Субинтеграл в цилиндрични координати. Третият интеграл в цилиндрични координати. Акти на властта на потребителския интеграл

Запишете интеграция на трета страна по следния начин:

Изчислете третия интеграл - означава да знаете номера, Vтака или иначе регионите са същите V .

Практически дермалният може да усети усещането да брои разточителния интеграл „на собствената си кожа“. По -точно - "отидете на шкирой" и по -точно - зад вашите енергийни органи - белите дробове. Независимо от факта, че знаете и не знаете за това, в легендите на хората има 700 милиона алвеоли - луковични устройства, преплетени с плетени капиляри. Газообменът се осъществява през стените на алвеолите. Това може да стане по следния начин: можете да използвате газ в lokgіkh, можете да си го представите в средата на компактна зона. И полярността на obsyag на малки obsyagiv, zooseredzhenih в алвеолите. Броят на алвеолите в легендите е ключовата роля в цялата пореста земя. величествено количествомалко „математически, точно както е формулирано от разбирането за потребителския интеграл.

Защо най -полезният интеграл служи за знанието на цялата тила V? здравей регион Vросбит на н превилни зони Δ viОсвен това, в името на poznachennyam разчитат на uvaz не само малка площ на кожата, но й я obsyag. В кожата на такава малка площ се образува голяма точка Мi, а е(Мi)- значението на функцията е(М) В точката. Сега ще увеличим максимално броя на такива малки площи и най -големия диаметър Δ vi- nawpaki, zmenshuvati. Чи може да постави интегралната сума във формата

каква функция е(М) = е(х, y, z) е непрекъснато, тогава ще бъде между интегрални суми ум, определено vische. Qia meza и ще се обадя интеграция на трети страни .

Имат широк спектър от функции е(М) = е(х, y, z) да се нарече интегриран в региона V ; V- областта на интеграция; х, y, z- промяна на интеграцията, dv(або dx dy дз ) - елемент на obsyagu.

Изброяване на интеграла на отпадъците чрез промяна в множеството

Като и в обхвата на подинтегралите, изчисляването на трети интеграли се извежда до изчисляването на интегралите с по -ниска кратност.

Районът е чист V... Отдолу и отгоре (tobto на височина) зоната е заобиколена от повърхности z = z1 (х, y) і z = z2 (х, y) ... Зад страните (tobto по ширина) зоната е заобиколена от повърхности y = y1 (х) і y = y2 (х) ... I, nareshty, с глибин (като погледнете областта в дясната посока на оста Вол) - повърхности х = аі х = б

Щеб застосовуват прехода към интеграли с по -малка множественост, е необходим, но тривиален регион Vкуршумът е правилен. Вона е прав, ако е прав, успоредно на оста Оз, Перетина кордон на региона Vне повече от в две точки. Редовните тривиални области са например правоъгълен паралелепипед, елипсоид, тетраедър. На малко по -ниско - правоъгълен паралелепипед, който можем да използваме в първото приложение за решаване на проблеми.

За да се установи правилността на грешката, предварително повърхността по височината на правилната площ не е виновна, но не е виновна в средата. На малко по -ниско - задника на грешната област V- едностранен хиперболоид, повърхността на права линия, успоредна на оста Оз(Червоного колору), преливаща все повече и повече в две точки.

Ще разгледаме само правилните области.

Одже, област V- е вярно. Todi за всяка функция е(х, y, z) , Без прекъсване в района V, Валидна е следната формула

Формулата qia ви позволява да увеличите изчислението на потребителския интеграл до последното изчисление на вътрешния интегрален пеещ за промяната z(Ако има хі y) I znіshnіy subintegral над двупосочната област д .

От подинтеграла към втория ще приема формулата за изчисляване на субинтеграла:

В такъв ранг, за изчисляване на разточителния интеграл, е необходимо да се преброят трите пеещи интеграла последни.

Изчислява се като неразделна част от най -вътрешното (според промяната z) До последния (според зимата) х). За удобство и последователност броят на трите „вноски“ на интеграла може да бъде записан, както следва:

.

Ще запиша недвусмислено, че:

• селекция от нужди за интегриране на функции е(х, y, z) при промяна z, И в пространството между интеграцията на вземане на ryvnyannya z = z1 (х, y) і z = z2 (х, y) фланкирайте областта отгоре Vпо -долу и по -горе;
• y y = y1 (х) і y = y2 (х) върху повърхността, така че да подравните областта Vот бичните страни;
• viyshov на преден план резултат от интеграцията чрез промяната х, И в пространството между интеграцията на вземане на ryvnyannya х = аі х = бвърху повърхността, така че да подравните областта Vчрез глибин.

