Pakārtotā integrāļa apzīmējums un pirmā pamatjauda. Apakšintegrāļa vērtība. Dovilnas integrācijas reģions
Subv_in_integrali. vērtību apakšintegrāls jauda. Atkārtoti integrēts. Apakšintegrālu būvniecība pirms atkārtotas. Izvietojums starp integrāciju. Apakšintegrāļu uzskaitījums Dekarta koordinātu sistēmās.
1. PAKALPOJUMA INTEGRĀLI
1.1. Apakšintegrāļa vērtība
Pakārtotais integrālis ir kopēja izpratne par dziedošo integrāli divu minionu funkciju kontekstā. Kopumā mainīsies integrācija no plakanas figūras klātbūtnes.
čau D- dejaks ir slēgts, teritorija ir ieskauta un f(x, g) - diezgan laba funkcija, kas ir izplatīta reģionā. Mēs ļausim saņemt pabalstus starp reģioniem D sastāv no ierobežota skaita līkņu, kas dotas līdzīgā veidā g=f(x) abo x= G ( g), De f(x) і g(g) - bez pārtraukuma funkcijām.
R
Mazs. 1.1
azobes reģions D labs rangs par n daļas. Platība i-to dilyanka apzīmē ar simbolu s i... Uz ādas faila es vienkārši vibrēju punktu Lpp i , un neuztraucieties fiksētā Dekarta koordinātu sistēmā ( x i , g i). krājums neatņemama summa funkcijai f(x, g) Pēc reģiona D, kuru funkciju mēs zinām visos punktos Lpp i, Papildus їх uz līdzīgu dalyanok laukumu iі pіdsumuєmo visi іtrimanі rezultāti:
.
(1.1)
nosaukts diametrs diam(G) apgabali G visvairāk atrodas starp visa reģiona robežpunktiem.
apakšintegrāls
funkcijas
f(x,
g)
pēc reģiona
D
saukt par robežu, cik lielā mērā ir pēdējais no integrāļa
summa
(1.1) ar neierobežotu rosbitty skaita pieaugumu
n
(pie tsyom
). Tse uzrakstiet aizskarošu rangu
.
(1.2)
Pārsteidzoši, ak, zagalі, šķiet, ir neatņemama summa dotā funkcijaіntegruvannya noteiktas teritorijas, lai kavētu teritorijas attīstību D i punktu izvēle Lpp i... Tomēr, tā kā apakšintegrētā ir, tas nozīmē, ka starp abām neatņemamām summām tas neatrodas nevienā no būtiskajiem faktoriem. Šim nolūkam pakārtotā integrācija(Abo, šķiet, jaks schob funkciju f(x, g) boole integrēts reģionāD), Nodrošiniet Būla funkcijunepārtraukti dotajā apgabalā.
NS
Mazs. 1.2
.
(1.3)
cieņu . Yaksho pіdіntegralnа funkcija f(x, g) 1, tad apakšintegrācija būs integrācijas apgabala galvenās jomas:
.
(1.4)
Acīmredzot, kāds var būt apakšintegrētais, tas pats ir spēks, kas ir integrētais. Acīmredzot viņu rīcība.
Pakārtoto integrāļu spēks.
1 0 . Lineārā jauda. Integrāli un sumi funkcionāli dorіvnyu sumi integraralіv:
і pastāvīgo reizinātāju var vainot par neatņemamu zīmi:
.
2 0 . Papildu jauda. Jakšo integrācijas reģionsDsadalīts divās daļās, tad apakšintegrālis tiks izmantots ādas neatņemamajai daļai:
.
3 0 . Teorēma par vidusceļu. kāda funkcija f ( x, g)reģionā nepārtrauktiD, Tad visā apgabalā ir tāds punkts() , scho:
.
Kādas ir pārtikas iespējas: kā tiek skaitīti apakšintegrāļi? To var cieši numurēt, pilnībā sadalot efektīvās metodes, kā salocīt kopējās neatņemamās summas, kuras skaitliski var saskaitīt aiz vēlēšanu novērošanas misijas. Veicot apakšintegrālu analītisku aprēķinu, ir jāsasniedz dubultie integrāļi.
1.2. atkārtota integrācija
Atkārtotus integrāļus sauc par prāta integrāļiem
.
(1.5)
Dažādos veidos tiek aprēķināta iekšējā integrācija, lai tiktu veikta integrācijas apkopošana ar izmaiņām g(Ar tsomu zminna x vvazhaєtsya pēc pēcvērtības). Integrācijas rezultātā g viide deyaka funkcija x:
.
Atņemsim integrēšanas funkciju x:
.
Pieteikums 1.1. Aprēķiniet integrāļus:
a) 
, B) 
.
Lēmums ... a) Zrobimo integrācija g, Vvazhayuchi, scho zminna x= konst... Pislya tsiogo numurēts integrālis ar x:
.
b) Tātad, tāpat kā iekšējā integrācijā, integrācija tiek veikta atbilstoši izmaiņām x, tad g 3 var pārmest uz integrālo integrāli kā pastāvīgu reizinātāju. lūžņi g 2 iekšējam integrālam tas tiek piepūsts ar nemainīgu vērtību, tad integrālis būs tabulas veidā. Viroblyayuchi pēc integrācijas gі x, mēs būsim
Starp atkārtotajiem un neatkārtotajiem integrāļiem ir vienkāršs savienojums, bet ir dažas viegli saprotamas vienkāršas un salokāmas zonas. apgabalu, ko saukt vienkāršs taisnā līnijā, tāpat kā taisnā līnijā, ko veic taisnā līnijā, reģiona kordons ir ne vairāk kā divi punkti. Dekarta koordinātu sistēmās skatiet O asis pareizajā virzienā x es O g... Ja apgabals є ir vienkāršs abos virzienos, tad īsi runājot - vienkārša joma, neredzot nevienā virzienā. Ja reģions nav dīkstāvē, tad šķiet, ka salokāms.
