Аксиоматично обозначение на системата от числа. Методически препоръки за разработване на курса „Библеви системи”. аксиома

Бройна система

Да предположим, че се е появила естествената поредица за прехвърляне на обекти. Ако обаче искаме да работим с обекти, трябва да извършваме аритметични операции върху числата. Tobto, ако искаме да сгънем ябълка или да разделим торта, трябва да преведем броя на числата.

Zvernemo уважение, scho за въвеждане на операции + че * при mov естествени числанеобходимо е да се добавят аксиоми, които показват силата на тези операции. Алетоди и безлични естествени числа теж разширяване.

Чудим се как се разширяват безличните естествени числа. Най-простата операция, тъй като това беше необходимо за един от първите - ce dodavannya. Ако искаме да назначим допълнителна операция, ние сме виновни да се върнем към нея – в крайна сметка. Вярно е, както знаем, какво ще бъде добавено в резултат на това, например 5 и 2, тогава ние сме виновни за virishuvati и тип задача: това, което е необходимо да добавите към 4, да вземете 11. vminnya viroblyaty i zvorotnu diyu - vіdnіmannya . И ако добавянето на естествени числа дава ново естествено число, тогава добавянето на естествени числа дава резултат, който не се вписва в N. Нуждаем се от повече числа. За аналогията на разумен поглед от по-голямо число към по-малко е въведено правилото за внимателност от по-малко – така се появиха числата на отрицателно число.

Допълвайки естествения ред с операции + і - mi, стигаме до безлични цели числа.

Z=N+операции(+-)

Система от рационални числа yak mov аритметика

Сега нека разгледаме това за сгъване diu - множествено число. Всъщност това е добавка на багатараза. І допълнителен брой цели числа се попълва с цяло число.

ейл обратна операциякъм множественото - tse podіl. Но далеч не винаги дава добър резултат. И отново сме изправени пред дилема – или да приемем така, сякаш резултатът от подреда „не може да се използва“, или да отгатнем номера на нов тип. Така те обвиниха рационалните числа.

Да вземем система от цели числа и да я допълним с аксиоми, които определят операцията на умножение и дъното. Отнемаме системата от рационални числа.

Q=Z+операции(*/)

Татко, езикът на рационалните числа ти позволява да работиш всички аритметични операциинад числата. Езикът на естествените числа не беше достатъчен.

Нека представим аксиоматично системата от рационални числа.

Назначаване. Безличните Q се наричат безлични рационални числа, както елементите - рационални числа, тъй като напредващият комплекс от умове, заглавия се нарича аксиоматика на рационалните числа:

Аксиоми на операцията на сгъване. За поръчан залог x,yелементи Вдеяк елемент x+yÎQ, класации в сбор хі в. Когато спечелите, мислете така:

1. (Isnuvannya нула) Iznuє елемент 0 (нула), така че за произволно хОQ

х+0=0+х=Х.

2. За всеки елемент х Q Q основен елемент - хО Q (противоположно х) такъв, че

х+ (-Х) = (-Х) + х = 0.

3. (Комутативност) За каквото и да е x,yО Q

4. (Асоциативност) За всякакви x, y, z Q

x + (y + z) = (x + y) + z

Аксиоми на операцията за умножение.

За поръчан залог x, yелементи от Q, присвоени на действителния елемент хуÎ Q, заглавия на творението хі г.Когато спечелите, мислете така:

5. (Isnuvannya един елемент) Iznuє елемент 1 Q, така че за каквото и да е хО Q

х . 1 = 1. х = х

6. За всеки елемент х Q Q , ( х≠ 0) основен елемент х-1 ≠0, така че

Х. x -1 = x -1. х = 1

7. (Асоциативност) За битие x, y, zО Q

х . (при . z) = (x . y) . z

8. (Комутативност) За каквото и да е x, yО Q

Аксиома zv'azku сгъната и умножена.

9. (Разпределителен) За каквото и да е x, y, zО Q

(x+y) . z=x . z+y . z

Аксиомите са в ред.

Бъдете като два елемента x, y, Q Q започва в края на реда ≤. Когато спечелите, мислете така:

10. (х≤в)L ( в≤х) ó x=y

11. (Х≤y)Л ( y≤ z) => х≤z

12. За бе-яка x, yО Q или x< у, либо у < x .

Настройка< называется строгим неравенством,

Съотношение = наречено равенство на Q елементи.

Axiom zv'yazku dodavannya този ред.

13. За всякакви x, y, z нQ, (x £ y) z x+z £ y+z

Axiom zv'yazku mnozhennya този ред.

14. (0 £ x)Ç(0 £ y) z (0 £ x´y)

Аксиомата за вечността на Архимед.

15. За това дали a > b > 0, имаме m N и n Q, така че m ³ 1, n< b и a= mb+n.

*****************************************

Така системата от рационални числа е аритметиката на Зем.

Проте, на върха на практическите задачи за броене, филмът не е достатъчен.

В училищния курс по математика числата бяха избрани по конструктивен начин, въз основа на нуждите от провеждане на експерименти. Такова назначение беше неизбежно и често водеше до doslidnikiv в глух кут. Например, храна за непрекъснатостта на реалните числа, така че чи са празни в tsіy множественост. Ето защо при провеждане на математически изследвания е необходимо майките да разбират строго определени изследвания, ако искат да използват в рамките на някои интуитивни надбавки (аксиоми), които се използват с практиката.

Назначаване. Колекция от елементи x, y, z, …, който се състои от повече от един елемент,наречен безличен Рреални числа, като за тези обекти са инсталирани следните операции и чертежи:

I група аксиоми- Аксиоми на операциите на сгъване.

При безликите Рбеше въведена операцията за добавяне, така че за това дали е заложен или не залог на елементи аі б чантаи означават а + б
аз 1 . а+б=б+а, а, б Р .

аз 2 . а+(b+c)=(а+б)+° С,а, б, ° С Р .

I 3. Използвайте такъв елемент, заглавия нула i е присвоен 0, което е за каквото и да е а Р vykonuetsya umova а+0=а.

аз 4 . За какъвто и да е елемент а Р isnuє елемент, youmu заглавия пролиферативнаозначавам - а, за което а+(-а) = 0. Елемент а+(-б), а, б Р , Наречен на дребноелементи аі би означават а - б.

II-група аксиоми - аксиома на операцията за умножение. При безликите Рвъведена операция множествено число, след това за be-like елементи за залог аі бобозначава се един елемент, който трябва да бъде наречен творческии означават а б, тогава с кого, мислете така:
II 1 . аб=ба, а, б Р .

II 2 а(пр. н. е)=(аб)° С, а, б, ° С Р .

II 3 . Іsnuє такъв елемент, наречен самотаи е обозначен с 1, което е за каквото и да е а Р vykonuetsya umova а 1=а.

II 4 . За бъде-кой а 0 основен елемент, youmu се класира връщанеи се обозначава с 1/ а, за което а=1. елемент а , б 0, наречен частенспоред rozpodіlu ана би означават а:б abo abo а/б.

II 5 . Zv'yazok оперативно сгъване и умножение: за be-yakah а, б, ° С Р vykonuetsya umova ( ac+b)c=ac+bc.

Колекцията от обекти, която удовлетворява аксиомите на групи I и II, се нарича числово поле или просто поле. А други аксиоми се наричат аксиоми на полето.

III - третата група аксиоми - аксиоми на реда.За елементи Рприведе в ред. Воно полага при настъплението. За това дали има два различни елемента аі бможе да бъде едно от двете spіvvіdnoshen: или а б(Прочети " апо-малко или повече б"), или а б(Прочети " апо-равни бС кого сте прехвърлени, трябва да мислите така:

III 1. а аза кожата а.У а б, бследващия a = b.

III 2 . Транзитивност. Yakscho а бі б ° С, тогава а° С.

III 3 . Yakscho а б, след това за всеки елемент ° Сможе да постави а+° С б+° С.

III 4 . Yakscho а 0,б 0, тогава аб 0 .

IV група аксиоми се формира от една аксиома – аксиомата на приемствеността.За някои непразни множества хі Йз Ркато за елементи за грижа за кожата х хі г Й nerіvnіst х < г, основен елемент а Ркоето задоволява ума

Мал 2

х < а < г, х х, г Й(фиг.2). Списъците с авторитети често означават безлични действителни числа в онези значения, които възкликват всички други авторитети от тези авторитети. Обозначението недвусмислено задава безличните реални числа спрямо точността на специфичната природа на елементите. Предупреждение за тези, които са повече от един елемент в безличността, е необходимо за тази безличност, която се състои от едно плюс нула, очевидно удовлетворява всички аксиоми. Надали елементи на множителя R се наричат числа.

Значително сега знаем разбирането за естествени, рационални и ирационални числа. Наричат се числата 1, 2 1+1, 3 2+1, ... естествени числа, че се означават безлични н . От значението на безличните естествени числа виждаме, че може да произлиза характерна сила: yakscho

1) А н ,

3) за скин елемент х Възможно място е включено x+ 1 А, тогава=н .

Наистина, умно 2) може би 1 А, към това за степен 3) че 2 А, но и в името на самите власти 3 А. Частиците са естествено число низлезте с 1 последно допълнение към него tієї zh 1, тогава н А, тогава. н А, а фрагментите зад ума 1 са включени А н , тогава А=н .

