Tretí integrál vo valcových súradniciach zadku. Výpočet nákladov na integrál. Zakrivené súradnicové systémy. Čo to znamená počítať zbytočný integrál a tiež
Presuňme dva rovné súradnicové systémy v priestore a 
, I systém funkcií
(1)
ako vytvoriť vzájomne jednoznačný vzťah medzi bodmi určitých regiónov 
і 
v súradnicových systémoch qix. Pripúšťa sa, že funkcie systému (1) môžu byť v 
nepretržité súkromné denníky. Držiteľ karty, sklady so súkromnými starými
,
sa nazývajú Jacobian (aka Jacobian) systémov a funkcií (1). Necháme to tak 
v 
.
V podvyživenej višči uväznenej existuje nový vzorec na nahradenie zimy v rámci spotrebiteľskej integrácie:
Yak a v časoch subintegrálu, výmenou za jedinečnosť systému (1) a myseľ 
môže byť porézny na okrajoch bodov, na okrajoch čiar a na okrajoch povrchov.
Systém funkcií (1) body pokožky 
dajte jeden bod na koniec 
... Tri čísla 
zavolajte zakrivené súradnice bodu 
... ukážte na otvorený priestor 
, Pre ktorý má jedna zo zhih súradníc zberіgaє trvalú hodnotu, nastavte sov. súradnicový povrch.
II Sekundárny integrál vo valcových súradniciach
Valcový súradnicový systém (CSK) je založený na ploche 
„Polárny súradnicový systém je nastavený na yakіy 
, Kolmo na oblasť. Valcové súradnice bodu 
, de 
- polárne súradnice bodu 
- projekcie 
okuláre 
na námestí 
, a 
- celá súradnica bodu premietania 
zadarmo 
abo 
.
V blízkosti oblasti 
Predstavené samotným poradím karteziánskych súradníc, 
CSK. Teraz nie je veľmi dôležité rozoznať vzorce, ktoré volajú valcové súradnice, s karteziánskymi:
(3)
Vzorce predstavujú celú oblasť 
.
Súradnicové povrchy v tomto zobrazení budú:
1)
- valcovité povrchy s pevnými, rovnobežnými s osou 
, Ktorý vás bude viesť k podielu v tejto oblasti 
, So stredom v bodoch 
;
2)
;
3)
- plocha, rovnobežná oblasť 
.
Jacobovský systém (3):
.
Počiatočný vzorec vo forme CSK sa berie ako:
rešpekt 1
.
Odporúča sa prejsť na valcové súradnice, ak je oblasťou integrácie kruh valcov alebo kužeľ alebo parabolický obal (alebo časť), pričom celá štruktúra je vytvorená z aplikácie. 
.
Rešpekt 2. Válcové súradnice je možné v oblasti skryť rovnako ako polárne súradnice.
Zadok 1. Vypočítajte integrál tretej strany z funkcie
podľa krajov 
, Čo je vnútorná časť valca 
, Obklopený kužeľom 
a parabolické 
.
Rozhodnutie. Región qiu bol tiež preskúmaný v §2, zadok 6, a bol zaradený do štandardného záznamu v DPSK. Výpočet integrálu v celom regióne je však dôležitý. Prejdeme k CSK:
.
projekcia 
tila 
na námestí 
- tse colo 
... Otzhe, súradnica 
zmeniť z 0 na 
, a 
- od 0 do R..
Prostredníctvom určitého bodu 
vykonávané rovno, rovnobežne s osou 
... Choďte rovno na 
na kužele a na paraboloide. Ale kužeľ 
maє v CSK рівняння 
, Paraboloid 
- rivnyannya 
... Otzhe, maєmo
III Sekundárny integrál v sférických súradniciach
Sférický súradnicový systém (SSC) je 
V yak_y je nastavený UCS, і vіssu 
, Kolmá oblasť 
.
Súradnice sférických bodov 
dajte priestor trom číslam 
, de 
- polárny rez priemetu bodu na plochu 
,
- кут між віссю 
ja vektor 
і 
.
V blízkosti oblasti 
predstavil karteziánske súradnicové osi 
і 
s veľmi vysokou hodnosťou a aplikácia samitu bola 
... Vzorce na volanie sférických súradníc s karteziánskymi sú:
(4)
Vzorce vykresľujú plochu v celom priestore 
.
Jacobovské systémy a funkcie (4):
.
Súradnicové povrchy majú tri rodiny:
1)
- sústredné sféry sústredené na klasu súradníc;
2)
- pivploshini, scho prejsť lanom 
;
3)
- kruhové kužele s klasovým vrcholom súradníc, ktoré slúžia na zavesenie 
.
Vzorec prechodu na SSK v rámci spotrebiteľskej integrácie:
Rešpekt 3.
Ak je integračná oblasť jej súčasťou, odporúča sa prejsť na SSK. Na rovnakej úrovni sfér 
ísť do. Yak i CSK, z pohľadu vyššie, SSK je „viazaný“ na os 
... Ako stred sféry nahradení na polomere súradnicovej osi je potom najjednoduchšie sférické zarovnanie rozpoznateľné so zmenou osi. 
:
Rešpekt 4. Nie je možné použiť pre SSK:
s jakobiánmi 
... Systém funkcií Qia preklad e-mailu
v "rovnobežnostene"
Zadok 2.
Poznáte stredný bod polomeru chladiča 
ísť do centra.
Rozhodnutie.
Nagadaєmo, stredná hodnota funkcie 
v oblasti 
- množstvo užitočných integrovaných funkcií pre oblasť distribúcie do všeobecnej oblasti. Naše vipadku
Otzhe, maєmo
Reinkarnácia subintegrálu z pravouhlých súradníc, 
na polárne súradnice 
, Pov'yazanikh s súradnicami priamky 
,
, Hľadaj vzorec
Región Yaksho іntegruvannya 
obklopený dvoma pásmi 
,
(
), Ktoré vychádzajú z pólov, a dve krivky 
і 
Potom sa subintegral vypočíta podľa vzorca
.
Aplikácia 1.3. Spočítajte plochu figúrok obklopenú týmito čiarami: 
,
,
,
.
