Определянето на подчинения интеграл и първата основна степен. Стойността на субинтеграла. Довилна област на интеграция
Подвийни интеграли. стойност подинтегралени властта. Реинтегриран. Изграждане на подинтеграли преди повторение. Поставяне между интеграция. Изброяване на подинтеграли в декартови координатни системи.
1. ИНТЕГРАЛИ НА СУБВЕЙ
1.1. Стойността на субинтеграла
Подчиненият интеграл е общо разбиране за певческия интеграл в контекста на функциите на двама слуги. Като цяло ще има промяна в интеграцията от наличието на плоска фигура.
Хей д- деякът е затворен, зоната е обградена и е(х, y) - доста добра функция, която е често срещана в региона. Ще разрешим квоти между регионите дса съставени от краен брой криви, дадени по подобен начин y=е(х) или х= G ( y), Де е(х) і g(y) - без прекъсване функции.
R
Малка. 1.1
регион Азобе ддобър ранг за нчасти. ■ площ i-та дилянка се обозначава със символа с i... На пилата за кожа просто вибрирам точка P i , и не се притеснявайте във фиксирана декартова система от координати ( х i , y i). наличност интегрална сумаза функция е(х, y) По региони д, за които знаем функцията във всички точки P i, В допълнение към тях върху площта на иs iи pіdsumuêmo всички итримани резултати:
.
(1.1)
на име диаметър диам(G) области Gнай -много се намира между граничните пунктове на целия регион.
подинтегрален
функции
е(х,
y)
по региони
д
да се нарича граница, до каква степен е последната от интеграла
сума
(1.1) с неограничено увеличение на броя на rosbitty
н
(в цём
). Tse напишете обиден ранг
.
(1.2)
Удивително, о, загали изглежда са неразделна сума за дадена функцияи дадени области на интегриране да се поставят по пътя на развитието на района дизбирам точки P i... Въпреки това, тъй като субинтегралът е isnu, това не означава, че границите между двата интеграла не лежат в нито един от значимите фактори. За тази цел подчинената интеграция(Або, как изглежда schob функция е(х, y) бул интегрирани в регионад), Изпълнява функцията на топкатанепрекъснато в дадената област.
NS
Малка. 1.2
.
(1.3)
уважение . Функция Yaksho pіdіntegralnа е(х, y) 1, тогава подинтегралът ще бъде основните области на интеграционната област:
.
(1.4)
Очевидно това, което може да бъде по -интегрираното, същото е силата, какво е интегрираното. Явно действията на тях.
Силата на подчинените интеграли.
1 0 . Линейна мощност. Интеграл и суми функции доривния суми интеграл:
и постоянен множител може да бъде обвинен за интегралния знак:
.
2 0 . Адитивна мощност. Интеграция на региона на Якшодразделени на две части, тогава подинтегралът ще се използва за неразделната част от кожата:
.
3 0 . Теоремата за средата. каква функция f ( х, y)непрекъснато в регионад, Тогава в цялата област има такава точка() , scho:
.
Какви са възможностите за храна: как се отчитат подинтегралите? Тя може да бъде номерирана отблизо, с помощта на пълно разделяне на ефективните методи за сгъване на общите интегрални суми, които могат да бъдат преброени числено зад помощта на МНВ. В случай на аналитично изчисляване на подинтеграли, е необходимо да се доведат до двойни интеграли.
1.2. многократна интеграция
Повтарящите се интеграли се наричат интеграли на ума
.
(1.5)
В голямо разнообразие от начини, вътрешната интеграция се брои, така че се извършва събиране на интеграция чрез промени y(С цому зминна х vvazhaêtsya postynoyuyu). В резултат на интеграцията на y viide deyaka функция на х:
.
Нека отнемем функцията за интегриране чрез х:
.
Приложение 1.1.Изчислете интегралите:
а) 
, Б) 
.
Решение ... а) Zrobimo интеграция чрез y, Вважаючи, scho zminna х= const... Писля циого номериран интеграл от х:
.
б) Така че, както при вътрешната интеграция, интеграцията се извършва според промяната х, тогава y 3 може да бъде обвинен в интегралния интеграл като постоянен множител. отпадъци y 2 за вътрешния интеграл, той се надува с постоянна стойност, тогава интегралът ще бъде табличен. Viroblyayuchi след интеграцията от yі х, ние ще
Между подеинтегрираните и повтарящите се интеграли има проста взаимовръзка, но има и някои прости и сгъваеми области. зоната, която ще бъде наречена простпо права линия, подобно на права линия, извършена по права линия, кордонът на региона беше премотен не повече от в две точки. В декартовите координатни системи гледайте осите O в правилната посока хаз О. y... Ако областта е проста в двете посоки, тогава говорейки накратко - проста област, без да виждате в нито една посока. Ако регионът не е празен, изглежда така сгъваема.
