Yakі methodi іsnuyut vyіshennya іvnyannya teploprovіdnostі. Tepelná vodivosť. matematický popis, súkromné problémy vedenia tepla. Riešenie algebraických rovníc Newtonovou metódou

ANALYTICKÉ METÓDY NA ZLEPŠENIE TEPELNEJ VODIVOSTI

V tejto hodine sa spievala analytická cesta veľké číslo jednorozmerné problémy vedenia tepla.

AV Likov sa napríklad zaoberá niektorými metódami zlepšenia vyrovnávania tepelnej vodivosti v mysliach jednorozmerného problému: metóda zmien rozdelenia, metóda dzherel, operačná metóda, metóda end-to-end integrálne transformácie.

Zvuk sme dali len pri prvom spôsobe, ktorý ubral najväčšiu šírku.

Spôsob delenia zmien s rozdielom tepelnej vodivosti

Je možné vidieť diferenciálne vyrovnanie tepelnej vodivosti v mysliach jednorozmerného problému a bez tepla

T/? F = a? 2t/? X 2. (3.1)

Hodnota vyrovnania je definovaná ako rozdiel rovnomerného diferenciálneho vyrovnania s konštantnými koeficientmi pre aktuálnu funkciu t v dvoch striedajúcich sa x a f:

Je ľahké nepochopiť, že súkromné riešenia, ktoré budú viraz

t = C exp (bx + WF). (3.3)

chytrý:

? T/? X \u003d bC exp (bx + WF);? t/? Ф = ВС exp (bx + WF);
? 2t/? X 2 \u003d b 2 Z exp (bx + WF);
? 2t/? F 2 \u003d v 2 Z exp (bx + WF);? 2t/ (a X? F) = BVS exp (bx + WF). (3.4)

Spіlne rozhodnutie zostávajúcich siedmich rovnakých dní

a 1 b 2 + b 1 bc + c 1 c 2 + d 1 b + l 1 c + f 1 = 0. (3.5)

Zvyšné rovné sa nazývajú rovné koeficienty.

Prechod na úroveň (3.1) nastavenie jogy na úroveň (3.2), robimo visnovok, sho

b 1 \u003d c 1 \u003d d 1 \u003d f 1 \u003d 0; a1 = - a; l 1 = 1. (3,6)

Vyrovnanie koeficientov (3.5) pre okremy vypadku ekvivalencie (3.1) vyzera takto

B2a + c = 0 (3,7)

c = b2a. (3,8)

Takto bude súkromné riešenie (3.3) a integrál diferenciálnej rovnice (3.1) a rovníc (3.8) vyzerať

t = Cexp (b2AF + bx). (3.9)

U koho je možné nastaviť hodnotu čísel pre C, b, a.

Viraz (3.9) možno vidieť v očiach Stvoriteľa

t = C exp (b 2 AF) exp (bx), (3,10)

de sp_multiplier exp (b 2 AF) je funkcia na viac ako hodinu f a sp_multiplier exp (bx) - iba niekoľkokrát x:

exp (b2AF) = f (f); exp (bx) = q (x). (3.11)

Počas viacerých hodín sa teplota vo všetkých bodoch neustále zvyšuje a môže byť viac vopred určená, čo nie je praktické pri praktických úlohách. Preto je lepšie vziať takú hodnotu b, pre ktorú je b 2 záporné, čo je možné s čisto zdanlivou hodnotou. prijateľné

b = ± iq, (3,12)

de q - celkom moderné číslo (predtým symbol q označoval škôlku termálneho potika),

Čí myseľ sa rovná (3.10), keď vyzerám takto:

t \u003d C exp (- q 2 AF) exp (± iqx). (3.13)

Zhrnutie k poprednej Eulerovej receptúre

exp (± ix) = cos x ± i sin x (3,14)

a keďže je s ním korozívny, môžeme ho vyrovnať (3.13). Berieme dve riešenia v komplexnom pohľade:

Subsumovuєmo ľavej a pravej časti rieky (3,15), potom v závislosti od zjavných častí v ľavej a pravej časti súčtu a rovnať ich vіdpovіdno. Potom prijmeme dve rozhodnutia:

Predstavme si notáciu:

(Ci + C2)/2 = D; (C1 - C2) / 2 = C (3,17)

Potom zoberieme dve riešenia, aby sme uspokojili rozdiely vo vedení tepla (3.1):

t 1 \u003d D exp (- q 2 AF) cos (qx); t 2 \u003d C exp (- q 2 AF) sin (qx). (3,18)

Zdá sa, že ak funkcia môže mať dve súkromné riešenia, potom sa súčet týchto súkromných riešení uspokojí s vonkajšou diferenciálnou rovnicou (3.1), t.j. riešenia tejto rovnice budú

t \u003d C exp (- q 2 AF) sin (qx) + D exp (- q 2 AF) cos (qx), (3,19)

a divokejšie rozhodnutie, ako keby ste uspokojili svojich rovných, možno napísať urážlivým pohľadom:

Či budú alebo nebudú hodnoty q m, q n, C i, D i v rovnici (3.20) splnené s rovnicou (3.1). Konkretizácia výberu hodnôt tsikh bude pridelená klasom a hraničným mysliam pokožky súkromná praktická úloha, navyše hodnoty qm і qn sú priradené hraničným mysliam a C i, і D i , - z klasu.

Zločin globálneho rozhodnutia o vyrovnaní tepelnej vodivosti (3.20), v tomto prípade existujú dve funkcie:

Urážlivé riešenia sa uspokoja s vyrovnaním tepelnej vodivosti, v ktorom sa dá ľahko zmiasť diferenciáciou x na klase f a potom 2-krát x a prezentáciou výsledku v diferenciálnom vyrovnaní (3.1).

Súkromný zadok nestacionárneho teplotného poľa v stanici

Poďme sa pozrieť na zadok zastosuvannya otrimanogo riešenie.

Pochatkovove údaje.

1. Vzhľadom na betónovú stenu tovshchina 2X = 0,80 m.
2. Teplota povrchovej steny stredu i = 0 ° С.
3. V momente klasu je teplota steny v bodoch F (x) = 1 °C.
4. Súčiniteľ prestupu tepla steny b = 12,6 W / (m 2 ° C); súčiniteľ tepelnej vodivosti steny l = 0,7 W / (m ° C); hrúbka materiálu steny h = 2000kg / m 3; tepelná kapacita domáceho maznáčika c \u003d 1,13 10 3 J / (kg ° C); súčiniteľ teplotnej vodivosti a = 1,1 10 -3 m 2 / rok; vydnosny koeficient prestupu tepla b/l = h = 18,0 1/m.