L
a b
Mazs. 1.4
Jebkuru saliekamo laukumu var attēlot vienkāršu laukumu sumi skatītājs. Acīmredzot, vai apakšintegrālu var attēlot subintegrācijas summā aiz vienkāršām jomām. Mēs redzēsim, ka viltotajā, galvenokārt, ir integrēts tikai vienkāršās jomās.
teorēma . Jakšo integrācijas reģionsD- viegli taisna assOy(1.4. Att.), Tad apakšintegrālu var uzrakstīt otrreiz pēc uzbrukuma pakāpes:
;
(1.6)
kur ir integrācijas reģionsD- viegli taisna assVērsis(Div. Ріс.1.4b), tad apakšintegrālu var ierakstīt atkārtotā uzbrukuma rangā:
.
(1.7)
E
Mazs. 1.3
1.3. ROSING STARP INTEGRĀCIJU
1.3.1. Direkcijas reģions іntegruvannya
NS
Mazs. 1.5
1.2. Papildinājums. Saskaitiet apakšintegrāciju
.
Lēmums ... Atkārtotajā skatā ir iespējams pierakstīt apakšintegrāciju:
.
1.3.2. Dovilnas integrācijas reģions
Lai pārietu uz apakšintegrāli pirms nākamās darbības:
nodrošināt integrācijas zonu;
Ievietojiet robežas integrālē ar lielu atmiņu, bet pastāvīgās vērtības (lai tie būtu skaitļi) ir vainojams starpstrāvas integrālis, turklāt fakts, ka tiek saukts integrālis.
Pieteikums 1.3. Integrācijas ievietošana sekundārajos atkārtotajos veselos skaitļos apakšintegrālam
, Yaksho a) 
b) 
R
Mazs. 1.6
.
Ļaujiet tagad integrāciju jaunajā integrācijā veikt saskaņā ar g, Un iekšējais - līdz x... Vai tsyomu vipadku nozīme g mainīsies no 0 uz 2. Tomēr izmaiņu augšējā robeža ir izmaiņu vērtība x būs divi daļanoki x= g/ 2 i x= 1. Tse nozīmē, ka integrācijas apgabals ir jāsadala divās daļās taisni g= 1. Todi pirmajā reģionā y mainās no 0 uz 1, un x iet taisni x= g/ 2 uz taisnu x= g... Citos apgabalos y mainās no 1 uz 2, un x- iet taisni x= g/ 2 uz taisnu x= 1. Rezultātā mēs varam
.
b
Mazs. 1.7
; pārmaiņas pēc g mainīt no g= 0 līdz g=1–x... Šādā rangā,
.
Tagad pieņemsim jaunāko integrālo integrāciju g, Un iekšējais - līdz x... Visā vipadā g mainīsies no 0 uz 1 un mainīsies x- apļa loka skats 
taisni x=1–g... Tā rezultātā otrimaєmo
.
Izmēģiniet to, jo ir svarīgi pareizi izvēlēties integrācijas secību.
Pieteikums 1.4. Mainiet integrācijas secību
a) 
; b) 
.
R
Mazs. 1.8
.
b) Reģions tiks integrēts. Ceļā uz g zminna x mainieties uz priekšu x=g uz parabolu 
; iet - iet taisni x=g taisni x=
3/4. Rezultātā ievadiet integrācijas apgabalu (1.9. Att.). Uzvedinātā mazuļa prezentācijā, kas novietota integrācijas malā,
.
Rotains un normāls virsmai
Viznachennya. normāli uz virsmu punktā N 0 sauc par taisnu līniju, kas iet caur punktu N 0 perpendikulāri punktveida zonai uz visu virsmu.
Ja ir punkts, ir virsma, vai arī es saskaņošu tikai vienu laukumu vai nē.
Ja virsmai ir dota vienāda z = f (x, y), tad f (x, y) ir funkcija, kas diferencējas punktos M 0 (x 0, y 0), līdzīgi laukumam punktos N 0 (x 0 , y 0, (x 0, y 0)) існує и м рівняння:
Rivnyannya normāli pret virsmu vietā:
ģeometriskais zm_stom divu izmaiņu funkcijas galvenā diferenciālis f (x, y) punktā (x 0, y 0) є punktētā laukuma pielietojuma pieaugums (koordināta z) uz virsmu, pārejot no punkta (x 0, y 0) līdz punktam (x 0 + D x, y 0 + Dy).
Var redzēt, ka abu funkciju ģeometriskā maņu diferenciālis ir ietilpīgs viena un tā paša funkcijas diferenciāļa ģeometriskā sensora analogs.
Muca. Ziniet punktētās zonas līmeni un normālu virsmai
punktā M (1, 1, 1).
Rivnyannya dotichnoy apgabals:
Ekvivalents normāls:
Apakšlīnijas integrāļa aprēķins polārajās koordinātās.
Nekhai reģionu D ieskauj līnija r = r () apmaiņas = і = , i i r- apgabala punkta polārās koordinātas, kas saistītas ar Dekarta koordinātām xі g
Spіvvіdnoshennymi (5. att.). Visā vipadā
Cieņa. Jakšo apgabals D in Dekarta koordinātas Ja jūs sev jautājat, kā atriebties, piemēram, ar binomu utt., Tad apakšintegrāla aprēķins šādai teritorijai tiks veikts manuāli polārajās koordinātās.
