Що розуміється під побудовою математичної моделі. Приклад математичної моделі. Визначення, класифікація та особливості. Основні положення теорії систем

Основні етапи

Для обговорення та обґрунтування основних підходів до розробки проблем математичного моделюваннятехнічних пристроїв та процесів у них є доцільним попередньо розглянути умовну схему (рис. 1.1), що визначає послідовність проведення окремих етапів загальної процедури Вихідною позицією цієї схеми є технічний об'єкт(ТО), під яким розумітимемо конкретне технічний пристрій, його агрегат або вузол, систему пристроїв, процес, явище або окрему ситуацію в будь-якій системі чи пристрої.

Мал. 1.1

На першому етапі здійснюють неформальний перехід від аналізованого (розроблюваного або існуючого) ТО до його розрахунковій схемі(PC). При цьому в залежності від спрямованості обчислювального експерименту і його кінцевої мети акцентують ті властивості, умови роботи та особливості ТО, які разом з параметрами, що характеризують їх, повинні знайти відображення в PC, і, навпаки, аргументують припущення і спрощення, що дозволяють не враховувати в PC ті якості ТО, вплив яких припускають у цьому випадку несуттєвим. Іноді замість PC використовують термін змістовна модель*ТО, а в деяких випадках - концептуальної моделі.У інженерних дисциплінах, що склалися (наприклад, у опорі матеріалів, електротехніці та електроніці) крім описової (вербальної) інформації для характеристики PC розроблені спеціальні прийоми і символи наочного графічного зображення. По ряду нових напрямів розвитку техніки подібна символіка перебуває у стадії формування.

При розробці нових ТО успішне проведення першого етапу значною мірою залежить від професійного рівня інженера, його творчого потенціалу та інтуїції. Повнота і правильність обліку в PC властивостей ТО, суттєвих з погляду поставленої мети дослідження, є основною передумовою отримання надалі достовірних результатів математичного моделювання. І навпаки, сильна ідеалізація ТО для отримання простий PC може знецінити всі наступні етапи дослідження.

Треба сказати, що з деяких типових PC існують банки ММ, що полегшує проведення другого етапу. Більш того, та сама ММ може відповідати PC з різних предметних областей. Однак при розробці нових ТО часто не вдається обмежитися застосуванням типових PC та відповідних їм вже побудованих ММ. Створення нових ММ або модифікація існуючих мають спиратися на досить глибоку математичну підготовку та володіння математикою як універсальною мовою науки.

На третьому етапі проводять якісний та оціночний кількісний аналіз побудованої ММ. При цьому можуть бути виявлені протиріччя, ліквідація яких вимагатиме уточнення або перегляду PC (штрихова лінія на рис. 1.1). Кількісні оцінки можуть дати підстави спростити модель, виключивши з розгляду деякі параметри, співвідношення або їх окремі складові, незважаючи на те, що вплив факторів, що описуються ними, враховано в PC. Найчастіше, приймаючи додаткові стосовно PC припущення, корисно побудувати такий спрощений варіант ММ, який дозволяв би отримати чи залучити відоме точне рішення. Це рішення можна використовувати для порівняння при тестуванні результатів на наступних етапах. У деяких випадках вдається побудувати кілька ММ для того самого ТО, що відрізняються різним рівнем спрощення. У цьому випадку говорять про ієрархії ММ(грецьке слово походить від - священний і - влада і в даному випадку означає впорядкування ММ за ознакою їх складності та повноти).

Побудова ієрархії ММ пов'язані з різною деталізацією властивостей ТО. Порівняння результатів дослідження різних ММ може суттєво розширити та збагатити знання про це ТО. Крім того, таке порівняння дозволяє оцінити достовірність результатів наступного обчислювального експерименту: якщо більш проста ММ правильно відображає деякі властивості ТО, результати дослідження цих властивостей повинні бути близькі до результатів, отриманих при використанні більш повної і складної ММ.

Підсумок аналізу на етапі - це обґрунтований вибір робочої ММ ТО, яка підлягає в подальшому детальному кількісному аналізу. Успіх у проведенні третього етапу залежить, як правило, від глибини розуміння зв'язку окремих складових ММ з властивостями ТО, які відбилися у його PC, що передбачає органічне поєднання володіння математикою та інженерними знаннями в конкретній предметній галузі.

Четвертий етап полягає в обґрунтованому виборі методу кількісного аналізу ММ, у розробці ефективного алгоритму обчислювального експерименту, а п'ятий етап – у створенні працездатної програми, що реалізує цей алгоритм засобами обчислювальної техніки. Для успішного проведення четвертого етапу необхідно володіти арсеналом сучасних методів обчислювальної математики, а при математичному моделюванні досить складних ТО виконання п'ятого етапу вимагає професійної підготовки у галузі програмування на ЕОМ.

Отримані на шостому етапі (в результаті роботи програми) результати обчислень повинні передусім пройти тестування шляхом зіставлення з даними кількісного аналізу спрощеного варіанта ММ ТО, що розглядається. Тестування може виявити недоліки як у програмі, так і в алгоритмі і вимагати доопрацювання програми або модифікації та алгоритму та програми. Аналіз результатів обчислень та їх інженерна інтерпретація можуть викликати необхідність коригування PC і відповідної ММ. Після усунення всіх виявлених недоліків тріаду „модель - алгоритм - програма" можна використовувати як робочий інструмент для проведення обчислювального експерименту та вироблення на основі отримуваної кількісної інформації практичних рекомендацій, спрямованих на вдосконалення ТО, що становить зміст сьомого, що завершує „технологічний цикл" етапу математичного моделювання.

Представлена ​​послідовність етапів носить загальний і універсальний характер, хоча у деяких випадках вона може кілька видозмінюватися. Якщо розробки ТО можна використовувати типові PC і ММ, то відпадає необхідність у виконанні низки етапів, а за наявності і відповідного програмного комплексу процес обчислювального експерименту стає значною мірою автоматизованим. Проте математичне моделювання ТО, які мають близьких прототипів, зазвичай, пов'язані з проведенням всіх етапів описаного „технологічного циклу".

МАТЕМАТИЧНА МОДЕЛЬ

Із послідовності основних етапів математичного моделювання(див. рис. 1.1) слід, що визначальну роль у ньому грає математична модель(ММ) досліджуваного технічний об'єкт.Тому насамперед слід приділити увагу основним властивостям ММ та вимогам до неї, і навіть класифікації ММ.

2.1. Поняття математичної моделі

Концепція математичної моделі(ММ), як і ряд інших понять, що використовуються в математичне моделювання,не має суворого формального визначення. Проте в це поняття вкладають цілком конкретний зміст, з яким, зокрема, тісно пов'язане застосування математики в інженерній практиці. Понад те, такі наукові дисципліни, як механіка, фізика та його численні розділи, є, сутнісно, ​​упорядкованими безлічами ММ, побудова яких супроводжується теоретичним обгрунтуванням адекватного відображення цими моделями властивостей аналізованих процесів і явищ. Саме за допомогою ММ наукові дисципліни взаємодіють із математикою.

Етапи розвитку багатьох природничо-наукових напрямів у пізнанні законів природи та у вдосконаленні техніки - це побудова послідовності все більш точних і більш повних ММ досліджуваних процесів та явищ. Однак історія науки знає не тільки випадки послідовного уточнення тієї чи іншої ММ, а й випадки відмови від деяких ММ внаслідок розбіжностей прогнозованих результатів з реальністю.

ММ, що відповідає реальності (адекватна), є, як правило, великим науковим досягненням. Вона дозволяє провести детальне дослідження об'єкта, що вивчається, і дати надійний прогноз його поведінки в різних умовах. Але за адекватність ММ нерідко доводиться розплачуватись її ускладненням, що викликає труднощі при її використанні. У цьому випадку на допомогу математиці і приходить сучасна обчислювальна техніка, яка суттєво розширила клас ММ, що припускає вичерпний кількісний аналіз.

Одні й самі ММ знаходять часом зовсім різні докладання. Відомо, наприклад, що закон Ньютона тяжіння двох матеріальних точок та закон взаємодії двох точкових електричних зарядів за відповідного вибору одиниць вимірювання фізичних величин можна виразити однаковими формулами. За допомогою однієї і тієї ж ММ, що містить рівняння Пуассона

де - диференціальний оператор Лапласа, а - шукана і задана функції положення точки деякої області V, можна вивчати процеси течії рідини і поширення теплоти, розподіл електричного потенціалу, деформацію мембрани, механічні напруги при крученні бруса, фільтрацію нафти в нафтоносному шарі або вологи в грунті , поширення будь-якої домішки у повітрі чи епідемії у регіоні. У кожному з перелічених завдань функції набувають свого сенсу, та їх зв'язок описує загальне цих завдань рівняння (2.1).

Наведені приклади характеризують властивість універсальності ММ.Завдяки цій властивості виникає „спорідненість” між різними галузями знань, що прискорює їх спільний розвиток. Таку спільність та універсальність ММ можна пояснити тим, що в математиці використовують абстрактні основні поняття, нечисленні, але дуже ємні за змістом. Це дозволяє конкретні факти з різних областей знань розглядати як вияв цих понять і відносин між ними. математичною моделлюцього об'єкта. У разі математика виступає, сутнісно, ​​у ролі універсальної мовинауки. Його універсальність французький математик Анрі Пуанкаре (1854-1912) визначив лише однією фразою: „Математика – це мистецтво називати різні речі одним і тим самим ім'ям”.

2.2. Структура математичної моделі

У досить загальному випадку досліджуваний технічний об'єкт(ТО) кількісно можна охарактеризувати векторами зовнішніх, внутрішніхі вихідних параметріввідповідно. Одні й самі фізичні, механічні чи інформаційні характеристики ТО в моделях різного рівня та змісту можуть виконувати роль як зовнішніх чи внутрішніх, і вихідних параметрів.

Наприклад, для електронного підсилювача вихідними параметрами є коефіцієнт підсилення, смуга частот сигналів, що пропускаються, вхідний опір, розсіювана потужність, зовнішніми - опір і ємність навантаження, напруги джерел живлення, температура навколишнього середовища, а внутрішніми - опору резисторів, ємності конденсаторів, характеристики транзисторів* 2 . Але якщо в якості ТО розглядати окремо взятий транзистор, то такі його характеристики, як напруга, що відпирає, і колекторний струм, слід вже віднести до його вихідних параметрів, а в якості зовнішніх треба буде розглядати струми і напруги, що задаються комутуючими з ним елементами підсилювача.

При створенні ТО значення вихідних параметрів або діапазони їх можливої ​​зміни обумовлюють технічне завдання на розробку ТО, тоді як зовнішні параметри характеризують умови його функціонування.

У порівняно простому випадку математична модель(ММ) ТО може являти собою співвідношення

де - Векторна функція векторного аргументу. Модель у вигляді (2.2) дозволяє легко обчислювати вихідні параметри за значеннями зовнішніх і внутрішніх параметрів, що задаються, тобто. вирішувати так звану пряме завдання.В інженерній практиці вирішення прямої задачі часто називають повірочним розрахунком. При створенні ТО виникає необхідність вирішувати складнішу так звану обернене завдання:за обумовленим технічним завданням проектування ТО значенням зовнішніх і вихідних параметрів знаходити його внутрішні параметри. В інженерній практиці вирішенню зворотного завдання відповідає так званий проектувальний розрахунок, який часто має на меті оптимізацію внутрішніх параметрів по деякому критерієм оптимальності.Однак при побудові ММ ТО функція (2.2) зазвичай заздалегідь не відома і її потрібно встановити. Це найскладніша так звана завдання ідентифікаціїММ (від латинського слова identifico - ототожнюю, якому в даному випадку надають сенс „розпізнаю”).

Завдання ідентифікації може бути вирішена шляхом математичної обробки інформації про ряд таких станів ТО, для кожного з яких відомі (наприклад, експериментально вимірювані) значення вихідних, внутрішніх і зовнішніх параметрів. Один з таких способів пов'язаний із застосуванням регресійного аналізу. Якщо інформація про внутрішні параметри відсутня або внутрішній пристрій ТО занадто складно, то ММ такого ТО будують за принципом чорної скриньки- встановлюють співвідношення між зовнішніми та вихідними параметрами шляхом дослідження реакції ТО на зовнішні дії.

Теоретичний шлях побудови ММ полягає у встановленні зв'язку між у, хі g у вигляді операторного рівняння

L(u(z))=0,(2.3)

де L- деякий оператор (загалом нелінійний), О - нульовий елемент простору, у якому діє цей оператор, z-вектор незалежних змінних, що в загальному випадку включає час і просторові координати, а і- Вектор фазових змінних,що включає параметри ТО, які характеризують його стан. Але навіть якщо можна отримати рішення (2.3) і знайти залежність u(z)від z, то далеко не завжди вдається уявити ММ ТО у явному щодо вектора увигляді (2.2). Тому саме (2.3) визначає у загальному випадку структуру ММ ТО, а (2.2) є більш простим окремим випадком такої моделі.

2.3. Властивості математичних моделей

Зі сказаного раніше випливає, що при вивченні реально існуючого або мислимого технічного об'єкта(ТО) математичні методи застосовують до його математичної моделі(ММ). Це застосування буде ефективним, якщо властивості ММ задовольняють певним вимогам. Розглянемо основні з цих властивостей.

Повнота ММдозволяє відобразити в достатній мірі саме ті характеристики та особливості ТО, які цікавлять нас із погляду поставленої мети проведення обчислювального експерименту.Наприклад, модель може досить повно описувати процеси, що протікають в об'єкті, але не відображати його габаритні, масові або вартісні показники. Так, ММ резистора у вигляді добре відомої формули U = IR закону Ома має властивість повноти лише з точки зору встановлення зв'язку між падінням електричної напруги. Uна резистори, його опором Rі струмом, що протікає через нього, силою I, але не дає жодної інформації про розміри, масу, теплостійкість, вартість та інші характеристики резистора, по відношенню до яких вона не є повною. Зазначимо принагідно, що в ММ, що розглядається, опір Rрезистора виступає у ролі його внутрішнього параметра,тоді як якщо поставлено U,то Iбуде вихідним параметром, a U- зовнішнім параметром,і навпаки.

ТочністьММдає можливість забезпечити прийнятний збіг реальних і знайдених за допомогою ММ значень вихідних параметрів ТО, що становлять вектор.