L
а б
Малка. 1.4
Всяка зона на сгъване може да бъде представена от зрителя на суми от прости области. Очевидно, дали подинтеграл може да бъде представен в сумата от подинтеграл зад прости области. Че в фалшивите ще можем да видим, основно, само интегрирани в прости области.
теорема . Интеграция на региона на Якшод- лесна права осОй(Div. Fig. 1.4), тогава подинтегралът може да бъде записан за втори път с офанзивен ранг:
;
(1.6)
къде е регионът на интеграцияд- лесна права осВол(Div. Ріс.1.4b), тогава субинтегралът може да бъде записан в многократния офанзивен ранг:
.
(1.7)
E
Малка. 1.3
1.3. РОЗИРАНЕ МЕЖДУ ИНТЕГРАЦИЯТА
1.3.1. Дирекция регион интеграция
NS
Малка. 1.5
Приложение 1.2.Пребройте субинтеграла
.
Решение ... Възможно е да се запише подинтеграл в повтарящия се изглед:
.
1.3.2. Довилна област на интеграция
За да преминете към подинтеграла преди следващата стъпка:
да осигури интеграционната зона;
Поставете границите в интеграла, с много памет, но интегралният ток е виновен за постоянните стойности (да бъдат числата), независимо от факта, че извиканият интеграл се брои.
Приложение 1.3.Поставяне на интеграцията във вторичните повторени цели числа за подинтеграла
, Якшо а) 
б) 
R
Малка. 1.6
.
Нека сега интеграцията в новата интеграция да се извърши съгласно y, А вътрешната - от х... Имат значение tsyomu vipadku yще се промени от 0 на 2. Въпреки това горната граница на промяната е стойността на промяната хще има два далянока х= y/ 2 i х= 1. Tse означава, че областта на интеграция трябва да бъде разделена на две части направо y= 1. Todi в първия регион y се променят от 0 на 1, и хотидете направо х= y/ 2 направо х= y... В други области y се променят от 1 на 2 и х- отидете направо х= y/ 2 направо х= 1. В резултат на това можем
.
б
Малка. 1.7
; за разнообразие yпромяна от y= 0 до y=1–х... В такъв ранг,
.
Нека сега имаме най -новата интегрална интеграция y, А вътрешната - от х... В целия випад yще се промени от 0 на 1 и ще се промени х- изглед на дъгата на кръг 
направо х=1–y... В резултат на това, otrimaєmo
.
Дани изложи, тъй като е важно правилно да изберете реда на интегриране.
Приложение 1.4.Променете реда на интегриране
а) 
; б) 
.
R
Малка. 1.8
.
б)Ще остана в областта на интеграцията. На път за y zminna хпроменете направо х=yдо парабола 
; to go - върви направо х=yнаправо х=
3/4. В резултат на това въведете областта на интеграция (раздел. Фиг.1.9). При представянето на подканеното бебе, поставено на ръба на интеграцията,
.
Точков и нормален на повърхността
Viznachennya. нормалнокъм повърхността в точка N 0 се нарича права линия, която преминава през точка N 0, перпендикулярна на точкова зона към цялата повърхност.
Ако има точка, има повърхност, или аз ще съвпадна само с една област, или не.
Когато повърхността е дадена равна z = f (x, y), тогава f (x, y) е функция, която се диференцира в точки M 0 (x 0, y 0), подобно на площта в точки N 0 (x 0 , y 0, (x 0, y 0)) съществуват и м нива:
Rivnyannya нормално към повърхността в точката:
геометричен zm_stomна основния диференциал на функцията на две промени f (x, y) в точката (x 0, y 0) е увеличението на прилагането (координатата z) на пунктираната област към повърхността при преминаване от точката (x 0, y 0) до точката (x 0 + D x, y 0 + Dy).
Вижда се, че геометричният сензорен диференциал на функцията на две вина е просторен аналог на геометричния смисъл на диференциала на функцията на една зима.
Задник.Познайте нивото на пунктираната зона и нормално спрямо повърхността
в точка М (1, 1, 1).
Rivnyannya dotichnoy район:
Еквивалентно нормално:
Изчисляване на интеграла на подлинията в полярни координати.
Регион Нехай D е заобиколен от линия r = r ()и обмен = і = , de i r- полярни координати на точка от областта, обвързани с декартови координати хі y
Spívvіdnoshennymi (фиг. 5). В целия випад
Уважение.Якшо местност D в Декартови координатиАко се запитате как да отмъстите на бином, например и т.н., тогава изчисляването на субинтеграла за такава област се извършва ръчно в полярни координати.
