Veselu skaitļu sistēmu aksiomātiskā vērtība. Metodiskie ieteikumi kursa "skaitliskās sistēmas" pasniegšanai. Savienojuma aksioma

Veselu skaitļu sistēma

Zgadaimo, scho parādījās dabiska rinda priekšmetu pārvietošanai. Ja mēs vēlamies strādāt ar objektiem, mums ir jāveic aritmētiskas darbības ar skaitļiem. Tobto, ja es gribu salocīt ābolu vai pagatavot kūku, mums ir jāpārkārto manu numuru skaits.

Zvērīga cieņa, scho par operāciju ieviešanu + ka * u mov naturālie skaitļi ir nepieciešams dot aksiomu, lai sāktu šo darbību spēku. Ale todi un bezlich naturālie skaitļi patīk paplašināt.

Pārsteigums, jo tas izplešas bez naturāliem skaitļiem. Vienkārša darbība, kas nepieciešama vienam no pirmajiem - procesam. Tiklīdz es gribu pievērst lielāku uzmanību operācijai, mēs esam vainīgi, ka pievēršam tai uzmanību. Tiesa, es zinu, ka, ja rezultāts būs, piemēram, 5 vai 2, tad es būšu vainīgs pie virišuvati un vainas veida: ja jāsaskaita līdz 4, jāapgriež 11. vyroblyaty i vorotnu dіu - vіdnіmannya. Ja naturālo skaitļu saskaitīšana man dod naturālu skaitli, tad naturālu skaitļu parādīšanās dod rezultātu, kas neiekļaujas N. Bulijam vajadzēs vairāk skaitļu. Pēc analoģijas ar saprātīgu norādi no liela skaita un mazāka skaitļa ir aizliegts mazāka liela skaitļa norādes noteikums - šādi parādījās negatīvo skaitļu skaits.

Papildu dabiskā darbību sērija + i - mi nonāk līdz neierobežotam skaitļu skaitam.

Z = N + darbības (+ -)

Racionālo skaitļu sistēma jak mova aritmētika

Tagad ir skaidrs, ka aiz locīšanas skatuves ir daudz. Atbilstoši dienai cena tiek pievienota. Es pievienoju veselu skaitu skaitļu, lai tos aizēnotu vesels skaitlis.

Ale zvana darbība līdz daudzām reizēm - cena ir gatava. Un negaidiet rezultātu. Un es zinu, ka esam dilemmas priekšā - ja mēs to varam noņemt, rezultāts var netikt “pamodināts”, vai arī numurs tiek piešķirts jaunam tipam. Tātad racionālie skaitļi ir beigušies.

Ir iespējams izmantot veselu skaitļu sistēmu un pēc izvēles aksiomu sistēmu, lai varētu sākt reizināšanas darbību. Otrimaєmo racionālo skaitļu sistēma.

Q = Z + darbības (* /)

Otzhe, racionālo skaitļu kustībai ir atļauts darboties visas aritmētiskās darbības pāri cipariem. Ar naturālo skaitļu pārvietošanu nepietiek.

Pirmām kārtām racionālo skaitļu sistēmas aksiomātiskā vērtība.

Viznachennya. Bezlich Q tiek saukti bez racionāliem skaitļiem, tāpat kā elementi - racionālie skaitļi, kā aizskarošs prātu komplekss, aksiomātisku racionālu skaitļu nosaukumi:

Salocīšanas operāciju aksioma. Lai būtu kā sakārtota likme x, y elementiv s J dejakiy elements x + yÎQ, sumyu rindas NSі plkst... Kad uzdodat sev jautājumu, padomājiet:

1. (Noņemt nulli) Miega elements 0 (nulle) tā, lai jebkuram NSÎQ

NS+0=0+NS=NS.

2. Jebkuram elementam NS Q Q isnuє elements - NSÎ Q (prototips NS) tāds, scho

NS+ (-NS) = (-NS) + NS = 0.

3. (Komutācija) Lai būtu līdzīgs x, yÎ J

4. (Sociālie tīkli) Jebkuram x, y, z Q

x + (y + z) = (x + y) + z

Vairākas darbības aksiomas.

Lai būtu kā sakārtota likme x, y elementam 3 Q tiek piešķirts dejaky elements huÎ Q, būtnes nosaukumi NSі plkst. Kad uzdodat sev jautājumu, padomājiet:

5. (Atsevišķa elementa noņemšana) Elementa 1 Q aizmigšana, piemēram, jebkuram NSÎ J

NS . 1 = 1... x = x

6. Jebkuram elementam NS Q Q, ( NS≠ 0) isnu zorotny elements NS-1 ≠ 0 tāds, scho

NS. x -1 = x -1. x = 1

7. (Sociālais) Lai būtu līdzīgs x, y, zÎ J

NS . (pie . z) = (x . y) . z

8. (Komutācija) Tiem, kas ir x, yÎ J

Aksioma ir saikne starp locījumu un daudzveidību.

9. (Izplatīšana) Par būt-like x, y, zÎ J

(x + y) . z = x . z + y . z

Aksiomi pasūtījums.

Esiet kā divi elementi x, y, Q Q pievienoties attiecībām ≤. Kad uzdodat sev jautājumu, padomājiet:

10. (NS≤plkst) L ( plkst≤x) ó x = y

11... (NS≤y) L ( y≤ z) => x≤z

12. Lai būtu līdzīgs x, yÎ Q abo x< у, либо у < x .

Svētnīca< называется строгим неравенством,

Vidnoshennya = saukt par vienādiem Q elementiem.

Aksioma ir pievienot kārtību.

13. Jebkuram x, y, z ÎQ, (x £ y) Þ x + z £ y + z

Aksioma ir kārtības reizināšana.

14. (0 £ x) Ç (0 £ y) Þ (0 £ x´y)

Arhimēda pārtraukumu aksioma.

15. Jebkuram a> b> 0 ісує m N і n Q tāds, wо m ³ 1, n< b и a= mb+n.

*****************************************

Tādējādi racionālo skaitļu sistēma ir aritmētikas jēdziens.

Protests, ņemot vērā praktisko obschlyuvalnyh zavdan tsієї movi šķiet nepietiekami.

Skolas matemātikas kursā skaitļi sākās ar konstruktīvu ceļu, pamatojoties uz nepieciešamību pavadīt laiku. Arī bulo nosaukums ir nenoliedzams un bieži noveda pie nedzirdīgo kut. Piemēram, uzturs ir saistīts ar reālo skaitļu nepārtrauktību, lai visā partijā būtu tukšas vietas. Tas ir, veicot matemātikas sasniegumus, mātēm ir stingri jāsaprot, ko viņas ir iemācījušās saprast, ja vēlas atrasties šādu intuitīvu pieņēmumu (aksiomu) ietvaros, kā viņas izmanto praksi.

Viznachennya. Elementu sukupn_st x, y, z, ..., kas jāsaglabā no vairāk nekā viena elementa, sauc bez R no šiem skaitļiem, tāpat kā cich objektiem, tiek noteiktas šādas darbības:

I grupas aksiomas- Salocīšanas operāciju aksioma.

Pie bezlichі R ir ieviesta papildoperācija, lai jebkurai elementu likmei aі b soma Es zinu a + b
es 1. a+b=b+a, a, b R .

es 2. a+(b+c)=(a + b)+c,a, b, c R .

I 3.Isnu tāds elements, nosaukumi nulle es domāju 0, kas nozīmē būt līdzīgs a R vikonutsya umova a+0=a.

es 4. Jebkuram elementam a R isnu elements, youmu rangs nomācošs un iepazīsti - a, par kuru a+(-a) = 0. Elements a+(-b), a, b R , tiec saukts peļņa elementi aі b Es zinu a - b.

II grupas aksiomas - aksiomu operācijas... Pie bezlichі R ieviesa operācija vairākas, tobto for be-like par elementiem aі b Ir tikai viens elements, kuram ir dots nosaukums siers Es zinu a b, pēc tam, kad jautājat, sakiet:
II 1. ab=ba, a, b R .

II 2 a(bc)=(ab)c, a, b, c R .

II 3. Isnu ņemt elementu, sauc vienatnē Es domāju 1, kas ir paredzēts būt līdzīgam a R vikonutsya umova a 1=a.

II 4. Par būt-kas a 0 isnu elements, youmu rank slepkavas es domāju apmēram 1 / a, par kuru a= 1. Elements a , b 0, zvaniet Privāts no rozpodilu a ieslēgts b Es zinu a:b abo abo a/b.

II 5. Darbību sasaiste locīšana un reizināšana: lai būtu līdzīgs a, b, c R vikonutsya umova ( ac + b) c=ac + bc.

Objektu skaitu, kas ir apmierināts ar I un II grupas aksiomām, sauc par skaitlisko lauku vai vienkārši par lauku. Un vispārīgās aksiomas sauc par lauka aksiomām.

III - trešā aksiomu grupa - aksiomas kārtībā. Precēm R Slēģi tiek piešķirti pēc pasūtījuma. Vono polyagaє uzbrukumā. Jebkuriem diviem jauniem elementiem aі b maє mіsce viens s divi spіvvіdnoshen: abo a b(lasīt " a mazāk abo dorіvnyuє b"), abo a b(lasīt " a vairāk chi rivno b Ikreiz, kad veicat pārsūtīšanu, jums vajadzētu runāt šādi:

III 1. a aādai a. Z a b, b slīdēja a = b.

III 2. Transitivitāte. Jakšo a bі b c, tad a c.

III 3. Jakšo a b, tad jebkuram elementam c var dažādi a+c b+c.

III 4. Jakšo a 0, dz 0, tad ab 0 .

IV aksiomu grupu veido viena aksioma - aksioma bez pārtraukuma. Komplektiem, kas nav tukši Xі Y s R piemēram, ādas elementiem x Xі y Y neizdoties x < y, isnuє elements a R, scho es esmu laimīgs

Mazs. 2

x < a < y, x X, y Y(2. att.). Spēka maiņa palielināsies līdz sākumam bezspēcīgajam jutekļu skaitam, kas ir no tiem pašiem spēkiem un visa šī spēka. Cenas vērtība ir unikāli iestatīta bez jēgpilniem skaitļiem, sākot no elementu precizitātes līdz specifikai. Esiet piesardzīgi pret tiem, kuriem bezspēcīgajos ir vairāk nekā viens elements, jo bezspēcīgie ir jāsakrauj ar vienu nulles atņemšanu, acīmredzot apmierināti ar visām aksiomām. Visus kopas R elementus sauc par skaitļiem.

Vizuāli mēs tagad zinām naturālo, racionālo un racionālo skaitļu izpratni. Tiek izsaukti skaitļi 1, 2 1 + 1, 3 2 + 1, ... naturālie skaitļi, ka їх bezlіch nozīmē N ... No dzēriena neierobežoto naturālo skaitļu vērtības, bet es nākšu par raksturīgo jaudu: jakšo

1) A N ,

3) ādas elementam x Iekļauts daudz dažādu x + 1 A, tad A=N .

