Axiomatická hodnota sústav celých čísel. Metodické odporúčania pre výučbu predmetu "numerické systémy". Axióma spojenia

Systém celých čísel

Zgadaimo, scho sa objavil prirodzený rad na presun predmetov. Ak chceme pracovať s objektmi, musíme robiť aritmetické operácie s číslami. Tobto, ak chcem poskladať jablko alebo upiecť koláč, musíme znova usporiadať počet mojich čísel.

Beštia úcta, scho za zavedenie operácií + že * u mov prirodzené čísla je potrebné dať axiómu na spustenie sily týchto operácií. Ale todi a bezlich prirodzených čísel sa páči expandovať.

Prekvapenie, pretože sa rozširuje bez prirodzených čísel. Jednoduchá operácia, ktorá je potrebná pre jeden z prvých - proces. Len čo sa chcem operácii viac venovať, sme vinní, že sa jej venujeme. Je pravda, že viem, že ak výsledok bude napríklad 5 alebo 2, potom budem vinný virishuvati a typ chyby: ak potrebujete pridať do 4, musíte orezať 11. vyroblyaty i vorotnu dіu - vіdnіmannya. Ak mi sčítanie prirodzených čísel dáva prirodzené číslo, potom vzhľad prirodzených čísel dáva výsledok, ktorý sa nezmestí do N. Bully bude potrebovať viac čísel. Pre analógiu rozumného označenia z veľkého čísla menšieho čísla bolo zakázané pravidlo označenia menšieho veľkého počtu - takto sa objavil počet záporných čísel.

Dodatočný prirodzený rad operácií + i - mi príde na neobmedzený počet čísel.

Z = N + operácií (+ -)

Systém racionálnych čísel yak mova aritmetika

Teraz je jasné, že za skladacím štádiom je toho veľa. Podľa dňa sa cena pripočítava. Pridávam celý počet čísel, aby som ich zatienil celým číslom.

Ale operácia zvonenia až mnohokrát - cena je pripravená. A neočakávajte výsledok. A viem, že stojíme pred dilemou – ak to dokážeme zložiť, výsledok sa nemusí „prebudiť“, alebo ak číslo dostane nový typ. Takže racionálne čísla skončili.

Na spustenie operácie násobenia je možné použiť systém celých čísel a prípadne aj axióm. Otrimaєmo systém racionálnych čísel.

Q = Z + operácie (* /)

Otzhe, pohyb racionálnych čísel môže fungovať všetky aritmetické operácie nad číslami. Presúvanie prirodzených čísel nestačí.

Predovšetkým axiomatická hodnota sústavy racionálnych čísel.

Viznachennya. Bezlich Q sa nazývajú bez racionálnych čísel, ako prvky - racionálne čísla, ako útočný komplex myslí, názvy axiomatických racionálnych čísel:

Axióma operácií skladania. Pre byť ako usporiadaná stávka x, y elementiv s Q prvok deyakiy x + yÎQ, hodnosti sumyu Xі pri... Keď sa sami seba spýtate nasledovné, zamyslite sa:

1. (Odstránenie nuly) Spací prvok 0 (nula) taký, že pre ľubovoľný XÎQ

X+0=0+X=X.

2. Pre akýkoľvek prvok X Q Q isnuє prvok - XÎ Q (prototyp X) taký, scho

X+ (-X) = (-X) + X = 0.

3. (Komunita) Pre tých, ktorí sú x, yÎ Q

4. (Sociálne) Pre ľubovoľné x, y, z Q

x + (y + z) = (x + y) + z

Viacnásobné prevádzkové axiómy.

Pre byť ako usporiadaná stávka x, y prvku 3 Q je priradený prvok deyaky huÎ Q, tituly podľa stvorenia Xі pri. Keď sa sami seba spýtate nasledovné, zamyslite sa:

5. (Odstránenie jedného prvku) Uspávanie prvku 1 Q ako pre ľubovoľný XÎ Q

X . 1 = 1... x = x

6. Pre akýkoľvek prvok X Q Q, ( X≠ 0) isnu zorotny prvok X-1 ≠ 0 takých, scho

X. x-1 = x-1. x = 1

7. (Sociálne) Pre byť-ako x, y, zÎ Q

X . (at . z) = (x . y) . z

8. (Komunita) Pre tých, ktorí sú x, yÎ Q

Axióma je spojenie medzi záhybom a multiplicitou.

9. (Distribúcia) Pre byť-ako x, y, zÎ Q

(x + y) . z = x . z + y . z

Poradie axiómov.

Buďte ako dva prvky x, y, Q Q pripojiť sa k vzťahu ≤. Keď sa sami seba spýtate nasledovné, zamyslite sa:

10. (X≤pri) L ( pri≤X) ó x = y

11... (X≤y) L ( y≤ z) => X≤z

12. Pre byť-ako x, yÎ Q abo x< у, либо у < x .

Svätyňa< называется строгим неравенством,

Vidnoshennya = byť nazývaný rovnocennými prvkami Q.

Axióma je pridať poriadok.

13. Pre ľubovoľné x, y, z ÎQ, (x £ y) Þ x + z £ y + z

Axióma je násobenie poradia.

14. (0 £ x) Ç (0 £ y) Þ (0 £ x´y)

Axióma Archimedových prerušení.

15. Pre ľubovoľné a> b> 0 ісує m N і n Q také, wо m ³ 1, n< b и a= mb+n.

*****************************************

Systém racionálnych čísel je teda pojmom aritmetiky.

Protest, z pohľadu praktických obschlyuvalnyh zavdan tsієї movi javí neadekvátne.

V školskom kurze matematiky sa čísla začali konštruktívnou cestou založenou na potrebe tráviť čas. Tiež meno bulo je nepopierateľné a často viedlo k záblesku hluchého kuta. Napríklad výživa je o kontinuite reálnych čísel, takže v celej partii sú prázdne miesta. To znamená, že pri uskutočňovaní matematických pokrokov je potrebné, aby matky striktne rozumeli tomu, čomu sa naučili rozumieť, ak chcú byť v rámci takých intuitívnych predpokladov (axióm), aké využívajú prax.

Viznachennya. Sukupn_st of elements x, y, z, ..., ktoré sa majú uložiť z viac ako jedného prvku, byť volaný bez R z týchto počtov, pokiaľ ide o cich objekty, sú zavedené tieto operácie:

Axiómy skupiny I- Axióma operácií skladania.

Na bezlichі R bola zavedená doplnková operácia, takže pre akúkoľvek stávku prvkov aі b taška viem a + b
ja 1. a+b=b+a, a, b R .

ja 2. a+(b + c)=(a + b)+c,a, b, c R .

I 3.Isnu taký prvok, tituly nula myslím 0, čo znamená byť ako a R vikonutsya umova a+0=a.

ja 4. Pre akýkoľvek prvok a R isnu element, youmu rank utláčateľský a spoznať - a, pre ktoré a+(-a) = 0. Prvok a+(-b), a, b R , byť volaný zisk prvkov aі b viem a - b.

Axiómy II-skupiny - axiómové operácie... Na bezlichі R zavedená operáciou viacnásobný, tobto pre byť-ako pár prvkov aі b Pomenovaný je len jeden prvok syr viem a b, potom, keď sa opýtate, povedzte nasledovné:
II 1. ab=ba, a, b R .

II 2 a(bc)=(ab)c, a, b, c R .

II 3. Isnu vziať prvok, tzv sám Mám na mysli 1, čo znamená byť ako a R vikonutsya umova a 1=a.

II 4. Pre byť-koho a 0 je prvok, vaše hodnotenie násilníkov myslím asi 1/ a, pre ktoré a= 1. Element a , b 0, volať súkromné od rozpodilu a na b viem a:b abo abo a/b.

II 5. Prepojenie operácií skladanie a násobenie: pre byť ako a, b, c R vikonutsya umova ( ac + b) c=ac + bc.

Počet objektov, ktorý je spokojný s axiómami skupín I a II, sa nazýva číselné pole alebo jednoducho pole. A všeobecné axiómy sa nazývajú axiómy poľa.

III - tretia skupina axióm - axiómy v poradí. Pre položky R Uzáver je priradený na zákazku. Vono polyagaє v ofenzíve. Pre akékoľvek dva nové prvky aі b maє mіsce jedna s dvoma spіvvіdnoshen: abo a b(čítať " a menej abo dorіvnyuє b"), abo a b(čítať " a viac chi rivno b Vždy, keď prestupujete, mali by ste hovoriť takto:

III 1. a a pre kožu a. Z a b, b skĺzol a = b.

III 2. Prechodnosť. Yaksho a bі b c, potom a c.

III 3. Yaksho a b, potom pre ľubovoľný prvok c mіsce a+c b+c.

III 4. Yaksho a 0, b 0, potom ab 0 .

IV skupina axióm sa skladá z jednej axiómy - axiómy bez prerušenia. Pre neprázdne súpravy Xі Y s R ako pre kožné prvky X Xі r Y zlyhať X < r, isnuє prvok a R, scho som rada

Malý. 2

X < a < r, X X, r Y(obr. 2). Zmena sily sa zvýši na nezmyselný počet zmyslov, ktoré majú na starosti všetku túto silu. Hodnota ceny je jednoznačne stanovená bez akýchkoľvek zmysluplných čísel od presnosti až po špecifickosť jej prvkov. Byť obozretný voči tým, ktorí majú v bezmocných viac ako jeden prvok, je nevyhnutné, pretože bezmocní, byť naskladaní s jednou depriváciou nuly, sú zjavne spokojní so všetkými axiómami. Všetky prvky množiny R sa nazývajú čísla.

Vizuálne už poznáme chápanie prirodzených, racionálnych a racionálnych čísel. Volajú sa čísla 1, 2 1 + 1, 3 2 + 1, ... prirodzené čísla, že їх bezlіch znamená N ... Z hodnoty neobmedzených prirodzených čísel nápoja, ale prídem na charakteristickú silu: yaksho

1) A N ,

3) pre prvok kože x Obsahuje veľké množstvo x + 1 A, potom=N .