Приклад 1.Не преминавайте от втория интеграл, можете да преминете към втория интеграл

-

последните три стойности на интегралите. Изчислете повторения интеграл.

Решение. Изчислението на реинтеграла трябва да се поправи от повторния интеграл:

.

Много други интеграли - според промяната y:

.

х:

.

Тема: Датски повторен интеграл и конкатениран втори интеграл към втори 10.

Приклад 2.Изчислете третия интеграл

,

de V- паралелепипед, заобиколен от зони х = − 1 , х = + 1 , y = 0 , y = 1 , z = 0 , z = 2 .

Решение. Междуинтеграцията и за трите вида интеграция се дава недвусмислено от местните хора, които трябва да бъдат заобиколени от паралелепипеди. За целта се произвежда трети интегрален интеграл наведнъж до последните три интегрални стойности:

.

z

.

Изчислен интеграл "в средата" - според промяната y... отримуемо;

.

Сега номериран най -новия интеграл - според промяната х:

Изглед: Даний е неразделна част от сграда -2.

Приклад 3.Изчислете третия интеграл

,

de Vх + y + z = 1 и координира области х = 0 , y = 0 , z= 0. площ Vпроект към района xOyв трикутник д, Як е показан в долната част на малкия.

Решение. Може да се настрои с набор от цялостно интегриране. За интеграл на Zminnoї zдолната граница на интегрирането на задачите е недвусмислена: z= 0. Шоб очертава горната граница, видимо zс х + y + z = 1 ... Отримуемо 1 - х − y... За интеграл на Zminnoї yдолната граница на интегрирането на задачите е недвусмислена: y= 0. За визуално премахване на горната граница yс х + y + z = 1 , Ввазаючи с цому, scho z= 0 (по този начин линията е премахната в областта xOy). Отримуемо: 1 - х .

Последните три интеграла са създадени да издържат до последните три пъти:

.

Многобройна вътрешна интеграция - според промяната z, Vvazayuchi икс и игрек константи. отримуемо:

.

y... отримуемо:

х:

Тема: Вътрешна интегрална врата на Даниян 1/8.

Изчислете третия интеграл независимо и след това се учудете на решението

Приклад 4.Изчислете третия интеграл

,

de V- пирамида, заобиколена от квадрат х + y + z = 1 и координира области х = 0 , y = 0 , z = 0 .

Подреждане между интеграцията по време на прехода до последния ден на трите интеграла

Бу, студентите, които нямат особени затруднения без нуждата от среден брой интеграли, не могат да свикнат с интегрирането между интегрирането по време на прехода от потребителския интеграл към последните три стойности на интеграла. Деякът се нуждае от обучение по правилния начин. Първото приложение има областта на интеграция VТова беше паралелепипед, с всичко зоосило: от двете му страни, за да обгради района, а това означава, че между интеграцията е уникално зададена от областта. Другият задник има пиратство: тук също се нуждаете от още три мисли и една видимост между ривнянята. И регион Якшо Vда бъде заобиколен от неравни повърхности? Необходимо е по един особен начин да се огледа региона с певчески сан V .

По някаква причина ще бъда „страшен“, ще видя „ситуацията, ще се доближа до битката“.

Приклад 5.Поставяне на интеграция по време на прехода от потребителски интеграл към определен регион V- елипсоид

.

Решение. Хайде, центърът на елипсоида е кочан от координати, Як е показан на малкия. Ще бъдем изненадани от елипсоида по -долу. Отдолу, аз съм заобиколен от повърхността, където е тази част от повърхността на елипсоида, якото е изпечено в долната част на областта xOy zи премахването на viraz със знака на минус ще бъде долната граница на линията z:

.

Сега сме изненадани от елипсоида отгоре. Тук ще преплета повърхността, която е частта от повърхността на елипсоида, якът е изпечен през осата xOy... Отже, необходимо е да го видим от ryvnyannya elipsoyda zи премахването на вируса ще бъде горната граница на интеграцията през зимата z:

.

Проекция на елипсоида върху областта xOyе elipsoïd. Його Ривняня:

Schob подрязва долната граница на интеграцията за зимата y, Трябва да се види yот ryvnyannya на елипсоида и вземане на отримацията на viraz със знака минус:

.