Dіysno, ar prātu 2) maєmo 1 A, ka jaudai 3) ka 2 A, bet tas ir pareizi, ja iestādes to var izdarīt pašas 3 A... Oskilki be-yake naturāls skaitlis n pārejiet no 1 pēdējā pielikuma uz 1, tad n A, tobto. N A, un oskіlki aiz izlietnes 1 vikonutsya iekļauts A N , tad A=N .

Pamatojoties uz naturālo skaitļu spēku, es pierādīšu principu matemātiskās indukcijas metode... Yaksho є bezlich tverdzhen, zobu ādai tiek piešķirts naturāls skaitlis (th numurs) n= 1, 2, ..., i, kad to atnes, uh:

1) godīga rūdīšana no 1. numura;

2) taisnības labad nostiprināts ar to, ka ir skaitlis n N kam seko numura derīgums n+1;

Tad tiek celta visa firma taisniba, tobto. lai tas būtu rūdīts ar labu numuru n N .

skaitļi 0, + 1, + 2, ... vārds skaitļos, їх bezlіch vidējais Z .

Skaitļu prāts m/n, de mі n tsіlі, un n 0, zvanīja racionālie skaitļi... Bez visiem racionālajiem skaitļiem nozīmē J .

Tiek saukti diysnі skaitļi, kas nav є racionāli neracionāli, їх bezlіch vidējais es .

Uzvarot pārtiku, iespējams, racionālie skaitļi var ņemt visus daudzskaitlības elementus R? Pārtikas piegādei tiek dota pārtraukuma aksioma. Jā, racionālajiem skaitļiem aksioma nespīd. Piemēram, ir redzamas divas kopas:

Tas ir viegli bachiti, tāpēc, lai kādi elementi redzētu neērtības. Prote racionāls skaitļi, kas ir līdzīgi diviem skaitļiem, nav. Faktiski skaits varbūt tikai, bet ne racionāls. Viss fakts un lai tiem, kas redz iracionālos skaitļus komplektā R.

Papildus aritmētisko darbību izvēlei, nevis skaitļiem, ir iespējams strādāt pie saknes soļiem. Jebkuram numuram a R ka dabiski n solis a n sākt jaku tvir n spivmnikiv, rivnykh a:

Par viznachennyam a 0 1, a>0, a- n 1 / a n, a 0, n ir naturāls skaitlis.

dibens. Bernulli nekonsekvence: ( 1 + x) n> 1 + nx Atved pa Induktsiya.

Aiziet a>0, n ir naturāls skaitlis. Numurs b tiec saukts kornnyam n-th soļa z numurs a, jakšo b n = a... Tajā pašā laikā tas ir rakstīts vipadku. Jebkura soļa pozitīvās saknes vienotības sajūta n Jebkurš pozitīvs skaitlis tiks pazemināts 7.3. lpp.
Dubultā soļa sakne a 0 var būt divas vērtības: yaksho b = , k N tad th -b=. Spraved, s b 2k = a viplyaє, scho

(-b)2k = ((-b) 2 )k = (b 2)k = b 2k

Es nedomāju, ka mani sauc par jogu aritmētiskās vērtības.
Jakšo r = p/q, de lppі q tsіlі, q 0, tobto. r ir racionāls skaitlis, tad par a > 0

(2.1)

Ar tādu rangu, soli a r paredzēts jebkuram racionālam skaitlim r... Par racionālu r maє міsce rіvnіst

a -r = 1/a r.

Solis a x(numurs x tiec saukts soļu indikators) jebkuram noderīgam numuram x sekot soli bez pārtraukuma ar racionālu rādītāju palīdzību (apbrīnojams process 8.2. punktā). Jebkuram numuram a R nē skatiet numuru

sauc sevi par jogu absolūtā vērtība abo modulis... Ir spēkā skaitļu absolūtās vērtības

|a + b| < |a| + |b|,
||a - b|| < |a - b|, a, b R

Smaka tiek ienesta ar skaitļu I-IV pakāpēm.

Pārtraukuma aksiomas loma matemātiskās analīzes rosināšanā

Nepārtraukuma aksiomas nozīme ir tāda pati, ka bez tās Suvora Pobudova matemātiskā analīze ir neveiksmīga. [ dzherelo nav noteikts 1351 diena] Ilustratīviem nolūkiem vairāki fundamentāli analīzes pierādījumi, kas pierāda, ka tie virzās uz reālu skaitļu nepārtrauktību:

· (Weiєrstras teorēma). Be-yaka, ko ieskauj monotoni augoša izturība saplūst

· (Bolcāno — Košī teorēma). Nepārtraucot funkciju, kas dienas beigās zīme, pagrieziet uz nulli vidrizkas iekšējā punktā deyak_y

· (Statiskās, demonstratīvās, logaritmiskās un visas trigonometriskās funkcijas visos "dabiskajos" vērtību apgabalos). Piemēram, tai ir jābūt labai idejai, lai tā būtu risinājums. Tas pieļauj viraz nozīmi visiem racionāliem cilvēkiem:

Nareshty, zināšanas par skaitliskās taisnes nepārtraukšanu var būt nozīmīgs virazs noteiktai personai. Tāpat arī nepārtrauktības apburtais spēks tiek palielināts līdz līdzīgo skaitam.

Stundu triviālais vēsturiskais progress matemātiķi ienesa analīzē teorēmas, "plānā matemātikā" viņi izmantoja ģeometriskās gruntēšanas priekšrocības, un dažos gadījumos - agrāk cena bija acīmredzama. No otras puses, bez skaidras redzamības zuda izpratne par vikāristu nepārtrauktību. Tikai 19. gadsimta pēdējā trešdaļā slavenais matemātiķis Kārlis Vējurstras, izjaucis aritmētisko analīzi, pierunāja reālo skaitļu teoriju uzrakstīt kā neskaitāmus daļskaitļu desmitus. Iegūstiet vārda klasisko nozīmi, ienesot vairākus tverdzenus, kurus ievērojuši "acīmredzamie", un paši pabeidzot matemātiskās analīzes pamatu pamudinājumu.

Piznіshe bulo proponated іnshі iet uz darba datuma vērtību. Aksiomātiskajā pieejā reālo skaitļu nepārtrauktība ir skaidri redzama ap aksiomu. Konstruktīvās pieejās projektēšanas skaitļa teorijai, piemēram, ja reālie skaitļi tiek pamudināti papildu Dedekind pārtraukumiem, jauda bez pārtraukuma (tam, formula) tiek parādīta kā teorēma.

Kvalitātes bez pārtraukuma Інші formula un līdzvērtīgi priekšlikumi [red. redaguvati vіki-text]

Tas ir mazliet jauns tverdzhens, kurš spēj pagriezt jaudu bez pārtraukuma skaitļos. Koženu no šiem principiem var likt darba skaitļa teorijas pamatā kā nepārtrauktības aksiomu, un no tā ņemt vērā visas idejas. Ziņojiet par pārtikas cenu, kas tiks apspriesta aizvainojošā izplatīšanā.

Pārtraukums Dedekindam[red. redaguvati vіki-text]

Galvenais raksts:Ignorēšanas teorija racionālo skaitļu sfērā

Ēdiens par reālo skaitļu nepārtrauktību Dedekinds skatās uz savu robotu "Intermitējošie un racionālie skaitļi". Jaunajiem uzvarētājiem ir rases skaitļi ar taisnas līnijas punktiem. Jak vidomo, starp racionāliem skaitļiem un taisniem punktiem var iestatīt konsekvenci, ja vibrē taisnā līnijā vālītes punkts ka viena vimira vіdrіzkіv. Pārējiem ir iespējams atbilstoši ādas rases numuram parādīt alternatīvus skatus un pagriezt to pa labi vai pa kreisi, brīnīties par to, ka skaitlis ir pozitīvi negatīvs, labot punktu, saskaņā ar numurs. Šādā rangā ādas racionālais skaitlis, šķiet, ir viens vai mazāks par vienu punktu uz taisnas līnijas.

Tajā pašā laikā šķiet, ka uz taisnes є bezjēdzīgi punkti, kas neatbilst vienam un tam pašam racionālam skaitlim. Piemēram, punkts, tas tiek apgriezts, pievienojot diagonālu kvadrātu, kas tiek parādīts vienā formā. Tādējādi racionālo skaitļu diapazons nevar būt atkārtoja, par ko bez pārtraukuma kā taisnas līnijas spēks.

Shcheb z'yasuvati, pie kura polyagaєtsya bez pārtraukuma, Dedekind laupīt ofensīvu cieņu. Ja taisnais punkts ir taisns, tad visi taisnie punkti iedalās divās klasēs: labās rokas punkti un labās rokas punkti. Punktu pats par sevi var diezgan novest uz zemāko vai augstāko klasi. Dedekind vbachaє diena bez pārtraukuma pēc vokālā principa:

Ģeometriski princips є ir acīmredzams; Prātā nāk Dedekinds, bet, pēc būtības, viss princips ir postulāts, kurā tiek pagriezta šī tiešā spēka būtība, kas tiek attiecināta uz to, ko mēs saucam bez pārtraukuma.

Tas, ka skaitliskā vienkāršā Dedekinda izpratnē ir vairāk inteliģences, tas ir vairāk redzams nekā bezgalīgu skaitļu pārtraukumi, lai varētu saskaņot visus skaitļus vienā klasē, tāpēc visiem skaitļiem vienā klasē ir jāatrodas vienā klasē. taisna līnija uz skaitļa Tsi klases sauc vārdā zemāksі augstākās klases noteicošais. Teorētiski ir 4 iespējas:

1. Apakšējā klasē ir maksimālais elements, augstākajā klasē nav minimuma

2. Zemākajai klasei nav maksimālā elementa, bet augstākajai klasei ir minimums

3. Apakšējā klasē ir maksimālais, bet augstākajā klasē ir minimālais elements.

4. Zemākajai klasei nav maksimuma, bet augstākajai klasei ir minimums

Pie pirmās un otrās rudenī, maksimālā elementa apakšējā vai minimālā elementa augšējās formas un vīrusu pārtēriņi. Trešā vipadku mi maєmo sēnīte, un ceturtais - probl... Šādā rangā skaitliskās tiešās nepārtraukšana nozīmē, ka reālo skaitļu bagatokhā nav svītru, nav lauciņu, tāpēc šķietami tēlaini tas nav tukšs.

Ja mēs ieviešam izpratni par derīgu skaitļu daudzuma atkārtošanos, tad nepārtrauktā Dedekinda principu var formulēt šādi.

Nepārtrauktas Dedekind (povnoti) princips. Vairāku derīgu skaitļu atkārtošanai uz ādas ir viens skaitlis, kas ir vīrusu atkārtošanās.