Rozhodnutie. Na výpočet rozlohy regiónu 
rýchlo podľa vzorca: 
.
|
|
predstaviteľná oblasť ,
,
Prejdeme k polárnym súradniciam:
V polárnych súradnicových systémoch oblasť |
(Obr. 1.5). Pre mnohé zrekonštruované krivky:
,
.
,
.
.
popísal rіvnyannyi:
.
1.2. integrácia spotrebiteľa
Hlavné právomoci tretích integrálov sú analogické s mocnosťami podradených integrálov.
V. Karteziánske súradnice Pomocou integrácie tretej strany to napíšte takto:
.
yaksho 
„To je tretí integrál v regióne 
numericky dorivnyu obsyagu tila 
:
.
Výpočet integrálu spotrebiteľa
Nech sa región integruje 
zospodu a navrchu uzavreté zdanlivo jednoznačnými nerušenými plochami 
,
, A projekcia regiónu 
podľa súradnicovej oblasti 
є rovná plocha 
(Obr. 1.6).
|
|
Todi s pevnými hodnotami Todi otrimuєmo:
Yaksho, okrem toho, projekcia
de |
typ aplikácií 
body regiónu 
zmena hraníc.
.
začnite nezrovnalosťami
,
,
- jednoznačný bez prerušenia 
potom
.
Aplikácia 1.4. počítať 
, de 
- tilo, obklopené oblasťami:
|
|
Rozhodnutie. Oblasť integrácie є pyramída (obr. 1.7). plošná projekcia
|
|
|
Integrácia Razstavlyayuchi mezhі pre trojkolky
|
,
,
,
(
,
,
).
icy trojkolka 
, Prekladané rovnými čiarami 
,
,
(Obr. 1.8). o 
aplikovať body 
spokojný s nezrovnalosťami 
, to
.
, otrimaєmo
Tretí integrál vo valcových súradniciach
Pri prechode z karteziánskych súradníc 
na valcové súradnice 
(Obr. 1.9), pletené s 
spivvidnoshennymi 
,
,
, navyše
|
|
Užitočné integrály na implementáciu: Zadok 1,5. Vypočítajte dĺžku tela obklopenú povrchmi: Rozhodnutie. Shukaniy obsyag tila |
|
|
Oblasť integrácie je časť valca, ohraničená oblasťou nižšie Prejdeme k valcovým súradniciam.
pre v valcové súradnice: |
,
,,
,
,
.
dvere 
.
, A nad oblasťou 
(Obr. 1.10). plošná projekcia 
є Colo 
so stredom na súradnici súradníc a jednom polomere.
,
,
... o 
aplikovať body 
, Spokojný s nezrovnalosťami
regiónu 
, Obklopený krivkou 
, Nabude viglyadu, abo 
, Pri ts'omu polar kut
... Dajte si tašku maєmo
.
2. Prvky teórie poľa
Nagadamo pred spôsobmi výpočtu zakrivených a povrchových integrálov.
Výpočet zakriveného integrálu pre súradnice funkcií, hodnoty na krivkách 
, Je postavená na základe výpočtu spevu, ktorý je integrálnou súčasťou mysle
yaksho krivý 
špecifikované parametricky 
vidpovidaє klasový bod nepoctivý 
, a 
- її kіntsevіy bodov.
Výpočet povrchového integrálu z funkcie 
Určené pre obojstranný povrch 
, Malo by byť postavené pred výpočtom subintegrálu, napríklad vo forme
|
|
,yaksho povrch 
, Vzhľadom na rivnyannyam 
, Jednoznačne navrhnuté pre túto oblasť 
do regiónu 
... tu 
- kut mіzh jediný normálny vektor 
na povrch 
ja vissyu 
:
|
|
.Myseľ potrebuje pravú stranu povrchu 
Je označený vibrátorom typového znaku vzorca (2.3).
Obchodná hodnota 2.1. vektorové pole
nazývame vektorovou funkciou bodu 
súčasne s oblasťou її visashennya:
vektor po vybalení z krabice 
charakterizované skalárnou hodnotou - divergencia:
Obchodná hodnota 2.2. Prúd
vektorové pole
po povrchu
nazývaný povrchový integrál:
|
|
,de 
- jeden normálny vektor na opačnú stranu povrchu 
, a 
- skalárne prídavné vektory 
і 
.
Obchodná hodnota 2.3. v obehu vektorové pole
na
zatvorené krivé 
byť nazývaný krivým integrálom
|
|
,de 
.
Ostrogradsky-Gaussov vzorec
Nainštalujem prepojenia medzi tokom vektorového poľa
cez uzavretý povrch
a divergencia poľa:
de
- povrch, obklopený uzavretým obrysom
, a
- jeden normálny vektor na celý povrch. Rovno normálne maє, ale je to poddzheno s priamym obchvatom vrstevnice
.
Aplikácia 2.1. Spočítajte integrál povrchu
,
de 
- názov časti kužeľa 
(
), Oblasť Vidsіkati 
(Obr. 2.1).
Rozhodnutie. povrchu 
jednoznačne projektovať v danej oblasti 
oblasť 
, I integrál sa vypočíta podľa vzorca (2.2).
|
|
Jeden vektor normálny k povrchu
Tu má viraz pre normálne znamienko plus, takže yak kut |
pre vzorec (2.3) vieme:
.
між віссю 
a normálne 
- hlúpy ja, to isté, 
vinný buty negatívny. Vrahoyuchi scho 
, na povrchu 
otrimmoregiónu 
є Colo 
... K tomu v poslednom integrále prejdeme na polárne súradnice, s 
,
:
Dodatok 2.2. Poznáte divergenciu a rotor vektorového poľa 
.
Rozhodnutie. Pre vzorec (2.4) vezmeme mo
Rotor daného vektorového poľa je známy podľa vzorca (2.5)
Dodatok 2.3. Poznáte dôvod vektorového poľa 
cez časť územia 
:
, Roztashovan v prvom Octante 
).
|
|
Rozhodnutie. Na základe vzorca (2.6)
Zrejme časť areálu
(Obr. 2.3). Normálny vektor k oblasti súradnice ma: |
|
|
|
.