На този авторитет на естествените числа на основите, принципът на доказване метод на математическа индукция. Yakscho є безлична твърдост, естествено число (йогийско число) се приписва на кожата z н=1, 2, ... и е доказано, че:

1) справедливо потвърждение на номер 1;

2) от справедливост, потвърждение на каквото и да е число н н следващата справедливост, потвърдена с номер н+1;

тогава tsim донесе справедливостта на всички фирми, tobto. дали е потвърдено с валиден номер н н .

числа 0, + 1, + 2, ... име цели числа, техните безлични средни З .

Числа ум м/н, де мі нчисла и н 0, наречен рационални числа. Безличността на всички рационални числа означава В .

Наричат се произволни числа, които не са рационални ирационално, их безлични означава аз .

Обвини храненето, че може би рационалните числа извличат всички елементи на множителя R? Vidpovid tse храненето дава аксиомата за безопасност. Всъщност за рационалните числа тази аксиома не работи. Например, нека разгледаме два множителя:

Лесно е да се бачите, че при някои елементи се печелят неравности. Prote рационалночислата, които събират два множителя, не съществуват. Всъщност може да са само няколко на брой, но това не е рационално. Този факт и посочват тези, които установяват ирационални числа в множествено число Р.

Krim chotirioh аритметика dіy над числата можете да работите dії zvedennya в подножието на корена. За каквото и да е число а Р това естествено нстъпки a nозначават като твир н spіvmulnіnіkіv, равен а:

За назначаване а 0 1, а>0, а-n 1/ ан, а 0, не естествено число.

дупето.Непоследователност на Бернули :( 1+x)n> 1+nxДонесете път на индукция.

Хайде а>0, не естествено число. номер бНаречен корени n-та стъпка от числото а, като b n =a. Wu tsomu vipadku напишете. Основата на това единство на положителния корен от всяка степен н s дали някакво положително число ще бъде изведено по-долу в параграф 7.3.
Корен на двойния етап а 0 може да има две стойности: не б = , к н , след това th -б=. Правилно, s b 2k = акрещи какво

(-б)2к = ((-б) 2 )к = (б 2)к = b 2k

Не виждам смисъла се нарича йога аритметични стойности.
Yakscho r = p/q, де стрі qчисла, q 0, тогава. rе рационално число, тогава за а > 0

(2.1)

По този начин, стъпки а ропределени за всяко рационално число r. Z її vyznachennya vyplivaє, scho за всяка рационална rможе да са равни

a -r = 1/а р.

Влез а х(номер хНаречен осцилаторен етап) за всяко реално число хда излязат за помощ на непрекъснато удължаване на стъпалото с рационален индикатор (раздел. процедура в клауза 8.2). За каквото и да е число а Р не виж ми номера

наречена йога абсолютна стойностили модул. За абсолютните стойности на числата, нередностите

|а + б| < |а| + |б|,
||а - б|| < |а - б|, а, б Р

Вонята се довежда в помощ на силите на числата от I-IV ден.

Ролята на аксиомите за приемственост в развитието на математическия анализ

Стойността на аксиомата за приемственост е такава, че без нея суворът на математическия анализ е невъзможен. [ Джерело не е въведено 1351 дни] За илюстрация ще представим няколко фундаментални тела на анализа, чието доказателство се основава на непостоянството на реалните числа:

· (теорема на Вайерщрас).Бе-як, заобиколен от монотонно растяща последователност, се сближават

· (теорема на Болцано – Коши).Непрекъснато на функцията vіdrіzku различен знак, се превръща в нула в действителната вътрешна точка на намотката

· (Основа на статични, дисплейни, логаритмични и всички тригонометрични функции в целия „естествен“ обхват).Например, трябва да се изясни, че няма причина за това, за да бъде решението равностойно. Tse ви позволява да определите стойността на вируса за всички рационални:

Нарешти, отново на началата на непрекъснатостта на числовата линия може да се припише стойността на виразата за достатъчна. По същия начин, vikoristovuyuchi мощност без прекъсване, донесе броя на дали или не.

Тривалните исторически интервални математици доведоха теоремите до анализ, в "тънки области", разчитайки на геометрично заземяване, и по-често - пред тях, преминавайки през парчетата, това беше очевидно. Най-важното разбиране за непрекъснатата победа беше направено без никакво ясно определение. Едва през последната трета на 19-ти век немският математик Карл Вайерщрас разработва аритметизационен анализ, който подтиква теорията за реалните числа като неизчерпаеми десетични дроби. Vіn propoponuvav класическо обозначение между мина, dovіv редица твърдост, yakі vvazhalis "очевидно" към новото, и по този начин завършване на основата на математическия анализ.

Pіznіshe bulo zaproponovano іnshі pіdhodi до определения номер на деня. В аксиоматичния подход постоянството на реалните числа се разглежда ясно като аксиома. В конструктивните подходи към теорията на десетичното число, например, в случай на извеждане на десетични числа за допълнителни последствия от Дедекинд, мощността без прекъсване (за тези, които имат различна формула) се извежда като теорема.

Други формулировки на качеството на приемственост и еквивалентни предложения [ред. редактиране на уики текст]

Използвам пръскане от различни небесни своди, които показват властите без прекъсване на текущите числа. Кожата на тези принципи може да бъде поставена в основата на теорията за числото на деня като аксиома за приемственост, а всичко останало може да бъде въведено от нея. Докладът за снабдяването с храна се обсъжда с офанзивния клон.

Безперервност за Дедекинд[ред. редактиране на уики текст]

Основна статия:Теорията на превишаването в сферата на рационалните числа

Дедекинд разглежда храната за непрекъснатостта на реалните числа в своя робот „Непрекъснатостта на ирационалните числа“. Новите вина имат равни рационални числа с точки от права линия. Както можете да видите, между рационални числа и точки от права линия, можете да установите валидност, ако изберете по права линия кочан точкаче самотата побеждава vіdrіzkіv. За допълнителна помощ можете, според рационалното число на кожата, да предизвикате обръщане и да го преместите надясно или наляво, чудейки се дали е положително или отрицателно число, да вземете точка, до дясното число. По този начин рационалното число на кожата има една или повече от една точка на правата.

С това се оказва, че на права линия има безлична точка, която не отговаря на желаното рационално число. Например точка, отрязана от пътека за поставяне на двоен диагонал на квадрат, поставена върху единична навивка. Следователно областта на рационалните числа не може през цялото време, в противен случай непрекъснатокато мощна права линия.

За да разбере защо е безопасно, Дедекинд трябва да се опита да насърчи уважението. Ако това е една точка от права линия, тогава всички точки на права линия се разделят на два класа: лява точка и дясна. Същата точка може да бъде доста издигната до по-ниския или до горния клас. Dedekind vbachays sutnіst neperervnostі v zvorotnym principі:

Геометрично този принцип е очевиден, единственият начин да приведем йога ми не е в ума. Дедекинд обосновава, че всъщност този принцип е постулат, в който е изразена същността на този пряк авторитет, който се приписва, както ние го наричаме непрекъснат.

За да се разбере по-добре бездневността на числовата права в смисъла на Дедекинд, е достатъчно ясно да се променят безбройните десетични числа, така че той да раздели всички десетични числа на два непразни класа, така че всички числа от един клас да лежат на числова линия или ръка във всички числа на другия. Tsі класовете се наричат vіdpovіdno нисъкі висши класоверезекция. Теоретично има 4 възможности:

1. Долният клас има максимален елемент, горният клас няма минимум

2. Долният клас няма максимален елемент, а горният няма минимален елемент

3. Долният клас има максималния елемент, а горният клас има минималния елемент

4. Долният клас няма максимум, а горният няма минимални елементи

За първия и другия се вижда максималният елемент на долния или минималния елемент на горния и вибрира над другия. От третата гледна точка можем подстригване, и четвъртото probіl. В този ред непрекъснатостта на числовата линия означава, че в богатството на действителните числа няма ивици, няма просвети, така че, образно, очевидно, няма празно пространство.

Ако искаме да въведем разбирането за повторение на множеството на реалните числа, тогава принципът на Дедекинд за вечността може да бъде формулиран по следния начин.

Принципът на Дедекинд за приемственост (многократно). За кожна резекция множителят на действителните числа е числото, което вибрира тази резекция.

Уважение. Формулирането на аксиомите за вечността относно основата на точка, която разделя два множителя, дори отгатвайки формулировката на принципа на вечността на Дедекинд. Наистина тези твърдения са еквивалентни и по същество са различни формулировки на едно и също нещо. Затова се наричат обиди и твърдост принципът на непостоянството на реалните числа според Дедекинд.

Лема за приноса към vіdrіzki (принцип на Коши-Кантор)[ред. редактиране на уики текст]

Основна статия:Лема за инвестициите във vіdrіzki

Лема за инвестициите във vіdrіzki (Коши - Кантор). Било то система за вмъкване на vіdrіzkіv

не може да бъде празен peretin, tobto іsnuє prinaimnі един номер, scho принадлежат към мустаците на системата.

Yakshko, освен това, dozhina vіdrіzkіv dana system pragne zero, tobto

тогава напречното сечение на системата се сгъва в една точка.