Cieņa. Pārtraukumu aksiomas formula par punktu, kur ir divas punktu kopas, vēl vairāk Dedekinda nepārtrauktības principa formula. Faktiski apstiprinājums ir līdzvērtīgs un, pēc dienas, ar dažādām viena un tā paša formulām. Es to saucu par apvainojumu skaitļu nepārtrauktas darbības princips aiz Dedekinda.

Lemma par šāda veida ieguldījumiem (Košī – Kantora princips)[red. redaguvati vіki-text]

Galvenais raksts:Lemma par investīcijām

Lemma par investīcijām (Koši - Kantors). Be-yak investīciju noguldījumu sistēma

Es neesmu tukšs, lai mēs ņemtu vienu numuru, lai mēs varētu ievietot visas dažādās sistēmas daļas.

Jakšo, turklāt tas ir vairāk nekā pietiekami

tad sistēmu ķēdes un uzglabāšanas savstarpējā savienošana no viena punkta.

Qiu spēku sauc bez pārtraukuma neierobežotu skaitu no Cantor sajūtas... Tālāk tiks parādīts, ka arhi-mediāna sakārtotiem laukiem nepārtrauktība saskaņā ar Kantoru ir līdzvērtīga Dedekinda nepārtrauktībai.

Augstākais princips[red. redaguvati vіki-text]

Supremuma princips. Esiet kā tukšs, no augšas ieskauj neierobežots skaits, ir augstākais.

Priekšlikuma matemātiskās analīzes kursos izsauc teorēmu un pierādi, ka šajās formās neierobežotajā skaitļu skaitā nav pārtraukumu. Tajā pašā laikā ir iespējams navpaki, postulēt jebkura ne-tukšuma virsotni, kas savīti no augšas, un ienest, piemēram, nepārtrauktības principu pēc Dedekinda. Šādā rangā teorēma par supremumu є viena no līdzvērtīgām neintermitējošu skaitļu jaudas formulām.

Cieņa. Supremumu var aizstāt ar informācijas izpratnes pakārtoto.

Informācijas princips. Esiet, piemēram, ne tukši, ko ieskauj bezspēcīgi lielākās informācijas apakša.

Šis priekšlikums ir līdzvērtīgs arī nepārtrauktā Dedekind principam. Turklāt var parādīt, ka no konsolidētajām teorēmām par supremumu, nostiprinātajām teorēmām par informāciju un navpaki (div. Lower).

Lemma par kintsev pokrittya (Heine - Borel princips)[red. redaguvati vіki-text]

Galvenais raksts:Lemma Heine - Borels

Lemma par kintsev pokrittya (Heine - Borel). Neatkarīgi no tā, vai tā ir intervālu sistēma, kas aptver diskus, ir vienkārša uzgriežņu sistēma, kas aptver diskus.

Robežpunkta lemma (Bolcāno — Veirštrasa princips)[red. redaguvati vіki-text]

Galvenais raksts:Bolcāno - Veirstras teorēma

Robežpunkta lemma (Bolcāno – Veirstrasa). Neatkarīgi no tā, vai tā nav bezgalīga, skaitliskā kopa var aizņemt vienu robežpunktu.

Runas ekvivalence, kā rotēt bez nemaināmu skaitļu pārtraukuma [red. redaguvati vіki-text]

Briesmīgi deyakі priekšā biedējoši. Saskaņā ar derīgā skaitļa aksiomātisko vērtību derīgo skaitļu līdzība ir apmierinoša ar trim aksiomu grupām. Pirmā grupa - lauka aksioma. Citu grupu ietekmē fakts, ka reālo skaitļu skaits ir lineāri sakārtots pēc daudzuma, un šī secība ir balstīta uz lauka pamatoperācijām. Šādā rangā persha un citas aksiomu grupas nozīmē, ka reālo skaitļu skaits ir lauka kārtībā. Trešo aksiomu grupu veido viena aksioma - aksioma bez pārtraukuma (vai citādi).

Lai bez pārtraukumiem skaitļos parādītu dažādu formulu ekvivalenci, sakārtotais lauks ir jāsaved uz vienu no priekšlikumiem, tas pats risinājuma godīgumam.

Teorēma. Hei, daudzas lietas ir sakārtotas pēc rindas. Pakāpju sacietēšana ir līdzvērtīga:

1. Vai nebūtu tā, ka ir daudz netīro lietu, bet jebkuriem diviem elementiem un jebkuriem diviem elementiem būs nelīdzenumi, tāds elements, bet visiem un visiem

2. Lai būtu, piemēram, ignorētu elementu, kas ir pārāks

3. Be-yaka nav tukšs ieskauj no augšas bez lich maє supremum

4. Be-yaka nav tukšs, ko ieskauj apakšā bez lich maє інфімум

To var redzēt no visas teorēmas, jo ļaunuma priekšlikumi tiek atņemti no tiem, kad nav ieviesta lineāra kārtība un lauka struktūra nav ļauna. Šādā rangā to āda saliec spēku kā lineāri sakārtotu daudzveidību. Tiek izsaukts jaudas spēks (diezgan lineāri sakārtota kopa, ne vienmēr bez patvaļīgiem skaitļiem). bez pārtraukuma vai arī Dedekindam.

Šo priekšlikumu līdzvērtības pierādīšanai būs nepieciešama arī lauka struktūra.

Teorēma. Ej - laukums ir kārtībā. Gaidāmie priekšlikumi ir vienādi:

1. (kā lineāri sakārtots bez liča) є Sekosim Dedekindam

2. Par vikonannya uz Arhimēda principuі kredītu ieguldīšanas princips

3. Par vikonannya uz Heine - Borel principu

4. Bolcāno-Vērštrāsa principa piemērošanai

Cieņa. Tas ir acīmredzams no teorēmām, principa dot ieguldījumu sev nav stiprs nepārtraukta Dedekind princips. Pēc nepārtrauktības principa Dedekind viplivaya, investīciju princips vidrizkiv, aizsargs vokālai nepieciešamībai pēc papildu iespīlēšanas, lai lauks nebūtu labi sakārtots, apmierināts ar Arhimēda aksiomām

Vadošo teorēmu pierādījumi ir atrodami zemāk norādītajās grāmatās un atsauču sarakstā.

· Kudrjavcevs, L.D. Matemātiskās analīzes kurss. - 5-tāda veida. - M .: "Bustards", 2003. - T. 1. - 704 lpp. - ISBN 5-7107-4119-1.

· Fіkhtengolts, G.M. Matemātiskās analīzes pamati. - 7. skats. - M .: "FIZMATLIT", 2002. - T. 1. - 416 lpp. - ISBN 5-9221-0196-X.

· Dedekinds, R. Nelikumība un iracionalitāte = Stetigkeit und irrationale Zahlen. - 4 laboti skati. - Odesa: Matēze, 1923 .-- 44 lpp.

· Zorihs, V.A. Matemātiskā analīze. I daļa. - Skats. 4 vieninieki, vipr. - M .: "MCNMO", 2002. - 657 lpp. - ISBN 5-94057-056-9.

· Funkciju un skaitlisko apgabalu nepārtrauktība: B. Bolcāno, L. O. Koši, R. Dedekinds, G. Kantors. - 3-tє tips. - Novosibirska: SKUdra, 2005 .-- 64 lpp.

4.5. Pārtraukuma aksioma

Piemēram, divas netukšas patvaļīgu skaitļu kopas A un

B, dažiem elementiem a ∈ A un b ∈ B.

a ≤ b ir arī skaitlis λ, bet visiem a ∈ A, b ∈ B nav

paritāte a ≤ λ ≤ b.

Nepārtraukta skaitļu skaita jauda nozīmē,

bet taisni noklusināt "tukšu", tā ka jēga ir attēlot skaitļus, lai iegaumētu

visa runa karājas.

Damo aksiomu formulējumu bez pārtraukuma. Par tsiogo ievadiet

Uzņēmējdarbības vērtība 1.4.5. Divas daudzskaitlības A un B nazivatimo peretin

daudzi skaitļi, piemēram

1) kopa A un B nav tukša;

2) A un B noliktavu komplekta apvienošana

to numuri;

3) ādas numurs A ir mazāks par B skaitu.

Tobto kozhna daudz, es teikšu peretin, es gribu atriebties vienam

elements, par kuru daudzi neatriebjas ārējie elementi i, ja a ∈ A і b ∈ B, tad

Bezlich A sauc par zemāko klasi, un bezlich B ir augšējais

klases pārsniegums. Sāciet pāreju caur A B.

Ar vienkāršākajiem dibeniem

pūšot rangs. Jebkurā gadījumā skaitlis α ir elastīgs

A = (x x< α } , B = { x x ≥ α } . Легко видеть, что эти множества не пусты, не пере-

ja a ∈ A і b ∈ B, tad a< b , поэтому множества A и B образуют

perepiz. Tāpat jūs varat apstiprināt izmaiņas daudzos gadījumos

A = (x x ≤ α), B = (x x> α).

Šāda atkārtota inkubācija nazivatimo atkārtota inkubācija, ko ģenerē skaitlis α vai

Mēs teiksim, ka skaitlis α ir derīgs. Var rakstīt jaku

Pererezi, audzēti, esi numurs, divi tsikavi

iestādes:

Jauda 1. Lai augstākā šķira atriebtos zemākajam skaitlim, un zemākajā

klase nav labākais numurs, vai arī zemākajai klasei ir jāatriebjas tīrākajiem

lūk, un augstākā šķira nav mazākā.

Jauda 2. Reižu skaits, kad numurs ir vīrusu.

Lai parādās, nepārtrauktības aksioma

līnija ir stingra, es to saucu par Dedekind principu:

Dedekind princips. Ādas recesijai, skaitlis, kas piepildīsies

tse peretin.

Cich tverdzhen līdzvērtība ir sasniedzama.

Lai pārtraukuma aksioma ir patiesa, un tā tiek dota kā

Čenja A B. Todi, klasiķi A un B ir apmierināti ar prātu, formu-

aksiomās, ja skaitlis λ ir arī, bet a ≤ λ ≤ b jebkuriem skaitļiem

a ∈ A un b ∈ B. Ja skaitlis λ ir tikai viens vai mazāks par vienu

A vai B klases, tad viens no pārkāpumiem a ≤ λ< b или

a< λ ≤ b . Таким образом, число λ либо является наибольшим в нижнем классе,

tiem, kuriem ir vismazāk augstākās klases un šķirnes pererez.

Atpakaļ, nav hey Dedekind principu un noteikt divus nonempty

kopa A і B tā, ka visiem a ∈ A і b ∈ B

a ≤ b. Ar B — bezjēdzīgi skaitļi, lai a ≤ b jebkuram

b ∈ B un visi a ∈ A. Todi B ⊂ B. Bezlich A tas ir pieņemams bezlich

сіл, neievadiet līdz B.