Нехай - знайдене з допомогою ММ і реальне значення i-го вихідного параметра. Тоді відносна похибка ММ щодо цього параметра дорівнюватиме

Як скалярна оцінка вектора

можна прийняти якусь його норму, наприклад

Оскільки вихідні параметри ТО за допомогою ММ пов'язані з його зовнішніми та внутрішніми параметрами, тобто як кількісна характеристика точності моделі цього ТО, буде залежати від координат векторів хта y .

Адекватність ММ- це здатність ММ описувати вихідні параметри ТО з відносною похибкою трохи більше деякого заданого значення . Нехай при деяких очікуваних номінальних значеннях зовнішніх параметрів ТО, що становлять вектор х ном,з умови мінімуму шляхів вирішення задачі кінцевої оптимізації знайдено значення внутрішніх параметрів, що становлять вектор g номі забезпечують мінімальне значення e min відносної похибки ММ. Тоді при фіксованому векторі можна побудувати безліч

зване областю адекватностіданої ММ.Зрозуміло, що з , ніж більше задане значення , тим ширше область адекватності ММ, тобто. ця ММ застосовується у ширшому діапазоні можливої ​​зміни зовнішніх параметрів ТО.

У загальному сенсі під адекватністю ММ розуміють правильне якісне і досить точне кількісне опис саме тих характеристик ТО, які у цьому конкретному випадку. Модель, адекватна під час виборів одних показників, то, можливо неадекватної під час виборів інших показників тієї ж ТО. У ряді прикладних областей, ще недостатньо підготовлених до застосування кількісних математичних методів, ММ мають переважно якісний характер. Ця ситуація типова, наприклад, для біологічної та соціальної сфер, у яких кількісні закономірності який завжди піддаються суворої математичної формалізації. У разі під адекватністю ММ природно розуміти лише правильне якісне опис поведінки досліджуваних об'єктів чи його систем. Економічність ММоцінюють витратами на обчислювальні ресурси (машинний час і пам'ять), необхідні реалізації ММ на ЕОМ. Ці витрати залежить від кількості арифметичних операцій під час використання моделі, від розмірності простору фазових змінних, від особливостей застосовуваної ЕОМ та інших чинників. Очевидно, що вимоги економічності, високої точності та досить широкій області адекватності ММ суперечливі та на практиці можуть бути задоволені лише на основі розумного компромісу. Властивість економічності ММ часто пов'язують із її простотою. Більше того, кількісний аналіз деяких спрощених варіантів ММ може бути здійснений без залучення сучасної обчислювальної техніки. Однак його результати можуть мати лише обмежену цінність на стадії налагодження алгоритму або ЕОМ-програми (див. 1.2 та рис. 1.1), якщо спрощення ММ не погоджено з розрахунковою схемоюТО.

Робастність ММ(від англійського слова robust - міцний, стійкий) характеризує її стійкість до похибок вихідних даних, здатність нівелювати ці похибки і не допускати їх надмірного впливу на результат обчислювального експерименту. Причинами низької робастності ММ можуть бути необхідність при її кількісному аналізі віднімання близьких один до одного наближених значень величин або поділу на малу за модулем величину, а також використання ММ функцій, що швидко змінюються в проміжку, де значення аргументу відомо з невисокою точністю. Іноді прагнення збільшити повноту ММ призводить до зниження її робастності внаслідок введення додаткових параметрів, відомих з невисокою точністю або входять у занадто наближені співвідношення.

Продуктивність ММпов'язана з можливістю мати досить достовірні вихідні дані. Якщо вони є результатом вимірів, то точність їх виміру має бути вищою, ніж для параметрів, які виходять при використанні ММ. В іншому випадку ММ буде непродуктивною та її застосування для аналізу конкретного ТО втрачає сенс. Її можна використовувати лише з оцінки показників деякого класу ТО з гіпотетичними вихідними даними.

Наочність ММє її бажаною, але необов'язковою властивістю. Проте використання ММ та її модифікація спрощуються, якщо її складові (наприклад, окремі члени рівнянь) мають чіткий змістовний зміст. Це зазвичай дозволяє орієнтовно передбачати результати обчислювального експерименту та полегшує контроль їхньої правильності.

Надалі на конкретних прикладах будуть проілюстровані зазначені вище властивості ММ (див. 3 та 6).

2.4. Структурні та функціональні

Різні особливості та ознаки математичних моделей(ММ) лежать основу їх типізації (чи класифікації). Серед таких ознак виділяють характер властивостей, що відображаються технічного об'єкта(ТО), ступінь їх деталізації, способи отримання та подання ММ.

Одна з суттєвих ознак класифікації пов'язана з відображенням у ММ тих чи інших особливостей ТО. Якщо ММ відображає пристрій ТО і зв'язку між його елементами, то її називають структурної математичної моделі.Якщо ж ММ відображає фізичні, механічні, хімічні або інформаційні процеси, що відбуваються в ТО, то її відносять до функціональних математичних моделей.Зрозуміло, що можуть існувати комбіновані ММ, які описують як функціонування, так і пристрій ТО. Такі ММ природно називати структурно-функціональними математичними моделями

Структурні ММ ділять на топологічніі геометричніскладові два рівні ієрархії ММцього. Перші відображають склад ТО та зв'язку між його елементами. Топологічну ММ доцільно застосовувати на початковій стадіїдослідження складного за структурою ТО, що складається з великої кількості елементів, насамперед для з'ясування та уточнення їхнього взаємозв'язку. Така ММ має форму графів,таблиць, матриць, списків тощо, та її побудові зазвичай передує розробка структурної схеми ТО.

Геометрична ММ додатково до інформації, представленої в топологічній ММ, містить відомості про форму та розміри ТО та його елементи, про їх взаємне розташування. У геометричну ММ зазвичай входять сукупність рівнянь ліній і поверхонь і алгебрологічні співвідношення, що визначають належність областей простору тілу або його елементам. Таку ММ іноді задають координатами деякої множини точок, якими інтерполюванням можна побудувати обмежують область лінії або поверхні. Межі області задають і кінематичним способом: лінію – як траєкторію руху точки, а поверхня – як результат переміщення лінії. Можливе уявлення форми та розмірів області сукупністю типових фрагментів досить простої конфігурації. Такий спосіб характерний, наприклад, для методу кінцевих елементів , що широко використовується в математичне моделювання.

Геометричні ММ знаходять застосування під час проектування ТО, розробки технічної документації та технологічних процесів виготовлення деталей (наприклад, верстатах з числовим програмним управлінням).

Функціональні ММ складаються із співвідношень, що зв'язують між собою фазові змінні,тобто. внутрішні, зовнішніі вихідні параметриТО. Функціонування складних ТО нерідко вдається описати лише з допомогою сукупності його реакцій деякі відомі (чи задані) вхідні впливу (сигнали). Такий різновид функціональної ММ відносять до типу чорної скринькиі зазвичай називають імітаційною математичною моделлю,маючи на увазі, що вона лише імітує зовнішні прояви функціонування ТО, не розкриваючи і не описуючи істоти процесів, що протікають в ньому. Імітаційні ММ знаходять широке застосування в технічній кібернетиці-науковому напрямку, що вивчає системи управління складними ТО.

За формою подання імітаційна ММ є прикладом алгоритмічної математичної моделі,оскільки зв'язок у ній між зовнішніми та вихідними параметрами ТО вдається описати лише у формі алгоритму, придатного для реалізації у вигляді ЕОМ-програми. За цією ознакою до типу алгоритмічних відносять ширший клас як функціональних, і структурних ММ. Якщо зв'язок між параметрами ТО можна висловити в аналітичній формі, то говорять про аналітичні математичні моделі.При побудові ієрархії ММ одного і того ж ТО зазвичай прагнуть до того, щоб спрощений варіант ММ (див. 1.2) був представлений в аналітичній формі, що допускає точне рішення, яке можна було б використовувати для порівняння при тестуванні результатів, отриманих за допомогою повніших і тому найскладніших варіантів ММ.

Зрозуміло, що ММ конкретного ТО формою уявлення може включати ознаки як аналітичної, і алгоритмічної ММ. Більше того, на стадії кількісного дослідження досить складної аналітичної ММ та проведення обчислювального експериментуна її основі розробляють алгоритм, який реалізують як ЕОМ-програми, тобто. у процесі математичного моделювання аналітичну ММ перетворять на алгоритмічну ММ.

2.5. Теоретичні та емпіричні

За способом отримання математичні моделі(ММ) ділять на теоретичніі емпіричні. Перші отримують у результаті вивчення властивостей технічного об'єкта(ТО) і які у ньому процесів, а другі є результатом обробки результатів спостереження зовнішніх проявів цих властивостей і процесів. Один із способів побудови емпіричних ММ полягає у проведенні експериментальних досліджень, пов'язаних з виміром фазових зміннихТО і в подальшому узагальненні результатів цих вимірювань в алгоритмічній формі або у вигляді аналітичних залежностей. Тому емпірична ММ за формою подання може містити ознаки як алгоритмічною,так і аналітичної математичної моделіТаким чином, побудова емпіричної ММ зводиться до вирішення Завдання ідентифікації.

При побудові теоретичних ММ насамперед прагнуть використати відомі фундаментальні закони збереження таких субстанцій, як маса, електричний заряд, енергія, кількість руху та момент кількості руху. Крім того, залучають визначальні співвідношення(звані також рівняннями стану),у ролі яких можуть виступати так звані феноменологічні закони(наприклад, рівняння Клапейрона- Менделєєвастану досконалого газу, закон Омапро зв'язок сили струму у провіднику та падіння електричної напруги, закон Гукапро зв'язок деформації та механічної напруги в лінійно пружному матеріалі, закон Фур'є про зв'язок градієнта температури в тілі із щільністю теплового потоку тощо).

Поєднання теоретичних міркувань якісного характеру з обробкою результатів спостереження зовнішніх проявів властивостей ТО, що вивчається, призводить до змішаного типу ММ, званих напівемпіричними.При побудові таких ММ використовують основні тези теорії розмірностей, зокрема так звану П-теорему. (Пі-теорему*):якщо між ппараметрами, що характеризують об'єкт, що вивчається, існує залежність, що має фізичний зміст, то цю залежність можна представити у вигляді залежності між = п- доїх безрозмірними комбінаціями, де до- Число незалежних одиниць вимірювання, через які можна виразити розмірності цих параметрів. При цьому пвизначає число незалежних (не виражаються один через одного) безрозмірних комбінацій, які зазвичай називають критеріями подоби.

Об'єкти, котрим рівні значення відповідних критеріїв подібності, вважають подібними. Наприклад, будь-який трикутник однозначно визначений довжинами a, bта з його сторін, тобто n= 3, a k= 1. Тому, відповідно до -теореми, безліч подібних трикутників можна задати значеннями = п - до= 2 критерії подібності. Як такі критерії можна вибрати безрозмірні відносини довжин сторін: b /аі з/аабо будь-які два інші незалежні відносини. Так як кути трикутника однозначно пов'язані з відносинами сторін і є безрозмірними величинами, безліч подібних трикутників можна визначити рівністю двох відповідних кутів або рівністю кута і відношення довжин прилеглих до нього сторін. Усі перелічені варіанти відповідають відомим ознакам подоби трикутників.

Для успішного застосування П-теореми до побудови моделей ТО необхідно мати повний набір параметрів, що описують об'єкт, що вивчається, причому вибір цих параметрів повинен спиратися на аргументований якісний аналіз тих властивостей і особливостей ТО, вплив яких істотно в даному конкретному випадку. Зазначимо, що такий аналіз необхідний за будь-якого способу побудови ММ, і проілюструємо це положення прикладами.

приклад 2.1.Розглянемо добре відому розрахункову схемуматематичного маятника (рис. 2.1) у вигляді матеріальної точки масою, підвішеною на невагомому стрижні постійної довжини, який може вільно обертатися щодо горизонтальної осі, що проходить через точку О. Відхилення маятника на кут від його вертикального положення

рівноваги призведе до зростання потенційної енергії матеріальної точки на величину де – прискорення вільного падіння. Якщо після відхилення маятник почне рух, то за відсутності опору він через закон збереження енергії буде здійснювати незагасні коливання щодо положення рівноваги (точка Ана рис. 2.1). При проходженні положення рівноваги швидкість vматеріальної точки є найбільшою за абсолютною величиною, оскільки в цьому положенні кінетична енергія цієї точки дорівнює , так

Нехай необхідно встановити залежність періоду Т коливаньмаятника (тобто найменшого проміжку часу, через який маятник повертається в деяке фіксоване положення, що не збігається з положенням рівноваги) від параметрів (параметр vслід виключити з розгляду, оскільки його вдалося виразити через зазначені вище параметри. Розмірності [.] чотирьох зазначених параметрів та періоду Т коливань можна виразити через до = 3 незалежні стандартні одиниці виміру: [Т] = с, [т] =кг, [l]= мс, = 0 і [g] =м/с 2 . Тому в силу П-теореми з п= 5 параметрів можна скласти безрозмірні комбінації, причому кут, будучи безрозмірним, є одним із них. До другої безрозмірної комбінації не вдається включити масу mматеріальної точки, оскільки одиниця виміру маси (кг) входить лише у розмірність маси. Отже, величина mне є аргументом шуканої залежності, що можна встановити і при побудові теоретичної ММ маятника, що розглядається (див. приклад 5.12). Після виключення параметра mмаємо п = 4 та до = 2, тобто. знову п = 2, так що поряд з безрозмірним параметром інші

приклад 2.3.Нехай потік рідини, що не стискається, обтікає нерухоме тверде тіло заданої форми, що має характерний розмір і постійну температуру То (рис. 2.3). Швидкість vі температура Т ж > То рідини на великому (порівняно з I)відстані від тіла зберігають постійні значення. Необхідно за деякого фіксованого положення тіла щодо напрямку вектора vшвидкості знайти кількість теплоти Q, що передається в одиницю часу від рідини до тіла і називається тепловим потоком.

