Rekonštrukcia momentu zotrvačnosti s paralelne posunutými osami. Zmena momentu energie v prípade paralelne posunutých súradnicových osí. Statické momenty

Osi, ktoré prechádzajú stredom ťažkej plochej figúrky, sa nazývajú centrálne osi.
Moment zotrvačnosti od stredovej osi sa nazýva centrálny moment zotrvačnosti.

Veta

Moment zotrvačnosti v dôsledku toho, že je osou, je dôležitý pre moment zotrvačnosti ako stredová os, rovnobežná s daným, pripočítaním plochy figuríny na štvorec v mieste medzi osami.

Na preukázanie vety, roviny obrázku, plochy cesty A , stred ovinutia švov v bode Z , a centrálny moment energie osi X bude Ja x .
Moment zotrvačnosti figúrky je vypočítateľný. x 1 , rovnobežne so stredovou osou a z jej vzdialenej strany do krajiny a (Mal).

I x1 = Σ y 1 2 dA + Σ (y + a) 2 dA =
= Σ y 2 dA + 2a Σ y dA + a 2 Σ dA.

Budem analyzovať vzorec vo všeobecnosti, prvý krok je axiálny moment energie zo stredovej osi, druhý je statický moment oblasti stredovej osi (od začiatku dňa), a tretí a 2 A , aby sme vo výsledku rozpoznali vzorec:

I x1 = I x + a 2 A- Veta bola dokončená.

Na základe teorém je možné vytvoriť obraz, vedľa rovnobežné osi axiálny moment zotrvačnosti plochého útvaru bude najmenší zo stredovej osi .

Hlavové osi a hlavové momenty energie

Pre rovinu obrázku viditeľné momenty energie súradnicových osí Ja x і ja y a polárny moment energie k klasu súradníc k ceste I ρ ... Yak bulo bol nainštalovaný skôr,

I x + I y = I ρ.

Keď sa súradnicové osi otáčajú okolo klasu súradníc, potom sa polárny moment energie stane neviditeľným a os momentu sa zmení a množstvo hybnosti sa stane trvalým. Oskilki súčet malých hodnôt postyna, jedna z nich sa zmení a іnsha sa zmení a navpaki.
Otzhe, pre singulárnu polohu osí je jeden z osových momentov pod maximálnou hodnotou a najnižší je minimálny.

Os, ktoré sú niektoré momenty energie môžu byť minimálne maximálna hodnota nazývaná zotrvačnosť osí hlavy.
Moment zotrvačnosti sa nazýva hlavný moment zotrvačnosti.

Hneď ako hlava prejde stredom wagi figuri, nazýva sa to centrálny centrálny bod a moment zotrvačnosti takejto osi je centrálnym momentom zotrvačnosti hlavy.
Je možné postaviť tvar, ak je postava symetrická, pretože je osou, potom bude zdvihnutá jednou z hlavových centrálnych osí energie postavy.

Stredový moment zotrvačnosti

Vedúci bod zotrvačnosti plochej figúry sa preberá na celej ploche vytvárania elementárnych majdanchikov až do dvoch vzájomne kolmých osí:

I xy = Σ xy dA,

de X , r - Vstúpte do maidančiku dA na nápravy X і r .
Centrálny moment zotrvačnosti môže byť kladný, záporný a rovný nule.

Strediaci moment zotrvačnosti je zahrnutý vo vzorci pre hodnotu polohy hlavných osí asymetrického perereziva.
Tabuľky štandardných profilov majú charakteristiku, ktorá je tzv polomer energie , ktoré možno vypočítať podľa vzorcov:

i x = √ (I x / A),i y = √ (I y / A) , (tu som dal znamenie"√"- koreňový znak)

de ja x, ja y - osi momentovej zotrvačnosti presahujú centrálne osi; A - Oblasť je prekročená.
Qia je geometrická charakteristika vykorystvutsya ako post-centrálny strečing chi stláčanie, і navi neskoré vigina.

Deformačné krútenie

Základné znalosti o krútení. Okrúhla zákruta tyče.