Metro integrālis. Pamatvērtības un jauda.
Subv_in_integrali.
Uz laukuma ir skaidrs, ka dejaku aizvēra līkni,
Punktu skaitu, kas atrodas līknes vidū un uz pašām līknēm, sauc par slēgtu apgabalu D. Ja apgabala bez punktiem punkti ir vibrēti, tad tie atrodas uz līknēm, apgabals tiks saukts par atklātu laukumu D .
No ģeometriskā viedokļa D - figūriņas laukums, ko ieskauj kontūra.
Razib'єmo apgabals D uz n daļējiem apgabaliem taisnā līnijā, viena izeja no vienas gar asīm D x i, un gar y asi - uz Dy i. Acīmredzot šāda izplatīšanas kārtība ir obligāta, ir iespējams sadalīt laukumu mūsdienu formas un izmēra dilenkas daļās.
Ir atzīts, ka apgabals S stiepjas elementāros taisnstūrveida celiņos, ceļa laukums S i = Dx i × Dy i.
Apgabala dermālajā daļā ir ļoti liels punkts P (x i, y i) un salokāma neatņemama summa
de f - funkcija ir nepārtraukta un nepārprotama visos apgabala D punktos.
D i apakšnodaļu skaitam nav gala, tas ir, acīmredzot, ādas apakšnodaļas S i pragne laukums līdz nullei.
vērtība: Kad apgabala D tamborējums ir integrēts līdz nullei, ja reģiona D krokuss ir integrēts, tad to sauc apakšintegrāls pēc funkcijas f (x, y) pēc apgabala D.
Tā kā ir iedomājams S i = Dx i × Dy i:
Ieraksta ievadīšanas vietā є ir divas S zīmes, tāpēc summēšana tiek veikta pēc divām ziemām x un y.
Integrācijas apgabala svārstības ir diezgan pietiekamas, kā arī punktu P i vibrācija, tad, ja visas zonas S i ir vienādas, mēs varam pieņemt formulu:
Ņemiet vērā apakšintegrācijas izpratni.
Es formulēšu pietiekamu izpratni par pakārtoto integrāli.
Teorēma. Ja funkcija f (x, y) slēgtā apgabalā D ir nepārtraukta, tad apakšintegrālā isnu
Teorēma. Tā kā funkcija f (x, y) ir ievietota slēgtā zonā D un nekādā veidā netiek pārtraukta, izņemot gabalu gludu līniju beigu numuru, tad apakšintegrālā isnu.
Pakārtotā integrāļa spēks.
3) Ja D = D 1 + D 2, tad
4) Teorēma par vidusceļu. Funkcijas f (x, y) apakšintegrālis nodrošina papildu vērtību visai funkcijai vienā no integrācijas apgabala punktiem integrācijas apgabala apgabalā.
5) Ja domēnā D f (x, y) ³ 0, tad .
6) Ja f 1 (x, y) £ f 2 (x, y), tad.
№43 Visnachennya Viss kārtībā, tas ir greizs C ir iestatīta vektora funkcija s- Dovžina loka šķība. Todi ir zaudēta vektora funkcija
Tas ir viens vektors, kas iztaisno ķemmes tuvu dotajam greizajam (1.
Pie formulas redzes α, β
і γ
- kuti mіzh dotichnіy і pozitīvas asis O x, O g es O z, Faktiski.
Iepazīstiniet ar vektora funkciju, ko var uzrakstīt uz līknes C Tātad, skalārajai funkcijai
Izliekta integrāļa noņemšana Šādu integrāli no līknes vektora funkcijas sauc par cita veida izliektu integrāli C es zinu jaku
Ar šādu rangu vārdam
de - viens vektors no doti līdz greizam C.
Atlikušo formulu var pārrakstīt arī vektora formā:
De.
yaksho greizs C gulēt apgabalā O. xy, Tad vvazayuchi R = 0, mēs to darīsim
Cita veida krusta spēks
II spēka līknes integrālis: Nekhai C kas apzīmē auss līkni punktā Aі kіntsevoy punkts B... jēgpilni cauri -C līkne protolezhny taisni - out B pirms tam A... Todi
yaksho C- ob'dnannya līknes C 1 i C 2 (2. attēls), tad Yaksho ir greizs C skatītājā tiek dots parametriski, tad Jakšo ir līkne C gulēt apgabalā O. xyі tiek dota vienādaTm (nodošana, R = 0 і t = x), Tad viglādē tiek uzrakstīta pēdējā formula
№ 49 Virsmai F ir skaidri dota z = z (x, y), (x, y) Î D (kompakta),
de z (x, y) maє in D bez pārtraukumiem privāti pirmajā secībā, funkcija f (x, y, z) tiek piešķirta un nepārtraukta F.
Piegādāts. Par apgabaliem mēs mo
Todi Integral Sumi Dorivnyuvatiut
Persha z sum ir neatņemama sastāvdaļa, citu var salauzt jaku ar ļoti mazu vibrāciju, lai pabeigtu ar nedaudz rosbitt. Pastāvīga funkcijas f (x, y, z (x, y)) pārtraukšana uz D.
Nr. 40 (turpinājums) Atbilstoša izpratne par pirmā veida izliekto integrāli tiks veidota no paša sākuma, ja tā tiks parādīta tā aprēķināšanas veidā.