Процес передачі теплоти локалізований біля поверхні тіла і залежить не тільки від перерахованих параметрів, а й від об'ємної теплоємності зта коефіцієнта теплопровідності рідини, оскільки ці параметри характеризують здатність рідини підводити теплову енергіюта передавати її поверхні тіла. Підведення теплової енергії до тіла також залежить від розподілу швидкості рідини біля його поверхні. У разі ідеальної (нев'язкої) рідини воно однозначно визначено фіксованим положенням тіла щодо вектора v, а для в'язкої рідини залежить і від співвідношення між силами в'язкості та інерції, що характеризується коефіцієнтом в'язкості , званим кінематичнимта вимірюваним у м 2 /с.

При порівняно близьких значеннях Тж і То природно припустити, що тепловий потік залежить немає від кожної з цих температур, як від їхньої різниці . Тоді у випадку ідеальної рідини маємо п = 6 розмірних параметрів, розмірності яких можна виразити через до = 4 незалежні стандартні одиниці виміру: [l] = м, [v] = м/с,

K, [Q]=Дж/с=Вт=н м/с, [c]=Дж/(м 3 К)=кг/(м 2 К), =Вт/(м К)=кг м/( з 3 К), де Дж (джоуль) і Вт (ват) - одиниці виміру енергії (роботи) і потужності відповідно, а К (кельвін) - одиниця виміру температури в абсолютній шкалі. З П-теореми з цих параметрів можна скласти лише п = п - до = 2 незалежні безрозмірні комбінації, наприклад та . У результаті приходимо до функціональної залежності

встановленої 1915 р. Дж.У. Стретт.

Ставлення q = Q/Sназивають усередненою за площею Sповерхні тіла щільністю теплового потокуі вимірюють у Вт/м 2 . Так як для геометрично подібних тіл, то (2.7) можна подати у вигляді

де Ki – тепловий критерій Кирпичева та Ре – критерій Пекле. Інтенсивність теплообміну на поверхні тіла зазвичай характеризують усередненим коефіцієнтом тепловіддачі - ,вимірюваним у Вт/(м 2 К). Тоді замість (2.8) отримаємо

де Nu – критерій (число) Нуссельта. Вигляд функції (2.7)-(2.9) не можна встановити в рамках теорії розмірностей і його доводиться визначати шляхом обробки результатів експериментів, хоча в деяких простих випадках вдається побудувати і теоретичні ММ процесу теплообміну.

У разі в'язкої рідини маємо п = 7розмірних параметрів, розмірності яких, як і раніше, можна виразити через до = 4 незалежні одиниці виміру, тобто. число незалежних безрозмірних комбінацій дорівнює . До розглянутих вище слід додати будь-яку безрозмірну комбінацію, що включає новий параметр в.Цю комбінацію можна вибрати, наприклад, у вигляді або . У першому випадку її називають критерієм (числом) Рейнол'дсата позначають Re = , а в другому - критерієм (числом)Прандтляі позначають Рг = . Критерій Прандтля характеризує лише властивості рідини, а критерій Рейнольдса – співвідношення між інерційними силами та силами в'язкого тертя. У результаті замість (2.9) отримаємо

Оскільки Ре = RePr, то разі в'язкої рідини критерій Нуссельта то, можливо представлений функцією будь-яких двох із трьох аргументів Ре, Re, Pr.

Зрозуміло, що за наявності трьох і більше безрозмірних комбінацій параметрів, побудова напівемпіричної ММ істотно ускладнюється. У цьому випадку зазвичай виділяють так званий визначений критерій (у прикладі 2.3 це Ki або Nu), а інші критерії відносять до визначальних і проводять кілька серій експериментальних вимірювань для встановлення функціональної залежності визначеного критерію від двох або більше визначальних, що розглядаються як аргументи функції ( (2.10) це функції ). У кожній серії вимірювань розмірні параметри змінюють таким чином, щоб змінювалося лише одне з визначальних критеріїв. Тоді обробка результатів такої серії вимірювань дозволяє виявити функціональну залежність критерію, що визначається, від одного з аргументів при фіксованих значеннях інших. У результаті певної області зміни значень визначальних критеріїв вдається з певною мірою наближення побудувати потрібну функцію, тобто. розв'язати задачу ідентифікації напівемпіричної ММ

Зазначимо, що застосування теореми до аналітичної ММ, представленої у вигляді рівнянь, дозволяє привести їх до безрозмірної форми і скоротити число параметрів, що характеризують ТО, що вивчається. Це спрощує якісний аналіз та дозволяє ще до проведення кількісного аналізу оцінити вплив окремих факторів (див. Д.2.2). Крім того, безрозмірна форма ММ дає можливість подати більш компактному вигляді результати її кількісного аналізу.

2.6. Особливості функціональних моделей

Однією з характерних рис функціональної математичної моделі(ММ) є наявність або відсутність серед параметрів випадкових величин. За наявності таких величин ММ називають стохастичної, а за їх відсутності - детермінованою.

Далеко не всі реальні параметри технічних об'єктів(ТО) можна характеризувати цілком певними значеннями. Тому ММ таких ТО, строго кажучи, слід зарахувати до стохастичних. Наприклад, якщо ТО, що вивчається, є виробом масового виробництва та його внутрішні параметриможуть приймати випадкові значення в межах допусків, встановлених щодо номінальних значень, а також вихідні параметриТО будуть випадковими величинами. Випадковими можуть бути значення зовнішніх параметрівпри вплив на ТО таких факторів, як пориви вітру, турбулентні пульсації, сигнали на тлі шуму тощо.

Для аналізу стохастичних ММ необхідно використовувати методи теорії ймовірностей, випадкових процесів та математичної статистики. Однак основна труднощі їх застосування зазвичай пов'язана з тим, що імовірнісні характеристики випадкових величин (математичні очікування, дисперсії, закони розподілу) часто не відомі або відомі з невисокою точністю, тобто. ММ не задовольняє вимогу про дуктивності ММ.У разі ефективніше використовувати ММ, більш грубу проти стохастичної, а й більш стійку стосовно недостовірності вихідних даних, тобто. більшою мірою задовольняє вимогу робастності.

Істотною ознакою класифікації ММ є можливість описувати зміна параметрів ТО у часі. Розглянута у прикладі 2.4 ММ теплообміну тіла з навколишнім середовищем враховує таку зміну, та її відносять до нестаціонарним(або еволюційним) математичним моделям.Якщо при цьому в ММ відображено вплив інерційних властивостей ТО, її зазвичай називають динамічною.На противагу цьому ММ, яка не враховує зміну в часі параметрів ТО, називають статичної.Розглянуті у прикладах 2.2 та 2.3 ММ є статичними. Незважаючи на рух повітряного потоку і рідини, що обтікають профіль крила і тіло, що нагрівається відповідно, всі параметри, що характеризують ці процеси залишаються постійними в часі.

Якщо зміна параметрів ТО відбувається настільки повільно, що в фіксований момент часу, що розглядається, цієї зміни можна знехтувати, то говорять про квазістатичної математичної моделі.Наприклад, в механічних процесах, що повільно протікають, можна знехтувати інерційними силами, при малій швидкості зміни температури - тепловою інерцією тіла, а при повільно змінюється силі струму в електричному ланцюгу - індуктивністю елементів цього ланцюга. Стаціонарні математичні моделіописують ТО, у яких протікають так звані встановилися процеси,тобто. процеси, в яких вихідні параметри, що цікавлять нас, постійні в часі. До тих, хто встановився, відносять і періодичні процеси,у яких деякі вихідні параметри залишаються незмінними, інші ж зазнають коливання. Наприклад, ММ математичного маятника (див. приклад 2.1) є стаціонарною по відношенню до незалежних від часу. періодуі напіврозмаху коливань,хоча матеріальна точкапереміщається у часі щодо положення рівноваги.

Якщо вихідні параметри ТО, що нас цікавлять, змінюються повільно і в аналізований фіксований момент часу такою зміною можна знехтувати, то говорять про квазістаціонарної математичної моделі.При описі деяких процесів нестаціонарна ММ може бути перетворена на квазістаціонарну відповідним вибором системи координат. Наприклад, при дуговому електрозварюванні температурне поле в зварюваних сталевих листах в околиці електрода, що рухається з постійною швидкістю, в нерухомій системі координат описує нестаціонарна ММ, а в рухомій системі координат, пов'язаної з електродом, - квазистаціонарна ММ.

Важливою з погляду подальшого аналізу властивістю ММ є її лінійність. У ТО його параметри пов'язані лінійними співвідношеннями. Це означає, що при зміні якогось зовнішнього (або внутрішнього) параметра ТО лінійна ММ передбачає лінійну зміну залежного від нього вихідного параметра, а при зміні двох або більше параметрів - додавання їх впливів, тобто. така ММ має властивість суперпозиції(Від латинського слова superpositio – накладення). Якщо ММ не має властивості суперпозиції, то її називають нелінійною.

Для кількісного аналізу лінійних ММ розроблено багато математичних методів, тоді як можливості аналізу нелінійних ММ пов'язані переважно з методами обчислювальної математики. Щоб дослідження нелінійної ММ ТО можна було використовувати аналітичні методи, її зазвичай лінеаризують, тобто. нелінійні співвідношення між параметрами замінюють наближеними лінійними та отримують так звану лінеаризовану математичну модельрозглянутого ТО. Так як лінеаризація пов'язана з внесенням додаткових похибок, то до результатів аналізу лінеаризованої моделі слід ставитись з певною обережністю. Справа в тому, що лінеаризація ММ може призвести до втрати або суттєвого спотворення реальних властивостей ТО. Облік у ММ нелінійних ефектів особливо важливий, наприклад, в описах зміни форм руху чи положень рівноваги ТО, коли малі зміни зовнішніх параметрів можуть викликати якісні зміни у стані.

Кожен параметр ТО може бути двох типів - таким, що безперервно змінюється в деякому проміжку своїх значень або приймає тільки деякі дискретні значення. Можлива і проміжна ситуація, коли в одній області параметр приймає всі можливі значення, а в іншій – лише дискретні. У зв'язку з цим виділяють безперервні, дискретніі змішані математичні моделі.У процесі аналізу ММ цих типів можуть бути перетворені одна в іншу, але за такого перетворення слід контролювати виконання вимоги адекватності ММрозглянутому ТО.

2.7. Ієрархія математичних моделей та форми їх подання

При математичному моделюванні досить складного технічного об'єкта(ТО) описати його поведінку однієї математичною моделлю(ММ), як правило, не вдається, а якщо така ММ і була б побудована, то вона виявилася надто складною для кількісного аналізу. Тому до таких ТО зазвичай застосовують принцип декомпозиції.Він полягає в умовному розбиття ТО на окремі прості блокита елементи, що допускають їхнє незалежне дослідження з наступним урахуванням взаємного впливу блоків та елементів один на одного. У свою чергу принцип декомпозиції можна застосувати і до кожного виділеного блоку аж до рівня досить простих елементів. У такому разі виникає ієрархія ММпов'язаних між собою блоків та елементів.

Ієрархічні рівні виділяють і окремих типів ММ. Наприклад, серед структурних математичних моделейТО до вищого рівня ієрархії відносять топологічні математичні моделі,а до нижчого рівня, що характеризується більшою деталізацією ТО, - геометричні математичні моделі.

Серед функціональних математичних моделейієрархічні рівні відбивають ступінь деталізації описи процесів, які у ТО, його блоках чи елементах. З цієї точки зору зазвичай виділяють три основні рівні: мікро-, макро-і метарівень.

Математичні моделі мікрорівняописують процеси в системах з розподіленими параметрами ( континуальних системах),а математичні моделі макрорівня- у системах із зосередженими параметрами (у дискретних системах).У перших із них фазові змінніможуть залежати як від часу, так і від просторових координат, а по-друге - тільки від часу.

Якщо в ММ макрорівня кількість фазових змінних має порядок 10 4 -10 5 то кількісний аналіз такий ММ стає громіздким і вимагає значних витрат обчислювальних ресурсів. Крім того, при такій великій кількості фазових змінних важко виділити суттєві характеристики ТО та особливості його поведінки. У такому разі шляхом об'єднання та укрупнення елементів складного ТО прагнуть зменшити кількість фазових змінних за рахунок виключення з розгляду внутрішніх параметрівелементів, обмежуючись лише описом взаємних зв'язків між укрупненими елементами. Такий підхід характерний для математичних моделей метарівня.

ММ метарівня зазвичай відносять до вищого рівняієрархії, ММ макрорівня – до середнього, а ММ мікрорівня – до нижчого. Найбільш поширеною формою уявлення динамічної (еволюційної) математичної моделімікрорівня є формулювання крайової задачі для диференціальних рівнянь математичної фізики. Таке формулювання включає диференціальні рівняння з приватними похідними та крайові умови. У свою чергу, крайові умови містять початкові умови - розподілу шуканих фазових змінних в певний момент часу, що приймається за початковий, у просторовій області, конфігурація якої відповідає ТО або його елементу, що розглядається, - і граничні умови на межах цієї області. При поданні ММ доцільно використовувати безрозмірні змінні (незалежні та шукані) і коефіцієнти рівнянь, скоротивши число параметрів, що характеризують ТО, що розглядається (див. Д.2.2).

ММ мікрорівня називають одновимірною, двовимірноюабо тривимірної,якщо фазові змінні, що шукаються, залежать від однієї, двох або трьох просторових координат відповідно. Два останні типи ММ об'єднують у багатовимірні математичні моделі мікрорівнів.Одновимірна ММ мікрорівня, фазові змінні в якій не залежать від часу, має уявлення у вигляді системи ОДУ із заданими граничними умовами (у найпростішому випадку одного фазового змінного така ММ включає лише одне ОДУ та граничні умови).

Оскільки крайової задачі, що містить диференціальні рівняння з приватними похідними і крайові умови, можна поставити у відповідність інтегральне формулювання, то ММ мікрорівня також може бути представлена ​​в інтегральній формі. За певних умов інтегральну форму крайової задачі вдається призвести до варіаційного формулювання у вигляді функціоналу, який допустимо розглядати на деякій кількості функцій, що містить потрібну функцію. У цьому випадку говорять про варіаційної форми моделімікрорівня. Шукана функція перетворює на нуль варіацію функціоналу, тобто. є його стаціонарною точкою.