Zákruty nazývajú tento druh deformácie, keď pri akomkoľvek priečnom opakovaní dreva dôjde len k momentu na skrútenie, takže účinník, ale pri kruhovom posune, sa opakuje na nápravu, kolmo na takéto opakované Inými slovami - krúti sa deformácia je určená, dokonca až do rovnej tyče v oblastiach kolmých na jej os, vložiť pár síl.
Moment tsikhových párov síl sa nazýva krútenie alebo balenie. Celkový priemerný moment T .
Hodnota je tiež šikovne zladená so silovým faktorom deformácie zákrutu na poslednom (zákrut, zákrutové momenty). T ) a vnútorné (točné momenty M kr ).

Stroje a krútiace mechanizmy majú najčastejšie okrúhle alebo rúrkové časti, preto sa najčastejšie používajú na takéto inštitúty a detaily.

Dobre viditeľné je krútenie okrúhleho valcového hriadeľa.
Na detekciu gumy valcového hriadeľa, v ktorom je pevné upevnenie jedného z koncov, a na povrchu je aplikovaná sieť neskorších línií a priečnych tyčí. Na koniec hriadeľa, kolmo na os hriadeľa, pôsobí niekoľko síl, takže os je skrútená. Keď sa s úctou pozriete na čiary mriežky na povrchu hriadeľa, môžete si všimnúť:
- zavesenie na hriadeľ, ako to nazývajú krútenie, aby sa stalo priamym;
- priemery kíl budú rovnaké a vzhľad medzi zavesenými kolíkmi sa nezmení;
- Neskoršie čiary na hriadeli sa zmenia na gwintové čiary.

Zlomiť tvar je možné, ale pri skrútení okrúhlej valcovej tyče (hriadeľa) platí hypotéza o plochých lomoch a taktiež je možné dovoliť, aby sa polomery pri deformácii rovných línií uvoľnili (tŕne o priemere nemeň). Oskilki v presahoch hriadeľa sú neskoré alebo neskoré sily, potom je možné ich medzi nimi vidieť.

Taktiež deformácia krútenia okrúhleho drieku palice v zákrutách bočných prechodov, avšak v blízkosti osi zákrutu, a zákrutu zákrutu je priamo úmerná stranám uzavretého drieku, čo je je známe, že prechádzajú cez uzavretú šachtu.
Pre kožnú recesiu k drieku rezu otočte dvierka na koniec zákrutu dielu k drieku, položenému medzi činely a záhyby (zafixujeme koncom).

Lyska ( Malý. jeden) otáčanie konca hriadeľa (predbeh konca) sa nazýva otočenie krútenia valcovej tyče (hriadeľa).
S výborným vírením kutomu φ 0 sa nazýva vírenie vidnoshennya kuta φ 1 navštíviť l 1 z obdobia prekročenia do zasypaného (konsolidovaného prekročenia).
Yakscho valcová tyč (hriadeľ) l Mám trvalé prekročenie krútiaceho momentu na konci riadku (aby sa poskladal do jednostranného geometrického vzoru), potom je spravodlivé povedať:
φ 0 = φ 1 / l 1 = φ / l = konšt - Trvalá hodnota.

Tenká gulička na povrchu gumenej valcovej tyče ( Malý. jeden), uzavreté strednou sieťkou cdef , potom je pozoruhodné, že je niekedy pri deformácii zošikmená a strana pri pohľade z pevného presahu stojí na strane skrúteného dreva, cde 1 f 1 .

To znamená, že analogický obraz možno pozorovať aj pri deformácii deformácie, len povrch sa deformuje postupným presahom posunu jedna a jedna a nie prevráteným posunom ako pri deformácii. Na recepcii je možné gombíky zlomiť, ale pri zakrútení v bočných vybraniach nevznikajú presnejšie vnútorné sily (pružiny), ktoré nastavia moment, ako sa krútiť.

Otzhe, moment, ako sa krútiť, є výsledný moment osi lúča vnútorných síl, ktorý ide v priečnom prechode.

2. Statické momenty plochy presahujú osi Ozі Oj(oddiel 3, m 3):

4. Strediaci moment zotrvačnosti presahuje osi Ozі Ou(Cm 4, m 4):

Oskilki teda

Os J zі J y ta polárna J p momenty zotrvačnosti sú určené kladom, znamienka integrálu sú súradnice iného sveta. Statické momenty S zі S y, ako aj centrovací moment energie J zy Môžu byť pozitívne aj negatívne.

V sortimente valcovanej ocele pre zvitky sú hodnoty stredových momentov indukované za modulom. V rosrahunokoch sú zaprovadzhuvati їkh významy s urahuvannya znamenia.