Dіysno, s mysľou 2) maєmo 1 A, že pre mocninu 3) to 2 A, ale je v poriadku, že to môžu urobiť samotné orgány 3 A... Oskilki be-yake prirodzené číslo n potom prejdite od 1 posledného doplnku k 1 n A, tobto. N A, a oskіlki za drezom 1 vikonutsya v cene A N , potom A=N .

Na základe sily prirodzených čísel dokážem princíp metóda matematickej indukcie... Yaksho є bezlich tverdzhen, pokožke zubov je priradené prirodzené číslo (té číslo) n= 1, 2, ..., keď sa prinesie, uh:

1) poctivé kalenie od čísla 1;

2) v záujme spravodlivosti, upevnený tým, že je číslom n N nasleduje platnosť čísla n+1;

Potom sa dostaví spravodlivosť celej firmy, tobto. nech je to spevnené dobrým číslom n N .

čísla 0, + 1, + 2, ... meno v číslach, їх bezlіch znamenať Z .

Čísla myslia m / n, de mі n tsіlі a n 0, tzv racionálne čísla... Bez všetkých racionálnych čísel znamená Q .

Diysnі čísla, ktoré nie sú є racionálne, sa nazývajú iracionálny, їх bezlіch znamenať ja .

Víťazné jedlo, môžete, možno, racionálne čísla vziať všetky prvky plurality R? Zásobovanie potravinami je dané axiómou prerušenia. Áno, pre racionálne čísla axióma nesvieti. Napríklad sú viditeľné dve sady:

Je ľahké bachiti, takže pre všetky prvky vidieť nepríjemnosti. Prote racionálnyčísla, ktoré sú podobné dvom číslam, nie sú. V skutočnosti je počet možno len, ale nie racionálny. Celá skutočnosť a aby tí, ktorí vidia iracionálne čísla v súbore R.

Okrem výberu aritmetických operácií pred číslami je možné pracovať na krokoch koreňa. Pre akékoľvek číslo a R že prirodzené n krok a n začať yak tvir n spivmnikiv, rivnykh a:

Pre viznachennyam a 0 1, a>0, a- n 1 / a n, a 0, n je prirodzené číslo.

zadok. Bernoulliho nekonzistentnosť: ( 1 + x) č> 1 + nx Prineste cestou Induktsiya.

Poď a>0, n je prirodzené číslo. číslo b byť volaný kornnyam n-tý krok z číslo a, yaksho b n = a... Zároveň je to napísané vo vipadku. Pocit jednoty pozitívneho koreňa akéhokoľvek kroku n Akékoľvek kladné číslo bude znížené na strane 7.3.
Koreň dvojitého kroku a 0 môže mať dve hodnoty: yaksho b = , k N potom th -b=. Spoločnosť Spraved, s b 2k = a viplyaє, scho

(-b)2k = ((-b) 2 )k = (b 2)k = b 2k

Nechcem byť nazývaný jogom aritmetické hodnoty.
Yaksho r = p / q, de pі q tsіlі, q 0, tobto. r je racionálne číslo, potom pre a > 0

(2.1)

S takou hodnosťou krok a r určené pre akékoľvek racionálne číslo r... Pre racionálne r maє mіsce rіvnіst

a -r = 1/a r.

Krok a x(číslo X byť volaný indikátor kroku) pre akékoľvek užitočné číslo X nasledovať pomoc krok bez prerušenia s racionálnym ukazovateľom (úžasný proces v článku 8.2). Pre akékoľvek číslo a R nie pozri číslo

hovor si jogo absolútna hodnota abo modul... Platné sú absolútne hodnoty čísel

|a + b| < |a| + |b|,
||a - b|| < |a - b|, a, b R

Smrad je privádzaný pomocou mocniny I-IV čísel.

Úloha axiómy prerušenia pri podnecovaní matematickej analýzy

Význam axiómy neprerušenia je rovnaký, že bez nej je matematická analýza Suvora pobudova nešťastná. [ dzherelo neuvedené 1351 dní] Na ilustračné účely je možné vyvolať množstvo základných dôkazov analýzy, ktoré dokazujú, že špirálovito stúpajú do neprerušenia reálnych čísel:

· (Weiєrstrasova veta). Be-yaka obklopený monotónne rastúcou vytrvalosťou zbližovať sa

· (Bolzanova - Cauchyho veta). Bez prerušenia funkcie, ktorá na konci dňa znamenie, otočte na nulu vo vnútornom bode deyak_y vidrizky

· (Vidieť statické, demonštratívne, logaritmické a všetky goniometrické funkcie vo všetkých „prirodzených“ oblastiach hodnoty). Napríklad, má to byť dobrý nápad, aby to bolo riešenie. Pripúšťa dôležitosť virázy pre všetkých racionálnych ľudí:

Nareshty, znalosť neprerušenia číselnej priamky môže byť pre istého človeka výrazným virázom. Podobne, zhubná sila neprerušenia sa zvyšuje na počet tých, ktorí sú ako tí.

Triviálny historický pokrok hodinových matematikov priniesol do analýzy teorémy, v „tenkej matematike“ využili geometrický základ a v niektorých prípadoch – v minulosti – bola cena zrejmá. Na druhej strane sa bez jasnej viditeľnosti stratilo chápanie nerušenosti vikaristov. Až v poslednej tretine 19. storočia sa slávny matematik Karl Vejurstras po rozbore aritmetickej analýzy nechal presvedčiť, aby napísal teóriu reálnych čísel ako nespočetné desiatky zlomkov. Win proponuvav klasického významu slova, ktoré priniesli množstvo tverdzens, ktoré boli rešpektované "zrejmé", a sami dokončili podnecovanie základov matematickej analýzy.

Piznіshe bulo navrhol іnshі ísť na hodnotu pracovného dátumu. V axiomatickom prístupe je kontinuita reálnych čísel jasne viditeľná okolo axiómy. V konštruktívnych prístupoch k teórii návrhového čísla, napríklad, keď sú reálne čísla vyzvané pre dodatočné Dedekindove prerušenia, mocnina bez prerušenia (pre toto, vzorec) je vychovaná ako veta.

Інші vzorec kvality bez prerušenia a ekvivalentné návrhy [ed. redaguvati vіki-text]

Je to malý kúsok mladého tverdzhena, ktorý dokáže otáčať silou bez prerušenia v číslach. Kozhen z týchto princípov možno dať do základu teórie pracovného čísla ako axiómu neprerušenia az nej vziať do úvahy všetky myšlienky. Nahláste cenu jedla, o ktorej sa bude diskutovať pri útočnej distribúcii.

Prerušenie pre Dedekinda[ed. redaguvati vіki-text]

Hlavný článok:Teória prepisov vo sfére racionálnych čísel

Potrava o kontinuite reálnych čísel Dedekind sa pozerá na svojho robota „Prerušované a racionálne čísla“. Noví víťazi majú rasové čísla s rovnými bodkami. Yak vidomo, medzi racionálnymi číslami a rovnými bodkami, môžete nastaviť konzistenciu, ak budete vibrovať rovno klasový bodže jeden vimira vіdrіzkіv. Na ostatné je možné podľa kožného rasového čísla ukázať alternatívne pohľady a otočiť ho doprava alebo doľava, čudovať sa, že číslo je kladne záporné, bod opraviť podľa číslo. V takom poradí sa kožné racionálne číslo javí ako jeden alebo menej ako jeden bod na priamke.

Zároveň sa zdá, že na priamke є nezmyselné body, ktoré nezodpovedajú rovnakému racionálnemu číslu. Napríklad bod, je orezaný pridaním diagonálneho štvorca, vyzvaný na jeden tvar. Obor racionálnych čísel teda nemôže byť opakované, čo takto bez prerušenia ako sila priamky.

Shcheb z'yasuvati u koho polyagaє tsya bez prerušenia, Dedekind okrádajú ofenzívu rešpektu. Ak je priamy bod rovný, potom všetky priame body spadajú do dvoch tried: body pravej ruky a body vpravo. Pointa sama o sebe sa dá celkom priviesť k nižšej alebo vyššej triede. Dedekind vbachaє deň bez prerušenia na vokálnom princípe:

Geometricky je princíp є zrejmý; Dedekind prichádza do úvahy, ale podľa podstaty je celý princíp postulát, v ktorom sa otáča podstata tejto priamej sily, ktorá sa pripisuje tomu, čo bez prerušenia nazývame.

Že je väčšia inteligencia v neprerušenosti číselnej priamky v zmysle Dedekinda, je zrejmejšie, že nespočetné čísla sú prepletené, takže všetky čísla v jednej triede sa dajú zhodovať, takže všetky čísla v jednej triede by mali ležať v priamka na číslach Trieda Tsi sa volá menom nižšieі vyššie triedy prvoradé. Teoreticky 4 možnosti:

1. Nižšia trieda má maximálny prvok, horná trieda nemá minimum

2. Nižšia trieda nemá maximálny prvok a horná trieda má minimum

3. Nižšia trieda má maximum a horná trieda má minimálny prvok.

4. Nižšia trieda nemá maximum a horná trieda má minimum

Pri prvej a druhej na jeseň presahuje maximálny prvok spodnej alebo minimálny prvok hornej formy a vírusové prekročenia. Tretia vipadku mi maєmo huba a štvrtý - probil... V takejto hodnosti neprerušenie číselného priameho znamená, že v bagatoku skutočných čísel nie sú žiadne pruhy, žiadne paseky, takže, obrazne povedané, zrejme nie je prázdny.

Ak zavedieme chápanie opakovania množiny platných čísel, potom princíp neprerušovaného Dedekinda možno formulovať nasledovne.

Princíp neprerušovaného Dedekinda (povnoti). Pre kožné opakovanie viacerých platných čísel existuje číslo, ktoré je vírusovým opakovaním.

Rešpekt. Vzorec Axiomi prerušení o bode, kde sú dve množiny bodov, ešte viac vzorec pre princíp neprerušenia Dedekinda. V skutočnosti je potvrdenie ekvivalentné a podľa dňa rôznymi vzorcami jedného a toho istého. Tomu hovorím priestupok princíp neprerušovaného fungovania čísel za Dedekindom.