Acīmredzot daudzi A un B pārsniegs.

Tiesa, acīmredzot, daudzi B nav tukši, atriebības fragmenti

neiztukšot komplektu B. Ja A nav tukšs, tad, ja skaitlis a ∈ A,

tad skaitlis a - 1∉ B, oskіlka būt kā skaitlis, iet uz augšu līdz B, bet ne mazāk

skaitļi a, arī a - 1∈ A.

bezl_ch visi derīgie numuri, izmantojot komplekta vibir.

Es, nareshtі, ja a ∈ A і b ∈ B, tad a b. Spraved, jaksho jaki

skaitlis c ir apmierināts ar nelīdzenumiem c> b, ja b ∈ B, tad tā būs

paritāte c> a (a ir pietiekams kopas A elements) і c ∈ B.

Otzhe, A і B apstiprina galveno, і pamatojoties uz Dedekind principu, ісnu

lo λ, scho ir šķirne

Iespējams, ka numuram nevajadzētu būt A klasē. Dīsno-

ja λ ∈ A, tad ja ir skaitlis a * ∈ A, tad λ< a* . Тогда существует

skaitlis a ′, kas atrodas starp skaitļiem λ un a *. NEAPLIECĪBA a ′< a* следует, что

a ′ ∈ A tikai nelīdzenumu λ dēļ< a′ следует, что λ не является наибольшим в

A klase, kas ir pretrunā ar Dedekind principu. No tā paša skaitlis λ būs

bērni, kurus pieņem darbā B klase un visi a ∈ A un ir neatbilstība

a ≤ λ ≤ b, bet ir nepieciešams to audzināt.

Šādā rangā spēks veidojas aksiomā, ka spēks,

Formulēts pēc Dedekind Equivalent principa. Nadals ci

bezspēcīgi runas numuri un bez pārtraukuma

aiz Dedekinda.

Bez pārtraukumiem Dedekindam seko bezjēdzīgi skaitļi

divas svarīgas teorēmas.

Teorēma 1.4.3. (Arhimēda princips) Jaks nebūtu runas numurs

a, ja naturāls skaitlis n ir arī a< n .

Ir pieļaujams, ka teorēmu nostiprināšana ir nepareiza, tāpēc tā ir

skaitlis b0, lai nenoteiktība n ≤ b0 visiem naturālajiem skaitļiem

n. Rozib'єmo bezmaksas numurus divās klasēs: līdz B klasei uz nedēļu

jābūt skaitlim b, kas ir apmierināts ar nelīdzenumiem n ≤ b jebkurai dabiskajai n.

Visa klase nav tukša, tāpēc jums ir cipars b0. Viss līdz A klasei

sieta numuri. Visa klase nedrīkst būt tukša, lai tas būtu naturāls skaitlis

ieejiet pirms A. A un B klase neapgāžas

visu derīgo numuru kopa.

Ja ņemam pietiekamu skaitli a ∈ A un b ∈ B, tad tas ir dabiski

skaitlis n0 ir vienāds, ja a< n0 ≤ b , откуда следует, что a < b . Следовательно, классы

A un B piekrīt Dedekinda principam un skaitlim α, piemēram

šķirne peretin A B, tobto є vai lielākā A klasē, ch-

vairāk labāko B klasē. Ja jūs atlaidīsit, ja α ievadiet A klasē, tad

var dabiski zināt n1, kuram ir vājredzīgs α< n1 .

Tā kā n1 var iekļaut A, tad skaitlis nebūs lielākais visā klasē,

arī mūsu priekšroka є nevirnim і α є

B klase.

No sāniem ir cipars α - 1, un jūs varat ieiet A klasē. Slidovs-

tāpēc ir naturāls skaitlis n2, kā arī α - 1< n2 , откуда получим

α < n2 + 1 . Так как n2 + 1 - натуральное число, то из последнего неравенства

kur α ∈ A. Otrimane nepierādīt teorēmu.

Slidstvo. Yakim b nav Būla skaitļi a un b, tāpēc i, uh 0< a < b , существует

naturāls skaitlis n, kuram viens ir inerts na> b.

Lai pierādītu pietiekami, pietiek ar Arhimēda principu

un paātrināt pārkāpumus.

Mazliet vienkāršs ģeometrisks zmists: Jakimi neiebiedētu divus

no viena no tām, visbeidzot no viena no pēdējām

ja mazākais, tad kroku skaita beigām var tikt tālāk par

lielu daudzumu.

Pielikums 1. Atnesiet, jebkuram nelielam skaitam

Bet es nerunāju ciparus tāpat kā

t n = a, n ∈, n ≥ 2.

Cja teorēma par n-tā līmeņa aritmētiskās saknes noņemšanu

no neliela skaita skolas kursā algebrā, jūs varat to apgūt bez pierādījumiem.

Valsts.

☺ Ja a = 0, tad x = 0;

neliela skaitļa a sakne ir nepieciešama, ja a> 0.

Tiek atzīts, ka a> 0 і rozіb'єmo ir visu iespējamo skaitļu daudzveidība

divās klasēs. B klasei visi pozitīvie skaitļi x ir apmierināti

radīt nelīdzenumus x n> a, A klase, rashta.

Saskaņā ar Arhimada aksiomu izlasi naturālos skaitļus k un m tā, scho

< a < k . Тогда k 2 ≥ k >a ta 2 ≤< a , т.е. оба класса непусты, причем класс

Atriebība pozitīvi skaitļi.

Acīmredzot, ja A ∪ B = і ja x1 ∈ A і x2 ∈ B, tad x1< x2 .

Šādā rangā A un B klase apstiprina pererezu. Numurs, ko es uztaisīšu

perepiz, jēgpilni caur t. Todi t abo є lielākais nodarbību skaits

ce A vai vismazāk B klasē.

Jāatzīst, ka t ∈ A і t n< a . Возьмем число h , удовлетворяющее нера-

laulība 0< h < 1 . Тогда

(t + h) n = t n + Cnt n - 1h + Cn t n - 2h2 + ... + Cnn hn< t n + Cnt n−1h + Cn t n−2h + ... + Cn h =

T n + h (Cnt n - 1 + Cn t n - 2 + ... + Cn + Cn t n) - hCn t n = t n + h (t + 1) - ht n =

T n + h (t + 1) - t n

Tas ir mo (t + h)< a . Это означает,

Zvidsey, kā ņemt h<

kur t + h ∈ A, tad varam atrast mazāko elementu klasē A.

Tāpat, ja mēs to atlaidīsim, t ir tas, kurā ir visvairāk elementu B klasē,

tad, ņemot skaitli h, bet apmierinoši nelīdzenumus 0< h < 1 и h < ,

mo (t - h) = t n - Cnt n - 1h + Cn t n - 2 h 2 - ... + (-1) Cn h n>

> t n - Cnt n - 1h + Cn t n - 2h + ... + Cn h = t n - h (t + 1) - t n> a.

Tas nozīmē, ka t - h ∈ B tāds, ka t nevar būt mazākais

klase B. Otzhe, t n = a.

Viens no vienīgajiem t1 tvaikiem< t2 , то t1n < t2 .☻ n

Butt 2. Bring, shho yaksho a< b , то всегда найдется рациональное число r

arī scho a< r < b .

Ja skaitļi a un b ir racionāli, tad skaitlis ir racionāls un apmierinošs.

Vajadzīgo prātu vēstules. Domājams, es gribu kādu no cipariem a vai b

Ir pieļaujams, piemēram, ka skaitlis b ir iracionāls. Jādomā

nospiediet arī, kur a ≥ 0 un b> 0. Rakstāma skaitļu a un b iesniegšana pie skatītāja

daļskaitļu desmiti: a = α 0, α1α 2α 3 .... і b = β 0, β1β 2 β3 ..., cits

tas nav periodisks. Ja tiek atklāts skaitlis a, tad mēs to darīsim

ty, uh, ja skaitlis a ir racionāls, tad tas ir rakstīts abo kintseva, abo tse

bērns, periods, kas nav piemērots 9.

Oskіlki b> a, tad? 0? 0; ja β 0 = α 0, tad β1 ≥ α1; ja β1 = α1, tad β 2 ≥ α 2

un tā tālāk, kur i ir tāda pati vērtība neatkarīgi no tā, kāda tā būs nākotnē

Suvora nekonsekvence paaugstinās βi> αi. Todi skaitlis β 0, β1β 2 ... βi būs racio-

tie atrodas starp skaitļiem a un b.

Jakšo a< 0 , то приведенное рассуждение надо применить к числам a + n и

b + n, de n ir naturāls skaitlis, arī n ≥ a. Tāda skaitļa krišana

viplivay no Archmed aksiomas. ☻

Uzņēmējdarbības vērtība 1.4.6. Nedodiet pēdējo ziņojumu skaitļu asij

([an; bn]), an< bn . Эту последовательность будем называть системой вло-

vіdrіzkіv, tāpat kā ikvienam n līdz vikonuyutsya pārkāpumiem an ≤ an + 1 і

Šādai sistēmai

[a1; b1] ⊃ [a2; b2] ⊃ [a3; b3] ⊃ ... ⊃ [an; miljards] ⊃ ...,

lai frontes sākuma āda atriebtos priekšpusē.

Teorēma 1.4.4. Jebkurai sistēmai un ieguldījumiem

ņem vienu punktu, kā ieiet no ādas cich vidrizkiv.

Ir divas kopas A = (an) un B = (bn). Smaka nav tukša і būt līdzīgam

n i m< bm . Докажем это.

Ja n ≥ m, tad an< bn ≤ bm . Если n < m , то an ≤ am < bm .

Ar šādu rangu A un B klase ir apmierināta ar aksiomu bez pārtraukumiem un

arī skaitlis ir arī, bet an ≤ λ ≤ bn jebkuram n, tas ir. tse

number to look like be-like vidrizku [an; miljardu] .◄

Precizēsim teorēmu (2.1.8. teorēma).

Izteikumu, kas formulēts 1.4.4. teorēmā, sauc par principu

Kantors un bezlihs, labi apmierināts ar prātu,

pārtraukt saskaņā ar Cantor.

Viņi mani atveda, it kā viņi būtu kārtībā bez pārtraukumiem, saskaņā ar Dedi.

Kindu, tad jaunajā Vikonā Arhimēda principam neizbēgami seko Kantors.

Var atvest, ka daudz pasūtīts, iekšā

tsip no Archmed un Cantor, būs bez pārtraukuma Dedekind. Dovedennya

fakts, lai atriebtos, piemēram, plkst.

Arhimēda princips pieļauj ādas izskatu tiešā

yake ir pozitīvs skaitlis, kas ir apmierināts ar prātu:

1. Tas ir vienāds ar norādīto datumu;

2. Ikreiz, kad maiņstrāvas un AV un BC izejas izejas punkts parāda skaitļus a un

b, tad AS parādīs skaitli a + b;

3. Persona tiek informēta par numuru 1.

Indikāciju skaits ādai un prātam 1-3 uz-

lai to nosauktu par lielas partijas ziedojumu.

