Преобразуване на моменти по инерция с паралелно пренасяне на оси. Промяна на инерционните моменти при успоредно преместване на координатните оси. Статични моменти Присвоени на центъра на важност

Оси, които преминават през центъра на тежестта на плоска фигура, се наричат централни оси.
Моментът на инерция обикновено се нарича централен момент на инерция.

Теорема

Инерционният момент трябва да бъде равен на оста от сбора на инерционния момент, ако централната ос е успоредна на дадената, тоест да се добави площта на фигурата към квадрата между осите.

За да докажем теоремата, нека разгледаме една доста плоска фигура, чиято площ е повече НО , център У , а централният момент на инерция е около оста х ще I x .
Нека изчислим момента на инерция на фигурата според действащата ос х 1 , успоредно на централната ос и в разстоянието в нея на стойката но (Mal).

I x1 = Σ y 1 2 dA + Σ (y + a) 2 dA =
= Σ y 2 dA + 2a Σ y dA + a 2 Σ dA.

Анализирайки формулата на Отриман, важно е първото допълнение е аксиалният момент на инерция по централната ос, другото допълнение е статичният момент на квадрата на фигурата по централната ос (известен също като нула), а третото допълнение относно интегрирането на представителствата а 2 А , така че в резултат вземаме формулата:

I x1 \u003d I x + a 2 A- Теоремата е завършена.

Въз основа на теоремата е възможно да се направи висновок, който подред успоредни осиаксиалният момент на инерция на плоска фигура ще бъде най-малката стойност на централната ос .

Главни оси и инерционни моменти на главата

Нека направим плоска фигура, моменти на инерция като координатните оси I x і аз у , а полярният момент на инерция е подобен на кочана на координатите I ρ . Как беше инсталиран по-рано,

I x + I y = I ρ.

Ако осите на координатите се завъртят в собствената си равнина върху кочана на координатите, тогава полярният момент на инерция ще остане непроменен, а осите на момента ще се променят, тяхното количество ще бъде загубено от величината на константата. Частите от сумата на променящите се стойности са постоянни, единият от тях се променя, а другият се увеличава и навпаки.
Също така, за първата позиция на осите, един от аксиалните моменти достига максималната стойност, а другият - минималната.

Освен това такива моменти на инерция може да са минимални максимална стойностнаречени главни оси на инерция.
Инерционният момент, подобно на оста на главата, се нарича инерционен момент на главата.

Ако главата трябва да премине през центъра на главата на фигурата, тя се нарича централна линия на главата, а инерционният момент като тази ос е основният централен момент на инерция.
Можете да направите visnovok, така че фигурата да е симетрична като оста, тогава всички ще бъдат една от централните оси на главата на инерцията на фигурата.

Централен инерционен момент

Централният момент на инерция на плоска фигура се нарича поет върху цялата площ на сбора от творенията на елементарни майданчици за до две взаимно перпендикулярни оси:

I xy = Σ xy dA,

де х , г - Видстан вид майданчик dA към оси х і г .
Централният момент на инерция може да бъде положителен, отрицателен и равен на нула.

Централният инерционен момент е включен във формулата за определяне на положението на главните оси на асиметричните превишавания.
Таблиците на стандартните профили имат характеристика, която се нарича радиус на инерция , който се изчислява за формулите:

i x = √ (I x / A),i y = √ (I y / A) , (Тук дадох знак"√"- коренен знак)

де I x , I y - ос моменти на инерция pererazu по централните оси; НО - Зона на пресичане.
Tsya геометрична характеристика vikoristovuetsya pozacentral разтягане чи притискане, и navit късно wigina.

Деформация на усукване

Основно разбиране за усукването. Усукваща се кръгла греда.

Усукването се нарича този вид деформация, когато в напречното сечение на гредата има само лек момент за усукване, тогава това е фактор на сила, който причинява кръгово изместване по оста, перпендикулярно на оста, или преход към такова изместване. С други думи - обвиняват се деформации на усукване, така че до прав прът в равнините, перпендикулярни на тази ос, се прилагат двойка или двойка сили.
Моментите на тези двойки сили се наричат усукване или увиване. Обертален момент означават т .
По този начин психически podіlyaє фактори на сила и деформации на усукване на zvnіshnі (усукване, стръмни моменти). т ) и вътрешни (усукващи моменти М кр ).