Lema o investíciách typu (princíp Cauchy - Cantor)[ed. redaguvati vіki-text]

Hlavný článok:Lema o investíciách

Lema o investíciách (Koshi - Cantor). Be-yak systém investičných vkladov

Nie som prázdny peretín, aby sme si zobrali jedno číslo, aby sme sa zmestili do všetkých rôznych častí celého systému.

Yaksho, okrem toho, je to viac než dosť

potom prepojenie reťazca systémov a úložiska z jedného bodu.

Sila Qiu sa nazýva bez prerušenia neobmedzených počtov zo zmyslu Cantora... Nižšie bude ukázané, že pre archimediánové usporiadané polia je kontinuita podľa Cantora ekvivalentná kontinuite podľa Dedekinda.

Najvyšší princíp[ed. redaguvati vіki-text]

Princíp supremum. Byť ako neprázdny, obklopený zhora z neobmedzeného počtu, existuje supremum.

V kurzoch matematickej analýzy výroku vyvolajte vetu a dokážte, že v týchto tvaroch neexistuje žiadne prerušenie v neobmedzenom počte čísel. Zároveň je možné navpakovať, postulovať supremum akéhokoľvek neprázdna, prepleteného zhora a priniesť napríklad princíp neprerušovanosti podľa Dedekinda. V takejto hodnosti je veta o supreme є jeden z ekvivalentných vzorcov pre mocninu neprerušovaných čísel.

Rešpekt. Najvyššie môže byť nahradené podriadeným chápaním informácie.

Princíp informovanosti. Byť ako nie prázdny, obklopený spodnou časťou bezmocných čísel maє іnfіmum.

Tento návrh je tiež ekvivalentný princípu neprerušovaného Dedekinda. Navyše sa dá ukázať, že z konsolidovaných viet o supreme, upevnených viet o informácii a navpaki (odd. Dolné).

Lema o kintsev pokrittya (princíp Heine - Borel)[ed. redaguvati vіki-text]

Hlavný článok:Lemma Heine - Borel

Lema o kintsev pokrittya (Heine - Borel). Či už ide o systém intervalov, ktorý zastrešuje pohony, existuje jednoduchý systém matice, ktorý pohony zakrýva.

Lema hraničného bodu (Bolzano - Weirstrassov princíp)[ed. redaguvati vіki-text]

Hlavný článok:Bolzanova - Weyrstrasova veta

Lema hraničného bodu (Bolzano – Veyrstras). Či už to nie je nekonečné, číselná množina môže mať jeden hraničný bod.

Ekvivalencia reči, ako sa otáčať bez prerušenia nezmeniteľnými číslami [vyd. redaguvati vіki-text]

Strašne deyakі pred strašným. Podľa axiomatickej hodnoty platného čísla je podobnosť platných čísel vyhovujúca trom skupinám axióm. Prvá skupina - axiómy poľa. Ďalšia skupina je ovplyvnená skutočnosťou, že počet reálnych čísel je lineárne usporiadaný podľa množiny a toto poradie je založené na základných operáciách poľa. V takejto hodnosti persha a ďalšie skupiny axióm znamenajú, že počet reálnych čísel je v poradí poľa. Tretia skupina axióm je zložená z jednej axiómy - axiómy bez prerušenia (alebo inak).

Aby sme ukázali ekvivalenciu rôznych vzorcov bez prerušenia v číslach, je potrebné priviesť usporiadané pole k jednému z počtu výrokov, rovnako ako k spravodlivosti riešenia.

Veta. Hej, veľa vecí je usporiadaných podľa riadkov. Krokové tuhnutie je ekvivalentné:

1. Nebolo by to tak, že existuje veľa nečistých vecí, ale pre akékoľvek dva prvky a pre akékoľvek dva prvky budú nezrovnalosti, taký prvok, ale pre všetkých a pre každého

2. Pre byť ako prepísanie prvku, ktorý je prevažujúci

3. Be-yaka neprázdny obklopený zhora bez lich maє supremum

4. Be-yaka neprázdny obklopený dole bez lich maє інфімум

Z celej vety je to vidieť, pretože výroky o zhubnosti sú zbavené tých, keď nie je zavedený lineárny poriadok a štruktúra poľa nie je zhubná. V takom poradí ich koža ohýba moc ako lineárne usporiadaná množina. Nazýva sa mocnina (celkom lineárne usporiadaná množina, nie nevyhnutne bez akýchkoľvek ľubovoľných čísel). bez prerušenia alebo inak pre Dedekinda.

Dôkaz o rovnocennosti týchto tvrdení si bude vyžadovať aj štruktúru poľa.

Veta. Poď - ihrisko je v poriadku. Nadchádzajúce návrhy sú rovnaké:

1. (ako lineárne usporiadané bez lich) є Nasledujme Dedekinda

2. Pre vikonannya princípu Archimedesі princíp investovania úverov

3. Pre vikonannya na princípe Heine - Borel

4. Pre aplikáciu Bolzano-Weirstrassovho princípu

Rešpekt. Z teorém je zrejmý princíp prispievania k sebe samému nie silný princíp neprerušovaného Dedekinda. Na princípe neprerušenia Dedekind viplivaya, princíp investovania do vidrizkiv, ochrancu pre hlasovú potrebu dodatočného upnutia, aby pole nebolo dobre usporiadané, spokojný s axiómami Archimedes

Dôkaz vedúcich teorémov možno nájsť v knihách a v nižšie uvedenom zozname odkazov.

· Kudrjavcev, L. D. Kurz matematickej analýzy. - 5-takých. - M .: "Drop", 2003. - T. 1. - 704 s. - ISBN 5-7107-4119-1.

· Fіkhtengolts, G.M. Základy matematickej analýzy. - 7. pohľad. - M .: "FIZMATLIT", 2002. - T. 1. - 416 s. - ISBN 5-9221-0196-X.

· Dedekind, R. Nepravidelnosť a iracionalita = Stetigkeit und irrationale Zahlen. - 4 opravené pohľady. - Odessa: Mathesis, 1923 .-- 44 s.

· Zorich, V.A. Matematická analýza. Časť I. - Pohľad. 4 jedničky, vipr. - M.: "MCNMO", 2002. - 657 s. - ISBN 5-94057-056-9.

· Kontinuita funkcií a číselných oblastí: B. Bolzano, L. O. Koshi, R. Dedekind, G. Kantor. - 3-tє typ. - Novosibirsk: ANT, 2005 .-- 64 s.

4.5. Axióma prerušenia

Napríklad dve neprázdne množiny ľubovoľných čísel A a

B, pre niektoré prvky a ∈ A a b ∈ B.

a ≤ b je tiež číslo λ, ale pre všetky a ∈ A, b ∈ B neexistuje

parita a ≤ λ ≤ b.

Sila neprerušovaného počtu čísel znamená,

ale priamo stlmiť „prázdno“, takže ide o to, aby sa zobrazili čísla na zapamätanie

všetka reč visí.

Damo formuláciu axiómy bez prerušenia. Pre tsiogo zadajte

Obchodná hodnota 1.4.5. Dve množiny A a B nazivatimo peretín

veľa čísel, napr

1) množina A a B nie je prázdna;

2) spojenie súboru skladov A a B

ich počet;

3) číslo kože A je menšie ako číslo B.

Tobto kozhna veľa, poviem peretin, chcem sa jednému pomstiť

prvok, ktorý sa mnohým nepomstí vonkajšie prvky i, ak a ∈ A і b ∈ B, potom

Bezlich A sa nazýva nižšia trieda a bezlich B je vyššia

prekročenie triedy. Iniciujte prechod cez A B.

S tými najjednoduchšími zadkami

fúkanie hodnosti. Každopádne, číslo α je flexibilné

A = (x x< α } , B = { x x ≥ α } . Легко видеть, что эти множества не пусты, не пере-

ak a ∈ A і b ∈ B, potom a< b , поэтому множества A и B образуют

perepiz. Rovnako tak môžete zmenu schváliť, v mnohých

A = (x x ≤ a), B = (x x > a).

Takáto re-inkubácia nazivatimo re-inkubácia, generovaná číslom α alebo

Povieme, že číslo α je platné. Môžete napísať yak

Pererezi, chovaný, buď číslo, dve tsikavi

orgány:

Sila 1. Pre vyššiu triedu na pomstu najnižšie číslo av nižšej

trieda nie je najlepšie číslo, alebo nižšia trieda sa má pomstiť tým najčistejším

hľa, a vyššia trieda nie je najmenšia.

Moc 2. Počet, koľkokrát je číslo vírusové.

Objaviť sa, axióma neprerušenia

línia je pevná, hovorím tomu Dedekindov princíp:

Dedekindov princíp. Pre kožnú recesiu číslo, ktoré sa splní

tse peretin.

Ekvivalencia cich tverdzhen je dosiahnuteľná.

Nech je axióma prerušenia pravdivá a je daná ako

chennya A B. Todi, klasici A a B sú spokojní s mysľou, formou-

v axiómach, ak je číslo λ tiež, ale a ≤ λ ≤ b pre ľubovoľné čísla

a ∈ A a b ∈ B. Ak je číslo λ iba jedna alebo menšie ako jedna

triedy A alebo B, potom jedna z nepravidelností a ≤ λ< b или

a< λ ≤ b . Таким образом, число λ либо является наибольшим в нижнем классе,

pre tých, ktorí majú najmenej vo vyššej triede a chovajú pererez.

Späť, nehej princíp Dedekind a nastavte dva neprázdne

množinu A і B takú, že pre všetky a ∈ A і b ∈ B

a ≤ b. Podľa B, nezmyselné čísla také, že a ≤ b pre ľubovoľné

b ∈ B a všetky a ∈ A. Todi B ⊂ B. Pre bezlich A je akceptovatelny bezlich

сіл, nevstupujte do B.

Je zrejmé, že veľa A a B bude presahovať.

Pravda, očividne mnohé B nie sú prázdne, úlomky pomsty

nevyprázdnenie súpravy B. Ak A nie je prázdne, potom ak číslo a ∈ A,

potom číslo a - 1∉ B, oskіlka byť ako číslo, ísť hore na B, ale nie menej

čísla a, tiež a - 1∈ A.

bezl_ch vsetky platne cisla, cez vibir setu.

