Уривок, който характеризира трансценденталното число

Трансцендентално число- Комплексно число, но не и алгебрично, така че не е корен на какъвто и да е специфичен тип нула на полином с рационална производителност.

Іsnuvannya трансцендентални числа за първи път стоящ J. Livill през 1844 г.; в същия zbuduvav първо постави такива числа. Leeuwill зачита, че алгебричните числа не могат да бъдат „над доброто“, приближаващи се до рационалните числа. Самата теорема на Leeuwil е да се каже, че ако алгебричното число є е корен от стъпка с рационални коефициенти, тогава за всяко рационално число неравенството е валидно

де постийна да го положи лишен от. Три твърди напитки достатъчно знаниятрансцендентност: ако числото е същото, независимо дали е постоянно, рационални числа без никаква причина

тогава е трансцендентално. Тази година такива числа бяха наречени числата на Lieuvilla. Прилагането на такъв номер є

Първото доказателство за доказателствата за трансцендентни числа е Boolean от G. Cantor през 1874 г. p. въз основа на установената теория на мн. Канторът е сигурен, че има много алгебрични числа и че има много произволни числа, няма разлика между броя на трансцендентните числа. Въпреки това, на vidminu от доказателството на Leeuwil, не е възможно светът да се насочи към дупето на един такъв номер.

Роботът на Leeuwil даде ухо на цял раздел от теорията на трансценденталните числа – теорията за приближаване на алгебричните числа чрез рационални или, повече, повече, алгебрични числа. Теоремата на Leeuwil е използвана от роботи и математици. Tse позволи новото добавяне на трансцендентални числа. И така, К. Малер показа, че това е неразрешителен полином, който приема редица несъществени стойности за всички естествени числа, а след това за всяко естествено число, ако числото е записано в числова система с основа , то е трансцендентално, но не е число на Лиевал. Например, ако можем да разпознаем началото на витонациите, резултатът е: числото

трансцендентално, но не и по числото на Лиувила.

В 1873 p. Sh. Ermit, vikoristovuchi іnshі идеи, преди трансценденцията на неперско число (дайте естествения логаритъм):

Издигнал идеите на Ермит, Ф. Линдеман през 1882 г. p. като донесохме трансцендентността на числото, сами сме поставили петънце в дългогодишния проблем за квадратурата на залога: зад помощта на пергела и линията е неразумно да се намери квадрат, равен по размер (на направи точно този квадрат) към дадения залог. По-мислено, Линдеман показа, че за всяко алгебрично число то е трансцендентално. Еквивалентна формула: за произволен брой алгебра, специфичен тип i, естественият логаритъм е трансцендентно число.

В 1900 p. На конгреса на математиците в Париж, Д. Гилбърт в средата на 23 невиртуални задачи на математиката, посочващи офанзивата, в частната форма, беше формулиран от Л. Айлер:

Хайде і - алгебрични числа, освен това трансцедентален? Zokrema, чи трансцендентални числа і?

Проблемът може да бъде преформулиран в обидна форма, близка до оригиналната формула на Eiler:

Хайде і - алгебрични числа, дадени от і, освен това, съотношението на естествените логаритми ирационално. Чи буде номер трансцедентален?

Първата ревизия на проблема е направена през 1929 г. p. А. О. Гелфонд, като зокрема, донесъл трансцендентността на числото. U 1930 p. Р. О. Кузмин, след като завърши метода на Гелфонд, зокрем, вие бихте могли да пренесете трансцендентността на числото в далечината. Извън ревизията на проблема на Ойлер-Хилберт (в стария смисъл), той е ревизиран през 1934 г. директно от A.O. Gel'fond и T. Schneider.

А. Бейкър през 1966 г., използвайки теоремите на Lindemann и Gel'fond-Schneider, които издигнаха пружинната, трансцендентална стойност до същия брой числа като алгебричните в естествения акт.

U 1996г. Ю.В. Нестеренко донесе независимостта на алгебрата до смисъла на поредицата на Айзенщайн, зокрем, числата в. Tse означава трансцендентността на всяко число до ума, изведена от нула е рационална функция с функциите на алгебрата. От друга страна, към трансценденталната буда на число

U 1929-1930 pp. К. Малер, в серия Робин, предлагащ нов метод за доказване на трансцендентността на значението на аналитичните функции и удовлетворяване на функционалните еквиваленти на пеещата форма (за което такива функции бяха наречени функция на Малер).