:
, Roztashovanu v prvom Octante. Rivnyannya danej oblasti vo vidrizki maє viglyad
, Jeden normálny vektor
.
.
,
, hviezdy 
, Otzhe,de 
- projekcia oblasti 
na 
(Obr. 2.4).
Aplikácia 2.4. Vypočítajte tok vektorového poľa cez uzavretú plochu 
, Vyrobené v tejto oblasti 
i časť kužeľa 
(
) (Obr. 2.2).
Rozhodnutie. Skoristaєmosya podľa vzorca Ostrogradsky-Gauss (2.8)
.
Poznáme divergenciu vektorového poľa 
nasledujúci vzorec (2.4):
de 
- obsyag kužeľ, pretože yakim sa integruje. Skoristaєmosya vіdomoyu vzorec na výpočet obscénnosti kužeľa 
(
- polomer kužeľa, 
- jogín visota). Naše vipadku budú uznané 
... zvyškové
.
Príloha 2.5. Spočítajte obeh vektorového poľa 
pozdĺž obrysu
, Osvіchenіy peretin po povrchu 
і 
(
). Prehodnoťte výsledok pre Stokesov vzorec.
Rozhodnutie. Peretín významných povrchov є obvod 
,
(Obr. 2.1). Vibiratsya rovno okolo obchádzky, aby bola oblasť obklopená hnevom. Zapisovateľný parametrický obrys
:
|
|
hviezdy 
a parameter 
zmeniť z 
predtým 
... Pre vzorec (2.7) s rovnicami (2.1) a (2.10) môžeme dedukovať
.
Zastosuєmo teraz Stokesov vzorec (2.9). Jakov povrch 
, Natiahnuté na kontúre
, Môžete si vziať časť oblasti 
... úplne normálne 
do stredu povrchu, použite priamy obchvat kontúry
... Rotor daného vektorového poľa výpočtov v aplikácii 2.2: 
... Cirkulácia Tom shukana
de 
- oblasť oblasti 
.
- polomer farby 
, hviezdy
Spotrebované integrály. Vypočítaná obsyagu tila.
Tretí integrál vo valcových súradniciach
Tri dni v dekanáte ležiace v Pythagorových nohaviciach,
V rukách Fikhtengolts je malý objem obloženia,
Až do chvíle, keď uviazali tretí integrál a zabalili mŕtvolu do matice,
A nahradiť modlitby nahabu prečítaním Bernoulliho vety.
Spotrebované integrály - tých, ktorých sa nemôžete báť =) Ak si prečítate text, potom, lepšie pre všetko, sa nebudete báť teória a prax integrálov „zychanykh“ a tiež subintegrals... A tam, sekundárne, neďaleko a ďaleko:
V prvom rade, čoho sa treba báť? Integrálne menej, integrálne viac ...
Napíšem:
- ikona integrálu spotrebiteľa;
- pidintegralna funkcia troch zím;
- diferenciál tvir.
- oblasť integrácie.
Obzvlášť regióny integrácie... Yaksho v subintegrálne vyhraté je plochá postava, Potom tu - priestrannosť tilo , Yake, yak vidomo, obklopený bezlichchyu nad hlavou... Takáto hodnosť, okrem viny viny, v hlavný povrch otvorený priestor a existujú jednoduché jednoduché stoličky.
Deyaki boli pokazení, myseľ .... Škoda, článok môže mať názov „Užitočné integrály pre čajníky“ a pre šľachtu je to často nevyhnutné. A nie je nič hrozné - všetok materiál z Vicladena je v hranične prístupnej forme a je potrebné ho zvládnuť za najlepších podmienok!
Čo to znamená počítať zbytočný integrál a čo to je?
Vypočítajte tretí integrál - to znamená vedieť ČÍSLO:
Najjednoduchší vipad, ak, integrál tretej strany, numericky drahý, obsyagu tila... V prvom rade podľa zmіstom zmіstom іntegruvannya, Dobutok dorіvnyu nekonečne malý obsyagom elementárna „tseglinka“ til. A tretí integrál yak krát i ob'єnuє
všetky ci donekonečna malé častice podľa regiónov, v dôsledku čoho sa má zadať integrálna (súhrnná) hodnota záväzku: 
.
Okrem toho je veľmi dôležitá integrácia spotrebiteľa fyzické doplnky... Ale about tse piznishe - v 2. časti hodiny priradenej k výčet dostatočnej integrácie tretích strán Niektoré z funkcií navonok vyzerajúceho štýlu pôsobia ako konštanta a nie sú v regióne prerušené. Pri rovnakom štatúte je úloha poznať povinnosť podrobne rozoznateľná, pretože pre moje subaktívne hodnotenie je vypracovaná 6 až 7 krát.
Ako integrovať spotrebiteľa?
Logicky sa pozrite na prednú položku. potrebuje byť rozkaz obísť tila ja idem do opakujeme integrály... Pre koho nakoniec prejdú tromi oddelenými integrálami.
Yak bachite, celá kuchyňa je taká zlá, ako sa len dá subintegrals Videl som, že sme naraz získali dodatočnú veľkosť (zhruba, zrejme, visota). Ja, melodicky, bohato som už hádal, ako si zvyknúť na integráciu.
Vývoj stratil svoj súčet:
zadok 1
Buďte lasica, prepíšte sporák na papir:
Poskytnite mi spätnú väzbu na ďalšie jedlo. Viete Vi, ako sa pýtate na povrch? Zrozum_liy Neformálne zm_st tsikh rivnyan pre vás? Viete Vi, ako vidíte povrch rozety na otvorenom priestranstve?
Hneď ako sa dostanete k out-of-the-box zobrazeniu „skôr, nie, nie“, potom si v každom prípade vypracovajte lekciu a neprešmyknete sa!
Rozhodnutie: Vikoristovuєmo vzorec.
Za to schob z'yasuvati rozkaz obísť tila ja idem do opakujeme integrály Je to potrebná (všetko geniálne jednoduchá) inteligencia, dobre pre tilo. І taký komfort v bagatioh vipadkakh je skvelé vziať si kreslo.