Ja, nareshtі, ak a ∈ A і b ∈ B, potom a b. Spraved, yaksho yakes

číslo c je spokojné s nepravidelnosťami c> b, ak b ∈ B, potom bude

parita c> a (a je dostatočný prvok množiny A) і c ∈ B.

Otzhe, A і B schvaľujú prvoradé, і na základe princípu Dedekind, ісnu

lo λ, scho je plemeno

Je možné, že číslo by nemalo byť v triede A. Dyysno-

ak λ ∈ A, potom ak existuje číslo a * ∈ A, potom λ< a* . Тогда существует

číslo a ′, ktoré leží medzi číslami λ a a *. NESPRÁVNOSŤ a ′< a* следует, что

a ′ ∈ A len kvôli nepravidelnostiam λ< a′ следует, что λ не является наибольшим в

triedy A, čo je v rozpore s Dedekindovým princípom. Z toho istého bude číslo λ

deti, ktoré sú zamestnané triedou B a všetkými a ∈ A a dochádza k nesúladu

a ≤ λ ≤ b, ale je potrebné ho vyvolať.

V takejto hodnosti sa moc formuje v axióme, že moc,

Formulované na princípe Dedekind Equivalent. Nadal či

bezmocné čísla reči a bez prerušenia

za Dedekindom.

Bez prerušenia Dedekinda nasledujú nezmyselné čísla

dve dôležité vety.

Veta 1.4.3. (Archimedov princíp) Yake by nebolo rečové číslo

a, ak prirodzené číslo n je tiež a< n .

Je prípustné, že tuhnutie teorémov je nesprávne, takže je

číslo b0, takže neistota n ≤ b0 pre všetky prirodzené čísla

n. Rozib'єmo bezplatné čísla do dvoch tried: do triedy B na týždeň

musí byť číslo b, ktoré vyhovuje nepravidelnostiam n ≤ b pre akékoľvek prirodzené n.

Celá trieda nie je prázdna, takže máte číslo b0. Všetko do triedy A

čísla sita. Celá trieda nemusí byť prázdna, teda prirodzené číslo

vojsť pred A. Trieda A a B sa neprevráti

súbor všetkých platných čísel.

Ak vezmeme dostatočný počet a ∈ A a b ∈ B, potom je to prirodzené

číslo n0 je rovnaké, ak a< n0 ≤ b , откуда следует, что a < b . Следовательно, классы

A a B súhlasia s Dedekindovým princípom a číslom α, ako

plemeno peretin A B, tobto є alebo najväčší v triede A, ch-

viac najlepších v triede B. Ak pustíte, ak α vstúpite do triedy A, potom

je možné prirodzene poznať n1, pre ktoré je zrakovo postihnutý α< n1 .

Keďže n1 môže byť zahrnuté do A, potom číslo nebude najväčšie v celej triede,

tiež naša preferencia є nevirnim і α є

trieda B.

Zboku je číslo α - 1 a môžete vstúpiť do triedy A. Slidov-

existuje teda prirodzené číslo n2 aj α - 1< n2 , откуда получим

α < n2 + 1 . Так как n2 + 1 - натуральное число, то из последнего неравенства

kde α ∈ A. Otrimane nedokázať vetu.

Slidstvo. Yakim b nie sú boolovské čísla a a b, takže i, uh 0< a < b , существует

prirodzené číslo n, pre ktoré je jedna inertná na> b.

Aby sme to dokázali, stačí Archimedov princíp

a urýchliť silu nepravidelností.

Trochu jednoduchého geometrického zmistu: Yakimi by nešikanoval dvoch

od jedného z nich, naposledy od jedného z posledných

ak je najmenší, potom na koniec počtu crocsov môžete ísť nad rámec

veľké množstvo.

Dodatok 1. Prineste, pre akýkoľvek malý počet

Ale nehovorím číslo t len ako

t n = a, n ∈, n ≥ 2.

Qia teorém o odstránení aritmetického koreňa n-tej úrovne

z malého čísla v školskom kurze algebry sa to dá absolvovať bez dokazovania.

štát.

☺ Ak a = 0, potom x = 0;

malý koreň čísla a je potrebný pre a> 0.

Pripúšťa sa, že a> 0 і rozіb'єmo je násobok všetkých možných čísel

do dvoch tried. Do triedy B, všetky kladné čísla x, ako spokojný

vytvárať nepravidelnosti x n> a, trieda A, vyrážka.

Podľa axiómy Archimada prečítaj prirodzené čísla k a m so, scho

< a < k . Тогда k 2 ≥ k >a ta 2 ≤< a , т.е. оба класса непусты, причем класс

Odvetné kladné čísla.

Je zrejmé, že ak A ∪ B = і ak x1 ∈ A і x2 ∈ B, potom x1< x2 .

V takejto hodnosti trieda A a B schvaľuje pererez. Číslo, ktoré urobím

perepiz, významovo cez t. Todi t abo є najväčší počet tried

ce A, alebo najmenej v triede B.

Je prípustné, aby t ∈ A і t n< a . Возьмем число h , удовлетворяющее нера-

manželstvo 0< h < 1 . Тогда

(t + h) n = t n + Cnt n − 1 h + Cn t n − 2 h2 + ... + Cnn hn< t n + Cnt n−1h + Cn t n−2h + ... + Cn h =

Tn + h (Cnt n − 1 + Cn t n − 2 + ... + Cn + Cn t n) - hCn t n = t n + h (t + 1) - ht n =

Tn + h (t + 1) - t n

To je mo (t + h)< a . Это означает,

Zvidsey, ako užívať h<

kde t + h ∈ A, potom nájdeme najmenší prvok v triede A.

Podobne, ak to necháme ísť, t je ten, ktorý má najviac prvkov v triede B,

potom vezmeme číslo h, ale uspokojivo nezrovnalosti 0< h < 1 и h < ,

mo (t - h) = t n - Cnt n − 1 h + Cn t n − 2 h 2 - ... + (−1) Cn h n>

> t n - Cnt n − 1h + Cn t n − 2h + ... + Cn h = t n - h (t + 1) - t n> a.

To znamená, že t - h ∈ B také, že t nemôže byť najmenšie

trieda B. Otzhe, t n = a.

Jedna z mála pár pre t1< t2 , то t1n < t2 .☻ n

Zadok 2. Prineste, shho yaksho a< b , то всегда найдется рациональное число r

tiež, scho a< r < b .

Ak sú čísla a a b racionálne, potom je číslo racionálne a uspokojivé.

Listy potrebných myslí. Vraj chcem jedno z čísel a alebo b

Je napríklad prípustné, aby číslo b bolo iracionálne. Pravdepodobne

stlačte tiež, kde a ≥ 0 a b> 0. Zapisovateľné podanie čísel a a b u diváka

desiatky zlomkov: a = α 0, α1α 2α 3 .... і b = β 0, β1β 2 β3 ..., iné

to nie je periodické. Ak sa odhalí číslo a, tak to urobíme

ty, uh, ak je číslo a racionálne, potom sa píše abo kintseva, abo tse

dieťa, obdobie, ktoré nie je vhodné 9.

Oskіlki b> a teda? 0? 0; ak β 0 = α 0, potom β1 ≥ α1; ak β1 = α1, potom β 2 ≥ α 2

a tak ďalej, pričom existuje rovnaká hodnota i pre akúkoľvek budúcnosť

Suvorova nekonzistentnosť stúpa βi> αi. Todi číslo β 0, β1β 2 ... βi bude racio-

ak ležia medzi číslami a a b.

Yaksho a< 0 , то приведенное рассуждение надо применить к числам a + n и

b + n, de n je prirodzené číslo, tiež n ≥ a. Pád takého čísla

viplivay z axiómy Archmeda. ☻

Obchodná hodnota 1.4.6. Nedávajte poslednú správu na číselnú os

([an; bn]), an< bn . Эту последовательность будем называть системой вло-

vіdrіzkіv, ako pre kohokoľvek n to vikonuyutsya nezrovnalosti an ≤ an + 1 і

Pre takýto systém,

[al; b1] ⊃ [a2; b2] ⊃ [a3; b3] ⊃ ... ⊃ [an; bn] ⊃ ...,

aby sa koža nástupu frontu pomstila na fronte.

Veta 1.4.4. Pre akékoľvek systémy a investície

vziať jeden bod, ako vstúpiť z kože cich vidrizkiv.

Existujú dve množiny A = (an) a B = (bn). Zápach nie je prázdny і pre byť-ako

n ja m< bm . Докажем это.

Ak n ≥ m, potom an< bn ≤ bm . Если n < m , то an ≤ am < bm .

S takouto hodnosťou sú triedy A a B spokojné s axiómami bez prerušenia a

tiež číslo je tiež, ale an ≤ λ ≤ bn pre ľubovoľné n, tj. tse

číslo vyzerať ako vidrizku [an; bn] .◄

Spresnime vetu (Veta 2.1.8).

Tvrdenie formulované vo vete 1.4.4 sa nazýva princíp

Cantor a bezlich, dobre spokojní s mysľou,

prerušiť podľa Cantora.

Priniesli ma, no, ako keby boli v poriadku bez akýchkoľvek prerušení podľa Dedi-

Kindu, potom v novom Vicon Archimedov princíp nevyhnutne nasleduje Cantor.

Môžete priniesť, že veľa je objednané, v

tsip od Archmeda a Cantora, bude pre Dedekinda bez prerušenia. Dovedennya

skutočnosť pomstiť sa napr.

Princíp Archimedes umožňuje kožný vzhľad priame

yake je kladné číslo, ktoré je spokojné s mysľou:

1. Rovná sa danému dátumu;

2. Kedykoľvek východiskový bod AC a výstupu AV a BC ukazuje čísla a a

b, potom AS zobrazí číslo a + b;

3. Osoba je informovaná o čísle 1.

Počet indikácií pre pokožku a pre myseľ 1-3 na-

dá sa to nazvať darovaním veľkého množstva.