Методите на теорията на трансценденталните числа познават стазиса на същите глави от математиката, развитието на теорията на диофантовите ривняни.

както за a = 1, ние използвахме стойността на сумата от геометричния прогрес. Допускайки теоремата на Гаус, например a = a 1

Възможни вирази с f (x) и свръхгрупиране на членове, същото е възможно

f (x) = f (x) - f (a1) = (xn - a n 1) + an − 1 (xn − 1 - a n 1 −1) +. ... ... + a1 (x - a1).

(21) Червен вече по формулата (20), можем да видим множителя x - a 1 от скинния член и за сметка на лъка, освен това краката са торбести, така че се губят в лъковете, стоящи на една менша. Свръхгрупиране за новите членове, същото е вярно

f (x) = (x - a1) g (x),

de g (x) е клас n - 1:

g (x) = xn − 1 + bn − 2 xn − 2 +. ... ... + b1 x + b0.

(Тук се намира броят на функциите, обозначени с b.) Прекалено бързо е да се премести този свят към полинома g (x). Според теоремата на Гаус коренът a2 е равен на g (x) = 0, т.е

g (x) = (x - a2) h (x),

de h (x) - нов полином на стъпка по-висока от n - 2. Многократно mirkuvannya n - 1 пъти (разчитайки на уважение, злобно, посочвайки принципа на математическа индукция), ние трябва да дойдем преди разпределението

Поради възможността (22) не са само тези с комплексни числа a1, a2,

Същността е коренът на ривнянята (17), а онези, които са корен на ривнянията (17), са неми. Наистина, ако числото y е корен, равен на (17), тогава s (22) става bi

f (y) = (y - a1) (y - a2). ... ... (y - an) = 0.

Ale mi bachili (стр. 115), ако добавите по-сложни числа към нула по същия начин, ако един от множителите на първо място е нула. Също така, един от множителите y − ar е 0, така че y = ar, което трябва да бъде зададено.

§ 6.

1. Viznennya и хранене іsnuvannya. Всяко число x се нарича алгебрично число, без значение колко очевидно, алгебричниум

130 МАТЕМАТИЧЕСКА СИСТЕМА ЦИФРА цел. II

de numbers ai tsіlі. Така например числото 2 е алгебрично;

x2 - 2 = 0.

Същият ранг като алгебрично число е коренът на това дали е равно на трето, четвърто, пето, дали е световно и също толкова сигурно е да се търкаляш или да не се търкаляш сред радикалите. Разбирането на алгебрично число е естествено разбиране на разбирането на рационално число, както се появява в контекста на n = 1.

Не всяко валидно число е алгебрично. Tse vyplya с офанзива, подкрепени от Кантор, теореми: без всички числа на алгебра rakhunіv. Oskilki без всички валидни числа не е нарочно, тогава е задължително да се обвиняват валидните числа, които не са алгебрични.

Например един от методите за размяна на произволни алгебрични числа. За тип кожа (1) подходящ брой

h = | ан | + | ан-1 | +. ... ... + | a1 | + | a0 | + n,

както се нарича силата на твърдостта на "vstotoyu" rivnyannya. Пред кожата фиксираната стойност n е по-малка от броя на същия тип (1) с височина h. Кожа от такива ryvnyans е maє yaknaibilshe n корени. Това може да не е така за броя на алгебричните числа, които могат да бъдат генерирани от равни числа на h; Също така, всички числа на алгебрата могат да бъдат вкоренени в изгледа на последното, преразпределението им, тъй като те се генерират от равно число 1, понякога - от числото 2 и т.н.

Цялото доказателство за превъзходството на неалгебричните числа ще установи, че произволните числа са неалгебрични. Такива числа се наричат ​​трансцендентални (на латински transcendere - надхвърлям, преобръщам); така naymenuvannya їm дава Eiler, така че смрад на "преобръщане на напрежението на методите на алгебрата."

Доказателството на Кантор за трансцендентални числа не може да бъде проследено до конструктивни. Теоретично е възможно да се създаде трансцендентално число след допълнителна диагонална процедура, която да се извърши върху изричен списък от десетки оформления на всички алгебрични числа; Подобна процедура обаче беше освободена от всякакво практическо значение и нямаше да доведе до число, което може да бъде разширено в десетки други (както да се каже) може да бъде написано за нас. Найбилните проблеми, свързани с трансцендентните числа, се появяват при доказването на факта, че има специфични числа (където числата p и e, за такива div. Side. 319-322) са трансцендентни.

