Apakšintegrēts cilindriskās koordinātās. Trešais integrālis cilindriskās koordinātās. Patērētāja integrāļa varas akti

Trešais integrālis jāraksta šādi:

Aprēķiniet trešo integrāli - nozīmē zināt numuru, V katrā ziņā tie paši reģioni V .

Praktiski dermāli var sajust sajūtu, kā "uz savas ādas" aprēķināt izšķērdīgo integrāli. Precīzāk - "dodieties uz shkіroyu", un precīzāk - aiz jūsu enerģijas orgāniem - plaušas. Neatkarīgi no tā, ka jūs par to zināt un nezināt, cilvēku leģendās ir 700 miljoni alveolu - sīpolu formas ierīces, savītas ar adītiem kapilāriem. Gāzes apmaiņa tiek veikta caur alveolu sienām. To var izdarīt šādā veidā: jūs varat izmantot gāzi lokgіkh, jūs varat iedomāties to kompaktas zonas vidū. Un polaritāte obsyag no maziem obsyagiv, zooseredzhenih alveolās. Alveolu skaitam leģendās ir galvenā loma visā porainajā zemē. majestātisks daudzums nedaudz "matemātiski, tāpat kā to formulē patērētāja integrāļa izpratne.

Kāpēc tas ir visnoderīgākais integrālis, kas kalpo visa tila zināšanām V? sveiki reģions V rosbit on n previlnajos apgabalos Δ vi Turklāt, lai poznachennyam paļauties uz uvaz ne tikai nelielu ādas laukumu, bet th її obsyag. Tik nelielas platības ādā veidojas liels punkts Mi, a f(Mi)- funkcijas nozīme f(M) Punktā. Tagad mēs maksimāli palielināsim šādu mazu platību skaitu un lielāko diametru Δ vi- nawpaki, zmenshuvati. Chi var ievietot integrālo summu formā

kāda funkcija f(M) = f(x, g, z) ir nepārtraukta, tad tā būs starp neatņemamām summām prāts, izraudzīts vische. Qia meza tiks saukts trešo pušu integrācija .

Ir plašs funkciju klāsts f(M) = f(x, g, z) saukt par integrētu reģionā V ; V- integrācijas joma; x, g, z- mainīt integrāciju, dv(abo dx dy dz ) - obsjagu elements.

Atkritumu integrāļa uzskaitījums, mainot daudzkārtību

Jak ir apakšintegrāciju diapazonā, trešo integrāļu aprēķins tiek veikts līdz zemākas daudzkārtības integrāļu aprēķinam.

Reģions ir skaidrs V... Apakšā un virs (tobto augstumā) teritoriju ieskauj virsmas z = z1 (x, g) і z = z2 (x, g) ... Aiz sāniem (tobto platumā) teritoriju ieskauj virsmas g = g1 (x) і g = g2 (x) ... Es, nareshty, ar glikīnu (kā jūs skatāties uz apgabalu ass pareizajā virzienā Vērsis) - virsmas x = aі x = b

Shcheb zastosovuvati pāreja uz mazākas daudzveidības integrāļiem ir nepieciešama, bet triviāls reģions V lode ir pareiza. Vonai ir taisnība, ja tā ir taisna, paralēli asij Oz, Peretinaє reģiona kordons V ne vairāk kā divos punktos. Regulāri triviāli apgabali є, piemēram, taisnstūrveida paralēlskaldnis, elipsoīds, tetraedrs. Nedaudz zemāk - taisnstūra paralēlskaldnis, ko mēs varam izmantot pirmajā lietojumprogrammā, lai atrisinātu problēmas.

Lai iepriekš noteiktu nepareizības pareizību, virsmas laukums pēc pareizā laukuma augstuma nav vainīgs, bet viņi nav vainīgi vidū. Nedaudz zemāk - nepareizās zonas muca V- vienpusējs hiperboloīds, taisnas līnijas virsma, paralēla asij Oz(Chervony koloru), kas arvien vairāk pārplūst divos punktos.

Mēs apskatīsim tikai pareizās jomas.

Otzhe, reģions V- ir pareizs. Todi jebkurai funkcijai f(x, g, z) , Bez pārtraukuma šajā teritorijā V, Ir derīga šāda formula

Qia formula ļauj palielināt patērētāja integrāļa aprēķinu līdz pēdējam iekšējā dziedāšanas integrāļa aprēķinam izmaiņām z(Ja tādi ir xі g) N znіshnіy apakšintegrāls divvirzienu reģionā D .

No apakšintegrāļa līdz otrajam es atpazīšu trešā integrāļa aprēķināšanas formulu:

Šādā rangā izšķērdīgā integrāļa aprēķināšanai trīs dziedošie integrāļi jāskaita pēdējie.