Cantorov princíp vám umožňuje priniesť pre pokožku pozitívne

číslo môže byť známe v počte až do dátumu zodpovedajúceho čísla. V takej hodnosti,

mіzh bez kladných kladných čísel a bez

kiv, pri pohľade z pravého bodu priamky na danej strane

zo stredu bodu je možné ustanoviť obojstranne jednoznačné tvrdenie.

Tse umožňujú dátumom hodnoty číselnej osi zadať typ miesta

Kontrolujem to rečovými číslami a bodkami na priamke. Pre veľa deco

dobre, rovno a vibruj do ni bodu Oh, ako rozdeliť qiu rovno na dve

o mne. Jedna z týchto zmien sa nazýva pozitívna a druhá áno

ho. Todi hovorí, mimochodom, otočili to rovno na rovnú čiaru.

Obchodná hodnota 1.4.7. Numerické visu je nazivatimno priame, na jaka

a) bod O, ktorý sa nazýva klas alebo klas súradníc;

b) priamo vpred;

c) z jedného dojini.

Teraz je číslo reči kože a nahradené bodom M na čísle-

Vitta je taká priamočiara, schob

a) číslu 0 bolo priradené klasy súradníc;

b) OM = a - Dovzhina sa vyberie z klasu súradníc do bodu M dverí

modul čísla;

c) ak a je kladné, potom sa bod berie na kladnú výmenu і, ec-

ak je negatívny, potom je negatívny.

Celé pravidlo bude stanovené obojstranne jednoznačným spôsobom

bez rečových čísel a bez bodov na priamke.

Číslo nazveme aj rovno (hore) reč

Zvidsi sa môže pochváliť aj geometrickým prútikom modulu na čistenie reči

la: modul počtu ciest od klasu súradníc k bodu

na číselnej osi je číslo.

Teraz môžeme poskytnúť geometrický výklad orgánov 6 a 7

modul rečových čísel. S kladným Z číslom x som spokojný

mocnina 6, vyplňte medzeru (-C, C) a čísla x,

výkon 7, ležia na výmenách (−∞, C) alebo (C, + ∞).

Výrazne ešte jedna zázračná geometrická sila rečového modulu.

číslo.

Modul rozdielu dvoch čísel sa nachádza medzi príslušnými bodmi

podľa čísel na rečovej osi.

rx štandardné číselné multiplikátory.

Bez prirodzených čísel;

Bez veľkého množstva čísel;

Bez rasových čísel;

Bez lich čísel;

Bez lich, zjavne, tsilich, racionálnych a rečí-

nerozoznateľné čísla;

Bez komplexných čísel.

Navyše bez ľubovoľných čísel máme na mysli jaka (−∞, + ∞).

Veľa ľudí:

(a, b) = (x | x ∈ R, a< x < b} - интервал;

[a, b] = (x | x ∈ R, a ≤ x ≤ b) - podobné;

(a, b] = (x | x ∈ R, a< x ≤ b} или [ a, b) = { x | x ∈ R, a ≤ x < b} - полуинтерва-

či napivvidrizki alebo nie;

(a, + ∞) = (x | x ∈ R, a< x} или (−∞, b) = { x | x ∈ R, x < b} - открытые лучи;

[a, + ∞) = (x | x ∈ R, a ≤ x) alebo (−∞, b] = (x | x ∈ R, x ≤ b) sú uzavreté promenády.

Nareshti, len my budeme potrebovať nejaký pokrok, pre ktorý nebudeme dôležití,

ľahnúť si na poslednú chvíľu Budeme mať taký pokrok

znamená a, b.

Časť 5 Prepojenie číselných násobkov

Obchodná hodnota 1.5.1. Číselné množstvo X sa nazýva zmiešané

navrchu, ak existuje aj číslo M, ak x ≤ M pre ľubovoľný prvok x

sada X.

Obchodná hodnota 1.5.2. Číselné množstvo X sa nazýva zmiešané

nižšie, ak je číslo m tiež, potom x ≥ m pre ľubovoľný prvok x

sada X.

Obchodná hodnota 1.5.3. Číselná množina X sa nazýva zmiešaná,

ako to je, obklopené zhora a zdola.

V symbolickom zápise je hodnota pohľadu nasledovná

množina X je obklopená vrcholom, ak ∃M ∀x ∈ X: x ≤ M,

ohraničené nižšie, kde ∃m ∀x ∈ X: x ≥ m

prekladané, kde ∃m, M ∀x ∈ X: m ≤ x ≤ M.

Veta 1.5.1. Číselná pluralita X je obklopená todі a iba todі,

ak existuje číslo C, rovnaké pre všetky prvky x

vidieť nekonzistenciu x ≤ C.

Nehay bezlich X je obkoleseny. Spoľahlivo C = max (m, M) - nájsť

viac ako čísla m a M. Todi, vikoristovuyu sila rečového modulu

čísla, rozpoznateľné ako nepravidelnosti x ≤ M ≤ M ≤ C і x ≥ m ≥ - m ≥ −C,

f, kto x ≤ C.

Späť, ak vidíte neistotu x ≤ C, potom −C ≤ x ≤ C. Tse і є tre-

buє, pre oblasť M = C і m = −C.

Číslo M, ktoré je v hornej časti obklopené množstvom X, sa nazýva horné

cordon mnogini. Yaksho M - horná hranica množiny X, potom be-yake

číslo M', ktoré je väčšie ako M, môže byť tiež hornou hraničnou hodnotou súboru.

V takomto rangu môžeme hovoriť o bezmocnom zvršku medzi zástupom

X. Nezmyselnými hornými zámenami od M. Todiho, ∀x ∈ X a ∀M ∈ M

bude vicononova nepravidelnosť x ≤ M, tiež podľa axiómy bez prerušenia

existuje aj číslo M 0, x ≤ M 0 ≤ M. Celé číslo sa nazýva presné

žiadna horná hranica číslo množina X alebo horný okraj

množina alebo supremum množiny X і znamená M 0 = sup X.

V takejto hodnosti nám priniesli, že koža nie je prázdna od číselnej množiny,

obmezheniya zhora, zavzhdnu matochu hornú hranicu.

Je zrejmé, že parita M 0 = sup X platí pre dve mysle:

1) ∀x ∈ X, nerovnosť x ≤ M 0, tj. M 0 - horná hranica bagata

2) ∀ε> 0 ∃xε ∈ X, avšak nerovnosť xε> M 0 - ε, tj. qiu gra-

nіtsyu nemožno maľovať (zmeniť).

Aplikácia 1. Množina X = ⎨1 - ⎬ je zrozumiteľná. Pravdepodobne, sup X = 1.

☺ Spravodlivé, v Pershe, neefektívnosť 1 -< 1 выполняется для любого

n ∈; iným spôsobom, ak vezmeme kladnejšie číslo ε, potom o

Podľa Archimedovho princípu možno poznať prirodzené číslo nε, tiež nε>. to-

kde bude viconano inkonzistencia 1 -> 1 - ε, tobto. vedieť, že prvok xnε je

je X, väčšia dolná 1 - ε, scho znamená, scho 1 - najmenšia horná hranica

Podobne možno uviesť, že ak je veľa ohraničené nižšie, potom

Urobím spodný okraj a budem sa volať spodný okraj.

new alebo informácia o množine X a je označená inf X.

Rovnosť m0 = inf X je dostatočná pre mysle:

1) ∀x ∈ X nerovnosť x ≥ m0;

2) ∀ε> 0 ∃xε ∈ X tak, že nerovnosť xε< m0 + ε .

Ak má množina X є najväčší prvok x0, potom sa nazýva

maximálny prvok násobiteľa X і priemer x0 = max X. Todі

sup X = x0. Podobne, ak má súbor najmenší prvok, potom

budeme to nazývať minimálne, znamená min X i vin bude in-

Názov množného čísla X.

Napríklad bez prirodzených čísel je najmenší prvok

odinitsu, yak jednu hodinu a veľa informácií. Supre-

muma tsya bezl_ch nie je moja, takže nie je є obklopená zhora.

Hodnota presnej hornej a dolnej medzi môže byť rozšírená o

veľa, nie susediace nad alebo pod, vvazayuchi, sup X = + ∞ alebo, resp

inf X = −∞.

Na záver sformulujem reťaz mocností hornej a dolnej gra-

Sila 1. Nekhai X - deyake nespočetné množstvo. Výrazne cez

- X bezlich (- x | x ∈ X). Todi sup (−X) = - inf X і inf (−X) = - sup X.

Moc 2. Nekhai X - deyaka číselnej množiny λ - reč

číslo. Nech je λ X nezmyselné (λ x | x ∈ X). Todi, ak λ ≥ 0, potom

sup (λ X) = λ sup X, inf (λ X) = λ inf X і, kde λ< 0, то

sup (X) = inf X, inf (X) = sup X.

Výkon 3. Nehay X1 a X2 - čísla. Výrazne cez

X1 + X 2 bez lіch (x1 + x2 | x1 ∈ X 1, x2 ∈ X 2) і až X1 - X 2 bez lіch

(x1 - x2 | x1 ∈ X1, x2 ∈ X 2). Todi sup (X 1 + X 2) = sup X 1 + sup X 2

inf (X1 + X 2) = inf X1 + inf X 2, sup (X 1 - X 2) = sup X 1 - inf X 2 і

inf (X1 - X 2) = inf X1 - sup X 2.

Mocnina 4. Nehay X1 a X 2 sú číselné násobnosti, ktorých všetky prvky sú

rikh nevid'єmnі. Todi

sup (X1 X 2) = sup X1 ⋅ sup X 2, inf (X1 X 2) = inf X 1 ⋅ inf X 2.

Evidentne napríklad pretrvávanie rovnosti s úradmi 3.

Nech x1 ∈ X1, x2 ∈ X 2 і x = x1 + x2. Todi x1 ≤ sup X1, x2 ≤ sup X 2 ma

x ≤ sup X1 + sup X 2, hviezdičky sup (X1 + X 2) ≤ sup X1 + sup X 2.