Интеграл на метрото. Основните ценности и сила.
Подвийни интеграли.
Лесно е да видите затворената крива на deyaku на квадрата,
Броят на точките, които лежат в средата на кривата и върху самите криви, се нарича затворена област D. Ако точките на област без точки са вибрирани, тогава лежат върху кривите, зоната ще се нарича отворена зона D .
От геометрична гледна точка D - областта на фигурката, заобиколена от контур.
Разибьемо област D върху n частични области по права линия, един изход от една по осите D x i, а по оста y - по Dy i. Очевидно такъв ред на разпределение е задължителен, възможно е да се разбие зоната на части от диленката с модерна форма и размер.
Ще се признае, че областта S се простира на елементарни правоъгълни пътеки, зоната на пътищата S i = Dx i × Dy i.
В дермалната част на зоната има много голяма точка P (x i, y i) и сгъваема интегрална сума
de f - функцията е непрекъсната и недвусмислена за всички точки от областта D.
Няма край на броя на подразделения D i, тоест, очевидно, площта на кожното подразделение S i pragne до нула.
стойност: Когато плетенето на една кука на областта D е интегрирано до нула, ако минзухарът на областта D е интегриран, тогава той се нарича подинтеграленпо функция f (x, y) по площ D.
Поради причината, че S i = Dx i × Dy i е възможно:
В точката на влизане на записа е има два знака на S, така че сумирането се извършва след две зимни x и y.
Колебанията в областта на интегриране са напълно достатъчни, както и вибрациите на точки P i, тогава, ако всички области S i са еднакви, можем да приемем формулата:
Имайте предвид разбирането на субинтеграла.
Формулирайте достатъчно разбиране за подинтеграла.
Теорема. Ако функцията f (x, y) е непрекъсната в затворената област D, тогава субинтегралът е isnu
Теорема. Като има предвид, че функцията f (x, y) е затворена в затворена област D и не се прекъсва по никакъв начин, с изключение на крайния брой на частично гладки линии, тогава подинтегралният isnu.
Силата на подчинения интеграл.
3) Ако D = D 1 + D 2, тогава
4) Теорема за средата. Подинтеграл на функцията f (x, y) осигурява допълнителна стойност за цялата функция в една от точките на интеграционната област в областта на интеграционната област.
5) Ако f (x, y) ³ 0 в областта D, тогава .
6) Ако f 1 (x, y) £ f 2 (x, y), тогава.
№43 ВисначениеВсичко е наред, криво е ° Свекторната функция е зададена с- Довжина дъга крива. Тоди е загубена векторна функция
Това е единичен вектор за изправяне на юзди близо до дадената крива (бебе 1).
При вида на формулите α, β
і γ
- kuti миж dotichnіy и положителни прави оси O х, О yаз О. z, Всъщност.
Въведете векторна функция, която може да бъде записана на крива ° СТака че, за скаларна функция
След премахване на крив интеграл Такъв интеграл се нарича крив интеграл от друг вид от векторната функция на кривата ° Сзнам как
С такъв ранг, за име,
de - единична векторна дотика до крива ° С.
Останалата формула може да бъде пренаписана и във векторна форма:
De.
якошо крив ° Слежи в областта О xy, Тогава vvazayuchi R = 0, ще го направим
Силата на кръста от различен вид
Криволинеен интеграл от II вид мощност: Нехай ° Собозначаващ извивката на ухото в точката Аи кинцевската точка Б... смислено чрез -° Скривата на протолежния направо - навън Бпреди А... Тоди
Якшо ° С- ob'dnannya криви ° С 1 аз ° С 2 (Фигура 2), след това Якшо е крив ° Ссе дава параметрично в зрителя, тогава Якшо е крива ° Слежи в областта О xyи е дадено равноTm (прехвърляне, R = 0 і t = x), Тогава последната формула се записва на viglyad
№49 Повърхността F е дадена изрично z = z (x, y), (x, y) Î D (компактно),
de z (x, y) maê в D без прекъсвания насаме в първия ред, функцията f (x, y, z) е присвоена и непрекъсната на F.
Доставено. За области ще се мо
Todi Integral Sumi Dorivnyuvatiut
Сумата на Перша е интегрална за, друг може да бъде счупен как с много малка вибрация, за да завърши с малко росбит. Постоянен прекъсване на функция f (x, y, z (x, y)) върху D.
№ 40 (продължение) Адекватното разбиране за извития интеграл от първи вид ще се формира все повече и повече, ако се покаже по пътя на неговото изчисление.
Обозначението на извития интеграл от първи вид за структурата също е същото като обозначението на пеещия интеграл. За това криволинейният интеграл от първи вид може да бъде с мощност, която е певческият интеграл. Водени от властта, без да докладвате.