Arī 1. veida izliektā integrāļa apzīmējums konstrukcijai ir tāds pats kā dziedošā integrāļa apzīmējums. Šim nolūkam pirmā veida izliektais integrālis var būt spēks, kas ir dziedošais integrālis. Vadās pēc varas bez ziņošanas.
I KIND jaudas līknes integrācija
1., de - dovžina līka.
2. Pastāvīgs reizinātājs ir iespējams 1. ģints izliektā integrāļa zīmei tobto
3. I veida visu veidu funkciju izliektu integrāļu starptautiskās algebriskās summas pirmā veida algebriskās summas izliekts integrālis, lai
4. Ja līkne ir sadalīta divās daļās, ja nav guļošu iekšējo punktu, tad
(Pirmā veida izliektā integrāļa pievienojamības spēks).
5. Visur uz līknes funkcijas (), tad
6. Visur līkumos (),
7)
de - dovžina greiza.
8. (teorēma par pirmā veida izliekta integrāļa sākotnējo vidējo vērtību)
de - dovžina greiza.
Nr. 42 Izliekta garums.
Ja integrāļa funkcija f (x, y, z) ≡ 1, tad no 1. veida izliektā integrāļa vērtības mēs to varam noliegt, bet visos gadījumos ir iespējams integrēt greizo integrāli
Masa šķībi.
Vazhayuyu, bet integrālā funkcija γ (x, y, z) ir līknes ādas punkta sākuma punkts, kas ir zināms pēc formulas līknes masas
3. Liekas mirkļi, es zinu, tas ir tik mazs, piemēram, līdzenā vietā: -
statiski momenti plakana līkne l asīm Ox un Oh;
plašā līkuma inerces moments acīmredzot ir koordinātu vālīte;
· Koordinātu asu izliektās ass inerces momenti.
4. Saskaņojiet aprēķināmās līknes centru saskaņā ar formulām
Nr. 38 (2) Trešās integrācijas izmaiņu aizstāšana
Aprēķinot patērētāja integrāli, piemēram, pakārtotu, es bieži tos aizstāju ar roku. Tas ļauj vienkāršot integrācijas apgabala vai integrētā viraz izskatu.
Neiegūstiet uzdevumu tiešo ievades integrāli taisnleņķa koordinātās x, y, z apgabalā U:
Ir jāaprēķina dāņu integrālis jaunajās koordinātās u, v, w. Attiecības starp vecajām un jaunajām koordinātām raksturo šādas attiecības:
Pārraidi, scho, aizvainojošā prāta vikonijas:
1. Funkcija φ, ψ, χ bez pārtraukuma uzreiz ar savām privātajām;
2. Pastāv savstarpēji nepārprotama saistība starp integrācijas reģiona U punktiem telpā xyz un reģiona U "punktiem uvw telpā;
3. Jakobijas transformācija I (u, v, w),
Pēdējā zīme ir visur ASV integrācijas jomā.
Tā ir formula, kā aizstāt uzvarētājus patērētāju integrācijā, kas jāreģistrē vigiladi:
Lidiņa laikā līkums nozīmē Jēkaba absolūto vērtību.
№38 Patērētie integrāļi sfēriskās koordinātās
Punkta M sfēriskās koordinātas (x, y, z) ir trīs skaitļi - ρ, φ, θ, de
ρ ir punkta M rādiusa vektora lielums;
φ - kut, paziņojumi par rādiusa vektora projekciju apgabalā Oxy і vіssu Ox;
θ - ārpus radiālā vektora virziena no Oz pozitīvās ass (1.
Zvērs jāciena, kur ρ, φ vērtības sfēriskajā i cilindriskās koordinātas ir viena veida.
Savienojuma punkta sfēriskās koordinātas ar savienojuma Dekarta koordinātām
Jēkabs uz pāreju no Dekarta koordinātām uz sfēriskiem uzskatiem:
Salokāms visnatnik uz divām kolonnām,
Acīmredzot Jēkaba absolūtā vērtība ir viena
Otzhe, formula izmaiņu aizstāšanai, kad sfēriskajā skatījumā tiek pārdomātas Dekarta koordinātas:
Trešo integrāli aprēķina sfēriskās koordinātās, ja integrācijas apgabals U ir izdevums (vai tā daļa) un / vai ja vigljada integrālā virase f (x2 + y2 + z2).
virsma
Vibremo uz gludas virsmas (aizvērts vai ar gludu kontūru ieskauts) punkts M0 un novietots normāli pret virsmu, vibrējot, lai iegūtu nelīdzenu līniju (viena ar divām). Zīmēts uz slēgtās kontūras virsmām, lai to salabotu un pabeigtu punktā M0. Punktu M var redzēt, ir iespējams apiet kontūru, un ādas stāvoklī normāls tiek vilkts taisni uz priekšu, jakā normālais no priekšējā punkta tiek šķērsots bez pārtraukuma. Apbraucot ap kontūru, normāls pagriezīsies punktā M0 pirmā vālītes stāvoklī, ja uz virsmas ir kāda punkta M0 vibrācija, virsmu sauc par divpusēju. Es vēlos mainīt vienu punktu pretējā pusē, virsmu sauc par vienpusēju (bet vienpusējā virsma kalpo kā Moebiusa lapa).
vērtību
Punktu skaitu uz virsmas vienā virzienā ar trešo normālo sauc par virsmas malu.
Virsmas sakārtojums.
Skaidri atvērta gluda divpusēja virsma S, ko ieskauj kontūra L un vibrē visas virsmas vienā pusē.
vērtību
Teiksim pozitīvi, taisni ap kontūru L, kad notiek kontūras sabrukums, mēs redzam pretēju virziena bultiņu, kas atrodas normas beigu punktā pret jebkuru virsmas S punktu, tā, lai redzama virsma. Zvorotn_y tieši apejot kontūru sauc par negatīvu.