Kantora princips ļauj ienest, ādai pozitīvu

numurs var būt zināms skaitliski, līdz atbilstošā numura datumam. Tādā rangā,

mіzh bez pozitīviem pozitīviem skaitļiem un bez

kiv, skatoties no taisnes labā punkta dotajā pusē

no punkta centra ir iespējams konstatēt abpusēji nepārprotamu apgalvojumu.

Tse ļauj skaitliskās ass vērtības datumam ievadīt vietas veidu

Es pārbaudu ar runas cipariem un punktiem uz taisnas līnijas. Par visu deko

labi, taisni un vibrēt līdz ni punktam Ak, kā sadalīt qiu taisni divās daļās

par mani. Vienu no šīm izmaiņām sauc par pozitīvām, bet otru sauc

viņu. Todi saka, starp citu, viņi to pārvērta taisnā līnijā.

Uzņēmējdarbības vērtība 1.4.7. Skaitliskais vissu ir nazivatimno tiešs, uz jaka

a) punkts O, ko sauc par vālītes vai koordinātu vālīti;

b) taisni uz priekšu;

c) no viena dojini.

Tagad ādas runas numurs a tiek aizstāts ar punktu M uz skaitļa-

Vitta ir tik tiešs, schob

a) skaitlim 0 tika dota koordinātu vālīte;

b) OM = a - Dovžina tiek ņemta no koordinātu vālītes līdz durvju punktam M

skaitļa modulis;

c) ja a ir pozitīvs, tad punkts tiek ņemts pozitīvā mijmaiņā і, ec-

ja tas ir negatīvs, tad tas ir negatīvs.

Viss noteikums tiks noteikts abpusēji nepārprotamā veidā

bez runas cipariem un bez punktiem uz taisnas līnijas.

Mēs arī izsauksim numuru tieši (augšup), runāsim tieši

Zvidsi var lepoties arī ar runas tīrīšanas moduļa ģeometrisku zizli

la: ceļu skaita modulis no koordinātu vālītes līdz punktam

uz ciparu ass ir cipars.

Tagad mēs varam sniegt 6. un 7. autoritātes ģeometrisku interpretāciju

runas numuru modulis. Ar pozitīvu Z skaitli x esmu apmierināts

jaudu 6, aizpildiet atstarpi (-C, C) un skaitļus x,

jauda 7, atrodas uz apmaiņām (−∞, C) vai (C, + ∞).

Vēl viens brīnumains runas moduļa ģeometriskais spēks.

numuru.

Divu skaitļu starpības modulis atrodas starp punktiem, kas atbilst

atbilstoši cipariem uz runas ass.

rx standarta skaitliskie reizinātāji.

Bez naturāliem skaitļiem;

Bez daudziem skaitļiem;

Bez rases numuriem;

Bez lich cipariem;

Bez liča, acīmredzot, tsiliča, racionāla un runas-

neatpazīstami skaitļi;

Bez kompleksajiem skaitļiem.

Turklāt bez patvaļīgiem skaitļiem mēs domājam jaku (−∞, + ∞).

Daudz cilvēku:

(a, b) = (x | x ∈ R, a< x < b} - интервал;

[a, b] = (x | x ∈ R, a ≤ x ≤ b) - līdzīgs;

(a, b] = (x | x ∈ R, a< x ≤ b} или [ a, b) = { x | x ∈ R, a ≤ x < b} - полуинтерва-

neatkarīgi no tā, vai napivvidrizki;

(a, + ∞) = (x | x ∈ R, a< x} или (−∞, b) = { x | x ∈ R, x < b} - открытые лучи;

[a, + ∞) = (x | x ∈ R, a ≤ x) vai (−∞, b] = (x | x ∈ R, x ≤ b) ir slēgtas promenādes.

Nareshti, tikai mums būs vajadzīgs zināms progress, kuram mēs nebūsim svarīgi,

apgulties pēdējā minūtē Mums būs tāds progress

nozīmē a, b.

5. sadaļa Skaitlisko skaitļu savstarpējā savienošana

Uzņēmējdarbības vērtība 1.5.1. Skaitlisku daudzveidību X sauc par sajauktu

augšpusē, ja ir arī skaitlis M, ja x ≤ M jebkuram elementam x

komplekts X.

Uzņēmējdarbības vērtība 1.5.2. Skaitlisku daudzveidību X sauc par sajauktu

zemāk, ja ir arī skaitlis m, tad x ≥ m jebkuram elementam x

komplekts X.

Uzņēmējdarbības vērtība 1.5.3. Skaitlisku daudzveidību X sauc par sajauktu,

kā tas ir, ieskauj augšā un apakšā.

Simboliskā apzīmējumā skata vērtība ir šāda

kopu X ieskauj augšdaļa, ja ∃M ∀x ∈ X: x ≤ M,

robežojas zemāk, kur ∃m ∀x ∈ X: x ≥ m

pītā, kur ∃m, M ∀x ∈ X: m ≤ x ≤ M.

Teorēma 1.5.1. Ciparu daudzveidību X ieskauj todі un tikai todі,

ja ir C skaitlis, visiem elementiem x tas pats

lai redzētu neatbilstību x ≤ C.

Nehay bezlich X ir ieskauts. Droši C = max (m, M) - atrast

vairāk nekā skaitļi m un M. Todi, vikoristovuyu runas moduļa jauda

skaitļi, kas atpazīstami kā nelīdzenumi x ≤ M ≤ M ≤ C і x ≥ m ≥ - m ≥ −C,

f, kurš x ≤ C.

Atpakaļ, ja redzat nenoteiktību x ≤ C, tad −C ≤ x ≤ C. Tse і є tre-

buє, laukumam M = C і m = −C.

Skaitli M, kuru augšpusē ieskauj daudz X, sauc par augšējo

cordon mnogini. Yaksho M - kopas X augšējā robeža, tad be-yake

skaitlis M′, kas ir lielāks par M, var būt arī kopas augšējā robežvērtība.

Šādā rangā mēs varam runāt par bezpalīdzīgo augšējo daļu starp daudzajiem

X. Pēc M. Todi bezjēdzīgajiem augšējiem mijmaiņām ∀x ∈ X un ∀M ∈ M

būs vikonāno nelīdzenums x ≤ M, arī saskaņā ar aksiomu bez pārtraukuma

ir arī skaitlis M 0, x ≤ M 0 ≤ M. Veselo skaitli sauc par precīzu

nav augšējās robežas skaitļu daudzveidības X vai augšējās malas

kopa vai kopas summa X і apzīmē M 0 = sup X.

Tādā rangā viņi mums ir radījuši, ka āda nav tukša no skaitliskā daudzuma,

obmezheniya no augšas, zavzhdnu matochu augšējo robežu.

Acīmredzot paritāte M 0 = sup X ir derīga diviem prātiem:

1) ∀x ∈ X, nevienādība x ≤ M 0, tas ir. M 0 - bagato augšējā robeža

2) ∀ε> 0 ∃xε ∈ X, tomēr nevienādība xε> M 0 - ε, tas ir. ciu gra-

nіtsyu nevar krāsot (mainīt).

Pielietojums 1. Kopa X = ⎨1 - ⎬ ir saprotama. Iespējams, ka X = 1.

☺ Godīgi, Persha, neefektivitāte 1 -< 1 выполняется для любого

n ∈; citādā veidā, ja ņemam pozitīvāku skaitli ε, tad ar

Pēc Arhimēda principa var zināt naturālo skaitli nε, arī nε>. tas-

kur būs vikonāno neatbilstība 1 -> 1 - ε, tobto. zināt, ka elements xnε ir

ir X, lielāks apakšējais 1 - ε, scho nozīmē, scho 1 - mazākā augšējā robeža

Līdzīgi var vest, ka, ja daudz kas ir ierobežots zemāk, tad

Es izveidošu apakšējo apmali, un mani sauks par apakšējo apmali.

jauns vai kopas X informācija, un to apzīmē ar inf X.

Vienādība m0 = inf X ir piemērota prātam:

1) ∀x ∈ X nevienādība x ≥ m0;

2) ∀ε> 0 ∃xε ∈ X tā, lai xε nevienādība< m0 + ε .

Ja kopai X є ir lielākais elements x0, tad to sauc

reizinātāja maksimālais elements X і vidējais x0 = max X. Todі

sup X = x0. Tāpat, ja komplektā ir mazākais elements, tad

mēs to sauksim par minimālu, nozīmē min X i vin bude in-

Daudzuma X nosaukums.

Piemēram, bez naturāliem skaitļiem vismazākais elements ir

odinitsu, jaka viena stunda un daudz info. Augstākais-

muma tsya bezl_ch nav mans, tāpēc tas nav ieskauts no augšas.

Precīzās augšējās un apakšējās vērtības vērtību var paplašināt par

daudzi, kas nav blakus augšā vai apakšā, vvazayuchi, sup X = + ∞ vai attiecīgi

attiecīgi inf X = −∞.

Beigās es noformulēšu augšējās un apakšējās gramata spēku ķēdi.

Jauda 1. Nekhai X - deyake neskaitāms. Ievērojami cauri

- X bezlich (- x | x ∈ X). Todi sup (−X) = - inf X і inf (−X) = - sup X.

Jauda 2. Nekhai X — skaitliskā daudzskaitlības dejaka λ — runa

numuru. Lai λ X ir bezjēdzīgs (λ x | x ∈ X). Todi, ja λ ≥ 0, tad

sup (λ X) = λ sup X, inf (λ X) = λ inf X і, kur λ< 0, то

sup (X) = inf X, inf (X) = sup X.

Jauda 3. Nehay X1 un X2 - skaitļi. Ievērojami cauri

X1 + X 2 bez līča (x1 + x2 | x1 ∈ X 1, x2 ∈ X 2) і līdz X1 - X 2 bez līča

(x1 - x2 | x1 ∈ X1, x2 ∈ X 2). Todi sup (X 1 + X 2) = sup X 1 + sup X 2

inf (X1 + X 2) = inf X1 + inf X 2, sup (X 1 - X 2) = sup X 1 - inf X 2 і

inf (X1 - X 2) = inf X1 - sup X 2.

Jauda 4. Nehay X1 un X 2 ir skaitliski reizinājumi, kuru visi elementi ir

rikh nevid'єmnі. Todi

sup (X1 X 2) = sup X1 ⋅ sup X 2, inf (X1 X 2) = inf X 1 ⋅ inf X 2.

Acīmredzot, piemēram, pastāvīgā vienlīdzība ar varas iestādēm 3.

Pieņemsim, ka x1 ∈ X1, x2 ∈ X 2 і x = x1 + x2. Todi x1 ≤ sup X1, x2 ≤ sup X 2 ma

x ≤ sup X1 + sup X 2, stars sup (X1 + X 2) ≤ sup X1 + sup X 2.