Ak chcete priniesť vlastnícky nesúlad, v závislosti od počtu

r< sup X 1 + sup X 2 . Тогда можно найти элементы x1 ∈ X1 и x2 ∈ X 2 такие,

scho x1< sup X1 и x2 < sup X 2 , и выполняется неравенство

r< x1 + x2 < sup X1 + sup X 2 . Это означает, что существует элемент

x = + x1 x2 ∈ X1 + X2, čo je väčšie ako číslo y і

sup X1 + sup X 2 = sup (X1 + X 2) .◄

Dôkazy týchto orgánov sa vykonávajú podobným spôsobom a musia

nyayutsya readachevі.

§ 6 Rachunkov a nie nekonečne veľa

Obchodná hodnota 1.6.1. Prvých n prirodzených čísel nie je viditeľných

n = (1,2, ..., n) і pôsobenie množiny A. Dokážem sa spolu postaviť

jednoznačne podobnosť medzi A a n, potom bez A bude

kintsev.

Obchodná hodnota 1.6.2. Dovoľte mi dať vám trochu A. Môžeš

Stanovte obojstranne jednoznačné potvrdenie neprítomnosti a

bez prirodzených čísel, potom bez

Obchodná hodnota 1.6.3. Ak je to bezlich A, je to úplne rakhunkov, potom budeme

Viriti, nebudeš viac ako Rakhunkov.

V takom rangu bude bezl_ch rakhunkovo, kde tento prvok moze byt

vďakyvzdanie do posledného.

Aplikácia 1. Bez spárovaných čísel - viac, obrázky obrázku n ↔ 2n

є obojstranne jednoznačný pohľad na absenciu prirodzeného

čísla a bez spárovaných čísel.

Je zrejmé, že takéto vyhlásenie môže byť stanovené nie jednou hodnosťou.

priblížiť. Napríklad je možné stanoviť istotu medzi

nistyu (celé číslo), po zistení totožnosti takýmto spôsobom

Sústava axióm teórie celých čísel nie je štvorcová, ako sa myslí práve 3.1.4.

Veta 1. Axiomatická teória celých čísel je nešpecifická.

Doručené. Pretože axiomatická teória prirodzených čísel je nezrozumiteľná, axiomatická teória prirodzených čísel je nezrozumiteľná. Pre všetkých bude model povzbudzovaný, aby popieral všetky axiómy našej teórie.

Zbierka zbuduєmo prsteňa. Jednoznačne bezl_ch

N´ N = {(a, b)ï a, bÎ N}.

a, b) prirodzených čísel. S takouto dvojicou rozumu je rozdiel prirodzených čísel a - b... Tvrdenia nie sú prenesené do obrazu sústavy celých čísel, takto je rozdiel jasný, takto označovaný svet nie je v poriadku. Práve v tú hodinu je tiež dôvod dať silu párov nám.

Vieme, že rozdiel v prirodzených číslach možno pripočítať k rovnakému celému číslu. V podstate je možné do nej vstúpiť aj bez nej N´ N výkon:

(a, b) = (c, d) Û a + d = b + c.

Nie je dôležité to spomenúť, ale cieľ je reflexívny, symetrický a tranzitívny. Otzhe, neexistuje právo nazývať sa rovnocennosťou. Faktor-multiplicity bez N´ N Z... Jogo prvky a nazivatimemo celé čísla. Vôňa є triedy ekvivalencie pre voľné páry. Klas, pomstiť sa páru
(a, b), ktorý možno označiť [ a, b].

Z a, b] yak o maloobchode a - b

[a, b] + [c, d] = [a + c, b + d];

[a, b] × [ c, d] = [ac + bd, ad + bc].

Snímka pamäti, scho, presne sa zdá, tu je správny spôsob, ako osláviť symboly operácií. Jeden a ten istý symbol znamená skladanie prirodzených čísel a párov. Ak je jasné, že je jasné, že v mnohých prípadoch je zadaná operácia, nebudeme uvádzať približný význam týchto operácií.

Je potrebné prehodnotiť správnosť hodnoty týchto operácií, samotných výsledkov a stanoviť výber prvkov aі b, rád by som založil pár [ a, b]. Náhradné, hej

[a, b] = [a 1 , b 1 ], [SD] = [s 1 , d 1 ].

Tse znamená a + b 1 = b + a 1 , h + d 1 =d + s jeden . Sklavshi tsі rіvnostі, otrimuєmo

a + b 1 + h + d 1 = b + a 1 +d + s 1 Þ [ a + b, h + d] = [a 1 +s 1 , b 1 + d 1] Þ

Þ [ a, b] + [c, d] = [a 1 , b 1 ] + [c 1 , d 1 ].

Podobne začína správnosť hodnoty multiplikátora. Ale potom sa posunul, aby prehodnotil rozhovor, scho [ a, b] × [ c, d] = [a 1 , b 1] × [ c, d].

Teraz sa to znova prevedie, takže vyšla algebra, є kіltsom, takže axióma (Z1) - (Z6).

Upravená napríklad komutatívnosť suplementu, na axiómu (Z2). Maєmo

[c, d] + [a, b] = = [a + c, b + d] = [a, b] + [c, d].

Komutatívnosť doplnku pre celé čísla je odvodená od komutatívnosti doplnku pre prirodzené čísla, ako sa používa v tej istej domácnosti.

Axiómy (Z1), (Z5), (Z6) sú podobne prevrátené.

Úloha Zero Grapair. Výrazne її cez 0 ... Fér,

[a, b] + 0 = [a, b] + = [+ 1, b + 1] = [a, b].

Nareshty, a, b] = [b, a]. Fér,

[a, b] + [b, a] = [a + b, b + a] = = 0 .

Teraz prevedená expanzia axiómy. Slide pamäť, ktorá podnietila kruh nemá prirodzené čísla yak, fragmenty prvkov kruhu є trieda párov prirodzených čísel. To potrebuje poznať subalgebru, izomorfnú k reprezentácii prirodzených čísel. Tu viem viac o niekoľkých [ a, b] yak o maloobchode a - b... Prirodzené číslo n je možné platiť dane od dvoch fyzických osôb, napríklad v tomto poradí: n = (n+ 1) - 1. f: N ® Z dodržiavanie pravidla

f(n) = [n + 1, 1].

Cenník je aktívny:

f(n) = f(m) Þ [ n + 1, 1]= [m+ 1, 1] Þ ( n + 1) + 1= 1 + (m+ 1) Þ n = m.

Otzhe, maєmo vzájomne jednoznačná odpoveď mіzh N a ako dieťa Z, ktorá je zmysluplná prostredníctvom N *... Perevіrimo, scho vono zberigє prevádzkujeії:

f(n) + f(m) = [n + 1, 1]+ [m + 1, 1] = [n + m+ 2, 2]= [n + m+ 1, 1] = f(n + m);

f(n) × f(m) = [n+ 1, 1] × [ m + 1, 1] = [nm + n + m+ 2, n + m + 2]= [nm+ 1, 1] = f(nm).

Tim je nastavený samotným bulo, N * schválim v Z operácia skladania tej viacnásobnej subalgebry, izomorfná N

Zrejme pár [ n+ 1,1] h N * n, naprieč n a, b] maєmo

[a, b] = [a + 1, 1] + = [a + 1, 1] – [b + 1, 1] = a – b .

Tim sám je pokrytý, nareshti, výpoveď o páre [ a, b] jak o rozdiele prirodzených čísel. Okamžite nainštalovaný prvok kože z prebudenej plurality Z byť prezentovaný ako rast dvoch prirodzených. To tiež pomáha zosúladiť axiómu minimalizmu.

Poď M - pidnogina Z, pomstiť sa N * a naraz z byť-ako prvky aі bїхnya rozvoj a - b... Prinesené vám, scho v takom čase M =Z... Dіysno, byť-akýmsi prvkom z Z objaviť sa pri pohľade na dvoch prirodzených ľudí, ako nasledovať myseľ M všetko naraz s vlastnou cenou.

Veta 2. Axiomatická teória všetkých čísel je kategorická.

Doručené. Evidentne ide o dva podobné modely, na ktorých sú viditeľné všetky axiómy teórie, ktoré sú izomorfné.

Poď á Z 1, +, ×, N 1 ñ і á Z 2, +, ×, N 2 - dva modely našej teórie. Úplne zrejmé, ich operácie môžu byť označené rôznymi symbolmi. Vidíme všetko od komunity vimogy, prečo neochoriete na knôty: je to jasné, je to jasné o operácii. Prvky, ktoré by sa mali približovať k zobrazeným modelom, sa nebudú zobrazovať s rovnakými indexmi 1 alebo 2.

Na kamarátovi vyberieme hodnotu izomorfného obrazu prvého modelu. Takže jaka N 1 to N 2 - zväzok prirodzených čísel, ktorý nie je izomorfnou reprezentáciou j prvého sústa na druhom. Vizuálne významné f: Z 1® Z 2. Číslo kože X 1 Î Z 1 sa objaví pri pohľade dvoch prírodných ľudí:
X 1 = a 1 - b jeden . Vvazhamo

f (X 1) = j ( a 1) – j ( b 1).

Priniesol som ti, scho f- Izomorfizmus. Obrázok je priradený správne: X 1 = pri 1, de r 1 = c 1 – d 1, potom

a 1 - b 1 = c 1 – d 1 Þ a 1 + d 1 = b 1 + c 1 Þ j ( a 1 + d 1) = j ( b 1 + c 1) Þ

j ( a 1) + j ( d 1) = j ( b 1) + j ( c 1) Þ j ( a 1) - j ( b 1) = j ( c 1) - j ( d 1) Þ f(X 1) =f (r 1).

Ďalej Zvidsi f - jednoznačne Z 1 palec Z 2. Ale byť niekým X 2 s Z 2 môžete poznať prírodné živly a 2 to b 2 like, scho X 2 = a 2 - b 2. Oskіlki j - izomorfizmus, potom prvky môžu byť prototypy. a 1 to b jeden . Znamenať, X 2 = j ( a 1) – j ( b 1) =
= f (a 1 - b 1), i v kožnom prvku s Z 2 є predobraz. Spätná väzba f jednoznačne. Perevіrimo, wona zberіgaє opertsії.