Силова криволинейна интеграция на I KIND
1., де - довжина крива.
2. Възможен е постоянен множител за знака на извития интеграл от 1 -ви род, tobto
3. Извит интеграл от първия вид алгебрична сума от две (крайно число) функции на международна алгебрична сума от криви интеграли от I вид от всички видове функции, до
4. Ако кривата е разделена на две части, ако няма спящи вътрешни точки, тогава
(Силата на добавката на извития интеграл от първи вид).
5. След това навсякъде по кривата функция ()
6. Навсякъде по кривите (),
7)
де - довжина крива.
8. (теоремата за началната средна стойност за крив интеграл от първи вид)
де - довжина крива.
№ 42Лина крива.
Ако интегралната функция f (x, y, z) ≡ 1, тогава от стойността на извития интеграл от първи вид можем да го отречем, но във всички случаи е възможно да се интегрира кривият интеграл
Маса крива.
Vazhayuyu, но интегралната функция γ (x, y, z) е началната точка на скин точката на кривата, която се познава по кривата на формулата
3. Моменти на криво, знам, че е толкова малък, като в равна площ: -
статични моментиплоска крива l за оси Ox и Oh;
моментът на инерция на просторното криво очевидно е кочан от координати;
· Моменти на инерция на кривата ос на координатните оси.
4. Координирайте центъра на кривата, която ще се изчисли, съгласно формулите
№ 38 (2) Замяна на промяната в третата част на интеграцията
Когато изчислявам потребителски интеграл, като подчинен, често ще ги заменям на ръка. Това ви позволява да опростите външния вид на областта на интеграция или интегриран вираз.
Не се притеснявайте за интеграла на задачата на трета страна в декартовите координати x, y, z в областта U:
Необходимо е да се изчисли датският интеграл в новите координати u, v, w. Взаимовръзката между старите и новите координати се описва от връзката:
Предайте, както и пороците на обидния ум:
1. Функцията φ, ψ, χ без прекъсване наведнъж със собствени частни;
2. Съществува взаимно недвусмислена връзка между точките от областта на интегриране U в пространството xyz и точките от областта на U "в пространството на uvw;
3. Якобска трансформация I (u, v, w),
Последният знак е навсякъде в областта на интеграцията на САЩ.
Това е формулата за замяна на победителите в потребителската интеграция, за да бъдат регистрирани с vigiladi:
При задържане, огъването означава абсолютната стойност на якобиана.
№38 Консумирани интеграли в сферични координати
Сферичните координати на точката M (x, y, z) са три числа - ρ, φ, θ, de
ρ е величината на радиус вектора на точката М;
φ - kut, изявления на проекцията на радиус -вектора върху областта Oxy и vssu Ox;
θ - извън посоката на радиалния вектор от положителната ос на Oz (бебе 1).
Beast за уважение, където стойностите на ρ, φ в сферично i цилиндрични координатиима един вид един.
Сферични координати на точката на свързване с декартовите координати на връзката
Якобиан към прехода от декартови координати към сферични изгледи:
Сгъваем виснатник на две колони,
Очевидно абсолютната стойност на якобиан е една
Отже, формулата за замяна на промените, когато декартовите координати се преосмислят в сферичния изглед:
Третият интеграл се изчислява в сферични координати, ако областта на интегриране U е кулу (или част от него) и / или ако интегрална вибрация на виглиада f (x2 + y2 + z2).
повърхност
Виберамо върху гладка повърхност (затворена или заобиколена от гладък контур) точка М0 и изтеглена в нормалата към повърхността, вибрираща за неправа линия (една от двете). Начертано върху повърхностите на затворения контур, за да се поправи и завърши в точка М0. Точката М е видима, възможно е да се заобиколи контура, а в позицията на кожата нормалата се изчертава право напред, в якото нормалата от предната точка непрекъснато се пресича. Когато заобиколите контура, нормалът ще се завърти в точка М0 в позиция на първа кочан, ако има някакви вибрации на точка М0 на повърхността, повърхността се нарича двустранна. Искам да променя една точка от противоположната страна, повърхността се нарича едностранна (но едностранната повърхност служи като лист на Мебиус).
стойност
Броят точки на повърхността в същата посока като третата нормала се нарича страна на повърхността.
Подреждане на повърхността.
Ясно отворена гладка двустранна повърхност S, заобиколена от контур L и вибрираща от едната страна на цялата повърхност.
стойност
Да речем положително, направо около контура L, когато има срутване по контура, виждаме противоположната насочена стрелка, която се намира в крайната точка на нормалата към всяка точка на повърхността S, така че ръбовете на виждат се страни. Zvorotn_y директно заобикалящ контура се нарича отрицателен.