В машини и механизми за усукване най-често се използват кръгли или тръбни валове, така че за такива възли и части най-често се използват rozrahunki за мекота и твърдост.

Нека разгледаме усукването на кръгъл цилиндричен вал.
За да се разкрие хумусен цилиндричен вал, в някакъв вид бързо закрепване един от краищата, а на повърхността има решетка от задни линии и напречни килове. Няколко сили се прилагат към свободния край на вала, перпендикулярно на оста на вала, така че оста да е усукана. Ако внимателно погледнете линиите на мрежата на повърхността на вала, можете да отбележите, че:
- всички валове, както те наричат всеобхватното завъртане, се отървете от правата линия;
- диаметърът на kіl трябва да бъде същият, а разликата между susіdnіmi залози няма да се промени;
- По-късно линиите на вала се превръщат в двойни линии.

Следователно е възможно да се направи висновок, че при усукване на кръгъл цилиндричен прът (вал) е валидна хипотезата за плоски надрези и също така да се позволи радиусите на убиването да станат прави при деформация (гребените на техните диаметри не са промяна). Отломки в шахтите на ежедневните късни сили, тогава се погрижете за тях.

Tan, deformatsia krutnya Кръгла шахта PoleAєє в завоя на напречния напречен пътник, един единствен Navko Osi Kratchennya, breeching Kutov Vіd Vіdkypleniy Perezіza - Chim Dali Vіd Skrіplain Kіntza Valo Valeki-Skump Valeki-Skump Valeki-Skump Perezіz, Tim Vän Osp Kuz.
За кожен разрез на вала, завъртете усукването на частта от вала, положена между разрезите и гърлата (фиксирана с разрез).

Кут ( Мал един) завъртане на свободния край на вала (края на среза) се нарича горен край на усукване на цилиндричната греда (вал).
Vіdnosny kutom усукване φ 0 се нарича навиване на кута усукване φ 1 на vіdstan л 1 от първия разрез до ипотеката (фиксиран разрез).
Yakshcho цилиндричен дървен материал (вал) zavdovka л ако има постоянно повторно нарязване и усукване от усукващ момент на свободния край (който се образува от хомогенен геометричен график), тогава е вярно следното:
φ 0 = φ 1 / l 1 = φ / l = const - Постоянна стойност.

Като разпознаваемо тънка топка върху повърхността на висцерален хумусен цилиндричен лъч ( Мал един), околност в средата на мрежата cdef , тогава е уважително, че този център ще се изкриви при деформация и нейната страна, далеч от фиксирания разрез, се измества от страната на усукването на гредата, заемайки позицията cde 1 f 1 .

Трябва да се отбележи, че подобна картина се наблюдава по време на деформацията на шева, само че в същата посока повърхността се деформира чрез транслационно движещо се еднопосочно, а не чрез обвивно движение, както в случая на деформация на усукване. Върху опората на този е възможно да се добавят висновци, които при усукване в напречните разрези обвиняват само точковите вътрешни сили (напрежение), които фиксират момента, който да се усукват.

Също така моментът за усукване е резултантният момент на оста на гредата от вътрешни дотични сили, които се развиват в напречното сечение.

2. Статични моменти на площта по ширината на осите Озі ой(раздел 3, m 3):

4. Централен момент на инерция по ширината на осите Озі ой(Вижте 4, m 4):

Тогава Осцилки

ос Джей Зиі Jyтази полярна Дж p моментите на инерция винаги са положителни, парчетата под знака на интеграла са координати на друг свят. Статични моменти Szі Sy, както и централния инерционен момент Jzyможе да бъде както положителен, така и отрицателен.

В гамата от валцувана стомана за рулони са посочени стойностите на централните моменти зад модула. Розрахунките имат следното, за да придобият своите значения за подобряване на знака.