Za umývadlom je telo obklopené obtlačkom s povrchmi. Prečo by som sa mal pýtať? Odkladám útočný príkaz d_y:
predvádzateľný rovnobežný s ortogonálnym projekcia tela na súradnicovú oblasť. Ako som už povedal prvýkrát, projekcia yak tsya sa nazýva, lol =)
Hneď ako sa projekt realizuje, budete musieť urobiť povrchy Yakі paralelná danіy os. Hádam, aký druh ryvnyannya takýchto povrchov nemstite sa na „zet“... Existujú tri úlohy, na ktoré by ste si mali dať pozor:
- Rivnyannya nastavil oblasť súradníc, ako prejsť lanom;
- Rivnyannya nastavil oblasť súradníc, ako prejsť lanom;
- späť oblasť „Plochá“ rovná rovnobežne s osou.
Shvidshe pre všetko, projekcia shukana je útočný trikutnik: 
Mozhlivo, nie všetko až do konca mysle, za nič. Zistite, či môžete ísť z obrazovky monitora a prejsť priamo na svoj prenos ( choďte sa pozrieť, ako sa čudujete 3-svetovej stoličke zhora)... Do tej doby bolo v nekonečnej trigonálnej „chodbe“ viac priestoru a projekcie do oblasti nových tienení.
Zatiaľ balím so zvláštnym rešpektom už žiadne priuschennya o projekcii a byť plachý „hanblivý za všetko“, „nimovirnishe“ nevyjde. Vpravo v skutočnosti, že neboli analyzované všetky povrchy a môže sa stať, že z nich bude vidieť časť trojkolky. Yak s pažbou opýtajte sa sféra so stredom na súradnici s polomerom menším ako jedna, napríklad guľa 
- її projekcia na plochu (číslo 
) Vo všeobecnosti existuje tieňovaná oblasť a projekcia nie je náročná (Kolo "zrіzhe" yomu gostrі kuti).
Na druhom stupni je zyasovuєmo, pod ním je obkolesený zhora, zdola a priestranné kreslo. Obrátili sme sa na myseľ a čudovali sme sa, pretože povrchy boli zatienené. Rivnyannya nastavuje samotnú oblasť súradníc a Rivnyannya - parabolický valec, šitie vyššie oblasti a prejdite cez lano. V takej hodnosti je projekcia tily účinná є trojkolka.
Pred prejavom sa tu objavil premôcť myseľ - do nového bulváru nie je potrebné zahrnúť rovnú plochu, úlomky povrchu, osové úsečky, ktoré sa hýbu, a tak spomaľuje. Jednoducho, v každom prípade sme neboli schopní prekročiť projekciu naraz - trikutnik „promalyovany“ slúžil iba na analýzu projekcie.
Úhľadne je zobrazený fragment parabolického valca: 
Kreslo Pislya vikonannya z obtoková objednávkažiadne problémy!
Poradie obchádzania projekcie je pre zbierku dôležité. (Súčasne NABAGATO ZRUCHNISHE orієntuvatisya na dvojitých kreslách). Báť sa ABSOLÚTNE TAK, áno, vstúpim subintegrals! Laserové ukazovátko a skenovanie rovnej oblasti sú skryté. „Tradičný“ prvý spôsob obchvatu Viberemo:
Dal je vzatý do rúk očarujúceho lichtarika a žasne nad triviálnym kreslom a prísne z kopca poučiť pacienta. Promenáda vchádza priestorom do budovy a prechádza povrchom. V tomto poradí je poradie obídenia tela:
Prejdeme k opakovaným integrálom: 
1) Pozrite sa na integráciu „zetovy“. vikoristovuєmo Newton-Leibnitzov vzorec:
Výsledok je uvedený v integrácii „igrekovy“: 
Čo sa stalo? Po ceste riešenie siahalo až k subintegrálu a samo k sebe k vzorcu 
kolo valcovej tyče! Ďalej dobré vedieť:
2) 
Racionálnu technológiu riešenia 3. integrálu veľmi rešpektujem.
vidpovid: 
Výpočet je možné zaznamenať do jedného riadka: 
Iným spôsobom, buďte v bezpečí - môžete vyhrať hru až do straty kvality. Čím dôležitejší je zadok, tým väčšia je šanca na odpustenie.
Rady týkajúce sa dôležitých potravín:
Prečo potrebujete pracovať v kresle, ak nemáte na pamäti úlohy?
Chotirmu môžete piť s cestičkami:
1) Nakreslite projekciu a seba. Najdôležitejšou možnosťou je, že je možné, aby mal viconati dve slušné kreslá; Odporúčam čergu v persh.
2) Nakreslite iba tilo. Je dobré, ak je projekt trápny a očividný. Napríklad bolo do vybraného zadku nainštalované triviálne kreslo. Tu je však mínus - podľa 3D obrázkov nie je manuálne začať postup obchádzania projekcie a najlepším spôsobom by som potešil iba ľudí s dobrou prípravou.
3) Nakreslite iba projekciu. Nie je to zlé, ale je tu veľa ďalších listov a komentárov, región nie je obklopený inými stranami. Tretia možnosť je bohužiaľ často impertinentná - ak je toho príliš veľa, alebo ak ste uviazaní v ťažkých ťažkostiach. To sa dá tiež uplatniť.
4) Obchádzajte sa bez stoličky. Vo všeobecnosti je potrebné predložiť malú úvahu a písomne sa vyjadriť k jej forme / forme. Je dôležité, aby ste volali jednoduchých ľudí. Ale, všetko je krajšie ako zrobiti Chcel by som schematického chlapíka, fragmenty „cieľa“ riešenia je možné odniesť.
Prichádza tilo pre svojpomoc:
zadok 2
S pomocou nehospodárneho integrálu spočítajte objem tela obklopeného povrchmi
V tomto konkrétnom kontexte je oblasť integrácie v prevažnej miere stanovená nezrovnalosťami; 
nastavte 1. oktant vrátane súradnicových oblastí a nezrovnalosť - polopriestor, Zobraziť klas súradníc (Perevirt)+ Samotná oblasť. „Vertikálna“ plocha paraboloidov je zdvihnutá pozdĺž paraboly a na kreslách je daný peretín. Celkovo je potrebné poznať prekurzorový bod alebo jednoduchšie vrchol paraboly (Pozrite sa na hodnotu 
a rozrahovuєmo vіdpovіdne „z“).