Aprēķina kā iekšējās daļas neatņemamas daļas (saskaņā ar izmaiņām) z) Līdz pēdējam (atbilstoši ziemai) x). Ērtības un konsekvences labad integrāļa trīs "ieguldījumu" skaitu var uzrakstīt šādi:

Es to nepārprotami pierakstīšu, lai:

vajadzību izvēle, lai integrētu funkcijas f(x, g, z) par izmaiņām z, Un telpā starp integrāciju, ņemot ryvnyannya z = z1 (x, g) і z = z2 (x, g) novietojiet laukumu augšpusē V zemāk augšpusē;
g g = g1 (x) і g = g2 (x) virs virsmas, lai izlīdzinātu laukumu V no bichnyh pusēm;
viyshov uz priekšplāna posmā integrācijas rezultāts ar izmaiņām x, Un telpā starp integrāciju, ņemot ryvnyannya x = aі x = b virs virsmas, lai izlīdzinātu laukumu V ar glikīnu.

Muca 1. Nepāriet no sekundārās integrācijas, varat doties uz atkārtotu integrāciju

pēdējās trīs integrāļu vērtības. Aprēķiniet atkārtoto integrāli.

Lēmums. Atkārtotā integrāļa aprēķins ir jālabo no atkārtotā integrāļa:

Daudz citu neatņemamu - saskaņā ar izmaiņām g:

Temats: dāņu atkārtotais integrālis un otrais atkārtotais otrais integrālis 10.

Muca 2. Aprēķiniet trešo integrāli

de V- paralēlskaldnis, ko ieskauj apgabali x = − 1 , x = + 1 , g = 0 , g = 1 , z = 0 , z = 2 .

Lēmums. Starpposma integrāciju visiem trim integrācijas veidiem unikāli nosaka vienaudži uz virsmas, kas ieskauj paralēlskaldni. Šim nolūkam uzreiz tiek izveidots trešais integrālis, līdz pēdējām trim integrāļa vērtībām:

Aprēķinātais integrālis "vidū" - saskaņā ar izmaiņām g... otrimuєmo;

Tagad numurēts Integral nosaukums - atbilstoši izmaiņām x:

Skats: Danija ir neatņemama ēkas sastāvdaļa -2.

Muca 3. Aprēķiniet trešo integrāli

de Vx + g + z = 1 koordinē apgabalus x = 0 , g = 0 , z= 0. apgabals V projekts uz teritoriju xOi trikutnik D, Mazā apakšā redzams jaks.

Lēmums. Var iestatīt ar veselu skaitļu integrācijas kopu. Integrālam vietnē Zminnoї z uzdevumu integrācijas apakšējā robeža ir nepārprotama: z= 0. Schob redzami sagriež augšējo robežu z s x + g + z = 1 ... Otrimuєmo 1 - x − g... Integrālam vietnē Zminnoї g uzdevumu integrācijas apakšējā robeža ir nepārprotama: g= 0. Lai vizuāli noņemtu augšējo robežu g s x + g + z = 1 , Vvazayuchi ar tsomu, scho z= 0 (šādā veidā līnija tika noņemta apgabalā xOi). Otrimu: 1 - x .

Pēdējie trīs integrāļi ir veidoti tā, lai tie kalpotu līdz pēdējām trim reizēm:

Daudzas iekšējās integrācijas - saskaņā ar izmaiņām z, Vvazayuchi іks un ігrek konstantes. otrimuєmo:

g... otrimuєmo:

Temats: Daniyan mājas iebūvētās durvis 1/8.

Aprēķiniet trešo integrāli neatkarīgi un pēc tam apbrīnojiet lēmumu

Muca 4. Aprēķiniet trešo integrāli

de V- pіramіda, ko ieskauj kvadrāts x + g + z = 1 koordinē apgabalus x = 0 , g = 0 , z = 0 .

Vienošanās starp integrāciju pārejas laikā līdz trīs integrāļu pēdējai dienai

Buvah, studenti, kuriem nav īpašu grūtību, ja nav nepieciešams vidējais integrāļu skaits, nevar pierast pie integrācijas starp integrāciju pārejas laikā no patērētāja integrāļa uz pēdējām trim integrāļa vērtībām. Dejakam ir nepieciešama apmācība, lai pareizi. Pirmajai lietojumprogrammai ir integrācijas zona V Tas bija paralēlskaldnis ar visu zoosylo: no abām pusēm, lai ieskautu teritoriju, un tas nozīmē, ka starp integrāciju ir unikāli noteikts apgabals. Otram muca ir pirātisms: šeit jums ir vajadzīgas vēl trīs domas un viena redzamība starp rivnyannya. Un Jakšo reģions V lai to ieskauj ne līdzenas virsmas? Vienreizējā veidā ir jāaplūko reģions ar dziedāšanas pakāpi V .