Riešenie. Zrolovať do ospalého roztoku (3,20) a rýsovať sa na vazі, sho pochatkova a nástup vzrástol pod teplotou symetricky k osi steny, robimo visnovok, sho množstvo dutín v tsomu sylnogo vypіshenі vіdpadє, a na x \ u003d X bude vyzerať

Hodnoty priradené z hraničných myslí (tu bez ďalšieho vysvetlenia) sú uvedené v tabuľke 3.1.

Mayuchi v poradí hodnôt z tabuľky 3.1, je známe, že za vzorcom je rad hodnôt

Tabuľka 3.1 Hodnoty funkcií, ktoré sú zahrnuté vo vzorci (3.24)


	0,982 0,189	--0,862 --0,507	0,713 0,701	10,03 --0,572 --0,820	13,08 0,488 0,874

t.j. D1 = 1,250; D2 = -0,373; D3 = 0,188; D4 = - 0,109; D5 = 0,072.

Cob rozpodіl teplotu v danіy stіntsі prísť takto:

Aby bolo možné merať teplotu rozmarínovej ruže po 5 rokoch od okamihu púčika, je potrebné vypočítať množstvo hodnôt za hodinu po 5 hodinách.

Tabuľka 3.2 Hodnoty funkcií, ktoré sú zahrnuté vo vzorci (3.23)


A = (q ni X) 2 (AF / X 2)

Reziduálny viraz pre rozpodіlu teplotu v stenách po 5 rokoch po klase moment

Obrázok 3.1 ukazuje rozloženie teploty v stene v momente klasu po jednej hodine a po 5 hodinách.

Obr.3.1.

Keď virishenny praktické zavdan zvuk nie je potrebné uvádzať teplotu v bodoch steny. Je možné sa obklopiť stúpačom teploty len pre jeden bod, napríklad pre bod v strede steny. Pre každý moment sa výrazne zrýchli výpočet počtu robotov pre vzorec (3.23).

Aj keď teplota v otvorenej diere v údolí nie je 1 ° C, ale T s, potom sa rovná (3,20) v budúcnosti uvidím

Riešenie vyrovnania tepelnej vodivosti s rôznymi hraničnými zvodmi

Nerobme konečné rozhodnutie o úrovni tepelnej vodivosti s inými hraničnými myšlienkami, pretože to môže mať praktický význam pre vrchol denných úloh. Nižšie je menej pravdepodobné, že sa budeme miešať s vzorcami ich myslí s ukážkou očividných hotových riešení.

Pochatkovove údaje. Stena Prvý máj 2 X. V momente púčika vo všetkých її bodoch na povrchu je teplota Tc Teplota na povrchu je 0 °C, znižuje sa predlžovaním obdobia hnitia.

Je potrebné poznať t = f (x, f).

Povodie Unruhome plakalo pri teplote najväčšej hĺbky vody (Tz = 4 °C). Hĺbka nádrže je 5 m (Х = 5 m). Razrahuvat teplotu vody v povodí po 3 mesiacoch po zamrznutí. Tepelná difúznosť nedeštruktívnej vody a = 4,8 10 -4 m 2 / rok. Tepelný tok na dne, t.j. pri x = 0, za deň.

Počas obdobia napínania (f \u003d 3 30 24 \u003d 2160 h) sa teplota na povrchu zníži na konštantnú a rovná sa nule, t.j. pri x \u003d X T p \u003d 0 ° C. 3 a 4. Čísla v tabuľke vám umožňujú vypočítať hodnoty teploty po 3 mesiacoch po momente klasu pre glybíny na dne a potom vyššie po 1 m, t.j. T 0 (dole) \u003d 4 ° С; t 1 \u003d 4 ° С; t2 \u003d 3,85 ° C; t 3 \u003d 3,30 ° C; t 4 \u003d 2,96 ° C; t 5 (pov) \u003d 0 ° C.

Tabuľka 3.3

Tabuľka 3.4

Ako bachimo, v absolútne neposlušnej vode môžu teplotné návaly búrok ľahko preniknúť do stredu. V prirodzených mysliach, v blízkosti vodných tokov, pod zakrivenou krivkou sú vždy úniky, buď gravitačné (tečúce), alebo konvekčné (rôzna hustota), alebo, nareshti, vyklikanі nadhodzhennyam podzemnej vody. Praktické ruže by sa mali starať o všetky rôzne významy prírodných prvkov a odporúčania pre tieto ruže nájdete v príručkách a v dielach K.I. Rossinského.

Telo je oplotené z jednej strany (napіvploshchina). V okamihu času f = 0 je vo všetkých bodoch teplota telesa dobrá T s. Vo všetkých okamihoch hodiny f> 0 na povrchu tela sa udržiava teplota T p \u003d 0 ° C.

Je potrebné poznať zvýšenie teploty v tele tela a stratu tepla voľný povrch ako funkcia hodiny: t = f (x, f),

Riešenie. Teplota v ktoromkoľvek bode tela a v určitom okamihu

de є Gaussov integrál. Rovnaká hodnota úhora ako funkcia údajov v tabuľke 3.5.

Tabuľka 3.5

Prakticky je rozhodnutie založené na označení modrej, v ktorej sú úlohy x a f v mysli úlohy.

Množstvo tepla, ktoré minie jeden povrch tela v strede tela, je dané Fourovým zákonom. Za celé rozrachunkové obdobie od klasu po rozrachunk

Na začiatku hodiny bola teplota pôdy od povrchu do značnej hĺbky konštantná a rovná sa 6 °C. V tom momente teplota na povrchu pôdy klesla na 0 °C.

Je potrebné určiť teplotu pôdy v hĺbke 0,5 m za 48 rokov s hodnotou súčiniteľa teplotnej vodivosti pôdy a = 0,001 m 2 / rok a tiež odhadnúť množstvo tepla, ktoré sa spotrebuje na povrch za hodinu.

Podľa vzorca (3.29) je teplota pôdy v hĺbke 0,5 m za 48 rokov t = 6 0,87 = 5,2 ° C.