Силата на Ци се нарича непостоянството на безличните реални числа в Sense Cantor. По-долу ще бъде показано, че за подреждащите полета на Архимед непрекъснатостта според Кантор е еквивалентна на приемствеността според Дедекинд.

върховен принцип[ред. редактиране на уики текст]

Принципът на надмощие. Ако не беше празен, границите на звяра на безличните дневни числа може да са върховни.

В курсовете по математически анализ на предложенията го наречете теорема и докажете безличността на suttєvo vikoristovy pererevnіst на реалните числа в тези и други форми. В същото време е възможно, например, да се постулира supremum за всеки непразен, безличен звяр и спираловиден, за да се донесе, например, принципът на приемственост според Дедекинд. По този начин теоремата за supremum е една от еквивалентните формули за степента на непостоянството на реалните числа.

Уважение. Заместителят на supremum може да бъде победител в разбирането на infimum.

Принципът на infimumu. Ако не беше празен, границите под анонимните числа може да са минимални.

Това твърдение също е еквивалентно на принципа на Дедекинд за непостоянството. Нещо повече, може да се покаже, че твърдението на теоремата за supremum е без средно основание твърдението на теоремата за infimum, и накрая (раздел по-долу).

Лема за kіtsev pokrittya (принцип на Хайне-Борел)[ред. редактиране на уики текст]

Основна статия:Лема на Хайне-Борел

Лема за kіtsev pokrittya (Хайне - Борел). Независимо дали има система от интервали, която покрива дихателните пътища, има централна подсистема, която покрива всички дихателни пътища.

Лема за граничната точка (принцип на Болцано-Вайерщрас)[ред. редактиране на уики текст]

Основна статия:Теорема на Болцано-Вайерщрас

Лема за гранична точка (Болцано - Вайерщрас). Be-yaka не е ограничен от числов набор, можете да вземете една гранична точка.

Еквивалентността на речта, която отразява непрекъснатостта на безличните реални числа [ред. редактиране на уики текст]

Zrobimo deyaki предварително уважение. Видно до аксиоматичното означение на десетичното число, съвкупността от десетични числа удовлетворява три групи аксиоми. Първата група са аксиомите на областта. Друга група отчита факта, че агрегирането на реални числа е линейно подреден множител, освен това редът се коригира към основните операции на полето. В този ред първата и другите групи аксиоми означават, че съвкупността от реални числа е подредено поле. Третата група аксиоми е съставена от една аксиома - аксиомата за непостоянството (или иначе).

За да се покаже еквивалентността на различни формули за непостоянството на реалните числа, е необходимо да се установи, че едно от предложенията на подреденото поле е фиксирано, тези, от които справедливостта на решението се вибрира.

Теорема. Да тръгваме - доста линейно подредена множественост. Еквивалент на твърдост на подхода:

1. Ако нямаше празни умножения и така, че за всеки два елемента и vikonuetsya nerivnist, има такъв елемент, който за всички и може да бъде spivvіdnoshennia

2. Защото дали има промяна, има елемент, който вибрира тази промяна

3. Бе-яка не е празен, заобиколен от безличен звяр maє supremum

4. Независимо дали не е празен, той е заобиколен от дъното на безличния maє іnfimum

Както може да се види от теоремата, предложенията tsі chotiri са по-малко от тези, които не са въведени в линеен ред, и не використират структурата на полето. В такъв ранг кожата им изразява силата им като линейно подреден множител. Tsya мощност (доста линейно подреден множител, а не obov'yazkovo безлични действителни числа) се нарича без прекъсване, но отново за Дедекинд.

Доказването на еквивалентност на други твърдения вече ще изисква структура на полето.

Теорема. Хайде - теренът е доста добре подреден. Предстоящите предложения са еднакво силни:

1. (като линейно подредено безлично) є ще следваме Дедекинд

2. Да следват принципа на Архимеді принцип на инвестиция

3. Да следват принципа на Хайне-Борел

4. Да следват принципа на Болцано – Вайерщрас

Уважение. Както е очевидно от теоремата, принципът на вмъкване vіdrіzkіv сам по себе си не е равноПринципът на Дедекинд за приемственост. Според принципа на Дедекинд за непостоянство, принципът на вмъкване на ветрове, защита на добродетелните, е необходимо да се допълни желанието, така че полето е подредено да удовлетвори аксиомите на Архимед

Доказателството на теореми за индукция може да бъде намерено в книги от изброената по-долу библиография.

· Кудрявцев, Л.Д.Курс по математически анализ. - 5-ти вид. - М.: "Дрофа", 2003. - Т. 1. - 704 с. - ISBN 5-7107-4119-1.

· Фихтенголц, Г.М.Основи на математическия анализ. - 7-ми изглед. - М.: "ФИЗМАТЛИТ", 2002. - Т. 1. - 416 с. - ISBN 5-9221-0196-X.

· Дедекинд, Р.Непостоянство и ирационални числа = Stetigkeit und irrationale Zahlen. - 4-те коригирано зрение. – Одеса: Матезис, 1923. – 44 с.

· Зорич, В. А.Математически анализ. Част I. - Изглед. 4-то, випр. - М.: "МЦНМО", 2002. - 657 с. - ISBN 5-94057-056-9.

· Непрекъснатостта на функциите и числовите области: Б. Болцано, Л. О. Коши, Р. Дедекинд, Г. Кантор. - 3-ти изглед. - Новосибирск: АНТ, 2005. - 64 с.

4.5. Аксиома за приемственост

Какво не биха били два празни множителя на реални числа A i

B , за някои елементи a ∈ A и b ∈ B

a ≤ b е такова число λ, че за всички a ∈ A , b ∈ B

равенство a ≤ λ ≤ b .

Силата на непрекъснатостта на действителните числа означава, че на реката

но правите линии не са празни, така че точките, които представляват числата, са запълнени

цялата реч.

Има и друга формулировка на аксиомата за приемственост. За което представяме

Назначаване 1.4.5. Два множителя A и B се наричат перетин

множители на реални числа, като

1) кратните A и B не са празни;

2) комбинацията от кратни A и B обобщава безличността на цялата реч-

техни числа;

3) номерът на кожата на множителя A е по-малък от номера на множителя B.

Това е многообразие на кожата, което прави перетин, искам да си отмъстя

елемент, не се размножават горещи елементиі, ако a ∈ A і b ∈ B , тогава

Безличното А се нарича нисш клас, а безличното Б е висшата класа

prezu клас. Определете ретин през A B.

С най-простите удари на отражение и отражение на отримани сли-

разпенващ ранг. Да вземем числото α, което поставям

А = ( х х< α } , B = { x x ≥ α } . Легко видеть, что эти множества не пусты, не пере-

ако a ∈ A і b ∈ B , тогава a< b , поэтому множества A и B образуют

прережете. По същия начин можете да направите разрез, на множества

A = (x x ≤ α), B = (x x > α).

Такива разфасовки се наричат разрези, генерирани от числото α или

да кажем, че числото α zdіysnyuє tsey perezіz. Може ли да напишете как

Pererizi, породена от някакъв брой, майка две цикади

власти:

Сила 1. За горната класа да отмъсти на най-малкия брой, а в по-ниската

класа не е най-голямото число, но по-ниската класа е да отмъсти на най-голямото число

ето, и горната класа няма най-малкото.

Сила 2. Числото, което вибрира този кръст, едно.

Изглежда, че аксиомата за вечността е формулирана по-справедливо

линия на твърдост, както се нарича принципът на Дедекинд:

Принципът на Дедекинд. За резекция на кожата, базовото число, което генерира

перетин.

Довеждаме еквивалентността на тези твърди вещества.

Нека аксиомата за приемственост е вярна и това е дадено

А Б . Тоди, парчета от клас А и Б задоволяват умовете, образуват-

в аксиома, ако числото λ е такова, че a ≤ λ ≤ b за произволни числа

a ∈ A и b ∈ B . Ale, числото λ може да принадлежи на едно и повече от едно

клас A или B, тогава една от нередностите a ≤ λ< b или

а< λ ≤ b . Таким образом, число λ либо является наибольшим в нижнем классе,

или най-малкият сред горния клас и порода pereriz.

Назад, нека се върнем към принципа на Дедекинд и задачи две не са празни

умножава A і B така, че за всички a ∈ A і b ∈ B

a ≤ b . Показателно е, че чрез B има безлични числа, такива че a ≤ b за каквото и да е

b ∈ B и всички a ∈ A . Тогава B ⊂ B . За безличното А ние приемаме безличността на чи-

sіl, scho не влиза преди B .

Може да се покаже, че множителите A и B удовлетворяват преразпределението.

Очевидно е вярно, че множителят B не е празен, парчета за отмъщение

не празен множител B. Безличното A не е празно, защото числото a ∈ A е,

тогава числото a − 1∉ B

числа a , също a − 1∈ A .

безличност на всички действителни числа, чрез избор на множествено число.

І, nareshti, ако a ∈ A і b ∈ B , то a b . Вярно, сякаш беше така

число c удовлетворява неравномерността c > b , където b ∈ B , тогава няма да

паритет c > a (a е допълнителен елемент от множителя A) і c ∈ B .