** 2. Теорема на Leeuwil за конструирането на трансцендентни числа. Доказателството за идеята за трансценденталните числа преди Кантор е дадено от J. Liuvilem (1809–1862). Vono позволява изграждането на такива числа. Доказателството на Leeuwil е по-важно от това на Cantor, но не е прекрасно, просто проектирам дупе, изглежда, че е повече, по-добре е, не е изненадващо. Познайте дъното на доказателството на Leeuwil, maєmo при вида на подготвен читател, искам да докажа пълно познаване на елементарната математика.

Як вияви Ливил, ирационалните алгебрични числа прикриват тази сила, но зловонието не може да се доближи до рационалните числа дори с голяма степен на точност, сякаш само не приемат стандарта на дробите, а пренебрегват.

Допустимо е числото z да е задоволително за алгебра с редица функции

ale не съм доволен от такова ниво на долното стъпало. Тоди

Изглежда, че самото x е броят на алгебрите от клас n. Така че за нищо,

числото z = 2 е броят на алгебрите от стъпка 2, така че да е задоволително за първата стъпка, x2 - 2 = 0√ за стъпка 2; числото z = 3 2 - стъпка 3, следователно е добре за долната стъпка Алгебрично число на степен n> 1

не може да бъде рационално, тъй като рационалното число z = p q удовлетворява

zadovolnyaє ниво на точност qx - p = 0 стъпка 1. Skin іrratsіonalnogo число z може да бъде, с всяка степен на точност, приблизително извън допълнителното рационално число; tse означава, че винаги можете да посочите последното от рационалните числа

p 1, p 2 ,. ... ...

q 1 q 2

с не заобиколен от zrostayuchey банери, scho Volodya team-

шо, шо

p r → z. кв

Теоремата на Leeuwil stverdzhu: ако броят на алгебри z от степен n> 1 не съществува, той не може да бъде близо до

да завърши великите знамена на послушанието

Ще посочим доказателствата на теоремите, но по-рано беше показано, че в допълнение към това може да има трансцендентални числа. Номерът се вижда

z = a1 10-1! + a2 10-2! + a3 10-3! +. ... ... + am 10 − m! +. ... ... = = 0, a1 a2 000a3 00000000000000000a4 000.. ... ,

de ai означават някои цифри от 1 до 9 (най-простият було за всички ai е равно на 1), а символът n! ... ... · Н. Характерната сила на десето разпределение на такъв брой е тези, които са групи, които бързо растат за дъщерите си, zergyuyutsya в нови с приблизителни числа, които са като нула. Явно през zm, края на дузина дриби, как да стане човек, ако всички членове са в разпределението до сутринта · 10 − m! приобщаващ. Тоди отримаем нередност

Допустимо е z да е булев брой алгебри от клас n. Тоди, възжаючи в неравностите на Лювил (3) pq = zm = 22:00! , моята виновна майка

| z - zm | > 10 (n + 1) m!

при достигане на най-високите стойности m. Коригиране на останалите нередности поради нередности (4) да

звезди следващия (n + 1) m! > (m + 1)! - 1 за достигане на големия м. Не е правилно за стойности на m, по-големи от n (не четете на читателя с подробно доказателство). Ми стана суперглавен. Отново числото z е трансцендентално.

Твърде късно е да се изведе теоремата на Leeuwill. Допустимо е z да е броят на алгебрата от степен n> 1, но задоволително равен на (1), така че

f (zm) = f (zm) - f (z) = a1 (zm - z) + a2 (zm 2 - z2) +. ... ... + an (zm n - zn).

Diljachi обидени части на zm - z, които се подчиняват на алгебрична формула

u n - v n = un − 1 + un − 2 v + un − 3 v2 +. ... ... + uvn − 2 + vn − 1, u - v

mi otrimuєmo:

Тъй като zm е прагматичен за z, тогава когато голямото m достигне рационалното число zm, то ще се появи от z, по-малко с едно. За достигане на големия m можете да направите такава груба оценка:

N | an | (| z | +1) n − 1 = M, (7)

освен това, дясното число M винаги си заслужава, коефициентът на z няма да се промени в процеса Viberemo сега съм страхотен

дроб z m = p m знаменател q m болшим, ниж М; Тодикв.м

Освен това е възможно да се изведе полиномът f (x) да се види множителя (x - zm), і, също така, z, удовлетворен с еднаква стъпка на по-ниското по-ниско n. Otzhe, f (zm) 6 = 0. Ale числото в дясната част на равенството (9) е също число і, също според абсолютната стойност е по-скъпо от това. Така рангът от установяването на социалния ден (8) и (9)

същият склад zm_st, определен от теоремите.