Predám:
zadok 3
Vypočítajte pomocou odpadového integrálu objem tela obklopený hodnotami povrchov. Kreslo Viconati.
Rozhodnutie: Vzorec „kreslo visonati“ nám dáva slobodu, ale shvidshe na všetko, musíme rešpektovať priestranné kreslo. Projekciu však nemožno nastaviť, navyše to nie je jednoduché.
Dotrimuєmosya іdpratsovanoi skoršie taktiky - zbierka povrchy, Yaki aplikuje rovnobežnú os. Rivnyannya také povrchy nemožno pomstiť pri zjavnej zmene viglyadi "z":
- Rivnyannya nastaví oblasť súradníc, prejde čiarou ( yak na námestí, názov je „rovnaký“;
- späť oblasť, Scho prejsť „jedným menu“ „Plochá“ rovná rovnobežne s osou.
Shukane tilo je obklopené oblasťou pod i parabolické valce vyššie: 
Poradie chodenia po podlahe je jednoduché, medzi integráciou je veľa „iksov“ a „іgrekovie“, myslím, že je ľahké používať obojsmerné kreslá:
V tomto poradí: 
1) 
Pri integrácii podľa „іgrek“ - „iks“ sa používa ako konštanta, pre túto konštantu stojí za to obviňovať integrálne znamienko.
3) 
vidpovid:
Takže bez toho, aby sme trochu zabudli, vo veľkom počte vypadkіv otrymivaniya je výsledkom nekvalitného (a rýchleho) zvuku triviálnych kresiel, odrazov veľkej imovіrnіstya vinykna іluzіya obsyagu, O yaku I rozpoviv shche at urotsi Obsyag tila obal... Odhadli sme triviálne úlohy, zvlášť keď som sa vrátil, v novej budove sú viac ako 4 „kocky“.
Útočný zadok pre nezávislé riešenie:
zadok 4
Vypočítajte pomocou odpadového integrálu objem tela obklopený hodnotami povrchov. Zmenšite kreslo tejto budovy a premietajte ju na plochu.
Úvodná forma návrhu na konci hodiny.
Nie je to frivolné, ak je výkon triviálnej stoličky ťažký:
zadok 5
Za pomocou nehospodárneho integrálu poznajte objem tela a nastavte ho tak, aby ho obklopovalo povrchmi
Rozhodnutie: Projekcia je tu nešikovná, ale na os nad poradím її je potrebné myslieť. Ak vibrujete 1. spôsobom, figúrka bude rozdelená na 2 časti, takže nebude iluzórne blokovať vypočítané sumy dva integrácia tretích strán. Na zyazyka z tsim nabagato sľubné viglyadє 2. spôsob. Vizuálne a predstaviteľné premietaním tohto tela na stoličku: 
Žiadam vás, aby ste vibrovali pre kvalitu týchto obrázkov, vidím ich priamo z autoritatívnych rukopisov.
Vibiraєmo veľký sprievodca pre obídenie figúrok: 
Teraz vpravo za podlahou. Pod ním je obklopená oblasťou, nad - oblasťou prechádza jak cez visiace súradnice. Ale všetko sa nudilo, ale zvyšok oblasti bol stále strmý a región nebol taký ľahký. Atmosféra je tu nezávislá: buď je šperkársky robot v inom meradle (stačí ho dokončiť), alebo sa výška stoličky blíži 20 centimetrom (tá, do ktorej sa zmestí).
Ale za tretie, ruská metóda riešenia problému - kladenie =) 
je oblasť do strany, oblasť - zdola a oblasť - zhora. "
„Vertikálny“ medzi integráciou je zrejme nasledujúci:
Početne obsyag tila, nie zabuvayuchi, ale projekciou sme to urobili v širšom zmysle: 
1) 
vidpovid:
Yak sme si spomenuli, že propagácia v budovách, ktoré sú často obklopené oblasťou nižšie, nestojí za viac ako sto dolárov. Ak to nie je pravidlom, musíte byť pripravení - môžete veľa jesť, de tilo roztashovani pid námestie. Napríklad, akonáhle v rozibranoi zavdannyu nahradí oblasť, bolo možné symetricky sa objaviť iba v dolnom polpriestore, a ak by bol ohraničený oblasťou nižšie a oblasťou - nad ňou !
Je ľahké perekanatisya, uvidíte rovnaký výsledok:
(Pam'yataєmo, tilo treba obísť striktne zdola do kopca!)
Oblasť „kokhana“ sa navyše môže objaviť v zagale nie vpravo, v najjednoduchšom zadku: chladivo rozprestierajúce sa po celej oblasti - keď to spočítate, nepoznáte zagala.
Všetky farby sú ľahko zrozumiteľné, ale ostatné sú analogické pre nezávislé riešenie:
zadok 6
Pomáhajte zbytočnému integrálu poznať objem til obklopený povrchmi 
Krátke rozhodnutie a vysvetlenie na konci hodiny.
Prechod na ďalší odsek s nemenej obľúbenými materiálmi:
Tretí integrál vo valcových súradniciach
Valcové súradnice - tse, za deň, polárne súradnice na voľnom priestranstve.
Vo valcovom súradnicovom systéme je poloha bodu definovaná ako polárne súradnice bodu - priemet bodu na oblasť a samotný bod.