Otzhe, A і B utavlyuyut perepіz, і поради принципа на Dedekind, іsnuє num-

lo λ

Може да се докаже, че това число не може да принадлежи към клас A. Дейсно-

В противен случай, ако λ ∈ A , тогава имаме число a* ∈ A такова, че λ< a* . Тогда существует

числото a′ , което се намира между числата λ и a*. Nerіvnosti a′< a* следует, что

a′ ∈ A заедно с неравномерност λ< a′ следует, что λ не является наибольшим в

клас А, който замества принципа на Дедекинд. Отже, числото λ бу-

е най-малката в клас B и всички a ∈ A

a ≤ λ ≤ b , което беше необходимо да се донесе.◄

В такъв ранг силата е формулирана в аксиомата, че силата,

формулиран на принципа на Дедекинд е еквивалентен. Надали чи

силата на безличните речеви числа се нарича непостоянство на мема

за Дедекинд.

От непрекъснатостта на безличните реални числа следва Дедекинд

две важни теореми.

Теорема 1.4.3. (Принцип на Архимед) Ако нямаше номер на речта

a, е естествено число n такова, че a< n .

Приемливо е твърдението на теоремата да е неправилно, така че е вярно, че

числото b0 , което преодолява неравномерността n ≤ b0 за всички естествени числа

н. Rozіb'єmo безлични реални числа в два класа: до клас B е валиден

числата b удовлетворяват неравенствата n ≤ b за всяко естествено n.

Този клас не е празен, така че можете да имате числото b0. Всичко се вижда до клас А

номер на реща. Този клас не е празен, така че да е естествено число

въведете преди A. Класове A и B не се променят и се комбинират

множител на всички реални числа.

Ако вземем достатъчно числа a ∈ A и b ∈ B, тогава естествено има

числото n0 е такова, че a< n0 ≤ b , откуда следует, что a < b . Следовательно, классы

A и B удовлетворяват принципа на Дедекинд и основното число α, т.е

генерира ретин A B, тогава той е най-големият в клас A, чи-

повече от най-малкото в клас B. Ако приемем, че α е включено преди класа A , тогава

възможно е да се знае естествено n1 , за което се изчислява неравномерност α< n1 .

Тъй като n1 може да бъде включено в A, тогава числото няма да е най-голямото в този клас,

по-късно нашето признание е невирним и α є най-малкото

клас Б.

От другата страна вземете числото α - 1, така че да влезете в клас А.

Следователно има естествено число n2 такова, че α − 1< n2 , откуда получим

α < n2 + 1 . Так как n2 + 1 - натуральное число, то из последнего неравенства

че α ∈ A . Отримане протириччя да донесе теоремата.

Последствие. Какви не биха били числата a и b такива, че 0< a < b , существует

естествено число n, за което неравномерността na > b.

За да го докаже, е достатъчно да поставим принципа на Архимед

и ускоряват силата на раздразнителност.

Последното нещо, което можех да направя, беше проста геометрична промяна: Две нямаше да са еднакви

vіdrіzka, yakshcho на по-големия от тях, под формата на един от йогите

сложете по-малко, тогава за последния брой krokiv можете да надхвърлите

голям вятър.

Пример 1

единственото нещо, което не мога да видя, е номерът на речта t, такъв

t n = a, n ∈ , n ≥ 2 .

Tsya теорема за основата на аритметичния корен от n-та степен

z nevid'emnogo число в училищния курс по алгебра се приема без доказателства.

ства.

☺ Ако a = 0, тогава x = 0, доказателството за основата на аритметиката

числото a има повече от достатъчно корен за a > 0 .

Приемете, че a > 0 и умножете всички реални числа

за два класа. До клас B можем да видим всички положителни числа x, които са удовлетворени

създават неравности x n > a , клас A , reshta.

Според аксиомите на Архимед естествените числа k и m се намират така, че

< a < k . Тогда k 2 ≥ k >а и 2 ≤< a , т.е. оба класса непусты, причем класс

Отмъщение положителни числа.

Очевидно, ако A ∪ B = і, ако x1 ∈ A і x2 ∈ B , то x1< x2 .

В този ранг клас A и B са одобрени за репарация. Числото, което те прави щастлив

perepіz, смислено чрез t. Todi t or є най-големият брой класове

всички А или най-малкото в клас Б.

Да приемем, че t ∈ A і t n< a . Возьмем число h , удовлетворяющее нера-

0< h < 1 . Тогда

(t + h)n = t n + Cnt n−1h + Cn t n−2h2 + ... + Cnn hn< t n + Cnt n−1h + Cn t n−2h + ... + Cn h =

T n + h (Cnt n−1 + Cn t n−2 + ... + Cn + Cn t n) − hCn t n = t n + h (t + 1) − ht n =

T n + h (t + 1) − t n

Това се отнема (t + h)< a . Это означает,

Zvіdsi, така че вземете h<

ако t + h ∈ A , тогава суперпосочете, че t е най-големият елемент от клас A .

По същия начин, нека приемем, че t е най-малкият елемент от клас B,

след това вземайки числото h, което удовлетворява неравномерността 0< h < 1 и h < ,

(t − h) = t n − Cnt n−1h + Cn t n−2 h 2 − ... + (−1) Cn h n >

> t n − Cnt n−1h + Cn t n−2h + ... + Cn h = t n − h (t + 1) − t n > a .

Tse означава, че t − h ∈ B и t не може да бъде най-малкият елемент

клас B. По-късно t n = a.

Unity крещи от какво, като t1< t2 , то t1n < t2 .☻ n

Пример 2. Донесете това, което искате a< b , то всегда найдется рациональное число r

така че какво а< r < b .

☺ Въпреки че числата a и b са рационални, то числото е рационално и задоволително

litvoryuє необходимите умове. Приемливо е, ако искате едно от числата a или b

ирационално, например допустимо, че числото b е ирационално. Предполага се

ние също така натискаме, че a ≥ 0 след това b > 0 . Нека запишем дадените числа a и b y поглед

десетични дроби: a = α 0 ,α1α 2α 3.... i b = β 0 , β1β 2 β3... ;

някои от тях са непериодични. Какво е значението на появата на числото а, тогава ще вземем предвид

ty, scho, ако числото a е рационално, тогава този запис е или kintsev, или не

Менструацията не е здравословна 9.

Oscilki b > a , тогава ? 0? 0; ако β 0 = α 0, тогава β1 ≥ α1; ако β1 = α1, тогава β 2 ≥ α 2

и така нататък, и защо има такава стойност на i, с това, което ще бъде първото

suvora неравномерност βi > αi. Това число β 0 , β1β 2 ...βi ще бъде рационално

ще лежа между числата a и b.

Якшо а< 0 , то приведенное рассуждение надо применить к числам a + n и

b + n , където n е естествено число, така че n ≥ a . Причината за такъв брой

vyplivaє z аксиомите на Архимед. ☻

Назначаване 1.4.6. Нека последователността е дадена в числовата ос

([ an ; bn ]), ан< bn . Эту последовательность будем называть системой вло-

vіdrіzkіv, що се отнася до каквото и да е n, несъответствията an ≤ an+1 i

За такава система, вкл

[a1; b1] ⊃ [a2; b2] ⊃ [a3; b3] ⊃ ... ⊃ [ an ; bn] ⊃ ... ,

така че кожата на атакуващите бричове трябва да се отмъсти отпред.

Теорема 1.4.4. За всяка система за депозиране vіdrіzkіv іsnuє според

вземете една точка, як да влезете в кожата от tsikh vіdrіzkіv.

Вземете два множителя A = (an) и B = (bn). Вонята не е празна и за каквото и да е

n и m< bm . Докажем это.

Ако n ≥ m, тогава an< bn ≤ bm . Если n < m , то an ≤ am < bm .

По този начин класове A и B удовлетворяват аксиомите за непрекъснатост и

отново числото е такова, че an ≤ λ ≤ bn за каквото и да е n, т.е. tse

номерът за полагане be-yakoy vіdrіzku [an; bn] .◄

Надали (Теорема 2.1.8) и прецизиране на теоремата.

Твърдението, формулирано в теорема 1.4.4, се нарича принцип

Кантор, но безличното, което радва ума ми, се нарича не-

нека погледнем Кантор.

Донесохме, шо, якчо поръчахме безлично без прекъсване според Деди-

kіndu, то в новия е написан принципът на Архимед и е без прекъсване за Cantor.

Можете да донесете, че множеството е подредено, в един вид виконан

принципите на Архимед и Кантор, да бъдат непрекъснати за Дедекинд. Привеждане

кой факт трябва да бъде простен, например при.

Принципът на Архимед позволява на разкъсването на кожата да насочва не-

като единственото положително число, което задоволява ума:

1. равни числа се дават на равни числа;

2. Как точките в правата AC и правите AB и BC означават числата a и

b, тогава отговорът на AC се дава с числото a + b;

3. Давам номер 1 на опонента на декана.

Числото, което потвърждава дразненето на кожата и ума на ума 1-3 на-

се нарича довжина на онази вятърна мелница.

Принципът на Кантор ви позволява да донесете това за кожата положително

номерът може да бъде известен в vіdrіzok, dovzhina на някакъв вид по-скъп номер. по такъв начин,

mіzh без положителни реални числа и без никакви други числа

kiv

в точка tsієї можете да зададете взаимно недвусмислена валидност.