Celkové množstvo tepla vynaloženého jednou jednotkou na povrch pôdy, s koeficientom tepelnej vodivosti l \u003d 0,35 W / (m ° C), spotrebovaná tepelná kapacita c \u003d 0,83 10 3 J / (kg ° C ) a hrúbka h \u003d 1500 kg / m 3 je významná podľa vzorca (3.30) Q \u003d l, 86 10 6 J / m 2.

integrálna tepelná vodivosť telesného tepla

obr.3.2

V dôsledku takéhoto studeného prítoku je známe, že teplota povrchu telesa, lemovaného z jednej strany (odkvapkávacia plocha), sa periodicky blíži k nule. Zoberme si, že cvrlikanie je harmonické, t.j. povrchová teplota sa mení pozdĺž kosínusovej krivky:

de - trivalita kolivánie (obdobie), T 0 - povrchová teplota,

T 0 max - її maximálne vetranie,.

Teplotné pole je potrebné určiť ako funkciu hodiny.

Amplitúda kolísania teploty sa mení od x podľa postupujúceho zákona (obr. 3.2):

K úlohe č. 3. Zmena teploty na povrchu suchej potravinovej pôdy je charakterizovaná kosínusovým priebehom. Priemerná teplota rieky pri priemernej teplote je 6°C, s maximálnym vetraním v strednom prítoku a zimnom období, ktoré dosahuje 24°C.

Ak je teplota na povrchu 30 °C (inteligentne 1/VII), je potrebné v súčasnosti určiť teplotu pôdy v hĺbke 1 m.

Viraz kosínusová krivka (3,31) sto percent do tohto bodu (povrchová teplota) pri T 0 max \u003d 24 0 C v budúcnosti uvidíme

T 0 \u003d 24 cos (2rf / 8760) + 6.

Pozriem sa na tie, ktoré na povrchu pôdy môžu mať priemernú teplotu 6 ° C, a nie nulu, ako v rovnakej (3,32), rozrahunkovej sa rovná, pozriem sa útočne:

Po prijatí koeficientu teplotnej vodivosti pre pôdu a = 0,001 m 2 / rok a umiestnení na váze je potrebné, aby myseľ úlohy určila teplotu na konci obdobia hnitia (po 8760 rokoch od klasu moment), vieme

Rozrakhunkova viraz (3.34) by mala vyzerať takto: t \u003d 24E -0,6 0,825 + 6 \u003d 16,9 ° C.

V rovnakej hĺbke 1 m je maximálna amplitúda kolísania teploty rieky, výrazne až po úroveň (3,33),

T 1 max \u003d 24E -0,6 \u003d 13,2 °C,

a maximálna teplota v hĺbke 1 m

t 1 max \u003d T x max + 6 \u003d 13,2 + 6 \u003d 19,2 ° C.

Na záver je príznačné, že na zavdannya a nadchádzajúce dni sa dá pozrieť obrad jedla spojený s prepustením teplá voda v blízkosti vody, ako aj s chemickou metódou stanovenia vitrati vody a v iných výkyvoch.

Rivnyannya tepelná vodivosť pre nestacionárne vipadku

nestacionárne, Ak je teplota tela ležať, ako v polohe bodu, tak v hodine.

zmysluplne cez і = і(M, t) Teplota v bodoch M homogénne teleso, obklopené povrchom S, V momente hodiny t. Zdá sa, že množstvo tepla dQ, Čo sa dá nazbierať za hodinu dt, Ukazuje žiarlivosť

de dS- povrchový prvok, k- súčiniteľ vnútornej tepelnej vodivosti, - podobné funkcie і na priamke s priamou normálou k povrchu S. Takže expandovať priamo do znižovania teploty, potom dQ> 0, ak > 0, t.j dQ < 0, если < 0.

R_vnostі (1) vyplivaє

teraz vieme Q v inom zmysle. viditeľný prvok dV nadávať V, lemovaný povrchom S. množstvo tepla dQ, ktorú drží živel dV za hodinu dt, Úmerné zvýšeniu teploty v samotnom prvku a hmotnosti prvku samotného, tobto

de schіlnіst reč, koeficient proporcie, rady tepelnej kapacity reči.

Ďalej Equity (2).

takýmto spôsobom,

de. Obzerám sa, čo =,, odniesť

Výmena pravej časti žiarlivosti za dodatočný vzorec Ostrogradského - Grin, berieme

za akúkoľvek povinnosť V. Zvіdsi otrimuєmo diferenciálna parita

yake meno rovná tepelnej vodivosti pre nestacionárnu prchavosť.

Yakshcho telo a strih, narovnávanie pozdĺž osi Oh, Môže vyzerať rovnaká tepelná vodivosť

Pozrime sa na Cauchyho problém pre takéto správanie.

1. Vipadok neoploteného rýchlika. Poznať riešenie platby (3) ( t> 0,) na uspokojenie klasovej mysle. Vykoristovuyuchi metóda Four'є, otrimaєmo rozhodnutie na dohľad

- Poissonov integrál.

2. vipadok strih, lemované z jednej strany. Riešenia (3) na uspokojenie mysle klasu a mysle hrany sú vyjadrené vzorcom

3. vipadok strih, oplotený z dvoch strán. Zavdannya Koshі polagaє, schob at X= 0 і X = l vedieť riešenie rovné (3), čím potešiť klasu myseľ a dve regionálne mysle, napríklad inak.

Takto sa v súkromí motalo riešenie v rade

pre okrajové mysle,

a pri pohľade na rad

pre okrajové mysle.

zadok. Poznať riešenie

uspokojuje klasy

a regionálne mysle.

□ Riešenie problému

takýmto spôsobom,

Vyrovnanie tepelnej vodivosti pre stacionárny prieduch

Rozpodіl teplo v tіl_ meno stacionárne, ako aj telesnú teplotu і ležať v polohe bodu M(X, pri, z), Ale neležte v hodine t, Tobto

і = і(M) = і(X, pri, z).

V tomto sklone je obrátená 0 a rovnaká tepelná vodivosť pre stacionárny sklon Rivnyannia Laplace

yake často zapisujú pri pohľade.

vzlykanie teplota і v teplote to zacalo jednoznacne od tej istej urovne, treba vediet teplotu na povrchu S telo. V takomto poradí je pre rovného (1) krajská úloha formulovaná postupujúcim.

poznať funkciu і, S čím ste spokojný (1) v strede obyagu V a beriem to na kozny bod M povrch S nastavená hodnota

Úloha sa volá riaditeľom Dirichletu alebo Prvý oblastný vedúci na zarovnanie (1).