Prejdite od triviálneho karteziánskeho systému k valcovému súradnicovému systému, postupujte podľa nasledujúcich vzorcov: 
Aby sme prijali naše oživenie viglyady s ofenzívnou hodnosťou:
Zjednodušene som zrejme v pohľade na tsy statti: 
Nezabudnite na dodatkový multiplikátor „er“ a umiestnite ho správne integrácia polarity pri obchádzaní projekcie:
zadok 7
Rozhodnutie: Dotrimuєmosya v rovnakom poradí, dіy: na prvom mieste je ryvnyannya, v ktorom je každý deň zet. Jeden tu je. projekcia valcovitý povrch na štvorec є „jedna zmena“ obvod .
oblasť 
obklopte shukane iba zdola a zhora („visiace“ z valca) a navrhnuté v niekoľkých prevedeniach: 
Na zadnej strane triviálneho kresla. Hlavné skladanie poľa pri vyvolaní oblasti, jak prevráti valec pred „kosením“ rezu, v dôsledku čoho elipsy... Na objasnenie daného peretínu je analytické 
a číselná hodnota funkcie („visota“) v bodoch pýtania, ktoré ležia na kordónovom priemete:
Bypassové body na kresle a presne (Nie tak, ako ja =)) z riadku: 
Projekcia podlahy na plochu є colo a celý argument pre prechod na valcový súradnicový systém:
Poznáme povrch vo valcových súradniciach:
Teraz sa poradie obchádzania tila posunulo.
Zbierka útržkov z projekcie. Aký je postup pri obchádzaní? PRESNE TAK SAMO, ako kedy očíslované subintegrály v polárnych súradniciach... Tu je prvok vína:
„Vertikálne“ medzi integráciou je tiež zrejmé - vstupuje sa do tela cez oblasť a vstupuje sa cez oblasť:
Prejdeme k opakovaným integrálom: 
Multiplikátor „ep“ sa súčasne okamžite vloží do integrálu „sviy“.
Vinik yak zazvychay ľahší ako zlo na vetvičkách:
1) 
Výsledok ofenzívnej integrácie je nositeľný:
A tu sa nezabúda, že „fe“ sa používa ako konštanta. Ale do jednej hodiny:
vidpovid:
Vyzerá to ako zavdannya pre nezávislé riešenie:
zadok 8
Vypočítajte pomocou odpadového integrálneho obsyagu til, obklopeného povrchmi. Viconati kreslo danej budovy a projekcia do okolia.
Konečný návrh Zrazoka na konci hodiny.
Úcta k zvieraťu, ale v hlavách úloh sa o prechode na cylindrický súradnicový systém nehovorí ani slovo a človek si neuvedomí dôležité integrály v karteziánskych súradniciach. ... A možno nebude - ani tretí, od samého začiatku ruský spôsob riešenia problémov =)
Všetko jednoducho opravte! ... v dobrom slova zmysle: =)
zadok 9
Pomáhajte zbytočnému integrálu poznať objem til obklopený povrchmi
Skromne a s chuťou.
Rozhodnutie: Dane tilo obmezhene koncový povrchі eliptické parabolické... Čitatelia, ktorí sa s úctou oboznámia s materiálmi štatistiky Hlavné povrchy pre priestor Už sme si predstavili, že je to ľahké vidieť, ale v praxi často vidíme viac skladacích vzorov, preto poskytnem analytickú správu.
Poznáme veľa čiar, za jarmami plochy pretekajú. Sklad a virálne vstúpim do systému:
Od 1. rivnyannya k sebe navzájom:
Výsledkom sú dva korene:
Mimochodom, poznáme význam v systéme podobnom:
, Viplya hviezdy, scho
V takejto hodnosti sú korene jedného bodu klasom súradníc. Prirodzene - dokonca aj vrcholy vrcholov rastú cez vrchol.
V dnešnej dobe existuje iný koreň - tiež v systéme podobnom:
Aký geometrický zm_st vykresleného výsledku? „Na zemi“ (v oblasti) sú paraboloid a kužeľ obvod- jeden polomer sústredený v bodoch.
„Misa“ paraboloidu súčasne nahrádza „lievik“ kužeľa, predstierať za koncovými plochami nasleduje bodkovaná čiara (za vinetou budem vidieť ďaleko od nás, čo je vidieť z tohto uhla):
Projektovanie budovy na plochu є kolo v strede klasu súradníc polomeru 1, ktorý som sa nepokúšal vizualizovať cez zrejmosť tejto skutočnosti (Chráňte písaný komentár robimo!)... Pred rečou vás môžu na dvoch predných sedadlách na projekcii stoličky vraziť kladivo, yakby nie je múdry.
Pri prechode na valcové súradnice podľa štandardných vzorcov je nekonzistencia zaznamenaná v najjednoduchšom pohľade a poradí obchádzania projekcie určitých problémov:
Poznáme povrch vo valcovom súradnicovom systéme: 
Ak sa teda pozriete na hornú časť kužeľa v továrni, môžete to vidieť z hľadiska:
„Scanuєmo tilo“ zdola nahor. Zmena svetiel na vstup do nového prostredníctvom eliptický paraboloid prechádzam koncovou plochou. V takom poradí je „vertikálne“ poradie obchádzania tela:
Іnsha o správnej technike: 
vidpovid: 
Nie je to fantastické, keby bolo také ľahké požiadať seba, aby ste neboli obklopení povrchmi, ale aby ste boli bez nezrovnalostí:
zadok 10
Geometrický zmysel priestorových nerovností, správu doplním vysvetlením v tom istom predslove - Hlavné povrchy pre priestor a dôvod.
Dane, chcem sa pomstiť parametrom, alebo dokonca priznať nastavenie presnej stoličky, ktorá ukazuje princípy pohľadu na podlahu. Myslíš, že jak bude visonati. Krátke rozhodnutie a vysvetlenie - na konci hodiny.
... no, len párkrát? Uvažujete nad dokončením hodiny, ale len tak a uvidíte, ako to chcete =)
zadok 11
Za dodatočné náklady na integrál vypočítajte objem daného objektu: 
De je celkom pozitívne číslo.
Rozhodnutie: nedôslednosť 
nastavte stred na klas klasu polomeru a nekonzistenciu 
- "plnenie" kruhového valca s polomerom symetrie. V takej hodnosti je shukane obklopený kruhovým valcom z boku a symetrickými sférickými segmentmi hore a dole.