Kādu iemeslu dēļ es būšu "biedējošs", es redzēšu "situāciju, es tuvosies cīņai".

Muca 5. Integrācijas izvietošana, pārejot no patērētāja integrāļa uz noteiktu reģionu V- elipsoīds

Lēmums. Nāc, elipsoīda centrs ir koordinātu vālīte, uz mazā redzams jaks. Mēs būsim pārsteigti par elipsoīdu zemāk. Apakšā, mani ieskauj virsma, kas ir elipsoīda virsmas daļa, jaku grauzdē zem apgabala xOi zі viraz noņemšana ar mīnusa zīmi būs līnijas apakšējā robeža z:

Tagad mēs esam pārsteigti par elipsoīdu no augšas. Šeit es sapinu virsmu, kas ir elipsoīda virsmas daļa, jaks ir grauzdēts caur lapseni xOi... Otzhe, ir nepieciešams redzēt to no ryvnyannya elipsoyda zі viraz noņemšana būs integrācijas augšējā robeža ziemas laikā z:

Elipsoīda projekcija uz laukuma xOi ip elipsoide. Yogo Rivnyannya:

Šobs ziemai sagriež integrācijas apakšējo robežu g, Jāredz g no ryvnyannya elipsoide un ņemot otrimaniyu viraz ar mīnusa zīmi:

Par integrācijas augšējo robežu līdz ziemai g tas pats viraz ar plus zīmi:

Ko darīt ar integrāciju līdz ziemai x.Tā joma V to ieskauj kvadrāti. Otzhe, starp izmaiņu integrāciju x Jūs varat parādīt aizmugurējās un priekšējās kordona zonas koordinātas. Kad tie būs elipsoīdi, tie tiks ņemti no negatīvajām un pozitīvajām devīna lieluma pazīmēm a: x1 = − a і x2 = a .

Šādā rangā pēdējais no integrāļiem elipsoīda saistību aprēķināšanai ir:

de "іgrek pershe", "іgrek draugs", "zet persche" un "zet draugs" - otrimanі vishche vyrazhennya. Ja jums ir є bazhanya un vidvaga saskaita integrāli і, šāds rangs, obsyag elipsoyda, tad tiek parādīta ass: 4 πabc/3 .

Atkāpieties - ne tik biedējoši, kā tikai tad, kad paskatāties. Ar lielu smaku tas nav tikai vienošanās starp integrāciju, bet visneizšķērdīgākās integrācijas aprēķins. Perevirt, ko tu esi atnācis, segas par "briesmīgā" dibena risinājumiem. Domājot, kad notiks rozstavtsі starp visu vienu.

Muca 6. Aprēķiniet trešo integrāli

kur integrācijas joma robežojas ar apgabaliem x + g = 1 , x + 2g = 4 , g = 0 , g = 1 , z = 1 , z = 5 .

Lēmums. "Kūrorta" muca aizmugurē ar mucu ir 5, tāpēc integrācija starp "іgrek" un "zet" ir nepārprotami norādīta. Ale būs iespēja apmeklēt integrāciju starp "IX". Integrācijas apgabala projekcija apgabalā xOiє trapecija ABCD.

Tajā pašā laikā projekts ir gatavs trapecei Oy, Inakshe, jāskaita trešais integrālis, lai varētu sadalīt figūriņu trīs daļās. Pie dibena, 4 mēs labojām integrācijas zonas izskatu no apakšas, un pasūtījums bija ideāls. Bet visā muca mēs sāksim skatīties apkārt no malas, vai, tik vienkārši, viņi paklanījās figuru nabikam un ārkārtīgi brīnījās par viņu no apakšas. Mēs varam zināt integrācijas robežas ar "IX" tīri algebriski. Visam vizuāli "ix" no pirmā un citiem іvnyans, veltījums muca prātā. Pirmā līdzsvarotā otrimymo apakšējā robeža 1 - g, 3 no otras - augšējā 4 - 2 g... Jauna integrāļa integrāļa uzbūve līdz pēdējām trim integrālā integrāļa reizēm:

Uwaga! Tajā pašā laikā vispopulārākais integrālis ir nevis ar izmaiņām "ix", bet ar izmaiņām "igrek", bet gan "vidū" - ar izmaiņām "ix"! Šeit mēs bijām iestrēguši ar izmaiņām integrācijas kārtībā, par ko mēs zinājām par pakārtotā integrāļa ieviešanu. Tas ir sasiets kopā, kā es jau teicu, mēs aplūkojām integrācijas zonu nevis no apakšas, bet no sāniem tā, ka mēs to plānojām pakārt Vērsis, Gaisā Oy.