Побудова функціоналу і відповідної йому варіаційної форми моделі мікрорівня зазвичай заснована на деякому змістовному з фізичного погляду варіаційному принципі механіки або електродинаміки суцільного середовища (наприклад, на принципі мінімуму потенційної енергії континуальної системи в положенні рівноваги або на принципі мінімуму часу проходження світлового променя неоднорідного середовища). У цьому випадку стаціонарна точка функціоналу відповідає його екстремальному (зокрема, мінімальному) значенню на допустимій множині функцій. Така форма моделі мікрорівня називається екстремальної варіаційної,дозволяє, порівнюючи значення функціоналу будь-яких двох функціях з допустимої множини, оцінювати в інтегральному сенсі близькість цих функцій до шуканої. Ця властивість екстремальної варіаційної форми моделі є важливою при якісному аналізі ММ і при порівнянні різних наближених рішень відповідного крайового завдання*.

При виконанні деяких обмежень можна збудувати подвійну варіаційну форму моделімікрорівня, що включає пару функціоналів, що досягають в одній і тій же стаціонарній точці, рівних між собою альтернативних екстремальних значень (мінімуму і максимуму). Така форма ММ дає можливість по різниці значень цих Функціоналів, обчислених на деякій функції з допустимої множини, кількісно оцінити похибку, що виникає при виборі цієї функції шуканої.

Основною формою динамічної (еволюційної) ММ макрорівня є ОДУ або їх системи разом із заданими початковими умовами. Незалежним змінним у таких ММ буде час, а шуканими - фазові змінні, що характеризують стан ТО (наприклад, переміщення, швидкості та прискорення елементів механічних пристроїв, а також прикладені до цих елементів сили та моменти; тиск та витрата рідини чи газу в трубопроводі; напруги та сили струму в електричних ланцюгах тощо). У деяких випадках ММ макрорівня вдається подати в інтегральній формі, використовуючи принцип Гамільтона- Остроградськогоабо екстремальний варіаційний принцип Гамільтона.

Якщо еволюцію ТО визначає його стан у поточний час t, а й у попередній момент t - τ, то ММ макрорівня включає ОДУ виду

щодо шуканої функції u(t).Такі ОДУ називають рівняннями запізнювального та нейтрального типу відповідно і відносять до диференціально-функціональним рівнянням*(ДФУ) (або диференціальним рівнянням з аргументом, що відхиляється). Найбільш широко ДФУ та їх системи представлені в ММ систем автоматичного керування та регулювання. Крім того, ДФУ знаходять застосування у моделях біологічних та економічних процесів.

Запізнювальна реакція на зміну свого стану може визначатися більш ніж одним інтервалом часу. Тоді ДФУ включатиме не одне, а кілька дискретних запізнювань. У більш загальному випадку запізнення може бути безперервним у часі, що наводить, наприклад, лінійної математичної моделі до інтегро-диференційного рівняння(ІДУ) виду

Задану функцію K(t,r)називають ядром цього ІДУ, а про аналізоване ТО говорять, що він має пам'ять, оскільки його еволюція залежить від усієї передісторії зміни станів ТО.

У статичну математичну модельмакрорівня не входить час. Тому вона включає лише кінцеве (загалом нелінійне) рівняння або систему таких рівнянь (зокрема, систему лінійних) алгебраїчних рівнянь- СЛАУ). Такий же вигляд мають квазістатична, стаціонарнаі квазістаціонарна математичні моделімакрорівня.

Якщо для аналізованого ТО вдається виділити кількісній характеристиці, що піддається, деяка важлива властивість або поєднання таких властивостей (надійність, довговічність, масу, вартість, який-небудь з визначальних якість ТО вихідних параметрів)і встановити їх зв'язок з фазовими змінними за допомогою дійсної функції, можна говорити про оптимізацію ТО за критерієм, що виражається цією функцією. Її називають цільовою функцією, оскільки її значення характеризують міру (або ступінь) досягнення певної мети вдосконалення ТО відповідно до обраного критерію.

Внаслідок обмеженості наявних ресурсів у реальній ситуації мають сенс ті екстремальні значення цільової функції, які досягаються у сфері можливої ​​зміни фазових змінних ТО, зазвичай обмеженою системою нерівностей. Ці нерівності разом з цільовою функцією та статичною ММ ТО у вигляді кінцевого нелінійного рівняння або систем таких рівнянь входять до математичного формулювання задачі оптимізації ТО за вибраним критерієм, що називається (загалом) завданням нелінійного програмування. В окремому випадку лінійної математичної моделіТО у вигляді СЛАУ, лінійних цільової функції та нерівностей говорять про завдання лінійного програмування. До таких завдань зазвичай приходять під час розгляду проблем техніко-економічного змісту. Завдання оптимізації ТО, що описується динамічною (еволюційною) ММ макрорівня, відносять до класу завдань оптимального управління.

Для ММ метарівня характерні самі типи рівнянь, як і ММ макрорівня, але ці рівняння включають фазові змінні, що описують стан укрупнених елементів складних ТО. Якщо визначено закон безперервного переходу ТО з одного стану до іншого, то для аналізу ММ метарівня часто використовують апарат передатних функцій*, а при розгляді станів ТО в дискретні моменти часу ОДУ та їх системи переходять у різницеві рівняння щодо значень фазових змінних у ці моменти часу. У разі дискретної множини станів ТО застосовують також апарат математичної логіки та кінцевих автоматів.

Математична модельь - це математичне уявлення реальності.

Математичне моделювання - процес побудови та вивчення математичних моделей.

Всі природничі та суспільні науки, що використовують математичний апарат, по суті займаються математичним моделюванням: замінюють реальний об'єкт його математичною моделлю і потім вивчають останню.

Визначення.

Ніяке визначення не може в повному обсязі охопити реальну діяльність з математичного моделювання. Незважаючи на це, визначення корисні тим, що в них робиться спроба виділити найістотніші риси.

Визначення моделі по А. А. Ляпунову: Моделювання - це опосередковане практичне або теоретичне дослідження об'єкта, при якому безпосередньо вивчається не сам об'єкт, що цікавить нас, а деяка допоміжна штучна або природна система:

що знаходиться в деякій об'єктивній відповідності до об'єкта, що пізнається;

здатна замінювати їх у певних відносинах;

дає при її дослідженні, в кінцевому рахунку, інформацію про моделюваному об'єкті.

За підручником Радова і Яковлєва: «модель - це об'єкт-заступник об'єкта-оригіналу, який би вивчення деяких властивостей оригіналу.» "Заміщення одного об'єкта іншим з метою отримання інформації про найважливіші властивості об'єкта-оригіналу за допомогою об'єкта-моделі називається моделюванням." «Під математичним моделюванням розумітимемо процес встановлення відповідності даному реальному об'єкту деякого математичного об'єкта, званого математичною моделлю, і дослідження цієї моделі, що дозволяє отримувати характеристики реального об'єкта, що розглядається. Вид математичної моделі залежить як від природи реального об'єкта, так і завдань дослідження об'єкта та необхідної достовірності та точності вирішення цього завдання.

По Самарскому і Михайлову, математична модель – це «еквівалент» об'єкта, що відбиває в математичній формі найважливіші його властивості: закони, яким він підпорядковується, зв'язки, притаманні його частинам, і т. д. Існує в тріадах «модель-алгоритм-програма» . Створивши тріаду «модель-алгоритм-програма», дослідник отримує в руки універсальний, гнучкий і недорогий інструмент, який спочатку налагоджується, тестується в пробних обчислювальних експериментах. Після того, як адекватність тріади вихідному об'єкту встановлена, з моделлю проводяться різноманітні та докладні «досліди», що дають всі необхідні якісні та кількісні властивості та характеристики об'єкта.

За монографією Мишкіса: «Перейдемо до загального визначення. Нехай ми збираємося досліджувати деяку сукупність S властивостей реального об'єкта a з

за допомогою математики. Для цього ми вибираємо „математичний об'єкт“ a" - систему рівнянь, або арифметичних співвідношень, або геометричних фігур, або комбінацію того й іншого і т. д., - дослідження якого засобами математики і має відповісти на поставлені питання про властивості S. умовах a" називається математичною моделлю об'єкта a щодо сукупності S його властивостей».

По Севостьянову А. Г.: «Математичною моделлю називається сукупність математичних співвідношень, рівнянь, нерівностей тощо, що описують основні закономірності, властиві досліджуваному процесу, об'єкту чи системі».

Дещо менше загальне визначенняматематичної моделі, засноване на ідеалізації «вхід - вихід - стан», запозиченої з теорії автоматів, дає Wiktionary: «Абстрактне математичне уявлення процесу, устрою чи теоретичної ідеї; воно використовує набір змінних, щоб представляти входи, виходи та внутрішні стани, а також безлічі рівнянь та нерівностей для опису їхньої взаємодії.»

Нарешті, найбільш лаконічне визначення математичної моделі: «Рівняння, що виражає ідею».

Формальна класифікація моделей.

Формальна класифікація моделей ґрунтується на класифікації використовуваних математичних засобів. Часто будується у формі дихотомій. Наприклад, один із популярних наборів дихотомій:

Лінійні чи нелінійні моделі; Зосереджені чи розподілені системи; Детерміновані чи стохастичні; Статичні чи динамічні; Дискретні чи безперервні.

і так далі. Кожна побудована модель є лінійною чи нелінійною, детермінованою чи стохастичною, … Природно, що можливі й змішані типи: в одному відношенні зосереджені, в іншому – розподілені моделі тощо.

Класифікація за способом представлення об'єкта.

Поряд з формальною класифікацією моделі відрізняються за способом представлення об'єкта:

Структурні моделі представляють об'єкт як систему зі своїм пристроєм та механізмом функціонування. Функціональні моделі не використовують таких уявлень і відображають лише поведінку об'єкта, що зовні сприймається. У їхньому граничному вираженні вони називаються також моделями «чорної скриньки». Можливі також комбіновані типи моделей, які іноді називають моделями «сірої скриньки».

Майже всі автори, що описують процес математичного моделювання, вказують, що спочатку будується особлива ідеальна конструкція, змістовна модель. Усталеної термінології тут немає, інші автори називають цей ідеальний об'єкт концептуальна модель, умоглядна модель або передмодель. При цьому фінальна математична конструкція називається формальною моделлю або просто математичною моделлю, отриманою в результаті формалізації змістовної моделі. Побудова змістовної моделі може здійснюватися за допомогою набору готових ідеалізацій, як у механіці, де ідеальні пружини, тверді тіла, ідеальні маятники, пружні середовища тощо дають готові структурні елементи змістовного моделювання. Однак у галузях знання, де немає повністю завершених формалізованих теорій, створення змістовних моделей різко ускладнюється.

Діяльність Р. Пайерлса дана класифікація математичних моделей, що у фізиці і, ширше, у природничих науках. У книзі А. Н. Горбаня та Р. Г. Хлібопроса ця класифікація проаналізована та розширена. Ця класифікація сфокусована насамперед на етапі побудови змістовної моделі.

Ці моделі «є пробним описом явища, причому автор або вірить у його можливість, або вважає навіть його істинним». За Р. Пайєрлсом це, наприклад, модель Сонячна системаза Птолемеєм та модель Коперника, модель атома Резерфорда та модель Великого Вибуху.

Жодна гіпотеза в науці не буває доведена раз і назавжди. Дуже чітко це сформулював Річард Фейнман:

«У нас завжди є можливість спростувати теорію, але, зверніть увагу, ми ніколи не можемо довести, що вона є правильною. Припустимо, що ви висунули вдалу гіпотезу, розрахували, до чого це веде, і з'ясували, що її наслідки підтверджуються експериментально. Чи це означає, що ваша теорія правильна? Ні, просто це означає, що вам не вдалося її спростувати.

Якщо модель першого типу побудована, то це означає, що вона тимчасово визнається за істину і можна сконцентруватися на інших проблемах. Однак це не може бути точкою у дослідженнях, але лише тимчасовою паузою: статус моделі першого типу може бути лише тимчасовим.

Феноменологічна модель містить механізм опису явища. Однак цей механізм недостатньо переконливий, не може бути достатньо підтверджений наявними даними або погано узгоджується з наявними теоріями та накопиченим знанням про об'єкт. Тому феноменологічні моделі мають статус тимчасових рішень. Вважається, що відповідь все ще невідома і необхідно продовжити пошук «справжніх механізмів». До другого типу Пайерлс відносить, наприклад, моделі теплороду та кваркову модель елементарних частинок.

Роль моделі в дослідженні може змінюватися з часом, може статися так, що нові дані та теорії підтвердять феноменологічні моделі і ті будуть підвищені до

статус гіпотези. Аналогічно, нове знання може поступово прийти в суперечність із моделями-гіпотезами першого типу і ті можуть бути переведені на другий. Так, кваркова модель поступово перетворюється на розряд гіпотез; атомізм у фізиці виник як тимчасове рішення, але з перебігом історії перейшов у перший тип. А ось моделі ефіру, пройшли шлях від типу 1 до типу 2, а зараз знаходяться поза наукою.

Ідея спрощення дуже популярна при побудові моделей. Але спрощення буває різним. Пайєрлс виділяє три типи спрощень у моделюванні.

Якщо можна побудувати рівняння, що описують досліджувану систему, це не означає, що їх можна вирішити навіть за допомогою комп'ютера. Загальноприйнятий прийом у разі - використання наближень. Серед них моделі лінійного відгуку. Рівняння замінюються лінійними. Стандартний приклад – закон Ома.

Якщо ми використовуємо модель ідеального газу для опису досить розріджених газів, то це - модель типу 3. При більш високих густинах газу теж корисно уявляти більш просту ситуацію з ідеальним газом для якісного розуміння та оцінок, але тоді це вже тип 4.

У моделі типу 4 відкидаються деталі, які можуть помітно не завжди контрольовано вплинути на результат. Одні й самі рівняння можуть бути моделлю типу 3 чи 4 - це залежить від явища, вивчення якого використовується модель. Так, якщо моделі лінійного відгуку застосовуються за відсутності більш складних моделей, це вже феноменологічні лінійні моделі, і ставляться вони до наступного типу 4.

Приклади: застосування моделі ідеального газу до неідеального рівняння стану Ван-дер-Ваальса більшість моделей фізики твердого тіла, рідин та ядерної фізики. Шлях від мікроопису до властивостей тіл, що складаються з великої кількості частинок, дуже довгий. Доводиться відкидати багато деталей. Це призводить до моделей 4 типу.