С течение на последните десет години, дори повече възможности за приближаване на алгебричните числа, рационално, те пробутаха през разстоянието. Например норвежкият математик А. Ту (1863–1922) установява, че нередността на Лиувил (3) има степен n + 1, която може да бъде заменена с по-малка степен n 2 + 1.

Siegel показва, че е възможно да се вземе най-малкото (най-малкото

за по-голямо n) степен 2 n.

Трансценденталните числа са базирани на темата, тъй като ще прикова уважението на математиците към себе си. До скоро в средата на деня, като цикави от могъщите сили, вече нямаше такъв трансцедентален характер на това, което щеше да бъде установено. (Трансцендентността на числото p, за това как да се намери в раздел III, след това квадратурата на залога зад допълнителна линия и компас.)

проблеми, но признайте една проста формулировка, deyakі - navіvіm елементарна и популярна, за която тя не само не беше нарушена, но за да навигира и не излезе с доброто, но добро качество на математиката от тази епоха. Ци "Проблемите на Хилбърт" даде силна стимулираща инжекция за напредъка на напредналия период на развитие на математиката. Колкото и да са допустими всички смради на дела, а в багатека на вариациите, появата е свързана с ясни обрати на успеха в сенсибилизирането на все по-мащабните методи. Един от проблемите, който се опитваше да приключи с безнадеждност, падна

докаже, че числото

є трансцендентален (чи хоча б ірационален). Протягайки три десет години, не можех да натоварвам този вид храна, преди да ям от моя страна, сякаш имах надежда за успех. Зрещою, Зигел I, младият руски математик А. Гелфонд въведе нови методи за доказване на трансцендентността на bagatokh

числа, които може да са стойността на математиката. Зокрема, було е настроено

трансцендентността на хилбертовото число 2 2 и цялото за достигане до големия клас числа от формата ab, de a е алгебрично число, вижте 0 и 1, а b е ирационално алгебрично число.

ДОПЪЛНЕНИЕ КЪМ РОСДИЛ II

Алгебра на много

1. Загална теория... Разбирането на класа, сукупността и безсилните обекти са една от най-фундаменталните математики. Безлич да бъде признат чрез акт на власт ("атрибут") А, който е виновен или за майката, или не за майката на кожата анализ ob'єkt; че силата на А може да се разглежда като силата на личността А във факта, че ще ни „простят“, тогава изглежда, че безсилието на А се състои от 5 прости числа 2, 3,. ... ...

Математическата теория е много работа поради факта, че нови числа могат да бъдат настроени за допълнителни операции за пеене (може би преди това, тъй като числата зад допълнителните операции на сгъване и множественост включват нови числа). Vivchennya на операциите върху множествено число става предмет на "алгебрата на множественото число", тъй като е много специална с проста числова алгебра, която иска да се види от нея. Фактът, че методите на алгебрата могат да бъдат в застой до въвеждането на нечислови обекти, като напр.

велик дух на идеи в съвременната математика. Остана за час, че е изпаднал в забвение, но алгебрата е много светлина върху богатия галузей от математика, например теорията на мира и теорията на империалностите; Също така е важно да разберете, когато систематизирате математиците, логическите връзки.

Надал Ще замисля деяк след много предмети, естеството на такъв байдуж и как можем да го наречем универсален комплект (известен още като universum mirkuvannya) и

A, B, C,. ... ... ще бъде като подмножество на I. Ако I е числото на всички естествени числа, тогава A, да речем, може да означава без всички сдвоени числа, B - без всички несдвоени числа, C - без всички прости числа и т.н. площ, то А може да бъде без точка в средата на кол, В - без точка в средата на кол и т.н. елементи. Мета, която е прехвърлена на същото парче чрез разширение, е защитена от запазването на тази позиция, че силата на деяка се показва от много елементи от I, така че той ще може да властва. Ако A є универсално победоносна сила, с чийто приклад може да се служи (както и за числата), силата на задоволяване на тривиалното равнодушие x = x, тогава изглежда, че силата на I ще бъде силата на кожата , много малък; Отстрани, ако A є, ако има вътрешна свръхразбираема сила (за xtalt x 6 = x), тогава изглежда, че няма нужда да се отмъщава на нито един от елементите, той е "празен" и се означава с символ.