Daudzas iekšējās integrācijas - saskaņā ar izmaiņām z, Vvazayuchi іks un ігrek konstantes. otrimuєmo:

Aprēķinātais vidējais integrālis - atbilstoši izmaiņām x... otrimuєmo:

Nareshty, numurēts pēc integrāļa nosaukuma - atbilstoši izmaiņām g:

Temats: Daniyu mājas durvis 43.

Muca 7. Aprēķiniet trešo integrāli

kur integrācijas zonu ieskauj virsmas x = 0 , g = 0 , z = 2 , x + g + z = 4 .

Lēmums. novads V(pіramіda MNRP) Є pareizi. projekcijas apgabals V uz laukuma xOiє trīsritenis AOB.

Apakšējās robežas ir integrētas visām izmaiņām muca prātā. Mēs zinām integrācijas augšējo robežu saskaņā ar "IX". Visam vizuāli "ix" no ceturtās ryvnyannya, vazhayuchi "іgrek" ir vienāds ar nulli, un "z" ir vienāds ar diviem. otrimmo x= 2. Mēs zinām integrācijas augšējo robežu pēc "Іgrek". Visam vizuāli "іgrek" ir no tā paša ceturtā ryvnyannya, vazhayuchi "z" ir vienāds ar diviem, un "ix" ir ļauns izmērs. otrimmo g = 2 − x... Es, nareshty, zinu zet integrācijas augšējo robežu. Visam vizuāli "z" ir no tā paša ceturtā ryvnyannya, vvazhayuchi "іgrek" un "zet" dažādos daudzumos. otrimmo z = 4 − x − g .

Jauna integrāļa izveidošana līdz pēdējai dienai no trim integrāļa vērtībām:

Daudzas iekšējās integrācijas - saskaņā ar izmaiņām z, Vvazayuchi іks un ігrek konstantes. otrimuєmo:

Aprēķinātais vidējais integrālis - atbilstoši izmaiņām g... otrimuєmo:

Numurēts pēc integrāļa nosaukuma - atbilstoši izmaiņām xі atlikušie dati par trešo integrāli:

Skats: Daniil mājsaimniecības integrālis 2.

Uzvarētāju nomaiņa mājas integrācijā un cilindriskās koordinātas

Kas attiecas uz integrācijas apgabala projekciju, neatkarīgi no tā, vai tas ir no koordinātu apgabaliem, vai tas ir daļa no likmes, tad trešais integrālis ir vienkāršāks, pārejot uz cilindriskām koordinātām. Cilindriskā koordinātu sistēma polāro koordinātu sistēma par telpu. Cilindrisko koordinātu sistēmā punkts M raksturo trīs lielumi ( r, φ , z), De r- apskatīt projekcijas koordinātu vālīti N punktu M uz laukuma xOi, φ - kut mіzh vektors IESLĒGTS i pozitīva taisna ass Vērsis, z- punkts aplikācija M(Malunok zemāk).

taisnstūra koordinātas x, g, z ar cilindriskām koordinātām r, φ , z adīt formulas

x = r cos φ ,

g = r grēks φ ,

z = z .

Lai iekšējā integrācijā pārietu uz cilindriskām koordinātām, ir jāizmanto vizuālā vizuālā funkcija r, φ , z:

Lai pārietu no taisnās koordinātas uz cilindriskām, ieņemiet uzbrukuma pakāpi:

Patērētāju integrālis cilindriskās koordinātas jāaprēķina kā taisnleņķa taisnstūra koordinātas, pārvēršot pēdējās trīs integrālās vērtības:

Muca 8. Aprēķiniet trešo integrāli

pāreja uz cilindriskām koordinātām, de V- platība, ko ieskauj virsmas i.

Lēmums. Tātad jaku reģions V uz laukuma xOi projekts kolosā, tad koordinātas φ mainīt no 0 uz 2 π , A koordinātu r- від r= 0 līdz r= 1. Pastāvīga nozīme cilindra telpā. Paskatieties uz to pašu cilindru apgabalā V, Otrimuєmo zmіnu ordinati z no z = r² līdz z= 1. Ir iespējams pāriet uz cilindriskām koordinātām, un tas nav pieņemami.