За горната граница на интеграция до зимата yсъщият вираз със знак плюс:

Какво да правим с интеграцията през зимата х.Този район Vтой е заобиколен от квадрати. Отже, между интеграцията на промените хМожете да покажете координатите на задната и предната зона на кордона. Веднъж елипсойд те ще бъдат взети с отрицателни и положителни знаци за величината на дожин пиввис а: х1 = − а і х2 = а .

С такъв ранг последният от интегралите за изчисляване на задължението на елипсоида е:

,

de "игрек pershe", "igrek friend", "zet persche" и "zet friend" - otrimaní vishche vyrazhennya. Докато сте bazhanya и vidvaga броите интеграла и, такъв ранг, obsyag elipsoyda, тогава оста се показва: 4 πabc/3 .

Отстъпете - не толкова страшно, колкото само когато погледнете. С голяма воня не е само подредбата между интеграцията, а изчисляването на най -разточителната интеграция. Перевирт, това, което сте дошли, юргани за решенията на "ужасния" задник. Мислейки кога ще се случи едно и също нещо.

Приклад 6.Изчислете третия интеграл

където областта на интеграция граничи с области х + y = 1 , х + 2y = 4 , y = 0 , y = 1 , z = 1 , z = 5 .

Решение. Притежателят „курорт“ е едновременно с приклада 5, така че интеграцията между „игрек“ и „zet“ е недвусмислено обозначена. Ale ще има шанс да отиде до границите на интеграцията от "IX". Проектиране на зоната на интеграция в района xOyе трапеция ABCD.

В същото време проектът е готов за трапеца Ой, Инакше, трябва да преброиш третия интеграл, за да можеш да разделиш фигурката на три части. В дупето 4 ремонтирахме вида на интеграционната област отдолу и редът беше перфектен. Но в целия задник ще започнем да се оглеждаме отстрани или, тъй като е толкова просто, те се поклониха на фигуру набик и безкрайно, като й се чудеха отдолу. Можем да познаем границите на интегрирането чрез "IX" чисто алгебрично. Като цяло визуално "ix" от първия и другите ивняни, почит в съзнанието на дупето. 3 първи балансиран mo долна граница 1 - y, 3 от другата - горната 4 - 2 y... Изграждането на нов интеграл до последния ден на три стойности на интеграла:

.

Увага! В същото време най -популярният интеграл не е чрез промяната „ix“, а чрез промяната „igrek“, а „средният“ - чрез промяната „ix“! Тук бяхме заседнали с промяна в реда на интегриране, за което бяхме наясно с въвеждането на подчинен интеграл. Свързан е заедно, както вече казах, огледахме областта на интеграция не отдолу, а отстрани, така че го проектирахме да виси Вол, В ефир Ой.

Многобройна вътрешна интеграция - според промяната z, Vvazayuchi икс и игрек константи. отримуемо:

Изчислен среден интеграл - според промяната х... отримуемо:

.

Nareshty, номериран с името на интеграла - според промяната y:

Относно: Домашна интегрална врата на Даню 43.

Приклад 7.Изчислете третия интеграл

,

където интеграционната зона е заобиколена от повърхности х = 0 , y = 0 , z = 2 , х + y + z = 4 .

Решение. регион V(пирамида MNRP) Е правилно. прожекционна зона Vна площада xOyе триколка AOB.

Долните граници са интегрирани във всички промени в съзнанието на задника. Ние знаем горната граница на интеграцията според "IX". За цялото vislovimo "x" от четвъртата ривняня, vazhayuchi "igrek" е равно на нула, а "z" е равно на две. отриммо х= 2. Знаем горната граница на интегриране според "Ігрек". За цялото визуално "игрек" е от същата четвърта ривняня, възжаючи "z" е равно на две, а "ix" е зъл размер. отриммо y = 2 − х... Аз, nareshty, ние познаваме горната граница на интеграцията въз основа на "zet". За цялото визуално "z" от една и съща четвърта ривняня, важаючи "игрек" и "zet" в различни количества. отриммо z = 4 − х − y .

Изграждането на нов интеграл до последния ден на три стойности на интеграла:

.

Многобройна вътрешна интеграция - според промяната z, Vvazayuchi икс и игрек константи. отримуемо:

.

Изчислен среден интеграл - според промяната y... отримуемо:

.