Potika vektora lauks.
Skaidri redzams vektora lauks A (M), pamatojoties uz vērtību plašajā apgabalā G, ir izvietots uz gludas virsmas S G un atsevišķu normālu lauks n (M) virsmas S pretējās pusēs.
Uzņēmējdarbības vērtība 13.3. Pirmā veida virspusēja integrālis (13.1)
de An ir saistīto vektoru skalārais papildinājums, un An ir vektora A projekcija uz normas taisnas līnijas, ko sauc par vektora lauka A (M) plūsmu caur virsmas S pretējo pusi.
Cieņa 1.
Tiklīdz jūs vibrējat virsmas malā, tas ir normāli, bet, tik viegli, tam ir tendence mainīt zīmi.
Cieņa 2.
Ja vektors A norāda līnijas plūsmas ātrumu noteiktā punktā, tad integrālis (13.1) norāda līniju skaitu, kas vienas stundas laikā plūst caur virsmu S pozitīvā virzienā (svešvārds “potik”).
Nr. 53 Citas ģints virspusējs integrālis. Viznachennya i sv-va.
vērtību
Skaidra abpusēja virsma, gluda vai gabalos gluda un neatkarīgi no tā, vai tā ir no divām pusēm, kas ir vienāda ar vibrāciju uz dziedāšanas aranžējuma virsmas.
Attiecībā uz vērtību ir atļauts apkaisīt, bet virsma ir skaidri norādīta, un punkts mainās apgabala apgabalā, ko ieskauj gabalos gluda kontūra.
Tagad šīs virsmas punktos ir norādīta dejaka funkcija. Izlaužot virsmu ar daļēji gludu līkņu līniju uz daļas un vibrējot uz šādas ādas daļas, funkcijas skaitliskās vērtības punkts dotajos punktos un reizināts uz projekcijas laukuma elements, bez dziedāšanas zīmes. Noliktava integrālajai summai:
Integrālās sumi neatņemamās daļas Kintsevii robežu, kad šo daļu diametrus pagarina līdz nullei, sauc par cita veida virsmas integrāļiem.
stiepjas uz virsmas pretējo pusi, ko apzīmē ar simbolu
(Šeit) es domāju par virsmas elementa projekcijas laukumu uz laukumu
Ja mēs nomainām virsmas izvirzīto elementu laukumu uz laukuma vai arī var uzskatīt divus citus cita veida virsmas integrāļus:
Turklāt visbiežāk visos šajos veidos ir integrālo pusi līnijas:
tie ir dziedāšanas funkciju būtība virsmas punktos.
Saikne starp citas un pirmās ģints virsmas integrāļiem
De - vienas virsmas normālais vektors - ort.
jauda
1. Linearitāte:;
2. Aditivitāte:;
3. Mainoties virsmai, virsmas integrālis maina zīmi.
Nr. 60 Operatornabla (operators Hamiltons)- vektora diferenciālais operators, kas apzīmēts ar simbolu (Nabla). Triviālai Eiklīda telpai taisnstūrveida Dekarta koordinātās Nabla operators sāk ar aizskarošu rangu: de - atsevišķi vektori gar x, y, z asīm.
Operatora Nabla spēks. Viss vektors tiek pievienots jēgai dotajā skalārā vai vektora funkcijā, pirms tā tiek izmantota. Ja vektors ir skalārs, kas reizināts ar vektoru, veids ir skalārs
tobto diverģences vektors. Ja jūs reizināt ar vektoru, tad redzam vektora rotoru:
Cieņa: attiecībā uz skalāra un vektora nozīmi Nabla operatora gadījumā izveidojiet ļauno lietu secību, bieži vien par jēgpilnu alternatīvu jēgpilnību, piemēram, lai aizstātu nervus; rakstīt i no formulām, kas norādītas zemāk.
Acīmredzot skalārs virpulis ir skalārs operators, ko sauc par Laplasa operatoru. Palikt zināmam ir tas pats. Dekarta koordinātās Laplasa operators sāk ar šādu rangu: Oskilki operators Nabla ir diferenciālais operators, tad, atkārtoti ieviešot virases, ir jāizmanto vektoru algebra noteikumi, kā arī diferenciācijas noteikumi. piemēram:
Lai zaudētu pagriezienu, noliktos no diviem laukiem, є viraziv summa, kuras ādā diferenciācija rodas tikai vienā laukā. Lai saprastu, ka Nablas laukos ir pieņemts ievērot, ka, veidojot laukus un operatorus, ādas operators ir atbildīgs par viraz, ka tas ir labās rokas vērts, un ne par visu, kas ir rokas vērts. Ir nepieciešams, lai operators būtu uz grīdas, stāvētu viens pats, viss lauks ir kā rangs, piemēram, novietojiet virs burta ar bultiņu: Šī ir forma, kuru es pierakstīšu, lai piezvanītu starpniekiem atjaunošana. Caur її nelokāmību bultu atlikušajā izskatā mēs pamostamies.
№61 Atšķirīgas secības vektoru diferenciālās darbības sauc par aizskarošām piecām operācijām:
1. de - Laplasa operators.
- - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - -
2
- - - - - - - - - - - - -
3 .
- - - - - - - - - - - - - - - - -
4. Šeit ir vektora daudzums, kas tiek iegūts, Lapleres operatoram piestiprinoties pie vektora ādas projekcijas.