Tse ви позволява да посочите датата на числовата ос и да въведете валидността на

Проверявам с номера на речта и точки на права линия. За кого приемаме деко

добре, права линия и виберо до точката niy O, как да разделя qi права линия на две

за мен. Една от тези промени се нарича положителна, а другата се повтаря.

него. Todі казва бележка, че бяхме отведени направо на tsіy направо.

Назначаване 1.4.7. Числовото тегло се нарича право, в yakіy

а) точка О, както се нарича кочана vіdlіku или кочана на координатите;

б) права;

в) vіdrіzok единични dozhini.

Сега към номера на речта на кожата a поставяме точката M върху числото

Витя точно в такъв ранг, шоб

а) числото 0 дава ухо за координати;

б) OM = a

номер по модул;

в) ако a е положително, тогава точката се взема върху положителната промяна i, es-

Каквото и да е по-отрицателно, тогава - на отрицателно.

Това правило установява взаимно недвусмислена еквивалентност между

липсата на говорни числа и липсата на точка на права линия.

Числовата линия (всички) също ще се нарича речева линия

Zvіdsi също viplivaє геометричен zmіst модул на реч номер

la: модул на числото dovnyuє vіdstanі vіd кочана на координатите до точката,

какво е числото на числовата ос.

Сега можем да дадем геометрична интерпретация на авторитетите 6 и 7

модул за номера на речта. С положително Z на числото x, моля

степен 6, запълнете празнината (−C , C) и числата x, които удовлетворяват

мощност 7, лежат на обмените (−∞,C) или (C , +∞) .

Значително още една чудотворна геометрична сила на модула на речта.

номер.

Модулът на разликата между две числа е равен на разликата между съответните точки

според тези числа по оста на речта.

rih стандартни числови умножения.

Анонимност на естествените числа;

анонимен брой числа;

Анонимни рационални числа;

Анонимни реални числа;

Bezlіch, vіdpovіdno, qіlih, рационални и речи-

други неизвестни числа;

Анонимност на комплексните числа.

В допълнение, безличните реални числа се означават като (−∞, +∞) .

Умножете тези множители:

(a, b) = (x | x ∈ R, a< x < b} - интервал;

[a, b] = (x | x ∈ R, a ≤ x ≤ b)

(a, b] = (x | x ∈ R, a< x ≤ b} или [ a, b) = { x | x ∈ R, a ≤ x < b} - полуинтерва-

дали или napіvvіdrіzki;

(a, +∞) = (x | x ∈ R, a< x} или (−∞, b) = { x | x ∈ R, x < b} - открытые лучи;

[ a, +∞) = ( x | x ∈ R, a ≤ x) или (−∞, b] = ( x | x ∈ R, x ≤ b) са затворени обмени.

Нарещи, понякога ще ни трябва абитуриентски балове, за които няма да се уважаваме,

легнете yogo kіntsі tsogo promizhku chi nі. Такава празнина ще бъде

обозначете a, b.

§ 5 Размяна на числа

Назначаване 1.5.1. Числовият множител X се нарича подмножество

умножава X .

Назначаване 1.5.2. Числовият множител X се нарича подмножество

в долната част, така че числото m да е известно, така че x ≥ m за всеки елемент x s

умножава X .

Назначаване 1.5.3. Численият множител X се нарича obmezhenoe,

yakscho там е заобиколен от звяра, който долу.

В символичен запис обозначението изглежда така

множителят X е описан от звяра, така че ∃M ∀x ∈ X: x ≤ M ,

по-долу, така че ∃m ∀x ∈ X: x ≥ m и

описано така, че ∃m, M ∀x ∈ X: m ≤ x ≤ M .

Теорема 1.5.1. Численият множител X е заобиколен от някои и само някои,

ако се използва числото C, тогава за всички елементи x на

свойствата се свеждат до неравностите x ≤ C .

Нека безличният X бъде заобиколен. Нека поставим C = max (m, M) - намерете

повече іz числа m і M . Todі, vikoristuuuuu мощността на речевия модул

числа, като се вземе предвид неравномерността x ≤ M ≤ M ≤ C і x ≥ m ≥ − m ≥ −C, звездите следват

д, че x ≤ C .

Обратно, така че неравномерността x ≤ C да е фиксирана, тогава −C ≤ x ≤ C . Tse i є тре-

buє, така че поставете M = C i m = −C .◄

Числото M, което заобикаля множителя X на звяра, се нарича горно

множество кордони. Yakshcho M - горната граница на множителя X, тогава да бъде тя

числото M ′, което е по-голямо от M, също ще бъде горната граница на множителя.

В този ранг можем да говорим за безличното горно междумножество

X. Значително безлична горна част през M. Тогава ∀x ∈ X и ∀M ∈ M

неравномерността x ≤ M ще бъде преброена, след което, по аксиома, без прекъсване

вземете числото M 0 така, че x ≤ M 0 ≤ M . Това число се нарича точно

горната граница на числения множител X или горната граница на

множител или supremum на множителя X i се означава с M 0 = sup X .

В този ранг доведохме, че кожата не е празен числов множител,

obmezheniya звяр, zavzhd maє точна горна граница.

Очевидно равенството на M 0 = sup X е равно на два ума:

1) ∀x ∈ X се взема предвид неравномерността x ≤ M 0, т.е. M 0 - горната граница е богата

2) ∀ε > 0 ∃xε ∈ X неравномерността xε > M 0 − ε също се преодолява, т.е. qiu gra-

Nіtsyu не може да бъде подобрен (променен).

Приложение 1. Да разгледаме множителя X = ⎨1 − ⎬ . Може да се покаже, че sup X = 1.

☺ Вярно, първо, неравномерност 1 −< 1 выполняется для любого

n ∈; по различен начин, ако вземем доста положително число ε, тогава чрез

към принципа на Архимед е възможно да се знае естественото число nε, така че nε>. Че-

където ще бъде отбелязана неравномерността 1 − > 1 − ε, т.е. познават добре елемента xnε

свойство X, по-голямо по-ниско 1 − ε, което означава, че 1 е най-малката горна граница

По подобен начин е възможно да се доведе, че множествеността е оградена отдолу

има точна долна граница, както се нарича още долна граница

нов или инфимум на множителя X i се означава с inf X .

Собствен капитал m0 = inf X е равен на умовете:

1) ∀x ∈ X се взема предвид неравномерността x ≥ m0;

2) ∀ε > 0 ∃xε ∈ X, така че неравномерността на xε< m0 + ε .

Ако множителят X има най-големия елемент x0, тогава той се нарича його

максималният елемент на множителя X i задайте x0 = max X. Тогава

sup X = x0. По същия начин, ако множество има най-малкия елемент, тогава

ще го наречем минимално, обозначете min X i vіn ще бъде в-

Минимален множител X.

Например, безличните естествени числа могат да имат най-малкия елемент -

самота, като наведнъж є і неограничен множител. супер-

мама tsya безличен не може, за това няма ресни звяр.

Определението на точните горни и долни граници може да бъде разширено

умножете, не заобиколен от звяр или дъно, vvazhuchi, sup X = +∞ или, съответно,

Съответно, inf X = −∞ .

В края формулираме kilka от мощностите на горното и долното броене

Мощност 1. Нека X - деяк число безлично. Значително през

− X е безличен (− x | x ∈ X). Тогава sup(−X) = − inf X и inf(−X) = − sup X .

Мощност 2. Нека X - деяк числов множител λ - реч

номер. Показателно е, че X е безличен (λ x | x ∈ X). Тогава, ако λ ≥ 0, тогава

sup (λ X) = λ sup X , inf (λ X) = λ inf X i, така че λ< 0, то

sup (X) = inf X, inf (X) = sup X.

Мощност 3. Нека X1 и X2 - множители на числа. Значително през

X1 + X 2 безличен (x1 + x2 | x1 ∈ X 1, x2 ∈ X 2 ) і до X1 − X 2 безличен

(x1 − x2 | x1 ∈ X1, x2 ∈ X 2) . Тогава sup (X 1 + X 2) = sup X 1 + sup X 2

inf (X1 + X 2) = inf X1 + inf X 2, sup (X 1 - X 2) = sup X 1 - inf X 2 i

inf (X1 − X 2) = inf X1 − sup X 2 .

Мощност 4. Нека X1 и X 2 - числени множители, всички елементи на които

никой от тях. Тоди

sup (X1 X 2) = sup X1 ⋅ sup X 2, inf (X1 X 2) = inf X 1 ⋅ inf X 2 .

Да донесем, например, първата ревност във власт 3.

Нека x1 ∈ X1, x2 ∈ X 2 i x = x1 + x2. Тогава x1 ≤ sup X1, x2 ≤ sup X 2 и

x ≤ sup X1 + sup X 2 , sup (X1 + X 2) ≤ sup X1 + sup X 2 .

За да донесете обратната неравномерност, вземете число

г< sup X 1 + sup X 2 . Тогда можно найти элементы x1 ∈ X1 и x2 ∈ X 2 такие,

какво х1< sup X1 и x2 < sup X 2 , и выполняется неравенство

г< x1 + x2 < sup X1 + sup X 2 . Это означает, что существует элемент

x = +x1 x2 ∈ X1+ X2, което е по-голямо от y i

sup X1 + sup X 2 = sup (X1 + X 2) .◄

Доказването на други правомощия се извършва по подобен начин и нада-

нюются читачеви.