Hoci na povrchu tela je teplota neznáma a v kožnom bode na povrchu existuje tepelný tok, ktorý je úmerný, potom na povrchu S zástupkyňa regionálnej mysle (2) bude matkou mysle

Manažér poznania rozhodnutia je rovný (1), čo uspokojuje regionálne mysle (3), je tzv režisérom Neimana alebo iného regionálneho správcu.

Pre ploché postavy je Laplaceova ekvivalencia zaznamenaná na vizuáli

Rovnaký vzhľad môže byť Laplaceov a pre priestor, ako і neležte v súradniciach z, Tobto і(M) Udržiavanie konštantnej hodnoty pri pohybe bodu M v priamke rovnobežná os Oz.

Zmena, vyrovnanie (4) je možné previesť na polárne súradnice

Od rovnakých ako Laplace je chápanie harmonickej funkcie viazané. funkcia sa volá harmónia v regióne D, Rovnako ako v tomto regióne, je nemenný súčasne so svojimi potomkami do iného poriadku, vrátane, a spokojný s Laplaceom.

zadok. Poznať stacionárne rozloženie teploty v tenkom šmyku s tepelne izolovaným bichnoy povrchom, ako na koncoch tyče.

□ Môže ísť o jednosmerný pád. Treba poznať funkciu і, ktorý uspokojuje žiarlivcov a regionálne mysle,. Zagalne ryvnyannya menovaný ryvnyannya môže vyzerať. Pozerám na okraj mysle, beriem to preč

Týmto spôsobom som rozpodil teplotu v tenkom šmyku s tepelne izolovaným bichnoy povrchom lineárne. ■

Dirichlet manažér pre podiel

No tak, vzhľadom na polomer R centrovaný na žrď Pro polárny súradnicový systém. Vyžaduje sa poznať funkciu, harmóniu v množstve a spokojnosť na jogovom kruhu mysle, de - funkcia je nastavená, Po obvode neprerušovaná. Funkcia Shukana je vinná zadosťučinením v prípade Laplaceovho rovného

Vikoristovuyuchi metóda Four'є, môžete si vziať

- Poissonov integrál.

zadok. Poznať stacionárne rozloženie teploty na rovnomernej tenkej okrúhlej doske s polomerom R, Horná polovica je orezaná pri teplote a spodná polovica pri teplote.

□ Yakscho teda, ale yakscho potom. Rozloženie teploty je vyjadrené integrálom

Nechajte bod umiestnený v hornej pіvkolі, tobto; potom zmeňte smer na a tento interval neminie pointu. K tomu zavedieme substitúciu, hviezdičky,. tiež prevzaté

Takže pravá časť je negatívna і keď je spokojný s nervozitou. Pre akú situáciu je potrebné riešenie

Bod je uložený v dolnom riadku, tobto, Potom zmeňte interval, aby ste nahradili bod, ale nie na pomstu 0, a môžete pridať náhradu, hviezdičky,, Todi pre tieto hodnoty môže

Provіvshi podobnú transformáciu, vieme

Pretože pravá časť je teraz pozitívna. ■

Metóda koncových rozdielov pre rozdelenie tepelnej vodivosti

Nech je potrebné poznať riešenie

spokojný:

klasová myseľ

a regionálne mysle

Tiež je potrebné poznať riešenie rovnosti (1), ktoré uspokojí mysle (2), (3), (4), potom je potrebné poznať riešenie v obdĺžniku, obklopenom rovnými čiarami,,, , ako aj nastavenie hodnoty náhodnej funkcie na troch stranách,,.

Urobíme rovnú mriežku, ja ju urobím rovnú

- krok uzdovzh os Oh;

- krok uzdovzh os Od.

Predstavme si notáciu:

Je možné zapísať

podobne

Pri spätnom pohľade na vzorce (6), (7) a uvedení hodnoty zapíšeme rovnú (1) na pohľad

Zvіdsi otrimaєmo Rosrakhunov vzorec

Z (8) je zrejmé, že stále vykazuje tri hodnoty až do k-tá guľa mriežky:,,, potom môžete vypočítať hodnotu v ( k+ 1) -mu lopta.

Pochatkova umova (2) umožňuje poznať všetky významy na priamke; regionálne mysle (3), (4) vám umožňujú poznať hodnoty na priamych čiarach, t. Pre vzorec (8) poznáme hodnotu všetkých vnútorných bodov postupujúcej gule, teda pre k= 1. Hodnota funkcie vyhľadávania v extrémnych bodoch je za hranicou mysle (3), (4). Pri prechode z jednej gule mriežky do ďalšej je význam nesprávneho rozhodnutia vo všetkých uzloch mriežky významný. ;

tepelná vodivosť- je to jeden z typov prenosu tepla. Prenos tepla sa môže uskutočniť pomocou rôznych mechanizmov.

Všetky telesá rozvibrujú elektromagnetické vlny. Pri izbovej teplote je teplota hlavne v infračervenom rozsahu. tak to vyzera promenistium výmena tepla.

S prítomnosťou gravitačného poľa môže slúžiť jeden mechanizmus prenosu tepla v tekutých médiách konvekcia. Až po sudcu, na pomstu domoviny alebo plynu, sa teplo privádza dnu, spodné partie prejavu sa zohrievajú v peršskom čiernom, mení sa ich hrúbka, smrad splýva do kopca a vyžaruje časť odneseného. teplo horných guľôčok.

Pri tepelnej vodivosti je ovplyvnený prenos energie v dôsledku priameho prenosu energie na častice (molekuly, atómy, elektróny), ktoré nesú viac energie, častice s menšou energiou.

Na našom kurze bude uvažovaný prenos tepla dráhou vedenia tepla.

Môžeme sa pozrieť na zadnú stranu pádu jedného sveta, ak je teplota iba v rovnakých súradniciach X. Nech sú obe stredy oddelené plochou prepážkou súdruha l(obr. 23.1). teploty jadra T 1 i T 2 sú podporované rýchlymi. S dodatočnou cestou môžete nainštalovať koľko tepla Q, Prenáša sa cez priečku priečky s rovnou plochou S za hodinu t jeden

, (23.1)

de koeficient úmernosti k ležať v materiáli steny.

pri T 1 > T 2 teplo sa prenáša v kladnom smere osi X, o T 1 < T 2 - v zápore. Teplo môžete priamo rozšíriť, ako v rovnakom (23.1) nahradiť ( T 1 - T 2)/l na (- dT/dx). Pokhіdna v tom istom svete dT/dx je on sám teplotný gradient. Predpokladajme, že gradient je vektor, ktorý priamo sleduje najväčší možný nárast skalárnej funkcie súradníc (v našom prípade T), A modul prispieva k rastu funkcie malým posunom správnym smerom k vzdialenosti, na ktorú bolo zvýšenie vykonané.