Изглежда, че много A е подмножество B, по-кратко, "A влиза в B", или "B отмъщава A", тъй като много A нямат такъв елемент, тъй като няма bi също за много B.

A B или B A.

Например, без число A от всички цели числа, които могат да бъдат удължени с 10, е множественост на неограничен брой от всички числа, които могат да бъдат 5, така че като номер на кожата, който може да бъде 10, последно също 5. maє mіsce и тези y іnshe, тогава

Това означава, че елементът на кожата A є водният час е елементът B и обратно, толкова много A и B трябва да заменят един от същите елементи.

Spіvіdnoshennya A B mіzh в много ngadu spіvіdnoshennya a 6 b mіzh в числа. Зокрема, явно се плъзга-

следните органи:

1) А А.

2) Ако AB і BA, тогава A = B.

3) Ако AB и BC, тогава AC.

Причините за връзката AB се наричат ​​„в добро състояние“. Основната идея на анализа на анализа на връзката между броя на децата a 6 b между числата на полето в това, че ако и двете са еднакъв брой на дадените (различни) числа a и b, това е не е необичайно да се носи урок от по-малкото аналогична твърдост е погрешно. Например, ако A є безлич, който може да се добави от числата 1, 2, 3,

и B е множител, който може да се добави от числата 2, 3, 4,

тогава няма комуникация между A B, няма комуникация B A. Има много причини да се каже, че A, B, C,. ... ... множеството I є "отчасти в ред", до реда на числата a, b, c,. ... ...

Потвърдете "напълно поръчан" sukupnist.

Страхотно е, дори ако следващата е стойността на съотношението A B, това е всичко, ако няма увеличение на кратността A на набора I,

Сила 4) понякога може да бъде парадоксално, макар че, ако се замислите, логично е суворо в зависимост от точната промяна в значението на знака. Правосъдие, докладване на A повредено само b

v За това vipadku, тъй като много празно пространство е заело елемент, който не отнема от A; Ако не можеш да си отмъстиш на празни елементи, тогава не можеш, сякаш А.

В днешно време две операции върху кратни са важни, но формално от алгебричните власти се изисква да добавят това кратно на числата, като искат за собствената си вътрешна мъдрост да видят изгледите от циклите на аритметиката. Оставете А и Б - като две много. За "логическа сума", A и B безсмислено, за да се запасите с тихи елементи, като да се проведе в A или

v B (включително і ті елементи, които са разположени в A и B). Qi много са известни като A + B. 2

Сред важните сили на алгебрата операциите A + B и AB са огромни. Читателят може да преосмисли справедливостта на самите операции:

Ревизията на всички тези закони е вдясно от най-простата логика. Например правило 10) статутът, че няма елементи, че няма нужда от А или А, например, без А; правило 12) уставът, че няма тихи елементи, обичате да се измъкнете в А и в същото време да се качите до Б или В, да се измъкнете без проблеми, да се измъкнете един час в А и Б , или точно в един час A при доказване на подобен вид правила, то е ръчно илюстрирано, което може да се види без картинка A, B, C,. ... ... при вида на фигурите на площада и през това време ще бъдем още по-уважителни, за да не пропуснем всички логически възможности, но ще разберем, ако се заемем с очевидността външни елементидве от многото, или навпаки, проявление в един набор от елементи, които не се срещат в други.

Читател, лудо, жестоко уважение към тези закони 6), 7), 8), 9) и 12) нарече същото с добре познатите комутативни, асоциативни и разпределителни закони на първичната алгебра. Звучи като правилата на специалната алгебра, като правилата на алгебрата, като правилата на алгебрата. Nawpaki, закони 10), 11) и 13) няма аналогии на специалните алгебри, а миризмата на алгебрата има много проста структура. Например формулата на бином в алгебрата може да се умножи до най-простия паритет

(A + B) n = (A + B) (A + B). ... ... (A + B) = A + B,

като viplivay іf закон 11). Закони 14), 15) и 17) говорят за тези, които имат сила на много и I, според връзката преди операциите на добавяне на това множественост, са още по-подобни на силата на числата 0 и 1 според връзката преди операциите на броя на добавянията. Ale Law 16) няма аналог в числовата алгебра.