§ 6

Назначаване 1.6.1. Нека разгледаме безличните първи n естествени числа

n = (1,2,..., n) е десетичното кратно на A . Как можете да инсталирате взаимно

ако съгласуваността между A и n е недвусмислена, тогава безличното A ще бъде наречено

Kіncevim.

Назначаване 1.6.2. Да дадем цаца А . Как можеш

установяват взаимно недвусмислено тъждество между безлични А и

безсмислени естествени числа, тогава безсмисленото A ще се нарича rahunok-

Назначаване 1.6.3. Ако е безлично А е огромно, но е рахунково, тогава ще отидем-

истина, няма вече ниж Рахунков.

В този ранг безличен ще бъде Рахунково, като його елементи, които можете да се издигнете

поставете при вида на последователността.

Пример 1. Анонимни числа близнаци - lichilne, фрагменти от ферментация n ↔ 2n

е взаимно недвусмислено vіdpovіdnіstyu mіzh безличен естествен

числа и безлични двойки числа.

Очевидно е, че такава видимост може да се установи от повече от един ранг.

zom. Например, възможно е да се установи vіdpovіdnіst mіzh безличен и богат

n_styu (броя на числата), задаване на валидността на такъв метод

Въведена е система от аксиоми на теорията на числата, не независима, тъй като е приписана вдясно 3.1.4.

Теорема 1.Аксиоматичната теория на числата не е излишна.

Привеждане. Довеждаме несуперенството на аксиоматичната теория на целите числа, с допускането, че аксиоматичната теория на естествените числа не е свръхравна. За когото и да е моделът, всички аксиоми на нашата теория ще бъдат деконструирани.

Задната страна на ръката е пръстен. Вижте безличното

н´ н = {(а, б)ï а, бÎ н}.

а, б) естествени числа. Под такава двойка разбираме разликата на естествените числа a-b. Ale, доковете не са изведени в основата на системата от числа, в такава разлика няма право на такива стойности. Точно в този час подобен роуминг ни дава възможност да настроим силата на двойките камъни, от които се нуждаем.

Знаем, че различни естествени числа могат да бъдат равни на едно и също цяло число. Vіdpovіdno vvіdno іn nоlіchі н´ нпроизнасяне на еквивалентност:

(а, б) = (в, г) Û a + d = b + c.

Не е важно да се отбележи, че целите са рефлексивни, симетрични и преходни. Otzhe, vono є stavlennyam еквивалентност и може да има право да се нарича еквивалентност. Фактор-множител на безличното н´ н З. Його елементи и се наричат цели числа. Вонята е класовете на еквивалентност на безличните двойки. Клас, счо да отмъсти на двойка
(а, б), има смисъл от гледна точка на [ а, б].

З а, б] як за търговията на дребно a-b

[а, б] + [в, г] = [a+c, b+d];

[а, б] × [ в, г] = [ac+bd, ad+bc].

Следващото нещо, което трябва да запомните, е, че привидно, тук правилно си припомняме символиката на операциите. Един и същ символ обозначава сгъването на естествени числа и двойки. Но ако засега е ясно, че в такава множественост е дадена операцията, тогава няма да въвеждаме друго обозначение за тези операции.

Необходимо е да се преразгледа правилността на самото обозначение на тези операции, че резултатите трябва да бъдат депозирани при избора на елементи аі б, Какво да обозначим чифт [ а, б]. Добре, нека не

[а, б] = [а 1 ,б 1 ], [в, г] = [з 1 , д 1 ].

Tse какво означава а+б 1 = b+a 1 , h + d 1 =д + зедин . Изкрещяйте Чи на еквивалентността, ние ще го приемем

а+б 1 + h + d 1 = b+a 1 +д + з 1 Þ[ a + b, h + d] = [а 1 +з 1 ,б 1 + д 1 ]

Þ [ а, б] + [в, г] = [а 1 ,б 1 ] + [° С 1 , д 1 ].

По същия начин се определя правилността на присвояването на множителя. Ейл тук до обръщане на гърба, шо [ а, б] × [ в, г] = [а 1 ,б 1]×[ в, г].

Сега трябва да преразгледаме какво е алгебрата, каква е била, є kіltse, това са аксиомите (Z1) - (Z6).

Нека преразгледаме, например, комутативността на добавянето към аксиомата (Z2). Маймо

[в, г] + [а, б] = = [a+c, b+d] = [а, б] + [в, г].

Комутативността на събирането за цели числа беше показана от комутативността на събирането за естествени числа, тъй като се взема предвид вече у дома.

По същия начин аксиомите (Z1), (Z5), (Z6) се ревизират.

Ролята на нула играе парата. Значително й през 0 . Вярно,

[а, б] + 0 = [а, б] + = [а+ 1,b+ 1] = [а, б].

Нарещи, а, б] = [б, а]. Вярно,

[а, б] + [б, а] = [a+b, b+a] = = 0 .

Сега ще преразгледаме аксиомата на разширяването. Следа от паметта, че образованият kіltsі няма естествени числа като парчета от елементите на двойките естествени числа от клас kіltsya. За него е необходимо да познава подалгебрата, изоморфна на броя на естествените числа. Тук ще подновя съобщението за двойката [ а, б] як за търговията на дребно a-b. естествено число нможете да плащате данъци при вида на два естествени, например, в този ред: н = (н+ 1) – 1 е: н ® Ззад правилото

е(н) = [н + 1, 1].

Стойността на изявлението е ин'ективна:

е(н) = е(м) Þ [ н + 1, 1]= [м+ 1, 1] Þ ( н + 1) + 1= 1 + (м+ 1) n=m.

Otzhe, може да бъде взаимно недвусмислено vіdpovidnіst mizh ни с дузина З, което е смислено чрез Н*. Да видим, че няма да запази операцията:

е(н) + е(м) = [н + 1, 1]+ [м + 1, 1] = [н + m + 2, 2]= [н + м+ 1, 1] = е(n+m);

е(н) × е(м) = [н+ 1, 1]× [ м + 1, 1] = [nm+n + m + 2, n+m+ 2]= [nm+ 1, 1] = е(nm).

Самият Тим беше инсталиран, какво Н*удовлетворява в Зкак да сгънете тази множествена подалгебра, изоморфна н

Значително двойката [ н+ 1, 1] h Н* н, през н а, б] може би

[а, б] = [а + 1, 1] + = [а + 1, 1] – [б + 1, 1] = а – б .

Самият Тим беше подготвен, нареши, обяви за двойка [ а, б] като за разликата на естествените числа. Веднага се инсталира, че скин елементът е от научения множител Зизглежда като разлика между две естествени. Tse dopomozhe да преразгледа аксиомата за минималност.

Хайде М -множествено З, отмъсти Н*и веднага от be-like елементи аі бїхня търговия на дребно а - б. Уведомете ни това в този момент М =З. Деисно, било то стихия Зсе появява при вида на две естествени, сякаш лежат зад ума Мнаведнъж с вашите разходи.

Теорема 2.Аксиоматичната теория на числата е категорична.

Привеждане. Доказано е, че има два модела, на които се основават всички аксиоми на теорията, изоморфни.

Нека а З 1 , +, ×, н 1 в и а З 2 , +, ×, н 2 ñ – два модела на нашата теория. Изглежда, че техните операции могат да бъдат маркирани с различни символи. Можем да видим в бъдещето, за да не тормозим разделите: достатъчно е ясно как ще бъде операцията. Елементите, които трябва да се вземат предвид от моделите, са безопасни за използване с различни индекси 1 или 2.

Избираме да присвоим изоморфна версия на първия модел на друг. така че як н 1 та н 2 – pіvkіltsya на естествени числа, іsnuіє іzomorfennia j на първия pіvkіltsya от друга. Значително е: З 1® З 2. Целеви номер на кожата х 1 О З 1 изглежда като две естествени:
х 1 = а 1 -бедин . Уважаеми

е (х 1) = j( а 1) – j( б 1).

Уведомете ни това е- Изоморфизъм. Идентифицирано правилно: yakscho х 1 = в 1, де г 1 = ° С 1 – д 1, тогава

а 1 -б 1 = ° С 1 – д 1 а 1 +d 1 = б 1 + ° С 1 Þ j( а 1 +d 1) = j( б 1 + ° С 1)

j( а 1) + j( д 1) = j( б 1) + j( ° С 1) Þ j( а 1) - j ( б 1) = j ( ° С 1) -j( д 1) е(х 1) =е (г 1).

Вижте какво следва е-недвусмислено З 1 инч З 2. Ел за когото х 2 ч З 2 можете да познавате природните елементи а 2 това б 2 и какво х 2 = а 2 -б 2. Oskіlki j - іzomorphіzm, тогава qі елементите могат да бъдат предварително зададени. а 1 та бедин . да означава, х 2 = j( а 1) – j( б 1) =
= е (а 1 -б 1), i в елемента на кожата h З 2 - прототип. Zvіdsi vіdpovіdnіst евзаимно недвусмислени. Нека си го кажем, тя няма да има нужда от операция.

Yakscho х 1 = а 1 -б 1 , г 1 = c 1 -д 1, тогава

х 1 + г 1 = (а 1 + ° С 1) – (б 1 +д 1),

е(х 1 + г 1) = j( а 1 + ° С 1) – j( б 1 +д 1) = j ( а 1) + j ( ° С 1) – j( б 1) – j( д 1) =

J( а 1) – j( б 1) + j ( ° С 1)– j( д 1) =е(х 1) + е(г 1).