Номериран с името на интеграла - според промяната хи има остатъчни познания за третия интеграл:

Изглед: Даниел Домакински интеграл 2.

Замяна на победителите в интеграцията на дома и цилиндричните координати

Що се отнася до проекцията на интеграционната област, независимо дали е от координатните области е дали е част от залога, тогава третият интеграл е по -опростен, преминавайки към цилиндрични координати. Цилиндрична координатна система полярната координатна системаза пространство. В системата от цилиндрични координати точката Мхарактеризиращ се с три количества ( r, φ , z), Де r- вижте кочана на координатите към проекцията нточки Мна площада xOy, φ - kut mzhzh вектор НА i положителна права ос Вол, z- точка кандидат М(Malunok по -долу).

правоъгълни координати х, y, zс цилиндрични координати r, φ , zплетени формули

х = r cos φ ,

y = rгрях φ ,

z = z .

За да се премине към цилиндричните координати във вътрешната интеграция, е необходимо да се използва визуалната функция на визуалното r, φ , z:

За да преминете от праволинейни координати към цилиндрични, вземете офанзивния ранг:

Потребителски интеграл в цилиндрични координатиТя може да бъде изчислена като такава в декартови правоъгълни координати, чрез преобразуване в последните три интегрални стойности:

Приклад 8.Изчислете третия интеграл

преход към цилиндрични координати, де V- зона, заобиколена от повърхности i.

Решение. Така регион Як Vна площада xOyпроект в коло, след това координатата φ променете от 0 на 2 π , Координата r- от r= 0 до r= 1. Постоянен смисъл в пространството на цилиндъра. Погледнете същия цилиндър в района V, Otrimuєmo zmіnu ordinati zот z = r² до z= 1. Възможно е преминаване към цилиндрични координати и не е приемливо.

Приложете решение за добра интеграция на трети страни.
Физически добавки на потребителския интеграл

Във втората част на урока научавам за технологията на решението на основната интеграция на трети страни , В някои pídіntegralna функция на три зимив загален vyadrіznyayê да се появи като константа и не се прекъсва в региона; и също така познаваеми с физически добавки на потребителския интеграл

За тези, които са нови за бюлетина, препоръчвам да започнете от първата част, те разгледаха основните разбирания и задачата да познаем малко мазнини зад помощта на разточителния интеграл... Повторете разтвора стари функции на три зими, Оскилки в дупетата, дадени от statty ще победим операция vorotnu – частна интеграцияфункции.

Освен това има още един важен момент: ако имате лошо самоуважение, тогава четенето на цялата страна е по-красиво от силата. Аз отдясно не съм само във факта, че в същото време се увеличава сложността на изчислението - в голям брой интеграции на трети страни няма превъзходни методи ръчно преобразуване, Том, до последния ден в региона не е необходимо да започваш в стотни от лагера. В случай на понижен тонус, послушно повиришуват така-мъгла по-простоза просто пускане (аз съм труден, шегувам се =)) и веднага с глава натиснете напред надясно над третите интеграли:

задник 13

Изчислете третия интеграл

На практика също е възможно да се разпознае буква, но дори не гарний вариант, Ще разгледам тези "ve" "запазени" за определеното obsyagu.

Веднага ще ви кажа, че НЕ се ИЗИСКВА. Няма нужда да се регистрирате електропроводии представляват интеграла на вигляда. Ако искате, можете. Това е напразно, има и малък плюс - напишете, ако искам да го направя, но след това по -малко тормоз. Но такъв пидхид в крайна сметка не е стандартен.

В алгоритъма решениеновостта няма да е богата. Ще трябва да отидете в областта на интеграцията. Проекцията на пода върху площта е до болезнено позната триколка:

Топ тило обмежено квадрат, Як преминават през кочана на координатите. Отпред, до думата, е необходимо обавязково реконвертиране(Мисли за чернеци), Не "zrіzaê" tsya област е част от триколка. - тъп, даден направо (На фотьойли)"За да преминете повз", и проекцията на тялото върху зоната на действие е трикутник.

Чи не се сгъва тук и просторен фотьойл:

Всъщност е възможно само да бъде прекъснат, проекцията е още по -проста. ... Е, само за прожекционните кресла, така че е просто =) Протестът срещу нищо не е фотьойл;

Е, разбира се, няма как да не ви зарадвам със заключенията на персонала:

задник 19

За да познавате центъра на вагите на едностранно тил, заобиколен от повърхности, ... Стол Viconati на дадената сграда и проекция върху района.