Евристична модель зберігає лише якісну подобу реальності та дає передбачення лише «по порядку величини». Типовий приклад – наближення середньої довжинивільного пробігу у кінетичній теорії. Воно дає прості формули коефіцієнтів в'язкості, дифузії, теплопровідності, що узгоджуються з реальністю по порядку величини.

Але при побудові нової фізики далеко не одразу виходить модель, яка дає хоча б якісний опис об'єкта – модель п'ятого типу. У цьому випадку часто використовують модель за аналогією, що відображає дійсність хоч якоюсь межею.

Р. Пайєрлс наводить історію використання аналогій у першій статті В. Гейзенберга про природу ядерних сил. «Це сталося після відкриття нейтрону, і хоча сам В. Гейзенберг розумів, що можна описувати ядра, що складаються з нейтронів і протонів, він не міг все ж таки позбутися думки, що нейтрон повинен зрештою складатися з протона і електрона. При цьому виникала аналогія між взаємодією в системі нейтрон - протон та взаємодією атома водню та протоном. Ця аналогія і привела його до висновку, що повинні існувати обмінні сили взаємодії між нейтроном і протоном, які аналогічні обмінним силам в системі H - H, обумовленим переходом електрона між двома протонами. … Пізніше було доведено існування обмінних сил взаємодії між нейтроном і протоном, хоча ними не вичерпувалося повністю

взаємодія між двома частинками… Але, дотримуючись тієї ж аналогії, У. Гейзенберг дійшов висновку про відсутність ядерних сил взаємодії між двома протонами і постулювання відштовхування між двома нейтронами. Обидва останні висновки перебувають у суперечності з даними пізніших досліджень».

А. Ейнштейн був одним із великих майстрів уявного експерименту. Ось один із його експериментів. Він був вигаданий у юності і, зрештою, призвів до побудови спеціальної теорії відносності. Припустимо, що у класичній фізиці ми рухаємося за світловою хвилею зі швидкістю світла. Ми будемо спостерігати електромагнітне поле, що періодично змінюється в просторі і постійне в часі. Згідно з рівняннями Максвелла, цього не може бути. Звідси молодий Ейнштейн уклав: або закони природи змінюються при зміні системи відліку, або швидкість світла залежить від системи отсчета. Він вибрав другий - красивіший варіант. Інший знаменитий уявний експеримент Ейнштейна – Парадокс Ейнштейна – Подільського – Розена.

А ось і тип 8, поширений в математичних моделях біологічних систем.

Це теж уявні експерименти з уявними сутностями, які демонструють, що передбачуване явище узгоджується з базовими принципами і внутрішньо несуперечливим. У цьому основна відмінність від моделей типу 7, які розкривають приховані протиріччя.

Один із найзнаменитіших таких експериментів – геометрія Лобачевського. Інший приклад – масове виробництво формально – кінетичних моделей хімічних та біологічних коливань, автохвиль та ін. Парадокс Ейнштейна – Подільського – Розена був задуманий як модель 7 типу, для демонстрації суперечливості квантової механіки. Абсолютно незапланованим чином він згодом перетворився на модель 8 типу – демонстрацію можливості квантової телепортації інформації.

Розглянемо механічну систему, Що складається з пружини, закріпленої з одного кінця, та вантажу масою m, прикріпленого до вільного кінця пружини. Вважатимемо, що вантаж може рухатися тільки в напрямку осі пружини. Побудуємо математичну модель цієї системи. Описуватимемо стан системи відстанню x від центру вантажу до його положення рівноваги. Опишемо взаємодію пружини та вантажу за допомогою закону Гука після чого скористаємося другим законом Ньютона, щоб висловити його у формі диференціального рівняння:

де означає другу похідну від x за часом.

Отримане рівняння визначає математичну модель розглянутої фізичної системи. Ця модель називається "гармонічним осцилятором".

За формальною класифікацією ця модель є лінійною, детерміністкою, динамічною, зосередженою, безперервною. У її побудови ми зробили безліч припущень, які у реальності можуть виконуватися.

По відношенню до реальності це найчастіше модель типу 4 спрощення, оскільки опущені деякі суттєві універсальні особливості. У деякому наближенні така модель досить добре описує реальну механічну систему, оскільки

відкинуті чинники надають зневажливо мінімальний впливом геть її поведінка. Однак модель можна уточнити, взявши до уваги якісь із цих факторів. Це призведе до нової моделі, з більш широкою сферою застосування.

Втім, при уточненні моделі складність її математичного дослідження може значно зрости і зробити модель практично марною. Найчастіше проста модель дозволяє краще і глибше досліджувати реальну систему, ніж складніша.

Якщо застосовувати модель гармонійного осцилятора до об'єктів, далеких від фізики, змістовний статус може бути іншим. Наприклад, при додатку цієї моделі до біологічних популяцій її слід віднести, швидше за все, до типу 6 аналогія.

Жорсткі та м'які моделі.

Гармонічний осцилятор – приклад так званої «жорсткої» моделі. Вона отримана внаслідок сильної ідеалізації реальної фізичної системи. Для вирішення питання про її застосування необхідно зрозуміти, наскільки суттєвими є фактори, якими ми знехтували. Іншими словами, потрібно дослідити «м'яку» модель, що виходить малим обуренням «жорсткою». Вона може задаватися, наприклад, наступним рівнянням:

Тут - деяка функція, у якій може враховуватися сила тертя чи залежність коефіцієнта жорсткості пружини від її розтягування, ε - деякий малий параметр. Явний вид функції f нас у даний моментне цікавить. Якщо ми доведемо, що поведінка м'якої моделі не відрізняється від поведінки жорсткої, завдання зведеться до дослідження жорсткої моделі. Інакше застосування результатів, отриманих щодо жорсткої моделі, вимагатиме додаткових досліджень. Наприклад, рішенням рівняння гармонійного осцилятора є функції виду

Тобто коливання із постійною амплітудою. Чи випливає з цього, що реальний осцилятор нескінченно довго вагатиметься з постійною амплітудою? Ні, оскільки розглядаючи систему зі скільки завгодно малим тертям, ми отримаємо загасаючі коливання. Поведінка системи якісно змінилася.

Якщо система зберігає свою якісну поведінку при малому обуренні, то кажуть, що вона структурно стійка. Гармонійний осцилятор – приклад структурно-нестійкої системи. Проте, цю модель можна використовуватиме вивчення процесів на обмежених проміжках часу.

Універсальність моделей.

Найважливіші математичні моделі зазвичай мають важливу властивість універсальності: принципово різні реальні явища можуть описуватися однієї й тієї математичної моделлю. Скажімо, гармонійний осцилятор описує не тільки поведінку вантажу на пружині, але й інші коливальні процеси, які часто мають зовсім іншу природу: малі коливання маятника, коливання рівня рідини в U-подібній посудині або зміна сили струму в коливальному контурі. Таким чином, вивчаючи одну математичну модель, ми вивчаємо відразу цілий клас описуваних нею явищ. Саме цей ізоморфізм законів, що виражаються математичними моделями у різних сегментах наукового знання, подвиг Людвіга фон Берталанфі на створення «Загальної теорії систем».

Пряме та зворотне завдання математичного моделювання

Існує безліч завдань, пов'язаних із математичним моделюванням. По-перше, треба придумати основну схему об'єкта, що моделюється, відтворити його в рамках ідеалізацій даної науки. Так, вагон поїзда перетворюється на систему пластин і складніших

тіл з різних матеріалів, Кожен матеріал задається як його стандартна механічна ідеалізація, після чого складаються рівняння, дорогою якісь деталі відкидаються, як несуттєві, проводяться розрахунки, порівнюються з вимірами, модель уточнюється, і так далі. Проте розробки технологій математичного моделювання корисно розібрати цей процес на основні складові елементи.

Традиційно виділяють два основні класи завдань, пов'язаних з математичними моделями: прямі та зворотні.

Пряме завдання: структура моделі та її параметри вважаються відомими, головне завдання - провести дослідження моделі для отримання корисного знання об'єкт. Яке статичне навантаження витримає міст? Як він реагуватиме на динамічне навантаження, як літак подолає звуковий бар'єр, чи не розвалиться він від флаттера, - ось типові приклади прямого завдання. Постановка правильного прямого завдання потребує спеціальної майстерності. Якщо не задані правильні питання, то міст може обрушитися, навіть якщо було побудовано гарну модель для його поведінки. Так, в 1879 р. у Великобританії обрушився металевий міст через річку Тей, конструктори якого побудували модель моста, розрахували його на 20-кратний запас міцності на дію корисного навантаження, але забули про вітри, що постійно дмуть у тих місцях. І через півтора роки він звалився.

У Найпростішому випадку пряме завдання дуже просте і зводиться до явного вирішення цього рівняння.

Зворотне завдання: відомо безліч можливих моделей, треба вибрати конкретну модель на підставі додаткових даних про об'єкт. Найчастіше структура моделі відома, і необхідно визначити деякі невідомі параметри. Додаткова інформація може полягати у додаткових емпіричних даних або вимогах до об'єкта. Додаткові дані можуть надходити незалежно від процесу розв'язання зворотного завдання або бути результатом спеціально запланованого в ході розв'язання експерименту.

Одним з перших прикладів віртуозного вирішення зворотної задачі з максимально повним використанням доступних даних був побудований І. Ньютоном метод відновлення сил тертя по затухаючим коливанням.

У як інший приклад можна навести математичну статистику. Завдання цієї науки - розробка методів реєстрації, опису та аналізу даних спостережень та експериментів з метою побудови ймовірнісних моделей масових випадкових явищ. Тобто. безліч можливих моделей обмежена імовірнісними моделями. У конкретних завданнях багато моделей обмежено сильніше.

Комп'ютерна система моделювання.

Для підтримки математичного моделювання розроблені системи комп'ютерної математики, наприклад, Maple, Mathematica, Mathcad, MATLAB, VisSim та ін. Вони дозволяють створювати формальні та блокові моделі як простих, так і складних процесів та пристроїв та легко змінювати параметри моделей у ході моделювання. Блокові моделі представлені блоками, набір та з'єднання яких задаються діаграмою моделі.

Додаткові приклади.

Швидкість зростання пропорційна поточному обсягу популяції. Вона описується диференціальним рівнянням

де α - деякий параметр, що визначається різницею між народжуваністю та смертністю. Рішенням цього рівняння є експонентна функція x = x0 e. Якщо народжуваність перевершує смертність, розмір популяції необмежено і швидко зростає. Зрозуміло, що насправді це не може відбуватися через обмеженість.

ресурсів. При досягненні деякого критичного обсягу популяції модель перестає бути адекватною, оскільки враховує обмеженість ресурсів. Уточненням моделі Мальтуса може бути логістична модель, яка описується диференціальним рівнянням Ферхюльста

де xs – «рівноважний» розмір популяції, у якому народжуваність точно компенсується смертністю. Розмір популяції в такій моделі прагне рівноважного значення xs, причому така поведінка структурно стійка.

Припустимо, що на деякій території мешкають два види тварин: кролики та лисиці. Нехай число кроликів x, число лисиць y. Використовуючи модель Мальтуса з необхідними поправками, що враховують поїдання кроликів лисицями, приходимо до наступної системи, яка має ім'я моделі Лотки - Вольтерра:

Ця система має рівноважний стан, коли кількість кроликів і лисиць постійно. Відхилення від цього стану призводить до коливань чисельності кроликів та лисиць, аналогічним коливанням гармонійного осцилятора. Як і у випадку гармонійного осцилятора, ця поведінка не є структурно стійкою: мала зміна моделі може призвести до якісної зміни поведінки. Наприклад, рівноважний стан може стати стійким, і коливання чисельності загасатимуть. Можлива і протилежна ситуація, коли будь-яке мале відхилення від положення рівноваги призведе до катастрофічних наслідків, аж до повного вимирання одного з видів. На питання про те, який із цих сценаріїв реалізується, модель Вольтерра – Лотки відповіді не дає: тут потрібні додаткові дослідження.

Як систему рівнянь, або арифметичних співвідношень, або геометричних фігур, або комбінацію того й іншого, дослідження яких засобами математики має відповісти на поставлені питання про властивості деякої сукупності властивостей об'єкта реального світу, як сукупність математичних співвідношень, рівнянь, нерівностей, що описують основні закономірності, властиві досліджуваному процесу, об'єкту або системі.

У автоматизованих системах управління математична модель використовується визначення алгоритму функціонування контролера. Цей алгоритм визначає, як слід змінювати керуючий вплив залежно від зміни того, що задає для того, щоб була досягнута мета управління.

Класифікація моделей

Формальна класифікація моделей

Формальна класифікація моделей ґрунтується на класифікації використовуваних математичних засобів. Часто будується у формі дихотомій. Наприклад, один з популярних наборів дихотомій:

і так далі. Кожна побудована модель є лінійною чи нелінійною, детермінованою чи стохастичною, … Природно, що можливі й змішані типи: в одному відношенні зосереджені (щодо параметрів), в іншому – розподілені моделі тощо.

Класифікація за способом представлення об'єкта

Поряд з формальною класифікацією моделі відрізняються за способом представлення об'єкта:

• Структурні чи функціональні моделі

Моделі-гіпотези в науці не можуть бути доведені раз і назавжди, можна лише говорити про їх спростування або незаперечення в результаті експерименту.

Якщо модель першого типу побудована, це означає, що вона тимчасово визнається за істину і можна сконцентруватися інших проблемах. Однак це не може бути точкою в дослідженнях, але лише часовою паузою: статус моделі першого типу може бути лише часовим.

Феноменологічна модель

Другий тип – феноменологічна модель ( «Поводимося так, ніби…»), містить механізм для опису явища, хоча цей механізм недостатньо переконливий, не може бути достатньо підтверджений наявними даними або погано узгоджується з наявними теоріями та накопиченим знанням про об'єкт. Тому феноменологічні моделі мають статус тимчасових рішень. Вважається, що відповідь все ще невідома, і необхідно продовжити пошук «справжніх механізмів». До другого типу Пайерлс відносить, наприклад, моделі теплороду та кваркову модель елементарних частинок.

Роль моделі у дослідженні може змінюватися з часом, може статися так, що нові дані та теорії підтвердять феноменологічні моделі і ті будуть підвищені до статусу гіпотези. Аналогічно нове знання може поступово прийти в суперечність із моделями-гіпотезами першого типу, і ті можуть бути переведені на другий. Так, кваркова модель поступово перетворюється на розряд гіпотез; атомізм у фізиці виник як тимчасове рішення, але з перебігом історії перейшов у перший тип. А ось моделі ефіру пройшли шлях від типу 1 до типу 2, а зараз знаходяться поза наукою.