Потично векторно поле.
Ясно видимо векторно поле A (M), базирано на стойността в широката област G, е подредено върху гладка повърхност S G и полето от единични нормали n (M) от противоположните страни на повърхността S.
Стойност на бизнеса 13.3. Повърхностен интеграл от първи вид, (13.1)
de An е скаларното добавяне на свързаните вектори, а An е проекцията на вектора A върху права линия на нормалата, наречена поток на векторното поле A (M) през противоположната страна на повърхността S.
Уважение 1.
Щом вибрирате отстрани на повърхността, това е нормално, но толкова лесно има причина да промените знака.
Уважение 2.
Ако векторът А определя дебита на линията в дадена точка, тогава интегралът (13.1) показва броя на линиите, които текат за един час през повърхността S в положителна посока (чуждият термин „потик”).
№ 53 Повърхностен интеграл от различен род. Визначение и св-ва.
стойност
Ясна двустранна повърхност, гладка или на парчета гладка и независимо дали е от две страни, което е равно на вибрацията на повърхността на аранжимента за пеене.
За стойността е допустимо да има кръпка, където повърхността е посочена изрично, а точката се променя в областта на зоната, заобиколена от гладко контур.
Сега, в точките на тази повърхност, функцията deyak е обозначена. След като сте счупили повърхността с линия от гладко нарязани криви на част и са вибрирали върху такава част от кожата, точката на числената стойност на функцията в дадени точки и умножена върху проекционната площ върху площта на елемент, без певчески знак. Склад за интегралната сума:
Границата на Кинцевий на интегралната част на интегралната сума, когато диаметрите на тези части са удължени до нула, се нарича повърхностен интеграл от друг вид.
се простират до противоположната страна на повърхността, обозначавам със символа
(Тук) Предполагам за площта на проекцията на повърхностния елемент върху областта
Ако заменим площта на изпъкване на елементите на повърхността върху площта, или иначе могат да се имат предвид два други повърхностни интеграла от различен тип:
Добавките най-често имат полуредове интеграли във всички тези типове:
те са същността на функциите на пеенето в точките на повърхността.
Връзка между повърхностни интеграли от друг и първи род
De - нормален вектор на единична повърхност - орт.
мощност
1. Линейност:;
2. Добавка:;
3. Когато повърхността се промени, интегралът на повърхността променя знака.
№ 60 Operatornabla (оператор Hamilton)- векторен диференциален оператор, обозначен със символа (Nabla). За тривиално евклидово пространство в правоъгълни декартови координати операторът Nabla започва с обиден ранг: де - единични вектори по осите x, y, z.
Силата на оператора Nabla.Целият вектор се добавя към смисъла в дадената скаларна или векторна функция, преди да бъде използван.Ако умножите вектора по скаларния φ, тогава ще видите вектора, който е градацията на функцията. Ако векторът е скаларен, умножен по вектор, weide е скаларен
tobto вектор на дивергенция. Ако умножите по вектора, тогава виждаме ротора на вектора:
Уважение: що се отнася до значението на скаларното и векторното създаване, в случая с оператора Nabla, реда на порочните неща, често за значението на алтернативното значение, например, за подмяна на нервите; за писане i от формулите, които са дадени по -долу, не са валидни.
Очевидно скаларният twir е скаларен оператор, наречен оператор на Лаплас. Останалото известно е същото. В декартовите координати операторът на Лаплас започва със следния ранг: операторът на Оскилки Набла е диференциален оператор, след което при повторно прилагане на вируси е необходимо да се използват правилата на векторната алгебра, както и правилата за диференциране. например:
За да загубите завой, да лежите от две полета, е сума от виразиви, в кожата на които диференциацията се произвежда само в едно поле. В смисъл на факта, че в полетата на Nabla е прието да се зачита, че при създаването на полета и оператори, операторът на кожата е отговорен за viraz, който трябва да бъде човек с дясна ръка, и никак, което си струва човек. Необходимо е операторът да е на пода, да стои сам, цялото поле е като ранга, например, поставено над буквата със стрелка: Това е формата, която ще напиша, за да извикам викаристите в междинния преработки. Чрез нейната неудобство в остатъчния вид на стрелките ние се събуждаме.
№61 Векторни диференциални операции от различен редсе наричат обидни пет операции:
1. de - оператор на Лаплас.
- - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - -
2
- - - - - - - - - - - - -
3 .
- - - - - - - - - - - - - - - - -
4. Тук е векторното количество, което се взема в резултат на фиксирането на оператора на Лаплас към скин проекцията на вектора.
- - - - - - - - - - - - - - -
Силата на подчинените интеграли.