- - - - - - - - - - - - - - -
Pakārtoto integrāļu spēks.
Daļa pakārtoto integrāļu pilnvaru ir bez viduvējības, pateicoties izpratnes vērtībai un integrālās summas pilnvarām, un pati:
1. Yaksho funkcija f (x, y) integrējams D, tad kf (x, y) integrēts arī visā reģionā, turklāt (24.4)
2. Jakšo reģionā D integrētās funkcijas f (x, y)і g (x, y), Tad visā teritorijā ar integrētu un funkcijām f (x, y) ± g (x, y), tajā pašā laikā
3. Jakšo par integrāciju reģionā D funkciju f (x, y)і g (x, y) neērtības f (x, y)≤g (x, y), tad
(24.6)
Nesot apakšintegrāļa spēku:
4. Jakšu reģions D sadalīts divos reģionos D 1 i D 2 bez miega punktiem un funkcijām f (x, y) reģionā nepārtraukti D, tad
(24.7) Dovedennya ... Integrālā summa pēc reģiona D var uzrādīt Viglyad:
de rozbittya reģions D veic tā, ka starp D 1 i D 2 jāglabā starp rozetes daļām. Pārejot starp siltu un zemu, mēs varam izņemt vienlīdzību (24,7).
5. Integrācijas laikā D funkcijas f (x, y) visā reģionā funkcija ir integrēta | f (x, y) |, Var būt neuzticamība
(24.8)
Piegādāts.
signāli par papildu robežas šķērsošanu atpazīstamu pārkāpumu gadījumā (24.8)
6.de S D- apgabala platība D. Pierādījums par tverdzhennya otrimaєmo, uzrādīts integrētajā maisiņā f (x, y)≡ 0.
7. Yaksho ir integrēts reģionā D funkciju f (x, y) laimīgs un neērts
m ≤ f (x, y) ≤ M,
tad 
(24.9)
Piegādāts.
Pierādījumu veic robežu pāreja ar acīmredzamiem pārkāpumiem
Slidstvo.
Kā izplatīt visas pārkāpumu daļas (24.9.) D, Jūs varat izveidot tā saucamo teorēmu par vidusceļu:
Zokrema, mazgāšanai bez pārtraukuma f v D ir tāds punkts visā reģionā ( x 0, y 0), jaki valodā f(x 0, y 0) = μ , tobto
-
Atkal teorēmu formulējums ir aptuveni vidusceļš.
Apakšbāzes integrāļa ģeometriskā izjūta.
Skaidrs līdz V, Starp virsmas daļu, z = f (x, y), projekcija D tsієї virsmas Pro zonā hu un bichny cilindriska virsma, Vertikāļu Otrimanos izveido tā, ka kordona punktus veido virsmas ar izvirzījumiem.
z = f (x, y)
V
g P i D 2. att.
Mēs būsim shukati obsyag ts'go tila jaku starp sumi ob'єmіv cylindrіv, ko nodrošina kāda є daļa Δ S i apgabali D, Un ar ūsām - ar džina palīdzību f(P i), De punkti P i pārklāšanās Δ S i... Iet uz robežu, kad, otrimaєmo, scho
(24.11)
tā, lai apakšintegrālis būtu tā sauktā cilindroīda savienojums, kas norobežots virs virsmas z = f (x, y), Un zemāk - reģions D.
Pakārtotā integrāļa uzskaitījums, paaugstinot to līdz otrajam.
Redzams reģions D, Līniju ieskauts x = a, x = b(a< b ), De φ 1 ( NS) І φ 2 ( NS) Nepārtraukti uz [ a, b]. Todi be-yaka taisni, paralēli koordinātu asij Pro plkst es eju cauri reģiona iekšējam punktam D, Reģiona Peretina kordons divos punktos: N 1 i N 2 (1. att.). Nosaukts taku apgabals taisnība ieslēgts
plkst pareiza ass Pro plkst... līdzīgi definēts
y = φ 2 (x) Ir joma, kas ir pareiza tieši
N 2 asu Pro NS... Platība ir pareiza virzienā
Abu koordinātu asu vannas, mēs to darīsim
D zuwati ir taisnība. starp citu,
pareizais laukums ir parādīts 1. attēlā.
y = φ 1 (x) N 1
O a b x
kāda funkcija f (x, y) reģionā nepārtraukti D... Redzams viraz
, (24.12)
sauca dvorizējams ar integrālu no funkcijas f (x, y) pēc reģiona D... Iekšējā integrāļa (stāvēšana lokos) skaits ir numurēts atbilstoši izmaiņām plkst, vvazayuchi NS publicē to. Skata rezultātā skata funkcija ir nepārtraukta. NS:
Mēs integrēsim funkciju attiecībā uz NS starp a pirms tam b... Rezultāts ir skaitlis
Acīmredzot svarīgs ir pagalma integrāļa spēks.