Има стойност за дата на още една операция в алгебрата на множество. Не A - ако има множественост на универсалното множество I. Тоди от добавянето на A в I, няма причина за всички елементи на I, които не се намират в A. За редица умножения, се въвежда стойност A0. Така че, ако I е без всички естествени числа, а A е без всички прости числа, тогава A0 е без проблем, който може да се добави от всички налични числа и числото 1. Операцията за преминаване от A към A0, за която има няма аналог в древните алгебри, степен:

23) A00 = A.

24) Работни заплати A B Равностойни заплати B 0 A0.

25) (A + B) 0 = A0 B0. 26) (AB) 0 = A0 + B0.

За да пренапишем cich на авторитетите, знам nadaєm readachev.

Закони 1) -26) са в основата на алгебрата на множествата. Смърди чудото на силата на "двойника" в обидния смисъл:

Дори в един от законите 1) –26) заменете един по един вид

(в скина им вход), тогава в резултат на това отново влиза един от тези закони. Например, закон 6) да се трансформира в закон 7), 12) - в 13), 17) - в 16) тънък. пъпка. , "Dvіyna" їy теорема, как да преминете от първата за допълнителни стойности на пермутации на символи. Spravdі, фрагменти от доказателства

Цел. II АЛГЕБРА НА МНОЖЕСТВА 139

Първата теорема е изградена от последния етап на света (в ранните етапи на света, който се извършва) на действията от закони 1-26), след това съхраняването на "два" закона в склада за доказателства на "две" теореми. (Към задвижването на такъв "двойник" в геометрията на див. Роздил IV.)

2. Застой на математическата логика. Преразглеждането на законите на алгебрата на много правила въз основа на анализа на логическия смисъл на отношението A B и операцията A + B, AB и A0. Сега можем да завършим процеса на разглеждане на законите 1) –26) като основа за „алгебрата на логиката“. По-точно казано: тази част от логиката, тъй като има много, или, по самата същност на самата сила на обектите, можете да я погледнете, тя може да бъде сведена до формална алгебрична система, основана на закони 1) –26). Логично "умно allsvit" viznachaє bezlich I; Силата на кожата А е произходът на безсилието А, което се изгражда от тихи обекти в I, което може да е безсилно. Правилата за прехвърляне на конвенционална логическа терминология на езика на много zrozumili z

Алгебричните термини имат набор от срички "Барбара", което означава "ако всяко A є B и всяко B є C, то всяко A є C"

3) Ако AB и BC, тогава AC.

По същия начин, "законът за забраната", който е stverdzhu, но "ob'єkt не може веднага volody, а не volody deyako власт", запишете в viglyad:

20) AA 0 =,

а "Законът на третия включен", което ще рече, "обектът е виновен или на майката, или не на майката на деяк сила", напишете:

19) A + A 0 = I.

Така тази част от логиката, която е различна по отношение на символите, +, · і 0, може да се интерпретира като формална система от алгебра, подредена по законите 1) –26). На основата на злото логически анализматематика математически анализв логиката е създадена нова дисциплина - математическа логика, такава, каквато е, в процес на хамско развитие.

От аксиоматична гледна точка, заслужавам уважение към чудотворния факт, че 1) –26), в същото време, с помощта на теоремите на алгебрата на много, може логически да се основава на напредващите три реалности:

27) A + B = B + A,

(A + B) + C = A + (B + C),

(A0 + B0) 0 + (A0 + B) 0 = A.

Изглежда, че много алгебра може да бъде мотивирана като фундаментално дедуктивна теория, на базата на евклидовата геометрия, на базата на тези три позиции, които могат да се използват като аксиоми. Ако аксиомите са приети, тогава операцията AB и доставката A B започват в термини A + B и A0:

Повикването е основата на математическата система, в която са зададени всички формални закони на алгебрата, се дава от системата от осем числа 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30: тук a + b стои за,

Стойност, в най-малкото кратно на a і b, ab - в началната страница най-обширното a і b, a b - фирма "b отидете на a" и a0 - номер 30 a. Су-

Откриването на такива приложения е причинило развитието на чужди алгебрични системи, които се удовлетворяват от законите 27). Такива системи се наричат ​​"булеви алгебри" - в чест на Джордж Бул (1815-1864), английски математик и логик, книгата на който "Изследване на законите на мисленето" е публикувана през 1854 г.