Yaksho X 1 = a 1 - b 1 , r 1 = c 1 - d 1, potom

X 1 + r 1 = (a 1 + c 1) – (b 1 +d 1),

f(X 1 + r 1) = j ( a 1 + c 1) – j ( b 1 +d 1) = j ( a 1) + j ( c 1) – j ( b 1) – j ( d 1) =

J ( a 1) – j ( b 1) + j ( c 1)– j ( d 1) =f(X 1) + f(r 1).

Podobne bude prevrátený, takže sa toho veľa deje. Tim je nastavený samotným bulo, f- Izomorfizmus a veta bola uvedená.

Správne

1. Uistite sa, že je to ako kruh, ktorý zahŕňa systém prirodzených čísel vrátane kruhu všetkých čísel.

2. Uveďte každý minimálny poriadok v komutatívnom kruhu s jedným izomorfným kruhom čísel.

3. Uistite sa, že každý kruh v jednom poradí nie je v poriadku a bez nuly na pomstu jedného alebo druhého, izomorfný s kruhom čísel.

4. Preneste kruh matíc iného poradia cez pole ľubovoľných čísel, ktoré sa majú nahradiť bez kruhu, izomorfný s kruhom čísel.

Pole racionálnych čísel

Hodnota danej sústavy racionálnych čísel sa vykonáva podobným spôsobom, kým nie je bežnejšia pre sústavu všetkých čísel.

Viznachennya. Systém racionálnych čísel sa nazýva minimálne pole, ktoré je rozšírením kruhu čísel.

Zrejme do celej hodnoty prijmeme axiomatický impulz sústavy racionálnych čísel.

Prvé termíny:

Q- Bagato racionálnych čísel;

0, 1 - konštanty;

+, × - Binárne operácie na Q;

Z- pidnogina Q, bez čísel;

Å, Ä - binárne operácie na Z.

Axiomi:

ja Polia Axiomi.

(Q1) a+ (b + c) = (a + b) + c.

(Q2) a + b = b + a.

(Q3) (" a) a + 0 = a.

(Q4) (" a)($(–a)) a + (–a) = 0.

(Q5) a× ( b× c) = (a× b) × c.

(Q6) a× b = b× a.

(Q7) a× 1 = a.

(O8) (" a¹ 0)($ a –1) a × a –1 = 1.

(Q9) ( a + b) × c = a × c + b× c.

ІІ. Rozšírenie Axiomi.

(Q10) á Z, Е, Д, 0, 1с - kruh prirodzených čísel.

(Q11) Z Í Q.

(Q12) (" a, bÎ Z) a + b = aÅ b.

(Q13) (" a, bÎ Z) a× b = aÄ b.

ІІІ. Axióma minima.

(Q14) MÍ Q, ZÍ M, ("a, bÎ M)(b ¹ 0 ® a× b-1 Î M)Þ M = Q.

číslo a× b-1 sa nazývajú súkromné čísla aі b, znamená a/b abo.

Veta 1. Nech je to racionálne číslo, malo by byť reprezentované ako súkromné dve čísla.

Doručené. Poď M- bezlіch racionálne čísla, reprezentácie ako súkromné dva tsіlich. Yaksho n- teda celý n = n/ 1 pohľad M, už, ZÍ M... Yaksho a, bÎ M, potom a = k/l, b = m/n, de k, l, m, nÎ Z... Otzhe, a/b=
= (kn) / (lm)Î M... Axióm (Q14) M= Q, táto veta je úplná.

Veta 2. Pole racionálnych čísel môže byť lineárne a suvoro v poradí a jedným spôsobom. Poradie v poli racionálnych čísel arcimédov a rovnaké poradie v kruhu čísel.

Doručené. Výrazne cez Q+ nespočetné čísla, ktoré sú reprezentované zlomkom, de kl> 0. Nie je dôležité na to myslieť, ale je to ako zlomok, ale bude to číslo.

Perevirimo, scho Q + – pozitívna časť poľa Q... Tom za celé číslo kl existujú tri typy: kl = 0, klÎ N, –kl Î N pre a = môžeme poprieť jednu z troch možností: a = 0, aÎ Q+, –AÎ Q + ... Dal, kde a =, b = lež Q+ potom kl > 0, mn> 0. Todі a + b =, navyše ( kn + ml)ln = kln 2 + mnl 2> 0. Tiež a + bÎ Q + ... Rovnakým spôsobom sa to dá obrátiť, takže abÎ Q + ... V takej hodnosti, Q + - pozitívna časť poľa Q.

Poď Q++ - ako pozitívna súčasť poľa. Maєmo

l = .l 2 Î Q ++ .

Zvidsi NÍ Q++. Podľa vety 2.3.4 možno nájsť aj čísla až po prirodzené čísla Q++. Todi Q + Í Q++. Na základe viet 2.3.6 Q + =Q++. K tomu sú zákazky, ktoré sú ocenené kladnými časťami Q+ і Q ++ .

Takže jaka Z + = NÍ Q+, potom poradie Q Budem aj naďalej objednávať Z.

Nech teraz a => 0, b => 0. Poradie počtu čísel arcimédov, potom kladné knі ml vieš, že je to prirodzené s ber, scho s× kn>ml... Zvidsi s a = s> = b. Otzhe, poradie v oblasti racionálnych čísel archimedes.

Správne

1. Uistite sa, že pole racionálnych čísel je silné, takže pre všetky racionálne čísla a < b je to racionálnejšie r ber, scho a < r < b.

2. Daj ti slovo X 2 = 2 nemajú riešenie Q.

3. Prines ťa, si bez Q rakhunkovo.

Veta 3. Axiomatická teória racionálnych čísel nie je nadbytočná.

Doručené. Nekonzistentnosť axiomatickej teórie racionálnych čísel možno uviesť ako pri všetkých číslach. A to bude model, všetky axiómy teórie budú obhájené.

Yak base je braný bez l_ch

Z´ Z * = {(a, b)ï a, bÎ Z, b ¹ 0}.

Prvky multiplicity є stávka ( a, b) celé čísla. S takouto dvojicou čísel a/b... Je to na úlohe sily párov.

Zavedené na bez Z´ Z * výkon:

(a, b) = (c, d) Û ad = bc.

Z rovnakého dôvodu nebudete mať právo byť nazývaní rovnocenní. Faktor-multiplicity bez Z´ Z * z celého vzťahu záujmu je významný cez Q... Jogo prvky a nazivatimemo racionálne čísla. Klas, pomstiť sa páru ( a, b), ktorý možno označiť [ a, b].

Zavedený v podnietil mnohých Q operácia skladania a násobenia. Budeme schopní pomôcť procesu detekcie prvku [ a, b] jak o súkromí a/b... V závislosti od hodnoty nasledujúcich položiek:

[a, b] + [c, d] = [inzerát + bc, bd];

[a, b] × [ c, d] = [ac, bd].

Revízia správnosti hodnoty operácií, samotných výsledkov a stanovenie výberu prvkov aі b, rád by som založil pár [ a, b]. Malo by sa to robiť týmto spôsobom, ako dokazujú vety 3.2.1.

Úloha Zero Grapair. Výrazne її cez 0 ... Fér,

[a, b] + 0 = [a, b] + = [a × 1 + 0 × b, b × 1] = [a, b].

Protylezhnaya do [ a, b] є pár - [ a, b] = [–a, b]. Fér,

[a, b] + [–a, b]= [ab - ab, bb] = = 0 .

Jeden є pár = 1 ... Bastard pred stávkou [ a, b] - pár [ b, a].

Teraz prevedená expanzia axiómy. Obnoviteľná viditeľnosť
f: Z ® Q dodržiavanie pravidla

f(n) = [n, 1].

Obrátené, ale cena je obojstranne jednoznačná Z a ako dieťa Q, ktorá je zmysluplná prostredníctvom Z *... Revízia vzdialenosti, ktorá prevezme operáciu od toho istého, stanoví izomorfizmus sveta Z to dieťa Z * v Q... Otzhe, revidovaná expanzia axiómy.

Zrejme pár [ n, 1] h Z *, ktoré súvisí s prirodzeným číslom n, naprieč n ... Todi za dobrú stávku [ a, b] maєmo

[a, b] = [a, 1] × = [ a, 1] / [b, 1] = a /b .

Tim samotný je pokrytý výrokom o páre [ a, b] ako o súkromných číslach. Okamžite nainštalovaný prvok kože z prebudenej plurality Q vystupovať ako súkromný dvaja tsilikh. To tiež pomáha zosúladiť axiómu minimalizmu. Vykoná sa revízia ako vo vete 3.2.1.

V takom rangu, pre stimulovaný systém Q vikonuyutsya všetky axiómy teórie čísel, takže sme vyvinuli model celej teórie. Veta bola dokončená.

Veta 4. Axiomatická teória racionálnych čísel je kategorická.

Dôkaz je analogický ako vo vetách 3.2.2.

Veta 5. Archimadovského v poradí poľa є na rozšírenia poľa racionálnych čísel.

Dôkaz - jak vpravo.

Veta 6. Poď F- pole je v poriadku, a > b, de a, bÎ F... Nu racionálne číslo Î F ber, scho a > > b.

Doručené. Poď a > b³ 0. Todi a - b> 0, ma ( a - b) -1> 0.Isnuє prirodzené T ber, scho m× 1> ( a - b) -1, hviezdičky m –1 < a - b £ a... Dali іsnu natural k ber, scho k× m-1 ³ a... Poď k- Nimenshe číslo, pre kotoroj vikonutsya tsya neopodstatnenosť. Takže jaka k> 1, možno použiť k = n + 1, n Î N... S tsom
(n+ 1) × m-1 ³ a, n× m –1 < a... Yaksho n× m-1 £ b, potom a = b + (a - b) > b + m-1 ³ n× m –1 + m –1 =
= (n+ 1) × m- jeden. Protir_chchya. Znamenať, a >n× m –1 > b.