Lai radītu patentētu neatbilstību atkarībā no skaita

y< sup X 1 + sup X 2 . Тогда можно найти элементы x1 ∈ X1 и x2 ∈ X 2 такие,

scho x1< sup X1 и x2 < sup X 2 , и выполняется неравенство

y< x1 + x2 < sup X1 + sup X 2 . Это означает, что существует элемент

x = + x1 x2 ∈ X1 + X2, kas ir lielāks par skaitli y і

sup X1 + sup X 2 = sup (X1 + X 2) .◄

Šo iestāžu pierādīšana tiek veikta līdzīgā veidā, un tā ir obligāta

nyayutsya readachevі.

§ 6 Rakhunkov un ne bezgalīgi daudz

Uzņēmējdarbības vērtība 1.6.1. Pirmie n naturālie skaitļi nav redzami

n = (1,2, ..., n) і kopas A darbība. Es varu piecelties kopā

nepārprotami līdzība starp A un n, tad bez A būs

kintsev.

Uzņēmējdarbības vērtība 1.6.2. Ļaujiet man sniegt jums mazliet A. Jūs varat

Izveidojiet abpusēji nepārprotamu apstiprinājumu par a neesamību

bez naturāliem skaitļiem, tad bez

Uzņēmējdarbības vērtība 1.6.3. Ja tas ir bezlich A, tas ir absolūti rakhunkov, tad mēs to darīsim

Viriti, tu nebūsi vairāk kā Rahunkovs.

Šādā rangā bezl_ch būs rakhunkovo, kur var atrasties šis elements

pateicība pēdējam.

Pielietojums 1. Bez sapārotiem numuriem - vairāk, attēla attēli n ↔ 2n

є abpusēji nepārprotams skatījums uz dabiskā neesamību

cipariem un bez pārī savienotiem numuriem.

Acīmredzot šādu apgalvojumu var noteikt ne pēc vienas pakāpes.

tālummaiņa. Piemēram, ir iespējams noteikt noteiktību starp

nistyu (vesels numurs), konstatējot šāda veida identitāti

Veselo skaitļu teorijas aksiomu sistēma nav kvadrātveida, jo to saprot ar labo 3.1.4.

1. teorēma. Veselo skaitļu aksiomātiskā teorija ir nespecifiska.

Piegādāts. Tā kā naturālo skaitļu aksiomātiskā teorija nav saprotama, naturālo skaitļu aksiomātiskā teorija nav saprotama. Visiem modelis tiks mudināts noliegt visas mūsu teorijas aksiomas.

Zbuduєmo gredzenu kolekcija. Skaidrs, ka bezl_ch

N´ N = {(a, b)ï a, bÎ N}.

a, b) naturālo skaitļu. Ar šādu saprāta pāri naturālo skaitļu atšķirība a - b... Apgalvojumi nav ienesti vesela skaita skaitļu sistēmas ainā, tādā veidā atšķirība ir skaidra, šāda apzīmēta pasaule nav pareiza. Tieši tajā stundā ir arī pamats mums atdot pāru spēku.

Mēs zinām, ka naturālo skaitļu starpību var pievienot vienam un tam pašam veselam skaitlim. Faktiski tajā ir iespējams iekļūt bez jebkādām N´ N sniegums:

(a, b) = (c, d) Û a + d = b + c.

Nav svarīgi to pieminēt, bet mērķis ir refleksīvs, simetrisks un pārejošs. Otzhe, nav tiesību tikt sauktam par līdzvērtību. Faktoru daudzveidība bez N´ N Z... Jogo elementi un nazivatimemo veselie skaitļi. Smarža є ekvivalences klases brīviem pāriem. Klas, lai atriebtos pārim
(a, b), ko var apzīmēt ar [ a, b].

Z a, b] jaks par mazumtirdzniecību a - b

[a, b] + [c, d] = [a + c, b + d];

[a, b] × [ c, d] = [ac + bd, ad + bc].

Atmiņu slaids, scho, stingri šķiet, ka šeit ir pareizais veids, kā svinēt operāciju simbolus. Viens un tas pats simbols apzīmē naturālu skaitļu un pāru locīšanu. Ja ir skaidrs, ka ir skaidrs, ka daudzos gadījumos tiek veikta operācija, mēs neieviesīsim aptuvenu nozīmi šīm darbībām.

Ir jāpārskata šo darbību vērtības pareizība, paši rezultāti un jānosaka elementu atlase aі b, es vēlētos izveidot pāri [ a, b]. Rezerves, hey

[a, b] = [a 1 , b 1 ], [s, d] = [s 1 , d 1 ].

Tse nozīmē a + b 1 = b+a 1 , h+d 1 =d + s 1 . Sklavshi tsі rіvnostі, otrimuєmo

a + b 1 + h+d 1 = b+a 1 +d + s 1 Þ [ a + b, h + d] = [a 1 +s 1 , b 1 + d 1] Þ

Þ [ a, b] + [c, d] = [a 1 , b 1 ] + [c 1 , d 1 ].

Līdzīgi sākas reizinātāja vērtības pareizība. Pēc tam Ale slīdēja, lai pārskatītu tērzēšanu, scho [ a, b] × [ c, d] = [a 1 , b 1] × [ c, d].

Tagad tas tiks pārveidots no jauna, tāpēc ir iznākusi algebra, є kiltsom, tātad aksiomi (Z1) - (Z6).

Pārskatīts, piemēram, papildinājuma komutativitāte atbilstoši aksiomai (Z2). Maєmo

[c, d] + [a, b] = = [a + c, b + d] = [a, b] + [c, d].

Papildinājuma komutativitāte veseliem skaitļiem ir atvasināta no papildinājuma komutativitātes naturāliem skaitļiem, jo to izmanto tajā pašā mājā.

Aksiomi (Z1), (Z5), (Z6) ir līdzīgi apgriezti.

Zero Grapair loma. Ievērojami її cauri 0 ... godīgi,

[a, b] + 0 = [a, b] + = [a + 1, b + 1] = [a, b].

Nareshty, a, b] = [ba]. godīgi,

[a, b] + [ba] = [a + b, b + a] = = 0 .

Tagad pārveidots aksiomas paplašinājums. Slaidu atmiņa, kas pamudināja apli, nav naturālu skaitļu jaka, apļa elementu fragmenti є naturālo skaitļu pāru klase. Tam jāzina apakšgebra, kas ir izomorfa naturālu skaitļu attēlojumam. Šeit es zinu vairāk par pāris [ a, b] jaks par mazumtirdzniecību a - b... Dabiskais skaitlis n nodokļus iespējams maksāt no divām fiziskām personām, piemēram, šādā pakāpē: n = (n+ 1) - 1. f: N ® Z ievērojot noteikumu

f(n) = [n + 1, 1].

Aktīvs cenrādis:

f(n) = f(m) Þ [ n + 1, 1]= [m+ 1, 1] Þ ( n + 1) + 1= 1 + (m+ 1) Þ n = m.

Otzhe, maєmo abpusēji nepārprotama atbilde mіzh N un kā bērns Z, kas ir jēgpilna caur N*... Perevіrimo, scho vono zberigє operatsії:

f(n) + f(m) = [n + 1, 1]+ [m + 1, 1] = [n + m + 2, 2]= [n + m+ 1, 1] = f(n + m);

f(n) × f(m) = [n+ 1, 1] × [ m + 1, 1] = [nm + n + m + 2, n+m+ 2]= [nm+ 1, 1] = f(nm).

Timu nosaka pats bulo, N* Es apstiprināšu Zšīs daudzkārtējās subalgebras locīšanas darbība, izomorfa N

Acīmredzot pāris [ n+ 1, 1] st N* n, pāri n a, b] maєmo

[a, b] = [a + 1, 1] + = [a + 1, 1] – [b + 1, 1] = a – b .

Tims pats ir coated, nareshti, paziņojums par pāris [ a, b] jaks par naturālo skaitļu starpību. Uzstādīts uzreiz, ādas elements no pamodinātā daudzuma Z jāuzrāda kā divu dabisku izaugums. Tas arī palīdz saskaņot minimāluma aksiomu.

Aiziet M - pidnogina Z, atriebties N* un uzreiz no būt līdzīgiem elementiem aі bїхnya attīstība a - b... Atvests pie jums, scho tādā laikā M =Z... Dіysno, be-sava veida elements z Z parādīties divu dabisku cilvēku acu priekšā, kā sekot prātam M visi uzreiz ar savu cenu.

2. teorēma. Visu skaitļu aksiomātiskā teorija ir kategoriska.

Piegādāts. Acīmredzot divi būt līdzīgi modeļi, uz kuriem ir redzamas visas teorijas aksiomas, kas ir izomorfas.

Nāc á Z 1, +, ×, N 1 ñ і á Z 2, +, ×, N 2 - divi mūsu teorijas modeļi. Stingri skaidrs, ka to darbības var apzīmēt ar dažādiem simboliem. Mēs redzam visu no vimoga kopienas, kāpēc jūs nesaslimt ar dakti: tas ir skaidrs, tas ir skaidrs par operāciju. Elementi, kuriem jāatrodas tuvu parādītajiem modeļiem, netiks rādīti ar tiem pašiem indeksiem 1 vai 2.

Mēs izvēlamies drauga pirmā modeļa izomorfā attēla vērtību. Tātad jaks N 1 tas N 2 - naturālu skaitļu kopa, kas nav izomorfs j pirmā koduma attēlojums no otras puses. Vizuāli nozīmīgs f: Z 1 ® Z 2. Ādas numurs NS 1 Î Z 1, lai parādītos divu fizisku cilvēku redzeslokā:
NS 1 = a 1 - b 1 . Vvazhamo

f (x 1) = j ( a 1) – j ( b 1).

Atnesa tev, scho f- Izomorfisms. Attēls ir piešķirts pareizi: NS 1 = plkst 1, de y 1 = c 1 – d 1, tad

a 1 - b 1 = c 1 – d 1 Þ a 1 + d 1 = b 1 + c 1 Þ j ( a 1 + d 1) = j ( b 1 + c 1) Þ

j ( a 1) + j ( d 1) = j ( b 1)+j ( c 1) Þ j ( a 1) - j ( b 1) = j ( c 1) - j ( d 1) Þ f(x 1) =f (y 1).

Zvidsi blakus f - viennozīmīgi Z 1 colla Z 2. Ale lai būtu kāds NS 2 s Z 2 jūs varat zināt dabas elementus a 2 tas b 2 like, scho NS 2 = a 2 - b 2. Oskіlki j - izomorfisms, tad elementi var būt prototipi. a 1 tas b 1 . Nozīmēt, x 2 = j ( a 1) – j ( b 1) =
= f (a 1 - b 1), i ādas elementā s Z 2 є priekšattēls. Atsauksmes f viennozīmīgi. Perevіrimo, wona zberіgaє operatsії.