Pre znamenie od stredu k stredu momentu, drep (obr. 3.2) je jasne viditeľný vo viglyade, existujú tri integrály, ktoré sa počítajú okremo pre časti nadradeného, roztasvannyh v štvoriciach súradnicového systému. . Je zrejmé, že pre časti, ktoré sú pražené v prvej a tretej časti, budeme mať pozitívny význam integrálu, zydA bude kladný a integrály, ktoré sú vypočítané pre časti, ktoré majú korene v II a IV, budú záporné (tvir zydA byť negatívny). Otzhe, pre malého na obr. 3.2 a hodnota stredového momentu energie bude záporná.

Zoberme si na prestávku inú hodnosť, takže chcem mať jednu symetriu (obr. 3.2, b), môžete sa ísť pozrieť centrovací moment zotrvačnosti J zy na nulu, ako jedna z osí (Oz alebo Oy) є k symetrii prebehu. Dyyseno, pre časti trojkolky, roztasvanih v 1 a 2 štvrtiny v centre okamihu, moment zotrvačnosti je odstránený ako znamenie. Je tiež možné povedať, že ide o niekoľko častí, ktoré sa nachádzajú v III. a IV.

Statické momenty

Kvantifikovateľné statické momenty osí Оzі Oj obdĺžnik, znázornený na obr. 3.3.

Ryža. 3.3. Pred výpočtom statických momentov

Tu: A- oblasť je pererizu, y Cі z C- Koordinujte ťažisko. Stred závažnosti obdĺžnika je prestavaný na prierez uhlopriečok.

Je zrejmé, že ak os, kde sa počítajú statické momenty, prechádza ťažiskom figúry, jej súradnice idú na nulu ( z C = 0, y C= 0), i, podľa vzorca (3.6) môžu byť statické momenty aj nulové. V takej hodnosti, ťažisko pererizu - bod tse, ako mám takú silu: statický moment, ako ním prejsť,dorіvnyuє na nulu.

Vzorce (3.6) vám umožňujú poznať súradnice stredu ťažkého z Cі y C nadradený skladací formulár. Yaksho peretin môžete zaplatiť na viglyadі nčasti, ktoré sú v oblasti a tábore ťažiska, potom výpočet súradníc k ťažisku možno zapísať ako:

(3.7)

Zmena momentu energie v prípade paralelne posunutých osí

Nechoďte sa pozrieť na momenty zotrvačnosti J z, J yі J zyšodó sekery Oyz... Je potrebné vziať do úvahy momenty energie J Z, J Yі J ZYšodó sekery O 1 YZ rovnobežne s osami Oyz(obr. 3.4) a z ďaleka od nich na zemi a(vodorovne) to b(vertikálne)

Ryža. 3.4. Zmena momentu energie v prípade paralelne posunutých osí

Súradnicový elementárny maidanchik dA spojené s takou horlivosťou: Z = z + a; Y = r + b.

Množstvo momentov energie J Z, J Yі J ZY.

(3.8)

(3.9)

(3.10)

Yaksho bod O presuvné nápravy Oyz byť mimo miesta Z- ťažisko pererizu (obr. 3.5); statické momenty S zі S y sa rovná nule a vzorce sa rozlúčia Y i Z i Pre urahuvannya symbolov sú potrební bratia. Na osi momentu zotrvačnosti nie je možné vložiť súradnicové znamienka (súradnice sa presunú do iného kroku), ale v strede momentu zotrvačnosti je súradnicové znamienko v priamke (kreatíva Z i Y i A i možno negatívne).

Často, keď sú praktické budovy virálne, je potrebné začať momentom zotrvačnosti osí, ktoré sú po tejto ploche rozmiestnené inak. Zároveň vidíte význam momentu energie všetkých nábehov (alebo niektorej časti skladu) niektorej z osí, ktorými sa možno riadiť v odbornej literatúre, špeciálnych vzorcoch a tabuľkách. Ešte dôležitejšie je stanoviť úhor medzi momentmi energie jedného a toho istého prekročenia na ostatných osiach.

V horlivom vipade možno vidieť dve nedávne reinkarnácie starého súradnicového systému:

1) dráha paralelného prenosu súradnicových osí do novej polohy

2) mimochodom, otočte їх na nový klas súradníc. Je jasné, že prvá transformácia je vykonaná tak, že súradnicové osi sú posunuté paralelne.