За обозначаването на знака на централната точка на намотката (фиг. 3.2) се забелязва, че той изглежда като сбор от три интеграла, които се отчитат само за частите от периферията, които са разпръснати в четвъртините на координатната система. Очевидно е, че за частите, разпространяващи се през 1-ва и 3-та четвърт, ще имаме положителна стойност на интеграла, zydAще бъде положителен, а интегралите, които се изчисляват за частите, разпределящи се през II и IV тримесечие, ще бъдат отрицателни (tvir zydAбъде отрицателен). Otzhe, за kutochka на фиг. 3.2, а стойността на централния момент на инерция ще бъде отрицателна.

Rozmirkovuyuchi подобен ранг за повторно изрязване, така че ако искате една цяла симетрия (фиг. 3.2, b), можете да направите висновка, така че централният момент на инерция J zy е равен на нула, тъй като една от осите (Oz или Oy) е напълно симетрична на среза.Определено за части от трико, roztashovannyh в 1-ва и 2-ра четвърти на водния център, моментът на инерция се взема предвид само като знак. Може да се каже, че има няколко части, които се срещат в III и IV четвърти.

Статични моменти Присвоени на центъра на важност

Изчисляеми статични моменти за широк диапазон от оси Озі ойправоъгълникът, показан на фиг. 3.3.

Ориз. 3.3. До изчисляването на статичните моменти

Тук: НО- зона на пресичане, yCі z C- Координати на центъра на тежестта. Центърът на тежестта на правоъгълника се променя по диагоналите.

Очевидно, ако осите, където се изчисляват статичните моменти, преминават през центъра на тежестта на фигурата, тогава нейните координати ще достигнат нула ( z C = 0, yC= 0), i, подобно на формула (3.6), статични моменти и равно на нула. по такъв начин, центърът на тежестта на кръста е точката, която може да има такава сила: статичен момент, независимо от оста, да премине през него,нула.

Формулите (3.6) позволяват да се знаят координатите на центъра на тежестта z Cі yCнапречно сечение на сгъваемата форма. Yakshcho peretin може да се даде на гледката нчасти, които са в зоната на къщата и центъра на тежестта, тогава изчисляването на координатите на центъра на тежестта на цялото напречно сечение може да се запише като:

(3.7)

Промяна на инерционните моменти с паралелно прехвърляне на оси

Нека видя моменти на инерция Джей Зи, Jyі Jzyшодо брадви Oyz. Необходимо е да се изчисли инерционният момент ДЖЕЙ ЗИ, J Yі JZYшодо брадви О 1 YZ, успоредно на осите Oyz(фиг. 3.4) а(хоризонтално) и б(вертикално)

Ориз. 3.4. Промяна на инерционните моменти с паралелно прехвърляне на оси

Координати на елементарния майданчик dAобвържете се с такива еквивалентности: З = z + а; Й = г + б.

Нека изчислим инерционните моменти ДЖЕЙ ЗИ, J Yі JZY.

(3.8)

(3.9)

(3.10)

Каква точка Обрадви Oyzбягай с точка У- центърът на тежестта на перезиса (фиг. 3.5); статични моменти Szі Syстават равни на нула, а формулите казват Y i ZiНеобходимо е да се вземе с подобряването на символите. По оста на инерционния момент знаците на координатите не могат да се вмъкнат (координатите се преместват на друга стъпка), но върху централния инерционен момент знакът на координатите в линията (създаване Z i Y i A iможе да е отрицателен).

Често, в случай на практически задачи, е необходимо да се обозначават моментите на инерция през осите, в различни ориентации в една и съща равнина. Ако трябва ръчно да настроите стойността на момента в инерцията на целия кросоувър (преди всички складови части), има други оси, които могат да бъдат намерени в техническата литература, специални индикатори и таблици, както и да се погрижите за формулите. Ето защо е важно да се установят угари между моментите на инерция на един и същ кросоувър на различни оси.