По същия начин се проверява, че е взето множеството. Самият Тим беше инсталиран, какво е- Изоморфизъм и теоремата е завършена.

право

1. За да донесете, било то пръстен, който включва система от естествени числа, включете пръстен от цели числа.

2. Да се докаже, че всеки минимално подреден комутативен пръстен с единица е изоморфен на пръстена от цели числа.

3. Да извадим на бял свят, че във всеки ред пръстен с единство и без дилник в нула за отмъщение и само едно пидкилце, изоморфно на пръстена от цели числа.

4. Да се докаже, че пръстенът от матрици от различен порядък над полето на реалните числа е да се отмъсти на безличния пръстен, изоморфен на пръстена от цели числа.

Поле на рационалните числа

Назначаването на рационалната бройна система се извършва по подобен начин, докато не бъде разбита за системата от цели числа.

Назначаване.Системата от рационални числа се нарича минимално поле, което е продължение на пръстена от цели числа.

Vіdpovіdno to tsgogo vyznachennya otrimuєmo такава аксиоматична pobudova система от рационални числа.

Основни термини:

В- Много рационални числа;

0, 1 са константи;

+, × - Включени двоични операции Q;

З- множествено В, безлични числа;

Å, Ä са бинарни операции З.

Аксиоми:

аз Аксиоми на областта.

(Q1) а+ (b+c) = (а+б) + ° С.

(Q2) a + b = b + a.

(Q3)(" а) а + 0 = а.

(Q4)(" а)($(–а)) а + (–а) = 0.

(Q5) а× ( б× ° С) = (а× б) × ° С.

(Q6) а× b = b× а.

(Q7) а× 1 = а.

(Q8)(" а¹ 0)($ а –1) а × а –1 = 1.

(Q9) ( а+б) × c = a × c + b× ° С.

ІІ. Аксиоми за разширяване.

(В10) а З, Å, Ä, 0, 1ñ - пръстен от естествени числа.

(Q11) З Í В.

(Q12)(" а, бÎ З) a+b=aÅ б.

(Q13)(" а, бÎ З) а× b = aÄ б.

ІІІ. Аксиома за минимализъм.

(Q14) МÍ В, ЗÍ М, ("а, бÎ М)(б ¹ 0 ® а× б-1 О М)Þ М = В.

номер а× б-1 се нарича частно число аі б, означава а/били .

Теорема 1.Дали рационалното число е представено като частни две цели числа.

Привеждане. Хайде М- безлични рационални числа, представящи като частни две числа. Yakscho н- цяло, значи n = n/1 лягай М, отже, ЗÍ М. Yakscho а, бÎ М, тогава a = k/l, b = m/н,де k, l, m, nÎ З. Отже, а/б=
= (кн) / (лм)Î М. Аксиома (Q14) М= В, тази теорема е завършена.

Теорема 2.Полето на рационалните числа може да бъде линейно и суворо подредено, освен това, по един начин. Редът на полирационалните числа е архимедов и продължава реда на kіltsi tsіlih числа.

Привеждане. Значително през В+ безлични числа, представляващи дроб, де кл> 0. Няма значение дали си спомняте, че трябва да лъжете в ума на дроб, че трябва да направите число.

Да видим какво В + – положителна част от полето В. Така че за цяло число клвъзможни са три възможности: кл = 0, клÎ н, –кл Î нза a = вземаме една от трите възможности: a = 0, aн В+ , –aО В + . Дали, като a = , b = да лъжа В+ , тогава кл > 0, мн> 0. Тогава a + b = , и ( kn+ml)ln = kln 2 + mnl 2 > 0. По-късно a + bн В + . По същия начин се отразява, че abÎ В + . по такъв начин, В + е положителната част на полето В.

Хайде В++ - сякаш част от полето е положителна. Маймо

l =.l 2 н В ++ .

Zvіdsi нÍ В++. Съгласно теорема 2.3.4 числата, които се връщат към естествени числа, също лъжат В++. Тоди В + Í В++. По силата на теорема 2.3.6 В + =В++. Следователно се създават поръчки, присвоени от положителни части В+ і В ++ .

така че як З + = нÍ В+ , след това реда на y Вследвайте реда З.

Сега нека a = > 0, b = > 0. Oskіlki ред на kіltsі qіlih числа arhіmedіv, след това положителен кні млсе срещат естествено зтака че какво з× кн>мл. Zvіdsi за = з>= б. Също така, редът на полирационалните числа на Архимед.

право

1. За да докажем, че полето на рационалните числа е голямо, така че за всякакви рационални числа а < бпознайте рационално rтака че какво а < r < б.

2. Нека знам какво е равно х 2 = 2 не мога да реша В.

3. Да донесеш, счо е безлично ВРахунково.

Теорема 3.Аксиоматичната теория на рационалните числа не е свръхизбройна.

Привеждане. Несуперспособността на аксиоматичната теория на рационалните числа може да се обясни по същия начин, както и за целите числа. И тогава ще бъде създаден модел, всички аксиоми на теорията ще бъдат деконструирани.

Като основа на bemo bezlіch

З´ Z* = {(а, б)ï а, бÎ З, б ¹ 0}.

Елементите, чиито множител е залог ( а, б) цели числа. Под такава двойка разбираме частно цели числа а/б. Vіdpovіdno до tsgogo zadєmo властни двойки.

Нека го сложим без лице З´ Z*произнасяне на еквивалентност:

(а, б) = (в, г) Û реклама = пр.н.е.

Отбелязваме, че няма еквивалентност и може да имаме право да бъдем наричани равни. Фактор-множител на безличното З´ Z*от която гледна точка на еквивалентността е значима чрез В. Тези елементи се наричат рационални числа. Клас, отмъщение на двойка ( а, б), има смисъл от гледна точка на [ а, б].

Въведено в подкана множител Воперации на сгъване и умножаване. Помогнете ни да изясним твърдението за елемента [ а, б] yak относно поверителността а/б. Vіdpovіdno to tsogo vvazhєmo за срещи:

[а, б] + [в, г] = [ad+bc, bd];

[а, б] × [ в, г] = [ac, bd].

Проверяваме правилността на обозначението на тези операции, както и резултатите от депозита според избора на елементи аі б, Какво да обозначим чифт [ а, б]. Да се бориш така, както е, що се отнася до доказателството на теорема 3.2.1.

Ролята на нула играе парата. Значително й през 0 . Вярно,

[а, б] + 0 = [а, б] + = [a× 1+0× b, b× 1] = [а, б].

Разширено до [ а, б] е чифт –[ а, б] = [–а, б]. Вярно,

[а, б] + [–а, б]= [аб-аб, бб] = = 0 .

Единство = двойка 1 . Zvorotny преди залога [ а, б] - двойка [ б, а].

Сега ще преразгледаме аксиомата на разширяването. Нека инсталираме консистенцията
е: З ® Взад правилото

е(н) = [н, 1].

Проверете дали е взаимно недвусмислено Зи с дузина В, което е смислено чрез Z*. Проверяваме отново разстоянието, което ще запази операцията, след което ще установим изоморфизма между Зче pіdkiltsem Z* v В. Отже, аксиомата за експанзия е обърната.

Значително двойката [ н, 1] ч Z*, което съответства на естествено число н, през н . Същото за честния залог [ а, б] може би

[а, б] = [а, 1] × = [ а, 1] / [б, 1] = а /б .

Тим самият Було подготви изявлението за двойката [ а, б] като за частни номера. Веднага се инсталира, че скин елементът е от научения множител Визглежда като частно двойно. Tse dopomozhe да преразгледа аксиомата за минималност. Повторната проверка се извършва както в теорема 3.2.1.

В този ранг, за подканата система Ввсички аксиоми на теорията на числата са победни, така че ние създадохме модел на теорията на числата. Теоремата е завършена.

Теорема 4.Аксиоматичната теория на рационалните числа е категорична.

Доказателството е подобно на доказателството на теорема 3.2.2.

Теорема 5.Архимедово подредено поле е разширение на полето на рационалните числа.

Доказателството е правилно.

Теорема 6.Хайде Ф- архимедово подредено поле, а > б,де а, бÎ Ф. Основно рационално число О Фтака че какво а > > б.

Привеждане. Хайде а > б³ 0. Тоди a-b> 0, това ( a-b) -1 > 0. ттака че какво м×1 > ( a-b) -1 , звезди м –1 < a-b £ а. Дали естествено ктака че какво к× м-1³ а. Хайде к- Най-малкото число, за което vykonuetsya tsya nerіvnіst. така че як к> 1, можете да поставите k = n + 1, н Î н. С кого
(н+ 1)× м-1³ а, н× м –1 < а. Yakscho н× м-1 £ б, тогава а = б + (a-b) > b+m-1³ н× м –1 + м –1 =
= (н+ 1)× м-един. Почистване. да означава, а >н× м –1 > б.

право

4. За да донесе, било то поле, което включва редица цели числа, включва поле от рационални числа.

5. Да се докаже, че едно минимално подредено поле е изоморфно на полето на рационалните числа.