Част от правомощията на подчинените интеграли са без посредственост поради стойността на разбирането и правомощията на интегралните суми, а самата:
1. Функция Якшо f (x, y)интегрируем в д, тогава kf (x, y)също интегриран в целия регион, освен това (24.4)
2. Якшо в региона динтегрирани функции f (x, y)і g (x, y), След това в цялата област с интегрирани и функции f (x, y) ± g (x, y), и в същото време
3. Якшо за интеграция в региона дфункция f (x, y)і g (x, y)неудобство f (x, y)≤g (x, y), тогава
(24.6)
Носене на силата на субинтеграла:
4. Регион Якшо дразделени на два региона д 1 аз д 2 без спални точки и функции f (x, y)непрекъснато в региона д, тогава
(24.7) Доведення ... Интегрална сума по региони дмогат да бъдат представени на viglyad:
de rozbittya регион дизвършва така, че между д 1 аз д 2 да се съхранява между частите на розетката. Придвижете се между топло и ниско, когато, отнемете равенството (24.7).
5. По време на интеграция на дфункции f (x, y)в целия регион функцията е интегрирана | f (x, y) |, I maê mісce ненадеждност
(24.8)
Доставено.
сигнали за допълнително преминаване на границата в случай на разпознаваема нередност (24.8)
6.de S D- площ площ Д.Доказателство за tverdzhennya otrimaєmo, представено в интегрираната чанта f (x, y)≡ 0.
7. Якшо е интегриран в региона дфункция f (x, y)щастлив и неудобен
m ≤ f (x, y) ≤ M,
тогава 
(24.9)
Доставено.
Доказателството се извършва чрез граничен преход с очевидни нередности
Слидство.
Как да разпределим всички части от нередностите (24.9) на д, Можете да направите така наречената теорема за средната среда:
Zokrema, за пране без прекъсване функции е v дима такъв момент в целия регион ( x 0, y 0), в yakiy е(x 0, y 0) = μ , tobto
-
Отново формулирането на теоремите е за средата.
Геометричен смисъл на интеграла на базата.
Ясно тило V, Между част от повърхността, z = f (x, y),проекция дци тази повърхности върху площта Pro хуи бични цилиндрична повърхност, Otrimanos на вертикали се установяват, така че точките на кордона са оформени от повърхностите с издатини.
z = f (x, y)
V
y P i DФиг. 2.
Ние ще шукати обсяг ц'го тила как между суми обемими цилиндри, осигурени от някаква част Δ S iобласти д, А с мустаците - с помощта на джина е(P i), Точки De P iприпокриване Δ S i... Отидете на границата, когато, otrimaєmo, scho
(24.11)
така че подинтегралът е съединение на т. нар. цилиндрид, затворен върху повърхността z = f (x, y), А отдолу - регионът д.
Изброяване на подчинения интеграл чрез привеждане до втория.
Регионът се вижда д, Заобиколен от линии x = a, x = b(а< b ), De φ 1 ( NS) І φ 2 ( NS) Непрекъснато на [ а, б]. Todi be-yaka прав, успореден на координатната ос Pro впреминавам през вътрешната точка на региона д, Peretinaê кордон на региона в две точки: н 1 аз н 2 (фиг. 1). Наречена област taku надяснов на
вправилна ос Pro в... определено по подобен начин
y = φ 2 (х) Има област, която е правилна директно
н 2 оси Pro NS... Зоната е правилна по посока
Бани от двете координатни оси, ще
д zuwati е точно така. между другото,
правилната област е показана на фиг. 1.
y = φ 1 (х) н 1
O a b x
каква функция f (x, y)непрекъснато в региона д... Видим вираз
, (24.12)
Наречен dvorizable с интегралот функция f (x, y)по региони д... Броят на вътрешния интеграл (стоящ в носовете) е номериран според промените в, ввазаючи NSпостни го. В резултат на това функцията е непрекъсната. NS:
Ще интегрираме функцията по отношение на NSмежду апреди б... В резултат на това числото
Очевидно важна е силата на интегралния двор.
Теорема 1. къде е регионът д, Правилно в директен Pro в, Розбит в два региона д 1 аз д 2 права, успоредна ос Pro в ABO OSI PRO NS, Това е двуразов интеграл в региона дще има скъпи суми от същата интеграция в регионите д 1 аз д 2:
Доставено.
а) Хайде направо x = sразбиване дНа д 1 аз д 2, точно по права линия Pro в... Тоди
+
+ 
б) Хайде направо y = hразбиване двдясно прав Pro вобласти д 1 аз д 2 (фиг. 2). смислено чрез М 1 (а 1 , з) і М 2 (б 1 , з) Прави точки y = hна границата Lобласти д.
yрегион д 1, заобиколен от непрекъснати линии
y = φ 2 (х) 1) y = φ 1 (х);
д 2 + 2) криво А 1 М 1 М 2 V, Ривняня, която може да бъде записана
h M 1 М 2 y = φ 1 *(х), Де φ 1 *(NS) = φ 2 (NS) в a ≤ x ≤ a 1 аз
А 1 д 1 Б б 1 ≤ x ≤ b, φ 1 *(NS) = зв а 1 ≤ x ≤ b 1 ;
3) направо x = a, x = b.