По див начин преходът от старата към новата координатна система може да се разглежда като две последователни трансформации на старата координатна система:

1) път на успоредно преместване на координатните оси в новата позиция

2) начин за завъртане на тях shоdo нов кочан от координати. Нека разгледаме първата от тези трансформации, тоест паралелното прехвърляне на координатните оси.

Допустимо е моментите на инерция на напречното сечение на старите оси (фиг. 18.5) да са в къщата.

Да вземем нова координатна система от оси, които са успоредни на нас. Значително a и b са координатите на точката (тази на новия кочан от координати) в старата координатна система

Нека да разгледаме елементарната област Координати її y на старата координатна система е равно на y i . Новата система мирише еднакво

Можем да представим стойността на координатите на аксиалния момент на инерция около оста

По различен начин - инерционният момент е статичният момент на кросоувъра по оста на пътната площ F на кросоувъра.

Отже,

Ако всичко z минава през центъра на тежестта на разреза, тогава статичният момент i

От формулата (25.5) се вижда, че инерционният момент трябва да бъде като ос, за да не преминава през центъра на тежестта, по-голям от момента на инерция на оста, която минава през центъра на тежестта, като количеството на ярема е положително. От същия момент на инерция, когато е успореден на осите, аксиалният момент на инерция е най-малко важен за преминаването на оста през центъра на тежестта на напречното сечение.

Инерционен момент около оста [по аналогия с формула (24.5)]

При okremy падане, ако всичко минава през центъра на тежестта на разреза

Формулите (25.5) и (27.5) се използват широко при изчисляване на аксиалните моменти на инерция на сгъваемите (складови) превишения.

Сега можем да си представим стойността на централния момент на инерция за ширината на осите

Нека разгледаме момента на инерция на плоската фигура (фиг.) за осите $(Z_1)$ и $(Y_1)$ за дадените инерционни моменти за осите $X$ и $Y$.

$(I_((x_1))) = \int\limits_A (y_1^2dA) = \int\limits_A (((\left((y + a) \right))^2)dA) = \int\limits_A ( \left(((y^2) + 2ay + (a^2)) \right)dA) = \int\limits_A ((y^2)dA) + 2a\int\limits_A (ydA) + (a^2 )\int\limits_A (dA) = $

$ = (I_x) + 2a(S_x) + (a^2)A$,

де $(S_x)$ - статичният момент на фигурата е около оста $X$.

Подобно на оста $(Y_1)$

$(I_((y_1))) = (I_y) + 2a(S_y) + (b^2)A$.

Централен момент на инерция за оси $(X_1)$ и $(Y_1)$

$(I_((x_1)(y_1))) = \int\limits_A ((x_1)(y_1)dA) = \int\limits_A (\left((x + b) \right)\left((y + a ) \right)dA) = \int\limits_A (\left((xy + xa + by + ba) \right)dA) = \int\limits_A (xydA) + a\int\limits_A (xdA) + b\int \limits_A(ydA) + ab\int\limits_A(dA) = (I_(xy)) + a(S_x) + b(S_y) + abA$

Най-често има преход от централните оси (горните оси на плоската фигура) към пълните, успоредни. Тогава $(S_x) = 0$, $(S_y) = 0$, частите на оста $X$ и $Y$ са централни. Оставаща майонеза

де, - инерционните моменти на мощността, тоест инерционните моменти според мощността на централните оси;

$a$, $b$ - vіdstanі vіd централни оси за analіzovanih;

$A$ - площ на фигурата.

Трябва да се отбележи, че когато централният момент на инерция се приписва на величините $a$ и $b$, виновен е знакът, така че вонята всъщност са координатите на центъра на тежестта на фигурата в осите, които се разглеждат. Когато се присвоят аксиалните моменти на инерция и стойности, стойностите се представят зад модула (както в стандарта), но парчетата от вонята се издигат до квадрата.

С помощта на формули за паралелен трансфер е възможно да промените прехода от централните оси към пълните, или от друга страна- в prevіlnyh централни оси Първият преход е маркиран със знак "+". Друго кръстовище е обозначено със знак- ".