Izmantojiet labas trešās puses integrācijas risinājumu.
Patērētāja integrāļa fiziskās piedevas

Nodarbības otrajā daļā mēs uzzinām par galvenās trešo pušu integrācijas risinājuma tehnoloģiju , Dažos pіdіntegralna trīs ziemu funkcija zagalny vyadrіznyayє parādīties kā nemainīga і nav pārtraukta reģionā; un arī zināms ar patērētāja integrāļa fiziskiem papildinājumiem

Tiem, kas vēl nav iepazinušies ar biļetenu, iesaku sākt ar 1. daļu, viņi apskatīja galvenās izpratnes un uzdevums izzināt mazliet tauku aiz izšķērdīgā integrāļa palīdzības... Atkārtojiet šķīdumu triju vecās funkcijas, Oskilki dibenā, ko deva statty mēs būsim uzvarētāji vorotnu operācija – privāta integrācija funkcijas.

Turklāt ir vēl viens svarīgs brīdis: ja jums ir šķebinoša pašcieņa, tad visas puses lasīšana ir skaistāka par varu. Man no labās puses ir ne tikai tas, ka vienlaikus palielinās aprēķina sarežģītība - lielā skaitā trešo pušu integrācijas nav labāku metožu manuāla pārveidošana, Toms, līdz pēdējai dienai reģionā nav jāsāk nometnes simtdaļās. Samazināta tonusa gadījumā pieklājīgi povirishuvati tik-nebud vienkāršāk par to, ka vienkārši atlaižu (esmu grūts, jokoju =)), un uzreiz ar galvu virzos uz priekšu pa virsu trešajiem integrāļiem:

muca 13

Aprēķiniet trešo integrāli

Praksē ir iespējams arī atpazīt burtu, bet pat ne garnija variants, Es paskatīšos uz tiem "ve" "rezervētajiem" izraudzītajam obsjagu.

Es jums uzreiz pateikšu, ka tas NAV OBLIGĀTS. Nav jāreģistrējas elektropārvades līnijas un pārstāv integrālu pie vigljada. Ja vēlaties, varat. Tas ir veltīgs, neliels pluss - pierakstiet, vai vēlos to darīt, bet pēc tam jo mazāk uzmācīgi. Ale šāds pidhids galu galā nav standarts.

Algoritmā risinājums jaunums nebūs bagāts. Jums būs jādodas uz integrācijas jomu. Grīdas projekcija uz laukuma є līdz sāpīgi pazīstamam triciklam:

Uz augšu līdz obmezhene kvadrāts, Yak iet caur koordinātu vālīti. Priekšā, pēc vārda, tas ir nepieciešams obov'yazkovo pārveidošana(Domas par chernetsі), Ne tricikla daļas "zrіzaє" tsya apgabals. - mēms, dots taisni (Uz atzveltnes krēsliem)"Pass povz", і ķermeņa projekcija uz darbības zonu є trikutnik.

Chi šeit nav saliekams plašs atzveltnes krēsls:

Faktiski to var pārtraukt tikai, projekcija ir vēl vienkāršāka. ... Nu, tikai projekcijas atzveltnes krēsliem, tāpēc vienkārši ir vienkārši =) Protests par neko nav atzveltnes krēsls;

Protams, es nevaru palīdzēt, lūdzu, ar personāla secinājumiem:

muca 19

Zināt vienpusēja tilta vagu centru, ko ieskauj virsmas, ... Konkrētās ēkas Viconati atzveltnes krēsls un tā projekcija uz teritoriju.

Lēmums: Shukane tilo ieskauj koordinātu laukumi un laukums uyaviti vidrizki:. Viberemo "a" vienam mērogam un triviālam krēslam:

Vagija centra punkts jau ir novietots uz krēsla, tomēr tas nav zināms.

Ēkas projekcija uz teritoriju ir acīmredzama, taču es domāju, ka tas nav mazāks, es uzminēšu, kā to zināt analītiski - pat tik vienkāršas problēmas ir tālu no gaidītā. Lai zinātu taisnu līniju, atkarībā no tā, kā platība pārplūst, ir nepieciešams cirkulēt sistēmā:

Pіdstavlyaєmo vērtība 1. rivnyannya: "Plakana" taisna:

Wagi tila centra koordinātas aprēķina pēc formulām
, De - obsyag tila.

1. Cilindriskās koordinātas attēlo polāro koordinātu datus apgabalā xy ar serpentīna Dekarta aplikāciju z (3. att.).

Lai M (x, y, z) būtu pietiekams punkts telpā xyz, P ir punkta M projekcija uz laukumu xy. Punktu M nepārprotami nosaka trīs skaitļi - punkta P polārās koordinātas, z - punkta M aplikāts.