1. teorēma. kur ir reģions D, Pareizi tiešajā Pro plkst, Rozbit divos reģionos D 1 i D 2 taisna, paralēla ass Pro plkst ABO OSI PRO NS, Tas ir dvorazovy neatņemama visā reģionā D būs dārgas summas par tādu pašu integrāciju reģionos D 1 i D 2:
Piegādāts.
a) Nāc taisni x = s smashing D uz D 1 i D 2, taisnā līnijā Pro plkst... Todi
+
+ 
b) Nāc taisni y = h smashing D pa labi taisni Pro plkst apgabali D 1 i D 2 (2. att.). jēgpilni cauri M 1 (a 1 , h) і M 2 (b 1 , h) Taisni punkti y = h uz robežas L apgabali D.
g novads D 1 ieskauj nepārtrauktas līnijas
y = φ 2 (x) 1) y = φ 1 (x);
D 2 + 2) šķībs A 1 M 1 M 2 V, Rivnyannya kuru var pierakstīt
h M. 1 M 2 y = φ 1 *(x), De φ 1 *(NS) = φ 2 (NS) plkst a ≤ x ≤ a 1 i
A 1 D 1 B b 1 ≤ x ≤ b, φ 1 *(NS) = h plkst a 1 ≤ x ≤ b 1 ;
3) taisni x = a, x = b.
novads D 2 ieskauj līnijas y = φ 1 *(x),
A g= φ 2 (NS),a 1 ≤ x ≤ b 1 .
y = φ 1 (x) Teorēma par
rozbitti promіzhku integrācija:
Ak a 1 b 1 b
+ 
Acīmredzot pastāv atšķirīgs integrācijas veids nekā Viglyad Sumi:
+ 
+ 
.
lūžņi φ 1 *(NS) = φ 2 (NS) plkst a ≤ x ≤ a 1 i b 1 ≤ x ≤ b Pirmais un trešais no trim integrāļiem var būt vienāds ar nulli. jau,
Es D = 
, tobto.
1.1 Apakšintegrācijas vērtība
1.2 Apakšintegrācijas spēks
Pakārtotā integrāļa (і іх pielikumi) spēks ir analogs vienreizējā dziedošā integrāļa pilnvarām.
1 °. Papildināmība. Arī funkcija f (x, y) ir integrēta apgabalā D, un apgabals D aiz papildu līknes G ir nulles pārtraukums uz divām saitēm un netraucē apgabala D 1 un D 2 miega iekšējiem punktiem, tad turklāt funkcija f (x, ādas zonās D 1 і D 2, turklāt
2 °. Lineārā jauda. Funkcijas f (x, y) un g (x, y) ir integrētas domēnā D, bet? es? - vai ir skaitļi, tad funkcija [? F (x, y) +? · G (x, y)] ir integrēts arī reģionā D, un
3 °. Ja funkcijas f (x, y) un g (x, y) ir integrētas domēnā D, tad abas funkcijas ir integrētas D.
4 °. Cik funkcijas f (x, y) un g (x, y) aizskar veseli skaitļi apgabalā D un visur apgabalā f (x, y)? g (x, y), tad
5 °. Ja funkcija f (x, y) ir integrēta reģionā D, tad funkcija | f (x, y) | turklāt integrējams domēnā D
(Acīmredzot, ņemot vērā | f (x, y) | integrāciju D, f (x, y) integrācija D. nav iekļauta.)
6 °. Vidējās vērtības teorēma. Aizvainojošās funkcijas f (x, y) un g (x, y) ir integrētas domēnā D, funkcija g (x, y) nav negatīva (nav pozitīva) visā domēnā, M un m ir precīza augšējā un precīzā apakšējā daļa starp funkcijām f (x, y) apgabalā D, tad ir skaitlis? ? ? M un arī formula ir derīga
Ja funkcija f (x, y) ir nepārtraukta D un reģions D ir savienots, tad th apgabalā ir šāds punkts (?,?), = F (?,?)
7 °. Ģeometriskā jauda ir svarīgāka. ceļu zonas D.
Ļaujiet būt tikai T (2.1. Attēls), ko ieskauj zemāk esošais apgabals D, augšpusē ar nepārtrauktas un negatīvas funkcijas grafiku) z = f (x, y,), kas apzīmēts apgabalā D, no malas - ar cilindrisku virsmu, kas vērsta uz apgabala D robežu un novietota paralēli asij Oz. Šāda veida Tilo sauc par cilindrisku til.
1.3 Apakšintegrācijas ģeometriskā interpretācija
1.4 Izprast taisnstūra apakšintegrāli
Vai jums taisnstūrim R = visur ir piešķirta pietiekama funkcija f (x, y)? (Div. 1. att.).
Rosib'mo segments a? x? b n daļējos segmentos aiz papildu punktiem a = x 0< x 1 < x 2 < ... < x n = b, а сегмент c ? y ? d на p частичных сегментов при помощи точек c = y 0 < y 1 < y 2 < ... < y p = d.
Aiz papildu taisnām, paralēlām asīm Ox un Oy ir daudz vietas, taisnā pagrieziena R forma uz n · p daļējiem taisniem pagriezieniem R kl =? (K = 1, 2, ..., n; l = 1, 2, ..., p). Taisnstūra apzīmējumu R apzīmē ar simbolu T. Nadal visā sadalījumā zem termina "taisnstūrveida" būs taisnstūra dizains ar malām, kas ir paralēlas koordinātu asīm.
Uz ādas daļējas taisnās zarnas R kl ir vibrācijas punkts (? K,? L). Poklavshi? X k = x k - x k -1,? Y l = y l - y l -1, izteiksmē? R kl taisnstūra laukums R kl. Skaidrs ,? R kl =? X k? Y l.
saukt par funkcijas f (x, y) neatņemamu summu, kas ir līdzīga dotajai taisnstūra R rozetei T un starppunktu izvēlei (? k,? l) uz rosbita T daļējiem taisnstūriem.
Diagonāli sauksim par taisnstūra diametru R kl. Simbols? Ievērojami lielākais no daļējo taisnstūru diametriem R kl.
Skaitli I sauc par integrālo summu robežu (1) pie? > 0, jebkuram pozitīvam skaitlim? Jūs varat arī nav datuma?, Scho at?< ? независимо от выбора точек (? k , ? l) на частичных прямоугольниках R выполняется равенство
| ? - es |< ?.