Ідея спрощення дуже популярна при побудові моделей. Але спрощення буває різним. Пайєрлс виділяє три типи спрощень у моделюванні.

Наближення

Третій тип моделей - наближення ( «щось вважаємо дуже великим чи дуже малим»). Якщо можна побудувати рівняння, що описують досліджувану систему, це не означає, що їх можна вирішити навіть за допомогою комп'ютера. Загальноприйнятий прийом у разі - використання наближень (моделей типу 3). Серед них моделі лінійного відгуку. Рівняння замінюються лінійними. Стандартний приклад - закон Ома.

Думковий експеримент

m x ¨ = − k x (\displaystyle m(\ddot(x))=-kx),

де x ¨ (\displaystyle (\ddot (x)))означає другу похідну від x (\displaystyle x)по часу: x ¨ = d 2 x d t 2 (\displaystyle (\ddot (x))=(\frac (d^(2)x)(dt^(2)))).

Отримане рівняння визначає математичну модель розглянутої фізичної системи. Ця модель називається "гармонічним осцилятором".

За формальною класифікацією ця модель лінійна, детерміністська, динамічна, зосереджена, безперервна. У процесі її побудови ми зробили безліч припущень (про відсутність зовнішніх сил, відсутність тертя, трохи відхилень і т. д.), які в реальності можуть не виконуватися.

По відношенню до реальності це найчастіше модель типу 4 спрощення(«опустимо для ясності деякі деталі»), оскільки опущені деякі суттєві універсальні особливості (наприклад, дисипація). У деякому наближенні (скажімо, поки відхилення вантажу від рівноваги невелике, при малому терті, протягом не надто великого часу і при дотриманні деяких інших умов), така модель досить добре описує реальну механічну систему, оскільки відкинуті фактори мають зневажливий вплив на її поведінку. . Однак модель можна уточнити, взявши до уваги якісь із цих факторів. Це призведе до нової моделі, з ширшою (хоча і знову обмеженою) областю застосування.

Втім, при уточненні моделі складність її математичного дослідження може значно зрости і зробити модель практично марною. Найчастіше простіша модель дозволяє краще і глибше досліджувати реальну систему, ніж складніша (і, формально, «правильніша»).

Якщо застосовувати модель гармонійного осцилятора до об'єктів, далеких від фізики, змістовний статус може бути іншим. Наприклад, при додатку цієї моделі до біологічних популяцій її слід віднести, швидше за все, до типу 6 аналогія(«врахуємо лише деякі особливості»).

Жорсткі та м'які моделі

Гармонічний осцилятор – приклад так званої «жорсткої» моделі. Вона отримана внаслідок сильної ідеалізації реальної фізичної системи. Властивості гармонійного осцилятора якісно змінюються малими збуреннями. Наприклад, якщо додати до правої частини мале доданок − ε x ˙ (\displaystyle -\varepsilon (\dot (x)))(тертя) ( ε > 0 (\displaystyle \varepsilon >0)- деякий малий параметр), то отримаємо експоненційно загасаючі коливання, якщо змінити знак додаткового доданку (ε x ˙) (\displaystyle (\varepsilon (\dot (x))))то тертя перетвориться на накачування і амплітуда коливань експоненційно зростатиме.

Для вирішення питання про застосування жорсткої моделі необхідно зрозуміти, наскільки суттєвими є фактори, якими ми знехтували. Потрібно дослідити м'які моделі, що виходять малим обуренням твердою. Для гармонійного осцилятора вони можуть задаватися, наприклад, наступним рівнянням:

m x ¨ = − k x + ε f(x , x ˙).

Тут f (x , x ˙) (\displaystyle f(x,(\dot (x))))- деяка функція, у якій може враховуватися сила тертя чи залежність коефіцієнта жорсткості пружини від її розтягування. Явний вид функції f (\displaystyle f)нас зараз не цікавить.

Якщо ми доведемо, що поведінка м'якої моделі принципово не відрізняється від поведінки жорсткої (незалежно від явного виду факторів, що обурюють, якщо вони досить малі), завдання зведеться до дослідження жорсткої моделі. Інакше застосування результатів, отриманих щодо жорсткої моделі, вимагатиме додаткових досліджень.

Якщо система зберігає свою якісну поведінку при малому обуренні, то кажуть, що вона структурно стійка. Гармонійний осцилятор – приклад структурно-нестійкої (негрубою) системи. Проте, цю модель можна використовуватиме вивчення процесів на обмежених проміжках часу.

Універсальність моделей

Найважливіші математичні моделі зазвичай мають важливу властивість універсальності: принципово різні реальні явища можуть описуватися однієї й тієї математичної моделлю. Скажімо, гармонійний осцилятор описує не тільки поведінку вантажу на пружині, але й інші коливальні процеси, що часто мають зовсім іншу природу: малі коливання маятника, коливання рівня рідини U (\displaystyle U)-подібну посудину або зміна сили струму в коливальному контурі. Таким чином, вивчаючи одну математичну модель, ми вивчаємо відразу цілий клас описуваних нею явищ. Саме цей ізоморфізм законів, що виражаються математичними моделями у різних сегментах наукового знання, подвиг Людвіга фон Берталанфі на створення «загальної теорії систем».

Пряме та зворотне завдання математичного моделювання

Існує безліч завдань, пов'язаних із математичним моделюванням. По-перше, треба придумати основну схему об'єкта, що моделюється, відтворити його в рамках ідеалізацій даної науки. Так, вагон поїзда перетворюється на систему пластин і складніших тіл з різних матеріалів, кожен матеріал задається як його стандартна механічна ідеалізація (щільність, модулі пружності, стандартні характеристики міцності), після чого складаються рівняння, по дорозі якісь деталі відкидаються як несуттєві, виробляються розрахунки, порівнюються з вимірами, модель уточнюється, і таке інше. Проте розробки технологій математичного моделювання корисно розібрати цей процес на основні складові елементи.

Традиційно виділяють два основні класи завдань, пов'язаних з математичними моделями: прямі та зворотні.

Пряме завдання: структура моделі та її параметри вважаються відомими, головне завдання - провести дослідження моделі для отримання корисного знання об'єкт. Яке статичне навантаження витримає міст? Як він реагуватиме на динамічне навантаження (наприклад, на марш роти солдатів, або на проходження поїзда на різній швидкості), як літак подолає звуковий бар'єр, чи не розвалиться він від флаттера, - ось типові приклади прямого завдання. Постановка правильного прямого завдання (завдання правильного питання) вимагає спеціальної майстерності. Якщо не задані правильні питання, то міст може обрушитися, навіть якщо було побудовано гарну модель для його поведінки. Так, в 1879 р. у Великобританії обрушився металевий Залізничний міст через Ферт-оф-Тей, конструктори якого побудували модель моста, розрахували його на 20-кратний запас міцності на дію корисного навантаження, але забули про вітри, що постійно дмуть у тих місцях. І через півтора роки він звалився.

У найпростішому випадку (одне рівняння осцилятора, наприклад) пряме завдання дуже просте і зводиться до явного вирішення цього рівняння.

Зворотне завдання: відомо безліч можливих моделей, треба вибрати конкретну модель на підставі додаткових даних про об'єкт. Найчастіше структура моделі відома і необхідно визначити деякі невідомі параметри. Додаткова інформація може полягати у додаткових емпіричних даних, або у вимогах до об'єкта ( завдання проектування). Додаткові дані можуть надходити незалежно від процесу вирішення зворотного завдання ( пасивне спостереження) або бути результатом спеціально планованого в ході рішення експерименту ( активне спостереження).

Одним з перших прикладів віртуозного вирішення зворотної задачі з максимально повним використанням доступних даних був побудований Ньютоном метод відновлення сил тертя за затухаючим коливанням.

Як інший приклад можна навести математичну статистику. Завдання цієї науки - розробка методів реєстрації, опису та аналізу даних спостережень та експериментів з метою побудови ймовірнісних моделей масових випадкових явищ. Тобто безліч можливих моделей обмежена імовірнісними моделями. У конкретних завданнях багато моделей обмежено сильніше.

Комп'ютерні системи моделювання

Для підтримки математичного моделювання розроблені системи комп'ютерної математики, наприклад, Maple, Mathematica, Mathcad, MATLAB, VisSim та ін. Вони дозволяють створювати формальні та блокові моделі як простих, так і складних процесів та пристроїв та легко змінювати параметри моделей у ході моделювання. Блокові моделіпредставлені блоками (найчастіше графічними), набір та з'єднання яких задаються діаграмою моделі.

Додаткові приклади

Модель Мальтуса

Відповідно до моделі, запропонованої Мальтусом, швидкість зростання пропорційна поточному розміру популяції, тобто описується диференціальним рівнянням:

x ˙ = α x (\displaystyle (\dot (x))=\alpha x),

де α (\displaystyle \alpha)- деякий параметр, що визначається різницею між народжуваністю та смертністю. Рішенням цього рівняння є експоненційна функція x(t) = x 0 e α t (\displaystyle x(t)=x_(0)e^(\alpha t)). Якщо народжуваність перевершує смертність ( α > 0 (\displaystyle \alpha >0)), розмір популяції необмежено і дуже швидко зростає. Насправді, цього не може відбуватися через обмеженість ресурсів. При досягненні деякого критичного обсягу популяції модель перестає бути адекватною, оскільки враховує обмеженість ресурсів. Уточненням моделі Мальтуса може бути логістична модель, яка описується диференціальним рівнянням Ферхюльста:

x ˙ = α (1 − x x s) x (\displaystyle (\dot (x))=\alpha \left(1-(\frac(x)(x_(s)))\right)x),

де - «Рівноважний» розмір популяції, при якому народжуваність точно компенсується смертністю. Розмір популяції в такій моделі прагне рівноважного значення x s (\displaystyle x_(s)), причому така поведінка структурно стійка.

Система хижак-жертва

Припустимо, що на деякій території мешкають два види тварин: кролики (харчуються рослинами) і лисиці (харчуються кроликами). Нехай кількість кроликів x (\displaystyle x), число лис y (\displaystyle y). Використовуючи модель Мальтуса з необхідними поправками, що враховують поїдання кроликів лисицями, приходимо до наступної системи, яка має ім'я моделі Лотки - Вольтерри:

( x ˙ = (α − cy) xy ˙ = (− β + dx) y (\displaystyle (\begin(cases)(\dot(x))=(\alpha -cy)x\\\\\\ ))=(-\beta +dx)y\end(cases)))

Поведінка даної системи не є структурно стійкою: мала зміна параметрів моделі (наприклад, що враховує обмеженість ресурсів, необхідних кроликам) може призвести до якісної зміни поведінки.

При деяких значеннях параметрів ця система має рівноважний стан коли число кроликів і лисиць постійно. Відхилення від цього стану призводить до поступово загасаючих коливань чисельності кроликів та лисиць.

Можлива й протилежна ситуація, коли будь-яке мале відхилення від положення рівноваги призведе до катастрофічних наслідків, аж до повного вимирання одного з видів. На питання про те, який із цих сценаріїв реалізується, модель Вольтерри – Лотки відповіді не дає: тут потрібні додаткові дослідження.

Див. також

Примітки

1. "A matematical representation of reality" (Encyclopaedia Britanica)
2. Новик І. Б., Про філософські питання кібернетичного моделювання. М., Знання, 1964.
3. Рад Б. Я., Яковлєв С. А., Моделювання систем: Навч. для вузів - 3-тє вид., перераб. та дод. - М: Вищ. шк., 2001. – 343 с. ISBN 5-06-003860-2
4. Самарський А. А., Михайлов А. П.Математичне моделювання. Ідеї. Методи. Приклади. - 2-ге вид., Випр. - М.: Фізматліт, 2001. - ISBN 5-9221-0120-X.
5. Мишкіс А. Д.Елементи теорії математичних моделей. - 3-тє вид., Випр. - М: КомКнига, 2007. - 192 з ISBN 978-5-484-00953-4
6. Севостьянов, А. Г. Моделювання технологічних процесів: підручник/А. Г. Севостьянов, П. А. Севостьянов. - М.: Легка та харчова промисловість, 1984. - 344 с.
7. Ротач В.Я.Теорія автоматичного керування. - 1-е. - М.: ЗАТ "Видавничий дім МЕІ", 2008. - С. 333. - 9 с. - ISBN 978-5-383-00326-8.
8. Model Reduction and Coarse-Graining Approaches для Multiscale Phenomena(англ.). Springer, Complexity series, Berlin-Heidelberg-New York, 2006. XII + 562 pp. ISBN 3-540-35885-4. Дата звернення 18 червня 2013 року. Архівовано 18 червня 2013 року.
9. «Теорія вважається лінійною чи нелінійною залежно від того, який – лінійний чи нелінійний – математичний апарат, які – лінійні чи нелінійні – математичні моделі вона використовує. … ез заперечення останньої. Сучасний фізик, доведися йому заново створювати визначення такої важливої ​​сутності, як нелінійність, швидше за все, вчинив би інакше, і, віддавши перевагу нелінійності як більш важливій і поширеній із двох протилежностей, визначив би лінійність як „не нелінійність“.» Данилов Ю. А., Лекції з нелінійної динаміки. Елементарне запровадження. Серія "Синергетика: від минулого до майбутнього". Вид.2. – M.: URSS, 2006. – 208 с. ISBN 5-484-00183-8
10. «Динамічні системи, що моделюються кінцевим числом звичайних диференціальних рівнянь, називають зосередженими або точковими системами. Вони описуються з допомогою кінцевого фазового простору і характеризуються кінцевим числом ступенів свободи. Одна й та система в різних умовах може розглядатися або як зосереджена, або як розподілена. Математичні моделі розподілених систем - це диференціальні рівняння у приватних похідних, інтегральні рівняння чи звичайні рівняння із запізнілим аргументом. Число ступенів свободи розподіленої системи нескінченне, і потрібна нескінченна кількість даних для визначення її стану.
    Аніщенко В. С., Динамічні системи, Соросівський освітній журнал, 1997 № 11, с. 77-84.
11. «Залежно від характеру досліджуваних процесів у системі S всі види моделювання можуть бути поділені на детерміновані та стохастичні, статичні та динамічні, дискретні, безперервні та дискретно-безперервні. Детерміноване моделювання відображає детерміновані процеси, тобто процеси, в яких передбачається відсутність будь-яких випадкових впливів; стохастичне моделювання відображає імовірнісні процеси та події. … Статичне моделювання служить для опису поведінки об'єкта у час, а динамічне моделювання відбиває поведінка об'єкта у часі. Дискретне моделювання служить для опису процесів, які передбачаються дискретними, відповідно безперервне моделювання дозволяє відобразити безперервні процеси в системах, а дискретно-безперервне моделювання використовується для випадків, коли хочуть виділити наявність дискретних, так і безперервних процесів.
    Рад Б. Я., Яковлєв С. А., Моделювання систем: Навч. для вузів - 3-тє вид., перераб. та дод. - М: Вищ. шк., 2001. – 343 с. ISBN 5-06-003860-2
12. Зазвичай у математичної моделі відбивається структура (пристрій) моделируемого об'єкта, суттєві з метою дослідження якості та взаємозв'язку компонентів цього об'єкта; така модель називається структурною. Якщо модель відбиває лише те, як об'єкт функціонує - наприклад, як і реагує на зовнішні впливу,- вона називається функціональної чи, образно, чорним ящиком. Можливі моделі комбінованого типу. Мишкіс А. Д.Елементи теорії математичних моделей. - 3-тє вид., Випр. - М: КомКнига, 2007. - 192 с

Математичне моделювання

1. Що таке математичне моделювання?