Aby sme opísali prenos tepla, okázalejší a univerzálnejší pohľad, pozrime sa na tepelný tok j - množstvo tepla, ktoré sa prenesie cez jednu oblasť za jednu hodinu

Môžete si zapísať rovnaký čas (23.1) pri pohľade

Tu znamienko „mínus“ odráža skutočnosť, že tepelný tok je priamo opačný k teplotnému gradientu (priamo rastie). V tomto poradí je šírka tepelného toku vektorovou veličinou. Vektor šírky tepelného toku rovnačiek v oblasti zmeny teploty.

Ak je teplota média uložená v daných troch súradniciach, potom je sp_v_dnoshennia (23.3) na očiach.

de , - teplotný gradient ( e 1 ,e 2 ,e 3 - jednotkový vektor súradnicových osí).

Špirály (23.3) a (23.4) sú základným zákonom vedenia tepla (Štyri zákon): Šírka tepelného toku je úmerná teplotnému spádu. Koeficient úmernosti k sa nazýva súčiniteľ tepelnej vodivosti(Abo len vedenie tepla). Oskіlki razmіrnіst shіlnostі tepelný tok [ j] = J / (m 2 s) a teplotný gradient [ dT/dx] \u003d K / m, potom rozšírenie koeficientu tepelnej vodivosti [k] \u003d J / (m × s × K).

V spálenej doline je teplota rôzne body nerovnomerne vyhrotená reč sa časom mení. Môžeme sa pozerať na pád jedného sveta, ak je teplota len v rovnakých priestorových súradniciach X ja hodina t, beriem vyrovnanie tepelnej vodivosti- diferenciál sa rovná, čo poteší funkciu T = T(X,t).

Zdá sa, že uprostred malého prvku objemu vo vzhľade valca alebo hranola sú myšlienky, ktoré vytvárajú nejakú paralelnú os X, A predstavte si kolmicu (obrázok 23.2). Oblasť substrátu S, Výška dx. Masa tsogo obyagu dm= r sdx, A joga tepelná kapacita c×dm de r - chіlnіst prejav, h- tepelná kapacita domácich zvierat. Nechajte to ísť na malý časový interval dt teplota v tej miestnosti sa zmenila na dT. Pre túto reč, v obsyasi, je potrebné odobrať množstvo tepla, ako spôsob, ako zvýšiť množstvo tepelnej kapacity na zmenu teploty: . 3. strana, d Q možno pripojiť iba cez základne valca: (šírka tepelných tokov j môžu byť pozitívne aj negatívne). Zhoda Virazi pre d Q, prevzaté

Výmena modrej malých zbіlshen vіdpovіdnymi pokhіdnymi, prídeme na spіvvіdnoshlennya

. (23.5)

Nahradením šírky tepelného toku vo vzorci (23.5) viráz (23.3)

. (23.6)

Otriman rovný sa nazýva rovná tepelnej vodivosti. Keďže stred je homogénny a tepelná vodivosť k neklesá vplyvom teploty, vzniká rovnomernosť

, (23.7)

volala de postiyna teplotný koeficient vodivosti stredná.

Rovnako (23,6) - (23,8) spokojný s neosobnými funkciami T = T(X,t).

Aby sme videli jediné riešenie, je potrebná rovnaká tepelná vodivosť na vyrovnanie príchodu klasov a hraničných myslí.

Pochatkova umova polygaє v zavdanni raspodіlu teplote v strede T(X, 0) na prvej hodine t = 0.

Hraničná myseľ môže byť z hľadiska úhora rôzne v závislosti od teplotného režimu na kordónoch. Situácie sa najčastejšie zhoršujú, ak je na kordónoch nastavená teplota alebo tepelný tok v závislosti od hodiny.

V mnohých náladách sa uprostred môže objaviť teplo. Teplo je možné vidieť ako dôsledok prechodu elektrického prúdu, chemického resp jadrové reakcie. Prítomnosť zdrojov tepla môže byť kompenzovaná zavedením celkového energetického výkonu q(X,r,z), Aké je najhojnejšie množstvo tepla, ktoré vidí dzherel v jednom objeme média za jednu hodinu. Ktorým smerom v pravej časti rieky (23.5) sa objaví dodanok q:

Mechanika sukulentných médií

sucile streda

Div. tiež: Portál: Fyzika

rovnaká difúzia je akýmsi rozdielovým vyrovnávaním na súkromných dovolenkách. Staňte sa nestacionárnym a stacionárnym.

V zmysle interpretácie v prípade dokonalosti rovnaká difúzia Mova ide o význam ladu koncentrácie reči (alebo iných predmetov) z hľadiska priestorových súradníc a hodín a úlohami sú koeficient (v hlbokom údolí je uložený aj v priestorových súradniciach a hodinách), ktorý charakterizuje prienik média pre difúziu. pri čerešni vyrovnanie tepelnej vodivosti Mova Ide o význame poklesu teploty a teploty stredu v priestorových súradniciach a hodine, navyše sa nastavuje tepelná kapacita a tepelná vodivosť stredu (aj vo voľnej prírode v heterogénnom režime).

Fyzicky, týmto a iným spôsobom, existuje veľa alebo žiadne makroskopické toky reči. Taký je fyzický rámec stability týchto riek. TAGOR, ISSOVED OPERLY OERSIONNER IN MONEZHERS, NІZH DIFZIA IBLOVA), RІVNYANNYY DIFUZIE IBLANDE), R_VNENNYA Difzії і TEPLOPRODNOSTІ V opaľovaní nepopisujte štatistické kolísanie pred tým, než sa spracúvajú údaje o návštevnosti, sú korelácie na oknách, rovnaké (a skvelé) s oknami, prechádzajúci zvuk (alebo častice podporujúce médium s ich charakteristickými fluktuáciami) v danom strede počas jednej hodiny.

Tse v perevazhnіy chastinі vipadkіv vіdrazu Well oznachaє som tie scho rіvnyannya difuzії aj teploprovіdnostі na oblastі zastosovnostі dalekі od tichej oblasti, de stayut іstotnimi kvantovі Efekta abo kіntsіvku shvidkostі Svitla, tobto v perevazhnіy chastinі vipadkіv nie je tіlki pre svoїm Višňovkou a druhú printsipovo, obmezhuyutsya oblasti klasická newtonovská fyzika.