Beruchi pre základnú jednotku kreslo vimira, viconmo: 
Presnejšie povedané, ďalším krokom je nazvať to trochu, niektoré proporcie pozdĺž osi mňa nie sú ani dobré. Avšak kvôli spravodlivosti kvôli spravodlivosti nebol za mysľou potrebný žiadny druh kresla a takáto ilustrácia sa javila celkom dobre.
Vážim si vás, ale tu nie je povinné zavesiť, na ktorom visí valec zo spodnej časti „vrchnákov“ - ak vezmete do rúk kompas a začnete kruh so stredom na klasu súradníc polomeru 2 cm, potom body pretečú valcom ...
1. Válcové súradnice predstavujú údaje polárnych súradníc v oblasti xy s klinovitou karteziánskou aplikáciou z (obr. 3).
Nech M (x, y, z) je dostatočný bod v priestore xyz, P je priemet bodu M do oblasti xy. Bod M je jednoznačne reprezentovaný tromi číslami - polárnymi súradnicami bodu P, z - aplikáciou bodu M.
Jacobian (8)
zadok 2.
vypočítajte integrál
de T - oblasť obklopená povrchmi
Rozhodnutie. Prejdeme k integrálom až po sférické súradnice podľa vzorcov (9). Todi oblasť integrácie môže byť stanovená nezrovnalosťami
A to znamená
zadok 3 Vedieť obsyag til, ohraničený:
|
x 2 + y 2 + z 2 = 8, |
Mahmo: x 2 + y 2 + z 2 = 8 - guľa s polomerom R = v8 so stredom v bode O (000),
Horná časť kužeľa z 2 = x 2 + y 2 z vrcholu symetrie Oz a vrcholu v bode O (obr. 2.20).
Poznáme pretečenie gule a kužeľa:
І tak yak za drezom z? Potom 0
Kruh je R = 2, ktorý leží v oblasti z = 2.
Tom je hrozný (2,28)
de area U je na vrchu obklopená
(Časť sféry),
(Časť kužeľa);
oblasť U sa má premietať na oblasť Okhy v oblasti D - polomer 2.
Tiež je potrebné ísť na koniec integrálu k valcovým súradniciam, vikoristovuchiho vzorce (2.36):
Medzi zmenami je r známe podľa oblasti D v mimo R = 2 so stredom v bode O, sami: 0? Ts? 2p, 0? R? 2. Plocha U vo valcových súradniciach je teda stanovená nástupom nepravidelností:
Vážený, scho
Nehayovi je daný materiál tilo, pretože je to rozsiahla oblasť P, ktorú si Masoy zapamätal. Je potrebné poznať hmotnosť celého tela pre myseľ, ktorá v kožnom bode R € P v dome rozloženia hmotnosti. Rozib'єmo región P na neprekrývajúcich sa kubických (t. J. Mayut obsyag) častiach so záväzkami podľa. V koži čiastkových oblastí ft * vibruje náhodný bod P *. Prijateľne blízko, ale v hraniciach súkromnej oblasti ft * kapacita stĺpika a cesty / * (P *). Todі mäsa ATK tsієї Chastain tіla virazitsya nablizhenim rіvnіstyu ATPC a mäsa vsogo tіla Buda nablizheno dorіvnyuє Potrіyny іntegral Vlastivostі potrіynih іntegralіv Obchislennya potrіynogo іntegrala v pravouhlých súradníc Obchislennya potrіynogo іntegrala v tsilіndrichnih aj guľovitosti poloha Nekhay d - naybіlshy of dіametrіv chastkovih oblastí yakscho pri d - * 0 súčet (1) neexistuje dotácia hranice, ale neleží v ceste rozvoju oblasti ft na časti subregiónu, ale nie vo výbere bodov P * € ft *, potom hranice medzi m Rozib'єmo ft na n nepriečnych kubických častiach a їх obsyagi je výrazne príkladom. V podoblasti dermálnej čiastkovej oblasti P *vibruje bod Pk (xk, yk, zk) s hodnotením predradnosti a súhrnný súčet skladu Nehay d je najväčší priemer v oblastiach čiastočných častí Viznachennya. Ak d O integrálnych sumách a môže byť medzi nimi, ale nie o tom, aby sa určoval nie tak, aby sa rozvíjala oblasť L na časti podoblasti P *, ale nie pri výbere bodov Pk € P *, potom hranica sa nazýva trojité integrály funkcie f (x) y, z) na ploche Q a je označená symbolom Veta 6. Ak je funkcia f (x, y, z) v uzavretej kubickej oblasti P spojitá, potom je integrovaný v celej oblasti. Sila tretích integrálov Sila tretích integrálov je analogická s mocnosťami podradených integrálov. Z nich sa zmenili hlavné. Nepoznám funkcie integrácie v oblasti s kockami L. 1. Linearita. Funkcia sa zároveň nazýva integrovaná v oblasti Q. Podľa hodnoty sa teda môžete obrátiť na úlohy týkajúce sa výpočtu hmotnosti súboru a tiež medzi (2) є nepotrebnou integrálnou funkciou VGT d (P ) v oblasti d. dv prvok v obdĺžnikových súradniciach. de a і (3 - postačujúce reči postіynі. ste v oblasti P, potom 3. Ak / (P) = 1 v oblasti P, potom n de V - objem oblasti Q. Funkcia / (P) je nepretržitý v uzavretých kubických oblastiach ft і M і t - її najlepšie a najmenej významné v ft, potom de V je oblasť ft. 5. Aditívnosť. Ak je oblasť ft rozdelená na oblasti s kockami bez vnútorných miest na spanie a f (P) je integrované do oblasti ft, potom f (P) je integrované do oblasti pokožky od ft | і ft2, so 6. Veta o priemerných hodnotách. Veta 7 (o priemere). Ak funkcia f (P) nie je prerušená v uzavretej kockovej oblasti ft, potom je tenký Pc € ft, takže vzorec de V - objem oblasti ft (nagadaєmo, že oblasť je jasná, nezákonná) bude platné. § 7. Výpočet spotrebného integrálu v karteziánskych súradniciach Jak i pri výpočte subintegrálov napravo sa pristúpi k výpočtu opakovaných integrálov. Pripúšťa sa, že funkcia nie je v reálnej oblasti ft prerušená. 