Із середини XX ст. в різних галузях людської діяльності стали широко застосовувати математичні методи і ЕОМ. Виникли такі нові дисципліни, як «математична економіка», «математична хімія», «математична лінгвістика» тощо, які вивчають математичні моделі відповідних об'єктів та явищ, а також методи дослідження цих моделей.

Математична модель - це наближений опис будь-якого класу явищ чи об'єктів реального світу мовою математики. Основна мета моделювання – дослідити ці об'єкти та передбачити результати майбутніх спостережень. Однак моделювання - це ще й метод пізнання навколишнього світу, що дає змогу керувати ним.

Математичне моделювання та пов'язаний з ним комп'ютерний експеримент незамінні в тих випадках, коли натурний експеримент неможливий або утруднений з тих чи інших причин. Наприклад, не можна поставити натурний експеримент історії, щоб перевірити, «що було б, якби...» Неможливо перевірити правильність тієї чи іншої космологічної теорії. В принципі можливо, але навряд чи розумно, поставити експеримент з поширення будь-якої хвороби, наприклад чуми, або здійснити ядерний вибух, щоб вивчити його наслідки. Однак все це цілком можна зробити на комп'ютері, побудувавши попередньо математичні моделі явищ, що вивчаються.

2. Основні етапи математичного моделювання

1) Побудова моделі. На цьому етапі визначається деякий «нематематичний» об'єкт - явище природи, конструкція, економічний план, виробничий процес і т. д. При цьому, як правило, чіткий опис ситуації утруднено. Спочатку виявляються основні особливості явища та зв'язку між ними на якісному рівні. Потім знайдені якісні залежності формулюються мовою математики, тобто будується математична модель. Це найважча стадія моделювання.

2) Розв'язання математичного завдання, до якого наводить модель. На цьому етапі велика увага приділяється розробці алгоритмів та чисельних методів вирішення задачі на ЕОМ, за допомогою яких результат може бути знайдений з необхідною точністю та за допустимий час.

3) Інтерпретація одержаних наслідків з математичної моделі.Наслідки, виведені з моделі мовою математики, інтерпретуються мовою, прийнятому у цій галузі.

4) Перевірка адекватності моделі.На цьому етапі з'ясовується, чи узгоджуються результати експерименту з теоретичними наслідками моделі в межах певної точності.

5) Модифікація моделі.На цьому етапі відбувається або ускладнення моделі, щоб вона була адекватнішою дійсності, або її спрощення задля досягнення практично прийнятного рішення.

3. Класифікація моделей

Класифікувати моделі можна за різними критеріями. Наприклад, характером вирішуваних проблем моделі можуть бути поділені на функціональні та структурні. У першому випадку всі величини, що характеризують явище чи об'єкт, виражаються кількісно. При цьому одні з них розглядаються як незалежні змінні, інші - як функції від цих величин. Математична модель зазвичай є системою рівнянь різного типу (диференціальних, алгебраїчних тощо. буд.), встановлюють кількісні залежності між аналізованими величинами. У другому випадку модель характеризує структуру складного об'єкта, що складається з окремих частин, між якими існують певні зв'язки. Як правило, ці зв'язки не піддаються кількісному виміру. Для побудови таких моделей зручно використати теорію графів. Граф - це математичний об'єкт, що є деякою кількістю точок (вершин) на площині чи просторі, деякі з яких з'єднані лініями (ребрами).

За характером вихідних даних та результатів передбачення моделі можуть бути поділені на детерміністичні та імовірнісно-статистичні. Моделі першого типу дають певні однозначні передбачення. Моделі другого типу засновані на статистичній інформації, а передбачення, отримані за їх допомогою, мають імовірнісний характер.

4. Приклади математичних моделей

1) Завдання про рух снаряда.

Розглянемо таке завдання механіки.

Снаряд пущений із Землі з початковою швидкістю v 0 = 30 м/с під кутом a = 45° до її поверхні; потрібно знайти траєкторію його руху та відстань S між початковою та кінцевою точкою цієї траєкторії.

Тоді, як відомо зі шкільного курсу фізики, рух снаряда описується формулами:

де t – час, g = 10 м/с 2 – прискорення вільного падіння. Ці формули дають математичну модель поставленого завдання. Виражаючи t через x з першого рівняння і підставляючи друге, отримаємо рівняння траєкторії руху снаряда:

Ця крива (парабола) перетинає вісь x у двох точках: x 1 = 0 (початок траєкторії) та (Місце падіння снаряда). Підставляючи отримані формули задані значення v0 і a, отримаємо

відповідь: y = x - 90x2, S = 90 м.

Зазначимо, що при побудові цієї моделі використано низку припущень: наприклад, вважається, що Земля плоска, а повітря та обертання Землі не впливають на рух снаряда.

2) Завдання про бак з найменшою площею поверхні.

Потрібно знайти висоту h 0 і радіус r 0 бляшаного бака об'єму V = 30 м 3 має форму закритого кругового циліндра, при яких площа його поверхні S мінімальна (у цьому випадку на його виготовлення піде найменша кількість жерсті).

Запишемо такі формули для об'єму та площі поверхні циліндра висоти h та радіуса r:

V = r 2 h, S = 2 r (r + h).

Виражаючи h через r і V з першої формули і підставляючи отриманий вираз у другу, отримаємо:

Таким чином, з математичної точки зору завдання зводиться до визначення такого значення r, при якому досягає свого мінімуму функція S(r). Знайдемо ті значення r 0 при яких похідна

звертається в нуль: Можна перевірити, що друга похідна функції S(r) змінює знак з мінуса плюс при переході аргументу r через точку r 0 . Отже, у точці r0 функція S(r) має мінімум. Відповідне значення h0 = 2r0. Підставляючи вираз для r 0 і h 0 задане значення V, отримаємо шуканий радіус і висоту

3) Транспортне завдання.

У місті є два склади борошна та два хлібозаводи. Щодня з першого складу вивозять 50 т борошна, а з другого – 70 т на заводи, причому на перший – 40 т, а на другий – 80 т.

Позначимо через a ij вартість перевезення 1 т борошна з i-го складу на j-й завод(i, j = 1,2). Нехай

a 11 = 1,2 р., a 12 = 1,6 р., a 21 = 0,8 р., a 22 = 1 р.

Як потрібно спланувати перевезення, щоб їхня вартість була мінімальною?

Надамо задачі математичне формулювання. Позначимо через x 1 і x 2 кількість борошна, яке треба перевезти з першого складу на перший та другий заводи, а через x 3 та x 4 – з другого складу на перший та другий заводи відповідно. Тоді:

x 1 + x 2 = 50, x 3 + x 4 = 70, x 1 + x 3 = 40, x 2 + x 4 = 80. (1)

Загальна вартість усіх перевезень визначається формулою

f = 1,2 x 1 + 1,6 x 2 + 0,8 x 3 + x 4 .

З математичної точки зору, завдання полягає в тому, щоб знайти чотири числа х 1 , х 2 , х 3 і х 4 , що задовольняють всім заданим умовам і дає мінімум функції f. Розв'яжемо систему рівнянь (1) щодо xi (i = 1, 2, 3, 4) методом виключення невідомих. Отримаємо, що

x 1 = x 4 – 30, x 2 = 80 – x 4 , x 3 = 70 – x 4 , (2)

а x 4 може бути визначено однозначно. Так як x i і 0 (i = 1, 2, 3, 4), то з рівнянь (2) випливає, що 30 x 4 x 70. Підставляючи вираз для x 1 , x 2 , x 3 у формулу для f, отримаємо

f = 148 - 0,2 x 4 .

Легко бачити, що мінімум цієї функції досягається за максимально можливого значення x 4 , тобто за x 4 = 70. Відповідні значення інших невідомих визначаються за формулами (2): x 1 = 40, x 2 = 10, x 3 = 0.

4) Завдання про радіоактивний розпад.

Нехай N(0) - вихідна кількість атомів радіоактивної речовини, а N(t) - кількість атомів, що не розпалися, в момент часу t. Експериментально встановлено, що швидкість зміни кількості цих атомів N"(t) пропорційна N(t), тобто N"(t)=-l N(t), l >0 - константа радіоактивності даної речовини. У шкільному курсі математичного аналізупоказано, що розв'язання цього диференціального рівняння має вигляд N(t) = N(0)e -l t. Час T, протягом якого число вихідних атомів зменшилося вдвічі, називається періодом напіврозпаду, і є важливою характеристикою радіоактивності речовини. Для визначення T треба покласти у формулі Наприклад, для радону l = 2,084 · 10 -6 і, отже, T = 3,15 діб.

5) Завдання про комівояжера.

Комівояжеру, що живе в місті A 1 , треба відвідати міста A 2 , A 3 і A 4 , причому кожне місто точно один раз, а потім повернутися назад в A 1 . Відомо, що всі міста попарно з'єднані між собою дорогами, причому довжини доріг b ij між містами A i і A j (i, j = 1, 2, 3, 4) такі:

b 12 = 30, b 14 = 20, b 23 = 50, b 24 = 40, b 13 = 70, b 34 = 60.

Треба визначити порядок відвідування міст, у якому довжина відповідного шляху мінімальна.

Зобразимо кожне місто крапкою на площині та позначимо її відповідною міткою Ai (i = 1, 2, 3, 4). Поєднаємо ці точки відрізками прямих: вони зображатимуть дороги між містами. Для кожної «дороги» зазначимо її протяжність за кілометри (рис. 2). Вийшов граф - математичний об'єкт, що складається з деякої множини точок на площині (званих вершинами) і деякої множини ліній, що з'єднують ці точки (званих ребрами). Більш того, цей граф мічений, тому що його вершинам і ребрам приписані деякі мітки – числа (ребрам) або символи (вершин). Циклом на графі називається послідовність вершин V 1 , V 2 , ..., V k , V 1 така, що вершини V 1 , ..., V k - різні, а будь-яка пара вершин V i , V i+1 (i = 1, ..., k - 1) і пара V 1, V k з'єднані рубом. Таким чином, завдання, що розглядається, полягає у відшуканні такого циклу на графі, що проходить через всі чотири вершини, для якого сума всіх ваг ребер мінімальна. Знайдемо перебором всі різні цикли, що проходять через чотири вершини і починаються в A1:

1) A 1, A 4, A 3, A 2, A 1;
2) A 1, A 3, A 2, A 4, A 1;
3) A 1 , A 3 , A 4 , A 2 , A 1 .

Знайдемо тепер довжини цих циклів (км): L 1 = 160, L 2 = 180, L 3 = 200. Отже, маршрут найменшої довжини - це перший.

Зауважимо, що якщо у графі n вершин і всі вершини попарно з'єднані між собою ребрами (такий граф називається повним), то число циклів, що проходять через усі вершини, дорівнює Отже, у нашому випадку є рівно три цикли.

6) Завдання про знаходження зв'язку між структурою та властивостями речовин.

Розглянемо кілька хімічних сполук, які називають нормальними алканами. Вони складаються з n атомів вуглецю та n + 2 атомів водню (n = 1, 2...), пов'язаних між собою так, як показано на малюнку 3 для n = 3. Нехай відомі експериментальні значення температур кипіння цих сполук:

y е (3) = - 42 °, y е (4) = 0 °, y е (5) = 28 °, y е (6) = 69 °.

Потрібно знайти наближену залежність між температурою кипіння і числом n цих сполук. Припустимо, що ця залежність має вигляд

y » a n + b,

де a, b - константи, що підлягають визначенню. Для знаходження aі b підставимо цю формулу послідовно n = 3, 4, 5, 6 і відповідні значення температур кипіння. Маємо:

– 42 » 3 a+ b, 0 » 4 a+ b, 28 » 5 a+ b, 69 » 6 a+ b.

Для визначення найкращих aта b існує багато різних методів. Скористаємося найпростішим із них. Виразимо b через aз цих рівнянь:

b» – 42 – 3 a, b » - 4 a, b » 28 - 5 a, b » 69 - 6 a.

Візьмемо як шукане b середнє арифметичне цих значень, тобто покладемо b » 16 – 4,5 a. Підставимо у вихідну систему рівнянь це значення b і, обчислюючи a, отримаємо для aнаступні значення: a» 37, a» 28, a» 28, a» 36. Візьмемо як шукане aсереднє значення цих чисел, тобто покладемо a» 34. Отже, шукане рівняння має вигляд

y » 34n - 139.

Перевіримо точність моделі на чотирьох вихідних сполуках, для чого обчислимо температури кипіння за отриманою формулою:

y р (3) = - 37 °, y р (4) = - 3 °, y р (5) = 31 °, y р (6) = 65 °.

Таким чином, помилка розрахунків даної властивості цих сполук не перевищує 5°. Використовуємо отримане рівняння для розрахунку температури кипіння з'єднання з n = 7, що не входить у вихідну множину, для чого підставимо в це рівняння n = 7: y р (7) = 99 °. Результат вийшов досить точний: відомо, що експериментальне значення температури кипіння y е (7) = 98 °.