V prípade difúzie alebo tepelnej vodivosti v krajinách a plynoch, ktoré sa v Rusku prekupujú, sa nahradenie rovnakej difúzie rovná prenosu, ktorý rozširuje rovnakú difúziu v tomto smere, ak je to neprijateľné pri makroskopickom pohybe.

Najbližším formálnym a na prečo a zmistovnym bohatým analógom Schrödingerovej rovnej difúzie a vyrovnania Schrödingera, čo je vyrovnanie difúzie multiplikátorom, je osamelosť pred mŕtvymi na hodinu. Existuje množstvo viet o Schrödingerovom riešení a podobných formálnych záznamov tohto riešenia priamo analogických s vetami o riešení difúznych a jogových riešení, sú však zreteľne odlišné.

Zagalny pohľad

Rіvnyannya zazvієtsya zapiєєtsya tak:

∂ φ (r, t) ∂ t = ∇ ⋅ [D (φ, r) ∇ φ (r, t)], (\displaystyle (\frac (\partial \varphi (\mathbf (r), t)) ( \partial t)) = \nabla \cdot (\big [) D (\varphi, \mathbf (r)) \ \nabla \varphi (\mathbf (r), t) (\big]),)

de φ ( r, t) - šírka rozptyľujúcej sa reči v bode r som pid hodinu tі D(φ, r) - určený koeficient difúzie pre šírku φ v bode r; ∇ je operátor Nabla. Ako koeficient difúzie je uloženie z hľadiska hrúbky nelineárne, v inom smere - lineárne.

yakscho D- symetrický kladne singový operátor, ktorý sa rovná opisu anizotropnej difúzie:

∂ φ (r, t) ∂ t = Σ i = 1 3 Σ j = 1 3 ∂ ∂ x i [D i j (φ, r) ∂ φ (r, t) ∂ x j]. (\displaystyle (\frac (\čiastočné \varphi (\mathbf(r),t)) (\čiastočné t))=\súčet _(i=1)^(3)\súčet _(j=1)^( 3) (\frac(\čiastočné)(\čiastočné x_(i)))\vľavo.)

yakscho D postiyne, potom sa rovnica redukuje na lineárnu diferenciálnu rovnicu:

∂ φ (r, t) ∂ t = D ∇ 2 φ (r, t), (\displaystyle (\frac (\partial \phi (\mathbf (r), t)) (\partial t)) = D\ nabla ^(2)\phi(\mathbf(r),t),)

História výletu

nestacionárne vyrovnávanie

nestacionárne rovnaká difúzia je klasifikovaná ako parabolický diferenciálneho vyrovnania. Opisuje rozšírenie variácií reči v dôsledku difúzie alebo opätovné určenie teploty tela v dôsledku tepelnej vodivosti.

Odnovirna Vipadok

V prípade jednorozmerného difúzneho procesu s difúznym koeficientom (tepelná vodivosť) D(\displaystyle D) rovný môže vyzerať:

∂ ∂ t c (x, t) = ∂ ∂ x D ∂ ∂ x c (x, t) + f (x, t). (\displaystyle (\frac (\čiastočné) (\čiastočné t)) c (x, \; t) = (\frac (\čiastočné) (\čiastočné x)) D (\frac (\čiastočné) (\čiastočné x )) (c (x, \; t)) + f (x, \; t).)

s rýchlym D(\displaystyle D) nech vyzeráš:

∂ ∂ tc (x, t) = D ∂ 2 ∂ x 2 c (x, t) + f (x, t), (\displaystyle (\frac (\čiastočné) (\čiastočné t)) c (x, \ ; t) = D (\frac (\čiastočné ^ (2)) (\čiastočné x ^ (2))) (c (x, \; t)) + f (x, \; t),)

de c(x, t)(\displaystyle c(x,\;t))- koncentrácia difúznej reči, a f(x, t)(\displaystyle f(x,\;t))- funkcia, ktorá opisuje jadro reči (teplo).

trivimirny vipadok

V trivi-svetskej nálade, rovný vyzerá takto:

∂ ∂ tc (r →, t) = (∇, D ∇ c (r →, t)) + f (r →, t), (\displaystyle (\frac (\partial) (\partial t)) c ( (\vec(r)),\;t) = (\nabla,\;D\nabla c((\vec(r)),\;t)) + f((\vec(r)),\; t))

de ∇ = (∂ x, ∂ y, ∂ z) (\displaystyle \nabla = (\čiastočné _(x),\;\čiastočné _(y),\;\čiastočné _(z))) je operátor Nabla a (,)(\displaystyle (\;\;))- skalárne krútiť. Dá sa napísať aj ako

∂ t c = d i v (D g r a d c) + f, (\displaystyle \partial _(t)c=\mathbf(div)\,(D\,\mathbf(grad)\,c)+f,)

a so stálym D(\displaystyle D) nech vyzeráš:

∂ ∂ tc (r →, t) = D Δ c (r →, t) + f (r →, t), (\displaystyle (\frac (\partial) (\partial t)) c ((\vec ( r)), \;t) = D\Delta c((\vec(r)),\;t) + f((\vec(r)),\;t),)

de Δ = ∇ 2 = ∂ 2 ∂ x 2 + ∂ 2 ∂ y 2 + ∂ 2 ∂ z 2 (\displaystyle \Delta =\nabla ^(2)=(\frac (\čiastočné ^(2))(\čiastočné x ^(2))) + (\frac (\čiastočné ^(2)) (\čiastočné y^(2))) + (\frac (\čiastočné ^(2)) (\čiastočné z^(2))) ) je Laplaceov operátor.

n-pokojný vipadok

N(\displaystyle n)-mierová divergencia - priame rozpoznanie vyvolaného javu, len pod operátorom Nabla, gradient a divergencia, ako aj pod operátorom Laplace, treba byť šikovný n(\displaystyle n)-Zrkadlové verzie rôznych operátorov:

∇ = (∂ 1, ∂ 2, ..., ∂ n), (\displaystyle \nabla = (\čiastočné _(1),\;\čiastočné _(2),\;\ldots,\;\čiastočné _ (n))) Δ = ∇ 2 = ∂ 1 2 + ∂ 2 2 + ... + ∂ n 2. (\displaystyle \Delta =\nabla ^(2)=\čiastočné _(1)^(2)+\čiastočné _(2 ) ^ (2) + \ ldots + \ čiastočné _ (n) ^ (2).)