Jakšo NS 1 = a 1 - b 1 , y 1 = c 1 - d 1, tad

NS 1 + y 1 = (a 1 + c 1) – (b 1 +d 1),

f(NS 1 + y 1) = j ( a 1 + c 1) – j ( b 1 +d 1) = j ( a 1)+j ( c 1) – j ( b 1) – j ( d 1) =

J ( a 1) – j ( b 1)+j ( c 1)– j ( d 1) =f(NS 1) + f(y 1).

Tāpat tas tiks apgāzts, tāpēc notiek daudz. Timu nosaka pats bulo, f- Izomorfisms, un teorēma ir celta.

Pareizi

1. Pārliecinieties, ka tas ir kā aplis, kas ietver naturālo skaitļu sistēmu, ieskaitot visu skaitļu apli.

2. Ievietojiet katru minimālo secību komutatīvajā aplī ar vienu izomorfu skaitļu apli.

3. Pārliecinieties, ka katrs aplis vienā secībā nav kārtībā un bez nulles, lai atriebtu vienu vai otru, izomorfs skaitļu lokam.

4. Pārvietojiet dažādas kārtas matricu apli virs patvaļīgu skaitļu lauka, lai aizstātu bez gredzena, izomorfu ar skaitļu apli.

Racionālo skaitļu lauks

Dotās racionālo skaitļu sistēmas vērtība tiek veikta līdzīgi, līdz tā ir izplatītāka visu skaitļu sistēmai.

Viznachennya. Racionālo skaitļu sistēmu sauc par minimālo lauku, kas ir skaitļu apļa paplašinājums.

Faktiski racionālo skaitļu sistēmas aksiomātiskā pamudināšana tiek pieņemta līdz galējai vērtībai.

Pirmie termiņi:

J- Racionālo skaitļu bagāto;

0, 1 - konstantes;

+, × - Binārās darbības ieslēgtas Q;

Z- pidnogina J, bez cipariem;

Å, Ä — binārās darbības ieslēgtas Z.

Aksiomi:

es Aksiomu lauki.

(1. ceturksnis) a+ (b+c) = (a + b) + c.

(2. ceturksnis) a + b = b + a.

(3. ceturksnis) (" a) a + 0 = a.

(4. ceturksnis) (" a)($(–a)) a + (–a) = 0.

(Q5) a× ( b× c) = (a× b) × c.

(Q6) a× b = b× a.

(Q7) a× 1 = a.

(Q8) (" a¹ 0)($ a –1) a × a –1 = 1.

(Q9) ( a + b) × c = a × c + b× c.

ІІ. Aksiomi paplašināšana.

(Q10) á Z, Е, Д, 0, 1с - naturālu skaitļu aplis.

(Q11) Z Í J.

(Q12) (" a, bÎ Z) a + b = aÅ b.

(Q13) (" a, bÎ Z) a× b = aÄ b.

ІІІ. Minimuma aksioma.

(Q14) MÍ J, ZÍ M, ("a, bÎ M)(b ¹ 0 ® a× b-1 Î M)Þ M = J.

Numurs a× b-1 sauc par privātajiem numuriem aі b, nozīmē a/b abo.

1. teorēma. Lai tas būtu racionāls skaitlis, tas ir jāattēlo kā privāti divi skaitļi.

Piegādāts. Aiziet M- bezlіch racionāli skaitļi, reprezentācijas kā privāts divi tsіlich. Jakšo n- tad viss n = n/ 1 skatiens M, jau, ZÍ M... Jakšo a, bÎ M, tad a = k/l, b = m/n, de k, l, m, nÎ Z... Oce, a/b=
= (kn) / (lm)Î M... Aksioma (Q14) M= J, šī teorēma ir pabeigta.

2. teorēma. Racionālo skaitļu lauks var būt lineāri un suvoro kārtībā un vienā veidā. Kārtība loku racionālo skaitļu laukā un tāda pati secība skaitļu aplī.

Piegādāts. Ievērojami cauri J+ neskaitāmi skaitļi, kurus attēlo ar daļskaitli, de kl> 0. Nav svarīgi par to domāt, bet tas ir kā daļskaitlis, taču tas būs skaitlis.

Perevirimo, scho J + – pozitīvā lauka daļa J... Toms veselam skaitlim kl ir trīs veidi: kl = 0, klÎ N, –kl Î N a = mēs varam noliegt vienu no trim iespējām: a = 0, aÎ J+, –AÎ J + ... Dal, kur a =, b = mel J+ tad kl > 0, mn> 0. Todі a + b =, turklāt ( kn + ml)ln = kln 2 + mnl 2> 0. Arī a + bÎ J + ... Tādā pašā veidā to var apgriezt, tāpēc abÎ J + ... Tādā rangā, J + - pozitīvā lauka daļa J.

Aiziet J++ - kā pozitīva lauka sastāvdaļa. Maєmo

l = .l 2 Î J ++ .

Zvidsi NÍ J++. Saskaņā ar teorēmu 2.3.4. var atrast arī skaitļus līdz naturāliem skaitļiem J++. Todi J + Í J++. Pamatojoties uz teorēmu 2.3.6 J + =J++. Tam ir pasūtījumi, kas tiek novērtēti ar pozitīvām daļām J+ і J ++ .

Tātad jaks Z + = NÍ J+, pēc tam secībā J Turpināšu pasūtīt Z.

Ļaujiet tagad a => 0, b => 0. Ir dažas atšķirības arku skaitļu secībā, tad pozitīvais knі ml jūs zināt, ka tas ir dabiski sņem, scho s× kn>ml... Zvidsi s a = s> = b. Oce, kārtība arhimēda racionālo skaitļu jomā.

Pareizi

1. Pārliecinieties, ka racionālo skaitļu lauks ir spēcīgs, lai visiem racionālajiem skaitļiem a < b tas ir racionālāk rņem, scho a < r < b.

2. Sniedziet jums vārdu NS 2 = 2 nav risinājuma J.

3. Atved tevi, tu esi bez J rakhunkovo.

3. teorēma. Racionālo skaitļu aksiomātiskā teorija nav lieka.

Piegādāts. Racionālo skaitļu aksiomātiskās teorijas nekonsekvenci var parādīt tāpat kā visiem skaitļiem. Un tāds būs modelis, visas teorijas aksiomas tiks aizstāvētas.

Jaku bāze tiek ņemta bez l_ch

Z´ Z* = {(a, b)ï a, bÎ Z, b ¹ 0}.

Tsієї daudzskaitlības elementi є bet ( a, b) veseli skaitļi. Ar tādu skaitļu pāri a/b... Tas ir pāru spēka uzdevums.

Ieviests bez Z´ Z* sniegums:

(a, b) = (c, d) Û reklāma = bc.

Tādā pašā veidā jums nebūs tiesību tikt sauktam par līdzvērtību. Faktoru daudzveidība bez Z´ Z* no visas interešu attiecības ir nozīmīga caur J... Jogo elementi un nazivatimemo racionālie skaitļi. Klās, lai atriebtos pārim ( a, b), ko var apzīmēt ar [ a, b].

Ieviests pamudināja daudzus J locīšanas un pavairošanas darbība. Mēs varēsim palīdzēt elementa noteikšanas procesā [ a, b] jaks par privāto a/b... Atkarībā no šādas vērtības:

[a, b] + [c, d] = [reklāma + bc, bd];

[a, b] × [ c, d] = [maiņstrāva, bd].

Operāciju vērtības, pašu rezultātu pareizības pārskatīšana un elementu atlases noteikšana aі b, es vēlētos izveidot pāri [ a, b]. Tas jādara šādi, kā to pierāda 3.2.1. teorēmas.

Zero Grapair loma. Ievērojami її cauri 0 ... godīgi,

[a, b] + 0 = [a, b] + = [a × 1 + 0 × b, b × 1] = [a, b].

Protylezhnaya uz [ a, b] є pāris - [ a, b] = [–a, b]. godīgi,

[a, b] + [–a, b]= [ab - ab, bb] = = 0 .

Viens є pāris = 1 ... Bastard pirms derību [ a, b] - pāris [ ba].

Tagad pārveidots aksiomas paplašinājums. Atjaunojama redzamība
f: Z ® J ievērojot noteikumu

f(n) = [n, 1].

Apgriezts, bet cena ir abpusēji nepārprotama Z un kā bērns J, kas ir jēgpilna caur Z*... Attāluma pārskatīšana, kas pārņems darbību no tā paša, noteiks pasaules izomorfismu Z tas bērns Z* v J... Otzhe, pārskatītā aksiomi paplašināšana.

Acīmredzot pāris [ n, 1] h Z*, kas ir saistīts ar naturālo skaitli n, pāri n ... Todi par labu likmi [ a, b] maєmo

[a, b] = [a, 1] × = [ a, 1] / [b, 1] = a /b .

Pats Tims ir pārklāts ar paziņojumu par pāri [ a, b] jaks par privātajiem numuriem. Uzstādīts uzreiz, ādas elements no pamodinātā daudzuma J parādīties kā privāts divi tsilikh. Tas arī palīdz saskaņot minimāluma aksiomu. Pārskatīšana tiek veikta saskaņā ar teorēmu 3.2.1.

Tādā rangā, stimulētajai sistēmai J vikonuyutsya visas skaitļu teorijas aksiomas, lai mēs izstrādātu visas teorijas modeli. Teorēma ir pabeigta.

4. teorēma. Racionālo skaitļu aksiomātiskā teorija ir kategoriska.

Pierādījums ir analogs 3.2.2. teorēmu pierādījumam.

5. teorēma. Arhimadovski lauka secībā є uz racionālo skaitļu lauka paplašinājumiem.

Pierādījums - jaks pa labi.

6. teorēma. Aiziet F- lauks ir kārtībā, a > b, de a, bÎ F... Nu racionālais skaitlis Î Fņem, scho a > > b.

Piegādāts. Aiziet a > b³ 0. Todi a - b> 0, ma ( a - b) -1> 0.Isnuє dabīgs Tņem, scho m× 1> ( a - b) -1, zvaigznes m –1 < a - b £ a... Dali іsnu dabas kņem, scho k× m-1 ³ a... Aiziet k- Nimenshe numurs, par kuru vikonutsya tsya nepamatotība. Tātad jaks k> 1, var piemērot k = n + 1, n Î N... Ar tsom
(n+ 1) × m-1 ³ a, n× m –1 < a... Jakšo n× m-1 £ b, tad a = b + (a - b) > b + m-1 ³ n× m –1 + m –1 =
= (n+ 1) × m-1. Protir_chchya. Nozīmēt, a >n× m –1 > b.