7) Завдання визначення надійності електричної ланцюга.

Тут ми розглянемо приклад імовірнісної моделі. Спочатку наведемо деякі відомості з теорії ймовірностей – математичної дисципліни, яка вивчає закономірності випадкових явищ, що спостерігаються при багаторазовому повторенні досвіду. Назвемо випадковою подією A можливий результат певного досвіду. Події A 1 ..., A k утворюють повну групу, якщо в результаті досвіду обов'язково відбувається одна з них. Події називаються несумісними, якщо вони можуть статися одночасно у одному досвіді. Нехай за n-кратного повторення досвіду подія A відбулася m разів. Частотою події A називається число W = . Очевидно, що значення W не можна передбачити до проведення серії з n дослідів. Однак природа випадкових подій така, що на практиці іноді спостерігається наступний ефект: при збільшенні числа дослідів значення практично перестає бути випадковим і стабілізується біля деякого невипадкового числа P(A), що називається ймовірністю події A. Для неможливої ​​події (яка ніколи не відбувається у досвіді) P(A)=0, а для достовірної події (яка завжди відбувається у досвіді) P(A)=1. Якщо події A 1 ..., Ak утворюють повну групу несумісних подій, то P(A 1)+...+P(A k)=1.

Нехай, наприклад, досвід полягає в підкиданні гральної кістки і спостереженні числа очок X, що випали. Тоді можна ввести наступні випадкові події A i = (X = i), i = 1, ..., 6. Вони утворюють повну групу несумісних рівноймовірних подій, тому P(A i) = (i = 1, ..., 6).

Сумою подій A і B називається подія A + B, яка полягає в тому, що в досвіді відбувається хоча б одна з них. Добутком подій A і B називається подія AB, що полягає у одночасному появі цих подій. Для незалежних подій A та B вірні формули

P(AB) = P(A) P(B), P(A + B) = P(A) + P(B).

8) Розглянемо тепер таку завдання. Припустимо, що в електричний ланцюг послідовно включені три елементи, що працюють незалежно один від одного. Імовірності відмов 1-го, 2-го та 3-го елементів відповідно дорівнюють P 1 = 0,1, P 2 = 0,15, P 3 = 0,2. Вважатимемо ланцюг надійним, якщо ймовірність того, що в ланцюгу не буде струму, не більше 0,4. Потрібно визначити, чи цей ланцюг є надійним.

Так як елементи включені послідовно, то струму в ланцюзі не буде (подія A), якщо відмовить хоча б один із елементів. Нехай A i - подія, яка полягає в тому, що i-й елементпрацює (i = 1, 2, 3). Тоді P(A1) = 0,9, P(A2) = 0,85, P(A3) = 0,8. Очевидно, що A 1 A 2 A 3 - подія, що полягає в тому, що одночасно працюють всі три елементи, і

P(A 1 A 2 A 3) = P(A 1) P(A 2) P(A 3) = 0,612.

Тоді P(A) + P(A 1 A 2 A 3) = 1, тому P(A) = 0,388< 0,4. Следовательно, цепь является надежной.

На закінчення відзначимо, що наведені приклади математичних моделей (серед яких є функціональні та структурні, детерміністичні та ймовірнісні) носять ілюстративний характер і, очевидно, не вичерпують всієї різноманітності математичних моделей, що виникають у природничих та гуманітарних науках.

Уяви собі літак: крила, фюзеляж, хвостове оперення, все це разом - справжній величезний, неосяжний, цілий літак. А можна зробити модель літака, маленьку, але все як дійсно, ті ж крила і т.д., але компактний. Також і математична модель. Є текстове завдання, громіздке, на неї можна так подивитися, прочитати, але не зовсім зрозуміти, і вже тим більше не зрозуміло, як вирішувати її. А що, якщо зробити з великого словесного завдання її маленьку модель, математичну модель? Що означає математичну? Отже, використовуючи правила та закони математичного запису, переробити текст на логічно вірне уявлення за допомогою цифр та арифметичних знаків. Отже, математична модель – це уявлення реальної ситуації за допомогою математичної мови.

Почнемо з простого: Число більше від числа на. Нам потрібно записати це, не використовуючи слів, а лише мову математики. Якщо більше на, то виходить, що якщо ми з віднімемо, то залишиться та сама різниця цих чисел рівна. Тобто. або. Суть зрозумів?

Тепер складніше, зараз буде текст, який ти маєш спробувати подати у вигляді математичної моделі, поки не читай, як це зроблю я, спробуй сам! Є чотири числа: , і. Твір і більше твору та вдвічі.

Що вийшло?

У вигляді математичної моделі виглядатиме це так:

Тобто. твір відноситься до як два до одного, але це можна ще просити:

Ну гаразд, на простих прикладах ти зрозумів суть, я так гадаю. Переходимо до повноцінних завдань, у яких ці математичні моделі ще вирішувати треба! Ось завдання.

Математична модель на практиці

Завдання 1

Після дощу рівень води в колодязі може збільшитися. Хлопчик вимірює час падіння невеликих камінчиків у колодязь і розраховує відстань до води за формулою, де відстань у метрах, час падіння в секундах. До дощу час падіння камінців становив с. На скільки повинен піднятися рівень води після дощу, щоб час, що вимірюється, змінився на с? Відповідь висловіть у метрах.

О жах! Які формули, що за колодязь, що відбувається, що робити? Я прочитав твої думки? Розслабся, в завданнях цього типу умови бувають і страшніші, головне пам'ятати, що тебе в цьому завданні цікавлять формули та відносини між змінними, а що все це означає в більшості випадків не дуже важливо. Що ти тут бачиш корисного? Я особисто бачу. Принцип вирішення цих завдань наступний: береш усі відомі величини та підставляєш.АЛЕ, замислюватися іноді треба!

Наслідував мою першу пораду, і, підставивши всі відомі в рівняння, отримаємо:

Це я підставив час секунди і знайшов висоту, яку пролітав камінь до дощу. А тепер треба порахувати після дощу та знайти різницю!

Тепер прислухайся до другої поради і задумайся, у питанні уточнюється, «на скільки має піднятися рівень води після дощу, щоб час, що вимірюється, змінився на с». Відразу треба прикинути, тааак, після дощу рівень води підвищується, значить, час падіння каменю до рівня води менший і тут хитромудра фраза «щоб вимірюваний час змінився» набуває конкретного сенсу: час падіння не збільшується, а скорочується на вказані секунди. Це означає, що у разі кидка після дощу, нам просто потрібно з початкового часу відняти з, і отримаємо рівняння висоти, яку камінь пролетить після дощу:

Ну і нарешті, щоб знайти, на скільки повинен піднятися рівень води після дощу, щоб час, що вимірюється, змінилося на с., потрібно просто відняти з першої висоти падіння другу!

Отримаємо відповідь: на метри.

Як бачиш, нічого складного немає, головне, особливо не морочись, звідки таке незрозуміле і часом складне рівняння в умовах взялося і що все в ньому означає, повір на слово, більшість цих рівнянь взяті з фізики, а там нетрі глибше, ніж в алгебрі. Мені іноді здається, що ці завдання придумані, щоб залякати учня на ЄДІ безліччю складних формул і термінів, а найчастіше не вимагають майже ніяких знань. Просто уважно читай умову та підставляй відомі величини у формулу!

Ось ще завдання, вже не з фізики, а зі світу економічної теорії, хоча знань наук, крім математики, тут знову не потрібно.

Завдання 2

Залежність обсягу попиту (одиниць на місяць) продукції підприємства-монополіста від ціни (тис. крб.) задається формулою

Виручка підприємства протягом місяця (в тис. крб.) обчислюється за такою формулою. Визначте найбільшу ціну, коли він місячна виручка складе щонайменше тис. крб. Відповідь наведіть у тис. руб.

Вгадай, що зараз зроблю? Ага, почну підставляти те, що нам відомо, але, знову ж таки, трохи подумати все ж таки доведеться. Ходімо з кінця, нам треба знайти при якому. Так, є, рівно якомусь, знаходимо, чому ще одно це, а воно, так і запишемо. Як ти бачиш, я особливо не морочуся про сенс усіх цих величин, просто дивлюся з умов, що чому таке, так тобі чинити і потрібно. Повернемося до завдання, у тебе вже є, але як ти пам'ятаєш з одного рівняння з двома змінними жодну з них не знайти, що робити? Ага, у нас ще за умови залишилася невикористана частинка. Ось, вже два рівняння та дві змінні, значить, тепер обидві змінні можна знайти – чудово!

Таку систему вирішити зможеш?

Вирішуємо підстановкою, у нас вже виражена, отже, підставимо її на перше рівняння і спростимо.

Виходить таке квадратне рівняння: , вирішуємо, коріння ось такі, . У завданні потрібно знайти найбільшу ціну, за якої будуть дотримуватися всі умови, які ми врахували, коли систему становили. О, виявляється, це було ціною. Прикольно, отже, ми знайшли ціни: і. Найбільшу ціну, кажете? Окей, найбільша з них, очевидно, у відповідь і пишемо. Ну, як, складно? Думаю, ні, і вникати не треба особливо!

А ось тобі і жахлива фізика, а точніше ще одне завдання:

Завдання 3

Для визначення ефективної температури зірок використовують закон Стефана-Больцмана, згідно з яким, де потужність випромінювання зірки, постійна, площа поверхні зірки, а температура. Відомо, площа поверхні деякої зірки дорівнює, а потужність її випромінювання дорівнює Вт. Знайдіть температуру цієї зірки у градусах Кельвіна.

Звідки й зрозуміло? Так, за умови написано, що чому одно. Раніше я рекомендував усі невідомі відразу підставляти, але тут краще спершу висловити невідоме шукане. Дивись як все просто: є формула і в ній відомі, і (це грецька літера «сигма». Взагалі, фізики люблять грецькі літери, звикай). А невідома температура. Давай висловимо її у вигляді формули. Як це робити, сподіваюсь, знаєш? Такі завдання на ДПА у 9 класі зазвичай дають:

Тепер залишилося підставити числа замість букв у правій частині та спростити:

Ось і відповідь: градусів Кельвіна! А яке страшне було завдання, га!

Продовжуємо мучити завдання з фізики.

Завдання 4

Висота над землею підкинутого вгору м'яча змінюється згідно із законом, де — висота за метри, — час у секундах, що минув з моменту кидка. Скільки секунд м'яч перебуватиме на висоті не менше трьох метрів?

То були всі рівняння, а тут треба визначити, скільки м'яч знаходився на висоті не менше трьох метрів, це означає на висоті. Що ми складатимемо? Нерівність саме! У нас є функція, яка описує як летить м'яч, де - це якраз та сама висота в метрах, нам потрібна висота. Значить

А тепер просто вирішуєш нерівність, головне, не забудь поміняти знак нерівності з більш або одно на менше, або одно, коли множитимеш на обидві частини нерівності, щоб перед мінусом позбутися.

Ось таке коріння, будуємо інтервали для нерівності:

Нас цікавить проміжок, де знак мінус, оскільки нерівність набуває там негативних значень, це від обидва включно. А тепер включаємо мозок і ретельно думаємо: для нерівності ми застосовували рівняння, що описує політ м'яча, він так чи інакше летить параболем, тобто. він злітає, досягає піку і падає, як зрозуміти, скільки часу він перебуватиме на висоті не менше метрів? Ми виявили 2 переломні точки, тобто. момент, що він злітає вище метрів і момент, що він, падаючи, сягає цієї ж позначки, ці дві точки виражені ми як час, тобто. ми знаємо на якій секунді польоту він увійшов до зони, що цікавить нас (вище метрів) і в яку вийшов з неї (упав нижче позначки в метри). Скільки секунд він перебував у цій зоні? Логічно, що ми беремо час виходу із зони та віднімаємо з нього час входження до цієї зони. Відповідно: - стільки він знаходився в зоні вище за метри, це і є відповідь.

Так вже тобі пощастило, що найбільше прикладів з цієї теми можна взяти з розряду завдань з фізики, так що лови ще одне, вона заключна, так що напрягся, залишилося зовсім трохи!

Завдання 5

Для нагрівального елементадеякого приладу експериментально було отримано залежність температури від часу роботи:

Де - час у хвилинах, . Відомо, що при температурі нагрівального елемента прилад може зіпсуватися, тому його потрібно відключити. Знайдіть, через який час після початку роботи потрібно відключити прилад. Відповідь висловіть у хвилинах.

Діємо за налагодженою схемою, все, що дано, спершу виписуємо:

Тепер беремо формулу та прирівнюємо її до значення температури, до якої максимально можна нагріти прилад доки він не згорить, тобто:

Тепер підставляємо замість букв числа там, де вони відомі:

Як бачиш, температура під час роботи приладу описується квадратним рівнянням, отже, розподіляється по параболі, тобто. прилад нагрівається до якоїсь температури, а потім остигає. Ми отримали відповіді і, отже, при і при хвилинах нагрівання температура дорівнює критичній, але між і хвилинами - вона ще вища за граничну!

Отже, відключити прилад потрібно за хвилини.

МАТЕМАТИЧНІ МОДЕЛІ. КОРОТКО ПРО ГОЛОВНЕ

Найчастіше математичні моделі використовуються у фізиці: адже тобі напевно доводилося запам'ятовувати десятки фізичних формул. А формула – це і є математичне уявлення ситуації.

У ОДЕ та ЄДІ є завдання саме на цю тему. У ЄДІ (профільному) це завдання номер 11 (колишня B12). В ОДЕ – завдання номер 20.

Схема рішення очевидна:

1) З тексту умови необхідно «виокремити» корисну інформацію - те, що у завданнях з фізики ми пишемо під словом «Дано». Цією корисною інформацією є:

• Формула
• Відомі фізичні величини.

Тобто кожній літері з формули потрібно поставити у відповідність певне число.

2) Береш усі відомі величини та підставляєш у формулу. Невідома величина і залишається у вигляді букви. Тепер потрібно лише вирішити рівняння (зазвичай, досить просте), і відповідь готова.

Стати учнем YouClever,

Підготуватися до ОДЕ або ЄДІ з математики,

А також отримати доступ до підручника YouClever без обмежень.