Tse stosuetsya a dvovimіrnogo vipadku n=2(\displaystyle n=2).

motivácia

A.

Zazvichay rіvnyannya difuzії vinikaє z empіrichnogo (ABO yakos bolo teoreticky otrimanogo) rіvnyannya, Yaky stverdzhuє proportsіynіst toku rechovini (ABO teplovoї energії) rіznitsі kontsentratsіy (teploty) domény rozdіlenih tenké loptu rechovini zadanoї proniknostі, jaka harakterizuєtsya koefіtsієntom difuzії (abo teploprovіdnostі):

Φ = - κ ∂ c ∂ x (\displaystyle \Phi = -\varkappa (\frac (\čiastočné c)(\čiastočné x)))(Jedna vlna), j = - κ ∇ c (\displaystyle \mathbf (j) = -\varkappa \nabla c)(Pre byť ako rozmіrnostі),

v súlade so spoľahlivosťou kontinuity, ktorá ukazuje zachovanie reči (alebo energie):

∂ c ∂ t + ∂ Φ ∂ x = 0 (\displaystyle (\frac (\partial c) (\partial t)) + (\frac (\partial \Phi) (\partial x)) = 0)(Jedna vlna), ∂ c ∂ t + d i v j = 0 (\displaystyle (\frac (\čiastočné c) (\čiastočné t)) + \mathrm (div) \,\mathbf (j) = 0)(Pre byť ako rozmіrnostі),

z urakhuvannyam razі vnyannya teploprovіdnostі sche teploєmnostі (teplota = shіlnіst energіya / pitom teploєmnіst).

Tu bola reč (energia) pochovaná v pravej časti vynechaní, ale vína, samozrejme, môžete tam ľahko ísť, pretože v úlohe je nával (vіdtіk) reči (energie).
Tiež sa uvádza, že na toku rozptyľujúcej sa reči (dom) nepôsobia žiadne iné sily, vrátane gravitačnej sily (pasívny dom).

b.

Navyše sa prirodzene obviňuje ako neprerušovanú hranicu medzi podobnou maloobchodnou úrovňou, ktorá si pri pohľade na úlohu vipadkovy chyby vyčíta diskrétne riešenie (jednosvetové resp. n(\displaystyle n)-pokojný). (Toto je najjednoduchší model; vo väčších skladacích modeloch skladaného tuku je rovnomerná difúzia spôsobená aj neprerušovanou hranicou). Najjednoduchšia interpretácia funkcie c(\displaystyle c) akým spôsobom obslúžiť množstvo (alebo koncentráciu) častíc v danom bode (alebo blízko neho), navyše kožná častica kolabuje nezávisle v iných bez pamäti (zotrvačnosti) svojej minulosti .

Riešenie

c (x, t) = ∫ - ∞ + ∞ c (x ', 0) cf (x - x', t) dx '= ∫ - ∞ + ∞ c (x', 0) 1. 4 π D t exp ⁡ (- (x - x '); 2 4 D t) dx'. (\displaystyle c(x,\;t)=\int \limits _(-\infty)^(+\infty)c(x",\;0)c_(f)(xx",\;t)\ ,dx"=\int\limits_(-\infty)^(+\infty)c(x",\;0)(\frac(1)(\sqrt(4\pi Dt)))\exp\left ( -(\frac((xx")^(2))(4Dt))\right)\,dx".)

fyzické ocenenie

Keďže blízkosť, ktorá je realizovaná rovnakou difúziou a tepelnou vodivosťou, je zásadne oddelená oblasťou s nízkou tekutosťou a makroskopickými šupinami (div. Vishche), nie je prekvapujúce, že ich zásadné riešenie skvelé výhľady správať sa nie príliš realisticky, formálne umožňujúce nevyčerpateľnú expanziu v priestore za poslednú hodinu; Je však potrebné rešpektovať, že veľkosť tohto vstreku sa z času na čas mení tak rýchlo, že jeho účinku sa väčšinou v zásade nedá zabrániť (napríklad Ide o koncentrácie bohato menšie ako jedna).

Vtіm, yakscho MOVA Yde o situatsії, ak mozhut Buti experiental vimіryanі nastіlki malenkі kontsentratsії, aj tse іstotno, potrіbno koristuvatisya na menshіy mіrі nie je diferentsіalnim pre nás, a rіznitsevim rіvnyannyam difuzії a udržiava upstream - aj bіlsh memo mіkroskopіchnoї fіzichnoї že statistichnoї modely obyvatelia otrimati viac dostatočné informácie o realite v týchto pohľadoch.

papiernictvo

V čase, ak je úloha nastavená podľa hodnoty ocele rozpodіlu schіlnostі alebo teploty (napríklad v razі, ak rozpodіl dzherel neľahol na hodinu), z nestacionárneho rіvnyannya, členovia sú dané rіvnyannya, po'yazanі z hod. Choď von stacionárne vyrovnávanie tepelnej vodivosti, Scho vodnositsya do triedy elіptichnyh rovná. joga horkooký:

- (∇, D ∇ c (r →)) = f (r →). (\displaystyle -(\nabla,\;D\nabla c((\vec(r))))=f((\vec(r))).) Δ c(r→)=-f(r→)D,(\displaystyle \Delta c((\vec(r)))=-(\frac(f((\vec(r))))(D) )) Δc(r →)=0.(\displaystyle \Delta c((\vec(r)))=0.)

Výrok hraničných problémov

Hlava mysle klasu (hlava Koshі) o rozložení teploty na neurčitej priamke

Ak sa pozriete na proces vedenia tepla v oblúku dlhého strihu, potom po krátkom čase sú teploty na kordónoch takmer denne a teplota na tejto vzdialenosti je nižšia ako teplotný rozdiel klasu.

a to uspokojuje myseľ u (x, t 0) \u003d φ (x) (- ∞< x < + ∞) {\displaystyle u(x,\;t_{0})=\varphi (x)\quad (-\infty , De - funkcia je nastavená.

Prvá regionálna úloha pre strih nap_vnesk_chenny

Ak nás má kývať prút, nachádzame sa blízko jedného rohu a výrazne ďalej od druhého, tak sa dostávame k regionálnej úlohe, v ktorej sme poistení nalievaním necelého jedného z regionálnych myslí.