Референтни номера

Номерата на речта, които се обозначават чрез (т.нар. R ruban), се въвежда операцията на добавяне (“+”), така че скин двойката от елементи ( х,г) с безлични номера на речта, поставени в елемента vіdpovіdnіst х + г z tsієї w множител, титли сумо хі г .

Аксиоми на множеството

Въвежда се операцията умножение („·“), така че двойката на кожата елементи ( х,г) за безлични числа на реч, поставете елемент (в противен случай, съкратено, хг) s tsієї w множител, заглавия на творението хі г .

Zvyazok dodavannya, че множествено число

Аксиоми по поръчка

На задачата на поръчката "" (по-малко от един), след това за залог x, y vykonuєtsya, които искат да бъдат един от умовете або.

Zv'yazok в ред, че сгъване

Zvyazok vіdnoshennia ред, че множествено число

Аксиома за приемственост

Коментар

Тази аксиома означава това хі Й- два празни множителя на реални числа, така че да има някакъв елемент от хне преобръщайте нито един елемент Й, след което можете да вмъкнете номер на реч между тях. За рационалните числа тази аксиома не работи; класически дупе: разпознаваемо положителни рационални числа и видимо до безличност хонези числа, чийто квадрат е по-малък от 2, а другият - до Й. Тоди миж хі Йне може да вмъкне рационално число (не е рационално число).

Това е ключовата аксиома, която осигурява сигурността и по този начин позволява математически анализ. За илюстрация на важността му, нека посоча две основни изводи от него.

Наследство от аксиоми

Без междинна аксиома дяконите са важни за силата на днешните числа, напр.

единство на нула,
единството на пролиферативните и вирулентните елементи.

литература

Зорич В. А.Математически анализ. Том I. M.: Фазис, 1997, част 2.

Раздел. също

Посилване

Фондация Уикимедия. 2010 г.

Удивете се на същата "Аксиоматика на реалните числа" в други речници:

Реч, или иначе числото е математическа абстракция, която печели с необходимостта от vimiryuvannya геометрични и физически величини на необходимия свят, както и извършване на такива операции като извличане на корен, изчисляване на логаритми, решение.

Речта, чи действителните числа е математическа абстракция, какво да служи, зокрема, проявлението на това сходство на стойността на физическите величини. Такова число може интуитивно да бъде представено като описващо положението на точка върху права линия.

Уикиречникът има статия "аксиома" Аксиома (на гръцки ... Уикипедия

Аксиома, тъй като се използва в различни аксиоматични системи. Аксиоматика на реалните числа Хилбертовата аксиоматика на евклидовата геометрия Аксиоматика на теорията за имовирности на Колмогоров ... Wikipedia

Под аксиоматичния импулс, сякаш е математическа теория, се добавят песни регламенти:

· Принципите на разбиране на теорията са избрани като основни и се приемат без разлика;

· Ако разбирате теорията, ако не я пропуснете в списъка на основните, ще бъдете назначен;

· Формулират се аксиоми – твърдения, които се приемат в тази теория без доказателство; някои имат силата да разберат основните;

· Теорията, която не може да бъде включена в списъка с аксиоми, може да бъде извадена на бял свят; такива твърдения се наричат теореми и ги доказват въз основа на аксиоми и тереми.

С аксиоматична теория за подтикване всички твърдения се основават на аксиоматично доказателство.

Към това, преди системата от аксиоми, специални vimogi:

· Несуперабилна (системата от аксиоми се нарича несуперабилна, тъй като не е възможно логически да се въведат две пропозиции, които взаимно включват едно);

Независимост (системата от аксиоми се нарича независима, тъй като е подобна на аксиомите на системата, която няма наследство от други аксиоми).

Безлична задача от нова настройка се нарича модел на дадена система от аксиоми, тъй като в нова се броят всички аксиоми на дадена система.

Има много начини да се индуцира система от аксиоми за множеството на естествените числа. За основно разбиране може да се вземе, например, сборът от числа и реда. Необходимо е всеки човек да създаде система от аксиоми, която да описва силата на основните за разбиране.

Дамо система от аксиоми, след като е възприела основното разбиране за операцията на добавяне.

Празно без лице ннаричаме безличност на естествените числа, както в новата операция (а; б) → a + b, извикан към добавяне и има власт:

1. добавянето е комутативно, tobto. a + b = b + a.

2. добавяне асоциативно, tobto. (a + b) + c = a + (b + c).

4. имат множественост А, какво е кратно на множител н, де Ає числото е такова, че всичко Ха, равен а+б, де bN.

Аксиоми 1 - 4 са достатъчни, за да вдъхновят цялата аритметика на естествените числа. Ale, с такова чувство вече не е възможно да се разчита на силата на множествата кинцеви, тъй като те не се вписват в тези аксиоми.

Нека го приемем като основно разбиране на термина "без посредник следвайте за ...", задача на празен безличен н. Тогава естествената поредица от числа ще бъде безлично N, в което се приписва терминът „без междинно проследяване“ и всички елементи на N ще се наричат естествени числа, освен това може да има къде да дойдат Аксиомите на Пеано:

АКСИОМА 1.

При безликитеніsnuє елемент, без посредник не напредва, нито за който и да е елемент на tsієї множител. Нека го наречем единство и го обозначим като символ 1.

АКСИОМ 2.

За елемента на кожата a zніsnuє единичен елемент a без посредническа офанзива за a.

АКСИОМ 3.

За елемента на кожата a zніsnuє не повече от един елемент, за който следва без посредник.

AXOIMA 4.

Всеки подмножител M множителнZіvpadє zн, yakscho maє power: 1) 1 да се проведе в M; 2) заради това, което се отмъщава в М, крещи, счо и е почитано в М.

Безлич Н,за елементите на който се вмъква терминът "без междинно следване за ...", който удовлетворява аксиомите 1 - 4, се нарича bezlіchchu естествени числа и йога елементи - естествени числа.

Якшо як безлич низберете deyake по-конкретно безличен, който има определен ред „без посредник следва за ...“, който удовлетворява аксиоми 1 - 4, ние премахваме разликата интерпретации (модели) дадено аксиомни системи.

Стандартният модел на системата от аксиоми на Пеано и виника на процеса историческо развитие Suspіlstva серия от числа: 1, 2, 3, 4, 5, ...

Моделът на аксиомите на Пеано може да бъде персонално кратно.

Например I, II, III, IIII, ...

оооооооооо...

едно две три чотири, ...

Можем да разгледаме последователността от множители, в такъв множител (oo) има елемент на ухото, а множителят на кожата на обидата излиза от предната част, приписан на още един ръб (фиг. 15).

Тоди нє безличен, който се образува от множеството на описаната форма, і є моделът на системата от аксиоми на Пеано.

Вярно, много ніsnuє елемент (oo), без междинно стъпване след някакъв елемент от дадения множител, tobto. Аксиома 1 е победна.За скин множител Аанализираният брак наистина е едно множество, как да се измъкнем Адобавяне на една група, tobto. Аксиома 2 е победна.За скин множител Аняма повече от един множител, за който се установява безличното Адобавяне на една група, tobto. Аксиома 3 е победна. Мнвиждам това безлично Аотмъсти си М,следващо, какъв е множителя, в yakіy има още един gurtok, по-нисък в множителя А, също отмъщение в М, тогава М =н, имам предвид победна аксиома 4.

За дадено естествено число е невъзможно да се пропуснат същите оси.

Нека инсталираме, yakі z множители, сочещи към фиг. 16 - Моделът на аксиомите на Пеано.

1 а б г а

ж) Фиг.16

Решение.На малката 16 а) е изобразена безлично, в която са преброени аксиоми 2 и 3. Очевидно за елемента кожа има един единствен, който го следва без средата, и един единствен елемент, за който един следва. Но в това множество, аксиома 1 не е победоносна (аксиома 4 няма смисъл, защото в множеството няма елемент, който не може да бъде атакуван отвъд всеки друг). Ето защо безличността не е модел на аксиомите на Пеано.

На малкото 16 б) е показано безлично, по начин, че победните аксиоми 1, 3 и 4, ейл зад елемента адва елемента, а не един, както е необходимо в аксиома 2. Следователно множителят не е модел на аксиомите на Пеано.

На фиг. 16 в) безличен е изобразен, по начин победоносни аксиоми 1, 2, 4, еле елемент збез прекъсване следвайте двата елемента. Ето защо безличността не е модел на аксиомите на Пеано.

На фиг. 16 г) е изобразен множител, който удовлетворява аксиоми 2, 3, i, като в качеството на елемента кочан вземаме числото 5, тогава е даден множител, който удовлетворява аксиоми 1 и 4. Tobto, в този множител за кожата елемент, има един, без междинна атака, и един елемент, за който следва виното. Іsnuє i елемент, без посредник не атакува за нито един елемент, без значение колко. , tobto. Аксиома 1 ще бъде победител. Аксиома 4 също ще бъде победител.

Съгласно аксиомите на Пеано, може да се доведат редица твърди тела. Например, може да се покаже, че за всички естествени числа неравномерността х х

Привеждане.Значително през Абезлични естествени числа, за които а а.номер 1 лъжа А, парчетата няма да следват номера н, по-късно, следва само по себе си: 1 1. Хайде аа,също а а.Значително апрез б. По силата на аксиома 3 аб, tobto. ббі bA.