регион д 2, заобиколен от линии y = φ 1 *(х),
A y= φ 2 (NS),а 1 ≤ x ≤ b 1 .
y = φ 1 (х) Теоремата за
rozbitti promіzhku интеграция:
О а а 1 б 1 б
+ 
Очевидно има различен вид интеграция от viglyad Sumi:
+ 
+ 
.
отпадъци φ 1 *(NS) = φ 2 (NS) в a ≤ x ≤ a 1 аз б 1 ≤ x ≤ bПървият и третият от трите интеграла могат да бъдат равни на нула. вече,
I D = 
, tobto.
1.1 Стойност на субинтеграла
1.2 Мощност на субинтеграла
Силата на подчинения интеграл (и техните прикачени файлове) е аналогична на правомощията на еднократно пеещия интеграл.
1 °. Адитивност. Също така, функцията f (x, y) е интегрирана в областта D и областта D зад допълнителната крива G е нулева прекъсване на две връзки и не пречи на спящите вътрешни точки на областта D 1 и D 2, тогава функцията f (x, в областите на кожата D 1 и D 2, освен това
2 °. Линейна мощност. Тъй като функциите f (x, y) и g (x, y) са интегрирани в областта D, но? аз? - дали има числа, тогава функцията [? F (x, y) +? · G (x, y)] също е интегрирана в областта D, и
3 °. Ако функциите f (x, y) и g (x, y) са интегрирани в областта D, тогава двете функции са интегрирани в D.
4 °. Колко функции f (x, y) и g (x, y) са засегнати от цели числа в областта D и навсякъде в областта f (x, y)? g (x, y), тогава
5 °. Ако функцията f (x, y) е интегрирана в областта D, тогава функцията | f (x, y) | интегрируема в областта D, освен това
(Очевидно, поради интегрирането на | f (x, y) | в D, интегрирането на f (x, y) в D. не е включено.)
6 °. Теорема за средната стойност. Престъпните функции f (x, y) и g (x, y) са интегрирани в областта D, функцията g (x, y) е неотрицателна (неположителна) в цялата област, M и m е точната горна и точно долна между функциите f (x, y) в област D, тогава има число? ? ? M и също така, формулата е валидна
Ако функцията f (x, y) е непрекъсната в D и областта D е свързана, тогава в тая област има такава точка (?,?), = F (?,?)
7 °. Геометричната мощност е по -важна. пътни зони D
Нека има само T (фиг. 2.1), заобиколен от област D отдолу, отгоре с графика на непрекъсната и неотрицателна функция) z = f (x, y,), която е обозначена в област D, от страни - от цилиндрична повърхност, която е насочена към границата на областта D, и зададена успоредно на оста Oz. Тило от този вид се нарича цилиндричен тил.
1.3 Геометрична интерпретация на субинтеграла
1.4 Разберете подинтеграла за правоъгълника
Имате ли достатъчна функция f (x, y), възложена навсякъде на правоъгълника R =? (Div. Fig. 1).
Росибьемо сегмент а? х? b в n частични отсечки зад допълнителни точки a = x 0< x 1 < x 2 < ... < x n = b, а сегмент c ? y ? d на p частичных сегментов при помощи точек c = y 0 < y 1 < y 2 < ... < y p = d.
Има много място зад допълнителните прави, успоредни оси Ox и Oy, във формата на прав завой R върху n · p частични прави завои R kl =? (K = 1, 2, ..., n; l = 1, 2, ..., p). Означението на правоъгълника R се обозначава със символа Т. Надал в цялото разпределение под термина „правоъгълник“ ще бъде дизайнът на правоъгълника със страни, успоредни на координатните оси.
Върху кожната частична ректума R kl има вибрационна точка (? K,? L). Поклавши? X k = x k - x k -1,? Y l = y l - y l -1, от гледна точка на? R kl правоъгълна площ R kl. Очевидно ,? R kl =? X k? Y l.
да се нарича интегрална сума на функцията f (x, y), която е подобна на дадената розетка T на правоъгълника R и избора на междинни точки (? k ,? l) върху частичните правоъгълници на розбита Т.
Диагоналът ще се нарича диаметър на правоъгълника R kl. Символ? значително най-големият от диаметрите на частичните правоъгълници R kl.