Je prípustné, aby momenty zotrvačnosti boli prepísané starými osami (obr. 18.5).

Meníme nový súradnicový systém osí, ktoré sú s nami rovnobežné. Je príznačné, že a a b sú súradnice bodu (ako nový klas súradníc) v starých súradnicových systémoch

Ľahko pochopiteľná elementárna oblasť Nový systém má smrad rivn

Hodnotu súradníc na axiálnom virase možno priradiť momentu energie osi

V odriekanom viraze - momente zotrvanosti statick moment presahuje os cestnch plôch F presahov.

Otzhe,

Pokiaľ z prechádza ťažiskom, potom statický moment

Zo vzorca (25.5) je zrejmé, že moment energie, keď os neprechádza stredom osi, ktorý je väčší ako moment energie, keď os prechádza stredom osi, je vždy kladné o hodnotu jaka. Tiež kvôli momentu zotrvačnosti a paralelných osí je axiálny moment zotrvačnosti menej významný ako moment osi, takže prechádza cez ťažisko.

Moment zotrvačnosti osi [pre analógiu so vzorcom (24.5)]

Ak medzitým prejdete cez ťažisko

Vzorce (25.5) a (27.5) sa široko používajú na výpočet axiálnych momentov preloženia (skladu).

Zdá sa, že aktuálna hodnota na viráze je v strede momentu osí

Jasná vizualizácia momentu plochej figúrky (ryže) pre osi $ (Z_1) $ a $ (Y_1) $ pre každý moment pre osi $ X $ a $ Y $.

$ (I _ ((x_1))) = \ int \ limity_A (y_1 ^ 2 dA) = \ int \ limity_A (((\ vľavo ((y + a) \ vpravo)) ^ 2) dA) = \ int \ limity_A ( \ vľavo (((y ^ 2) + 2ay + (a ^ 2)) \ vpravo) dA) = \ int \ limity_A ((y ^ 2) dA) + 2a \ int \ limity_A (ydA) + (a ^ 2 ) \ int \ limity_A (dA) = $

$ = (I_x) + 2a (S_x) + (a ^ 2) A $,

de $ (S_x) $ - statický moment figúry je ashodo os $ X $.

Podobne ako na osi $ (Y_1) $

$ (I _ ((y_1))) = (I_y) + 2a (S_y) + (b ^ 2) A $.

Strediaci moment zotrvačnosti osí $ (X_1) $ і $ (Y_1) $

$ (I _ ((x_1) (y_1))) = \ int \ limity_A ((x_1) (y_1) dA) = \ int \ limity_A (\ vľavo ((x + b) \ vpravo) \ vľavo ((y + a ) \ vpravo) dA) = \ int \ limity_A (\ vľavo ((xy + xa + by + ba) \ vpravo) dA) = \ int \ limity_A (xydA) + a \ int \ limity_A (xdA) + b \ int \ limity_A (ydA) + ab \ int \ limity_A (dA) = (I_ (xy)) + a (S_x) + b (S_y) + abA $

Najčastejšie prechod od centrálnych osí (silových osí plochej figúrky) k paralelnejším, paralelnejším. Todі $ (S_x) = 0 $, $ (S_y) = 0 $, nápravy $ X $ і $ Y $ є sú centrálne. Zvyšné peniaze

de, - silové momenty energie, na moment energie silových centrálnych osí;

$ a $, $ b $ - od centrálnych osí k analyzovaným;

$ A $ - oblasť figúry.

Slide znamená, že keď je určený stredový moment energie, hodnoty $ a $ a $ b $ sú zodpovedné za poistné znamenie, takže smrad є na základe súradníc je ťažisko figúry v osi, ktoré je možné vidieť. Keď sú axiálne momenty energie a veľkosti, sú prezentované za modulom (ako je vidieť), trochu smradu však ide až do štvorca.

Okrem vzorcov pre paralelný prenos môžete prejsť od centrálnych osí k plným, alebo navpaki- od hlavných centrálnych osí. Prvý prechod prechádza cez znamienko „+“ Ďalším prechodom je značka- ".

Použite viktoriánsky vzorec na prechod medzi paralelnými osami

Obdĺžnikový peretín

Zjavne ústredné momenty priamej jazdy za rôznymi momentmi jazdy pozdĺž osí $ Z $ a $ Y $.