Poznať riešenie tepelnej vodivosti v regióne - ∞ ⩽ x ⩽ + ∞ (\displaystyle -\infty \leqslant x\leqslant +\infty)і t ⩾ t 0 (\displaystyle t\geqslant t_(0))Čo poteší myseľ

(U (x, t0) = φ (x), (0< x < ∞) u (0 , t) = μ (t) , (t ⩾ t 0) {\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}u(x,\;t_{0})=\varphi (x),\quad (0

de φ(x)(\displaystyle\varphi(x))і μ(t)(\displaystyle \mu(t))- priradenie funkcií.

Craiova úloha bez klasov

Akonáhle sme chvíľku škrípaní, aby sme dosiahli vzdialenosť od klasu, potom môže byť pocit podráždený mysľou klasu, úlomky z nich prúdiace do procesu sú slabšie na hodinu. V tejto hodnosti prichádzame k úlohe, v rovnakej úlohe regionálnej mysle a denných klasov.

Poznať riešenie tepelnej vodivosti v regióne 0 ⩽ x ⩽ l (\displaystyle 0\leqslant x\leqslant l)і − ∞ < t {\displaystyle -\infty Čo poteší myseľ

(U(0, t)=μ 1(t), u(l, t)=μ 2(t), (\displaystyle \left\((\begin(pole)(l)u(0,\;t) ) = \mu _ (1) (t), \\ u (l, \; t) = \ mu _ (2) (t), \ koniec (pole)) \ vpravo.)

de i - množinové funkcie.

Regionálne úlohy pre strapcovú nožnicu

Poďme sa pozrieť na problém s hranicami:

ut = a 2 u x x + f (x, t), 0< x < l , 0 < t ⩽ T {\displaystyle u_{t}=a^{2}u_{xx}+f(x,\;t),\quad 0- vyrovnanie tepelnej vodivosti.

yakscho f(x, t)=0(\displaystyle f(x,\;t)=0), Tak tomu hovoria rovní rovnaký, iným spôsobom - heterogénne.

u(x, 0) = φ(x), 0 ⩽ x ⩽ l (\displaystyle u(x,\;0)=\varphi(x),\quad 0\leqslant x\leqslant l)- pochatkova umova v momente hod t=0(\displaystyle t=0), Bodová teplota x(\displaystyle x) nastavte funkciu φ(x)(\displaystyle\varphi(x)). u (0, t) = μ 1 (t), u (l, t) = μ 2 (t),) 0 ⩽ t ⩽ T (\displaystyle \left.(\begin(array)(l)u(0) , \; t) = \ mu _ (1) (t), \\ u (l, \; t) = \ mu _ (2) (t), \ koniec (pole)) \ vpravo \) \ quad 0 \leqslant t \leqslant T)- regionálna myseľ. funkcie μ 1 (t) (\displaystyle \mu _(1)(t))і μ 2 (t) (\displaystyle \mu _(2)(t)) nastavte hodnotu teploty na hraničných bodoch 0 i l (\displaystyle l) v určitom okamihu t (\displaystyle t).

Úlohu vyrovnávania tepelnej vodivosti možno podľa druhu regionálnych myslí rozdeliť do troch typov. Pozrime sa na divoký vipadok ( α i 2 + β i 2 ≠ 0, (i = 1, 2) (\displaystyle \alpha _(i)^(2)+\beta _(i)^(2)\neq 0,\;(i= 12))).

α 1 u x (0, t) + β 1 u (0, t) = μ 1 (t), α 2 u x (1, t) + β2 u (1, t) = μ 2 (t). (\displaystyle (\begin(pole)(l)\alpha _(1)u_(x)(0,\;t)+\beta _(1)u(0,\;t)=\mu _(1 ) (t), \\\ alfa _ (2) u_ (x) (l, \; t) + \ beta _ (2) u (l, \; t) = \ mu _ (2) (t). \end(pole)))

yakscho α i = 0, (i = 1, 2) (\displaystyle \alpha _(i)=0,\;(i=1,\;2)), potom sa taká myseľ nazýva myseľ prvého druhu, Páči sa mi to β i = 0, (i = 1, 2) (\displaystyle \beta _(i)=0,\;(i=1,\;2)) - iný druh, ale α i (\displaystyle \alpha _(i))і β i (\displaystyle \beta _(i)) vіdminnі vіd nula, potom mentálne tretieho druhu. Zvіdsi otrimuєmo zavdannya pre vyrovnanie tepelnej vodivosti - prvý, priateľ a tretí regiónu.

princíp na maximum

Nechajte funkciu fungovať v priestore D × [0, T], D ∈ R n (\displaystyle D\times,\;D\in \mathbb (R)^(n)), Spokojný s rovnomernou tepelnou vodivosťou ∂ u ∂ t - a 2 Δ u = 0 (\displaystyle (\frac (\čiastočné u)(\čiastočné t)) - a^(2)\Delta u=0), navyše D(\displaystyle D)- areál je oplotený. Princíp je maximálne, že funkcia u(x, t)(\displaystyle u(x,\;t)) extrémne hodnoty môžete nabrať buď na začiatku hodiny, alebo v oblasti kordónu D(\displaystyle D).

Poznámky

Rivnyannya tepelná vodivosť v homogénnom médiu

Koeficient vnútornej tepelnej vodivosti, c - tepelná kapacita reči a - hrúbka. Krim rovné (1), je potrebné, aby sa matka starala o ucho mysle, ktoré dáva ucho ružicu na teplotu a pri.

Ak je telo obklopené povrchom (S), potom na tomto povrchu bude matkou a hranicou mysle, keďže môže byť iné, ladom vo fyzických podmienkach. Takže napríklad povrch (S) je možné orezávať pri rovnakej teplote, pretože sa môže časom meniť. Týmto spôsobom sa hraničná myseľ zredukuje na funkciu U na povrchu (S) a funkcia môže byť daná v čase t. Teplota povrchu síce nie je pevne stanovená, ale žiarenie v strede danej teploty je dané Newtonovým zákonom, avšak ani zďaleka nie je presné, tok tepla povrchom (S) je úmerný rozdielu teplôt medzi priestor a povrch tela (S). Tse dáva hraničnú myseľ

Súčiniteľ úmernosti de h sa nazýva súčiniteľ vonkajšej tepelnej vodivosti.

V čase expanzie tepla v til lineárnych expanzií, t. j. v homogénnej tyči, ktorú úctivo rozložíme vzdovzh osі zamіst rivnyannya (1) budeme matka rovní.