Jēkabs (8)

muca 2.

aprēķināt integrāli

de T - virsmu ieskauta teritorija

Lēmums. Pārejam pie integrāļiem līdz sfēriskām koordinātām saskaņā ar formulām (9). Todi integrācijas apgabalu var noteikt ar pārkāpumiem

Un tas nozīmē

muca 3 Zināt obsyag til, ierobežots:

x 2 + y 2 + z 2 = 8,

Mahmo: x 2 + y 2 + z 2 = 8 - sfēra ar rādiusu R = v8 centrēta punktā O (000),

Konusa augšējā daļa z 2 = x 2 + y 2 no simetrijas Oz augšdaļas un augšdaļa punktā O (2.20. Att.).

Mēs zinām līniju, kas apgāž sfēru un konusu:

І tik jaku aiz izlietnes z? 0, tad

Aplis ir R = 2, kas atrodas apgabalā z = 2.

Toms ir šausmīgs (2.28)

de apgabals U ir ieskauts augšpusē

(Sfēras daļa),

(Daļa no konusa);

apgabals U, kas jāprojektē Okhy zonā apgabalā D - rādiuss 2.

Ir arī vērts doties uz cilindrisko koordinātu noderīgo integrāli, vikoristovuchi formulas (2.36):

Starp izmaiņām r ir zināms ar laukumu D v ārpus R = 2 ar centru punktā O, mēs paši: 0? Ts? 2p, 0? R? 2. Tādējādi apgabalu U cilindriskās koordinātēs nosaka pārkāpumu sākums:

Dārgais, scho

Apakšlīnijas integrāļa atkārtota ieviešana no taisnes koordinātām, uz polārajām koordinātām
, Pov'yazanikh ar taisnas līnijas koordinātām
,
, Meklējiet formulu

Jakšo integrācijas reģions
divu vālu ieskauts
,
(
), Kas iziet no poliem, un divas līknes
і
Pēc tam apakšintegrāciju aprēķina pēc formulas

Pieteikums 1.3. Saskaitiet figūriņu laukumu, ko ieskauj šīs līnijas:
,
,
,
.

Lēmums. Lai aprēķinātu reģiona platību
ātri pēc formulas:
.

iedomājama joma
(1.5. Att.). Daudzām rekonstruētām līknēm:

,
,

,
.

Pāriesim pie polārajām koordinātām:

,
.

Polāro koordinātu sistēmās apgabals
aprakstījis rivnyannyh:

1.2. patērētāju integrācija

Trešo integrāļu galvenās pilnvaras ir analogas pakārtoto integrāļu pilnvarām.

Dekarta koordinātās pierakstiet trešo integrāli šādi:

yaksho
, Tas ir trešais integrālis reģionā skaitliski dorivnyu obsyagu tila :

Patērētāja integrāļa aprēķins

Ļaujiet reģionam integrēties apakšā un augšā norobežota ar acīmredzami nepārprotamām netraucētām virsmām
,
, Un reģiona projekcija uz koordinātu apgabalu
є līdzens laukums
(1.6. Att.).

Todi ar fiksētām vērtībām
lietojumprogrammu veids reģiona punkti robežu maiņa.

Todi otrimuєmo:

Yaksho, turklāt projekcija
jāsāk ar pārkāpumiem

,
,

de
- nepārprotami bez pārtraukuma funkcijas ieslēgtas
, tad

Pieteikums 1.4. saskaitīt
, de - tilo, apkārtnē:

,
,
,
(
,
,
).

Lēmums. Integrācijas apgabals є piramīda (1.7. Att.). apgabala projekcija є trīsritenis
, Savīti ar taisnām līnijām
,
,
(1.8. Att.). plkst
piemērot punktus
apmierināti ar pārkāpumiem
, tas

Razstavlyayuchi mezhi integrācija trīsriteņiem
, otrimaєmo

Trešais integrālis cilindriskās koordinātās

Dodoties no Dekarta koordinātām
uz cilindriskām koordinātām
(1.9. Att.), Adīts ar
spivvidnoshennymi
,
,
, Turklāt

,
,,

Noderīga integrālā sastāvdaļa atkārtotai ieviešanai:

Muca 1.5. Aprēķiniet ķermeņa garumu, ko norobežo virsmas:
,
,
.

Lēmums. Shukaniy obsyag tila durvis
.

Integrācijas zona ir cilindra daļa, ko ierobežo zemāk esošā zona
, Un virs apgabala
(1.10. Att.). apgabala projekcija є kolo
centrā ir koordinātu vālīte un viens rādiuss.

Pāriesim pie cilindriskām koordinātām.
,
,
... plkst
piemērot punktus
, Apmierināts ar pārkāpumiem

bet cilindriskās koordinātās:

novads
, Līknes ieskauts
, Nabude viglyadu, abo
, Pri ts'omu polar kut
... Paņem maisu mamo

2. Lauku teorijas elementi

Nagadamo priekšā līknes un virsmas integrāļu aprēķināšanas veidam.