3. Един от stasosuvan към теорията на ymovirnosti. Алгебрата на мнозина е най-близо до теорията на дефинициите и позволява на нова светлина да я погледне. Най-простото дупе е ясно видимо: експеримент с неограничен брой възможни наследства, тъй като всички се пропускат като „нетърпеливо“. Експеримент може да лежи например в този, с който играя картата с добро разбъркване нова палуба... Въпреки че много от всички резултати в експеримента са значими чрез I, а A означава подмножество I, тогава фактът, че резултатът от експеримента изглежда се свежда до подмножество A, е

p (A) = брой елементи A. брой елементи I

Докато броят на елементите, които могат да бъдат намерени в множество A, може да бъде обозначен с n (A), тогава оставащото равнодушие може да бъде обозначено с

Идеите на алгебрата се проявяват при изчисляване на стойностите на тези, ако е възможно да се знаят стойностите на някои от тях, като се броят стойностите на тях. Например, знаейки стойността p (A), p (B) и p (AB), можете да изчислите стойността p (A + B):

Не е важно да донесете цената. Mi maєmo

n (A + B) = n (A) + n (B) - n (AB),

Трептенията на елементите, които могат да се намерят един час в A и B, така че елементите AB се използват два, когато сумите се изчисляват n (A) + n (B), и следователно е необходимо да се вземе n (AB ) от цялото суми, когато сумите са изчислени. B) buv е правилен. Нека малките обиждат част от справедливостта на n (I), ние няма да приемем връзката (2).

Tsіkavіsha формула да отидете, сякаш да отидете около три комплекта A, B, C от I.

p (A + B + C) = p [(A + B) + C] = p (A + B) + p (C) - p [(A + B) C].

Закон (12) от първа точка ни дава (A + B) C = AC + BC. Zvidsy випляє:

p [(A + B) C)] = p (AC + BC) = p (AC) + p (BC) - p (ABC).

Като се има предвид предварително разпознатата стойност на p [(A + B) C] и стойността на p (A + B), взети от (2), стигаме до необходимата формула:

p (A + B + C) = p (A) + p (B) + p (C) - p (AB) - p (AC) - p (BC) + p (ABC). (3)

Яков приклад може да се види нападателен експеримент. Три числа 1, 2, 3 трябва да бъдат написани в произволен ред. Колко струва една от цифрите да се отнася до правилното (в смисъла на номерацията) съобщение? Нека A є безлич пермутации, за които числото 1 струва първата разни, B е безлич пермутации, за които числото 2 струва друго, C е безлич пермутации, за които числото 3 струва третото. Трябва да изчислим p (A + B + C). Зрозумило, счо

p (A) = p (B) = p (C) = 2 6 = 1 3;

Всъщност, ако фигурата е на правилното място, тогава има две възможности за пренареждане на ситото от две цифри от числото 3 · 2 · 1 = 6 възможни пермутации на три цифри. Дал,

правилно. Намерете формулата за p (A + B + C + D) и изчакайте до експеримента, в който съдбата е 4 цифри. Размерът на пътя е 58 = 0,6250.

Zagalnaya формула за дефиницията на n множество ma viglyad

combinatsiyam, scho отмъщение едно, две, три,. ... ... , (n - 1) букви от числа A1, A2,. ... ...

Ан. Тази формула може да се установи зад допълнителна математическа индукция - така и самата формула (3) е получена от формула (2).

От формулата (4) е възможно да се създават шаблони с n цифри 1, 2, 3,. ... ... n написано в какъвто и да е ред, тогава е истината за факта, че вземаме едно от числата, за да се отнася до правилното място,

освен това, пред последния член има знак + abo -, zvazhayuchi на тези, чиито є n са несдвоени момчета. Зокрем, за n = 5

p5 = 1 - 2! + 3! - 4! + 5! = 30 = 0,6333. ... ...

At razdіlі VIII mi pobachimo, но ако n pragno nessіnchnostі, viraz

1 1 1 1 Sn = 2! - 3! + 4! -. ... ... ± n!

pragne mezhi 1 e, което означава якого, с пет знака, написани от Коми,

един 0,36788. От формулата (5) се вижда, че pn = 1 - Sn, тогава е ясно, че в n → ∞

pn → 1 - e ≈ 0,63212.