$ (I_x) = \ frac ((b (h ^ 3))) (3) $; $ (I_y) = \ frac ((h (b ^ 3))) (3) $.

Podobne $ (I_y) = \ frac ((h (b ^ 3))) ((12)) $.

Trikutny pererez

Na základe centrálneho momentu zotrvačnosti trojkolky pre daný moment zotrvačnosti základne $ (I_x) = \ frac ((b (h ^ 3))) ((12)) $.

Stredová os $ (Y_c) $ trojkolka môže byť nakonfigurovaná, rovnaká je tiež k dispozícii. Moment energie celej figúry je $ (Y_c) $, k momentu energie trojkolky $ ABD $ je moment osi $ (Y_c) $ a moment energie trojkolky je $ CBD $ je moment osi $ (Y_c) $, tj

Keď je moment energie zložený

Uložíme vazhaєmo peretin, uložíme ho z okolitých prvkov, geometrické charakteristiky akéhokoľvek druhu. Plocha, statický moment momentu zotrvačnosti skladového útvaru, je súčtom všeobecných charakteristík skladu. Ak sú záhyby prekryté, je možné schváliť prechod jednej figúry z druhej, vidno geometrické charakteristiky panenskej figúry. Napríklad momenty zotrvačnosti skladových figúrok sú znázornené na obr. nech to začne takto

$ I_z ^ () = \ frac ((120 \ cdot ((22) ^ 3))) ((12)) - 2 \ cdot \ frac ((50 \ cdot ((16) ^ 3))) ((12) )) = 72 \, 300 $ cm 4 .

$ I_y ^ () = \ frac ((22 \ cdot ((120) ^ 3))) ((12)) - 2 \ cdot \ left ((\ frac ((16 \ cdot ((50) ^ 3)) ) ((12)) + 50 \ cdot 16 \ cdot ((29) ^ 2)) \ vpravo) = 1 \, 490 \, 000 $ cm 4

Zaviesť karteziánsky pravouhlý súradnicový systém Oxy. V oblasti súradníc je dobre vidieť dostatočnú overretinu ( uzavretá oblasť) nad oblasťou A (obr. 1).

Statické momenty

Bod C so súradnicami (x C, y C)

byť volaný ťažisko.

Ak súradnicové osi prechádzajú cez ťažisko, potom statické momenty prebehnú na nulu:

Axiálne momenty energie zmeny medzi osami x a y sa nazývajú integrály tvaru:

Polárny moment energie Zmením klas súradníc tak, aby sa nazývali integrál v tvare:

Ústredný moment zotrvačnosti Nazýva sa to integrálna forma:

Hlavové nápravy sa nazývajú dve na seba kolmé osi, kde I xy = 0. Ak sú zo vzájomne kolmých osí є v symetrii, potom I xy = 0 і, tiež osi ci - hlava. Hlavové osy, ktoré prechádzajú ťažiskom, sú tzv stredové osi hlavy

2.Steiner-Huygensova veta o paralelnom posunutí osí

Steiner-Huygensova veta (Steinerova veta).
Axiálny moment energie prevláda nad I ešte raz neposlušná os x k súčtu axiálneho momentu zotrvačnosti I od rovnobežnej rovnobežnej osi x *, aby prešiel stredom nápravy a pridal plochu na nový povrch A ku štvorcu závesu d medzi dvoma osami.

Len čo sa znázornia momenty energie I x a I y pozdĺž osí x a y, potom aj osi ν a u, otočené na kocke α, vypočítajú sa momenty energie osí a stredov podľa na vzorce:

Môžete to vidieť na vzorcoch vznášania

Tobto. množstvo osových momentov energie pri otáčaní vzájomne kolmých osí sa nemení, takže. ... Hlavové osy, ktoré prechádzajú ťažiskom, sú tzv prekročením centrálnych osí hlavy... Pre symetrické osi symetria ї podľa centrálnych osí hlavy. Poloha osí hlavy presahuje od začiatku ostatné nápravy, vicorist a pomer:

de? Nápravové momenty osi hlavy sú tzv hlavy momenty energie:

znamienko plus pred ďalším prídavkom sa prenáša až do maximálneho momentu energie, znamienko mínus - na minimum.