Решение: Shukane tilo е заобиколен от координатни области и квадрат уявити в видризки:. Viberemo "a" за едно мащабно и тривиално кресло:

Точката в центъра на вагите вече е поставена на стола, но това не е известно.

Проектирането на сградата върху района е очевидно, но предполагам, че не е по -малко от това, ще позная как да го позная аналитично - дори такива прости проблеми далеч не са очаквани. За да знаете права линия, в зависимост от това как зоната прелива, е необходимо да циркулирате системата:

Подставяне на стойността в 1 -ва ривняня: "Плосък" прав:

Координатите на центъра на wagi tila се изчисляват по формулите
, Де - обсяг тила.

1. Цилиндричните координати представляват данните за полярните координати в областта xy с необикновена декартова апликация z (фиг. 3).

Нека M (x, y, z) е достатъчна точка в пространството xyz, P е проекцията на точката M върху областта xy. Точка М недвусмислено е представена с три числа - полярните координати на точката P, z - кандидатът на точка М.

Якобиански (8)

задник 2.

изчислете интеграла

de T - зона, заобиколена от повърхности

Решение. Нека преминем към интеграли до сферични координати съгласно формулите (9). Областта на интеграция може да бъде зададена от нередности

А това означава

задник 3Знайте обсяг до ограничено:

x 2 + y 2 + z 2 = 8,

Махмо: x 2 + y 2 + z 2 = 8 - сфера с радиус R = v8, центрирана в точка O (000),

Горната част на конуса z 2 = x 2 + y 2 от върха на симетрията Oz и горната част в точка O (фиг. 2.20).

Знаем, че линията преобръща сферата и конуса:

І така как зад мивката z? 0, тогава

Кръгът е R = 2, който лежи в областта z = 2.

Том е ужасен (2.28)

de зона U е заобиколена отгоре

(Част от сферата),

(Част от конуса);

зона U да се проектира върху областта Охи в зона D - радиус 2.

Също така си струва да преминем към дъното на интеграла към цилиндричните координати, формули на використовучи (2.36):

Между промените, r се познава от областта D v извън R = 2 с центъра в точка O, от нас самите: 0? Ts? 2p, 0? R? 2. По този начин площта U в цилиндрични координати се определя от появата на нередности:

Уважаеми, scho

Повторно внедряване на подлинейния интеграл от праволинейните координати, към полярни координати
, Повязанах с праволинейни координати
,
, Потърсете формулата

Регионът на интеграция Якшо
заобиколен от два откоса
,
(
), Които излизат от полюсите и две криви
і
Тогава субинтегралът се изчислява по формулата

.

Приложение 1.3.Пребройте площта на фигурките, заобиколена от тези линии:
,
,
,
.

Решение.За изчисляване на площта на региона
бързо по формулата:
.

възможна зона (Фиг. 1.5). За много реконструирани криви: , , , . Нека преминем към полярни координати: , . . В полярните координатни системи областта описано от rívnyannyi:

.

1.2. интеграция на потребителите

Основните степени на третите интеграли са аналогични на степента на подчинените интеграли.

В декартовите координати запишете третия интеграл така:

.

Якшо
, Това е третият интеграл в региона числено dorіvnyê obsyagu tila :

.

Изчисляване на потребителския интеграл

Нека регионът да се интегрира затворени отдолу и отгоре с очевидно недвусмислени ненарушени повърхности
,
, И проекцията на региона на координатна площ
е плоска площ
(Фиг. 1.6).

Тоди с фиксирани стойности тип приложения точки от региона промяна в границите. Тоди отримуемо: . Yaksho, освен това проекцията започнете с нередности , , de - недвусмислено без прекъсване функции на , тогава

.