Funkciju f (x, y) sauc par integrētu (pēc Rimana) taisnē R, kas ir funkcijas I integrālās summas neatņemama sastāvdaļa pie? > 0.
Robežas I nozīmi sauc par funkcijas f (x, y) apakšintegrāli gar taisnstūri R, un to apzīmē ar vienu no šiem simboliem:
Cieņa. Tieši tādā pašā veidā, tāpat kā vienreizējai dziedāšanas integrālei, tas piecelsies, ja funkcija f (x, y) ir integrēta taisnstūrī R, funkcija f (x, y) ir savstarpēji savienota visā taisnstūrī. .
Tse daє pidstavu paskatīties viltus pavadā savstarpējas savienošanas funkcijas f (x, y).
Zavdannya, scho, lai radītu izpratni par apakšintegrāciju.
Ir pieļaujams, ka tiek piešķirta detaļu funkcija 
es pierakstu summu
kā mainīt integrāli.
Par: No dziedāšanas integrāļa (O.I.) no funkcijas un no izvēles 
apzīmējums: 
Skaitļus sauc par integrētiem (pēc Rimana).
T. іsnuvannya: Drenāžai, scho.
Tiklīdz O.I. acīmredzot, ka integrālis ir zems attiecībā uz sugām, starp tiem protests nav pārmaiņu nozīmes simbols, patiesībā šķiet
Ievērojot 17.1.1. Un 17.1.2. Punktu un saskaņā ar O.I. mēs varam pierakstīt liektās trapeces laukuma formulas: 
, Robotiskais skrējiens 
uz: 
Izpratne par apakšintegrālajām, neatņemamajām summām.
Nuvanņa apakšintegrācija, tas ir, ēku starpintegrētā summa ir acīmredzama, kā arī cilindriskā korpusa savijums. Tomēr mirkuvannya tse nav stingra. Lielākajā daļā augstāko kursu princips ir stingri izvirzīts, un es to nosaukšu par pakārtotā integrāļa izpratnes teorēmām.
Teorēma іsnuvannya. Jebkurai funkcijai, kas nepārtraukti atrodas slēgto zonu ielenkumā, man būs mazāk vietas, jo ir smalks integrālis. Robeža nav ceļā uz teritorijas attīstību, bet, no otras puses, tā nav punktu izvēlē
Mēs bez pārtraukuma aplūkosim tikai šīs funkcijas integrācijas jomā.
Izmantojot іnuvannya teorēmas, kuras mēs, piemēram, varam sadalīt teritoriju un uz maziem taisnstūrveida ceļiem ar taisnām malām, paralēlās asis koordinātas (230. att.). Ar tsom. Vibrējošs siltums ādas mazajā taisnās zarnās, saskaņā ar kārbas punktiem, var tikt uzrakstīts tieši no apakšintegrālās vērtības
Atļaušanas dēļ apakšintegrāli var padarīt par prāta prātu, aizstāt nozīmi, dzīvot to pašu nozīmi
Virazu sauc par laukuma elementu Dekarta koordinātās un taisnstūra sānu laukumu, kura malas ir paralēlas koordinātu asīm.
Pārsteidzoši, ka, saliekot integrētos sumi, maidana cāļi noliecas līdz apgabala kordonam, un tie neveidoja taisnas līnijas. Tomēr var apgalvot, ka apžēlošana, aizstājot šādus majdančikus ar taisniem korpusiem ar zonām starp tām, tiks samazināta līdz nullei.
Pakārtoto integrāļu spēks
Pakārtotā integrāļa (і іх pielikumi) spēks ir analogs vienreizējā dziedošā integrāļa pilnvarām.
1 °. papildinātība... kāda funkcija f(x, g) Integrēts reģionā D un kur ir reģions D par greizu palīdzību G zonas nulles lūzt uz durvīm un netraucē reģiona iekšējos punktus D 1 i D 2, tad funkcija f(x, g) Ir integrēts ādas zonās D 1 i D 2, turklāt
2 °. līnijas jauda... kādas funkcijas f(x, g) і g(x, g) Neatņemama šajā jomā D, a α і β - vai tas būtu skaitlis, tad funkcija [ α · f(x, g) + β · g(x, g)] Arī reģionā integrēts D, Turklāt
3 °... kādas funkcijas f(x, g) і g(x, g) Neatņemama šajā jomā D, Šī televīzijas funkcija var integrēties D.
4 °... kādas funkcijas f(x, g) і g(x, g) Aizvaino integrācija reģionā D un visur visā reģionā f(x, g) ≤ g(x, g), Tas
5 °... kāda funkcija f(x, g) Integrēts reģionā D, Tas un funkcija | f(x, g) | apgabalā integrējams D, Turklāt
(Zvychayno, ar integrāciju | f(x, g) | v D ne vaping f(x, g) v D.)
6 °. Vidējās vērtības teorēma... Jakšo pārkāpjošās funkcijas f(x, g) і g(x, g) Neatņemama šajā jomā D, funkcija g(x, g) Negatīva (nepozitīva) pieredze visā reģionā, Mі m- precīza augšējā un apakšējā funkcija f(x, g) teritorijā D, Tad ir skaitlis μ , Džeiks apmierināts ar nerviem m ≤ μ ≤ M un arī formula ir derīga
Zokrema, kura funkcija f(x, g) Nav pārtraukts plkst D, Un apgabals D savienots, Tad reģionā ir šāds punkts ( ξ , η ), Шо μ = f(ξ , η ), I formula (11)