Správne

4. Uistite sa, že existuje pole, ktoré obsahuje kruh mnohých čísel vrátane poľa racionálnych čísel.

5. Uistite sa, že pole je izomorfné s poľom racionálnych čísel.

Referenčné čísla

Čísla reči, ktoré sú označené cez (tzv. R ruban), zaviedli dodatočnú operáciu ("+"), takže pár kožných prvkov ( X,r) z bez čísiel reči zadajte typ prvku X + r z tsієї z veľa, tituly súm Xі r .

Axiom Multiple

Dňa zaviedla operáciu viacerých ("·"), takže pár prvkov kože ( X,r) bez čísel reči, vložte typ prvku (abo, rýchly, Xr) z tsієї z veľa, tituly syra Xі r .

Zvonenie prídavného

Poradie axiómov

Na zadaný príkaz "" (menej ako jeden), byť na stávku x, y vikonuatsya chcú byť jedným z myslí abo.

Spojenie je v poriadku, že skladanie

Komunikačný poriadok a multiplicita

Axióma prerušenia

Komentár

Qia axioma znamená shho yaksho Xі Y- dva neprázdne násobky platných čísel, ako napr X Neprevrátim žiadny prvok Y, potom môžete vložiť číslo reči medzi viacero sád. Pre racionálne čísla axióma nesvieti; klasický zadok: jasne kladné racionálne čísla, ktoré sú viditeľné na nulu X tі čísla, ktorých druhá mocnina je menšia ako 2, a іnshі - až Y... Todi mіzh Xі Y nemôžete vložiť racionálne číslo (nie racionálne číslo).

Tsya Klyuchova axióma zachová vynaliezavosť a my sami budem motivovať k matematickej analýze. Pre іlustratsії її význam, okrem dvoch základných dedičstiev z neho.

Stopy axiómov

Bez priemernej axiómy sú pre silu týchto čísel dôležité skutky, napr.

jedna nula,
Jednota protylezhny a revoltujúce prvky.

Literatúra

Zorich V.A. Matematická analýza. Zväzok I. M.: Fazis, 1997, časť 2.

Div. tiež

Posilannya

Nadácia Wikimedia. 2010.

Obdivujte „Axiomatiku akčných čísel“ v nasledujúcich slovníkoch:

Reč, pre číslo je matematická abstrakcia, ale spotreba geometrických a fyzikálnych hodnôt svetla, ako aj vykonávanie takých operácií, ako je vývoj koreňa, výpočet logaritmov, riešenie.

Reč, kde návrh čísla je matematickou abstrakciou, ako slúžiť, pružina, definícia zodpovedajúcej hodnoty fyzikálnych veličín. Takéto číslo možno intuitívne prezentovať ako opis polohy bodu na priamke.

V slovníku štatútu "Axióm" Axióm (v gréčtine ... Vіkіpedia

Axióma, ako sa rozvíjať v iných axiomatických systémoch. Axiomatika reálnych čísel Axiomatika Hilberta Euklidovská geometria Axiomatika Kolmogorovovej teórie nehybnosti ... Vikipedia

S axiomatickým podnetom nejakého druhu matematickej teórie by sme sa na to mali pozrieť. predpisov:

· Deyakі chápanie teórie je vybrané ako základné a prijaté bez viznachennya;

· Kozhen pochopenie teórie, ako sa pomstiť na zozname tých hlavných, vzhľadom k viznachennya;

· Formulovať axiómy - výroky, ktoré sa v teórii prijímajú bez dôkazu; pre tých, ktorí otvárajú silu hlavného, aby pochopili;

· Skin návrh teórie, ako sa nepomstiť na zozname axiómov, ale bol vznesený; Tieto vety sa nazývajú teorémy a prinášajú ich na základe axióm a teorém.

S axiomatickým stimulom teórie je všetka pevnosť daná axióme dôkazu.

K tomu až systém axióm, špeciálne vimogi:

· Nekonzistentnosť (systém axióm sa nazýva nekonzistentný, pretože z neho nie je možné logicky vytvoriť dva výroky, ale vzájomne zahrnúť jeden);

· Nezávislosť (systém axióm sa nazýva nezávislý, rovnako ako axióma celého systému nezdedených axióm).

Bez problémov poprosíme nominovaných, aby zavolali model daného systému a axiómy, keďže v novom sú špecifikované všetky axiómy daného systému.

Existuje niekoľko spôsobov, ako vytvoriť systém axióm pre množstvo prirodzených čísel. Pre hlavného pochopiteľa si môžete vziať napríklad súčet čísel chi vo vzťahu k objednávke. V každom prípade je potrebné nastaviť systém axióm na popísanie sily tých hlavných na pochopenie.

Damo systém axióm, ktorý prijal základné chápanie fungovania sčítania.

Neporozhnia bezl_ch N volaný bez prirodzených čísel, ktorý je určený prevádzkou (a; b) → a + b povolaný k daru a sile moci:

1.davannya komutatívne, tobto. a + b = b + a.

2.addavannya asociatívne, tobto. (a + b) + c = a + (b + c).

4. mať veľa A, scho є násobkom N, de Aє číslo ako všetko Ha, рівні a + b, de bN.

Axiómy 1 - 4 sú dostatočné na vyvolanie celej aritmetiky prirodzených čísel. Ale s takýmto podnetom už nie je možné točiť sa na sile Kincevových plurálov, pretože nezapadali do týchto axióm.

V rovnakej dobe, ako hlavné chápanie vzťahu "bezposeredno nasledovať pre ..." N... Prirodzené čísla Todi budú bez N, v ktorých je hodnota označená „bez stredu nasleduje“, a prirodzené čísla sa budú nazývať všetky prvky N a nemusia existovať žiadne axióma Peano:

AXIOMA 1.

Na bezlichіNExistuje prvok, ktorý nepresahuje žiadny prvok mnohosti. Nazveme ju jedna jednotka a označíme ju symbolom 1.

AXIOMA 2.

Pre prvok kože a zNіsnu Jediný prvok bez predstihu stredného rozsahu pre a.

AXIOMA 3.

Pre prvok kože a zNNie je viac ako jeden prvok, za ktorým nie je žiadna stredná cesta.

AXOIMA 4.

Každý čiastkový súbor MNЗівпад зN, ako je moc: 1) 1 pomstiť sa v M; 2) okrem toho sa pomstiť M.

Bezlich N, pre prvky, pre ktoré bolo ustanovené vyhlásenie „bez stredu nasleduje ...“ bez prirodzených čísel a jogo prvok - prirodzené čísla.

Yaksho yak bezlich N vibrati deyake je konkrétne bezmocný, pre niekoho, kto má špecifickú sadu "bezposeredno nasledovať pre ..." Interpretácie (modely) daný systémy a axiómy.

Štandardný model systému Peano axiom є vinik v procese historický vývoj pozastavenia sú niekoľko čísel: 1, 2, 3, 4, 5, ...

Model Axiom Peano môže byť veľa ľudí.

Napríklad I, II, III, IIII, ...

ooo ooo, ...

raz dva tri chotiri,...

Konzistentnosť plurality je rozpoznateľná, v ktorej pluralita (oo) je klasový prvok a do kože možno vstúpiť z popredného priradenia viac ako jedného gut (obr. 15).

Todi Nє bezlіch, ktoré môžu byť uložené v súprave opísaného typu, і model Peanovych axiómových systémov.

Pravda, veľa Nіsnuє prvok (oo), bez zakročenia za prvok danej mnohosti, tobto. vikonutsya axióma 1. Pre kožnú pluralitu A analyzované sukupnosti іsnu dina mnogina, ako ísť od A davannyam jeden gurk, tobto. vikonutsya axióma 2. Pre kožnú pluralitu Aіsnu nie viac ako jeden zástup, pre ktorý predstierať, že je bez A davannyam jeden gurk, tobto. vikonutsya axióma 3. Yaksho MNі vіdomo, shо bezlіch A pomstiť sa M,šmýkal, scho a veľa, v yak za jeden gurtok viac A, tiež sa pomstiť v M, potom M =N, і znamená vyhlásiť axiómu 4.

Pri hodnote prirodzeného čísla nemožno hodnotu z axiómy vynechať.

Je možné nainštalovať, ako v súprave, umiestnením kurzora myši nad na obr. 16 є model od Axiom Peano.

1 a b d a

G) Obr. 16

rozhodnutie. Na bábätku 16 a) je znázornené bez osoby, v ktorej sú zobrazené axiómy 2 a 3. Je to skutočne, pre prvok kože je jeden jeden, hneď vedľa neho a jeden prvok pre kožu prvok, nasleduje. Ale v tsi veľa veľa nechodí k axióme 1 (axióma 4 nie je dobrý nápad, pretože v mnohých žiadnych elementoch, ktoré nie sú uprostred útočného). Za týmto účelom to nie je prípad modelu Peanovej axiómy.

Na malom 16 b) je zobrazený bezlіch, v yaku vikonі axióma 1, 3 a 4, ale za prvkom a bezposeredno viplivayut dva prvky, a nie jeden, ako sa vyžaduje v axióme 2. Navyše mnohí nemajú є model Peano axiómu.

Na obr. 16 c) zobrazené bez lichu, v axióme vikonan_ 1, 2, 4, ale s bezposredno dalsie hned za dva prvky. Za týmto účelom to nie je prípad modelu Peanovej axiómy.

Na obr. 16 d) ukazuje sa veľa, ktorí sú spokojní s axiómami 2, 3, a ak je v kvalite prvku klas číslo 5, potom je veľa dané splnením axióm 1 a 4. Takže v r. v tomto prípade v danej sade pre prvok kože, stredný prvok One, za ktorým nasleduje yakim. Je to prvok, ktorý neprichádza bez stredného kroku za akýmkoľvek prvkom množstva. , tobto. Prijmite axiómu 1. Čo najskôr axiómu 4. O modeli Peanovej axiómy je veľa informácií.

Vikoristovuchi axiomi Peano, je možné priniesť rad tvrdosti. x x.

Doručené. Výrazne cez A bez prirodzených čísel, pre tých aačíslo 1 pohľad A, neexistujú žiadne časti, ktoré nasledujú za rovnakým číslom N potom to ide samo: 1 1. Poď aA, Todi aa Výrazne a naprieč b... Na základe axiómy 3 ab, tobto. b bі bА.