Приложение 1.4.броя
, де - тило, заобиколен от области:

	, , , ( , , ). Решение.Областта на интеграция е пирамида (фиг. 1.7). проекция на площ е триколка , Преплетени от прави линии , , (Фиг. 1.8). при прилага точки доволен от нередностите , че .
	Разставящи межи интеграция за триколка , отримаемо

Третият интеграл в цилиндрични координати

При тръгване от декартови координати
към цилиндрични координати
(Фиг. 1.9), плетени с
spivvidnoshennymi
,
,
, освен това

	, ,, Полезен интеграл за повторно изпълнение: Приклад 1.5.Изчислете дължината на тялото, затворена от повърхности: , , . Решение.Шуканий обсяг тила врата .
	Областта на интегриране е част от цилиндъра, граничеща с област отдолу , И над района (Фиг. 1.10). проекция на площ е colo центриран върху кочан от координати и един радиус. Нека преминем към цилиндрични координати. , , ... при прилага точки , Доволен от нередностите но в цилиндрични координати:

регион
, Заобиколен от крива
, Nabude viglyadu, abo
, Pri ts'omu polar kut
... Имайте чанта maêmo

.

2. Елементи на теорията на полето

Нагадамо пред начина на изчисляване на криволинейни и повърхностни интеграли.

Изчисляването на кривия интеграл за координатите на функциите, стойностите по кривите , Тя е изградена до изчисляване на певческия интеграл към ума

якошо крив зададено параметрично
vidpovidaê кочанкрив , а
- нейните кинцеви точки.

Изчисляване на повърхностния интеграл от функцията
Определен върху двустранна повърхност , Тя трябва да бъде изградена преди изчисляването на подинтеграла, например във формата

,

повърхност на Якшо , Дадено на rivnyannyam
, Недвусмислено проектиран за района
към региона
... тук - kut mízh единичен нормален вектор към повърхността аз видя
:

.

Умът се нуждае от дясната страна на повърхността Той се инициира от вибратора от типа на формулата (2.3).

Стойност на бизнеса 2.1. векторно поле
се нарича векторна функция на точката
едновременно с района й visashennya:

вектор извън кутията
характеризира се със скаларна стойност - разминаване:

Стойност на бизнеса 2.2. поток векторно поле
по повърхността се нарича повърхностен интеграл:

,

de - един нормален вектор към противоположната страна на повърхността , а
- скаларни вектори на добавки і .

Стойност на бизнеса 2.3. циркулиращ векторно поле

На затворен криво да се нарече крив интеграл

,

de
.

Формула на Остроградски-Гаус Ще инсталирам връзките между потока на векторното поле през затворена повърхност и разминаване на полето:

de - повърхност, заобиколена от затворен контур , а - един нормален вектор към цялата повърхност. Прав нормален мае бути веднага заобикалящ контура .

Приложение 2.1.Пребройте повърхностния интеграл

,

de - името на частта от конуса
(
), Район Vidsіkati
(Фиг. 2.1).

Решение.повърхност недвусмислено проект в района
■ площ
, I интегралът се изчислява по формула (2.2).

Единичен вектор нормален към повърхността ние знаем за формула (2.3): . Тук viraz за нормално има знак плюс, така че yak kut между виссю и нормално - глупаво аз, същото, виновен, но отрицателен. Vrahoyuchi scho , на повърхността отриммо

регион
е colo
... Към това, в последния интеграл, преминаваме към полярни координати, с
,
:

Приложение 2.2.Знайте дивергенцията и ротора на векторното поле
.

Решение.За формула (2.4) вземаме mo

Роторът на дадено векторно поле е известен с формулата (2.5)

Приложение 2.3.Знайте причината за векторното поле
през част от района :
, Розташован в първия Октант
).

	Решение.По силата на формула (2.6) . Явно част от района : , Розташовану в първия Октант. Rivnyannya на дадената област във vidrizki maê viglyad (Фиг. 2.3). Нормалният вектор към областта на координатата ma: , Единичен нормален вектор
	. . , , звезди , Отже,

de
- проекция на площта На
(Фиг. 2.4).

Приложение 2.4.Изчислете потока на векторно поле през затворена повърхност , Произведено от района
аз съм част от конуса
(
) (Фиг. 2.2).

Решение.Скористаемося по формулата на Остроградски-Гаус (2.8)

.

Знаем дивергенцията на векторното поле по следната формула (2.4):

de
- obsyag конус, тъй като yakim се интегрира. Скористаемося, използвайки формулата за изчисляване на непристойността на конуса
(- радиусът на конуса, - йоги висота). Нашата випадку ще бъде разпозната
... остатъчен

.

Приложение 2.5.Пребройте циркулацията на векторно поле
по контура , Osvіchenіy peretin над повърхността
і
(
). Преоценете резултата за формулата на Стокс.