Izliektā integrāļa aprēķins funkciju koordinātām, līkņu vērtības , Tas ir veidots, lai aprēķinātu dziedāšanas neatņemamu prātu

yaksho greizs norādīts parametriski
vidpovidaє vālītes punkts greizs , a
- її kіntsevіy punkti.

Virsmas integrāļa aprēķins no funkcijas
, Paredzēts uz abpusējas virsmas , Tas jāveido pirms apakšintegrāļa aprēķināšanas, piemēram, formā

yaksho virsma , Ņemot vērā rivnyannyam
, Viennozīmīgi izstrādāts šai teritorijai
uz reģionu
... šeit - kut mіzh viens parasts vektors uz virsmu es vissyu
:

Prātam ir vajadzīga virsmas labā puse To ierosina formulas (2.3.) Tipa zīmes vibrators.

Uzņēmējdarbības vērtība 2.1. vektora lauks
saukt par punkta vektora funkciju
vienlaikus ar apgabalu її visašenja:

vektors no kastes
ko raksturo skalārā vērtība - atšķirības:

Uzņēmējdarbības vērtība 2.2. straume vektora lauks
pāri virsmai sauc par virsmas integrāli:

de - viens normāls vektors pretējā virsmas pusē , a
- skalāru papildvektori і .

Uzņēmējdarbības vērtība 2.3. cirkulē vektora lauks

uz slēgts greizs saukt par greizu integrāli

de
.

Ostrogradska-Gausa formula Es instalēšu saites starp vektora lauka plūsmu caur slēgtu virsmu lauku atšķirības:

de - virsma, ko ieskauj slēgta kontūra , a - viens normāls vektors visai virsmai. Taisns normāls maє, bet tas ir poddzheno ar tiešu kontūras apvedceļu .

Pieteikums 2.1. Saskaitiet virsmas integrāli

de - konusa daļas nosaukums
(
), Vidsіkati apgabals
(2.1. Attēls).

Lēmums. virsma nepārprotami projekts šajā jomā
apgabalā
, I integrāli aprēķina pēc formulas (2.2).

Viens vektors, kas ir normāls virsmai mēs zinām no formulas (2.3):

Šeit viraz normālam ir plus zīme, tāpēc jaku kut між віссю
un normāli - stulba es, tas pats,
vainīgs, bet negatīvs. Vrahoyuchi scho
, uz virsmas otrimmo

novads
є kolo
... Šajā pēdējā integrālē mēs pārietam uz polārajām koordinātām ar
,
:

2.2. Papildinājums. Ziniet vektora lauka novirzi un rotoru
.

Lēmums. Formulai (2.4) mēs ņemam mo

Dotā vektora lauka rotors ir zināms ar formulu (2.5)

2.3. Papildinājums. Ziniet vektora lauka cēloni
caur daļu teritorijas :
, Roztashovan pirmajā oktantā
).

Lēmums. Saskaņā ar formulu (2.6)

Acīmredzot daļa no teritorijas :
, Roztashovanu pirmajā oktantā. Rivnyannya no konkrētā apgabala vidrizki maє viglyad

(2.3. Att.). Parastais vektors ma koordinātas laukumam:
, Viens normāls vektors

,
, zvaigznes
, Otzhe,

de
- teritorijas projekcija uz
(2.4. Att.).

Lietojumprogramma 2.4. Aprēķiniet vektora lauka plūsmu caur slēgtu virsmu , Ražots pēc apgabala
es esmu daļa no konusa
(
) (2.2. Att.).

Lēmums. Skoristaєmosya pēc Ostrogradska-Gausa formulas (2.8)

Mēs zinām vektoru lauka atšķirības šādu formulu (2.4):

de
- obsyag konuss, jo jakims tiek integrēts. Skoristaєmosya vіdomoyu formula konusa neķītrības aprēķināšanai
(- konusa rādiuss, - joga visota). Mūsu vipadku atpazīs
... atlikušais

2.5. Pielikums. Saskaitiet vektora lauka apriti
gar kontūru , Osvіchenіy peretin virs virsmas
і
(
). Pārvērtējiet Stoksa formulas rezultātu.

Lēmums. Ievērojamu virsmu eret apkārtmērs
,
(2.1. Att.). Tieši apvedceļa vibrācija, lai teritoriju ieskautu dusmas. Rakstāma parametru kontūra :

zvaigznes

un parametrs mainīt no pirms tam
... Formulai (2.7) ar vienādojumiem (2.1) un (2.10) mēs varam secināt

Zastosuєmo tagad Stoksa formula (2.9). Jak virsma , Izstiepts uz kontūras , Jūs varat uzņemt daļu teritorijas
... taisni normāli
līdz virsmas centram, izmantojiet tiešu kontūras apvedceļu ... Dotā aprēķina vektora lauka rotors lietojumprogrammā 2.2.
... Toma Šukana tirāža

de
- apgabala platība
.
- colo rādiuss
, zvaigznes

Saistīšana ar noguldījumu failiem

Patērētāju integrālis.