Pareizi

4. Pārliecinieties, vai ir lauks, kas ietver daudzu skaitļu apli, tostarp racionālu skaitļu lauku.

5. Pārliecinieties, vai lauks ir izomorfs racionālo skaitļu laukam.

Atsauces numuri

Runas skaitļi, kas apzīmēti caur (tā sauktais R rubāns), ieviesa papildu operāciju ("+"), lai pāris ādas elementu ( x,y) no bez runas cipariem, ielieciet pie elementa veida x + y z tsієї z daudz, nosaukumi sumy xі y .

Axiomi Multiple

Gada ieviesa darbību vairāku ("·"), lai ādas pāris elementu ( x,y) no bez runas cipariem, novietojiet pie elementa veida (abo, fast, xy) no tsієї z daudz, siera virsraksti xі y .

Papildu zvana signāls

Aksiomi pasūtījums

Uz doto rīkojumu "" (mazāk par vienu), lai būtu par likmi x, y vikonuatsya vēlas būt viens no prātiem abo.

Savienojums ir kārtībā, ka locīšana

Komunikācijas kārtība un daudzveidība

Pārtraukuma aksioma

Komentārs

Qia axioma nozīmē, shho yaksho Xі Y- divi netukši derīgu skaitļu daudzkārtņi, piemēram, vai tas ir elements X Es neapgāzīšu nevienu elementu Y, tad varat ievietot runas numuru starp vairākām kopām. Racionālajiem skaitļiem aksioma nespīd; klasisks dibens: skaidri pozitīvi racionāli skaitļi, kas ir redzami līdz nullei X tі skaitļi, kuru kvadrāts ir mazāks par 2, un іnshі - līdz Y... Todi mіzh Xі Y jūs nevarat ievietot racionālu skaitli (nevis racionālu skaitli).

Tsya Klyuchova aksioma saglabās atjautību, un mēs paši motivēšu matemātisko analīzi. Par іlustratsії її nozīmi, papildus diviem fundamentāliem mantojumiem no tā.

Aksiomu pēdas

Bez viduvējas aksiomas, darbi ir svarīgi šo skaitļu spēkam, piemēram,

viena nulle,
Protylezhny un dumpīgo elementu vienotība.

Literatūra

Zorich V.A. Matemātiskā analīze. Sējums I. M .: Fazis, 1997, 2. sadaļa.

Div. arī

Posilannya

Wikimedia fonds. 2010. gads.

Apbrīnojiet "darbības skaitļu aksiomātiku" šādās vārdnīcās:

Runa, jo skaitlis ir matemātiska abstrakcija, bet gaismas ģeometrisko un fizisko vērtību patēriņš, kā arī tādu darbību veikšana, piemēram, saknes izstrāde, logaritmu aprēķināšana, risinājums.

Runa, kur skaitļa noformējums ir matemātiska abstrakcija, kā kalpot, pavasaris, fizikālo lielumu atbilstošās vērtības definīcija. Šādu skaitli var intuitīvi attēlot kā punkta pozīciju uz taisnes aprakstu.

Statūtu vārdnīcā "Aksioma" Aksioma (grieķu valodā ... Vіkіpedia

Aksioma, kā attīstīties citās aksiomātiskās sistēmās. Reālo skaitļu aksiomatika Hilberta Eiklīda ģeometrijas aksiomatika Kolmogorova nekustīguma teorijas aksiomatika ... Vikipēdija

Ar kaut kādas matemātiskas teorijas aksiomātisku pamudinājumu uz to vajadzētu paskatīties. noteikumi:

· Deyakі teorijas izpratne tiek izvēlēta kā pamata un pieņemta bez viznachennya;

· Kozhen izpratne par teoriju, kā nav atriebties sarakstā no galvenajiem, ņemot vērā viznachennya;

· Formulēt aksiomu - priekšlikumus, kuri teorijā tiek pieņemti bez pierādījumiem; tiem, kas atver galveno spēku saprast;

· Teorijas ādas piedāvājums, lai neatriebtos par aksiomu sarakstu, bet tas ir izvirzīts; Šos priekšlikumus sauc par teorēmām, un tie tiek veidoti, pamatojoties uz aksiomām un teorēmām.

Ar aksiomātisku teorijas pamudināšanu pierādījuma aksiomai tiek piešķirta visa stingrība.

Uz to, līdz aksiomu sistēmai, speciāli vimogi:

· Nekonsekvence (aksiomu sistēmu sauc par nekonsekventu, jo no tās nav iespējams loģiski izveidot divus priekšlikumus, bet savstarpēji iekļaut vienu);

· Neatkarība (aksiomu sistēmu sauc par neatkarīgu, kā arī visas nepārmantoto aksiomu sistēmas aksiomu).

Mēs bez problēmām lūdzam jaunos ieceltos izsaukt dotās sistēmas modeli un aksiomas, jo visas dotās sistēmas aksiomas ir norādītas jaunajā.

Ir vairāki veidi, kā izstrādāt aksiomu sistēmu naturālu skaitļu daudzumam. Galvenais saprastājs var ņemt, piemēram, skaitļu summu chi attiecībā pret secību. Jebkurā gadījumā ir jāiestata aksiomu sistēma, lai aprakstītu galveno izpratnes spēku.

Damo aksiomu sistēma, kas ir pieņēmusi pamatzināšanas par papildinājuma darbību.

Neporožnija bezl_ch N sauc bez naturāliem skaitļiem, ko apzīmē operācija (a; b) → a + b, aicināts uz dāvanu un spēka spēku:

1.davannya komutatīvi, tobto. a + b = b + a.

2.addavannya asociatīvi, tobto. (a + b) + c = a + (b + c).

4. ir daudz A, scho є ar reizinājumu N, de Aє numurs tāpat kā viss Ha, рівні a + b, de bN.

Ar aksiomām 1 - 4 pietiek, lai inducētu visu naturālo skaitļu aritmētiku. Bet ar šādu stimulu vairs nav iespējams virzīties uz Kintsev daudzskaitļa spēku, jo tie neiekļāvās šajās aksiomās.

Tajā pašā laikā, kā galvenā izpratne par attiecībām "bezposeredno follow for ..." N... Todi naturālais skaitļu skaits būs bez N, kurā vērtība ir norādīta "bez vidējā sekojuma", un naturālie skaitļi tiks saukti par visiem N elementiem, turklāt var būt aksiomi Peano:

AXIOMA 1.

Pie bezlichіNIr elements, kas nepārsniedz nevienu daudzveidības elementu. Mēs to sauksim par vienu vienību un apzīmēsim ar simbolu 1.

AXIOMA 2.

Ādas elementam a zNіsnu Viens elements bez vidējā diapazona avansa a.

AXIOMA 3.

Ādas elementam a zNIr ne vairāk kā viens elements, aiz kura nav vidusceļa.

AXOIMA 4.

Katrs submultiple M komplektsNЗівпад зN, jo ir spēks: 1) 1 atriebties M; 2) turklāt atriebties M.

Bezlich N, par kuru elementiem tika noteikts apgalvojums "bez vidus sekot ..." bez naturāliem skaitļiem , un joga elements - naturālie skaitļi.

Jakšo jaks bezlich N vibrati deyake īpaši bezlіch, tiem, kas to īpaši liek "bezposeredno follow for ..." Interpretācijas (modeļi) dots sistēmas un aksiomas.

Peano aksiomu sistēmas standarta modelis є vinik procesā vēsturiskā attīstība suspensijas ir vairāki skaitļi: 1, 2, 3, 4, 5, ...

Modelis Axiom Peano var būt daudz cilvēku.

Piemēram, I, II, III, IIII, ...

ooo oooo, ...

viens divi trīs chotiri, ...

Ir saskatāma daudzskaitlības konsekvence, kurā daudzskaitlis (oo) ir vālītes elements, un ādu var ievadīt no vairāk nekā viena gurta galvenā atribūta (15. att.).

Todi Nє bezlіch, ko var glabāt aprakstītā tipa komplektā, і Peano aksiomu sistēmu modelis.

Tiesa, daudzi Nіsnuє elements (oo), neatkāpjoties aiz dotās daudzkārtības elementa, tobto. vikonutsya axiom 1. Ādas daudzveidībai A analizēts sukupnosti іsnu dina mnogina, kā iet no A davannyam one gurk, tobto. vikonutsya axiom 2. Ādas plurālismam Aіsnu ne vairāk kā viens bars, par kuru izlikties bez A davannyam one gurk, tobto. vikonutsya aksioma 3. Jakšo MNі vіdomo, sho bezlіch A atriebties M, slīdēja, scho un daudz, jakā par vienu gurtoku vairāk A, arī atriebties M, tad M =N, і nozīmē deklarēt 4. aksiomu.

Pie naturālā skaitļa vērtības vērtību nevar izlaist no aksiomas.

Ir iespējams uzstādīt, tāpat kā komplektā, virzot kursoru virs attēlā. 16 є modelis no Axiom Peano.

1 a b d a

G) 16. att

Lēmums. Uz mazuļa 16 a) attēlots bez cilvēka, kurā attēlotas aksiomas 2 un 3. Tiešām ādas elementam ir viens, tieši blakus, un viens elements ādai. elements, tiek ievērots. Bet tsi daudzi daudzi neiet uz aksiomu 1 (aksioma 4 nav laba ideja, jo daudz nav elementu, kas nav vidū aizskarošu elementu). Šim nolūkam tas nav tas gadījums, kā Pīno aksiomas modelis.

Uz mazā 16 b) tiek parādīts bezlіch, jaku vikonі aksiomi 1, 3 un 4, ale aiz elementa a bezposeredno viplivayut divi elementi, nevis viens, kā prasīts aksiomā 2. Turklāt daudzi nav є modelē aksiomu Peano.

attēlā. 16 c) attēlots bez liča, vikonan_ axiomi 1, 2, 4, ale elements s bezposredno nākamais uzreiz aiz diviem elementiem. Šim nolūkam tas nav tas gadījums, kā Pīno aksiomas modelis.

attēlā. 16 d) tiek parādīta partija, kas ir apmierināta ar aksiomām 2, 3, un, ja vālītes elementa kvalitātē ir skaitlis 5, tad daudz tiek dots ar aksiomu 1 un 4 apmierinātību. šajā gadījumā dotajā komplektā skin elementam vidējais One elements, kam seko yakim. Tas ir elements, kas nenāk bez vidus soļa aiz jebkura daudzuma elementa. , tobto. Pieņemt aksiomu 1. Pēc iespējas ātrāk aksiomu 4. Ir daudz informācijas par Peano aksiomas modeli.

Vikoristovuchi axiomi Peano, ir iespējams celt vairākas cietības. x x.

Piegādāts. Ievērojami cauri A bez naturāliem skaitļiem, tiem aa Numurs 1 skatiens A, tajā nav nevienas daļas, kas sekotu vienam un tam pašam numuram N, tad tas iet pats no sevis: 1 1. Aiziet aA, Todi aa Ievērojami a pāri b... Pamatojoties uz aksiomu 3 ab, tobto. b bі bА.