Решение.Перетин на значителни повърхности е обиколка
,
(Фиг. 2.1). Vibiratsya направо около заобикаляне, така че района е заобиколен от гняв. Записваем параметричен контур :

звезди

и параметъра промяна от преди
... За формула (2.7) с уравнения (2.1) и (2.10) можем да изведем

.

Застосуемо сега формулата на Стокс (2.9). Як повърхност , Изпънати по контура , Можете да вземете част от района
... направо нормално
до центъра на повърхността, използвайте директен байпас на контура ... Роторът на даденото векторно поле на изчисления в приложение 2.2:
... Тираж на Том Шукана

de
- площ площ
.
- колонен радиус
, звезди

Свързване с депозитни файлове

Потребителски интеграл.

Контролирайте храната.

Потребителски интеграл, йога мощност.

Подмяна на победителите в потребителската интеграция. Изчисляване на вътрешния интеграл в цилиндрични координати.

Изчисляване на вътрешния интеграл в сферични координати.

каква функция ти= е(x, y,z) Посетен в затворена зона Vотворено пространство R 3.розиб'ємо регион Vдобър ранг за нелементарен затворени зони V 1 , … ,V н, V 1 , …,  V нсъс сигурност. смислено д- най -големият от диаметрите на регионите V 1 , … ,V н... В областта на кожата V квибрира до точката P к (х к , y к ,z к) Запасявам се интегрална сумафункции е(х, y,z)

С =

Viznachennya.интеграция на трети страниот функция е(х, y,z) По региони Vда се нарече границата на интегралната сума
, Какшо той съществува.

В такъв ранг,

(1)

Уважение.интегрална сума Сда лежи в начина на развитие на района V избирам точки P к (к=1, …, н). Ако обаче има граница, не е грешка да се определи начинът за развитие на региона Vизбирам точки P к... Веднага след като стойността на интегралите на под-и потребител е свързана, е лесно да се използва аналогия в тях.

Адекватни умове за скъпата интеграция.Потребителският интеграл (13) isnu, като функция е(х, y,z) Покрити в Vне се прекъсвам V, Зад винетката на крайния брой на гладко повърхности, V.

Акти на властта на потребителския интеграл.

1) Якшо Zе числова константа, тогава

3) Адитивност по региони. къде е регионът V разбити в региона V 1 і V 2, тогава

4) Обсяг тила Vврата

(2 )

Изчисляване на вътрешния интеграл в декартови координати.

Хей д прожекционна зала Vна площада xOy, повърхност z=φ 1 (х,y),z=φ 2 (х, y) Пресечете тило Vотдолу и отгоре е очевидно. Tse означава

V = {(х, y, z): (х, y)д , φ 1 (х,y)≤ z ≤ φ 2 (х,y)}.

Така се нарича zцилиндрична. Consumer Integral (1) от zцилиндрично тяло Vда се изчисли чрез прехода към реинтеграла, който се съхранява от подбазата и пеещия интеграл:

(3 )

При най -често повтарящата се интеграция броят на вътрешния интегрален пеещ се брои за промяна z, по същото време х, y vvazhayutsya postinimi. Възможно е да се изчисли субинтегралът на отделните функции по региони д.

Якшо V х-цилиндричен abo y-цилиндрични, след това правилните формули

Първите формули д  прожекционна зала Vна координатна площ yOz, А в другия  в района xOz

Сложете го. 1) Vichіslіtob'em tila V, Преплетени с повърхности z = 0, х 2 + y 2 = 4, z = х 2 + y 2 .

Решение. Многобройни обсяги за допълнителните разходи на интеграла по формулата (2)

Преминаваме към повтарящия се интеграл за формулата (3).

Хей д коло х 2 + y 2 ≤ 4, φ 1 (х , y ) = 0, φ 2 (х , y )= х 2 + y 2. Todi за формулата (3) otrimaєmo

За да изчислим интеграла, преминаваме към полярните координати. С цяло коло дда се трансформира в безлич

д r = { (r , φ ) : 0 ≤ φ < 2 π , 0 ≤ r ≤ 2} .

2) Тило V облицовани с повърхности z = y , z = -y , x = 0 , x = 2, y = 1. Изчислете

■ площ z = y , z = -yизрежете телата съответно отдолу и отгоре, областта x = 0 , x = 2 фланг само отзад напред и областта y = 1 е ограничено вдясно. V -z-цилиндричен тило, його проекция дна площада хойе правоъгълна OABS... благоприятно φ 1 (х , y ) = -да