Приложете различни формули към прехода между успоредни оси

Правоъгълна ретин

Значително централният момент на инерция на правоъгълник е пропорционален на основните моменти на инерция около осите $Z$ и $Y$.

$(I_x) = \frac((b(h^3)))(3)$; $(I_y) = \frac((h(b^3)))(3)$.

По същия начин, $(I_y) = \frac((h(b^3)))((12))$.

Трикутни Перериз

Показателно е централният момент на инерция на трикоутера над дадения момент на инерция на основата $(I_x) = \frac((b(h^3)))((12))$.

Ако централната ос $(Y_c)$ има различна конфигурация, тогава можем също да я разгледаме. Инерционният момент на всички фигури по оста $(Y_c)$ е по-голям от сумата на инерционния момент на трикота $ABD$ по оста $(Y_c)$ и момента на инерция на трикота $CBD$ по оста $(Y_c)$, tobto

Назначаване на момента на инерция на сгънатата релса

Нека съберем важния перетин, който се състои от отделни елементи, геометрични характеристикивсеки известен. Площта, статичният момент и моментът на инерция на фигурата на склада се сумират в сбора от съответните характеристики на склада. Подобно на гънките на периметъра, можете да го направите да изглежда като една от фигурите отвън, геометричните характеристики на фигурата са видими. Например моменти на инерция на складова фигура, показани на фиг. ще се появи така

$I_z^() = \frac((120 \cdot ((22)^3)))((12)) - 2 \cdot \frac((50 \cdot ((16)^3)))((12) )) = 72 \, 300 $ см 4 .

$I_y^() = \frac((22 \cdot ((120)^3)))((12)) - 2 \cdot \left((\frac((16 \cdot ((50)^3)) )((12)) + 50 \cdot 16 \cdot ((29)^2)) \вдясно) = 1\.490\.000$cm 4

Представяме декартовата правоъгълна координатна система Oxy. Нека да погледнем в равнината на координатите на dovіlny peretina ( затворена зона) от зона А (фиг. 1).

Статични моменти

Точка C с координати (x C, y C)

Наречен център на тежестта.

Ако координатните оси преминават през центъра на тежестта на ръба, тогава статичните моменти на ръба ще достигнат нула:

Аксиални инерционни моментипреминаването на осите x и y се наричат интеграли от вида:

Полярен момент на инерцияПресечната точка на кочана на координатите се нарича интеграл на формата:

Централен инерционен моментразделът се нарича интеграл на ума:

Инерционните оси на главата се нарязватсе наричат две взаимно перпендикулярни на оста, където I xy =0. Що се отнася до взаимно перпендикулярните оси е цялата симетрия на разреза, тогава I xy = 0 i, също, qi ос - смута. Главните оси, които преминават през центъра на тежестта на среза се наричат централни оси на инерция на главата

2. Теоремата на Щайнер-Хюйгенс за успоредното пренасяне на оси

Теоремата на Щайнер-Хюйгенс (теоремата на Щайнер).
Осов момент на инерция през I неразрушима ос x добавете сумата на аксиалния момент на инерция на напречното сечение I от визуално успоредната ос x * , за да премине през центъра на масовото напречно сечение, и да добавите площта на напречното сечение A към квадрата на разстоянието d между двете оси.

Ако вземем предвид инерционните моменти I x і I y за осите x и y, тогава за осите ν і u, завъртени с kut α, инерционните моменти на оста и центъра на тежестта се изчисляват с помощта на формули:

От посочването на формулите става ясно, че

Тобто. сумата от аксиалните моменти на инерция не се променя при завъртане на взаимно перпендикулярни оси, т.е. . Главните оси, които преминават през центъра на тежестта на среза се наричат глава централни оси pererazu. За симетрични напречни сечения на оста и симетрия с централните оси на главата. Положението на осите на главата на напречното сечение на другите оси се определя от заместник spіvvіdnoshennia:

де? Осите на момента на инерция, както и осите на главата, се наричат главни моменти на инерция:

знакът плюс пред друго допълнение се издига до максималния момент на инерция, знакът минус - до минималния.