Kontrolējiet pārtiku.

Patērētāju neatņemama sastāvdaļa, jogas spēks.

Uzvarētāju nomaiņa patērētāju integrācijā. Iekšējā integrāļa aprēķināšana cilindriskās koordinātās.

Iekšējā integrāļa aprēķināšana sfēriskās koordinātās.

kāda funkcija u= f(x, y,z) Apmeklēts slēgtā teritorijā V atklāta telpa R 3.Rozib'єmo reģions V labs rangs par n elementāri slēgtās zonas V 1 , … ,V n, V 1 , …,  V n noteikti. nozīmīgi d- lielākais no reģionu diametriem V 1 , … ,V n... Ādas zonā V k vibrēt līdz galam Lpp k (x k , y k ,z k) Es krājumā neatņemama summa funkcijas f(x, g,z)

S =

Viznachennya.trešo pušu integrācija no funkcijas f(x, g,z) Pēc reģiona V saukt par integrālā sumi robežu
, Якшо він існує.

Šādā rangā,

(1)

Cieņa. neatņemama summa S depozīts teritorijas attīstībai V i punktu izvēle Lpp k (k=1, …, n). Tomēr, ja ir robeža, tad nav kļūda noteikt reģiona attīstības ceļu V i punktu izvēle Lpp k... Tiklīdz sub- un patērētāju integrāļu vērtība ir korelēta, tajos ir viegli izmantot analoģiju.

Pietiekams prāts dārgai integrācijai. Patērētāja integrālis (13) ir funkcija f(x, g,z) Aptverts V es neesmu pārtraukta V, Aiz gabalos gludu virsmu gala numura vinjetes, V.

Patērētāja integrala varas akti.

1) Jakšo Z tad ir skaitliskā konstante

3) Additivnosti pēc reģiona. kur ir reģions V izjuka reģionā V 1 і V 2, tad

4) Obsjags tila V durvis

(2 )

Iekšējā integrāļa aprēķināšana Dekarta koordinātās.

čau D projekcijas telpa V uz laukuma xOi, virsma z=φ 1 (x,g),z=φ 2 (x, g) Šķērsojiet tilo V no apakšas un no augšas tas ir acīmredzams. Tse nozīmē

V = {(x, g, z): (x, g)D , φ 1 (x,g)≤ z ≤ φ 2 (x,g)}.

Tātad to sauc z cilindrisks. Patērētāju integrālis (1) by z cilindrisks korpuss V jāaprēķina kā pāreja uz atkārtotu integrāli, kas tiek saglabāts no apakšbāzes un dziedošā integrāļa:

(3 )

Visbiežāk atkārtotajā integrācijā tiek ņemts vērā iekšējās dziedāšanas integrālis z, tajā pašā laikā x, g vvazhayutsya postinimi. Ir iespējams aprēķināt atsevišķo funkciju apakšintegrāciju pēc reģiona D.

yaksho V x- cilindrisks abo y- cilindriska, tad pareizās formulas

Pirmās formulas D  projekcijas telpa V uz koordinātu apgabalu yOz, Un otrā  uz apgabalu xOz

Uzliec. 1) Vichіslіtob'em tila V, Savīti ar virsmām z = 0, x 2 + g 2 = 4, z = x 2 + g 2 .

Lēmums. Daudzi aizbildņi par formulas (2) integrāļa papildu izmaksām

Mēs pārietam pie atkārtotā integrāla formulai (3).

čau D- kolo x 2 + y 2 ≤ 4, φ 1 (x , g ) = 0, φ 2 (x , g )= x 2 + y 2. Todi pēc formulas (3) otrimaєmo

Lai aprēķinātu integrāli, mēs ejam uz polārajām koordinātām. Ar veselu kolu D pārveidot par bezlich

D r = { (r , φ ) : 0 ≤ φ < 2 π , 0 ≤ r ≤ 2} .

2) Tilo V izklāta ar virsmām z = y , z = -y , x = 0 , x = 2, y = 1. Aprēķiniet

apgabalā z = y , z = -y nogrieziet ķermeņus attiecīgi no apakšas un no augšas - laukumu x = 0 , x = 2 flangs tikai no aizmugures uz priekšu un apgabals y = 1 ir ierobežots pa labi. V -z- cilindrisks tilo, yogo projekcija D uz laukuma čauє taisnstūrveida OABS... patīkami φ 1 (x , g ) = -jā