Viem, jogín.
6. Revízia, počet úloh viraz s rôznym diferenciálom funkcie U (x, y), a vedieť її.
7. Hmotný bod jednej hmotnosti je posunutý po obvode pred ďalšou silou, premietanou na súradnice osi є 
... Vybudujte si silu na uchu kožnej coly. Spoznajte robota pozdĺž obrysu.
Možnosť 8.
1. Vypočítajte zakrivený integrál pozdĺž oblúka (karteziánske súradnice).
De L je obrys obdĺžnika s vrcholmi v bodoch 0 0 (0; 0), A (4; 0), B (4; 2), C (0; 2).
2. Spočítajte zakrivený integrál, kde L je oblúk paraboly z bodu A (0; 0) do bodu B (1; 2). Obchádzanie obrysu šípky proti smeru hodinových ručičiek.
3. Vypočítajte krivočiary integrál 
kde L je časť kruhu 
ležať na námestí 1. Za starou šípkou zakryť obrys.
4. Zastosovyuchi vzorec Grіna, vypočítajte integrál 
de L - obrys trojkolky s vrcholmi A (0; 0), B (1; 0), C (0; 1). Obchádzanie obrysu opačnej šípky.
5. Stanovte, aby ste videli myseľ nezávislosti integrálu na ceste integrácie pre integrál a aby ste ho poznali.
6. Revízia, počet úloh viraz s rôznym diferenciálom funkcie U (x, y), a vedieť її.
7. Podstatný bod sa pohybuje pozdĺž e -mailu 
silou je hodnota toho, čo ide do bodu do stredu elipsy a narovnáva sa do stredu elipsy. Vypočítajte silu robota, pretože ide o obídenie celého e -mailu.
Možnosť 9.
1. Vypočítajte zakrivený integrál pozdĺž oblúka (karteziánske súradnice).
De L - oblúk paraboly ležiaci medzi bodkami
A, B (2; 2).
2. Vypočítajte krivočiary integrál 
kde L je rovná čiara, ale zo spodného bodu A (5; 0) a B (0,5). Obchádzanie obrysu šípky proti smeru hodinových ručičiek.
3. Vypočítajte zakrivený integrál, kde L je oblúk elipsy medzi bodmi, ktoré predstavujú obrys za pozdĺžnou šípkou.
4. Vzorec Zastosovyuchi Grіna, vypočítajte integrálny de L - kolo Obhіd obrys opačného smeru.
5. Inštalácia, aby ste videli myseľ nezávislosti integrálu na ceste integrácie pre integrál 
, Viem, jogín.
6. Revízia, počet úloh viraz s rôznym diferenciálom funkcie U (x, y), a vedieť її.
7. V bode kože krivky pôsobí sila premietaná na súradnicovú os є Vizuálne je robot nútený pohybovať hmotným bodom jednej hmoty pozdĺž kriviek z bodu M (-4; 0) do bod N (0; 2).
Možnosť 10.
1. Vypočítajte zakrivený integrál pozdĺž oblúka (karteziánske súradnice).
De L je úsečka, scho od spodného bodu A
2. Spočítajte zakrivený integrál, kde L je oblúk krivky od bodu A (1; 0) do B (e, 5). Obchádzanie obrysu šípky proti smeru hodinových ručičiek.
3.Vich_slіt zakrivený integrál іkscho L - oblúk kruhu ležať na námestí 1U. Obchádzanie obrysu šípky roka.
4. Vzorec Zastosovyuchi Grіna, vypočítajte integrál de L - obrys trojkolky s vrcholmi A (1; 0), B (2; 0), C (1; 2). Obchádzanie obrysu šípky proti smeru hodinových ručičiek.
5. Inštalácia, aby ste videli myseľ nezávislosti integrálu na ceste integrácie pre integrál 
, Viem, jogín.
6. Revízia, počet úloh viraz s rôznym diferenciálom funkcie U (x, y), a vedieť її.
7. V bode kože čiary sa použije sila, priemet na súradnicovú os. Vypočítajte robota zlomeného silou pri posunutí bodu materiálu pozdĺž čiary M (1; 0) do bodu N (0 ; 3).