1. vipadok. Plocha ft є obdĺžnikový rovnobežnostenný projekt do oblasti yOz v obdĺžnikovom i2; Todi otrimaєmo Zamynyuchi subintegral přes opakovanie, residually otrimaєmo V takej hodnosti, pretože región P je rovnobežnostenná čiara, začali sme počítať tretí integrál k poslednému počítaniu troch integrálnych integrálov. Vzorec (2) je možné prepísať na pravouhlé, pravouhlé a pravouhlé projekcie rovnobežnostena P na oblasť xOy. 2. vipadok. Teraz je oblasť Q viditeľná, takže hranica medzi povrchom 5 je prepletená, či už rovná, rovnobežná s osou Oz, nie viac ako v dvoch bodoch alebo po celej dĺžke (obr. 22). Ponechajte z = tpi (x, y) rovnajúce sa povrchu 5, ktorý bude ohraničovať oblasť P zospodu, a povrchu S2, ktorý bude uzatvárať oblasť P zhora, ma rovnaké z = y). Neubližujte povrchu S \ a S2, ktoré majú byť navrhnuté na rovnakej ploche oblasti xOy. Významne її cez D a prepletenie krivky cez L. Rashta kordón 5 do Q leží na valcovitý povrch vytvoriť, rovnobežné osi Oz, і z krivky L v úlohe vedenia. Analogicky so vzorcom (3) môžeme odvodiť oblasť D oblasti xOy cur krivočiary lichobežník obklopený dvoma krivkami, potom subintegrál vo vzorci (4) môžeme zredukovať na druhú a môžeme vytvoriť zvyškový (2) vzorec. Obr. 23 Zadok. Spočítajte súčet štvorstena, obklopeného štvorcami projekcie štvorstena na plochu xOy, slúži ako trojkolka, výroky sú priame, takže x sa zmení z 0 na 6 a s pevným x (0 ^ x ^ 6) y sa zmení z 0 na 3 - | (Obr. 23). Ak existujú pevné x, y, potom sa bod môže vertikálne pohybovať z oblasti do oblasti od 0 do 6 - x - 2r. Za vzorcom spoznáme §8. Vyčíslenie spotrebiteľského integrálu vo valcových a sférických súradniciach Výživa o nahradení zím v spotrebiteľskom integrále sa robí rovnakým spôsobom ako v prípade subintegrálu. Funkcia / (z, y, z) nie je v uzavretej oblasti s kockami ft nespojitá a funkcie sú súčasne neprerušované s ich súkromnými súkromnými funkciami prvého rádu v oblasti s uzavretými kockami ft *. Predpokladajme, že funkcia (1) vytvára individuálnu korešpondenciu medzi bodmi rj, () plochou ft *z jednej strany a všetkými bodmi (z, y, z) oblasti ft-z druhej strany . To je správny vzorec na nahradenie prisluhovačov v spotrebiteľskej integrácii - de Jacobianovom systéme funkcií (1). V praxi sa pri výpočte integrálov tretích strán často používa na nahradenie obdĺžnikových súradníc valcovými a sférickými súradnicami. 8.1. Tretí integrál vo valcových súradniciach Vo valcovej súradnicovej sústave je poloha bodu P v priestore definovaná tromi číslami p, de p і (p sú polárne súradnice priemetu P1 bodu P do oblasti xOy, az je aplikáciou bodu P (obr. 24). tochіі R. Jednoznačne scho v súradniciach yakogo zbіgaєtsya of vіssyu Oz, napіvploschina scho primikaє to osі Oz, і area, rovnobežná s oblasťou хОу. Valcové súradnice sú zviazané s karteziánskymi útočnými vzorcami (div. Obr. 24). Pre systém (3) je plocha ft zobrazené na ploche stroja a vzorca (2) na prechod z tretích priamych vonkajších súradníc na integrál vo valcových súradniciach v valcové súradnice. Tsei vysliv pre prvok obsyagu je možné orezať z geometrického mirkuvanu. Rozib'єmo oblasť P na elementárnych piedoblastoch so súradnicovými plochami a očíslovanými obsjagmi lemovaných zakrivených hranolov (obr. 25). Je vidieť, že existuje nekonečne malá hodnota väčšia ako vysoký poriadok, Otrimuєmo Tse umožní pre prvok ucho vo valcových súradniciach použiť hodnotu. Ci povrchu je prevrátená pozdĺž čiary g, ktorá je popísaná systémom rivnyan (valec), (plocha), obr. 26 a її priemet na plochu xOy systémom V tejto hodnosti sa Bazhakmiy obsyag počíta podľa na vzorec (4), v yak. Tretí integrál v sférických súradniciach V sférickom súradnicovom systéme je poloha bodu P (x, y, z) v priestore označená tromi číslami, de g - javí sa ako klas súradníc bodovej kut medzi osou Ox a priemet vektora polomeru ZRO a in - rez medzi osou Oz a vektorom polomeru OR bodu P, pri pohľade z osi Oz (obr. 27). Zrozumilo, scho. Súradnicové plochy v centrálnych súradnicových systémoch: r = konštanty - sféry sústredené na klasu súradníc; ip = konšt в = konšt. - kruhy a kužele s hmotnosťou Oz. Malé. 27 Z malého je zrejmé, že sférické a karteziánske súradnice sú prepojené nástupom vzťahu.Jakobijské funkcie sú očíslované (5). Maєmo Otzhe, a vzorec (2) nabuvaє viglyad Prvok obsyagu v sférických súradniciach - Viraz pre prvok obsyagu možno orezať z geometrického mirkuvanu. Jasne viditeľná oblasť v priestore, obklopená guľami s polomerom z a z + dr, kužele v i v + d $ a v oblasti. Todi Spotrebný integrál Sila tretieho integrálu je viditeľná Výpočet tretieho integrálu v karteziánskych súradniciach Vypočítanie spotrebného integrálu vo valcových a sférických súradniciach Aplikácia 2. Poznáte objem Q, sférického súradnicového systému ... Z tretieho ryvennya je známe medzi zmenami kuta 9: hviezdy