Числото I се нарича граница на интегрални суми (1) в? > 0, за всяко положително число? можете също няма дата?, Scho в?< ? независимо от выбора точек (? k , ? l) на частичных прямоугольниках R выполняется равенство
| ? - аз |< ?.
Функцията f (x, y) се нарича интегрирана (след Риман) на правоъгълника R, както и интегралното множество от I интегрални суми на функцията при? > 0.
Значенията на границата I се наричат подинтеграл на функцията f (x, y) по правоъгълника R и се означават с един от следните символи:
Уважение. По абсолютно същия начин, както при еднократен интегрален пеене, вие ще се изправите, ако функцията f (x, y) е интегрирана в правоъгълника R, функцията f (x, y) е свързана помежду си върху целия правоъгълник .
Tse daê pidstavu да погледне в фалшива каишка взаимосвързани функции f (x, y).
Zavdannya, scho да доведе до разбирането на субинтеграла.
Допустимо е функцията на частите да бъде възложена 
записвам сумата
как да промените интеграла.
За: От интегралния пеещ (O.I.) от функцията и от избора 
обозначаване: 
Номерата се наричат интегрирани (след Риман) на.
Т. isnuvannya: За източване, scho.
Според O.I. очевидно, че интегралът е нисък по отношение на вида, между и, протестът не се крие в символа на смисъла на промяната, всъщност изглежда
При спазване на клаузи 17.1.1 и 17.1.2 и съгласно O.I. можем да запишем формулите на площта на извития трапец: 
, Robotic seeley 
На: 
Разбиране на подинтегралните, интегрални суми.
Субинтеграл Nuvannya, тоест междуинтегралната сума за сградата е очевидна, както и преплитането на цилиндричното тяло. Цената на миркуването обаче не е строга. В повечето висши курсове принципът е строго възпитан и аз ще го нарека теореми за разбирането на подчинения интеграл.
Теорема за изключване. За всяка функция, непрекъсната в заобикалянето на затворени области, ще имам по -малко място, защото има фин интеграл, т.е. Границата не лежи в пътя на развитието на района, но отчасти не е в избора на точки
Ще разглеждаме само тези функции без прекъсване в областта на интеграцията.
С теоремите за инуване sid, които можем например да разбием областта и на малки правоъгълни пътеки с прави страни, успоредни осикоординати (фиг. 230). С цом. Вибрираща топлина в кожния малък ректум, според точките на може да се запише, точно от стойностите на подинтеграла
За целите на образованието подчиненият интеграл може да бъде представен като между умовете на ума, да замести смисъла, да живее същия смисъл
Viraz се нарича елемент на област в декартови координати и странична област на правоъгълник със страни, успоредни на координатните оси.
Изненадващо, когато интегрираната суми беше сгъната, пилетата от майдана легнаха до кордона на региона и не образуваха прави изправени. Може обаче да се каже, че извинението от замяната на такива майданчици с прави корпуси с площи между тях ще бъде намалено до нула.
Силата на субинтегралите
Силата на подчинения интеграл (и техните прикачени файлове) е аналогична на правомощията на еднократно пеещия интеграл.
1 °. пристрастяване... каква функция е(х, y) Интегриран в региона ди къде е региона дза помощ на крив Gзоните нула разбиват по вратите и не нарушават вътрешните точки на региона д 1 аз д 2, след това функцията е(х, y) Интегриран е в зоните на кожата д 1 аз д 2, освен това
2 °. захранване на линията... какви функции е(х, y) і g(х, y) Интегрален в областта д, а α і β - било то число, тогава функцията [ α · е(х, y) + β · g(х, y)] Също интегриран в региона д, освен това
3 °... какви функции е(х, y) і g(х, y) Интегрален в областта д, Това е в функциите на tvіr tsikh, в които да се интегрира д.
4 °... какви функции е(х, y) і g(х, y) Обиден от интеграцията в региона ди навсякъде в целия регион е(х, y) ≤ g(х, y), Че
5 °... каква функция е(х, y) Интегриран в региона д, Това и функцията | е(х, y) | интегрируеми в областта д, освен това
(Хубаво, с интеграция | е(х, y) | v дне vaping е(х, y) v д.)
6 °. Теорема за средната стойност... Якшо нарушаващи функции е(х, y) і g(х, y) Интегрален в областта д, функция g(х, y) Неотрицателен (неположителен) опит в целия регион, Мі м- точно горно и точно долно между функциите е(х, y) В зоната д, След това има число μ , Яке щастлив м ≤ μ ≤ Ми също така, формулата е валидна
Zokrema, които функционират е(х, y) Постоянен в д, И областта д свързани, Тогава в този регион има такава точка ( ξ , η ), Шо μ = е(ξ , η ), I формула (11)
